العملية الحسابية التي يتم إجراؤها أخيرًا عند حساب قيمة التعبير هي العملية "الرئيسية".

أي أنه إذا قمت باستبدال بعض الأرقام (أي) بدلاً من الحروف، وحاولت حساب قيمة التعبير، فإذا كان الإجراء الأخير هو الضرب، فلدينا منتج (يتم تحليل التعبير إلى عوامل).

إذا كان الإجراء الأخير هو الجمع أو الطرح، فهذا يعني أن التعبير لم يتم تحليله (وبالتالي لا يمكن اختزاله).

لإصلاح ذلك بنفسك، بعض الأمثلة:

أمثلة:

حلول:

1. أتمنى ألا تتعجل على الفور في القطع و؟ لم يكن كافيًا بعد "تقليل" الوحدات مثل هذا:

يجب أن تكون الخطوة الأولى هي التحليل:

4. جمع وطرح الكسور. جلب الكسور إلى قاسم مشترك.

تعد عملية جمع وطرح الكسور العادية عملية معروفة: فنحن نبحث عن قاسم مشترك، ونضرب كل كسر في العامل المفقود ونجمع/نطرح البسط.

دعنا نتذكر:

الإجابات:

1. المقامات هي coprime، أي أنه ليس لديهم عوامل مشتركة. ولذلك، فإن المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام يساوي حاصل ضربها. وسيكون هذا هو القاسم المشترك:

2. هنا القاسم المشترك هو:

3. هنا، أولاً، نحول الكسور المختلطة إلى كسور غير صحيحة، وبعد ذلك - وفقًا للمخطط المعتاد:

أما إذا كانت الكسور تحتوي على حروف، فهذا أمر آخر تمامًا، على سبيل المثال:

لنبدأ ببساطة:

أ) المقامات لا تحتوي على حروف

هنا كل شيء هو نفسه كما هو الحال مع الكسور العددية العادية: نجد قاسمًا مشتركًا، ونضرب كل كسر في العامل المفقود ونضيف / نطرح البسطين:

يمكنك الآن في البسط إحضار العناصر المماثلة، إن وجدت، وتحليلها:

جربها بنفسك:

الإجابات:

ب) المقامات تحتوي على حروف

لنتذكر مبدأ إيجاد قاسم مشترك بدون حروف:

أولا وقبل كل شيء، نحدد العوامل المشتركة؛

ثم نكتب جميع العوامل المشتركة مرة واحدة؛

وضربها في جميع العوامل الأخرى، وليس العوامل المشتركة.

لتحديد العوامل المشتركة للمقامات، نقوم أولاً بتحليلها إلى عوامل بسيطة:

ونؤكد على العوامل المشتركة:

الآن نكتب العوامل المشتركة مرة واحدة ونضيف إليها جميع العوامل غير المشتركة (غير التي تحتها خط):

هذا هو القاسم المشترك.

دعونا نعود إلى الحروف. يتم إعطاء المقامات بنفس الطريقة تمامًا:

نحن نحلل القواسم إلى عوامل؛

تحديد المضاعفات المشتركة (المتطابقة)؛

اكتب جميع العوامل المشتركة مرة واحدة؛

ونضربها في جميع العوامل الأخرى، وليس العوامل المشتركة.

لذا بالترتيب:

1) تحليل القواسم إلى عوامل:

2) تحديد العوامل المشتركة (المتطابقة):

3) اكتب جميع العوامل المشتركة مرة واحدة واضربها في جميع العوامل الأخرى (غير التي تحتها خط):

لذا فإن القاسم المشترك هنا. يجب ضرب الكسر الأول بـ والثاني بـ:

بالمناسبة، هناك خدعة واحدة:

على سبيل المثال: .

نحن نرى نفس العوامل في القواسم، ولكن جميعها بمؤشرات مختلفة. القاسم المشترك سيكون:

الى حد

الى حد

الى حد

في الدرجة.

دعونا تعقيد المهمة:

كيفية جعل الكسور لها نفس المقام؟

دعونا نتذكر الخاصية الأساسية للكسر:

لم يُقال في أي مكان أنه يمكن طرح (أو إضافة) نفس الرقم من بسط ومقام الكسر. لأنه ليس صحيحا!

انظر بنفسك: خذ أي كسر، على سبيل المثال، وأضف بعض الأرقام إلى البسط والمقام، على سبيل المثال، . ما الذي تم تعلمه؟

إذن قاعدة أخرى لا تتزعزع:

عند إحضار الكسور إلى قاسم مشترك، استخدم عملية الضرب فقط!

ولكن ما الذي تحتاج إلى مضاعفة للحصول عليه؟

هنا وتتضاعف. واضرب بـ:

التعبيرات التي لا يمكن تحليلها إلى عوامل ستسمى "العوامل الأولية".

على سبيل المثال، هو عامل أولي. - نفس. لكن - لا: فهي متحللة إلى عوامل.

ماذا عن التعبير؟ هل هي ابتدائية؟

لا، لأنه يمكن تحليله:

(لقد قرأت بالفعل عن التخصيم في الموضوع "").

لذا، فإن العوامل الأولية التي تحلل إليها تعبيرًا ما بالأحرف هي نظير للعوامل البسيطة التي تحلل إليها الأرقام. وسنفعل نفس الشيء معهم.

نلاحظ أن كلا المقامين لهما عامل. سوف تذهب إلى القاسم المشترك في السلطة (تذكر لماذا؟).

المضاعف أساسي، وليس بينهما أي شيء مشترك، مما يعني أنه يجب ببساطة ضرب الكسر الأول به:

مثال آخر:

حل:

قبل مضاعفة هذه القواسم في حالة من الذعر، عليك أن تفكر في كيفية تحليلها؟ وكلاهما يمثل:

عظيم! ثم:

مثال آخر:

حل:

كالعادة، نقوم بتحليل المقامات. في المقام الأول، نخرجه ببساطة من القوسين؛ في الثاني - فرق المربعات:

يبدو أنه لا توجد عوامل مشتركة. ولكن إذا نظرت عن كثب، فهي متشابهة بالفعل ... والحقيقة هي:

لذلك دعونا نكتب:

أي أن الأمر أصبح هكذا: داخل القوس، قمنا بتبديل الحدود، وفي الوقت نفسه تغيرت الإشارة التي أمام الكسر إلى العكس. لاحظ أنه سيتعين عليك القيام بذلك كثيرًا.

والآن نأتي إلى قاسم مشترك:

فهمتها؟ الآن دعونا نتحقق.

مهام الحل المستقل:

الإجابات:

هنا يجب أن نتذكر شيئًا آخر - الفرق بين المكعبات:

يرجى ملاحظة أن مقام الكسر الثاني لا يحتوي على صيغة "مربع المجموع"! سيبدو مربع المجموع كما يلي:

A هو ما يسمى بالمربع غير الكامل للمجموع: الحد الثاني فيه هو حاصل ضرب الأول والأخير، وليس منتجهما المضاعف. يعد المربع غير المكتمل للمجموع أحد عوامل توسيع فرق المكعبات:

ماذا لو كان هناك بالفعل ثلاثة كسور؟

نعم نفسه! أولاً، سوف نتأكد من أن الحد الأقصى لعدد العوامل في المقامات هو نفسه:

انتبه: إذا قمت بتغيير الإشارات الموجودة داخل قوس واحد، فإن الإشارة التي أمام الكسر تتغير إلى العكس. عندما نغير الإشارة الموجودة في القوس الثاني، يتم عكس الإشارة الموجودة أمام الكسر مرة أخرى. ونتيجة لذلك، لم تتغير (العلامة الموجودة أمام الكسر).

