المعادلات بنظرية فيثاغورس. طرق إثبات نظرية فيثاغورس. أشكال هندسية متشابهة من ثلاث جهات

تأكد من أن المثلث المعطى لك قائم الزاوية ، حيث تنطبق نظرية فيثاغورس فقط على المثلثات القائمة الزاوية. في المثلثات القائمة الزاوية ، تكون إحدى الزوايا الثلاث دائمًا 90 درجة.

يُشار إلى الزاوية القائمة في المثلث القائم برمز مربع ، وليس منحنى ، وهو زاوية مائلة.

أضف خطوطًا إرشادية لأضلاع المثلث. ضع علامة على الساقين كـ "أ" و "ب" (الأرجل - تتقاطع الجوانب بزوايا قائمة) ، والوتر باسم "ج" (الوتر - الضلع الأكبر مثلث قائمالكذب عكس ذلك زاوية مستقيمة).

حدد أي ضلع من أضلاع المثلث تريد إيجاده. تتيح لك نظرية فيثاغورس إيجاد أي جانب من أضلاع مثلث قائم الزاوية (إذا كان الضلعان الآخران معروفين). حدد الجانب (أ ، ب ، ج) الذي تريد إيجاده.

على سبيل المثال ، إذا كان الوتر يساوي 5 ، ولديك ساق تساوي 3. في هذه الحالة ، أوجد الضلع الثاني. سنعود إلى هذا المثال لاحقًا.
إذا كان الضلعان الآخران غير معروفين ، فمن الضروري إيجاد طول أحد الضلعين المجهولين حتى نتمكن من تطبيق نظرية فيثاغورس. للقيام بذلك ، استخدم الأساسي الدوال المثلثية (إذا أعطيت قيمة إحدى الزوايا المائلة).

عوّض في الصيغة a 2 + b 2 \u003d c 2 بالقيم التي تعطيها (أو القيم التي وجدتها). تذكر أن a و b عبارة عن أرجل وأن c هي وتر المثلث.

في مثالنا ، اكتب: 3² + ب² \u003d 5².

ربّع كل جانب تعرفه. أو اترك الدرجات - يمكنك تربيع الأرقام لاحقًا.

في مثالنا ، اكتب: 9 + b² \u003d 25.

افصل الجانب المجهول في أحد جانبي المعادلة. للقيام بذلك ، انقل القيم المعروفة إلى الجانب الآخر من المعادلة. إذا وجدت الوتر ، ففي نظرية فيثاغورس ، يكون معزولًا بالفعل على جانب واحد من المعادلة (لذلك لا يلزم فعل أي شيء).

في مثالنا ، انقل 9 إلى الجانب الأيمن من المعادلة لعزل المجهول b². ستحصل على b² \u003d 16.

استخراج الجذر التربيعي من طرفي المعادلة. في هذه المرحلة ، يوجد على جانب واحد من المعادلة (مربع) مجهول ، وعلى الجانب الآخر يوجد مصطلح مجاني (رقم).

في مثالنا ، b² \u003d 16. خذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة واحصل على b \u003d 4. إذن الضلع الثاني هو 4 .

استخدم نظرية فيثاغورس في حياتك اليومية ، حيث يمكن تطبيقها في مجموعة متنوعة من المواقف العملية. للقيام بذلك ، تعلم كيفية التعرف على المثلثات ذات الزاوية اليمنى في الحياة اليومية - في أي موقف يتقاطع فيه جسمان (أو خطان) بزوايا قائمة ، ويربط كائن ثالث (أو خط) (قطريًا) قمم أول كائنين (أو خطوط) ، يمكنك استخدم نظرية فيثاغورس لإيجاد الضلع المجهول (إذا كان الطرفان الآخران معروفين).

مثال: سلم متكئ على مبنى. يقع أسفل الدرج على بعد 5 أمتار من قاعدة الجدار. أعلى الدرج 20 مترا من الأرض (أعلى الحائط). كم طول الدرج؟
- "5 أمتار من قاعدة الجدار" تعني أن أ \u003d 5 ؛ "20 مترًا من الأرض" تعني أن ب \u003d 20 (أي أنك أعطيت قدمين لمثلث قائم ، حيث يتقاطع جدار المبنى وسطح الأرض بزوايا قائمة). طول السلم هو طول الوتر ، وهو غير معروف.
  - أ² + ب² \u003d ج²
  - (5) ² + (20) ² \u003d ج²
  - 25 + 400 \u003d ج²
  - 425 \u003d ج²
  - ج \u003d √425
  - ج \u003d 20.6. لذا فإن الطول التقريبي للسلم هو 20.6 مترا.

