Ehtimollar nazariyasi formulalari va masalani yechish misollari. Dasturchilar uchun matematika: ehtimollar nazariyasi Ehtimollar nazariyasida p a nima

“Baxtsiz hodisalar tasodifiy emas”... Bu faylasuf aytgan gapga o‘xshaydi, lekin aslida tasodifiylikni o‘rganish buyuk matematika fanining taqdiridir. Matematikada tasodif ehtimollar nazariyasi bilan shug'ullanadi. Maqolada formulalar va vazifalar misollari, shuningdek, ushbu fanning asosiy ta'riflari keltirilgan.

Ehtimollar nazariyasi nima?

Ehtimollar nazariyasi tasodifiy hodisalarni o'rganadigan matematik fanlardan biridir.

Buni biroz tushunarli qilish uchun kichik bir misol keltiraylik: agar siz tanga tashlasangiz, u bosh yoki dumga tushishi mumkin. Tanga havoda bo'lsa-da, bu ikkala ehtimollik ham mumkin. Ya'ni, yuzaga kelishi mumkin bo'lgan oqibatlarning ehtimoli 1: 1. Agar bitta karta 36 ta kartadan olingan bo'lsa, ehtimollik 1:36 sifatida ko'rsatiladi. Bu erda, ayniqsa, matematik formulalar yordamida o'rganish va bashorat qilish uchun hech narsa yo'qdek tuyuladi. Biroq, agar siz ma'lum bir harakatni ko'p marta takrorlasangiz, siz ma'lum bir naqshni aniqlay olasiz va unga asoslanib, boshqa sharoitlarda hodisalarning natijasini taxmin qilishingiz mumkin.

Yuqorida aytilganlarning barchasini umumlashtirish uchun, ehtimollik nazariyasi klassik ma'noda mumkin bo'lgan hodisalardan birining soni qiymatda sodir bo'lish imkoniyatini o'rganadi.

Tarix sahifalaridan

Ehtimollar nazariyasi, formulalar va birinchi vazifalarning misollari uzoq o'rta asrlarda, birinchi marta karta o'yinlarining natijalarini bashorat qilishga urinishlar paydo bo'lganida paydo bo'lgan.

Dastlab, ehtimollar nazariyasi matematikaga hech qanday aloqasi yo'q edi. Bu amalda takrorlanishi mumkin bo'lgan hodisaning empirik faktlari yoki xususiyatlari bilan oqlandi. Matematik fan sifatida bu sohadagi birinchi ishlar 17-asrda paydo boʻlgan. Ta'sischilar Blez Paskal va Per Ferma edi. Ular uzoq vaqt qimor o'ynashni o'rganishdi va ma'lum naqshlarni ko'rishdi, ular haqida jamoatchilikka aytib berishga qaror qilishdi.

Xuddi shu texnikani Kristian Gyuygens ixtiro qilgan, garchi u Paskal va Fermatning tadqiqotlari natijalari bilan tanish bo'lmasa ham. U tomonidan fan tarixida birinchi sanalgan “ehtimollar nazariyasi” tushunchasi, formulalar va misollar kiritilgan.

Yakob Bernulli, Laplas va Puasson teoremalarining ishlari ham kam ahamiyatga ega emas. Ular ehtimollik nazariyasini ko'proq matematik intizomga o'xshatishdi. Ehtimollar nazariyasi, formulalar va asosiy vazifalarning misollari Kolmogorov aksiomalari tufayli hozirgi shaklini oldi. Barcha o'zgarishlar natijasida ehtimollar nazariyasi matematika sohalaridan biriga aylandi.

Ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchalari. Voqealar

Ushbu fanning asosiy tushunchasi "hodisa" dir. Hodisalarning uch turi mavjud:

• Ishonchli. Baribir sodir bo'ladiganlar (tanga tushadi).
• Mumkin emas. Hech qanday sharoitda sodir bo'lmaydigan voqealar (tanga havoda osilgan holda qoladi).
• Tasodifiy. Bo'ladigan yoki sodir bo'lmaydiganlar. Ularga bashorat qilish juda qiyin bo'lgan turli omillar ta'sir qilishi mumkin. Agar tanga haqida gapiradigan bo'lsak, unda natijaga ta'sir qilishi mumkin bo'lgan tasodifiy omillar mavjud: tanganing jismoniy xususiyatlari, shakli, asl holati, otish kuchi va boshqalar.

Misollardagi barcha hodisalar katta lotin harflari bilan ko'rsatilgan, boshqa rolga ega bo'lgan P dan tashqari. Masalan:

• A = "talabalar ma'ruza qilish uchun kelishdi."
• Ā = "talabalar ma'ruzaga kelishmadi."

Amaliy topshiriqlarda voqealar odatda so'z bilan yoziladi.

Hodisalarning eng muhim xususiyatlaridan biri ularning teng imkoniyatidir. Ya'ni, agar siz tanga tashlasangiz, u tushgunga qadar dastlabki tushishning barcha variantlari mumkin. Ammo voqealar ham bir xil darajada mumkin emas. Bu, kimdir biror natijaga ataylab ta'sir qilganda sodir bo'ladi. Masalan, "belgilangan" o'yin kartalari yoki zarlar, unda tortishish markazi siljiydi.

Voqealar ham mos va mos kelmaydigan bo'lishi mumkin. Mos keladigan hodisalar bir-birining sodir bo'lishini istisno qilmaydi. Masalan:

• A = "talaba ma'ruzaga keldi".
• B = "talaba ma'ruzaga keldi".

Bu hodisalar bir-biridan mustaqil bo'lib, ulardan birining sodir bo'lishi ikkinchisining paydo bo'lishiga ta'sir qilmaydi. Mos kelmaydigan hodisalar birining sodir bo'lishi boshqasining sodir bo'lishini istisno qilishi bilan belgilanadi. Agar biz bir xil tanga haqida gapiradigan bo'lsak, unda "dumlar" ning yo'qolishi bir xil tajribada "boshlar" paydo bo'lishini imkonsiz qiladi.

Voqealar bo'yicha harakatlar

Hodisalarni ko'paytirish va qo'shish mumkin, shunga mos ravishda fanga mantiqiy bog'lovchilar "VA" va "YOKI" kiritiladi.

Miqdor A yoki B hodisasi yoki ikkitasi bir vaqtning o'zida sodir bo'lishi mumkinligi bilan belgilanadi. Agar ular bir-biriga mos kelmasa, oxirgi variantni amalga oshirish mumkin emas, A yoki B o'raladi.

Hodisalarning ko'payishi bir vaqtning o'zida A va B ning paydo bo'lishidan iborat.

Endi biz asoslarni, ehtimollik nazariyasini va formulalarni yaxshiroq eslab qolish uchun bir nechta misollar keltirishimiz mumkin. Quyida muammolarni hal qilish misollari.

1-mashq: Kompaniya uch turdagi ishlar bo'yicha shartnomalar olish uchun tanlovda ishtirok etadi. Bo'lishi mumkin bo'lgan hodisalar:

• A = "firma birinchi shartnomani oladi."
• A 1 = "firma birinchi shartnomani olmaydi."
• B = "firma ikkinchi shartnomani oladi."
• B 1 = "firma ikkinchi shartnomani olmaydi"
• C = "firma uchinchi shartnomani oladi."
• C 1 = "firma uchinchi shartnomani olmaydi."

Voqealar bo'yicha harakatlardan foydalanib, biz quyidagi vaziyatlarni ifodalashga harakat qilamiz:

• K = "kompaniya barcha shartnomalarni oladi."

Matematik shaklda tenglama quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi: K = ABC.

• M = "kompaniya bitta shartnoma olmaydi."

M = A 1 B 1 C 1.

Vazifani murakkablashtiramiz: H = "kompaniya bitta shartnoma oladi." Kompaniya qaysi shartnomani (birinchi, ikkinchi yoki uchinchi) olishi noma'lum bo'lganligi sababli, yuzaga kelishi mumkin bo'lgan barcha hodisalarni qayd etish kerak:

H = A 1 BC 1 y AB 1 C 1 y A 1 B 1 C.

Va 1 BC 1 - firma birinchi va uchinchi shartnomani olmaydigan, lekin ikkinchisini oladigan voqealar seriyasidir. Boshqa mumkin bo'lgan hodisalar tegishli usul yordamida qayd etilgan. Intizomdagi y belgisi “YOKI” bog‘lovchisini bildiradi. Yuqoridagi misolni inson tiliga tarjima qiladigan bo'lsak, kompaniya yoki uchinchi shartnomani oladi, yoki ikkinchi yoki birinchi. Xuddi shunday, siz "Ehtimollik nazariyasi" fanida boshqa shartlarni yozishingiz mumkin. Yuqorida keltirilgan formulalar va muammolarni hal qilish misollari buni o'zingiz qilishingizga yordam beradi.

Aslida, ehtimollik

Ehtimol, ushbu matematik intizomda hodisaning ehtimolligi markaziy tushunchadir. Ehtimollikning 3 ta ta'rifi mavjud:

• klassik;
• statistik;
• geometrik.

Har birining ehtimolini o'rganishda o'z o'rni bor. Ehtimollar nazariyasi, formulalar va misollar (9-sinf) asosan klassik ta'rifdan foydalanadi, bu quyidagicha eshitiladi:

• A vaziyatining ehtimoli uning yuzaga kelishiga yordam beradigan natijalar sonining barcha mumkin bo'lgan natijalar soniga nisbatiga teng.

Formula quyidagicha ko'rinadi: P(A)=m/n.

A aslida hodisadir. Agar A ga qarama-qarshi holat paydo bo'lsa, uni Ā yoki A 1 shaklida yozish mumkin.

m - mumkin bo'lgan qulay holatlar soni.

n - sodir bo'lishi mumkin bo'lgan barcha hodisalar.

