• تعرف على مفهوم "خوارزمية Euclidean".
• تعليم العثور على العلال الأكثر شيوعا مع الطرق الرياضية المختلفة.

خلال الفصول الدراسية

مفهوم خوارزمية Euclidean

إنها واحدة من أقدم الرياضيات، والتي كانت أكثر من 2000 عام.

اخترع خوارزمية Euclida للعثور عليها أعظم مقسوم مشترك الأزواج من الأعداد الصحيحة.

أعظم divisel مشترك

أعظم divisel مشترك (node) هو رقم يقسم رقمين دون بقايا ويشارك نفسها دون بقايا لأي مقسم بيانات آخر.

بمعنى آخر، هذا هو أكبر رقم من الممكن فصل رقمين بدون بقايا يتم فيها البحث عن مقسم مشترك.

خوارزمية العثور على قسم العقدة

وصف خوارزمية العثور على أكبر قسم المقسم

ينقسم رقم أكبر إلى أقل

إذا تم تقسيمها دون توازن، ثم أقل وهناك أكبر مقسم مشترك. الآن تحتاج إلى الخروج من دورة

إذا كان هناك بقايا، ثم استبدال التوازن من الانقسام

الانتقال إلى البند 1.

مثال:

ابحث عن أكبر مقسم مشترك لمدة 300 و 180.

300/180 \u003d 1 (بقايا 120)

180/120 \u003d 1 (بقايا 60)

120/60 \u003d 2 (بقايا 0).

النهاية: أعظم مقسوم مشترك هو 6.

في دورة تم إصلاح "A" أو "B" بميزان القسم. عندما لا يكون هناك بقايا (نحن لا نعرف في "A" أو "ب"، لذلك نتحقق من كليهما شروط)، اكتمال الدورة.

في النهاية، يتم عرض المبلغ "A" و "B"، لأننا لا نعرف أي متغير يتم تسجيل أكبر مقسم مشترك، وفي أحدهم في أي حال، لا يؤثر ذلك على مقدار المجموع.

الخوارزمية البحث عن الطرح

وصف الخوارزمية لإيجاد أعظم الطرح المقسم المشترك

أكثر من أقل خصم

إذا اتضح 0، فإن الأرقام تساوي بعضها البعض وهي أعظم مقسوم مشترك. الخروج من الدورة

إذا كانت نتيجة الطرح لا تساوي 0، فسيتم استبدال الرقم الأكبر نتيجة الطرح

الانتقال إلى البند 1.

مثال: البحث عن أرقام 300 و 180.

النهاية:الفاصل الأكثر شيوعا للأرقام هو 300 و 180 - 60.

كوسيلة لإيجاد أكبر قدر من التدبير العام لشركتين (طريقة الطرح البديلة) كانت معروفة في البياغاجوريين.

عند العثور على أعظم قياس عام شرائح يأتي بنفس الطرق على النحو الوارد أعلاه.

يتم استبدال العملية الفصل مع البقايا بالتناظر الهندسية: الجزء ميت أكثر من عدة مرات قدر الإمكان، والجزء المتبقي من شريحة أكبر (وهذا هو ميزان الأقسام) موضحة جانبا على شريحة أصغر.

إذا شرائح أ.و ب. الحركة، ثم الأخير ليس بقايا صفرية سيعطي أعظم قياس عام للقطاعات.

في حالة عدم وصولهم، فإن التسلسل الناتج من بقايا غير صفرية سيكون لانهائي.

مثال:

كشريحة، خذ جانب AB و AC من مثلث مثلث بالسلاسل على قدم المساواة، حيث أ \u003d ج \u003d 72 درجة، ب \u003d 36 درجة.

كأول بقايا، نحصل على شريحة من الإعلانات (CD-Bisectrice C)، وكيفية الرؤية بسهولة، ستكون التسلسل ومخلفات الصفر لا حصر لها.

لذلك، AB و AC Segments لا تناسب.

أسئلة

1. ما هي خوارزمية الإكليد؟

2. ما هو أعظم مقسم مشترك؟

قائمة المصادر المستخدمة

1. الدرس حول الموضوع: "خوارزمية Evklida"، Kortcheva P. I.، Lutsk

2. خاصة بواسطة A. I. خوارزمية Euclidea والكسور المستمر. - نوفوسيبيرسك: النمل، 2003

3. counthrho C. مقدمة لنظرية الأرقام. الخوارزمية RSA، - M.، 2001

4. كوستريكين أ. مقدمة في الجبر - م، 2000

تحرير وإرسالها من قبل المعلم جامعة كييف الوطنية. تاراس شيفتشينكو Solovyov M. S.

أكثر من الدرس عمل

Kortcheva P. I.

Solovyov M. S.

وضع سؤال حول O. التعليم الحديث، التعبير عن فكرة أو حل مشكلة Urebral التي يمكنك المنتدى التعليمي

خوارزمية Euclida. - هذه طريقة للعثور على أكبر مقسم عام (عقدة) من طبقتين من الأعداد الصحيحة. تم افتتاح النسخة الأصلية من الخوارزمية، عندما تكون العقدة طرحا، عن طريق الإقلاع (III CENTURY. BC. ه). حاليا، عند حساب العقدة، يستخدم خوارزمية Euclide التقسيم، لأن هذه الطريقة أكثر فعالية.

