Manovning ishi "imtihonda logarifmik tengsizliklar". Imtihonga tayyorgarlik. Ratsionalizatsiyalash usuli bilan logarifmik va eksponensial tengsizliklarni echish Tengsizliklar imtihon topshirig'ini hal qilish misollari 15
FOYDALANISHIDA LOGARITMIK TALABLAR
Sechin Mixail Aleksandrovich
Kichik Fanlar akademiyasi Qozog'iston Respublikasi talabalari uchun "Izlovchi"
MBOU "Sovetskaya №1 umumiy o'rta ta'lim maktabi", 11-sinf, shahar. Sovet Sovetskiy tumani
Gunko Lyudmila Dmitrievna, MBOU "1-sonli Sovet maktabi" o'qituvchisi
Sovet tumani
Ishning maqsadi: eritma mexanizmini o'rganish logarifmik tengsizliklar C3 nostandart usullar yordamida, aniqlash qiziqarli faktlar logarifm.
O'rganish mavzusi:
3) N 3 standart logarifmik tengsizliklarni nostandart usullar yordamida hal qilishni o'rganing.
Natijalar:
Tarkibi
Kirish …………………………………………………… .4
1-bob. Umumiy ma'lumotlar …………………………………………… .. 5
2-bob. Logarifmik tengsizliklarni yig'ish ................. 7
2.1. Ekvivalent o'tish va intervallarni umumlashtirish usuli ............... 7
2.2. Ratsionalizatsiyalash usuli .................. 15
2.3. Nostandart almashtirish. ..... 22
2.4. Tuzoq missiyalar ……………………………………………………………………………………. 27
Xulosa ……………………………………………………………… 30
Adabiyot ………………………………………………. 31
Kirish
Men 11-sinfda o'qiyman va u erda universitetga kirishni rejalashtirmoqdaman profil mavzusi matematik Shuning uchun, men C qismining muammolari bilan ko'p ishlayman, C3 vazifasida siz odatda nostandart tengsizlikni yoki odatda logarifmlar bilan bog'liq bo'lgan tengsizliklar tizimini hal qilishingiz kerak. Imtihonga tayyorgarlik ko'rayotganda, C3-da taklif qilingan imtihon logaritmik tengsizliklarni hal qilish uchun usul va texnik yo'qligi muammosiga duch keldim. O'rganilgan usullar maktab o'quv dasturi ushbu mavzu bo'yicha C3 vazifalarini hal qilish uchun asos yaratmang. Matematik o'qituvchi meni uning rahbarligi ostida C3 topshiriqlari bilan mustaqil ravishda ishlashga taklif qildi. Bundan tashqari, savol meni qiziqtirdi: bizning hayotimizda logarifmlar bormi?
Shuni hisobga olib, mavzu tanlandi:
"Imtihonda logarifmik tengsizliklar"
Ishning maqsadi: n3 nostandart usullardan foydalangan holda C3 muammolarini echish mexanizmini o'rganish, logarifmaning qiziqarli faktlarini aniqlash.
O'rganish mavzusi:
1) Logarifmik tengsizliklarni yechishning nostandart usullari haqida kerakli ma'lumotlarni toping.
2) logarifmlar haqida ko'proq ma'lumot toping.
3) N3 nostandart usullardan foydalangan holda aniq C3 muammolarini hal qilishni o'rganing.
Natijalar:
Amaliy ahamiyat C3 muammolarini hal qilish uchun apparatni kengaytirishdan iborat. Ushbu material ba'zi darslarda, to'garaklar, matematikadan tashqari mashg'ulotlar uchun ishlatilishi mumkin.
Loyiha mahsuloti "echimlar bilan logaritmik C3 tengsizliklari" to'plami bo'ladi.