تنص نظرية فيثاغورس على ما يلي:

في المثلث القائم الزاوية ، يكون مجموع مربعات الساقين مساويًا لمربع الوتر:

أ 2 + ب 2 \u003d ص 2,

أ و ب - تشكل الأرجل الزاوية اليمنى.
من عند - وتر المثلث.

صيغ نظرية فيثاغورس

أ \u003d \\ الجذر التربيعي (ج ^ (2) - ب ^ (2))
ب \u003d \\ الجذر التربيعي (ج ^ (2) - أ ^ (2))
ج \u003d \\ الجذر التربيعي (أ ^ (2) + ب ^ (2))

إثبات نظرية فيثاغورس

يتم حساب مساحة المثلث قائم الزاوية بالصيغة:

S \u003d \\ frac (1) (2) أب

لحساب مساحة مثلث عشوائي ، تكون صيغة المنطقة هي:

ص - نصف محيط. ص \u003d \\ فارك (1) (2) (أ + ب + ج) ،
ص هو نصف قطر الدائرة المنقوشة. للمستطيل r \u003d \\ frac (1) (2) (a + b-c).

ثم نساوي الجانبين الأيمن من كلتا الصيغتين لمساحة المثلث:

\\ frac (1) (2) ab \u003d \\ frac (1) (2) (a + b + c) \\ frac (1) (2) (a + b-c)

2 أب \u003d (أ + ب + ج) (أ + ب ج)

2 أب \u003d \\ يسار ((أ + ب) ^ (2) -c ^ (2) \\ يمين)

2 أب \u003d أ ^ (2) + 2 أب + ب ^ (2) -c ^ (2)

0 \u003d أ ^ (2) + ب ^ (2) -c ^ (2)

ج ^ (2) \u003d أ ^ (2) + ب ^ (2)

نظرية فيثاغورس العكسي:

إذا كان مربع أحد أضلاع المثلث يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين ، يكون المثلث مستطيلًا. هذا هو ، لأي ثلاثة أرقام موجبة أ ، ب و جمثل ذلك

أ 2 + ب 2 \u003d ص 2,

هناك مثلث قائم الزاوية بأرجل أ و ب والوتر ج.

نظرية فيثاغورس - إحدى النظريات الأساسية للهندسة الإقليدية ، إنشاء العلاقة بين أضلاع المثلث القائم الزاوية. تم إثبات ذلك من قبل عالم الرياضيات والفيلسوف فيثاغورس.

معنى النظرية من حيث أنه يمكن استخدامه لإثبات النظريات الأخرى وحل المشكلات.

مواد اضافية:

نظرية فيثاغورس: مجموع مساحات المربعات المستندة على الأرجل ( أ و ب) ، يساوي مساحة المربع المبني على الوتر ( ج).

صياغة هندسية:

في البداية ، تمت صياغة النظرية على النحو التالي:

الصيغة الجبرية:

وهذا يعني أن طول وتر المثلث في المثلث ج وطول الساقين أ و ب :

أ 2 + ب 2 = ج 2

كل من عبارات النظرية متكافئة ، لكن العبارة الثانية أكثر بدائية ، فهي لا تتطلب مفهوم المنطقة. أي أنه يمكن التحقق من العبارة الثانية دون معرفة أي شيء عن المساحة وقياس أطوال أضلاع المثلث القائم الزاوية فقط.

نظرية فيثاغورس العكسي:

دليل

بالطبع ، من الناحية المفاهيمية ، يمكن تقسيمهم جميعًا إلى عدد صغير من الفصول. أشهرها: البراهين بطريقة المساحة ، البراهين البديهية والغريبة (على سبيل المثال ، باستخدام المعادلات التفاضلية).

من خلال مثلثات متشابهة

الدليل التالي للصيغة الجبرية هو أبسط البراهين المبنية مباشرة من البديهيات. على وجه الخصوص ، لا يستخدم مفهوم منطقة الشكل.