Masalan, A = "yurak kostyumining kartasini chizish." Standart kartada 36 ta karta mavjud, ulardan 9 tasi yurak. Shunga ko'ra, muammoni hal qilish formulasi quyidagicha ko'rinadi:

P(A)=9/36=0,25.

Natijada, palubadan yurak kostyumining kartasini olish ehtimoli 0,25 ga teng bo'ladi.

Oliy matematikaga

Endi ehtimollik nazariyasi nima ekanligi, formulalar va maktab o'quv dasturida uchraydigan muammolarni echish misollari biroz ma'lum bo'ldi. Biroq, ehtimollar nazariyasi universitetlarda o'qitiladigan oliy matematikada ham mavjud. Ko'pincha ular nazariyaning geometrik va statistik ta'riflari va murakkab formulalar bilan ishlaydi.

Ehtimollar nazariyasi juda qiziq. Formulalar va misollarni (yuqori matematika) kichikdan - ehtimollikning statistik (yoki chastotali) ta'rifi bilan o'rganishni boshlash yaxshiroqdir.

Statistik yondashuv klassikaga zid emas, balki uni biroz kengaytiradi. Agar birinchi holatda hodisaning qanday ehtimollik bilan sodir bo'lishini aniqlash kerak bo'lsa, unda bu usulda uning qanchalik tez-tez sodir bo'lishini ko'rsatish kerak. Bu erda W n (A) bilan belgilanishi mumkin bo'lgan "nisbiy chastota" ning yangi tushunchasi kiritiladi. Formula klassikdan farq qilmaydi:

Agar bashorat qilish uchun klassik formula hisoblansa, statistik formula tajriba natijalariga ko'ra hisoblanadi. Masalan, kichik bir vazifani olaylik.

Texnologik nazorat bo'limi mahsulot sifatini tekshiradi. 100 ta mahsulot orasida 3 tasi sifatsiz deb topildi. Sifatli mahsulotning chastota ehtimolini qanday topish mumkin?

A = "sifatli mahsulotning ko'rinishi".

W n (A)=97/100=0,97

Shunday qilib, sifatli mahsulotning chastotasi 0,97 ni tashkil qiladi. 97 ni qayerdan oldingiz? Tekshirilgan 100 ta mahsulotdan 3 tasi sifatsizligi aniqlangan. Biz 100 dan 3 ni ayirib, 97 ni olamiz, bu sifatli tovarlar miqdori.

Kombinatorika haqida bir oz

Ehtimollar nazariyasining yana bir usuli kombinatorika deb ataladi. Uning asosiy printsipi shundan iboratki, agar ma'lum bir A tanlovi m xil yo'l bilan amalga oshirilishi mumkin bo'lsa va B tanlovi n xil usulda amalga oshirilishi mumkin bo'lsa, u holda A va B ni tanlash ko'paytirish orqali amalga oshirilishi mumkin.

Masalan, A shahridan B shahriga olib boruvchi 5 ta yo‘l bor. B shahridan C shahriga 4 ta yo'l bor. A shahridan C shahriga necha xil usulda borish mumkin?

Hammasi oddiy: 5x4=20, ya'ni yigirma xil usulda A nuqtadan C nuqtaga o'tish mumkin.

Keling, vazifani murakkablashtiramiz. Solitaireda kartalarni joylashtirishning nechta usuli bor? Kemada 36 ta karta bor - bu boshlang'ich nuqta. Yo'llar sonini bilish uchun siz boshlang'ich nuqtadan bir vaqtning o'zida bitta kartani "ayirish" va ko'paytirishingiz kerak.

Ya'ni, 36x35x34x33x32...x2x1= natija kalkulyator ekraniga to'g'ri kelmaydi, shuning uchun uni oddiygina 36 deb belgilash mumkin!. Belgisi "!" raqamning yonida raqamlarning butun qatori bir-biriga ko'paytirilishini bildiradi.

Kombinatorikada almashtirish, joylashtirish va kombinatsiya kabi tushunchalar mavjud. Ularning har biri o'z formulasiga ega.

To'plam elementlarining tartiblangan to'plami tartibga solish deyiladi. Joylashuvlar takrorlanishi mumkin, ya'ni bitta element bir necha marta ishlatilishi mumkin. Va takrorlanmasdan, elementlar takrorlanmasa. n - barcha elementlar, m - joylashtirishda ishtirok etadigan elementlar. Takrorlanmasdan joylashtirish formulasi quyidagicha ko'rinadi:

A n m =n!/(n-m)!

Faqat joylashtirish tartibida farq qiluvchi n ta elementning ulanishlari almashtirishlar deyiladi. Matematikada shunday ko'rinadi: P n = n!

m ning n ta elementining birikmalari - ular qanday elementlar bo'lganligi va ularning umumiy soni qancha ekanligi muhim bo'lgan birikmalar. Formula quyidagicha ko'rinadi:

A n m =n!/m!(n-m)!

Bernulli formulasi

Har bir fanda bo'lgani kabi ehtimollar nazariyasida ham o'z sohalarida uni yangi bosqichga olib chiqqan taniqli tadqiqotchilarning ishlari mavjud. Ushbu ishlardan biri Bernulli formulasi bo'lib, u mustaqil sharoitda ma'lum bir hodisaning yuzaga kelish ehtimolini aniqlash imkonini beradi. Bu shuni ko'rsatadiki, tajribada A ning paydo bo'lishi xuddi shu hodisaning oldingi yoki keyingi sinovlarda sodir bo'lishi yoki ro'y bermasligiga bog'liq emas.

Bernulli tenglamasi:

P n (m) = C n m ×p m ×q n-m.

Hodisa (A) sodir bo'lish ehtimoli (p) har bir sinov uchun doimiydir. n ta tajribada vaziyatning aynan m marta sodir bo'lish ehtimoli yuqorida keltirilgan formula bo'yicha hisoblanadi. Shunga ko'ra, q sonini qanday topish mumkinligi haqida savol tug'iladi.

Agar A hodisasi p marta sodir bo'lsa, shunga ko'ra, u sodir bo'lmasligi mumkin. Birlik - bu fandagi vaziyatning barcha natijalarini belgilash uchun ishlatiladigan raqam. Demak, q hodisa sodir bo'lmasligi ehtimolini bildiruvchi sondir.

Endi siz Bernulli formulasini bilasiz (ehtimollar nazariyasi). Biz quyida muammolarni yechish (birinchi daraja) misollarini ko'rib chiqamiz.

2-topshiriq: Do'konga tashrif buyuruvchi 0,2 ehtimollik bilan xarid qiladi. Do'konga 6 nafar tashrif buyuruvchi mustaqil ravishda kirdi. Mehmonning xarid qilish ehtimoli qanday?

Yechim: Qancha tashrif buyuruvchi sotib olishi kerakligi noma'lum bo'lgani uchun, bitta yoki oltitasi, Bernoulli formulasi yordamida barcha mumkin bo'lgan ehtimolliklarni hisoblash kerak.

A = "tashrif buyuruvchi xarid qiladi."

Bunday holda: p = 0,2 (topshiriqda ko'rsatilganidek). Shunga ko'ra, q=1-0,2 = 0,8.

n = 6 (chunki do'konda 6 ta mijoz bor). m raqami 0 dan (birorta ham xaridor xarid qilmaydi) 6 gacha (do'konga tashrif buyurgan barcha mehmonlar biror narsa sotib oladi) o'zgaradi. Natijada biz yechimni olamiz:

P 6 (0) = C 0 6 ×p 0 ×q 6 =q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Xaridorlarning hech biri 0,2621 ehtimollik bilan xarid qilmaydi.

Bernulli formulasidan (ehtimollar nazariyasi) yana qanday foydalaniladi? Quyida muammolarni hal qilish misollari (ikkinchi daraja).

Yuqoridagi misoldan keyin C va r qaerga ketganligi haqida savollar tug'iladi. p ga nisbatan 0 ning kuchiga teng bo'lgan son birga teng bo'ladi. C ga kelsak, uni quyidagi formula bo'yicha topish mumkin:

C n m = n! /m!(n-m)!

Birinchi misolda m = 0, mos ravishda C = 1 bo'lgani uchun, bu printsipial jihatdan natijaga ta'sir qilmaydi. Yangi formuladan foydalanib, keling, ikkita tashrif buyuruvchining tovarlarni sotib olish ehtimoli qanday ekanligini aniqlashga harakat qilaylik.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Ehtimollar nazariyasi unchalik murakkab emas. Yuqorida misollari keltirilgan Bernulli formulasi buning bevosita dalilidir.

Puasson formulasi

Puasson tenglamasi past ehtimolli tasodifiy vaziyatlarni hisoblash uchun ishlatiladi.

Asosiy formula:

P n (m)=l m /m! × e (-l) .

Bu holda l = n x p. Mana oddiy Puasson formulasi (ehtimollar nazariyasi). Biz quyida muammolarni hal qilish misollarini ko'rib chiqamiz.

Vazifa 3: Zavod 100 000 ta detal ishlab chiqardi. Buzuq qismning paydo bo'lishi = 0,0001. Partiyada 5 ta nuqsonli qism bo‘lish ehtimoli qanday?

Ko'rib turganingizdek, nikoh ehtimol bo'lmagan hodisadir va shuning uchun hisoblash uchun Puasson formulasi (ehtimollar nazariyasi) qo'llaniladi. Ushbu turdagi muammolarni hal qilish misollari fanning boshqa vazifalaridan farq qilmaydi, biz kerakli ma'lumotlarni berilgan formulaga almashtiramiz:

A = "tasodifiy tanlangan qism nuqsonli bo'ladi."

p = 0,0001 (vazifa shartlariga muvofiq).

n = 100000 (qismlar soni).

m = 5 (nuqsonli qismlar). Biz ma'lumotlarni formulaga almashtiramiz va quyidagilarni olamiz:

R 100000 (5) = 10 5/5! X e -10 = 0,0375.