1-bob. Umumiy ma'lumotlar
XVI asr davomida taxminiy hisob-kitoblar soni, birinchi navbatda, astronomiyada tez o'sdi. Asboblarni takomillashtirish, sayyora harakatlarini o'rganish va boshqa ishlar ulkan, ba'zan ko'p yillar hisob-kitoblarni talab qildi. Astronomiya bajarilmagan hisob-kitoblarda cho'kib ketish xavfi ostida edi. Boshqa sohalarda qiyinchiliklar paydo bo'ldi, masalan, sug'urta biznesida turli xil qiziqish qiymatlari uchun aralash qiziqish jadvallari kerak edi. Asosiy qiyinchilik ko'paytmali sonlarni, ayniqsa trigonometrik miqdorlarni ko'paytirish, bo'lish bilan ifodalandi.
Logarifmlarning kashfiyoti 16-asrning oxiriga kelib taniqli progressiv xususiyatlarga asoslandi. Arximed q, q2, q3, ... geometrik progressiya a'zolari va Zaburda ularning ko'rsatkichlarining 1, 2, 3, ... arifmetik progressiyalari o'rtasidagi bog'liqlik haqida gapirdi. Yana bir shart - daraja kontseptsiyasini salbiy va kasr ko'rsatkichlarigacha kengaytirish. Ko'pgina mualliflar ko'paytirish, bo'lish, eksponentlash va ildizni ajratib olish arifmetikaga mos keladigan - bir xil tartibda - qo'shish, ayirish, ko'paytirish va bo'lish usullariga to'g'ri keladi.
Bu eksponent sifatida logarifm g'oyasi edi.
Logarifmlar ta'limotining rivojlanish tarixida bir necha bosqichlar o'tdi.
1-bosqich
Logarifmlar 1594 yildan kechiktirmasdan Shotlandiya baroni Napier (1550-1617) tomonidan va o'n yildan so'ng Shveytsariya mexanigi Burghi (1552-1632) tomonidan ixtiro qilindi. Ikkalasi ham arifmetik hisob-kitoblarning yangi qulay vositalarini berishni xohlashdi, garchi ular bu vazifaga turli yo'llar bilan murojaat qilishgan. Neper kinematik ravishda logarifmik funktsiyani ifoda etdi va shu bilan funktsiyalar nazariyasining yangi sohasiga kirdi. Burghi aniq progressivlarni hisobga olgan holda qoldi. Biroq, ikkalasi uchun logarifmaning ta'rifi zamonaviyga o'xshamaydi. "Logaritm" (logarithmus) atamasi Napierga tegishli. Bu yunoncha so'zlarning birikmasidan kelib chiqdi: logos - "munosabatlar" va ariqmo - "raqamlar", bu "munosabatlar soni" degan ma'noni anglatadi. Dastlab, Napier boshqa atamani ishlatgan: numeri sun'iylar - "sun'iy sonlar", numeri naturaltsdan farqli o'laroq - "natural sonlar".
1615 yilda Londondagi Gresch kolleji matematik professori Genrix Briggs (1561-1631) bilan suhbatda Napier birlik logarifmasi uchun nolni, o'nga teng logarifm uchun 100 ni yoki bitta narsaga to'g'ri keladigan yoki shunchaki 1 ga teng keladigan logarifmlarni olishni taklif qildi. birinchi logarifmik jadvallar chop etildi. Keyinchalik Briggs jadvallarini gollandiyalik kitob sotuvchisi va matematikani sevuvchi Andrian Flakk (1600-1667) to'ldirdi. Napier va Briggs, garchi ular logarifmlarga hammadan ancha oldin kelishgan bo'lishsa-da, jadvallarini boshqalarga qaraganda kechroq nashr etishdi - 1620 yilda. Kundalik va log belgilari 1624 yilda I. Kepler tomonidan kiritilgan. "Tabiiy logarifm" atamasi 1659 yilda Mengoli tomonidan kiritildi, undan keyin 1668 yilda N.Merkator, Londonlik o'qituvchi Jon Speydel "Yangi logarifmlar" nomi ostida 1 dan 1000 gacha raqamlarning tabiiy logarifmlari jadvallarini nashr etdi.