نكتب المقام الأول بالكامل في المقام المشترك، ثم نضيف إليه جميع العوامل التي لم تُكتب بعد، من الثاني، ثم من الثالث (وهكذا، إذا كان هناك كسور أكثر). أي أن الأمر يسير على النحو التالي:

حسنًا ... مع الكسور، من الواضح ما يجب فعله. ولكن ماذا عن الاثنين؟

الأمر بسيط: أنت تعرف كيفية إضافة الكسور، أليس كذلك؟ لذلك، عليك التأكد من أن الشيطان يصبح كسرا! تذكر: الكسر هو عملية قسمة (يتم قسمة البسط على المقام، في حالة نسيانك فجأة). وليس هناك أسهل من قسمة عدد على. في هذه الحالة لن يتغير الرقم نفسه بل سيتحول إلى كسر:

بالضبط ما هو مطلوب!

5. ضرب وقسمة الكسور.

حسنًا، لقد انتهى الآن الجزء الأصعب. وأمامنا الأبسط ولكن في نفس الوقت الأهم:

إجراء

ما هو الإجراء لحساب تعبير رقمي؟ تذكر، مع الأخذ في الاعتبار قيمة مثل هذا التعبير:

هل حسبت؟

يجب أن تعمل.

لذلك، أذكرك.

الخطوة الأولى هي حساب الدرجة.

والثاني هو الضرب والقسمة. إذا كان هناك عدة عمليات ضرب وقسمة في نفس الوقت، فيمكنك القيام بها بأي ترتيب.

وأخيرًا، نجري عمليات الجمع والطرح. مرة أخرى، بأي ترتيب.

لكن: يتم تقييم التعبير الموجود بين قوسين خارج الترتيب!

إذا تم ضرب عدة أقواس أو قسمتها على بعضها البعض، فإننا أولًا نوجد قيمة التعبير الموجود في كل قوس، ثم نضربها أو قسمتها.

ماذا لو كان هناك أقواس أخرى داخل الأقواس؟ حسنًا، لنفكر: بعض التعبيرات مكتوبة بين قوسين. ما هو أول شيء يجب فعله عند تقييم التعبير؟ هذا صحيح، احسب الأقواس. حسنًا، لقد اكتشفنا ذلك: أولاً نحسب الأقواس الداخلية، ثم كل شيء آخر.

لذلك، ترتيب الإجراءات للتعبير أعلاه هو كما يلي (يتم تمييز الإجراء الحالي باللون الأحمر، أي الإجراء الذي أقوم به الآن):

حسنا، كل شيء بسيط.

لكن هذا ليس مثل التعبير بالأحرف، أليس كذلك؟

لا، إنه نفس الشيء! فقط بدلاً من العمليات الحسابية، من الضروري إجراء العمليات الجبرية، أي العمليات الموضحة في القسم السابق: جلب مماثلةوإضافة الكسور وتقليل الكسور وما إلى ذلك. سيكون الاختلاف الوحيد هو عملية تحليل كثيرات الحدود (نستخدمها غالبًا عند التعامل مع الكسور). في أغلب الأحيان، للتحليل، تحتاج إلى استخدام i أو ببساطة إزالة العامل المشترك من الأقواس.

عادةً ما يكون هدفنا هو تمثيل التعبير كمنتج أو حاصل القسمة.

على سبيل المثال:

دعونا نبسط التعبير.

1) أولا نقوم بتبسيط التعبير بين قوسين. لدينا هنا فرق الكسور، وهدفنا هو تمثيله كمنتج أو خارج القسمة. لذلك، نأتي بالكسور إلى قاسم مشترك ونضيف:

من المستحيل تبسيط هذا التعبير أكثر، كل العوامل هنا أولية (هل مازلت تتذكر ماذا يعني هذا؟).

2) نحصل على:

ضرب الكسور: ما يمكن أن يكون أسهل.

3) الآن يمكنك تقصير:

حسنًا، لقد انتهى كل شيء الآن. لا شيء معقد، أليس كذلك؟

مثال آخر:

تبسيط التعبير.

أولا، حاول حلها بنفسك، وبعد ذلك فقط انظر إلى الحل.

حل:

أولا وقبل كل شيء، دعونا نحدد الإجراء.

أولاً، دعونا نضيف الكسور بين قوسين، بدلاً من كسرين، سيظهر واحد.

ثم سنقوم بتقسيم الكسور. حسنًا، نضيف النتيجة مع الكسر الأخير.

سأقوم بترقيم الخطوات بشكل تخطيطي:

الآن سأعرض العملية برمتها، مع تلوين الإجراء الحالي باللون الأحمر:

1. إذا كان هناك مثلها فيجب إحضارها فوراً. في أي وقت يكون لدينا مثل هذه الأشياء، فمن المستحسن إحضارها على الفور.

2. الأمر نفسه ينطبق على تقليل الكسور: بمجرد ظهور فرصة للتقليل، يجب استغلالها. الاستثناء هو الكسور التي تضيفها أو تطرحها: إذا كانت لها نفس المقامات الآن، فيجب ترك التخفيض لوقت لاحق.

فيما يلي بعض المهام التي يمكنك حلها بنفسك:

ووعد في البداية:

الإجابات:

الحلول (قصيرة):

إذا تعاملت مع الأمثلة الثلاثة الأولى على الأقل، فهذا يعني أنك أتقنت الموضوع.

الآن إلى التعلم!

تحويل التعبير. الملخص والصيغة الأساسية

عمليات التبسيط الأساسية:

• جلب مماثل: لإضافة (تقليل) الحدود المتشابهة، عليك إضافة معاملاتها وتعيين جزء الحرف.
• التخصيم:إخراج العامل المشترك من بين قوسين، وتطبيقه، وما إلى ذلك.
• تخفيض الكسر: يمكن ضرب بسط الكسر ومقامه أو قسمته على نفس الرقم غير الصفر، والذي لا تتغير منه قيمة الكسر.
  1) البسط والمقام حلل إلى عوامل
  2) إذا كان هناك عوامل مشتركة في البسط والمقام، فيمكن شطبها.

  هام: يمكن تقليل المضاعفات فقط!

• جمع وطرح الكسور:
  ;
• ضرب وقسمة الكسور:
  ;

تعبير بالصيغة a (m/n)، حيث n هو عدد طبيعي ما، وm هو عدد صحيح وقاعدة الدرجة a أكبر من الصفر، تسمى درجة ذات أس كسري.علاوة على ذلك، فإن المساواة التالية صحيحة. n√(أ م) = أ (م/ن) .

كما نعلم بالفعل، فإن الأعداد التي على الصورة m/n، حيث n هو عدد طبيعي وm عدد صحيح، تسمى أرقامًا كسرية أو نسبية. ومما سبق نستنتج أن الدرجة محددة لأي أس كسري وأي أساس موجب للدرجة.