Xuddi Bernulli formulasi (ehtimollar nazariyasi), yuqorida yozilgan yechimlar misollari kabi, Puasson tenglamasi noma'lum e ga ega.Aslida uni quyidagi formula bilan topish mumkin:

e -l = lim n ->∞ (1-l/n) n .

Biroq, e ning deyarli barcha qiymatlarini o'z ichiga olgan maxsus jadvallar mavjud.

De Moivr-Laplas teoremasi

Agar Bernulli sxemasida sinovlar soni yetarlicha ko‘p bo‘lsa va barcha sxemalarda A hodisasining ro‘y berish ehtimoli bir xil bo‘lsa, u holda bir qator sinovlarda A hodisasining ma’lum bir necha marta sodir bo‘lish ehtimoli quyidagicha topiladi: Laplas formulasi:

R n (m)= 1/√npq x s(X m).

X m = m-np/√npq.

Laplas formulasini (ehtimollar nazariyasini) yaxshiroq eslab qolish uchun quyidagi muammolar misollari yordam beradi.

Birinchidan, X m ni topamiz, ma'lumotlarni (ularning barchasi yuqorida sanab o'tilgan) formulaga almashtiramiz va 0,025 ni olamiz. Jadvallardan foydalanib, s(0,025) raqamini topamiz, uning qiymati 0,3988. Endi siz barcha ma'lumotlarni formulaga almashtirishingiz mumkin:

P 800 (267) = 1/√ (800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Shunday qilib, flyerning aniq 267 marta ishlashi ehtimoli 0,03 ga teng.

Bayes formulasi

Bayes formulasi (ehtimollar nazariyasi), uning yordamida muammolarni hal qilish misollari quyida keltiriladi, u bilan bog'liq bo'lishi mumkin bo'lgan holatlarga asoslangan hodisaning ehtimolini tavsiflovchi tenglama. Asosiy formula quyidagicha:

P (A | B) = P (B | A) x P (A) / P (B).

A va B aniq hodisalardir.

P(A|B) - shartli ehtimol, ya'ni B hodisa rost bo'lgan taqdirda A hodisa sodir bo'lishi mumkin.

P (B|A) - B hodisasining shartli ehtimoli.

Shunday qilib, "Ehtimollar nazariyasi" qisqa kursining yakuniy qismi Bayes formulasi bo'lib, quyida muammolarni hal qilish misollari keltirilgan.

Vazifa 5: Omborga uchta kompaniyaning telefonlari keltirildi. Shu bilan birga, birinchi zavodda ishlab chiqarilgan telefonlar ulushi 25 foizni, ikkinchisida 60 foizni, uchinchisida 15 foizni tashkil etadi. Bundan tashqari, birinchi zavodda nuqsonli mahsulotlarning o'rtacha ulushi 2%, ikkinchisida - 4%, uchinchisida - 1% ni tashkil etishi ma'lum. Tasodifiy tanlangan telefonning nuqsonli bo'lish ehtimolini topishingiz kerak.

A = "tasodifiy tanlangan telefon".

B 1 - birinchi zavod ishlab chiqargan telefon. Shunga ko'ra, kirish B 2 va B 3 paydo bo'ladi (ikkinchi va uchinchi zavodlar uchun).

Natijada biz quyidagilarni olamiz:

P (B 1) = 25%/100% = 0,25; P(B 2) = 0,6; P (B 3) = 0,15 - shuning uchun biz har bir variantning ehtimolini topdik.

Endi siz istalgan hodisaning shartli ehtimolini, ya'ni kompaniyalarda nuqsonli mahsulotlarning paydo bo'lish ehtimolini topishingiz kerak:

P (A/B 1) = 2%/100% = 0,02;

P(A/B 2) = 0,04;

P (A/B 3) = 0,01.

Keling, ma'lumotlarni Bayes formulasiga almashtiramiz va quyidagilarni olamiz:

P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 = 0,0305.

Maqolada ehtimollik nazariyasi, formulalar va muammolarni hal qilish misollari keltirilgan, ammo bu keng fanning aysbergining faqat uchi. Yozilgan hamma narsadan so'ng, ehtimollik nazariyasi hayotda kerakmi, degan savolni berish mantiqan to'g'ri keladi. Oddiy odamga javob berish qiyin, uni ishlatgan odamdan bir necha marta jekpot yutishini so'rash yaxshidir.

Matematika kursi maktab o'quvchilari uchun juda ko'p kutilmagan hodisalar tayyorlaydi, ulardan biri ehtimollar nazariyasi muammosi. Talabalar deyarli yuz foiz hollarda bunday vazifalarni hal qilishda muammolarga duch kelishadi. Ushbu masalani tushunish va tushunish uchun siz asosiy qoidalarni, aksiomalarni va ta'riflarni bilishingiz kerak. Kitobdagi matnni tushunish uchun siz barcha qisqartmalarni bilishingiz kerak. Bularning barchasini o'rganishni taklif qilamiz.

Fan va uning qo'llanilishi

Biz "qo'g'irchoqlar uchun ehtimollik nazariyasi" bo'yicha kursni taklif qilayotganimiz sababli, avvalo, asosiy tushunchalar va harf qisqartmalarini tanishtirishimiz kerak. Boshlash uchun keling, "ehtimollik nazariyasi" tushunchasini aniqlaylik. Bu qanday fan va u nima uchun kerak? Ehtimollar nazariyasi matematikaning tasodifiy hodisalar va miqdorlarni o'rganadigan bo'limlaridan biridir. U shuningdek, ushbu tasodifiy o'zgaruvchilar bilan bajariladigan naqshlar, xususiyatlar va operatsiyalarni ko'rib chiqadi. Bu nima uchun? Tabiat hodisalarini o'rganishda fan keng tarqaldi. Har qanday tabiiy va jismoniy jarayonlar tasodifsiz amalga oshirilmaydi. Natijalar tajriba davomida iloji boricha aniq qayd etilgan bo'lsa ham, agar bir xil test takrorlansa, natija bir xil bo'lmasligi mumkin.

Biz, albatta, vazifalar misollarini ko'rib chiqamiz, buni o'zingiz ko'rishingiz mumkin. Natija ko'plab turli omillarga bog'liq bo'lib, ularni hisobga olish yoki ro'yxatdan o'tkazish deyarli mumkin emas, ammo shunga qaramay ular eksperiment natijalariga katta ta'sir ko'rsatadi. Yorqin misollar orasida sayyoralarning traektoriyasini aniqlash yoki ob-havo prognozini aniqlash, ishga sayohat paytida tanish odam bilan uchrashish ehtimoli va sportchining sakrash balandligini aniqlash vazifasi kiradi. Ehtimollar nazariyasi ham birjalardagi brokerlarga katta yordam beradi. Ehtimollar nazariyasidagi muammo, ilgari ko'p muammolarga duch kelgan, quyida keltirilgan uch yoki to'rtta misoldan keyin siz uchun oddiygina bo'lib qoladi.

Voqealar

Yuqorida aytib o'tilganidek, fan voqealarni o'rganadi. Ehtimollar nazariyasi, biz biroz keyinroq muammolarni hal qilish misollarini ko'rib chiqamiz, faqat bitta turdagi - tasodifiy o'rganamiz. Ammo shunga qaramay, voqealar uch xil bo'lishi mumkinligini bilishingiz kerak:

• Mumkin emas.
• Ishonchli.
• Tasodifiy.

Biz ularning har birini biroz muhokama qilishni taklif qilamiz. Mumkin bo'lmagan voqea hech qachon, hech qanday sharoitda bo'lmaydi. Misollar: suvni noldan yuqori haroratda muzlatish, to'plar qopidan kubni tortib olish.

Ishonchli hodisa har doim 100% kafolat bilan sodir bo'ladi, agar barcha shartlar bajarilsa. Masalan: siz bajargan ish uchun maosh oldingiz, agar siz vijdonan o'qigan bo'lsangiz, imtihonlarni topshirsangiz va diplomingizni himoya qilgan bo'lsangiz, oliy kasbiy ma'lumot diplomiga ega bo'ldingiz va hokazo.

Hammasi biroz murakkabroq: eksperiment davomida bu sodir bo'lishi mumkin yoki bo'lmasligi mumkin, masalan, uchta urinishdan ko'p bo'lmagandan so'ng kartochkadan eysni tortib olish. Natijani birinchi urinishda olishingiz mumkin yoki umuman yo'q. Bu fan o'rganadigan hodisaning yuzaga kelish ehtimoli.

Ehtimollik

Bu, umumiy ma'noda, voqea sodir bo'lgan tajribaning muvaffaqiyatli natijasi ehtimolini baholashdir. Ehtimollik sifat darajasida baholanadi, ayniqsa miqdoriy baholash imkonsiz yoki qiyin bo'lsa. Ehtimollar nazariyasidagi muammo yechim bilan yoki aniqrog'i taxmin bilan muvaffaqiyatli natijaning mumkin bo'lgan ulushini topishni o'z ichiga oladi. Matematikada ehtimollik hodisaning sonli xarakteristikasidir. U noldan birgacha bo'lgan qiymatlarni oladi, P harfi bilan belgilanadi. Agar P nolga teng bo'lsa, voqea sodir bo'lmaydi, agar u bitta bo'lsa, hodisa yuz foiz ehtimollik bilan sodir bo'ladi. P qanchalik ko'p yaqinlashsa, muvaffaqiyatli natija ehtimoli shunchalik kuchli bo'ladi va aksincha, agar u nolga yaqin bo'lsa, unda hodisa past ehtimollik bilan sodir bo'ladi.