Rus tilidagi birinchi logarifmik jadvallar 1703 yilda nashr etilgan. Ammo barcha logarifmik jadvallarda hisoblashda xatolarga yo'l qo'yilgan. Birinchi xatosiz jadvallar 1857 yilda Berlinda nemis matematiki K. Bremiker (1804-1877) tomonidan tahrir qilingan.
2-bosqich
Logarifmlar nazariyasining keyingi rivojlanishi analitik geometriya va cheksiz hisoblashni yanada kengroq qo'llash bilan bog'liq. Teng tomonli giperbola kvadraturasi va tabiiy logarifm o'rtasida bog'liqlik shu davrga to'g'ri keladi. Ushbu davrning logarifmlari nazariyasi bir qator matematiklarning ismlari bilan bog'liq.
Tarkibida nemis matematiki, astronomi va muhandisi Nikolaus Mercator
"Logaritmik texnika" (1668) ln (x + 1) ning kengayishini ta'minlaydigan qatorni beradi
kuchlar x:
Bu ibora uning fikrlash yo'nalishiga to'liq mos keladi, garchi u, albatta, d, ... belgilarini ishlatmagan, ammo undan noqulayroq belgilarni ishlatgan. Logarifmik seriyalarning kashf qilinishi bilan logarifmlarni hisoblash uslubi o'zgardi: ular cheksiz qatorlar yordamida aniqlana boshladi. 1907-1908 yillarda o'qigan F. Klein "Elementar matematikaga yuqori nuqtai nazardan" ma'ruzalarida formuladan logaritmlar nazariyasini yaratishda boshlang'ich nuqta sifatida foydalanishni taklif qildi.
3-bosqich
Ta'rif logarifmik funktsiya teskari funksiya sifatida
eksponensial, logarifm berilgan bazaning darajasining ko'rsatkichi sifatida
darhol shakllantirilmagan. Leonard Eylerning kompozitsiyasi (1707-1783)
Infinitesimal (1748) tahlili uchun kirish bu qo'shimcha xizmat qildi
logaritmik funktsiya nazariyasini rivojlantirish. Shunday qilib,
logarifmlar birinchi marta kiritilishidan 134 yil o'tdi
(1614 yildan boshlab hisoblash) matematiklar aniqlanishdan oldin
hozirda maktab kursining asosi bo'lgan logaritm tushunchasi.
2-bob. Logarifmik tengsizliklarni yig'ish
2.1. Ekvivalent o'tish va umumlashtirilgan interval usuli.
Ekvivalent o'tish
agar a\u003e 1
agar 0 bo'lsa <
а <
1
Umumiy interval usuli
Ushbu usul deyarli har qanday turdagi tengsizliklarni hal qilish uchun eng ko'p qirrali hisoblanadi. Yechish sxemasi quyidagicha ko'rinadi.
1. Tengsizlikni funktsiya mavjud bo'lgan shaklga kamaytiring 
va o'ng tomonda 0.
2. Funktsiya domenini toping .
3. Funksiyaning nollarini toping , ya'ni tenglamani echish uchun 
(va tenglamani echish odatda tengsizlikni hal qilishdan osonroqdir).
4. Raqam qatorida funktsiyaning domeni va nollarini chizish.
5. Funksiya belgilarini aniqlang olingan vaqt oralig'ida.
6. Funktsiya kerakli qiymatlarni oladigan intervallarni tanlang va javobni yozing.
1-misol.
Qaror:
Aralash usulini qo'llaylik
qayerdan
Ushbu qiymatlar uchun logarifmlar belgisi ostidagi barcha iboralar ijobiydir.
Javob:
2-misol.
Qaror:
1- yo'l . ODZ tengsizlik bilan aniqlanadi x \u003e 3. Bundaylarga logarifmni olish x baza 10, biz olamiz
So'nggi tengsizlikni dekompozitsiya qoidalarini qo'llash orqali hal qilish mumkin, ya'ni. omillarni nolga solishtirish. Biroq, bu holda, funktsiyaning doimiyligi intervallarini aniqlash oson
shuning uchun siz intervallar usulini qo'llashingiz mumkin.