بالنسبة لأي أرقام منطقية p,q وأي a>0 وb>0، تكون المساواة التالية صحيحة:

• 1. (أ ع)*(أ ف) = أ (ع+ف)
• 2. (أ ع): (ب ف) = أ (ع-ف)
• 3. (أ ع) ف = أ (ع*ف)
• 4. (أ*ب) ص = (أ ع)*(ب ع)
• 5. (أ/ب) ص = (أ ع)/(ب ع)

تُستخدم هذه الخصائص على نطاق واسع عند تحويل التعبيرات المختلفة التي تحتوي على درجات ذات أسس كسرية.

أمثلة على تحويلات التعبيرات التي تحتوي على درجة ذات أس كسري

دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة التي توضح كيف يمكن استخدام هذه الخصائص لتحويل التعبيرات.

1. احسب 7 (1/4) * 7 (3/4) .

• 7 (1/4) * 7 (3/4) = ض (1/4 + 3/4) = 7.

2. احسب 9 (2/3) : 9 (1/6) .

• 9 (2/3) : 9 (1/6) = 9 (2/3 - 1/6) = 9 (1/2) = √9 = 3.

3. احسب (16 (1/3)) (9/4) .

• (16 (1/3)) (9/4) = 16 ((1/3)*(9/4)) =16 (3/4) = (2 4) (3/4) = 2 (4*3/4) = 2 3 = 8.

4. احسب 24 (2/3) .

• 24 (2/3) = ((2 3)*3) (2/3) = (2 (2*2/3))*3 (2/3) = 4*3√(3 2)=4*3√9.

5. احسب (8/27) (1/3) .

• (8/27) (1/3) = (8 (1/3))/(27 (1/3)) = ((2 3) (1/3))/((3 3) (1/3))= 2/3.

6. بسّط التعبير ((a (4/3))*b + a*b (4/3))/(3√a + 3√b)

• ((أ (4/3))*ب + أ*ب (4/3))/(3√أ + 3√ب) = (أ*ب*(أ (1/3) + ب (1/3 )))/(1/3) + ب (1/3)) = أ*ب.

7. احسب (25 (1/5))*(125 (1/5)).

• (25 (1/5))*(125 (1/5)) =(25*125) (1/5) = (5 5) (1/5) = 5.

8. تبسيط التعبير

• (أ (1/3) - أ (7/3))/(أ (1/3) - أ (4/3)) - (أ (-1/3) - أ (5/3))/( أ(2/3) + أ(-1/3)).
• (أ (1/3) - أ (7/3))/(أ (1/3) - أ (4/3)) - (أ (-1/3) - أ (5/3))/( أ(2/3) + أ(-1/3)) =
• = ((أ (1/3))*(1-أ 2))/((أ (1/3))*(1-أ)) - ((أ (-1/3))*(1- أ 2))/ ((أ (-1/3))*(1+أ)) =
• = 1 + أ - (1-أ) = 2*أ.

كما ترون، باستخدام هذه الخصائص، يمكنك تبسيط بعض التعبيرات التي تحتوي على درجات ذات أسس كسرية بشكل كبير.

دعونا نفكر في موضوع تحويل التعبيرات بالقوى، ولكن أولاً سنتناول عددًا من التحولات التي يمكن إجراؤها باستخدام أي تعبيرات، بما في ذلك تعبيرات القوة. سوف نتعلم كيف نفتح الأقواس، ونكتب الحدود المتشابهة، ونتعامل مع الأساس والأس، ونستخدم خواص القوى.

ما هي تعبيرات القوة؟

في الدورة المدرسية، يستخدم عدد قليل من الأشخاص عبارة "تعبيرات القوة"، ولكن هذا المصطلح موجود باستمرار في مجموعات التحضير للامتحان. في معظم الحالات، تشير العبارة إلى التعبيرات التي تحتوي على درجات في إدخالاتها. وهذا ما سنعكسه في تعريفنا.

التعريف 1

تعبير عن القوةهو تعبير يحتوي على درجات.

نعطي عدة أمثلة على تعبيرات القوة، بدءا من درجة ذات أس طبيعي وانتهاء بدرجة ذات أس حقيقي.

أبسط تعبيرات القوة يمكن اعتبارها قوى لعدد ذي أس طبيعي: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 a 2 − a + أ 2 , x 3 − 1 , (أ 2) 3 . وكذلك القوى ذات الأس الصفري: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . والقوى ذات الأعداد الصحيحة السالبة: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .

من الأصعب قليلاً العمل بدرجة لها أسس عقلانية وغير عقلانية: 264 1 4 - 3 3 3 1 2 , 2 3 , 5 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 a 1 4 a 1 2 - 2 أ - 1 6 · ب 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

يمكن أن يكون المؤشر متغيرًا 3 x - 54 - 7 3 x - 58 أو لوغاريتمًا س 2 ل ز س − 5 س ل ز س.

لقد تعاملنا مع مسألة ما هي تعبيرات السلطة. الآن دعونا تحويلها.

الأنواع الرئيسية لتحولات تعبيرات القوة

أولاً، سننظر في تحويلات الهوية الأساسية للتعبيرات التي يمكن إجراؤها باستخدام تعبيرات القوة.

مثال 1

حساب قيمة التعبير عن الطاقة 2 3 (4 2 − 12).

حل

سنقوم بتنفيذ جميع التحولات وفقًا لترتيب الإجراءات. في هذه الحالة، سنبدأ بتنفيذ الإجراءات الموجودة بين قوسين: سنستبدل الدرجة بقيمة رقمية ونحسب الفرق بين الرقمين. لدينا 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

يبقى لنا أن نستبدل الدرجة 2 3 معناها 8 وحساب المنتج 8 4 = 32. هنا هو جوابنا.

إجابة: 2 3 (4 2 − 12) = 32 .

مثال 2

تبسيط التعبير مع القوى 3 أ 4 ب − 7 − 1 + 2 أ 4 ب − 7.

حل

إن التعبير المعطى لنا في حالة المشكلة يحتوي على مصطلحات مشابهة، يمكننا أن نأتي بها: 3 أ 4 ب − 7 − 1 + 2 أ 4 ب − 7 = 5 أ 4 ب − 7 − 1.

إجابة: 3 أ 4 ب − 7 − 1 + 2 أ 4 ب − 7 = 5 أ 4 ب − 7 − 1 .

مثال 3

عبر عن عبارة بقوى 9 - b 3 · π - 1 2 كحاصل ضرب.

حل

دعونا نمثل الرقم 9 كقوة 3 2 وتطبيق صيغة الضرب المختصرة:

9 - ب 3 π - 1 2 = 3 2 - ب 3 π - 1 2 = = 3 - ب 3 π - 1 3 + ب 3 π - 1

إجابة: 9 - ب 3 π - 1 2 = 3 - ب 3 π - 1 3 + ب 3 π - 1 .

والآن دعنا ننتقل إلى تحليل التحويلات المتطابقة التي يمكن تطبيقها على وجه التحديد على تعبيرات القوة.