Qisqartmalar

Siz tez orada duch keladigan ehtimollik muammosi quyidagi qisqartmalarni o'z ichiga olishi mumkin:

• P va P(X);
• A, B, C va boshqalar;

Boshqalar ham mumkin: kerak bo'lganda qo'shimcha tushuntirishlar beriladi. Biz, birinchi navbatda, yuqorida keltirilgan qisqartmalarga aniqlik kiritishni taklif qilamiz. Bizning ro'yxatimizda birinchisi faktorialdir. Tushunish uchun misollar keltiramiz: 5!=1*2*3*4*5 yoki 3!=1*2*3. Keyinchalik, berilgan to'plamlar jingalak qavs ichida yoziladi, masalan: (1;2;3;4;..;n) yoki (10;140;400;562). Quyidagi belgilar ko'pincha ehtimollik nazariyasi bo'yicha topshiriqlarda uchraydigan natural sonlar to'plamidir. Avval aytib o'tganimizdek, P - ehtimollik, P(X) esa X hodisaning sodir bo'lish ehtimoli. Hodisalar lotin alifbosining bosh harflari bilan belgilanadi, masalan: A - oq shar ushlandi, B - ko'k , C - qizil yoki mos ravishda, . Kichik harf n - barcha mumkin bo'lgan natijalar soni va m - muvaffaqiyatli bo'lganlar soni. Bu yerdan elementar masalalarda klassik ehtimollikni topish qoidasini olamiz: P = m/n. "Dummies uchun" ehtimollik nazariyasi, ehtimol, bu bilim bilan cheklangan. Endi, birlashtirish uchun, keling, yechimga o'tamiz.

Muammo 1. Kombinatorika

Talabalar guruhi o'ttiz kishidan iborat bo'lib, ular orasidan rahbar, uning o'rinbosari va kasaba uyushmasi rahbarini tanlash kerak. Ushbu harakatni amalga oshirish usullari sonini topish kerak. Xuddi shunday vazifa Yagona davlat imtihonida ham paydo bo'lishi mumkin. Biz hozir ko'rib chiqayotgan masalalarni yechishda ehtimollar nazariyasi kombinatorika kursidan, klassik ehtimollikni topish, geometrik ehtimollik va asosiy formulalar bo'yicha masalalarni o'z ichiga olishi mumkin. Ushbu misolda biz kombinatorika kursidan vazifani hal qilyapmiz. Keling, yechimga o'tamiz. Bu vazifa eng oddiy:

1. n1=30 - talabalar guruhining mumkin bo'lgan prefektlari;
2. n2=29 – deputatlik lavozimini egallashi mumkin bo‘lganlar;
3. Kasaba uyushmasi xodimi lavozimiga n3=28 kishi ariza topshirdi.

Biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa variantlarning mumkin bo'lgan sonini topish, ya'ni barcha ko'rsatkichlarni ko'paytirish. Natijada biz olamiz: 30*29*28=24360.

Bu berilgan savolga javob bo'ladi.

Muammo 2. Qayta tartibga solish

Anjumanda 6 nafar ishtirokchi so‘zlamoqda, tartib qur’a tashlash yo‘li bilan aniqlanadi. Biz chizishning mumkin bo'lgan variantlari sonini topishimiz kerak. Ushbu misolda biz oltita elementni almashtirishni ko'rib chiqamiz, ya'ni 6 ni topishimiz kerak!

Qisqartmalar paragrafida biz bu nima ekanligini va uni qanday hisoblashni aytib o'tdik. Hammasi bo'lib, 720 ta chizish variantlari mavjud. Bir qarashda qiyin vazifa juda qisqa va oddiy yechimga ega. Bular ehtimollik nazariyasi ko'rib chiqadigan vazifalardir. Yuqori darajadagi muammolarni qanday hal qilishni quyidagi misollarda ko'rib chiqamiz.

Muammo 3

Yigirma besh nafar talabalar guruhi olti, to'qqiz va o'n kishidan iborat uchta kichik guruhga bo'linishi kerak. Bizda: n=25, k=3, n1=6, n2=9, n3=10. Qiymatlarni kerakli formulaga almashtirish qoladi, biz olamiz: N25(6,9,10). Oddiy hisob-kitoblardan so'ng biz javob olamiz - 16 360 143 800. Agar topshiriqda sonli yechimni olish zarurligi aytilmagan bo'lsa, u faktoriallar shaklida berilishi mumkin.

Muammo 4

Uch kishi birdan o'ngacha bo'lgan raqamlarni taxmin qilishdi. Birovning raqamlari mos kelishi ehtimolini toping. Avval biz barcha natijalar sonini bilib olishimiz kerak - bizning holatlarimizda bu ming, ya'ni uchinchi darajaga o'ndan. Keling, har bir kishi turli xil raqamlarni taxmin qilganda variantlar sonini topamiz, buning uchun biz o'n, to'qqiz va sakkizni ko'paytiramiz. Bu raqamlar qayerdan kelgan? Birinchisi raqamni taxmin qiladi, uning o'nta varianti bor, ikkinchisida allaqachon to'qqizta, uchinchisi qolgan sakkiztasini tanlashi kerak, shuning uchun biz 720 ta mumkin bo'lgan variantni olamiz. Biz allaqachon hisoblab chiqqanimizdek, jami 1000 ta variant mavjud va takroriy takrorlarsiz 720 tasi bor, shuning uchun biz qolgan 280 tasi bilan qiziqamiz. Endi klassik ehtimollikni topish uchun formula kerak: P = . Biz javob oldik: 0,28.

Haqiqatda yoki bizning tasavvurimizda sodir bo'ladigan hodisalarni 3 guruhga bo'lish mumkin. Bular, albatta, sodir bo'ladigan muayyan hodisalar, imkonsiz hodisalar va tasodifiy hodisalar. Ehtimollar nazariyasi tasodifiy hodisalarni o'rganadi, ya'ni. sodir bo'lishi yoki bo'lmasligi mumkin bo'lgan voqealar. Ushbu maqolada ehtimollik formulalari nazariyasi va ehtimollik nazariyasidagi muammolarni echish misollari qisqacha taqdim etiladi, ular matematika bo'yicha Yagona davlat imtihonining 4-topshiriqida (profil darajasida) bo'ladi.

Nima uchun bizga ehtimollik nazariyasi kerak?

Tarixiy jihatdan bu muammolarni o‘rganish zarurati 17-asrda qimor o‘yinlarining rivojlanishi va professionallashuvi hamda kazinolarning paydo bo‘lishi munosabati bilan paydo bo‘lgan. Bu o'z tadqiqoti va izlanishlarini talab qiladigan haqiqiy hodisa edi.

Kartalar, zarlar va rulet o'ynash cheklangan miqdordagi bir xil darajada mumkin bo'lgan voqealar sodir bo'lishi mumkin bo'lgan vaziyatlarni yaratdi. Muayyan hodisaning sodir bo'lish ehtimoli haqida sonli taxminlarni berish kerak edi.

20-asrda bu bema'ni ko'rinadigan fan mikrokosmosda sodir bo'layotgan fundamental jarayonlarni tushunishda muhim rol o'ynashi ma'lum bo'ldi. Zamonaviy ehtimollik nazariyasi yaratildi.

Ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchalari

Ehtimollar nazariyasining o'rganish ob'ekti - hodisalar va ularning ehtimollari. Agar hodisa murakkab bo'lsa, uni ehtimolliklarini topish oson bo'lgan oddiy komponentlarga bo'lish mumkin.

A va B hodisalarning yig'indisi C hodisasi deb ataladi, bu hodisa A yoki B hodisasi yoki A va B hodisalarining bir vaqtning o'zida sodir bo'lishidan iborat.

A va B hodisalarning hosilasi C hodisasi bo‘lib, A hodisasi ham, B hodisasi ham sodir bo‘lganligini bildiradi.

Agar bir vaqtning o'zida sodir bo'lmasa, A va B hodisalari mos kelmaydigan deb ataladi.

A hodisasi, agar sodir bo'lmasa, imkonsiz deyiladi. Bunday hodisa belgi bilan ko'rsatilgan.

A hodisasi, agar sodir bo'lishi aniq bo'lsa, aniq deb ataladi. Bunday hodisa belgi bilan ko'rsatilgan.

Har bir A hodisasi P(A) soni bilan bog'lansin. Agar ushbu muvofiqlik bilan quyidagi shartlar bajarilsa, bu P(A) soni A hodisaning ehtimolligi deyiladi.

Muhim maxsus holat - teng ehtimolli elementar natijalar mavjud bo'lgan vaziyat va bu natijalarning ixtiyoriyligi A hodisalarini hosil qiladi. Bu holda, ehtimollik formuladan foydalanib kiritilishi mumkin. Shu tarzda kiritilgan ehtimol klassik ehtimollik deyiladi. Bu holda 1-4 xossalar qanoatlantirilishi isbotlanishi mumkin.

Matematikadan yagona davlat imtihonida paydo bo'ladigan ehtimollar nazariyasi muammolari asosan klassik ehtimollik bilan bog'liq. Bunday vazifalar juda oddiy bo'lishi mumkin. Namoyishli versiyalardagi ehtimollik nazariyasi masalalari ayniqsa oddiy. Qulay natijalar sonini hisoblash oson, barcha natijalar soni to'g'ridan-to'g'ri shartda yoziladi.

Javobni formuladan foydalanib olamiz.

Ehtimollikni aniqlash bo'yicha matematika bo'yicha yagona davlat imtihonidan muammoga misol

Stolda 20 ta pirog bor - 5 ta karam, 7 ta olma va 8 ta guruch. Marina pirogni olmoqchi. Uning guruch kekini olish ehtimoli qanday?

Yechim.