Funktsiya f(x) = 2x(x- 3,5) lgǀ x- 3ǀ doimiy x \u003e 3 va nuqtalarda yo'qoladi x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 \u003d 4. Shunday qilib, funktsiyaning doimiyligi intervallarini aniqlaymiz f(x):
Javob:
2-usul . Intervallar usuli g'oyalarini to'g'ridan-to'g'ri asl tengsizlikka qo'llaylik.
Buning uchun iboralarni eslang a b - a c va ( a - 1)(b - 1) bitta belgi bor. Keyin bizning tengsizligimiz x \u003e 3 tengsizlikka tengdir
yoki
Oxirgi tengsizlik intervallar usuli bilan hal qilinadi
Javob:
3-misol.
Qaror:
Aralash usulini qo'llaylik
Javob:
4-misol.
Qaror:
2 yildan beri x 2 - 3x + 3\u003e 0 barcha real uchun xkeyin
Ikkinchi tengsizlikni hal qilish uchun biz intervallar usulidan foydalanamiz
Birinchi tengsizlikda biz almashtirishni amalga oshiramiz
keyin tengsizlikka kelamiz 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те ytengsizlikni qondiradiganlar -0.5< y < 1.
Qayerdan, beri
tengsizlikka erishamiz
ular bilan amalga oshiriladi xbuning uchun 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
Endi tizimning ikkinchi tengsizligini hal qilishni hisobga olib, biz nihoyat olamiz
Javob:
5-misol.
Qaror:
Tengsizlik tizimlar to'plamiga tengdir
yoki
Keling, intervallar usulini yoki
Javob bering:
6-misol.
Qaror:
Tengsizlik tizimga tengdir
Bo'lsin
keyin y > 0,
va birinchi tengsizlik
tizim shaklni oladi
yoki kengaytirish orqali
kvadrat trinomial omillar,
Intervallar usulini oxirgi tengsizlikka qo'llash,
uning echimlari shartni qondirishini ko'ramiz y \u003e 0 hammasi bo'ladi y > 4.
Shunday qilib, asl tengsizlik sistemaga tengdir:
Shunday qilib, tengsizlikka echimlar - barchasi
2.2. Ratsionalizatsiya usuli.
Ilgari tengsizlikni ratsionalizatsiya qilish usuli hal qilinmagan, u ma'lum emas edi. Bu "eksponensial va logaritmik tengsizliklarni echishning yangi zamonaviy samarali usuli" (S. I. Kolesnikova kitobidan iqtibos)
Va agar o'qituvchi uni bilsa ham, qo'rquv bor - imtihonchi uni taniydimi va nega u maktabda berilmaydi? O'qituvchi talabaga: "Siz uni qaerdan oldingiz? O'tiring - 2.", degan holatlar bo'lgan.
Endi usul keng targ'ib qilinmoqda. Va mutaxassislar uchun ushbu usul bilan bog'liq ko'rsatmalar mavjud va "Model variantlarining eng to'liq nashrlarida ..." C3 eritmasida ushbu usul qo'llaniladi.
MUSTAQIL USUL!
"Sehrli stol"
Boshqa manbalarda
agar a a\u003e 1 va b\u003e 1, so'ngra b\u003e 0 va (a -1) (b -1)\u003e 0 yozing;
agar a a\u003e 1 va 0 agar 0 bo'lsa<a<1 и b
>1, keyin a b jurnaliga kiring<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
agar 0 bo'lsa<a<1 и 00 va (a -1) (b -1)\u003e 0. Yuqoridagi mulohaza oddiy, ammo u logarifmik tengsizliklarni echishni sezilarli darajada soddalashtiradi. 4-misol.
log x (x 2 -3)<0
Qaror:
5-misol.
log 2 x (2x 2 -4x +6) ≤log 2 x (x 2 + x) Qaror: 6-misol.
Ushbu tengsizlikni hal qilish uchun, denominator o'rniga biz (x-1-1) (x-1), va hisoblagich o'rniga - mahsulot (x-1) (x-3-9 + x) yozamiz. 7-misol.