اسمحوا ان ABC يوجد مثلث قائم الزاوية ج... دعونا نرسم الارتفاع من ج والدلالة على قاعدتها بواسطة ح... مثلث ACH مثل المثلث ABC في زاويتين. وبالمثل ، المثلث CBH إنه متشابه ABC... تقديم التدوين

نحن نحصل

ما هو معادل

مضيفا نحصل

إثبات المناطق

الأدلة الواردة أدناه ، على الرغم من بساطتها الظاهرة ، ليست بهذه البساطة على الإطلاق. كلهم يستخدمون خصائص المنطقة ، وإثباتها أصعب من إثبات نظرية فيثاغورس نفسها.

إثبات تكاملية متساوية

رتب أربعة مثلثات متساوية الزاوية كما هو موضح في الشكل 1.
رباعي مع جوانب ج مربع ، لأن مجموع الزاويتين الحادتين 90 درجة ، والزاوية غير المطوية 180 درجة.
مساحة الشكل بأكمله هي ، من ناحية ، مساحة المربع الذي له جوانب (أ + ب) ، ومن ناحية أخرى ، مجموع مساحات أربعة مثلثات ومربعين داخليين.

Q.E.D.

الدليل من خلال القياس

دليل أنيق عن طريق التقليب

يظهر مثال على أحد هذه الأدلة في الرسم على اليمين ، حيث يتم تحويل المربع المبني على الوتر عن طريق التبديل إلى مربعين مبنيين على الساقين.

دليل إقليدس

الرسم لإثبات إقليدس

رسم توضيحي لإثبات إقليدس

ضع في اعتبارك الرسم الموجود على اليسار. على ذلك ، بنينا مربعات على جانبي مثلث قائم الزاوية ورسمنا شعاعًا s من رأس الزاوية القائمة C عموديًا على الوتر AB ، ويقطع المربع ABIK ، المبني على الوتر ، إلى مستطيلين - BHJI و HAKJ ، على التوالي. اتضح أن مساحات هذه المستطيلات تساوي تمامًا مساحات المربعات المبنية على الأرجل المقابلة.

دعنا نحاول إثبات أن مساحة المربع DECA تساوي مساحة المستطيل AHJK للقيام بذلك ، دعنا نستخدم ملاحظة إضافية: مساحة المثلث الذي له نفس الارتفاع والقاعدة لأن هذا المستطيل يساوي نصف مساحة المستطيل المحدد. هذا نتيجة لتحديد مساحة المثلث على أنها نصف حاصل ضرب القاعدة والارتفاع. ويترتب على هذه الملاحظة أن مساحة المثلث ACK تساوي مساحة المثلث AHK (غير مبين في الشكل) ، والتي بدورها تساوي نصف مساحة المستطيل AHJK.

لنثبت الآن أن مساحة المثلث ACK تساوي أيضًا نصف مساحة المربع DECA. الشيء الوحيد الذي يجب القيام به لهذا هو إثبات أن المثلثين ACK و BDA متساويان (حيث أن مساحة المثلث BDA تساوي نصف مساحة المربع وفقًا للخاصية المذكورة أعلاه). المساواة واضحة ، والمثلثات متساوية في الضلعين والزاوية بينهما. وهي - AB \u003d AK ، AD \u003d AC - من السهل إثبات المساواة بين الزوايا CAK و BAD بطريقة الحركة: نقوم بتدوير المثلث CAK بمقدار 90 درجة عكس اتجاه عقارب الساعة ، ومن ثم من الواضح أن الأضلاع المتناظرة للمثلثين قيد النظر سوف تتطابق (لأن الزاوية عند رأس المربع هي 90 درجة).

المنطق حول المساواة بين مناطق المربع BCFG والمستطيل BHJI مماثل تمامًا.

وبذلك أثبتنا أن مساحة المربع المبني على الوتر هي مجموع مساحات المربعات المبنية على الأرجل. يتم توضيح الفكرة وراء هذا الدليل بشكل أكبر مع الرسوم المتحركة أعلاه.

إثبات ليوناردو دافنشي

العنصران الرئيسيان للإثبات هما التماثل والحركة.