العمل مع القاعدة والأس

يمكن أن تحتوي الدرجة الموجودة في الأساس أو الأس على أرقام ومتغيرات وبعض التعبيرات. على سبيل المثال، (2 + 0 ، 3 7) 5 − 3 ، 7و . من الصعب العمل مع مثل هذه السجلات. من الأسهل كثيرًا استبدال التعبير الموجود في أساس الدرجة أو التعبير الموجود في الأس بتعبير متساوٍ تمامًا.

تتم تحويلات الدرجة والمؤشر وفقًا للقواعد المعروفة لدينا بشكل منفصل عن بعضها البعض. الشيء الأكثر أهمية هو أنه نتيجة للتحولات يتم الحصول على تعبير مطابق للتعبير الأصلي.

الغرض من التحويلات هو تبسيط التعبير الأصلي أو الحصول على حل للمشكلة. على سبيل المثال، في المثال الذي قدمناه أعلاه، (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 يمكنك إجراء عمليات للوصول إلى الدرجة 4 , 1 1 , 3 . بفتح القوسين، يمكننا وضع حدود متشابهة في قاعدة الدرجة (أ (أ + 1) − أ 2) 2 (س + 1)والحصول على تعبير القوة لشكل أبسط أ 2 (س + 1).

استخدام خصائص الطاقة

تعد خصائص الدرجات، المكتوبة على هيئة مساوات، إحدى الأدوات الرئيسية لتحويل التعبيرات بالدرجات. نقدم هنا أهمها، مع الأخذ في الاعتبار ذلك أو بهي أي أرقام إيجابية، و صو س- الأعداد الحقيقية التعسفية:

التعريف 2

• أ ص أ ق = أ ص + ق ;
• أ ص: أ ق = أ ص − ق ;
• (أ ب) ص = أ ص ب ص ;
• (أ: ب) ص = أ ص: ب ص ;
• (أ ص) ق = أ ص ق .

في الحالات التي نتعامل فيها مع الأسس الطبيعية والأعداد الصحيحة والموجبة، يمكن أن تكون القيود المفروضة على الأرقام a وb أقل صرامة بكثير. لذلك، على سبيل المثال، إذا نظرنا إلى المساواة أ م ن = أ م + ن، أين مو نهي أعداد طبيعية، فسيكون ذلك صحيحًا بالنسبة لأي قيم a، سواء كانت إيجابية أو سلبية، وكذلك بالنسبة لـ أ = 0.

يمكنك تطبيق خصائص الدرجات دون قيود في الحالات التي تكون فيها أسس الدرجات موجبة أو تحتوي على متغيرات نطاق قيمها المقبولة بحيث تأخذ القواعد عليها قيما موجبة فقط. في الواقع، في إطار المنهج المدرسي في الرياضيات، تتمثل مهمة الطالب في اختيار الخاصية المناسبة وتطبيقها بشكل صحيح.

عند التحضير للقبول في الجامعات، قد تكون هناك مهام يؤدي فيها التطبيق غير الدقيق للخصائص إلى تضييق نطاق ODZ وصعوبات أخرى في الحل. في هذا القسم، سننظر في حالتين فقط من هذا القبيل. يمكن العثور على مزيد من المعلومات حول هذا الموضوع في موضوع "تحويل التعبيرات باستخدام خصائص الأس".

مثال 4

تمثيل التعبير أ 2 ، 5 (أ 2) - 3: أ - 5 ، 5كدرجة مع القاعدة أ.

حل

في البداية، نستخدم الخاصية الأسية ونحول العامل الثاني باستخدامها (أ 2) - 3. ثم نستخدم خصائص ضرب وقسمة القوى ذات الأساس نفسه:

أ 2 , 5 أ − 6: أ − 5 , 5 = أ 2 , 5 − 6: أ − 5 , 5 = أ − 3 , 5: أ − 5 , 5 = أ − 3 , 5 − (− 5 , 5) ) = أ 2 .

إجابة:أ 2 , 5 (أ 2) − 3: أ − 5 , 5 = أ 2 .

يمكن تحويل تعبيرات القوة وفقًا لخاصية الدرجات من اليسار إلى اليمين وفي الاتجاه المعاكس.

مثال 5

أوجد قيمة تعبير القوة 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

حل

إذا طبقنا المساواة (أ ب) ص = أ ص ب ص، من اليمين إلى اليسار، نحصل على حاصل الضرب بالشكل 3 7 1 3 21 2 3 ثم 21 1 3 21 2 3 . لنجمع الأسس عند ضرب القوى بنفس الأساس: 21 1 3 21 2 3 \u003d 21 1 3 + 2 3 \u003d 21 1 \u003d 21.

هناك طريقة أخرى لإجراء التحولات:

3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 = = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

إجابة: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

مثال 6

نظرا لتعبير السلطة أ 1 , 5 − أ 0 , 5 − 6، أدخل متغيرًا جديدًا ر = أ 0، 5.

حل

تخيل الدرجة أ 1، 5كيف أ 0، 5 3. استخدام خاصية الدرجة في الدرجة (أ ص) ق = أ ص قمن اليمين إلى اليسار واحصل على (أ 0 , 5) 3: أ 1 , 5 - أ 0 , 5 - 6 = (أ 0 , 5) 3 - أ 0 , 5 - 6 . في التعبير الناتج، يمكنك بسهولة إدخال متغير جديد ر = أ 0، 5: يحصل ر 3 – ر − 6.

إجابة:ر 3 − ر − 6 .

تحويل الكسور التي تحتوي على القوى

نتعامل عادة مع نوعين مختلفين من تعبيرات القوة مع الكسور: التعبير عبارة عن كسر بدرجة أو يحتوي على مثل هذا الكسر. تنطبق جميع تحويلات الكسور الأساسية على مثل هذه التعبيرات دون قيود. يمكن تخفيضها، وإحضارها إلى مقام جديد، والعمل بشكل منفصل مع البسط والمقام. دعونا نوضح ذلك بالأمثلة.

مثال 7

بسّط تعبير القوة 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 .

حل

نحن نتعامل مع كسر، لذلك سنقوم بإجراء التحويلات في كل من البسط والمقام:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 × 2 - 3 - 3 × 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - × 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - س 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - س 2

ضع علامة ناقص أمام الكسر لتغيير إشارة المقام: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

إجابة: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 × 2 - 3 - 3 × 2 = - 12 2 + × 2

يتم اختزال الكسور التي تحتوي على قوى إلى مقام جديد بنفس طريقة الكسور المنطقية. للقيام بذلك، تحتاج إلى إيجاد عامل إضافي وضرب بسط ومقام الكسر به. من الضروري تحديد عامل إضافي بحيث لا يختفي لأي قيم للمتغيرات من متغيرات ODZ للتعبير الأصلي.

مثال 8

قم بإحضار الكسور إلى مقام جديد: أ) أ + 1 أ 0، 7 إلى المقام أ, ب) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 إلى المقام x + 8 y 1 2 .

حل

أ) نختار عاملاً يسمح لنا بالاختزال إلى مقام جديد. أ 0 , 7 أ 0 , 3 = أ 0 , 7 + 0 , 3 = أ ,لذلك، كعامل إضافي، نأخذ أ 0، 3. يشمل نطاق القيم المسموح بها للمتغير a مجموعة جميع الأعداد الحقيقية الموجبة. في هذا المجال درجة أ 0، 3لا يذهب إلى الصفر.