8-misol.
2.3. Nostandart almashtirish. 1-misol.
2-misol.
3-misol.
4-misol.
5-misol.
6-misol.
7-misol.
log 4 (3 x -1) log 0,25 O'zgartirishni y \u003d 3 x -1; keyin bu tengsizlik shakllanadi 4-jurnal 0,25 Sifatida jurnal 0,25 O'zgarishlarni t \u003d log 4 y qilamiz va t 2 -2t + ≥0 tengsizlikni olamiz, uning echimi interval bilan bo'ladi - Shunday qilib, y qiymatlarini topish uchun ikkita eng sodda tengsizliklar to'plamiga egamiz Shunday qilib, asl tengsizlik ikkita eksponent tengsizlikning yig'indisiga teng, Ushbu to'plamning birinchi tengsizligi yechimi 0 oralig'i<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ 8-misol.
Qaror:
Tengsizlik tizimga tengdir DHS ni aniqlaydigan ikkinchi tengsizlikning echimi ana shu narsalar to'plamidir x,
kimdan x > 0.
Birinchi tengsizlikni hal qilish uchun biz o'zgarishlarni amalga oshiramiz Keyin tengsizlikka erishamiz yoki Oxirgi tengsizlikka echimlar to'plami usul bilan topiladi intervallar: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, olamiz yoki Ulardan ko'pi xbu oxirgi tengsizlikni qondiradi tegishli ODZ ( x \u003e 0), shuning uchun tizim uchun echimdir va shuning uchun asl tengsizlik. Javob: 2.4. Tuzoq vazifalari. 1-misol.
Qaror. ODZ tengsizliklari barcha 0 shartini qondiradigan x dir 2-misol.
log 2 (2 x + 1-x 2)\u003e log 2 (2 x-1 + 1-x) +1.
Javob bering... (0; 0,5) U.
Javob bering :
(3;6)
.
\u003d 4-band \u003d - (log 4 y -log 4 16) \u003d 2-log 4 y, so'ngra tengsizlikni 2log 4 y -log 4 2 y ≤ deb yozing.
Ushbu to'plamning echimi 0 intervallari<у≤2 и 8≤у<+.
ya'ni jami 
... Shunday qilib, asl tengsizlik 0 ning intervallaridan x ning barcha qiymatlari uchun saqlanadi<х≤1 и 2≤х<+.
.
... Shuning uchun 0 intervalidan barcha x
Xulosa
Turli xil ta'lim manbalarining ko'pligi sababli C3 muammolarini hal qilish uchun maxsus usullarni topish oson bo'lmadi. Bajarilgan ishlar davomida murakkab logarifmik tengsizliklarni hal qilishda nostandart usullarni o'rganishga muvaffaq bo'ldim. Bular: ekvivalent o'tish va intervallarni umumlashtirish usuli, ratsionalizatsiya usuli , nostandart almashtirish , oDZ tuzoqlari bo'lgan vazifalar. Ushbu usullar maktab o'quv dasturida mavjud emas.
Turli xil usullardan foydalanib, men C qismida C imtihonida keltirilgan 27 ta tengsizlikni hal qildim. Usullar bo'yicha echimlar bilan tengsizlik "Mening echimlarim bilan C3 tengsizlari" to'plamining asosini tashkil etdi, bu mening ishimning loyihasi bo'ldi. Men loyihaning boshida ilgari surgan gipoteza tasdiqlandi: C3 vazifalarini ushbu usullarni bilgan holda samarali echish mumkin.
Bundan tashqari, logarifmlar haqida qiziqarli faktlarni topdim. Buni amalga oshirish men uchun qiziq edi. Mening dizayn mahsulotlarim ham talabalar, ham o'qituvchilar uchun foydali bo'ladi.
