مضاد ومتكامل. التكامل غير المحدود ، خصائصه وحسابه. تكامل عكسي وغير محدد الخلاصة والعرض التقديمي للدرس تكامل غير محدد

أنوشينا أو في.

الأدب الرئيسي

1. Shipachev VS الرياضيات العليا. دورة أساسية: كتاب مدرسي و
ورشة عمل للبكالوريوس [ختم وزارة التعليم في الاتحاد الروسي] / ف.
شيباتشيف. إد. إيه إن تيخونوف. - الطبعة الثامنة ، القس. و أضف. موسكو: Yurayt ، 2015. - 447 صفحة.
2. شيباتشيف V. S. الرياضيات العليا. دورة كاملة: كتاب مدرسي
لأكاد. درجة البكالوريوس [Grif UMO] / VS Shipachev؛ إد. لكن.
ن. تيخونوفا. - الطبعة الرابعة ، القس. و أضف. - موسكو: Yurayt، 2015. - 608
مع
3. Danko P.E.، Popov A.G.، Kozhevnikova T.Ya. الرياضيات العليا
في التمارين والمهام. [نص] / P.E. دانكو ، أ. بوبوف ، ت.
كوزيفنيكوف. الساعة 2 - م: تخرج من المدرسه، 2007. - 304 + 415 ج.

الإبلاغ

1.
اختبار. يتم إجراؤها وفقًا لـ:
الواجبات و القواعد الارشاديةلأداء أعمال التحكم
في تخصص "الرياضيات التطبيقية" ، يكاترينبورغ ، فقاو
VO "الدولة الروسية المهنية والتربوية
جامعة "، 2016 - 30 ثانية.
خيار عمل الاختباراختر الرقم الأخير من الرقم
كتاب الصف.
2.
امتحان

تكامل غير محدد ، خصائصه وحسابه لاشتقائي وتكامل غير محدد

تعريف. تسمى الوظيفة F x
الدالة العكسية f x المحددة في
فترة ما إذا كانت F x f x من أجل
كل س من هذه الفترة.
على سبيل المثال ، الدالة cos x هي
المشتقة العكسية للدالة sin x منذ ذلك الحين
cos x sin x.

من الواضح ، إذا كانت F x هي المشتق العكسي
الدالة f x ، ثم F x C ، حيث يكون C ثابتًا ، هي أيضًا
الدالة العكسية f x.
إذا كانت F x هي أي مشتق عكسي
الدالة f x ، ثم أي دالة في الشكل
Ф x F x C هي أيضًا
الدالة العكسية f x وأي
المشتق العكسي يمكن تمثيله في هذا الشكل.

تعريف. مجمل الكل
المشتقات العكسية للدالة f x ،
حددت في بعض
الفاصل الزمني يسمى
تكامل غير محدد من
الدالة f x في هذه الفترة و
يشير إلى f x dx.

إذا كانت F x عبارة عن مشتق عكسي للوظيفة
f x ، ثم يكتبون f x dx F x C بالرغم من ذلك
سيكون من الأصح كتابة f x dx F x C.
وفقا للتقاليد المعمول بها ، سوف نكتب
f x dx F x C.
وهكذا ، نفس الرمز
ستشير f x dx إلى أنها الكل
مجموعة المشتقات العكسية للدالة f x ،
وأي عنصر من هذه المجموعة.

خصائص متكاملة

مشتق التكامل غير المحدد هو
التكامل ، وتفاضله هو التعبير الفرعي. حقا:
1. (f (x) dx) (F (x) C) F (x) f (x) ؛
2.d f (x) dx (f (x) dx) dx f (x) dx.

خصائص متكاملة

3. تكامل غير محدد من
التفاضلية بشكل مستمر (x)
للدالة التفاضلية تساوي
هذه الوظيفة تصل إلى ثابت:
د (x) (x) dx (x) C ،
بما أن (x) مشتق عكسي لـ (x).

خصائص متكاملة

4. إذا كانت الوظائف f1 x و f 2 x لها
المشتقات العكسية ، ثم الوظيفة f1 x f 2 x
يحتوي أيضًا على مشتق عكسي ، و
f1 x f 2 x dx f1 x dx f 2 x dx ؛
5. Kf x dx K f x dx ؛
6. f x dx f x C ؛
7.f x x dx F x C.