ضع في اعتبارك الرسم ، كما يتضح من التناظر ، المقطع جأنا يقطع المربع أبحي إلى جزأين متطابقين (منذ المثلثات أبج و يحأنا متساوية في البناء). من خلال تدوير 90 درجة عكس اتجاه عقارب الساعة ، نرى أن الأشكال المظللة متساوية جأيأنا و جيدأب ... من الواضح الآن أن مساحة الشكل المظلل تساوي مجموع نصفي مناطق المربعات المبنية على الأرجل ومساحة المثلث الأصلي. من ناحية أخرى ، فهو يساوي نصف مساحة المربع المبني على الوتر ، زائد مساحة المثلث الأصلي. الخطوة الأخيرة في الإثبات متروكة للقارئ.

إثبات بطريقة متناهية الصغر

غالبًا ما يُعزى الدليل التالي باستخدام المعادلات التفاضلية إلى عالم الرياضيات الإنجليزي الشهير هاردي ، الذي عاش في النصف الأول من القرن العشرين.

النظر إلى الرسم الموضح في الشكل وملاحظة التغيير في الجانب أ، يمكننا كتابة النسبة التالية للزيادات الصغيرة جدًا للأضلاع من عند و أ (باستخدام التشابه مع المثلثات):

إثبات بطريقة متناهية الصغر

باستخدام طريقة فصل المتغيرات نجد

تعبير أكثر عمومية لتغيير الوتر في حالة الزيادات في كلا الساقين

من خلال دمج هذه المعادلة واستخدام الشروط الأولية، نحن نحصل

ج 2 = أ 2 + ب 2 + ثابت.

وهكذا ، نصل إلى الإجابة المطلوبة

ج 2 = أ 2 + ب 2 .

كما يسهل رؤيته ، يظهر الاعتماد التربيعي في الصيغة النهائية بسبب التناسب الخطي بين جانبي المثلث والزيادات ، بينما يرتبط المجموع بالمساهمات المستقلة من زيادات الأرجل المختلفة.

يمكن الحصول على دليل أبسط إذا افترضنا أن إحدى الساقين لا تشهد زيادة (في هذه الحالة ، الساق ب ). ثم نحصل على ثابت التكامل

الاختلافات والتعميمات

إذا قمنا بدلاً من المربعات ببناء أشكال أخرى مماثلة على الساقين ، فإن التعميم التالي لنظرية فيثاغورس يكون صحيحًا: في المثلث القائم الزاوية ، يكون مجموع مساحات الأشكال المتشابهة المبنية على الأرجل مساويًا لمساحة الشكل المبني على الوتر. خاصه:
- مجموع مساحات المثلثات المنتظمة المبنية على الأرجل يساوي مساحة المثلث العادي المبني على الوتر.
- مجموع مساحات أنصاف الدوائر المبنية على الأرجل (كما في القطر) يساوي مساحة نصف الدائرة المبنية على الوتر. يستخدم هذا المثال لإثبات خصائص الأشكال المقيدة بأقواس من دائرتين وتحمل اسم لونات أبقراط.

التاريخ

Chu-pei 500-200 قبل الميلاد. النقش الأيسر: مجموع مربعات أطوال الارتفاع والقاعدة هو مربع طول الوتر.

يتحدث الكتاب الصيني القديم Chu-Pei عن مثلث فيثاغورس بجوانب 3 و 4 و 5: في نفس الكتاب ، تم اقتراح رسم يتزامن مع أحد رسومات الهندسة الهندوسية في بشارة.

يعتقد كانتور (أكبر مؤرخ ألماني للرياضيات) أن المساواة 3 ² + 4 ² \u003d 5 ² كانت معروفة بالفعل للمصريين حوالي 2300 قبل الميلاد. هـ ، في عهد الملك أمنمحات الأول (حسب البردية 6619 لمتحف برلين). وفقًا لكانتور ، فإن الحاربين ، أو "شد الحبل" ، قاموا ببناء زوايا قائمة باستخدام مثلثات قائمة الزاوية مع جوانب 3 و 4 و 5.

من السهل جدًا إعادة إنتاج طريقتهم في البناء. خذ حبلًا طوله 12 مترًا واربطه به على طول شريط ملون على مسافة 3 أمتار. من طرف و 4 أمتار من الطرف الآخر. سيتم إحاطة الزاوية اليمنى بين الجانبين بطول 3 و 4 أمتار. قد يجادل Harpedonapts في أن طريقتهم في البناء ستصبح غير ضرورية ، إذا كنت تستخدم ، على سبيل المثال ، المربع الخشبي الذي يستخدمه جميع النجارين. في الواقع ، تُعرف الرسومات المصرية التي توجد بها مثل هذه الأداة ، على سبيل المثال ، رسومات تصور ورشة نجارة.