دعونا نضرب بسط ومقام الكسر في أ 0، 3:

أ + 1 أ 0، 7 = أ + 1 أ 0، 3 أ 0، 7 أ 0، 3 = أ + 1 أ 0، 3 أ

ب) انتبه إلى المقام:

س 2 3 - 2 س 1 3 ص 1 6 + 4 ص 1 3 = = س 1 3 2 - س 1 3 2 ص 1 6 + 2 ص 1 6 2

اضرب هذا التعبير في x 1 3 + 2 · y 1 6 ، نحصل على مجموع المكعبات x 1 3 و 2 · y 1 6 ، أي. س + 8 · ص 1 2 . هذا هو المقام الجديد الذي علينا إحضار الكسر الأصلي إليه.

لذلك وجدنا عاملًا إضافيًا x 1 3 + 2 · 1 6 . على نطاق القيم المقبولة للمتغيرات سو ذالتعبير x 1 3 + 2 y 1 6 لا يختفي، لذا يمكننا ضرب بسط الكسر ومقامه به:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 ص 1 6 + 4 ص 1 3 = = x 1 3 + 2 ص 1 6 x 1 3 + 2 ص 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 ص 1 6 + 4 ص 1 3 = = س 1 3 + 2 ص 1 6 x 1 3 3 + 2 ص 1 6 3 = س 1 3 + 2 ص 1 6 س + 8 ص 1 2

إجابة:أ) أ + 1 أ 0، 7 = أ + 1 أ 0، 3 أ، ب) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 ص 1 6 + 4 ص 1 3 = x 1 3 + 2 ص 1 6 x + 8 ص 1 2 .

مثال 9

اختصر الكسر: أ) 30 × 3 (س 0، 5 + 1) × + 2 × 1 1 3 - 5 3 45 × 0، 5 + 1 2 × + 2 × 1 1 3 - 5 3، ب) أ 1 4 - ب 1 4 أ 1 2 - ب 1 2.

حل

أ) استخدم القاسم المشترك الأكبر (GCD) الذي يمكن من خلاله تقليل البسط والمقام. بالنسبة للأرقام 30 و 45، هذا هو 15 . يمكننا أيضًا تقليل س 0 ، 5 + 1و على x + 2 x 1 1 3 - 5 3 .

نحن نحصل:

30 x 3 (x 0 , 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0 , 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0 , 5 + 1)

ب) هنا ليس من الواضح وجود عوامل متطابقة. سيتعين عليك إجراء بعض التحويلات للحصول على نفس العوامل في البسط والمقام. للقيام بذلك، نقوم بتوسيع المقام باستخدام صيغة فرق المربعات:

أ 1 4 - ب 1 4 أ 1 2 - ب 1 2 = أ 1 4 - ب 1 4 أ 1 4 2 - ب 1 2 2 = = أ 1 4 - ب 1 4 أ 1 4 + ب 1 4 أ 1 4 - ب 1 4 = 1 أ 1 4 + ب 1 4

إجابة:أ) 30 × 3 (× 0، 5 + 1) × + 2 × 1 1 3 - 5 3 45 × 0، 5 + 1 2 × + 2 × 1 1 3 - 5 3 = 2 · × 3 3 · (س 0 , 5 + 1) , ب) أ 1 4 - ب 1 4 أ 1 2 - ب 1 2 = 1 أ 1 4 + ب 1 4 .

تشمل العمليات الأساسية مع الكسور الاختزال إلى مقام جديد واختزال الكسور. يتم تنفيذ كلا الإجراءين وفقًا لعدد من القواعد. عند جمع وطرح الكسور، يتم أولاً اختزال الكسور إلى قاسم مشترك، وبعد ذلك يتم تنفيذ الإجراءات (الجمع أو الطرح) باستخدام البسط. يبقى القاسم كما هو. نتيجة أفعالنا هي كسر جديد، بسطه هو حاصل ضرب البسطين، ومقامه هو حاصل ضرب المقامات.

مثال 10

قم بتنفيذ الخطوات x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

حل

لنبدأ بطرح الكسور الموجودة بين قوسين. فلنضعهم في قاسم مشترك:

× 1 2 - 1 × 1 2 + 1

دعونا نطرح البسطين:

س 1 2 + 1 س 1 2 - 1 - س 1 2 - 1 س 1 2 + 1 1 س 1 2 = = س 1 2 + 1 س 1 2 + 1 س 1 2 - 1 س 1 2 + 1 - س 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 × 1 2 + 1 1 × 1 2

الآن نضرب الكسور:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

دعونا نقلل بمقدار درجة × 1 2، نحصل على 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 .

بالإضافة إلى ذلك، يمكنك تبسيط تعبير القوة في المقام باستخدام صيغة الفرق بين المربعات: المربعات: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1.

إجابة:س 1 2 + 1 س 1 2 - 1 - س 1 2 - 1 س 1 2 + 1 1 س 1 2 = 4 س - 1

مثال 11

بسّط تعبير القوة x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 .
حل

يمكننا تقليل الكسر بواسطة (× ٢ ، ٧ + ١) ٢. نحصل على كسر x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

لنكمل تحويلات القوى x x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 . يمكنك الآن استخدام خاصية تقسيم الطاقة بنفس القواعد: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .

ننتقل من المنتج الأخير إلى الكسر x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

إجابة:س 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .

في معظم الحالات، يكون من الملائم أكثر نقل المضاعفات ذات الأسس السالبة من البسط إلى المقام والعكس عن طريق تغيير إشارة الأس. هذا الإجراء يبسط القرار الإضافي. لنعطي مثالاً: يمكن استبدال تعبير القوة (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 بـ x 3 · (x + 1) 0 , 2 .

تحويل التعبيرات مع الجذور والقوى

في المهام، توجد تعبيرات قوة لا تحتوي فقط على الدرجات ذات الأسس الكسرية، بل تحتوي أيضًا على الجذور. من المستحسن اختزال مثل هذه التعبيرات في الجذور فقط أو في القوى فقط. يُفضل الانتقال إلى الدرجات العلمية، حيث يسهل التعامل معها. يكون مثل هذا الانتقال مفيدًا بشكل خاص عندما يسمح لك DPV لمتغيرات التعبير الأصلي باستبدال الجذور بالقوى دون الحاجة إلى الوصول إلى المعامل أو تقسيم DPV إلى عدة فترات.

مثال 12

عبر عن التعبير x 1 9 x x 3 6 كقوة.

حل

نطاق صالح للمتغير سيتم تحديده من خلال اثنين من عدم المساواة س ≥ 0و x · x 3 ≥ 0 ، والتي تحدد المجموعة [ 0 , + ∞) .

في هذه المجموعة يحق لنا أن ننتقل من الجذور إلى القوى:

× 1 9 × 3 6 = × 1 9 × × 1 3 1 6

باستخدام خصائص الدرجات، نقوم بتبسيط تعبير القوة الناتج.

× 1 9 × × 1 3 1 6 = × 1 9 × 1 6 × 1 3 1 6 = × 1 9 × 1 6 × 1 1 3 6 = = × 1 9 × 1 6 × 1 18 = × 1 9 + 1 6 + 1 18 = س 1 3

إجابة: x 1 9 x x 3 6 = x 1 3 .

تحويل القوى مع المتغيرات في الأس

من السهل جدًا إجراء هذه التحويلات إذا كنت تستخدم خصائص الدرجة بشكل صحيح. على سبيل المثال، 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

يمكننا استبدال حاصل ضرب الدرجة التي يتم من خلالها إيجاد مجموع متغير ورقم. على الجانب الأيسر، يمكن القيام بذلك باستخدام المصطلحين الأول والأخير على الجانب الأيسر من التعبير:

5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0 , 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0 .

الآن دعونا نقسم طرفي المعادلة على 7 2 س. يأخذ هذا التعبير على ODZ للمتغير x قيمًا موجبة فقط:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0, 5 5 2 × 7 2 × - 3 5 × 7 × 7 × 7 × - 2 7 2 × 7 2 × = 0

دعونا نختصر الكسور بالقوى، نحصل على: 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 = 0 .

أخيرًا، يتم استبدال نسبة القوى التي لها نفس الأسس بقوى النسب، مما يؤدي إلى المعادلة 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 ، أي ما يعادل 5 5 7 x 2 - 3 5 7 س - 2 = 0 .

دعونا نقدم متغيرًا جديدًا t = 5 7 x مما يقلل حل المعادلة الأسية الأصلية إلى حل المعادلة التربيعية 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 .

تحويل التعبيرات مع القوى واللوغاريتمات

التعبيرات التي تحتوي على القوى واللوغاريتمات موجودة أيضًا في المشكلات. من أمثلة هذه التعبيرات: 1 4 1 - 5 log 2 3 أو log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) log 5 3 . يتم تحويل هذه التعبيرات باستخدام الأساليب التي تمت مناقشتها أعلاه وخصائص اللوغاريتمات، والتي قمنا بتحليلها بالتفصيل في موضوع "تحويل التعبيرات اللوغاريتمية".

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، يرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

التعبيرات، تحويل التعبير

تعبيرات القوة (التعبيرات ذات القوى) وتحولها

في هذه المقالة سنتحدث عن تحويل التعبيرات بالقوى. أولاً، سنركز على التحويلات التي يتم إجراؤها باستخدام العبارات من أي نوع، بما في ذلك عبارات القوة، مثل فتح الأقواس، وتقليل الحدود المتشابهة. وبعد ذلك سنقوم بتحليل التحويلات المتأصلة على وجه التحديد في التعبيرات ذات الدرجات: العمل مع الأساس والأس، واستخدام خصائص الدرجات، وما إلى ذلك.

التنقل في الصفحة.

ما هي تعبيرات القوة؟

مصطلح "تعبيرات القوة" غير موجود عمليا في الكتب المدرسية للرياضيات، ولكنه غالبا ما يظهر في مجموعات من المشاكل، المصممة خصيصا للتحضير لامتحان الدولة الموحدة و OGE، على سبيل المثال. بعد تحليل المهام التي تتطلب تنفيذ أي إجراءات باستخدام تعبيرات القوة، يصبح من الواضح أن تعبيرات القوة تُفهم على أنها تعبيرات تحتوي على درجات في مدخلاتها. لذلك، لنفسك، يمكنك أن تأخذ التعريف التالي:

تعريف.

تعبيرات القوةهي تعبيرات تحتوي على صلاحيات.

دعونا نحضر أمثلة على تعبيرات القوة. علاوة على ذلك، فإننا سنمثلهم بحسب كيفية تطور وجهات النظر من درجة ذات مؤشر طبيعي إلى درجة ذات مؤشر حقيقي.

كما تعلم، ستتعرف أولاً على درجة الرقم ذي الأس الطبيعي، في هذه المرحلة أول أبسط تعبيرات القوة من النوع 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0,1 ) 4 , 3 أ 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 إلخ.

وبعد ذلك بقليل تتم دراسة أس العدد ذو الأس الصحيح، مما يؤدي إلى ظهور تعبيرات الأس ذات الأس الصحيح السالب، مثل ما يلي: 3 −2, , أ −2 +2 ب −3 + ج 2 .

وفي الصفوف العليا يعودون إلى الدرجات مرة أخرى. هناك يتم تقديم درجة ذات أس عقلاني، مما يؤدي إلى ظهور تعبيرات القوة المقابلة: , , وما إلى ذلك وهلم جرا. وأخيرا، تعتبر الدرجات ذات الأسس غير المنطقية والعبارات التي تحتوي عليها: , .

لا يقتصر الأمر على تعبيرات القوة المذكورة: علاوة على ذلك، يخترق المتغير الأس، وهناك، على سبيل المثال، مثل هذه التعبيرات 2 × 2 +1 أو . وبعد التعرف عليها تبدأ التعبيرات ذات القوى واللوغاريتمات في الظهور، على سبيل المثال x 2 lgx −5 x lgx.

لذلك، توصلنا إلى مسألة ما هي تعبيرات القوة. وبعد ذلك، سوف نتعلم كيفية تحويلها.

الأنواع الرئيسية لتحولات تعبيرات القوة

باستخدام تعبيرات الطاقة، يمكنك تنفيذ أي من المهام الأساسية تحويلات متطابقة من التعبيرات. على سبيل المثال، يمكنك توسيع الأقواس، واستبدال التعبيرات الرقمية بقيمها، وإضافة مصطلحات متشابهة، وما إلى ذلك. وبطبيعة الحال، في هذه الحالة من الضروري الامتثال للمقبول ترتيب الإجراءات. دعونا نعطي أمثلة.

مثال.

احسب قيمة تعبير القوة 2 3 ·(4 2 −12) .

حل.

وفقًا لترتيب الإجراءات، نقوم أولاً بتنفيذ الإجراءات الموجودة بين قوسين. هناك، أولاً، نستبدل أس 4 2 بقيمته 16 (انظر إذا لزم الأمر)، وثانيًا، نحسب الفرق 16−12=4 . لدينا 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4.

في التعبير الناتج، نستبدل أس 2 3 بقيمته 8 ، وبعد ذلك نحسب حاصل الضرب 8·4=32 . هذه هي القيمة المطلوبة.

لذا، 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4=8 4=32.

إجابة:

2 3 (4 2 −12)=32 .

مثال.

تبسيط تعبيرات القوة 3 أ 4 ب −7 −1+2 أ 4 ب −7.

حل.

ومن الواضح أن هذا التعبير يحتوي على شروط الأعجاب 3 أ 4 ب −7 و 2 أ 4 ب −7 ، ويمكننا تقليلهما: .

إجابة:

3 أ 4 ب −7 −1+2 أ 4 ب −7 =5 أ 4 ب −7 −1.

مثال.

التعبير عن التعبير بالصلاحيات كمنتج.

حل.

للتعامل مع المهمة يسمح بتمثيل الرقم 9 كقوة 3 2 والاستخدام اللاحق صيغ الضرب المختصرةفرق المربعات:

إجابة:

هناك أيضًا عدد من التحولات المتطابقة المتأصلة في تعبيرات القوة. وبعد ذلك، سوف نقوم بتحليلها.

العمل مع القاعدة والأس

هناك درجات، في الأساس و/أو المؤشر ليس مجرد أرقام أو متغيرات، ولكن بعض التعبيرات. كمثال، لنكتب (2+0.3 7) 5−3.7 و (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) .

عند العمل مع تعبيرات مماثلة، يمكن استبدال كل من التعبير الموجود في أساس الدرجة والتعبير الموجود في الأس بتعبير متساوٍ تمامًا في ODZمتغيراته. بمعنى آخر، وفقًا للقواعد المعروفة لدينا، يمكننا تحويل قاعدة الدرجة بشكل منفصل، وبشكل منفصل - المؤشر. من الواضح أنه نتيجة لهذا التحول، يتم الحصول على تعبير يساوي التعبير الأصلي تمامًا.

تتيح لنا مثل هذه التحولات تبسيط التعبيرات ذات القوى أو تحقيق أهداف أخرى نحتاجها. على سبيل المثال، في تعبير القوة (2+0.3 7) 5−3.7 المذكور أعلاه، يمكنك إجراء عمليات باستخدام الأرقام في الأساس والأس، مما سيسمح لك بالانتقال إلى قوة 4.1 1.3. وبعد فتح الأقواس وإحضار الحدود المتشابهة في قاعدة الدرجة (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) نحصل على تعبير قوة بشكل أبسط a 2·(x+1) ) .

استخدام خصائص الطاقة

إحدى الأدوات الرئيسية لتحويل التعبيرات بالقوى هي المساواة التي تعكس . دعونا نتذكر أهمها. بالنسبة لأي أرقام موجبة a وb وأعداد حقيقية عشوائية r وs، فإن خصائص القوة التالية تحمل:

• أ ص أ ق = أ ص + ق ;
• أ ص:أ ق =أ ص−س ;
• (أ ب) ص = أ ص ب ص ;
• (أ:ب) ص =أ ص:ب ص ;
• (أ ص) ق =أ ص ق .

لاحظ أنه بالنسبة للأسس الطبيعية والأعداد الصحيحة والموجبة، قد لا تكون القيود المفروضة على الأرقام a وb صارمة جدًا. على سبيل المثال، بالنسبة للأعداد الطبيعية m و n، فإن المساواة a m ·a n =a m+n صحيحة ليس فقط بالنسبة للموجب a ، ولكن أيضًا بالنسبة للأعداد السالبة، وبالنسبة لـ a=0 .

في المدرسة، يركز الاهتمام الرئيسي في تحويل تعبيرات القوة على وجه التحديد على القدرة على اختيار الخاصية المناسبة وتطبيقها بشكل صحيح. في هذه الحالة، تكون أسس الدرجات عادة إيجابية، مما يسمح لك باستخدام خصائص الدرجات دون قيود. الأمر نفسه ينطبق على تحويل التعبيرات التي تحتوي على متغيرات في قواعد الدرجات - نطاق القيم المقبولة للمتغيرات عادة ما يكون بحيث تأخذ القواعد قيمًا موجبة فقط عليها، مما يسمح لك باستخدام الخصائص بحرية من الدرجات. بشكل عام، عليك أن تسأل نفسك باستمرار ما إذا كان من الممكن تطبيق أي خاصية للدرجات في هذه الحالة، لأن الاستخدام غير الدقيق للخصائص يمكن أن يؤدي إلى تضييق ODZ ومشاكل أخرى. تمت مناقشة هذه النقاط بالتفصيل ومع الأمثلة في المقالة. تحويل التعبيرات باستخدام خصائص الدرجات. ونحن هنا نقتصر على بعض الأمثلة البسيطة.

مثال.

عبر عن التعبير a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 كقوة ذات أساس a .

حل.

أولاً، نحول العامل الثاني (a 2) −3 بخاصية رفع قوة إلى قوة: (أ 2) −3 =أ 2 (−3) =أ −6. في هذه الحالة، تعبير القوة الأولي سوف يأخذ الشكل a 2.5 ·a −6:a −5.5 . من الواضح أنه يبقى استخدام خصائص ضرب وقسمة القوى بنفس الأساس الذي لدينا
أ 2.5 أ -6:أ -5.5 =
أ 2.5−6:أ−5.5 =أ−3.5:أ−5.5 =
أ −3.5−(−5.5) =أ 2 .

إجابة:

أ 2.5 (أ 2) -3: أ -5.5 \u003d أ 2.

تُستخدم خصائص الطاقة عند تحويل تعبيرات الطاقة من اليسار إلى اليمين ومن اليمين إلى اليسار.

مثال.

أوجد قيمة تعبير القوة.

حل.

المساواة (a·b) r =a r ·b r ، المطبقة من اليمين إلى اليسار، تسمح لك بالانتقال من التعبير الأصلي إلى منتج النموذج وأكثر من ذلك. وعند ضرب القوى بنفس الأساس، تتجمع المؤشرات: .

كان من الممكن إجراء تحويل التعبير الأصلي بطريقة أخرى:

إجابة:

.

مثال.

بالنظر إلى تعبير الطاقة a 1.5 −a 0.5 −6 , أدخل متغيرًا جديدًا t=a 0.5 .

حل.

يمكن تمثيل الدرجة a 1.5 كـ 0.5 3 وكذلك على أساس خاصية الدرجة في الدرجة (a r) s =a r s المطبقة من اليمين إلى اليسار، قم بتحويلها إلى النموذج (a 0.5) 3 . هكذا، أ 1.5 -أ 0.5 -6=(أ 0.5) 3 -أ 0.5 -6. من السهل الآن إدخال متغير جديد t=a 0.5 ، نحصل على t 3 −t−6 .

إجابة:

ر 3 −t−6 .

تحويل الكسور التي تحتوي على القوى

يمكن أن تحتوي تعبيرات القوة على كسور ذات قوى أو تمثل هذه الكسور. لمثل هذه الكسور، أي من الرئيسي تحويلات الكسر، وهي متأصلة في الكسور من أي نوع. أي أنه يمكن اختزال الكسور التي تحتوي على درجات، أو اختزالها إلى مقام جديد، أو العمل بشكل منفصل مع بسطها، وبشكل منفصل مع المقام، وما إلى ذلك. لتوضيح الكلمات أعلاه، فكر في حلول عدة أمثلة.

مثال.

تبسيط التعبير عن القوة .

حل.

تعبير القوة هذا عبارة عن كسر. دعونا نعمل مع البسط والمقام. في البسط نفتح الأقواس ونبسط التعبير الناتج بعد ذلك باستخدام خصائص القوى، وفي المقام نقدم مصطلحات مماثلة:

ونقوم أيضًا بتغيير إشارة المقام بوضع علامة ناقص أمام الكسر: .

إجابة:

.

يتم تنفيذ اختزال الكسور التي تحتوي على قوى إلى مقام جديد بشكل مشابه لاختزال الكسور المنطقية إلى مقام جديد. وفي الوقت نفسه، يتم أيضًا العثور على عامل إضافي ويتم ضرب بسط الكسر ومقامه به. عند تنفيذ هذا الإجراء، تجدر الإشارة إلى أن التخفيض إلى قاسم جديد يمكن أن يؤدي إلى تضييق DPV. ولمنع حدوث ذلك، من الضروري ألا يختفي العامل الإضافي لأي قيم للمتغيرات من متغيرات ODZ للتعبير الأصلي.

مثال.

إحضار الكسور إلى مقام جديد: أ) إلى المقام أ، ب) إلى القاسم.

حل.

أ) في هذه الحالة، من السهل جدًا معرفة العامل الإضافي الذي يساعد في تحقيق النتيجة المرجوة. هذا عامل 0.3 حيث أن 0.7 أ 0.3 = أ 0.7+0.3 = أ . لاحظ أنه في نطاق القيم المقبولة للمتغير a (هذه هي مجموعة جميع الأعداد الحقيقية الموجبة)، فإن الدرجة a 0.3 لا تختفي، لذلك يحق لنا ضرب البسط والمقام للكسر المعطى بهذا العامل الإضافي:

ب) إذا نظرنا عن كثب إلى المقام، نجد ذلك

وضرب هذا التعبير في سيعطي مجموع المكعبات و . وهذا هو المقام الجديد الذي علينا نقل الكسر الأصلي إليه.

لذلك وجدنا عاملاً إضافياً. لا يختفي التعبير على مدى القيم المقبولة للمتغيرين x و y، لذلك يمكننا ضرب بسط الكسر ومقامه به:

إجابة:

أ) ، ب) .

كما لا يوجد جديد في اختزال الكسور التي تحتوي على درجات: يتم تمثيل البسط والمقام بعدد معين من العوامل، ويتم اختزال نفس عوامل البسط والمقام.

مثال.

تقليل الكسر: أ) ، ب).

حل.

أ) أولاً، يمكن اختزال البسط والمقام بالرقمين 30 و45، وهو ما يساوي 15. ومن الواضح أيضًا أنه يمكنك تقليله بمقدار x 0.5 +1 وبواسطة . وهنا ما لدينا:

ب) في هذه الحالة، نفس العوامل في البسط والمقام ليست مرئية على الفور. للحصول عليها، عليك إجراء التحولات الأولية. وهي تتمثل في هذه الحالة في تحليل المقام إلى عوامل حسب صيغة فرق المربعات:

إجابة:

أ)

ب) .

يتم استخدام اختزال الكسور إلى مقام جديد وتصغير الكسور بشكل أساسي لإجراء العمليات على الكسور. يتم تنفيذ الإجراءات وفقًا للقواعد المعروفة. عند إضافة (طرح) الكسور، يتم اختزالها إلى قاسم مشترك، وبعد ذلك يتم إضافة (طرح) البسط، ويبقى المقام كما هو. والنتيجة هي كسر بسطه حاصل ضرب البسطين، ومقامه حاصل ضرب المقامين. القسمة على الكسر هي الضرب بمقلوبه.

مثال.

اتبع الخطوات .

حل.

أولًا، نطرح الكسور الموجودة بين قوسين. للقيام بذلك، نأتي بهم إلى قاسم مشترك، وهو ، ثم اطرح البسطين:

الآن نضرب الكسور:

من الواضح أن التخفيض بمقدار القوة × 1/2 أمر ممكن، وبعد ذلك لدينا .

يمكنك أيضًا تبسيط تعبير القوة في المقام باستخدام صيغة فرق المربعات: .

إجابة:

مثال.

تبسيط التعبير عن القوة .

حل.

من الواضح أنه يمكن اختزال هذا الكسر بمقدار (x 2.7 +1) 2، وهذا يعطي الكسر . من الواضح أنه يجب القيام بشيء آخر باستخدام صلاحيات x. للقيام بذلك، نقوم بتحويل الكسر الناتج إلى منتج. وهذا يتيح لنا فرصة استخدام خاصية تقسيم القوى بنفس الأسس: . وفي نهاية العملية، ننتقل من المنتج الأخير إلى الكسر.

إجابة:

.

ونضيف أنه من الممكن والمستحب في كثير من الحالات نقل العوامل ذات الأسس السالبة من البسط إلى المقام أو من المقام إلى البسط عن طريق تغيير إشارة الأس. غالبًا ما تعمل مثل هذه التحولات على تبسيط الإجراءات الإضافية. على سبيل المثال، يمكن استبدال تعبير الطاقة بـ .

تحويل التعبيرات مع الجذور والقوى

في كثير من الأحيان، في التعبيرات التي تتطلب بعض التحويلات، إلى جانب الدرجات ذات الأسس الكسرية، توجد أيضًا جذور. لتحويل مثل هذا التعبير إلى النموذج المطلوب، يكفي في معظم الحالات الانتقال إلى الجذور فقط أو إلى القوى فقط. ولكن نظرا لأنه أكثر ملاءمة للعمل بالدرجات، فعادة ما ينتقلون من الجذور إلى الدرجات. ومع ذلك، فمن المستحسن إجراء مثل هذا الانتقال عندما يسمح لك ODZ لمتغيرات التعبير الأصلي باستبدال الجذور بالدرجات دون الحاجة إلى الوصول إلى الوحدة النمطية أو تقسيم ODZ إلى عدة فترات (ناقشنا هذا بالتفصيل في المادة، الانتقال من الجذور إلى القوى والعكس بعد التعرف على الدرجة ذات الأس الكسرى يتم تقديم درجة ذات مؤشر غير عقلاني، مما يجعل من الممكن التحدث عن درجة ذات مؤشر حقيقي اعتباطي. تبدأ المدرسة بالدراسة وظيفة الأسية، والتي يتم تحليلها من خلال الدرجة التي يوجد على أساسها رقم، وفي المؤشر - متغير. لذلك نحن أمام تعبيرات قوة تحتوي على أرقام في أساس الدرجة، وفي الأس - تعبيرات ذات متغيرات، ومن الطبيعي أن تنشأ الحاجة إلى إجراء تحويلات لمثل هذه التعبيرات.

يجب أن يقال أن تحويل التعبيرات من النوع المحدد عادة ما يتم إجراؤه عند الحل المعادلات الأسيةو عدم المساواة الأسية، وهذه التحولات بسيطة للغاية. وفي الغالبية العظمى من الحالات، تعتمد على خصائص الدرجة وتهدف في الغالب إلى إدخال متغير جديد في المستقبل. المعادلة سوف تسمح لنا بإظهارها 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

أولاً، يتم استبدال الأسس، التي تم العثور على مجموع بعض المتغيرات (أو التعبير مع المتغيرات) ورقم، بمنتجات. ينطبق هذا على الحدين الأول والأخير من التعبير الموجود على الجانب الأيسر:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

بعد ذلك، يتم تقسيم طرفي المساواة بالتعبير 7 2 x ، والذي يأخذ فقط القيم الموجبة على متغير ODZ x للمعادلة الأصلية (هذه تقنية قياسية لحل المعادلات من هذا النوع، ونحن لا نتحدث عنها الآن، لذا ركز على التحولات اللاحقة للتعبيرات ذات الصلاحيات ):

الآن يتم إلغاء الكسور ذات القوى، مما يعطي .

وأخيرًا، يتم استبدال نسبة القوى التي لها نفس الأسس بقوى النسب، مما يؤدي إلى المعادلة ، وهو ما يعادل . تتيح لنا التحويلات التي تم إجراؤها إدخال متغير جديد، مما يقلل من حل المعادلة الأسية الأصلية إلى حل المعادلة التربيعية

I. V. Boikov، L. D. Romanovaمجموعة من المهام للتحضير للامتحان. الجزء 1. بينزا 2003.