1.dx x C.
أ 1
x
2.x a dx
ج ، (أ 1).
أ 1
dx
3.ln x C.
x
x
أ
4.a x DX
ج.
في أ
5.e x dx e x C.
6.sin xdx cos x C.
7.cos xdx sin x C.
dx
8.2 ctgx ج.
الخطيئة x
dx
9.2 tgx ج.
كوس x
dx
arctgx C.
10.
2
1 ×

جدول متكامل غير محدد

11.
dx
arcsin x C.
1 × 2
dx
1
x
12.2 2 أركتان ج.
أ
أ
فأس
13.
14.
15.
dx
a2 x2
x
أركسين سي ..
أ
dx
1
x ا
ln
ج
2
2
2 أ × أ
x ا
dx
1
فأس
أ 2 × 2 2 أ ln أ × ج.
dx
16.
x2 أ
ln x 2 أ ج.
17.shxdx chx C.
18.chxdx shx C.
19.
20.
dx
الفصل 2 x thx C.
dx
cthx ج.
2
ش x

الخصائص التفاضلية

عند الدمج ، يكون مناسبًا للاستخدام
الخصائص: 1
1.dx د (فأس)
أ
1
2.dx د (فأس ب) ،
أ
1 2
3.xdx dx ،
2
1 3
2
4.x dx dx.
3

أمثلة على

مثال. أوجد قيمة cos 5xdx.
المحلول. نجد في جدول التكاملات
cos xdx sin x C.
نقوم بتحويل هذا التكامل إلى جدول جدولي ،
باستخدام حقيقة أن d ax adx.
ثم:
د 5 × 1
= cos 5 xd 5 x =
cos 5xdx cos 5 x
5
5
1
= الخطيئة 5 س ج.
5

أمثلة على

مثال. احسب x
3x x 1 dx.
المحلول. منذ تحت علامة التكامل
تم العثور على مجموع أربعة حدود ، إذن
فكّك التكامل في حاصل جمع أربعة
التكاملات:
2
3
2
3
2
3
x
3
x
x
1
dx
x
dx
3
x
dx xdx dx.
x3
x4 x2
3
س ج
3
4
2

مستقل عن نوع المتغير

عند حساب التكاملات ، يكون ذلك مناسبًا
استخدم الخصائص التالية
التكاملات:
إذا كانت f x dx F x C ، إذن
f x b dx F x b C.
إذا كانت f x dx F x C ، إذن
1
و الفأس ب dx و الفأس ب ج.
أ

مثال

دعونا نحسب
1
6
2
3
x
dx
2
3
x
ج
.
3 6
5

طرق التكامل التكامل بالأجزاء

تعتمد هذه الطريقة على صيغة udv uv vdu.
يتم أخذ التكاملات التالية بطريقة التكامل بالأجزاء:
أ) x n sin xdx ، حيث n 1،2 ... k ؛
ب) x n e x dx ، حيث n 1،2 ... k ؛
ج) x n arctgxdx ، حيث n 0، 1، 2، ... k. ؛
د) x n ln xdx ، حيث n 0، 1، 2، ... k.
عند حساب التكاملات أ) وب) ، أدخل
ن 1
التدوين: x n u ، ثم du nx dx ، وعلى سبيل المثال
sin xdx dv ، ثم v cos x.
عند حساب التكاملات ج) ، د) أشر بواسطة u الدالة
arctgx و ln x و dv خذ x n dx.

أمثلة على

مثال. أوجد قيمة x cos xdx.
المحلول.
u x ، du dx
=
x كوس xdx
dv cos xdx، v sin x
x sin x sin xdx x sin x cos x C.

أمثلة على

مثال. احسب
x ln xdx
dx
u ln x، du
x
x2
dv xdx ، v
2
x2
× 2 دي إكس
ln x
=
2
2 ×
x2
1
x2
1 × 2
ln x xdx
ln x
ج.
=
2
2
2
2 2

طريقة الاستبدال المتغير

فليطلب إيجاد f x dx و
اختر المشتق العكسي مباشرة
بالنسبة لـ f x لا يمكننا ذلك ، لكننا نعرف ذلك
هي موجودة. غالبا ما يكون من الممكن العثور عليها
المشتق العكسي ، إدخال متغير جديد ،
حسب الصيغة
f x dx f t t dt ، حيث x t و t a جديد
عامل

تكامل الوظائف التي تحتوي على ثلاثي الحدود المربع

ضع في اعتبارك التكامل
الفأس ب
DX ،
س مقصف ف
تحتوي على ثلاثي مربع في
مقام التكامل
التعبيرات. يؤخذ هذا التكامل أيضا
طريقة التغيير المتغير ،
بعد أن أبرزت سابقًا في
المقام عبارة عن مربع كامل.
2

مثال

احسب
dx
.
× 4x 5
المحلول. تحويل x 2 4 x 5،
2
اختيار مربع كامل وفقًا للصيغة أ ب 2 أ 2 2 أب ب 2.
ثم نحصل على:
2 × 4 × 5 × 2 2 × 2 4 4 5
× 2 2 2 × 4 1 ​​× 2 2 1
× 2 ر
dx
dx
د
س تي 2
2
2
2
× ٢ ١ dx dt
× 4x 5
ر 1
arctgt C arctg x 2 C.