يُعرف المزيد عن نظرية فيثاغورس البابلية. في نص واحد يعود إلى زمن حمورابي أي إلى 2000 قبل الميلاد. BC ، حساب تقريبي لوتر المثلث قائم الزاوية. من هذا يمكننا أن نستنتج أنه في بلاد ما بين النهرين كانوا يعرفون كيفية إجراء الحسابات باستخدام المثلثات القائمة الزاوية ، على الأقل في بعض الحالات. استنادًا إلى المستوى الحالي للمعرفة حول الرياضيات المصرية والبابلية ، من ناحية ، ومن ناحية أخرى ، بناءً على دراسة نقدية للمصادر اليونانية ، توصل فان دير فيردن (عالم رياضيات هولندي) إلى الاستنتاج التالي:

المؤلفات

بالروسية

Skopets Z.A. المنمنمات الهندسية. م ، 1990
يلنسكي ش. على خطى فيثاغورس. م ، 1961
Van der Waerden B.L. علم الصحوة. رياضيات مصر القديمة وبابل واليونان. م ، 1959
جليزر جي. تاريخ الرياضيات في المدرسة. م ، 1982
ليتسمان ، "نظرية فيثاغورس" م ، 1960.
- موقع حول نظرية فيثاغورس مع عدد كبير من البراهين ، المادة مأخوذة من كتاب V. Litzman ، يتم تقديم عدد كبير من الرسومات في شكل ملفات رسومية منفصلة.
نظرية فيثاغورس و Pythagorean توائم ثلاثة فصل من كتاب بقلم DV Anosov "نظرة على الرياضيات وشيء منها"
حول نظرية فيثاغورس وطرق إثباتها ج. جليزر ، الأكاديمي في الأكاديمية الروسية للتعليم ، موسكو

باللغة الإنجليزية

نظرية فيثاغورس في WolframMathWorld (eng.)
Cut-The-Knot ، قسم عن نظرية فيثاغورس ، حوالي 70 برهان وثروة من المعلومات الإضافية

مؤسسة ويكيميديا. 2010.

نظرية فيثاغورس هي إحدى النظريات الأساسية للهندسة الإقليدية ، وتأسيس العلاقة

بين جانبي مثلث قائم الزاوية.

يُعتقد أنه تم إثباته من قبل عالم الرياضيات اليوناني فيثاغورس ، الذي سمي على اسمه.

الصيغة الهندسية لنظرية فيثاغورس.

في البداية ، تمت صياغة النظرية على النحو التالي:

في المثلث القائم الزاوية ، مساحة المربع المبني على الوتر تساوي مجموع مساحات المربعات ،

مبني على أرجل.

الصيغة الجبرية لنظرية فيثاغورس.

في المثلث القائم الزاوية ، يكون مربع طول الوتر مساويًا لمجموع مربعات أطوال الساقين.

وهذا يعني أن طول وتر المثلث في المثلث جوطول الساقين أ و ب:

كلا الصيغتين نظريات فيثاغورسمتكافئة ، لكن الصيغة الثانية أكثر بدائية ، فهي ليست كذلك

يتطلب مفهوم المنطقة. أي أنه يمكن التحقق من العبارة الثانية دون معرفة أي شيء عن المنطقة و

بقياس أطوال أضلاع المثلث القائم الزاوية فقط.

نظرية العكس في فيثاغورس.

إذا كان مربع أحد أضلاع المثلث يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين

مثلث مستطيل.

أو بعبارة أخرى:

لأي ثلاثة أرقام موجبة أ, ب و جمثل ذلك

هناك مثلث قائم الزاوية بأرجل أ و بوالوتر ج.

نظرية فيثاغورس لمثلث متساوي الساقين.

نظرية فيثاغورس لمثلث متساوي الأضلاع.

البراهين على نظرية فيثاغورس.