Xulosa:
Shunday qilib, loyihaning belgilangan maqsadiga erishildi, muammo hal qilindi. Va men ishning barcha bosqichlarida loyiha faoliyatida eng to'liq va ko'p qirrali tajribaga ega bo'ldim. Loyiha ustida ish olib borish jarayonida mening asosiy rivojlanish ta'sirim aqliy barkamollik, mantiqiy aqliy operatsiyalar bilan bog'liq faoliyat, ijodiy barkamollikni rivojlantirish, shaxsiy tashabbuskorlik, mas'uliyat, qat'iyatlilik, faoliyat.
Izlanish loyihasini yaratishda muvaffaqiyat garovi Men aylandim: muhim maktab tajribasi, turli manbalardan ma'lumot olish, uning ishonchliligini tekshirish, ahamiyati bo'yicha tartiblash.
Matematikadan to'g'ridan-to'g'ri fan bilimlaridan tashqari, u informatika sohasidagi amaliy ko'nikmalarini kengaytirdi, psixologiya sohasida yangi bilim va tajribaga ega bo'ldi, sinfdoshlar bilan aloqalarni o'rnatdi va kattalar bilan hamkorlik qilishni o'rgandi. Loyiha faoliyati davomida tashkiliy, intellektual va kommunikativ umumiy ta'lim ko'nikmalari va qobiliyatlari rivojlantirildi.
Adabiyot
1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. Bir o'zgaruvchili tengsizliklar tizimlari (C3 tipik vazifalari).
2. Malkova AG Matematikadan imtihonga tayyorgarlik.
3. Samarova SS logarifmik tengsizliklarni yechish.
4. Matematika. A.L. tahrir etgan o'quv ishlari to'plami. Semyonov va I.V. Yashchenko. -M .: MTsNMO, 2009 .-- 72 p. -
Bo'limlar: Matematika
Ko'pincha, logarifmik tengsizliklarni echishda, logaritmning o'zgaruvchan bazasi bilan bog'liq muammolarga duch keladilar. Shunday qilib, shaklning tengsizligi
standart maktab tengsizligi. Qoida tariqasida, uni hal qilish uchun ekvivalent tizimlar to'plamiga o'tish qo'llaniladi:
Ushbu usulning kamchiliklari ikkita tizimni va bitta to'plamni hisobga olmaganda, yetti tengsizlikni hal qilish zarurati. Berilgan kvadratik funktsiyalar yordamida to'plamni echish ko'p vaqt talab qilishi mumkin.
Ushbu standart tengsizlikni echishning muqobil, kam mehnat talab qiladigan usuli taklif qilinishi mumkin. Buning uchun biz quyidagi teoremani hisobga olamiz.
1-teorema. X to'plamda doimiy ravishda ko'payadigan funktsiya bo'lsin. Keyin ushbu to'plamda funktsiya o'sishining belgisi argumentning oshish belgisi bilan mos keladi, ya'ni. qayerda 
.
Eslatma: agar X to'plamdagi doimiy pasayish funktsiyasi bo'lsa, u holda
Keling, tengsizlikka qaytaylik. Keling, o'nlik logarifmga o'tamiz (siz doimiy bazadan kattaroq har qanday narsaga o'tishingiz mumkin).
Endi siz hisoblagichda funktsiyalarning ko'payishini ta'kidlab teoremadan foydalanishingiz mumkin 
va maxrajda. Shunday qilib, u haqiqatdir
Natijada, javobga olib keladigan hisoblar soni taxminan ikki baravar kamayadi, bu nafaqat vaqtni tejash bilan birga, kamroq arifmetik va "beparvo" xatolarni amalga oshirishga imkon beradi.
1-misol.
(1) ni taqqoslab topamiz 
, 
, .
(2) ga o'tishda biz quyidagilarga ega bo'lamiz:
2-misol.
(1) bilan taqqoslasak, ,,.
(2) ga o'tishda biz quyidagilarga ega bo'lamiz:
3-misol.
Tengsizlikning chap tomoni va uchun tobora ortib boruvchi funktsiya hisoblanadi 
, keyin javob belgilanadi.
Agar Teorem 2 hisobga olinsa, 1-teoremani qo'llash mumkin bo'lgan misollar to'plami osonlikcha kengaytirilishi mumkin.