20 ta teng ehtimolli elementar natijalar mavjud, ya'ni Marina 20 ta pirogdan istalgan birini olishi mumkin. Ammo biz Marinaning guruchli pirogni olish ehtimolini taxmin qilishimiz kerak, ya'ni bu erda A - guruch pirogini tanlash. Bu shuni anglatadiki, qulay natijalar soni (guruchli piroglarni tanlash) atigi 8 ta. Keyin ehtimollik quyidagi formula bo'yicha aniqlanadi:

Mustaqil, qarama-qarshi va ixtiyoriy hodisalar

Biroq, ochiq vazifalar bankida yanada murakkab vazifalar topila boshlandi. Shuning uchun, keling, ehtimollar nazariyasida o'rganiladigan boshqa masalalarga o'quvchi e'tiborini qaratamiz.

Agar har birining ehtimoli boshqa hodisa ro'y berishiga bog'liq bo'lmasa, A va B hodisalar mustaqil deyiladi.

B hodisasi - bu A hodisasi sodir bo'lmagan, ya'ni. B hodisasi A hodisasiga qarama-qarshidir. Qarama-qarshi hodisaning ehtimoli bir minus to'g'ridan-to'g'ri hodisa ehtimoliga teng, ya'ni. .

Ehtimollarni qo`shish va ko`paytirish teoremalari, formulalar

A va B ixtiyoriy hodisalar uchun bu hodisalar yig'indisining ehtimoli ularning qo'shma hodisa ehtimolisiz ularning ehtimolliklari yig'indisiga teng, ya'ni. .

Mustaqil A va B hodisalari uchun bu hodisalarning yuzaga kelish ehtimoli ularning ehtimolliklarining mahsulotiga teng, ya'ni. Ushbu holatda .

Oxirgi 2 ta gap ehtimollarni qo'shish va ko'paytirish teoremalari deb ataladi.

Natijalar sonini hisoblash har doim ham oson emas. Ba'zi hollarda kombinatorik formulalardan foydalanish kerak. Eng muhimi, muayyan shartlarni qondiradigan hodisalar sonini hisoblashdir. Ba'zan bunday hisob-kitoblar mustaqil vazifalarga aylanishi mumkin.

6 nafar o‘quvchini 6 ta bo‘sh o‘rindiqqa nechta usulda o‘tirish mumkin? Birinchi talaba 6 ta o‘rindan istalgan birini egallaydi. Bu variantlarning har biri ikkinchi talabaning joy olishi uchun 5 ta usulga mos keladi. Uchinchi talabaga 4 ta bepul o‘rin qoldi, to‘rtinchiga 3 ta, beshinchiga 2 ta, qolgan yagona o‘rinni oltinchisi egallaydi. Barcha variantlar sonini topish uchun siz 6 belgisi bilan belgilangan mahsulotni topishingiz kerak! va "olti faktorial" deb o'qiladi.

Umumiy holatda bu savolga javob n ta elementning almashinish soni formulasi bilan beriladi.Bizning holimizda.

Keling, o'quvchilarimiz bilan yana bir ishni ko'rib chiqaylik. 6 ta bo‘sh o‘rindiqqa 2 nafar o‘quvchini nechta usulda o‘tirish mumkin? Birinchi talaba 6 ta o‘rindan istalgan birini egallaydi. Bu variantlarning har biri ikkinchi talabaning joy olishi uchun 5 ta usulga mos keladi. Barcha variantlar sonini topish uchun siz mahsulotni topishingiz kerak.

Umuman olganda, bu savolga javob n ta elementni k elementga joylashtirish soni formulasi bilan beriladi.

Bizning holatimizda.

Va bu seriyadagi oxirgi holat. 6 ta o‘quvchidan uchta o‘quvchini nechta usulda tanlash mumkin? Birinchi talabani 6 usulda, ikkinchisini - 5 usulda, uchinchisini - to'rt usulda tanlash mumkin. Ammo bu variantlar orasida bir xil uchta talaba 6 marta paydo bo'ladi. Barcha variantlar sonini topish uchun siz qiymatni hisoblashingiz kerak: . Umuman olganda, bu savolga javob element bo'yicha elementlarning kombinatsiyasi soni formulasi bilan beriladi:

Bizning holatimizda.

Ehtimollikni aniqlash uchun matematika bo'yicha yagona davlat imtihonidagi muammolarni hal qilish misollari

1-topshiriq. tomonidan tahrirlangan to'plamdan. Yashchenko.

Plastinada 30 ta pirog bor: go'shtli 3 ta, karam bilan 18 ta va gilosli 9 ta. Sasha tasodifiy bitta pirogni tanlaydi. Uning gilos bilan tugashi ehtimolini toping.

.

Javob: 0,3.

2-topshiriq. tomonidan tahrirlangan to'plamdan. Yashchenko.

1000 ta lampochkaning har bir partiyasida o'rtacha 20 tasi nuqsonli. Partiyadan tasodifiy olingan lampochkaning ishlash ehtimolini toping.

Yechish: Ishlaydigan lampochkalar soni 1000-20=980. Keyin partiyadan tasodifiy olingan lampochkaning ishlash ehtimoli:

Javob: 0,98.

U talabaning matematikadan test sinovida 9 dan ortiq masalalarni to‘g‘ri yechish ehtimoli 0,67 ga teng. U.ning 8 dan ortiq masalalarni toʻgʻri yechish ehtimoli 0,73 ga teng. U aniq 9 ta masalani to‘g‘ri yechish ehtimolini toping.

Agar biz son qatorini tasavvur qilib, uning ustida 8 va 9 nuqtalarni belgilasak, u holda “U. roppa-rosa 9 ta masalani toʻgʻri hal qiladi” sharti “U. 8 dan ortiq masalalarni toʻgʻri hal qiladi”, lekin “U. 9 dan ortiq masalalarni to‘g‘ri hal qiladi”.

Biroq, shart “U. 9 dan ortiq masalani toʻgʻri hal qiladi” shartida “U. 8 dan ortiq masalalarni to‘g‘ri hal qiladi”. Shunday qilib, voqealarni belgilasak: “U. roppa-rosa 9 ta masalani toʻgʻri hal qiladi” - A orqali, “U. 8 dan ortiq masalalarni toʻgʻri hal qiladi” - B orqali, “U. 9 dan ortiq masalalarni to‘g‘ri hal qiladi” C orqali. Bu yechim quyidagicha ko‘rinadi:

Javob: 0,06.

Geometriya imtihonida talaba imtihon savollari roʻyxatidan bitta savolga javob beradi. Bu trigonometriya savoli bo'lish ehtimoli 0,2 ga teng. Bu tashqi burchaklardagi savol bo'lish ehtimoli 0,15 ga teng. Bu ikki mavzuga bir vaqtning o'zida tegishli savollar yo'q. Talaba imtihonda shu ikki mavzudan biriga savol berish ehtimolini toping.

Keling, qanday voqealar borligini o'ylab ko'raylik. Bizga ikkita mos kelmaydigan hodisa beriladi. Ya'ni, yoki savol "Trigonometriya" mavzusiga yoki "Tashqi burchaklar" mavzusiga tegishli bo'ladi. Ehtimollar teoremasiga ko'ra, mos kelmaydigan hodisalarning ehtimoli har bir hodisaning ehtimolliklari yig'indisiga teng, biz bu hodisalarning ehtimollik yig'indisini topishimiz kerak, ya'ni:

Javob: 0,35.

Xona uchta chiroqli chiroq bilan yoritilgan. Bir yil ichida bitta chiroqning yonish ehtimoli 0,29 ni tashkil qiladi. Yil davomida kamida bitta chiroq yonib ketmasligi ehtimolini toping.

Keling, mumkin bo'lgan voqealarni ko'rib chiqaylik. Bizda uchta lampochka bor, ularning har biri boshqa lampochkadan mustaqil ravishda yonishi yoki yonmasligi mumkin. Bu mustaqil hodisalar.

Keyin biz bunday tadbirlarning variantlarini ko'rsatamiz. Quyidagi belgilardan foydalanamiz: - lampochka yoqilgan, - lampochka yonib ketgan. Va darhol keyingi voqeaning ehtimolini hisoblaymiz. Masalan, “Lampochka yonib ketdi”, “Lampochka yondi”, “Lampochka yondi” uchta mustaqil hodisa sodir bo'lish ehtimoli: yoqilgan” hodisasi “lampochka yoqilmagan” hodisasiga qarama-qarshi sodir boʻlish ehtimoli sifatida hisoblanadi, yaʼni: .

Ehtimollar nazariyasi - bu ba'zi tasodifiy hodisalarning ehtimolliklaridan birinchisiga bog'liq bo'lgan boshqa tasodifiy hodisalarning ehtimolliklarini topishga imkon beradigan matematik fan.

Voqea sodir bo'lgan bayonot ehtimollik, masalan, ½ ga teng, hali yakuniy qiymatni anglatmaydi, chunki biz ishonchli bilimga intilamiz. Yakuniy kognitiv qiymat - ehtimollik nazariyasi natijalari bo'lib, ular A hodisasining yuzaga kelish ehtimoli birlikka juda yaqin ekanligini yoki (bu xuddi shu narsa) A hodisasining sodir bo'lmasligi ehtimoli juda katta ekanligini aytishga imkon beradi. kichik. "Etarlicha kichik ehtimollarni e'tiborsiz qoldirish" tamoyiliga ko'ra, bunday hodisa haqli ravishda amalda aniq deb hisoblanadi. Quyida (Limit teoremalari bo'limida) ilmiy va amaliy ahamiyatga ega bo'lgan bunday xulosalar odatda A hodisasining paydo bo'lishi yoki ro'y bermasligi o'zaro yomon bog'liq bo'lgan ko'plab tasodifiy omillarga bog'liq degan taxminga asoslanadi. bir-biri bilan. Shuning uchun, ehtimollar nazariyasi ko'p sonli tasodifiy omillarning o'zaro ta'sirida paydo bo'ladigan qonuniyatlarni yoritib beruvchi matematik fandir, deb ham aytishimiz mumkin.

Ehtimollar nazariyasi predmeti.

Muayyan shartlar S va A hodisasi o'rtasidagi tabiiy bog'liqlikni tavsiflash uchun, ularning paydo bo'lishi yoki bo'lmasligi ma'lum sharoitlarda aniq belgilanishi mumkin, tabiatshunoslik odatda quyidagi ikkita sxemadan birini qo'llaydi:

a) S shartlarning har bir bajarilishi bilan A hodisasi ro'y beradi.Bu shakl, masalan, klassik mexanikaning barcha qonunlariga ega bo'lib, unda jismga yoki jismlar tizimiga ta'sir etuvchi boshlang'ich shartlar va kuchlar berilganda, harakat o'ziga xos tarzda sodir bo'lishini bildiradi. belgilangan usul.

b) S shartlarda A hodisasi p ga teng ma'lum P (A / S) ehtimolga ega. Shunday qilib, masalan, radioaktiv nurlanish qonunlari shuni ko'rsatadiki, har bir radioaktiv modda uchun ma'lum miqdordagi moddadan ma'lum bir vaqt oralig'ida ma'lum N atomlarning parchalanishi ehtimoli bor.

Berilgan n ta sinov seriyasidagi A hodisaning chastotasini (ya’ni S shartning n ta takroriy bajarilishidan) A sodir bo‘lgan sinovlar sonining n umumiy soniga h = m/n nisbatini ataylik. . Muayyan ehtimollik p ga teng bo'lgan S sharoitida A hodisasining mavjudligi deyarli har bir etarlicha uzun sinovlar seriyasida A hodisasining chastotasi taxminan p ga teng bo'lishida namoyon bo'ladi.

Statistik naqshlar, ya'ni (b) turdagi sxema bo'yicha tasvirlangan naqshlar birinchi marta zar kabi qimor o'yinlarida topilgan. Tug'ilish va o'limning statistik shakllari ham juda uzoq vaqtdan beri ma'lum (masalan, yangi tug'ilgan chaqaloqning o'g'il bo'lish ehtimoli 0,515). 19-asr oxiri va 20-asrning 1-yarmi. fizika, kimyo, biologiya va h.k.larda koʻp sonli statistik qonunlarning kashf etilishi bilan ajralib turadi.

Bir-biridan juda uzoq bo'lgan fan sohalari bilan bog'liq statistik qonuniyatlarni o'rganishda ehtimollar nazariyasi usullarini qo'llash imkoniyati shundan iboratki, hodisalarning ehtimollari har doim bir nechta oddiy munosabatlarni qondiradi, ular quyida muhokama qilinadi (qarang. Ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchalari bo'limi). Hodisa ehtimollarining xossalarini ana shu oddiy bog‘lanishlar asosida o‘rganish ehtimollar nazariyasining predmeti hisoblanadi.

Ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchalari.

Matematik fan sifatida ehtimollik nazariyasining asosiy tushunchalari oddiy ehtimollik nazariyasi deb ataladigan doirada aniqlangan. Elementar ehtimollar nazariyasida ko'rib chiqiladigan har bir test T shundayki, u E1, E2,..., ES hodisalarining bittasi va faqat bittasi bilan tugaydi (holatga qarab u yoki boshqasi). Ushbu hodisalar sinov natijalari deb ataladi. Har bir natija Ek ijobiy pk soni bilan bog'liq - bu natijaning ehtimoli. pk raqamlari bittaga qo'shilishi kerak. Keyin A hodisalari ko'rib chiqiladi, ular "yoki Ei, yoki Ej, ... yoki Ek sodir bo'ladi". Ei, Ej,..., Ek natijalari A uchun qulay deb ataladi va ta'rifga ko'ra, A hodisasining P (A) ehtimolligi unga qulay natijalar ehtimoli yig'indisiga teng deb qabul qilinadi:

P (A) = pi + ps + … + pk. (1)

Maxsus holat p1 = p2 =... ps = 1/S formulaga olib keladi

P (A) = r/s. (2)

Formula (2) ehtimollikning klassik ta'rifini ifodalaydi, unga ko'ra har qanday A hodisasining ehtimoli A uchun qulay natijalarning r sonining barcha "bir xil darajada mumkin bo'lgan" natijalarning s soniga nisbatiga tengdir. Ehtimolning klassik ta'rifi faqat "ehtimollik" tushunchasini "teng imkoniyat" tushunchasiga qisqartiradi, bu aniq ta'rifsiz qoladi.

Misol. Ikkita zarni uloqtirganda, 36 ta mumkin bo'lgan natijalarning har biri belgilanishi mumkin (i, j), bu erda i - birinchi zarda, j ikkinchisida paydo bo'ladigan nuqtalar soni. Natijalar bir xil ehtimollik bilan qabul qilinadi. A hodisasi - "ballar yig'indisi 4", uchta natija (1; 3), (2; 2), (3; 1) tomonidan qo'llab-quvvatlanadi. Shuning uchun, P (A) = 3/36 = 1/12.

Har qanday berilgan hodisalarga asoslanib, ikkita yangi hodisani aniqlash mumkin: ularning birlashishi (sum) va kombinatsiyasi (mahsulot). B hodisasi A 1, A 2,..., Ar,- hodisalarining birlashuvi deyiladi, agar u “yoki A1, yoki A2,... yoki Ar ro‘y beradi” ko‘rinishiga ega bo‘lsa.

C hodisasi A1, A.2,..., Ar hodisalarining birikmasi deyiladi, agar u quyidagi ko‘rinishga ega bo‘lsa: “A1, A2,... ham, Ar ham sodir bo‘ladi”. Hodisalarning birlashishi È belgisi bilan, birikmasi esa Ç belgisi bilan belgilanadi. Shunday qilib, ular yozadilar:

B = A1 È A2 È … È Ar, C = A1 Ç A2 Ç … Ç Ar.

A va B hodisalari, agar ularning bir vaqtning o'zida sodir bo'lishi mumkin bo'lmasa, ya'ni test natijalari orasida A va B uchun birorta ham qulay bo'lmasa, mos kelmaydigan deb ataladi.

Hodisalarni birlashtirish va birlashtirishning joriy qilingan operatsiyalari matematik nazariyaning ikkita asosiy teoremasi - ehtimollarni qo'shish va ko'paytirish teoremalari bilan bog'liq.

Ehtimollar qo‘shish teoremasi. Agar A1, A2,..., Ar hodisalari shunday bo'lsa, ularning har ikkisi mos kelmaydigan bo'lsa, unda ularning birlashish ehtimoli ularning ehtimolliklari yig'indisiga teng bo'ladi.

Shunday qilib, yuqoridagi misolda ikkita zarni otish bilan B hodisasi - "ballar yig'indisi 4 dan oshmaydi" uchta mos kelmaydigan A2, A3, A4 hodisalarining birlashuvi bo'lib, u ochkolar yig'indisi teng ekanligidan iborat. mos ravishda 2, 3, 4. Bu hodisalarning ehtimoli 1/36; 2/36; 3/36. Qo'shish teoremasiga ko'ra, ehtimol P (B) ga teng

1/36 + 2/36 + 3/36 = 6/36 = 1/6.

A sharti berilgan B hodisasining shartli ehtimoli formula bilan aniqlanadi

ko'rsatilganidek, chastotalar xususiyatlariga to'liq mos keladi. A1, A2,..., Ar hodisalari mustaqil deyiladi, agar ularning har birining shartli ehtimolligi, agar boshqalar sodir bo'lgan bo'lsa, uning “shartsiz” ehtimoliga teng bo'lsa.

Ehtimollarni ko'paytirish teoremasi. A1, A2,..., Ar hodisalarini birlashtirish ehtimoli A1 hodisasi ehtimoliga teng, A1 sodir bo'lgan sharti bilan olingan A2 hodisa ehtimoliga ko'paytiriladi,..., hodisa ehtimoliga ko'paytiriladi. Ar, agar A1, A2,.. ., Ar-1 kelgan bo'lsa. Mustaqil hodisalar uchun ko'paytirish teoremasi quyidagi formulaga olib keladi:

P (A1 Ç A2 Ç … Ç Ar) = P (A1) Ї P (A2) Ї … Ї P (Ar), (3)

ya'ni mustaqil hodisalarni birlashtirish ehtimoli bu hodisalarning ehtimolliklari ko'paytmasiga teng. Formula (3) agar uning ikkala qismida ham ba'zi hodisalar ularning qarama-qarshiliklari bilan almashtirilsa, o'z kuchida qoladi.

Misol. Nishonga 4 ta o'q uziladi, zarba ehtimoli 0,2 ga teng. Turli zarbalardan nishonga olingan zarbalar mustaqil hodisalar deb hisoblanadi. Nishonga aniq uch marta tegish ehtimoli qanday?

Har bir test natijasi to'rtta harfdan iborat ketma-ketlikda ko'rsatilishi mumkin [masalan, (y, n, n, y) birinchi va to'rtinchi zarbalar urilganini (muvaffaqiyatli), ikkinchi va uchinchi zarbalar tegmaganligini (qobiliyatsizligini) bildiradi]. 2Ї2Ї2Ї2 = 16 ta natija boʻladi. Individual tortishish natijalarining mustaqilligi haqidagi taxminga muvofiq, ushbu natijalarning ehtimolini aniqlash uchun formula (3) va unga eslatma qo'llanilishi kerak. Shunday qilib, natija ehtimoli (y, n. n, n) 0.2Ї0.8Ї0.8Ї0.8 = 0.1024 ga teng boʻlishi kerak; bu erda 0,8 = 1-0,2 - bitta zarba bilan o'tkazib yuborish ehtimoli. “Nishon uch marta urilgan” hodisasi natijalar (y, y, y, n), (y, y, n, y), (y, n, y, y) tomonidan ma'qullanadi. (n, y, y, y), har birining ehtimoli bir xil:

0,2Ї0,2Ї0,2Ї0,8 =...... =0,8Ї0,2Ї0,2Ї0,2 = 0,0064;

shuning uchun talab qilinadigan ehtimollik tengdir

4−0,0064 = 0,0256.

Tahlil qilinayotgan misolning mulohazalarini umumlashtirib, ehtimollar nazariyasining asosiy formulalaridan birini chiqarishimiz mumkin: agar A1, A2,..., An hodisalari mustaqil boʻlsa va har birida p ehtimollik boʻlsa, ularning aynan m sodir boʻlish ehtimoli shunday boʻladi. ga teng

Pn (m) = Cnmpm (1 - p) n-m; (4)

bu yerda Cnm m ning n ta elementining birikmalar sonini bildiradi. Katta n uchun formula (4) yordamida hisoblash qiyinlashadi. Oldingi misoldagi zarbalar soni 100 ta bo'lsin va urilganlar soni 8 dan 32 gacha bo'lgan oraliqda bo'lish ehtimoli x ni topish uchun savol beriladi. (4) formulani qo'llash va qo'shish teoremasi aniqlikni beradi, lekin kerakli ehtimollikning amalda yaroqsiz ifodasi

X ehtimollikning taxminiy qiymatini Laplas teoremasi yordamida topish mumkin

va xatolik 0,0009 dan oshmaydi. Topilgan natija voqea 8 £ m £ 32 deyarli aniq ekanligini ko'rsatadi. Bu ehtimollar nazariyasida chegara teoremalaridan foydalanishning eng oddiy, ammo tipik misolidir.

Elementar ehtimollar nazariyasining asosiy formulalariga umumiy ehtimollik formulasi ham kiradi: agar A1, A2,..., Ar hodisalari juftlik mos kelmasa va ularning birlashuvi ishonchli hodisa boʻlsa, har qanday B hodisasi uchun uning ehtimoli teng boʻladi. summasi

Murakkab testlarni ko'rib chiqishda ehtimollarni ko'paytirish teoremasi ayniqsa foydalidir. Agar T sinovining har bir natijasi tegishli Ai, Bj,..., Xk, Yl natijalarining kombinatsiyasidan iborat bo‘lsa, T sinovi T1, T2,..., Tn-1, Tn sinovlaridan iborat deyiladi. sinovlar T1, T2,... , Tn-1, Tn. Bu yoki boshqa sabablarga ko'ra, ehtimolliklar ko'pincha ma'lum

Hodisalarni mumkin, ehtimoliy va tasodifiy toifalarga ajratish. Oddiy va murakkab elementar hodisalar haqida tushunchalar. Voqealar bo'yicha operatsiyalar. Tasodifiy hodisa ehtimoli va uning xususiyatlarining klassik ta'rifi. Ehtimollar nazariyasida kombinatorikaning elementlari. Geometrik ehtimollik. Ehtimollar nazariyasi aksiomalari.

Voqealarning tasnifi

Ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchalaridan biri hodisa tushunchasidir. ostida voqea tajriba yoki sinov natijasida yuzaga kelishi mumkin bo'lgan har qanday haqiqatni tushunish. ostida tajriba, yoki sinov, muayyan shartlar majmuasini amalga oshirishni anglatadi.

Voqealarga misollar:

– quroldan otish paytida nishonga tegish (tajriba - o'q otish; voqea - nishonga tegish);
– tangani uch marta uloqtirishda ikkita timsolning yo‘qolishi (tajriba – tangani uch marta otish; hodisa – ikkita timsolning yo‘qolishi);
- belgilangan chegaralarda diapazonni nishonga o'lchashda o'lchov xatosining paydo bo'lishi (tajriba - diapazonni o'lchash; hodisa - o'lchash xatosi).

Shu kabi misollarni son-sanoqsiz keltirish mumkin. Voqealar lotin alifbosining bosh harflari va boshqalar bilan ko'rsatilgan.

Farqlash qo'shma tadbirlar Va mos kelmaydigan. Agar ulardan birining sodir bo'lishi ikkinchisining sodir bo'lishini istisno qilmasa, hodisalar qo'shma deyiladi. Aks holda, hodisalar mos kelmaydigan deb ataladi. Masalan, ikkita zar tashlanadi. Voqea birinchi o'limda uch ochko yo'qotish, ikkinchi o'limda uch ochko yo'qotish hodisasi. va - qo'shma tadbirlar. Do'konga bir xil uslub va o'lchamdagi, lekin har xil rangdagi poyafzal partiyasini olishiga ruxsat bering. Voqea - tasodifiy olingan qutida qora tuflilar, voqea - qutida jigarrang tuflilar va - mos kelmaydigan hodisalar bo'ladi.

Tadbir deyiladi ishonchli, agar u berilgan tajriba sharoitida ro'y berishi aniq bo'lsa.

Hodisa, agar u berilgan tajriba sharoitida sodir bo'lmasa, imkonsiz deb ataladi. Masalan, standart qismlar partiyasidan standart qism olinadigan voqea ishonchli, ammo nostandart qism mumkin emas.

Tadbir deyiladi mumkin, yoki tasodifiy, agar tajriba natijasida paydo bo'lishi mumkin, lekin u paydo bo'lmasligi mumkin. Tasodifiy hodisaga misol sifatida tayyor mahsulot partiyasini tekshirishda mahsulot nuqsonlarini aniqlash, qayta ishlangan mahsulot hajmi va ko'rsatilgan o'lcham o'rtasidagi nomuvofiqlik yoki avtomatlashtirilgan boshqaruv tizimidagi bo'g'inlardan birining ishlamay qolishi mumkin.

Voqealar deyiladi teng darajada mumkin, agar test shartlariga ko'ra, ushbu hodisalarning hech biri ob'ektiv ravishda boshqalardan ko'ra mumkin bo'lmasa. Misol uchun, do'kon bir nechta ishlab chiqarish korxonalari tomonidan lampochkalar (teng miqdorda) bilan ta'minlansin. Ushbu zavodlarning har qandayidan lampochkani sotib olish bilan bog'liq voqealar bir xil darajada mumkin.

Muhim tushuncha voqealarning to'liq guruhi. Berilgan tajribadagi bir nechta hodisalar, agar tajriba natijasida ulardan kamida bittasi paydo bo'lishi aniq bo'lsa, to'liq guruhni tashkil qiladi. Masalan, urnada o'nta shar bor, ulardan oltitasi qizil, to'rttasi oq, beshtasi esa raqamlarga ega. - bitta durang paytida qizil to'pning paydo bo'lishi, - oq to'pning paydo bo'lishi, - raqam bilan to'pning ko'rinishi. Voqealar qo'shma hodisalarning to'liq guruhini tashkil qiladi.

Keling, qarama-qarshi yoki qo'shimcha hodisa tushunchasini kiritaylik. ostida qarama-qarshi Hodisa deganda, agar biron bir hodisa ro'y bermasa, albatta sodir bo'lishi kerak bo'lgan hodisa tushuniladi. Qarama-qarshi hodisalar mos kelmaydigan va yagona mumkin bo'lgan hodisalardir. Ular voqealarning to'liq guruhini tashkil qiladi. Misol uchun, agar ishlab chiqarilgan mahsulot partiyasi yaxshi va nuqsonli mahsulotlardan iborat bo'lsa, unda bitta mahsulot olib tashlanganida, u yaxshi yoki nuqsonli bo'lib chiqishi mumkin.

Voqealar bo'yicha operatsiyalar

Ehtimollar nazariyasida tasodifiy hodisalarni o'rganish apparati va metodologiyasini ishlab chiqishda hodisalar yig'indisi va mahsuloti tushunchasi juda muhimdir.

Bir nechta hodisalarning yig'indisi yoki birlashuvi bu hodisalardan kamida bittasining sodir bo'lishidan iborat hodisadir.

Voqealar yig'indisi quyidagicha ko'rsatilgan:

Misol uchun, agar hodisa birinchi o'q bilan nishonga tegsa, hodisa - ikkinchi bilan, u holda hodisa umuman nishonga tegsa, qaysi o'q bilan - birinchi, ikkinchi yoki ikkalasi muhim emas.

Bir nechta hodisalarning mahsuli yoki kesishishi bu barcha hodisalarning birgalikda sodir bo'lishidan iborat hodisadir.

Voqealarning ishlab chiqarilishi ko'rsatilgan

Masalan, birinchi o'q bilan nishonga tegish hodisasi bo'lsa, ikkinchi o'q bilan nishonga tegish hodisasi, ikkala o'q bilan nishonga tegish hodisasi.

Hodisalar yig'indisi va mahsuloti tushunchalari aniq geometrik talqinga ega. Hodisa mintaqaga kirish nuqtasidan iborat bo'lsin, hodisa mintaqaga kirishdan iborat bo'lsin, keyin hodisa rasmda soyali mintaqaga kirish nuqtasidan iborat bo'lsin. 1 va hodisa nuqta rasmda ko'rsatilgan maydonga tegishidir. 2.

Tasodifiy hodisa ehtimolining klassik ta'rifi

Hodisalarni sodir bo'lish ehtimoli darajasiga ko'ra miqdoriy jihatdan solishtirish uchun hodisaning ehtimolligi deb ataladigan raqamli o'lchov kiritiladi.

Hodisa yuzaga kelish ehtimoli - bu voqea sodir bo'lishining ob'ektiv imkoniyati o'lchovini ifodalovchi son.

Hodisa ehtimoli belgisi bilan belgilanadi.

Hodisa ehtimoli yagona mumkin bo'lgan, teng darajada mumkin bo'lgan va mos kelmaydigan holatlarning umumiy sonidan unga qulay bo'lgan holatlar sonining soniga nisbatiga tengdir. ya'ni

Bu ehtimollikning klassik ta'rifi. Shunday qilib, hodisaning ehtimolini topish uchun testning turli natijalarini hisobga olgan holda, yagona mumkin bo'lgan, bir xil darajada mumkin bo'lgan va mos kelmaydigan holatlar to'plamini topish, ularning umumiy sonini, berilgan uchun qulay bo'lgan holatlar sonini hisoblash kerak. hodisani aniqlang va keyin (1.1) formuladan foydalanib hisob-kitobni bajaring.

(1.1) formuladan kelib chiqadiki, hodisa ehtimoli manfiy bo'lmagan son bo'lib, holatlarning umumiy sonidan qulay holatlarning ulushiga qarab noldan birgacha o'zgarishi mumkin:

Ehtimollik xossalari

Mulk 1. Agar barcha holatlar ma'lum bir hodisa uchun qulay bo'lsa, unda bu hodisa albatta sodir bo'ladi. Demak, ko'rib chiqilayotgan hodisa ishonchli va uning yuzaga kelish ehtimoli , chunki bu holda

Mulk 2. Agar ma'lum bir hodisa uchun qulay bo'lgan bitta holat bo'lmasa, unda bu hodisa tajriba natijasida yuzaga kelishi mumkin emas. Demak, ko'rib chiqilayotgan hodisa mumkin emas va uning yuzaga kelish ehtimoli , chunki bu holda:

Mulk 3. To'liq guruhni tashkil etuvchi hodisalarning yuzaga kelish ehtimoli birga teng.

Mulk 4. Qarama-qarshi hodisaning yuzaga kelish ehtimoli xuddi shunday hodisaning yuzaga kelishi ehtimoli bilan belgilanadi:

qarama-qarshi hodisaning yuzaga kelishi uchun qulay holatlar soni bu erda. Demak, qarama-qarshi hodisaning yuzaga kelish ehtimoli birlik va hodisaning yuzaga kelish ehtimoli o'rtasidagi farqga teng:

Hodisa ehtimolining klassik ta'rifining muhim afzalligi shundaki, uning yordami bilan voqea ehtimolini tajribaga murojaat qilmasdan, lekin mantiqiy fikrlash asosida aniqlash mumkin.

1-misol. Telefon raqamini terayotganda abonent bitta raqamni unutib qo'ydi va uni tasodifiy terdi. To'g'ri raqam terilganligi ehtimolini toping.

Yechim. Kerakli raqam terilgan hodisani belgilaylik. Abonent 10 ta raqamdan istalgan birini terishi mumkin, shuning uchun mumkin bo'lgan natijalarning umumiy soni 10 tani tashkil qiladi. Bu natijalar yagona mumkin (raqamlardan birini terish kerak) va teng darajada mumkin (raqam tasodifiy teriladi). Faqat bitta natija hodisani qo'llab-quvvatlaydi (faqat bitta talab qilinadigan raqam mavjud). Kerakli ehtimollik hodisa uchun qulay natijalar sonining barcha natijalar soniga nisbatiga teng:

Kombinatorikaning elementlari

Ehtimollar nazariyasida joylashtirishlar, almashtirishlar va kombinatsiyalar ko'pincha qo'llaniladi. Agar to'plam berilgan bo'lsa, unda joylashtirish (kombinatsiya) by elementlarning har qanday tartiblangan (tartibsiz) kichik to'plamidir. O'rnatilganda chaqiriladi qayta tartibga solish elementlardan.

Misol uchun, to'plam berilsin. Ushbu ikkita to'plamning uchta elementining joylashuvi: , , , , , ; kombinatsiyalar - , , .

Ikkita kombinatsiya kamida bitta elementda farqlanadi va joylashtirishlar elementlarning o'zida yoki ularning paydo bo'lish tartibida farqlanadi. By elementlarning birikmalari soni formula bo'yicha hisoblanadi

tomonidan elementlarni joylashtirish soni; - elementlarning almashtirishlar soni.

2-misol. 10 qismdan iborat to'plamda 7 ta standart mavjud. Tasodifiy olingan 6 qismdan aniq 4 tasi standart bo'lishi ehtimolini toping.

Yechim. Mumkin bo'lgan test natijalarining umumiy soni 10 tadan 6 ta qismni olish mumkin bo'lgan usullar soniga teng, ya'ni 6 ning 10 ta elementining kombinatsiyasi soniga teng. Hodisa uchun qulay natijalar soni (6 tasi orasida) olingan qismlar aniq 4 ta standart bo'ladi) quyidagicha aniqlanadi: 7 ta standart qismdan 4 ta standart qismni turli usullar bilan olish mumkin; bu holda qolgan qismlar nostandart bo'lishi kerak; Nostandart qismlardan 2 ta nostandart qismni olish usullari mavjud. Shuning uchun qulay natijalar soni ga teng. Dastlabki ehtimollik hodisa uchun qulay natijalar sonining barcha natijalar soniga nisbatiga teng:

Ehtimollikning statistik ta'rifi

Formula (1.1) hodisalarning ehtimolligini to'g'ridan-to'g'ri hisoblash uchun faqat tajriba holatlar namunasiga qisqartirilganda qo'llaniladi. Amalda, ehtimollikning klassik ta'rifi ko'pincha ikkita sababga ko'ra qo'llanilmaydi: birinchidan, ehtimollikning klassik ta'rifi holatlarning umumiy soni chekli bo'lishi kerakligini taxmin qiladi. Aslida, u ko'pincha cheklanmaydi. Ikkinchidan, eksperiment natijalarini teng darajada mumkin bo'lgan va mos kelmaydigan hodisalar shaklida taqdim etish ko'pincha mumkin emas.

Takroriy eksperimentlar paytida hodisalarning sodir bo'lish chastotasi qandaydir doimiy qiymat atrofida barqarorlashadi. Shunday qilib, ma'lum bir doimiy qiymatni ko'rib chiqilayotgan hodisa bilan bog'lash mumkin, uning atrofida chastotalar guruhlanadi va bu tajribalar o'tkaziladigan shartlar to'plami va hodisa o'rtasidagi ob'ektiv bog'lanishning xarakteristikasi hisoblanadi.

Tasodifiy hodisaning ehtimoli bu hodisaning chastotalari sinovlar soni ortishi bilan guruhlangan sondir.

Ehtimollikning bunday ta'rifi deyiladi statistik.

Ehtimollikni aniqlashning statistik usulining afzalligi shundaki, u haqiqiy tajribaga asoslangan. Biroq, uning muhim kamchiligi shundaki, ehtimollikni aniqlash uchun ko'pincha moddiy xarajatlar bilan bog'liq bo'lgan ko'plab tajribalarni o'tkazish kerak. Hodisa ehtimolini statistik aniqlash, garchi u ushbu kontseptsiyaning mazmunini to'liq ochib bergan bo'lsa ham, ehtimolni haqiqatda hisoblash imkonini bermaydi.

Ehtimollikning klassik ta'rifi bir xil darajada mumkin bo'lgan hodisalarning cheklangan sonining to'liq guruhini ko'rib chiqadi. Amalda, ko'pincha test natijalarining soni cheksizdir. Bunday hollarda ehtimollikning klassik ta'rifi qo'llanilmaydi. Biroq, ba'zida bunday hollarda siz ehtimollikni hisoblashning boshqa usulidan foydalanishingiz mumkin. Aniqlik uchun biz o'zimizni ikki o'lchovli holat bilan cheklaymiz.

Tekislikda boshqa hududni o'z ichiga olgan maydonning ma'lum bir mintaqasi berilsin (3-rasm). Hududga tasodifiy nuqta tashlanadi. Mintaqaga nuqta tushishi ehtimoli qanday? Tasodifiy ravishda tashlangan nuqta mintaqaning istalgan nuqtasiga tegishi mumkin deb taxmin qilinadi va mintaqaning istalgan qismiga tegish ehtimoli qismning maydoniga mutanosibdir va uning joylashishi va shakliga bog'liq emas. Bunday holda, maydonga tasodifiy nuqta uloqtirganda maydonga tegish ehtimoli

Shunday qilib, umumiy holatda, agar nuqtaning chiziq, tekislik yoki fazoda ma'lum bir maydon ichida tasodifiy paydo bo'lish imkoniyati ushbu maydonning holati va chegaralari bilan emas, balki faqat uning kattaligi, ya'ni uzunligi bilan belgilanadi. , maydon yoki hajm, keyin tasodifiy nuqtaning ma'lum bir hududga tushishi ehtimolligi ushbu mintaqaning o'lchamining berilgan nuqta paydo bo'lishi mumkin bo'lgan butun mintaqaning o'lchamiga nisbati sifatida aniqlanadi. Bu ehtimollikning geometrik ta'rifi.

Misol 3. Dumaloq nishon doimiy burchak tezligida aylanadi. Maqsadning beshdan bir qismi yashil rangga bo'yalgan, qolgan qismi esa oq rangda (4-rasm). O'q nishonga shunday otiladiki, nishonga tegish ishonchli hodisa hisoblanadi. Yashil rangdagi maqsadli sektorga urish ehtimolini aniqlashingiz kerak.

Yechim. Keling, "o'q yashil rangdagi sektorga tegdi" ni belgilaylik. Keyin. Ehtimollik nishonning yashil rangga bo'yalgan qismi maydonining nishonning butun maydoniga nisbati sifatida olinadi, chunki nishonning istalgan qismiga zarba berish bir xil darajada mumkin.

Ehtimollar nazariyasi aksiomalari

Tasodifiy hodisa ehtimolining statistik ta'rifidan kelib chiqadiki, hodisaning ehtimolligi tajribada kuzatilgan ushbu hodisaning chastotalari atrofida guruhlangan sondir. Shuning uchun, ehtimollik nazariyasi aksiomalari shunday kiritiladiki, hodisa ehtimolligi chastotaning asosiy xususiyatlariga ega bo'ladi.

Aksioma 1. Har bir hodisa shartni qanoatlantiradigan ma'lum bir songa mos keladi va uning ehtimoli deb ataladi.