في الوقت الحالي ، تم تسجيل 367 دليلًا على هذه النظرية في الأدبيات العلمية. ربما النظرية

فيثاغورس هي النظرية الوحيدة التي تحتوي على هذا العدد الرائع من البراهين. مثل هذا التنوع

لا يمكن تفسيره إلا بالمعنى الأساسي لنظرية الهندسة.

بالطبع ، من الناحية المفاهيمية ، يمكن تقسيمهم جميعًا إلى عدد صغير من الفصول. اشهرهم:

دليل طريقة المنطقة, بديهي و أدلة غريبة (على سبيل المثال ،

عبر المعادلات التفاضلية).

1. إثبات نظرية فيثاغورس من خلال مثلثات متشابهة.

الدليل التالي للصيغة الجبرية هو أبسط البراهين قيد الإنشاء

مباشرة من البديهيات. على وجه الخصوص ، لا يستخدم مفهوم منطقة الشكل.

اسمحوا ان ABC يوجد مثلث قائم الزاوية ج... دعونا نرسم الارتفاع من ج والدلالة

من خلال تأسيسها ح.

مثلث ACH مثل المثلث ABج في زاويتين. وبالمثل ، المثلث CBH إنه متشابه ABC.

تقديم الترميز:

نحن نحصل:

الذي يتوافق مع -

بإضافة أ 2 و ب 2 ، نحصل على:

أو ، كما هو مطلوب لإثبات.

2. إثبات نظرية فيثاغورس بطريقة المساحة.

الأدلة الواردة أدناه ، على الرغم من بساطتها الظاهرة ، ليست بهذه البساطة على الإطلاق. كل منهم

استخدم خصائص المنطقة ، والتي يكون إثباتها أكثر صعوبة من إثبات نظرية فيثاغورس نفسها.

الإثبات من خلال تكاملية متساوية.

رتب أربعة مستطيلات متساوية

مثلث كما هو موضح في الشكل

على اليمين.

رباعي مع جوانب ج - ميدان،

لأن مجموع زاويتين حادتين هو 90 درجة ، و

زاوية موسعة - 180 درجة.

مساحة الشكل بأكمله ، من ناحية ،

مساحة المربع مع الضلع ( أ + ب) ، ومن ناحية أخرى ، مجموع مناطق المثلثات الأربعة و

Q.E.D.

3. إثبات نظرية فيثاغورس بطريقة متناهية الصغر.

النظر في الرسم الموضح في الشكل

مشاهدة تغيير الجانبأ، نستطيع

اكتب العلاقة التالية بلا حدود

صغير الزيادات الجانبيةمن عند و أ (باستخدام التشابه

مثلثات):

باستخدام طريقة الفصل المتغير نجد:

تعبير أكثر عمومية لتغيير الوتر في حالة زيادات كلا الساقين:

بدمج هذه المعادلة واستخدام الشروط الأولية نحصل على:

وهكذا نصل إلى الإجابة المطلوبة:

كما يسهل رؤيته ، يظهر الاعتماد التربيعي في الصيغة النهائية بسبب الخطي

التناسب بين أضلاع المثلث والزيادات ، بينما يرتبط المجموع بالاستقلالية

مساهمات من زيادة الأرجل المختلفة.

يمكن الحصول على دليل أبسط إذا افترضنا أن إحدى الساقين لا تشهد زيادة

(في هذه الحالة ، الساق ب). ثم بالنسبة لثابت التكامل نحصل على:

مصير النظريات والمشاكل الأخرى غريب ... كيف يمكن للمرء أن يفسر ، على سبيل المثال ، هذا الاهتمام الاستثنائي من علماء الرياضيات وهواة الرياضيات لنظرية فيثاغورس؟ لماذا لم يكتف الكثير منهم بالبراهين المعروفة بالفعل ، ولكنهم وجدوا أدلة خاصة بهم ، مما رفع عدد البراهين إلى عدة مئات في خمسة وعشرين قرنا متوقعة نسبيا؟
عندما يتعلق الأمر بنظرية فيثاغورس ، يبدأ غير المعتاد باسمها. يُعتقد أن فيثاغورس لم يكن أول من صاغها. كما أنه من المشكوك فيه أنه قدم لها الدليل. إذا كان فيثاغورس شخصًا حقيقيًا (حتى أن البعض يشك في ذلك!) ، فقد عاش ، على الأرجح ، في القرنين السادس والخامس. قبل الميلاد ه. هو نفسه لم يكتب أي شيء ، أطلق على نفسه اسم فيلسوف ، مما يعني ، حسب فهمه ، "السعي من أجل الحكمة" ، أسس اتحاد فيثاغورس ، الذي كان أعضاؤه منخرطين في الموسيقى والجمباز والرياضيات والفيزياء وعلم الفلك. على ما يبدو ، كان أيضًا خطيبًا ممتازًا ، كما يتضح من الأسطورة التالية المتعلقة بإقامته في مدينة كروتوني: "بدأ أول ظهور لفيثاغورس أمام الناس في كروتوني بخطاب إلى الشباب ، حيث كان صارمًا للغاية ، ولكن في نفس الوقت كان رائعًا جدًا. وأوضح مسؤوليات الشباب ، أن شيوخ المدينة طلبوا عدم تركهم دون تعليمات. وأشار في حديثه الثاني إلى شرعية الأخلاق ونقاوتها كأساس للأسرة. في اليومين التاليين التفت إلى الأطفال والنساء. العاقبة الخطاب الأخير، الذي أدان فيه الرفاهية بشكل خاص ، أنه تم تسليم آلاف الفساتين الثمينة إلى معبد هيرا ، حيث لم تعد تجرؤ امرأة على الظهور بها في الشارع بعد الآن ... "ومع ذلك ، حتى في القرن الثاني الميلادي بعد 700 عام ، عاش وعمل أناس حقيقيون تمامًا ، وعلماء بارزون كانوا بوضوح تحت تأثير اتحاد فيثاغورس والذين كانوا يحترمون كثيرًا ما ابتكره فيثاغورس ، وفقًا للأسطورة.
مما لا شك فيه أن الاهتمام بالنظرية ناتج أيضًا عن احتلالها لأحد الأماكن المركزية في الرياضيات ، وإرضاء مؤلفي البراهين الذين تغلبوا على الصعوبات ، والتي تحدث عنها الشاعر الروماني كوينتوس هوراس فلاكوس ، الذي عاش قبل عصرنا ، جيدًا: "من الصعب التعبير عن الحقائق المعروفة". ...
في البداية ، أنشأت النظرية العلاقة بين مناطق المربعات المبنية على الوتر وأرجل المثلث الأيمن:
.
الصيغة الجبرية:
في المثلث القائم الزاوية ، يكون مربع طول الوتر مساويًا لمجموع مربعات أطوال الساقين.
أي ، للدلالة على طول وتر المثلث خلال c ، وأطوال الأرجل خلال a و b: a 2 + b 2 \u003d c 2. كل من عبارات النظرية متكافئة ، لكن العبارة الثانية أكثر بدائية ، فهي لا تتطلب مفهوم المنطقة. أي أنه يمكن التحقق من العبارة الثانية دون معرفة أي شيء عن المساحة وقياس أطوال أضلاع المثلث القائم الزاوية فقط.
نظرية العكس في فيثاغورس. لأي ثلاثة أرقام موجبة أ ، ب ، ج مثل ذلك
أ 2 + ب 2 \u003d ج 2 ، يوجد مثلث قائم الزاوية له أرجل أ وب والوتر ج.

دليل

في الوقت الحالي ، تم تسجيل 367 دليلًا على هذه النظرية في الأدبيات العلمية. ربما تكون نظرية فيثاغورس هي النظرية الوحيدة التي تحتوي على هذا العدد الرائع من البراهين. لا يمكن تفسير هذا التنوع إلا بالمعنى الأساسي لنظرية الهندسة.
بالطبع ، من الناحية المفاهيمية ، يمكن تقسيمهم جميعًا إلى عدد صغير من الفصول. أشهرها: البراهين بطريقة المساحة ، البراهين البديهية والغريبة (على سبيل المثال ، باستخدام المعادلات التفاضلية).

من خلال مثلثات متشابهة

الدليل التالي للصيغة الجبرية هو أبسط البراهين المبنية مباشرة من البديهيات. على وجه الخصوص ، لا يستخدم مفهوم منطقة الشكل.
لنفترض أن ABC مثلث قائم الزاوية بزاوية قائمة C. ارسم الارتفاع من C ودل على قاعدته من خلال H. يشبه المثلث ACH المثلث ABC في زاويتين.
وبالمثل ، فإن المثلث CBH مشابه لـ ABC. تقديم التدوين

نحن نحصل

ما هو معادل

مضيفا نحصل

أو

إثبات المناطق

إثبات تكاملية متساوية

1. ضع أربعة مثلثات قائمة الزاوية متساوية كما هو موضح في الشكل.
2. الشكل الرباعي مع أضلاعه c هو مربع ، لأن مجموع زاويتين حادتين 90 درجة ، والزاوية الموسعة 180 درجة.
3. مساحة الشكل الكامل هي ، من ناحية ، مساحة المربع الذي به جوانب (أ + ب) ، ومن ناحية أخرى ، مجموع مساحات أربعة مثلثات ومربع داخلي.

Q.E.D.

الدليل من خلال القياس

دليل إقليدس

الفكرة وراء برهان إقليدس هي كما يلي: دعنا نحاول إثبات أن نصف مساحة المربع المبني على الوتر يساوي مجموع نصف مساحات المربعات المبنية على الأرجل ، ومن ثم تتساوى مساحات المربعات الكبيرة والمربعين الصغيرين. ضع في اعتبارك الرسم الموجود على اليسار. على ذلك ، بنينا مربعات على جانبي مثلث قائم الزاوية ورسمنا شعاعًا s من رأس الزاوية القائمة C عموديًا على الوتر AB ، ويقطع المربع ABIK ، المبني على الوتر ، إلى مستطيلين - BHJI و HAKJ ، على التوالي. اتضح أن مساحات هذه المستطيلات تساوي تمامًا مساحات المربعات المبنية على الأرجل المقابلة. دعنا نحاول إثبات أن مساحة المربع DECA تساوي مساحة المستطيل AHJK لهذا نستخدم ملاحظة مساعدة: مساحة المثلث بنفس الارتفاع والقاعدة لأن هذا المستطيل يساوي نصف مساحة المستطيل المحدد. هذا نتيجة لتحديد مساحة المثلث على أنها نصف حاصل ضرب القاعدة والارتفاع. ويترتب على هذه الملاحظة أن مساحة المثلث ACK تساوي مساحة المثلث AHK (غير مبين في الشكل) ، والتي بدورها تساوي نصف مساحة المستطيل AHJK. لنثبت الآن أن مساحة المثلث ACK تساوي أيضًا نصف مساحة المربع DECA. الشيء الوحيد الذي يجب القيام به لهذا هو إثبات المساواة بين المثلثات ACK و BDA (حيث أن مساحة المثلث BDA تساوي نصف مساحة المربع وفقًا للخاصية المذكورة أعلاه). المساواة واضحة ، والمثلثات متساوية في الضلعين والزاوية بينهما. وهي - AB \u003d AK ، AD \u003d AC - من السهل إثبات المساواة بين الزوايا CAK و BAD بطريقة الحركة: نقوم بتدوير المثلث CAK بمقدار 90 درجة عكس اتجاه عقارب الساعة ، ومن ثم من الواضح أن الأضلاع المتناظرة للمثلثين قيد النظر سوف تتطابق (لأن الزاوية عند رأس المربع هي 90 درجة). المنطق حول المساواة بين مناطق المربع BCFG والمستطيل BHJI مماثل تمامًا. وبذلك أثبتنا أن مساحة المربع المبني على الوتر هي مجموع مساحات المربعات المبنية على الأرجل.

إثبات ليوناردو دافنشي

العناصر الرئيسية للإثبات هي التناظر والحركة.

ضع في اعتبارك الرسم ، كما يتضح من التناظر ، فإن الجزء CI يقطع المربع ABHJ إلى جزأين متطابقين (لأن المثلثين ABC و JHI متساويان في البناء). باستخدام دوران 90 درجة عكس اتجاه عقارب الساعة ، نرى مساواة الأشكال المظللة CAJI و GDAB. من الواضح الآن أن مساحة الشكل المظلل تساوي مجموع نصفي مناطق المربعات المبنية على الأرجل ومساحة المثلث الأصلي. من ناحية أخرى ، فهي تساوي نصف مساحة المربع المبني على الوتر زائد مساحة المثلث الأصلي. الخطوة الأخيرة في الإثبات متروكة للقارئ.