Setda bo'lsin X funktsiyalari ,, va shu qatorda belgilar va mos keladi, ya'ni. , keyin adolatli bo'ladi.
4-misol.
5-misol.
Standart yondashuv bilan, misol sxema bo'yicha hal qilinadi: omillar turli xil belgilarga ega bo'lganda, mahsulot noldan past bo'ladi. Bular tengsizlikning ikkita tizimining to'plami ko'rib chiqiladi, unda boshida aytib o'tilganidek, har bir tengsizlik yetti qismga bo'linadi.
Agar 2-teoremani hisobga olsak, (2) ni hisobga olgan holda har bir omilni O.D.Z misolida xuddi shunday belgiga ega bo'lgan boshqa funktsiya bilan almashtirish mumkin.
2-teoremani hisobga olgan holda, funktsiyaning o'sishini argumentning ko'payishi bilan almashtirish usuli imtihon C3 tipik muammolarini hal qilishda juda qulay bo'lib chiqadi.
6-misol.
7-misol.
... Keling, belgilaymiz. Biz olamiz
... O'zgartirish quyidagilarni nazarda tutishini unutmang:. Tenglamaga qaytib, biz olamiz
.
8-misol.
Biz foydalanadigan teoremalarda funktsiyalar sinfi bo'yicha cheklovlar yo'q. Masalan, ushbu maqolada teoremalar logarifmik tengsizliklarni echishda qo'llanilgan. Keyingi bir nechta misollar boshqa turdagi tengsizliklarni hal qilish usulining va'dasini namoyish etadi.
Maqolada 2017 yil uchun matematikadan USE profilidan olingan 15 ta vazifani tahlil qilishga bag'ishlangan. Ushbu topshiriqda o'quvchilarga tengsizliklarni, ko'pincha logarifmiklarni echish taklif etiladi. Garchi indikativ bo'lishi mumkin. Ushbu maqolada logaritmik tengsizliklarga oid misollar, shu jumladan logaritm asosidagi o'zgaruvchini o'z ichiga olgan misollar tahlil qilinadi. Barcha misollar USE-ning ochiq matematikadan matematikadan (profildan) olingan topshiriqlaridan olingan, shuning uchun bunday tengsizlik siz bilan 15-topshiriq sifatida imtihonda uchrashishi mumkin. Qisqa vaqt ichida USE profilining ikkinchi qismidan 15-vazifani qanday hal qilishni o'rganmoqchi bo'lganlar uchun juda mos keladi. imtihonda ko'proq ball olish uchun matematikadan.
Matematikadan profil imtihonidan 15 ta vazifani tahlil qilish
| 1-misol. Tengsizlikni yeching: |
Matematikadan (profil) 15-imtihonning vazifalarida ko'pincha logaritmik tengsizliklarga duch kelinadi. Logarifmik tengsizliklarni echish qabul qilinadigan qiymatlar oralig'ini aniqlashdan boshlanadi. Bunday holda, ikkala logarifmning bazasida hech qanday o'zgaruvchi yo'q, faqat 11 raqami mavjud, bu vazifani ancha soddalashtiradi. Shunday qilib, bizda yagona cheklash shundaki, logarifm belgisi ostidagi ikkala iboralar ham ijobiydir:
Sarlavha \u003d "(! LANG: QuickLaTeX.com tomonidan taqdim etilgan">!}
Tizimdagi birinchi tengsizlik kvadrat tengsizligi. Buni hal qilish uchun biz chap tomonni omillar ta'siriga duchor qilmasligimiz kerak. Menimcha, siz har qanday kvadrat trinomialni bilasiz 
quyidagicha omillanadi:
bu tenglamaning ildizlari qayerda va qandaydir. Bunday holda, koeffitsient 1 ga teng (bu oldidagi raqamli koeffitsient). Bu koeffitsient 1 ga teng, koeffitsient esa kesishuvdir, u -20. Trinomialning ildizlari Vetnam teoremasi bilan eng oson aniqlanadi. Biz bergan tenglama, keyin ildizlarning yig'indisi qarama-qarshi belgi bilan koeffitsientga, ya'ni -1 ga teng bo'ladi va bu ildizlarning mahsuloti koeffitsientga, ya'ni -20 ga teng bo'ladi. Ildizlar -5 va 4 bo'ladi, deb taxmin qilish oson.