قسم عقدة الحساب

أعظم مقسوم مشترك لعدد الأرقام هو أكبر عدد يركز على كلا من الأزواج. فليكن من الضروري لحساب العقد للأرقام 108 و 72 - ستكون خوارزمية حساب التقسيم:

1. نحن نقسم العدد الأكبر (الفجوة) إلى الأصغر (مقسم): 108/72 \u003d 1، بقايا 36.
2. نظرا لأن البقايا لم يكن صفر، فسوف نقوم بتقسيم مقسم، والبقايا مقسما: 72/36 \u003d 2، البقايا 0.
3. عندما يكون البقايا صفر، فإن المقسم هو العقدة المطلوبة للحصول على زوج من الأرقام المحددة. وهذا هو، العقدة (108، 72) \u003d 36. في الواقع، 108/36 \u003d 3 و 72/36 \u003d 2.

في هذه الخوارزمية يتكرر الانقسام حتى يصبح البقايا صفروبعد عندما يصبح العقدة مقسم للتقسيم الأخيروبعد على سبيل المثال، من الضروري العثور على عقدة (106، 16):

1. 106/16 \u003d 6، بقايا 10
2. 16/10 \u003d 1، بقايا 6
3. 10/6 \u003d 1، بقايا 4
4. 6/4 \u003d 1، بقايا 2
5. 4/2 \u003d 2، بقايا 0
6. العقدة (106، 16) \u003d 2

حساب العقدة الطرح

عند العثور على الطرح العقدة، يكون الصفر مطلوب أيضا. تشبه الخوارزمية طريقة التقسيم، هنا فقط في كل مرحلة من المرحلة التالية، أصبحت الفرق والفرق من الخطوة السابقة مصادرة ومخفضة. في الوقت نفسه، يتم خصمه دائما من عدد أكبر. هذه المجموعة المتنوعة من الخوارزمية مناسبة فقط للأعداد الصحيحة الإيجابية.

فليكن من العثور على عقدة (108، 72):

1. 108 - 72 = 36
2. 72 - 36 = 36
3. 36 - 36 = 0
4. العقدة (108، 72) \u003d 36

سنجد عقدة (44، 60):

1. 60 - 44 = 16
2. 44 - 16 = 28
3. 28 - 16 = 12
4. 16 - 12 = 4
5. 12 - 4 = 8
6. 8 - 4 = 4
7. 4 - 4 = 0
8. العقدة (44، 60) \u003d 4

تم وصف هذه الخوارزمية في بعض الأحيان بشكل مختلف. الانتهاء من الطرح في وقت سابق، في خطوة، عندما يركز رقم واحد على آخر. وهذا هو، الجمع بين الطرح مع التحقق من التحقق. ثم يبدو موقع العقدة لمدة 44 و 60 عاما:

1. هل 44 قسم 60؟ لا. 60 - 44 \u003d 16.
2. هل يقسم 16 في 44؟ لا. 44 - 16 \u003d 28.
3. هل يقسم 16 بحلول 28؟ لا. 28 - 16 \u003d 12.
4. هل قسم 12 تهدف إلى 16؟ لا. 16 - 12 \u003d 4.
5. هل 4 صالحة 12؟ نعم. لذلك، العقدة (44، 60) \u003d 4.

ملحوظة، العقدة ليست خاصة، ولكن مقسموبعد إذا كنا في المثال، نقسم 12 إلى 4، ثم نحصل على خاص 3. لكن هذه ليست عقدة.

خوارزمية دليل Euclida.

نأخذ في الاعتبار حقيقة أنه إذا قسم عدد طبيعي للزوج الآخر، فإن العقد الخاصة بهم ستكون تساوي واحدة أصغر. يمكنك كتابة ذلك مثل هذا:

إذا كان A / B يهدف، ثم العقدة (أ، ب) \u003d ب. على سبيل المثال، العقدة (15، 5) \u003d 5.

وبالتالي، إذا وصلنا في النهاية إلى زوج من الأرقام، فإن أحدها يقسم الهدف، ثم سيكون الأصغر لكلا أكبر مقسم مشترك. هذا هو عبء من أعداد الأرقام تبحث عن خوارزمية الإكليد: رقم واحد يهدف إلى آخر.

الحقيقة الثانية. مطلوب أن يثبت أنه إذا كان رقم واحد هو أكثر من الآخر، فإن أعظم مقسومه المشترك يساوي أعظم مقسم عام لعدد أصغر من الزوج، وفرق الأرقام الزائدة والأصغر. يمكن كتابة هذا مثل هذا:

اذا كان.< b, то НОД(a, b) = НОД(a, b - a).

تثبت أن العقدة (A، B) \u003d العقدة (A، B - A) يمكن أن تكون كما يلي. دع B يكون \u003d ج. إذا كان أي رقم X يقسم الآن A و B، فسيقسيم أيضا الإنذار C. بعد كل شيء، إذا كانت A و B مختلفة، فسيتم تكديس المقسم فيها ككل، ولكن عدد مختلف من المرات. وإذا قمت بخصم أحد آخر، يجب أن يناسب المقسم أيضا عددا صحيحا في الفرق الناتج.

إذا كنت تستطيع أن تقلل باستمرار A و B، فستظهر عاجلا أم آجلا إلى هذه القيمة الأصغر من أن التركيز أطول. سيكون الأصغر في مثل هذا الزوج أكبر مقسم مشترك للزوج الأولي. الأعداد الطبيعيةوبعد هذا هو خوارزمية الأكاذيب.

خوارزمية Evkalid تقع عقدة (أعظم مقسم مشترك)

عدد صحيحين غير سلبيين و. مطلوب للعثور على أعظم مقسيمهم المشترك، أي أكبر عدد مقسم في نفس الوقت و، و. تشغيل اللغة الإنجليزية "أعظم مقسوم مشترك" مكتوب "مكتوب" مقسوم مشترك "، وتوزيعه هو:

(هنا الرمز "" يشار إلى القسمة، أي "" يشير "بالتقسيم")

عندما يكون من الأرقام إلى الصفر، والآخر يختلف عن الصفر، فإن أعظم مقسومه المشترك، وفقا للتعريف، سيكون هذا الرقم الثاني. عندما تكون كلا الأرقام صفرية، فإن النتيجة غير محددة (سيكون مناسبا لأي عدد كبير بلا حدود)، وسوف نضع في هذه الحالة أعظم مقسم مشترك مقابل الصفر. لذلك، يمكننا التحدث عن مثل هذه القاعدة: إذا كان أحد الأرقام صفر، فإن أكبر مقسومه المشترك يساوي الرقم الثاني.

خوارزمية Euclida.النظر أدناه يحل مهمة العثور على أكبر مقسوم عام من رقمين و.

تم وصف هذه الخوارزمية لأول مرة في كتاب Euclida "بداية" (حوالي 300 جم. قبل الميلاد)، على الرغم من أنه من الممكن تماما، فإن هذه الخوارزمية لديها أصل سابق.

خوارزمية

الخوارزمية نفسها بسيطة للغاية ووصفها الصيغة التالية:

مبيعات

INT GCD (INT A، INT B) (إذا (B \u003d\u003d 0) إرجاع A؛ Else GCD (B، A٪ B)؛)

باستخدام عبارة C ++ التقليدية Ternary، يمكن تسجيل الخوارزمية حتى باختصار:

INT GCD (INT A، INT B) (العودة B؟ GCD (B، A٪ B): أ)

وأخيرا، نعطي والشكل غير المكرر من الخوارزمية:

INT GCD (INT A، INT B) (أثناء (B) (٪ \u003d B؛ مبادلة (A، B)؛) إرجاع A؛)

إثبات صحة

أولا، نلاحظ أنه في كل تكرار من خوارزمية Euclid، تنخفض حجةها الثانية بدقة، وبالتالي، كم عدد غير سلبي، ثم خوارزمية الأكاذيب ينتهي دائما.

بالنسبة إثبات صحة نحن بحاجة إلى إظهار ذلك لأي\u003e.

نظرا لأن القيمة التي تقف في الجانب الأيسر من المساواة تنقسم إلى اليمين الأيمن، والوقوف في الانقسامات اليمنى على اليسار. من الواضح أن هذا يعني أن الأجزاء اليسرى واليمينية تتزامن، والتي ستثبت صحة خوارزمية Euclidea.

دل وبعد ثم، بحكم التعريف، و.

ولكن بعد ذلك يلي:

لذلك، تذكر البيان، نحصل على النظام:

نحن الآن نستخدم الحقيقة البسيطة التالية: إذا كان هناك ثلاثة أرقام هي: ثم يتم تنفيذها :. في وضعنا نحصل عليه:

أو، استبدال بدلا من تعريفه، كيف نحصل على:

لذلك، حملنا نصف الدليل: أظهر أن الجزء الأيسر يقسم الحق. النصف الثاني من الدليل هو بالمثل.

ساعات العمل

يقدر وقت تشغيل الخوارزمية نظرية لاماوالتي تنشئ اتصالا رائعا لخوارزمية Euclidea وتسلسل فيبوناتشي:

إذا كان\u003e وبعضها، فإن خوارزمية الأكاذيب لن تؤدي المزيد من المكالمات العودية.

واسع الانتشار في التجارة الإلكترونية. أيضا، يتم استخدام الخوارزمية في حل معادلات الديوح الخطية، عند بناء الكسور المستمرة، في طريقة الاعتداء. الخوارزمية Euclidean هي الأداة الرئيسية للإثبات من قبل نظرية النظريات الحالية للأرقام، على سبيل المثال، مثل نظرية Lagrange على مجموع المربعات الأربع والنظرية الرئيسية للحساب.

موسم يوتيوب.

1 / 5

✪ الرياضيات. الأرقام الطبيعية: خوارزمية Euclidea. مركز تدريب فوكفورد عبر الإنترنت

✪ الخوارزمية Evchenida.

✪ خوارزمية Euclidea، الطريق السريع البحث عن عقدة

✪ الرياضيات 71. أعظم مقسم مشترك. خوارزمية Euclida - أكاديمية العلوم الهندسية

✪ 20 دورة في حين خوارزمية Euclida بيثون

ترجمات

قصة

دعا الرياضيات اليونانية القديمة هذه الخوارزمية ἀνθυφαίρεσις أو ἀνταναίρεσις - "الطرح المتبادل". لم يتم فتح هذه الخوارزمية من قبل الأكاذيب، كما ذكر ذلك متاح بالفعل في عنوان أرسطو. في "بداية" Euclidea، يوصف مرتين - في كتاب VII للعثور على أعظم مقسوم عام من رقمين طبيعيين وفي كتاب X لإيجاد أكبر قدر عام من القيم المتجانسة. في كلتا الحالتين، يتم تقديم وصف هندسي للخوارزمية، لإيجاد "قياس مشترك" من قسمين.

وصف

خوارزمية Euclidean للأعداد الصحيحة

اسمحوا ان a (\\ displaystyle أ) و ب (\\ DisplayStyle B) - أعداد صحيحة غير متساوية في نفس الوقت صفر، وتسلسل الأرقام

a\u003e b\u003e r 1\u003e r 2\u003e r 3\u003e r 4\u003e ...\u003e rn (\\ displayStyle a\u003e b\u003e r_ (1)\u003e r_ (2)\u003e r_ (3)\u003e r_ (4)\u003e النقاط \\\u003e R_ (ن))

تحددها حقيقة أن كل R K (\\ DisplayStyle R_ (K)) - هذا هو توازن تقسيم الرقم السائد إلى السابق، ونقسم قبل الأخير إلى آخر هدف، وهذا هو:

a \u003d b q 0 + r 1، (\\ displaystyle a \u003d bq_ (0) + r_ (1)،) B \u003d R 1 Q 1 + R 2، (\\ DisplayStyle B \u003d R_ (1) Q_ (1) + R_ (2)،) r 1 \u003d r 2 q 2 + r 3، (\\ displaystyle r_ (1) \u003d r_ (2) q_ (2) + r_ (3)،) ⋯ (\\ displaystyle \\ cdots) r k - 2 \u003d r k - 1 q k - 1 + r k، (\\ displaystyle r_ (k-2) \u003d r_ (k - 1) q_ (k-1) + r_ (k)،) ⋯ (\\ displaystyle \\ cdots) r n - 2 \u003d r n - 1 q n - 1 + r_ (\\ displaystyle r_ (n-2) \u003d r_ (n - 1) q_ (n - 1) + r_ (n)،) r n - 1 \u003d r n q n. (\\ displaystyle r_ (n - 1) \u003d r_ (n) q_ (n).)

ثم العقدة ( أ., ب.)، أعظم مقسوم مشترك أ. و ب.غراب أسود رديئة ن، آخر عضو غير صفري في هذا التسلسل.

وجود مثل رديئة 1 , رديئة 2 , ..., رديئة ن، أي إمكانية تقسيم بقايا م. تشغيل ن. لأي كله م. وكل ذلك ن. ≠ 0، ثبت من قبل الحث م..

صحة تتبع هذه الخوارزمية من البيانين التاليين:

• اسمحوا ان أ. = ب.⋅س: + رديئة، ثم العقدة (A، B) \u003d العقدة (ب، ص).

شهادة

• عقدة ( رديئة, 0) = رديئة لأي غير أكثر رديئة (منذ 0 ينقسم إلى أي عدد صحيح، باستثناء الصفر).

خوارزمية هندسية Euclida.

دع اثنين من خفض طول أ. و ب.وبعد التخلي عن قطع أكبر أصغر واستبدال شريحة أكبر حصل عليها الفرق. نكرر هذه العملية حتى تكون القطاعات متساوية. إذا حدث هذا، فإن القطاعات الأولية تتناسب، والجزء الأخير الذي تم الحصول عليه هو أعظم تدبير شامل له. إذا لم يكن هناك تدبير مشترك، فإن العملية لا حصر لها. في هذا النموذج، يتم وصف الخوارزمية بواسطة Euclide ويتم تحقيقها بمساعدة الدورة الدموية وحاكم.

مثال

لتوضيح خوارزمية Euclidea سيتم استخدامها للعثور على عقدة أ. \u003d 1071 ب. \u003d 462. لتبدأ 1071، اتخذ قيمة متعددة 462، حتى نحصل على فرق أقل من 462. يجب أن نأخذ 462 مرتين، ( س: 0 \u003d 2)، تبقى مع بقايا 147:

1071 \u003d 2 × 462 + 147.

ثم، من 462، خذ قيمة متعددة 147، حتى نحصل على اختلاف أقل من 147. يجب أن نأخذ 147 ثلاث مرات ( س: 1 \u003d 3)، تبقى مع بقايا 21:

462 \u003d 3 × 147 + 21.

ثم، من 147، خذ قيمة متعددة 21، حتى نحصل على اختلاف أقل من 21. يجب أن نأخذ 21 سبع مرات ( س: 2 \u003d 7)، البقاء دون بقايا:

147 \u003d 7 × 21 + 0.

وبالتالي، التسلسل A\u003e B\u003e رديئة 1 > رديئة 2 > رديئة 3 > … > رديئة ن في هذه الحالة بالذات ستبدو مثل هذا:

1071 > 462 > 147 > 21.

منذ آخر بقايا هو صفر، تنتهي الخوارزمية مع رقم 21 وعقدة (1071، 462) \u003d 21.

في الأشكال الجدولية كانت ما يلي:

التطبيقات

خوارزمية Euclidea المتقدمة والثورة

الصيغ ل R I (\\ DisplayStyle R_ (I)) يمكن إعادة كتابتها على النحو التالي:

R 1 \u003d A + B (- Q 0) (\\ DisplayStyle R_ (1) \u003d A + B (-Q_ (0)) R 2 \u003d B - R 1 Q 1 \u003d A (- Q 1) + B (1 + Q 1 Q 0) (\\ DisplayStyle R_ (2) \u003d b-r_ (1) q_ (1) \u003d a (q_ ( 1)) + ب (1 + Q_ (1) Q_ (0))) ⋮ (\\ DisplayStyle \\ VDOTS) العقدة (A، B) \u003d r n \u003d a s + b t t (\\ displaystyle (a، b) \u003d r_ (n) \u003d as + bt)

هنا س. و t. كامل. يسمى هذا التمثيل لأعتبر مقسني عام أجر الطين بعيدا، و س. و t. - معاملات مانتو. النسبة من المحتال هي المفتاح في إثبات Lemma Euclidea والنظر الرئيسي للحسابة.

الكسور سلسلة

ترتبط خوارزمية الأكاذيب ارتباطا وثيقا بكسر السلسلة. سلوك أ./ب. يسمح العرض في شكل جزء من سلسلة:

a b \u003d [q 0؛ Q 1، Q 2، ⋯، Q N] (\\ DisplayStyle (\\ FRAC (A) (B)) \u003d).

في الوقت نفسه، فإن جزء السلسلة دون العضو الأخير يساوي نسبة المعاملات t./س.اتخذت مع علامة ناقص:

[Q 0؛ Q 1، Q 2، ⋯، Q N - 1] \u003d - T S (\\ DisplayStyle \u003d - (\\ frac (t) (s))).

يمكن إعادة كتابة تسلسل المساواة في إعداد خوارزمية Euclidea في النموذج:

AB \u003d Q 0 + R 0 BBR 0 \u003d Q 1 + R 1 R 0 R 0 R 1 \u003d Q 2 + R 2 R 1 ⋮ RK - 2 RK - 1 \u003d QK + RKRK - 1 ⋮ r n - 2 r n - 1 \u003d Q N (\\ DisplayStyle (\\ streety (\\ start (محاذاة) (\\ frac (a) (b)) & \u003d q_ (0) + (\\ frac (r_ (0)) (b)) \\\\ (\\ frac (b ) (r_ (0))) & \u003d q_ (1) + (\\ frac (r_ (1)) (r_ (0))) \\\\ (\\ frac (r_ (0)) (r_ (1))) \u003d q_ (2) + (\\ frac (r_ (2)) (r_ (1))) \\\\ و () \\ \\ vdots \\\\ (\\ frac (r_ (k-2)) (r_ (k-1) )) & \u003d q_ (k) + (\\ frac (r_ (k)) (r_ (k - 1))) \\\\ \\ () \\ \\ vdots \\\\ (\\ frac (r_ (n-2)) (r_ (n - 1))) & \u003d q_ (n) \\ end (محاذاة)))

تتمثل الولاية الأخيرة في الجزء الأيمن من المساواة دائما تساوي القيمة العكسية للجانب الأيسر من المعادلة التالية. لذلك، يمكن دمج أول معادتين في النموذج:

AB \u003d Q 0 + 1 Q 1 + R 1 R 0 (\\ DisplayStyle (\\ frac (A) (b) (b) (b)) \u003d q_ (0) + (\\ cfrac (1) (q_ (1) + (\\ cfrac (r_ (r_ (r_ (r_ 1)) (R_ (0))))))

يمكن استخدام المساواة الثالثة لتحل محل قاسم التعبير. رديئة 1 /رديئة 0، نحصل على:

AB \u003d Q 0 + 1 Q 1 + 1 Q 2 + R 2 R 1 (\\ DisplayStyle (\\ frac (a) (b) (b)) \u003d q_ (0) + (\\ cfrac (1) (_ (1) + (\\ CFRAC (1) (Q_ (2) + (\\ CFrac (R_ (2)) (R_ (1)))))))

العلاقة الأخيرة من المخلفات رديئة ك. /رديئة ك.-1 يمكن استبداله دائما باستخدام المساواة التالية في التسلسل، وبالتالي إلى المعادلة الأخيرة. النتيجة هي جزء صغير:

A B \u003d Q 0 + 1 Q 1 + 1 Q 2 + 1 ⋱ + 1 Q N \u003d [Q 0؛ Q 1، Q 2، ...، QN] (\\ DisplayStyle (\\ frac (a) (b)) \u003d q_ (0) + (\\ cfrac (1) (q_ (1) + (\\ cfrac (1) q_ (2) + (\\ cfrac (1) (\\ ddots + (\\ cfrac (1) (q_ (n)))))))) \u003d) \u003d)

خوارزمية Euclidean المعممة للأثناء

خوارزمية Euclidean وخوارزمية الأكاذيب الممتدة تلخص بشكل طبيعي حلقة متعدد الحدود ك.[عاشر] من متغير واحد على حقل تعسفي ك.لأن هؤلاء متعدد الحدود يحددون تشغيل الانقسام مع بقايا. عند إجراء خوارزمية Euclidea لأليانا، يتم الحصول على خوارزمية الأكاذيب للأعداد الصحيحة من خلال سلسلة من بقايا متعددة الحدود (PRS).

مثال للرنين z.[عاشر]

دع COTT (F) كن بحكم تعريف - عقدة معاملات متعدد الحدود F (X) من Z [X] - المحتوى متعدد الحدود. يتم استدعاء خاص من Division F (x) على COTT (F) الجزء البدائي يتم الإشارة إلى متعدد الحدود f (x) بواسطة primpart (f (x)). ستكون هناك حاجة إلى هذه التعريفات للعثور على عقدة متعدد الحدود. ص 1 (س) و ص 2 (س) في الحلبة z [x]. بالنسبة لأحد متعدد الأعداد الصحيحة، فإن ما يلي صحيح:

C O N T ((\\ DisplayStyle Cont ()نوديرنو (C ONT (p 1 (x))، co nt (p 2 (x)))، (\\ displaystyle \\ (cont (p_ (1) (x))، cont (p_ (2) (x)) \\) ،)

p r i m p a r t ((\\ displaystyle primpart ()العقدة (p 1 (x)، p 2 (x))) \u003d (\\ displaystyle \\ (p_ (1) (x)، p_ (2) (x) \\) \u003d) \u003d) \u003d) \u003d)العقدة (p r i m p a r t (p 1 (x))، p r i m p a r t (p 2 (x))). (\\ displayStyle \\ (primpart (p_ (1) (x))، primpart (p_ (2) (x)) \\).).).).).

وبالتالي، يتم تقليل مهمة البحث عن عقدة من اثنين من متعدد الحدود التعسفية إلى مهمة العثور على عقدة متعدد الحدود البدائية.

فليكن هناك اثنين من متعددين متعدد الحدود P 1 (x) و P 2 (x) من z [x] التي يتم تنفيذ العلاقة بين درجاتهم: Deg (p 1 (x)) \u003d m and deg (p 2 (x) ) \u003d ن، م\u003e ن. تعني تقسيم متعدد الحدود مع البقايا القسمة الدقيقة لمعامل الأقسام الأول إلى معامل كبار المقسم، بشكل عام، شعبة مع بقايا أمر مستحيل. لذلك، يتم تقديم خوارزمية الصفائح المسرحية، التي لا تزال تسمح لك بالحصول على انتحار الزائف والقناة الزائفة (PRM)، والتي ستكون في حد ذاتها لتنتمي إلى العديد من متعدد الحدود على الأعداد الصحيحة.

تحت النماذج الزائفة، سوف نفهم أن تقسيم متعدد الحدود يسبقه الانقسام نفسه. p 1 (x) (\\ displaystyle p_ (1) (x)) تشغيل (L C (p 2 (x))) m - n + 1 (\\ displaystyle (lc (p_ (2) (x))) ^ (m-n + 1))، بمعنى آخر

l c (p 2 (x)) m - n + 1 p 1 (x) \u003d p 2 (x) q (x) + r 2 (x)، deg \u2061 (r (x))< deg ⁡ (p 2 (x)) , {\displaystyle lc(p_{2}(x))^{m-n+1}p_{1}(x)=p_{2}(x)q(x)+r_{2}(x),\deg(r(x))<\deg(p_{2}(x)),}

أين س (س) (\\ DisplayStyle Q (x)) و R (x) (\\ displaystyle r (x)) وفقا لذلك، مذبح زائف ورائحة الزائفة.

وبالتالي، p 1 (x)، p 2 (x) ∈ z [x] (\\ displaystyle p_ (1) (x)، p_ (2) (x) \\ in z [x])وعلاوة على ذلك DEG \u2061 (p 1) \u003d n 1 ≥ deg \u2061 (p 2) \u003d n 2 (\\ displaystyle \\ deg (p_ (1)) \u003d n_ (1) \\ geq \\ deg (p_ (2)) \u003d n_ (2) فيوبعد ثم تتكون خوارزمية Euclid من الخطوات التالية:

1. حساب عقد المحتويات:

C: \u003d (\\ DisplayStyle C: \u003d)العقدة (c o n t (p 1)، c o n t (p 2)) (\\ displaystyle \\ (cont (p_ (1))، cont (p_ (2)) \\).

2. حساب الأجزاء البدائية:

P 1 '' (x): \u003d p r i m p a r t (p 1 (x))؛ (\\ displaystyle p_ (1) "(x): \u003d primpart (p_ (1) (x))؛)

P 2 '' (x): \u003d p r i m p a r t (p 2 (x)). (\\ displayStyle p_ (2) "(x): \u003d primpart (p_ (2) (x)).).

3. بناء تسلسل بقايا متعددة الحدود:

p 1 '(x)، (\\ displaystyle p_ (1) "(x)،)

p 2 '(x)، (\\ displaystyle p_ (2) "(x)،)

p 3 (x): \u003d prem (p 1 '(x)، p 2' (x))، (\\ displaystyle p_ (3) (x): \u003d prem (p_ (1) "(x)، p_ (2) ) "(س))،)

p 4 (x): \u003d prem (p 2 '(x)، p 3 (x))، (\\ displaystyle p_ (4) (x): \u003d prem (p_ (2) "(x)، p_ (3) (س))،)

p 5 (x): \u003d prem (p 3 (x)، p 4 (x))، (\\ displaystyle p_ (5) (x): \u003d prem (p_ (3) (x)، p_ (4) (x) ))،)،)

وبعد وبعد وبعد (\\ displayStyle ...)

p h (x): \u003d p r e m (p h - 2 (x)، p h - 1 (x)). (\\ displaystyle p_ (h) (x): \u003d prem (p_ (h - 2) (x)، p_ (h - 1) (x)).).).

النظر في طريقتين أساسيين لإيجاد العقد بطريقتين رئيسيتين: استخدام خوارزمية Euclidea ومن خلال التوسع في العوامل البسيطة. تطبيق كلتا الطريقتين لشخصين وثلاثة وأكبر أرقام.

خوارزمية Euclida للعثور على إيماءة

يسمح لك خوارزمية Euclida بحساب أكبر مقسم مشترك لأرقام إيجابية. قادنا صياغة وإثبات خوارزمية الأكاذيب في القسم "أكبر مقسوم مشترك: محدد، أمثلة".

جوهر الخوارزمية هو إجراء الانقسام باستمرار مع البقايا، يتم خلالها الحصول على عدد من المساواة:

a \u003d b · Q 1 + R 1، 0< r 1 < b b = r 1 · q 2 + r 2 , 0 < r 2 < r 1 r 1 = r 2 · q 3 + r 3 , 0 < r 3 < r 2 r 2 = r 3 · q 4 + r 4 , 0 < r 4 < r 3 ⋮ r k - 2 = r k - 1 · q k + r k , 0 < r k < r k - 1 r k - 1 = r k · q k + 1

يمكننا الانتهاء من الانقسام عندما ص K + 1 \u003d 0، حيث ص K \u003d العقدة (أ، ب).

مثال 1.

64 و 48 .

قرار

نقدم التدوين: A \u003d 64، B \u003d 48.

بناء على خوارزمية الأكاذيب ستجري القسم 64 تشغيل 48 .

نحصل على 1 وبقايا 16. اتضح أن Q 1 \u003d 1، R 1 \u003d 16.

نحن نقسم الخطوة الثانية 48 16، نحصل على 3. أي س 2 \u003d 3، و ص 2 \u003d 0. وبالتالي، فإن الرقم 16 هو أكبر مقسم مشترك للأرقام من الحالة.

إجابه: العقدة (64، 48) \u003d 16.

مثال 2.

ما يساوي العقد 111 و 432 ?

قرار

delim. 432 تشغيل 111 وبعد وفقا لخوارزمية الأكاذيب، نحصل على سلسلة من المساواة 432 \u003d 111 · 3 + 99، 111 \u003d 99 · 1 + 12، 99 \u003d 12 · 8 + 3، 12 \u003d 3 · 4.

وهكذا، أعظم مقسم شائع للأرقام 111 و 432 - هذا هو 3.

إجابه: العقدة (111، 432) \u003d 3.

مثال 3.

ابحث عن أكبر مقسم إجمالي للأرقام 661 و 113.

قرار

سنقوم بإجراء أرقام تقسيم باستمرار والحصول على العقد (661 , 113) = 1 وبعد هذا يعني أن 661 و 113 هي أرقام بسيطة متبادلة. يمكننا معرفة ذلك قبل بدء العمليات الحسابية، إذا تحولت إلى جدول الأعداد الأولية.

إجابه: العقدة (661، 113) \u003d 1.

العثور على عقدة باستخدام تحلل الأرقام إلى المضاعفات العادية

من أجل العثور على أكبر مقاسي شائع من رقمين من خلال التحلل على المضاعفات، من الضروري ضرب جميع العوامل البسيطة التي يتم الحصول عليها عن طريق التحلل هذين الرقمين وشائعة لهم.

مثال 4.

إذا حددنا الأرقام 220 و 600 على مضاعفات بسيطة، فسوف نحصل على عملين: 220 \u003d 2 · 2 · 5 · 11 و 600 \u003d 2 · 2 · 2 · 5 · 5وبعد المضاعفات 2 و 2 و 5 شائعة في هذين العملين. هذا يعني أن العقدة (220، 600) \u003d 2 · 2 · 5 \u003d 20.

مثال 5.

العثور على أعظم مقسم مشترك للأرقام 72 و 96 .

قرار

سنجد جميع مضاعف الأرقام البسيطة. 72 و 96 :

72 36 18 9 3 1 2 2 2 3 3

96 48 24 12 6 3 1 2 2 2 2 2 3

لعددين، مضاعفات بسيطة: 2، 2، 2 و 3. هذا يعني أن العقدة (72، 96) \u003d 2 · 2 · 2 · 3 \u003d 24.

إجابه: العقدة (72، 96) \u003d 24.

يعتمد قاعدة العثور على أكبر مقسم إجمالي رقمين على خصائص أكبر مقسم عام، وفقا للعقدة (M · A 1، M · B 1) \u003d M · العقدة (1، B 1)، حيث م هي أي عدد صحيح إيجابي.

العثور على عقدة من ثلاثة وأكدت الأرقام

بغض النظر عن عدد الأرقام التي نحتاج إلى العثور على عقدة، سنكون بمثابة خوارزمية نفسها، والتي تتكون في إيجاد ثابت لعقدة رقمين. يعتمد على هذه الخوارزمية على استخدام Theorem التالي: عقدة عدة أرقام 1، 2، ...، ك يساوي العدد د ك.التي هي تحت عقدة حساب متسقة (1، A 2) \u003d D 2، العقدة (D 2، A 3) \u003d D 3، عقدة (D 3، A 4) \u003d D 4، ...، العقدة (D K - 1، a k) \u003d d k.

مثال 6.

ابحث عن أعظم مقاسي مشترك لأربعة أرقام 78 و 294 و 570 و 36 .

قرار

نقدم التدوين: 1 \u003d 78، 2 \u003d 294، 3 \u003d 570، 4 \u003d 36.

دعنا نبدأ بحقيقة أننا سوف نجد العقد 78 و 294: د 2 \u003d.العقدة (78 , 294) = 6 .

الآن انتقل إلى العثور على D 3 \u003d عقدة (D 2، A 3) \u003d العقدة (6، 570). وفقا لخوارزمية Euclidea 570 \u003d 6 · 95.هذا يعني انه د 3 \u003d.العقدة (6 , 570) = 6 .

نجد D 4 \u003d عقدة (D 3، A 4) \u003d العقدة (6، 36). 36 وهي مقسمة على 6 دون بقايا. هذا يسمح لنا بالحصول د 4 \u003d.العقدة (6 , 36) = 6 .

د 4 \u003d 6، هذا هو، العقدة (78 , 294 , 570 , 36) = 6 .

إجابه:

والآن دعونا نعتبر طريقة أخرى لحساب عقدة تلك الأرقام والمزيد. يمكننا أن نجد عقدة، وتحريك جميع مضاعفات البساطة الشائعة للأرقام.

مثال 7.

حساب العقد 78، 294، 570 و 36 .

قرار

سوف نحلل هذه الأرقام على مضاعفات بسيطة: 78 \u003d 2 · 3 · 13، 294 \u003d 2 · 3 · 7 · 7، 570 \u003d 2 · 3 · 5 · 19، 36 \u003d 2 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3.

لجميع الأرقام الأربعة، سيكون إجمالي المضاعفات أرقام 2 و 3.

اتضح أن العقدة (78، 294، 570، 36) \u003d 2 · 3 \u003d 6.

إجابه: العقدة (78، 294، 570، 36) \u003d 6.

العثور على أرقام سلبية العقدة

إذا كان علينا التعامل مع الأرقام السالبة، فمنتج من أجل العثور على أكبر مقسم مشترك، يمكننا استخدام وحدات هذه الأرقام. يمكننا أن نفعل هذا، معرفة خاصية الأرقام مع علامات المعاكسة: الأرقام ن. و - ن. لديهم نفس المقسمين.

مثال 8.

العثور على الأعداد الصحيحة السلبية العقدة − 231 و − 140 .

قرار

لأداء الحسابات، تأخذ وحدات الأرقام والبيانات المتعلقة بالحالة. هذه ستكون أرقام 231 و 140. نحن نكتب ذلك لفترة وجيزة: العقدة (− 231 , − 140) = العقدة (231، 140). الآن نحن نطبق خوارزمية الأكاذيب للعثور على مضاعفات بسيطة من رقمين: 231 \u003d 140 · 1 + 91؛ 140 \u003d 91 · 1 + 49؛ 91 \u003d 49 · 1 + 42؛ 49 \u003d 42 · 1 + 7 و 42 \u003d 7 · 6وبعد نحصل على تلك العقدة (231، 140) \u003d 7 .

ومنذ العقدة (− 231 , − 140) = العقدة (231 , 140) ثم العقد − 231 و − 140 غراب أسود 7 .

إجابه: العقدة (- 231، - 140) \u003d 7.

مثال 9.

تحديد عقدة الأرقام الثلاثة - 585 و 81 و − 189 .

قرار

سنحل محل الأرقام السلبية في قائمة قيمها المطلقة، نحصل على العقد (− 585 , 81 , − 189) = العقدة (585 , 81 , 189) وبعد ثم تتحلل جميع بيانات الرقم على العوامل البسيطة: 585 \u003d 3 · 3 · 5 · 13، 81 \u003d 3 · 3 · 3 · 3 و 189 \u003d 3 · 3 · 7 · 7وبعد للأرقام الثلاثة هي مضاعفات بسيطة 3 و 3. اتضح أن العقدة (585، 81، 189) \u003d العقدة (- 585، 81، - 189) \u003d 9.

إجابه: العقدة (- 585، 81، - 189) \u003d 9.

إذا لاحظت خطأ في النص، فيرجى تحديدها واضغط على CTRL + ENTER