مثال

لايجاد
1 ×
1 ×
2
dx
tdt
1 ر
2
س t ، س t 2 ،
dx 2tdt
2
T2
1 ر
2
د
1 ر
1 ر
د (ر 2 1)
ر
2
1
2
2 تي دي تي
2
د
ln (t 1) 2 dt 2
2
1 ر
ln (t 2 1) 2t 2arctgt ج
2
ln (x 1) 2 x 2arctg x C.
1 ر 2 1
1 ر
2
د

تكامل محدد ، خصائصه الأساسية. صيغة نيوتن ليبنيز. بعض التطبيقات المتكاملة.

مفهوم التكامل المحدد يقود بواسطة
مشكلة إيجاد منطقة منحني الخطوط
شبه منحرف.
اترك بعض الفاصل الزمني
دالة مستمرة y f (x) 0
مهمة:
أنشئ الرسم البياني الخاص به وابحث عن منطقة F من الشكل ،
يحده هذا المنحنى بخطين مستقيمين x = a و x
= ب ، ومن الأسفل - جزء من محور الإحداثي بين النقطتين
س = أ و س = ب.

يسمى الشكل aABb
منحني شبه منحرف

تعريف

ب
و (س) دكس
تحت تكامل محدد
أ
لدالة مستمرة معينة f (x) على
هذا الجزء مفهوم
الزيادة المقابلة لها
مشتق عكسي ، هذا هو
F (b) F (a) F (x) /
ب
أ
الأرقام أ و ب هي حدود التكامل ،
- فترة التكامل.

القاعدة:

التكامل المحدد يساوي الفرق
قيم تكامل مشتق عكسي
وظائف للحدود العليا والدنيا
دمج.
تقديم تدوين الفرق
ب
F (b) F (a) F (x) / a
ب
و (س) دكس و (ب) و (أ)
أ
صيغة نيوتن - لايبنيز.

الخصائص الأساسية لتكامل محدد.

1) قيمة التكامل المحدد لا تعتمد على
تحديد متغير التكامل ، أي
ب
ب
أ
أ
f (x) dx f (t) dt
حيث x و t أي أحرف.
2) تكامل محدد مع نفسه
في الخارج
التكامل يساوي الصفر
أ
f (x) dx F (a) F (a) 0
أ

3) عند تبادل حدود التكامل
علامة انعكاس متكاملة محددة
ب
أ
f (x) dx F (b) F (a) F (a) F (b) f (x) dx
أ
ب
(خاصية الجمع)
4) إذا كانت الفترة الزمنية مقسمة إلى عدد محدد
فترات جزئية ، ثم تكامل محدد ،
المأخوذ من الفاصل الزمني يساوي مجموع معين
التكاملات المأخوذة على كل فتراتها الجزئية.
ب
ج
ب
f (x) dx f (x) dx
ج
أ
أ
و (س) دكس

5) يمكن إخراج المضاعف الثابت
لعلامة التكامل المحدد.
6) تكامل محدد للجبر
مجاميع عدد محدود من المتواصل
وظائف تساوي نفس الجبرية
مجموع تكاملات محددة من هؤلاء
المهام.

3. تغيير المتغير في تكامل محدد.

3. استبدال متغير في محدد
متكامل.
ب
f (x) dx f (t) (t) dt
أ
أ () ، ب () ، (ر)
أين
ل [؛ ] ، الدالات (t) و (t) متصلة ؛
5
مثال:
1
=
× 1dx
=
× 1 5
ر 0 4
× 1 ر
dt dx
4
0
3
2
ر دت ر 2
3
4
0
2
2
16
1
ر t 40 4 2 0
5
3
3
3
3

التكاملات غير الصحيحة.

التكاملات غير الصحيحة.
تعريف. دع الوظيفة f (x) يتم تعريفها على
الفاصل الزمني اللانهائي ، حيث ب< + . Если
يوجد
ب
ليم
و (س) دكس ،
ب
أ
ثم يسمى هذا الحد غير لائق
تكامل الدالة f (x) في الفترة
}