Endi tengsizlikning chap tomoni omilga aylanishi mumkin: nom \u003d "(! LANG: QuickLaTeX.com tomonidan taqdim etilgan)" height="20" width="163" style="vertical-align: -5px;"> Решаем это неравенство. График соответствующей функции — это парабола, ветви которой направлены вверх. Эта парабола пересекает ось !} X -5 va 4. nuqtalarda Demak, tengsizlikni istalgan yechimi - bu vaqt oralig'i. Bu erda nima yozilganini tushunmaydiganlar uchun ushbu daqiqadan boshlab videodagi tafsilotlarni ko'rishingiz mumkin. U erda siz tizimning ikkinchi tengsizligi qanday hal qilinishi haqida batafsil tushuntirish topasiz. Bu hal qilinmoqda. Bundan tashqari, javob tizimning birinchi tengsizligi bilan bir xil. Ya'ni, yuqorida yozilgan to'siq tengliklarning qabul qilingan qiymatlari mintaqasi.
Demak, faktorizatsiyani hisobga olgan holda asl tengsizlik quyidagi shaklni oladi:
Formuladan foydalanib, 11ni birinchi logarifm belgisi ostida ifoda kuchiga keltiramiz va ikkinchi logarifmani o'z belgisini teskari tomonga o'zgartirib, tengsizlikning chap tomoniga o'tkazamiz:
Kamaytirilgandan so'ng biz quyidagilarni olamiz:
Funktsiyaning kuchayishi sababli oxirgi tengsizlik tengsizlikka tengdir 
, uning yechimi intervaldir 
... U tengsizlikning yo'l qo'yiladigan qiymatlari diapazoni bilan kesishishda qoladi va bu butun vazifaga javob bo'ladi.
Shunday qilib, vazifaga kerakli javob:
Biz bu vazifani aniqladik, endi matematikadan (profil) 15 USE vazifasining keyingi misoliga o'tamiz.
| 2-misol. Tengsizlikni yeching:
|
Biz ushbu tengsizlikning yo'l qo'yiladigan qiymatlari diapazonini aniqlash bilan echishni boshlaymiz. Har bir logarifm asosida 1 ga teng bo'lmagan musbat son bo'lishi kerak. Logarifm belgisi ostidagi barcha iboralar ijobiy bo'lishi kerak. Fraksiya belgisida nol bo'lmasligi kerak. Oxirgi shart shunga o'xshashdir, chunki aks holda denominatorda ikkala logarifm ham yo'qoladi. Bularning barchasi ushbu tengsizlikning yo'l qo'yiladigan qiymatlari oralig'ini belgilaydi, bu quyidagi tengsizliklar tizimi bilan belgilanadi:
Sarlavha \u003d "(! LANG: QuickLaTeX.com tomonidan taqdim etilgan">!}
To'g'ri qiymatlar oralig'ida tengsizlikning chap tomonini soddalashtirish uchun logarifmni o'zgartirish formulalaridan foydalanishimiz mumkin. Formuladan foydalanish 
denominatordan qutulish:
Endi bizda faqat asosiy logarifmlar mavjud. Bu allaqachon qulayroq. Keyinchalik, formulani va shuningdek, formulani sharafga loyiq ifodani quyidagi shaklga keltirish uchun ishlatamiz:
Hisob-kitoblarda biz maqbul qiymatlar oralig'ida bo'lgan narsalarni ishlatdik. O'zgartirishdan foydalanib, biz quyidagi iboraga kelamiz:
Biz yana bitta almashtirishni ishlatamiz:. Natijada, biz quyidagi natijaga kelamiz:
Shunday qilib, biz asta-sekin dastlabki parametrlarga qaytamiz. Avval o'zgaruvchiga:
