1. مفهوم الخطوط المقاربة

يعد البحث عن الخطوط المقاربة إحدى الخطوات المهمة في إنشاء الرسوم البيانية للوظائف. التقينا بخطوط مقاربة أكثر من مرة: عند رسم الوظائف ، ص = tgx, ص = ctgx. لقد حددناها على أنها خطوط يميل إليها الرسم البياني للدالة ولكنها لا تتقاطع أبدًا. حان الوقت لإعطاء تعريف دقيق للخطوط المقاربة.

هناك ثلاثة أنواع من الخطوط المقاربة: الرأسية والأفقية والمائلة. في الرسم ، عادةً ما يتم الإشارة إلى الخطوط المقاربة بخطوط منقطة.

ضع في اعتبارك الرسم البياني التالي للوظيفة المخططة بشكل مصطنع (الشكل 16.1) ، في المثال الذي تظهر فيه جميع أنواع الخطوط المقاربة بوضوح:

نعطي تعريفًا لكل نوع من الخطوط المقاربة:

1. مباشر س = أمُسَمًّى الخط المقارب الرأسي وظائف إذا.

2. مباشر ص = قمُسَمًّى خط مقارب أفقي وظائف إذا.

3. مباشر ص = ك س + بمُسَمًّى خط مقارب مائل وظائف إذا.

هندسيًا ، تعريف الخط المقارب المائل يعني أنه كما → ∞ الرسم البياني للدالة يقترب من خط مستقيم يغلق بشكل تعسفي ص = ك س + ب، أي. هم عمليا نفس الشيء. الفرق في التعبيرات المتطابقة تقريبًا يميل إلى الصفر.

لاحظ أن الخطوط المقاربة الأفقية والمائلة لا يتم النظر فيها إلا في حالة الشرط → ∞. في بعض الأحيان يتم تمييزها في خطوط مقاربة أفقية ومائلة كـ → + و →-.

1. خوارزمية البحث عن الخطوط المقاربة

يمكن استخدام الخوارزمية التالية للعثور على الخطوط المقاربة:

قد يكون هناك خط مقارب رأسي واحد ، أو عدة خطوط أو لا شيء على الإطلاق.

• إذا كان c رقمًا ، إذن ص = قهو الخط المقارب الأفقي.
• إذا كانت c لانهاية ، فلا توجد خطوط مقاربة أفقية.

إذا كانت الوظيفة عبارة عن نسبة متعددة الحدود ، إذا كانت الوظيفة تحتوي على خطوط مقاربة أفقية ، فلن نبحث عن الخطوط المقاربة المائلة - فهي غير موجودة.

ضع في اعتبارك أمثلة لإيجاد الخطوط المقاربة للدالة:

مثال 16.1.أوجد الخطوط المقاربة للمنحنى.

حل X-1≠0; X≠1.

دعنا نتحقق مما إذا كان الخط هو س = 1 خط مقارب عمودي. للقيام بذلك ، نحسب نهاية الدالة عند النقطة س = 1: .

س = 1 - خط مقارب عمودي.

مع= .

مع= =. لأن مع= 2 (رقم) ، إذن ص = 2هو الخط المقارب الأفقي.

نظرًا لأن الوظيفة عبارة عن نسبة متعددة الحدود ، في وجود خطوط مقاربة أفقية ، فإننا نؤكد أنه لا توجد خطوط مقاربة مائلة.

س = 1 والخط المقارب الأفقي ص = 2.من أجل الوضوح ، يظهر الرسم البياني لهذه الوظيفة في الشكل. 16.2.

مثال 16.2. أوجد الخطوط المقاربة للمنحنى.

حل. 1. ابحث عن مجال الوظيفة: X-2≠0; X≠2.

دعنا نتحقق مما إذا كان الخط هو س = 2 خط مقارب عمودي. للقيام بذلك ، نحسب نهاية الدالة عند النقطة س = 2: .

لقد حصلنا على ذلك ، س = 2 - خط مقارب عمودي.

2. للبحث عن الخطوط المقاربة الأفقية ، نجد: مع= .

نظرًا لوجود عدم يقين في الحد ، فإننا نستخدم قاعدة L'Hopital: مع= =. لأن معلا نهاية ، فلا توجد خطوط مقاربة أفقية.

3. للبحث عن الخطوط المقاربة المائلة ، نجد:

حصلنا على شك في الشكل ، نستخدم قاعدة L'Hopital: = = 1. بحسب الصيغة: .

ب = = =

تلقيت ذلك ب = 2. ثم ص = ك س + ب -خط مقارب مائل. في حالتنا ، يبدو كما يلي: ص = س + 2.

أرز. 16.3

وبالتالي ، فإن هذه الوظيفة لها خط مقارب عمودي س = 2 وخط مقارب مائل ص = س + 2.من أجل الوضوح ، يظهر الرسم البياني للوظيفة في الشكل. 16.3.

أسئلة المراقبة:

المحاضرة 17

في هذه المحاضرة سوف نلخص كل المواد التي سبق دراستها. الهدف النهائي لرحلتنا الطويلة هو أن نكون قادرين على التحقيق في أي وظيفة معينة تحليليًا وبناء الرسم البياني الخاص بها. ستكون الأجزاء المهمة من دراستنا هي دراسة وظيفة الحد الأقصى ، وتحديد فترات الرتابة والتحدب والتقعر في الرسم البياني ، والبحث عن نقاط الانعطاف ، والخطوط المقاربة للرسم البياني للوظيفة.

مع الأخذ في الاعتبار جميع الجوانب المذكورة أعلاه ، فإننا نقدم مخطط لدراسة الوظيفة والتخطيط .

1. ابحث عن مجال الوظيفة.

2. تحقق من وظيفة الزوجي الفردي:

إذا كانت الوظيفة زوجية (الرسم البياني لوظيفة زوجية متماثل فيما يتعلق بالمحور OU);

إذا كانت الوظيفة فردية (الرسم البياني للدالة الفردية متماثل فيما يتعلق بالأصل) ؛

خلاف ذلك ، فإن الوظيفة ليست زوجية ولا فردية.

3. التحقيق في وظيفة الدورية (من بين الوظائف التي ندرسها ، فقط الدوال المثلثية يمكن أن تكون دورية).

4. أوجد نقاط تقاطع الرسم البياني للدالة مع محاور الإحداثيات:

· أوه: في= 0 (لا نحل المعادلة إلا إذا استطعنا استخدام الطرق المعروفة لنا) ؛

· OU: X=0.

5. أوجد المشتق الأول للتابع والنقاط الحرجة من النوع الأول.

6. البحث عن فترات الرتابة والنهايات القصوى للوظيفة.

7. أوجد المشتق الثاني للتابع والنقاط الحرجة من النوع الثاني.

8. أوجد فترات التحدب-التقعر للرسم البياني للوظيفة ونقاط الانعطاف.

9. أوجد الخطوط المقاربة للرسم البياني للوظيفة.

10. رسم وظيفة. عند البناء ، ضع في اعتبارك حالات الموقع المحتمل للرسم البياني بالقرب من الخطوط المقاربة :

11. إذا لزم الأمر ، حدد نقاط التحكم لبناء أكثر دقة.

ضع في اعتبارك مخططًا لدراسة دالة ورسم رسمها البياني باستخدام أمثلة محددة:

مثال 17.1. ارسم الدالة.

حل. 1. يتم تحديد هذه الوظيفة على خط الأعداد بالكامل باستثناء X= 3 لأن عند هذه النقطة يذهب المقام إلى الصفر.

2. لتحديد تساوي وغرابة الدالة نجد:

نرى ذلك ، وبالتالي ، الوظيفة ليست زوجية ولا فردية.

3. الوظيفة غير دورية.

4. أوجد نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات. لإيجاد نقطة التقاطع مع المحور أوهيقبل في= 0. نحصل على المعادلة:. إذن ، النقطة (0 ؛ 0) هي نقطة التقاطع مع محاور الإحداثيات.

5. أوجد مشتق التابع وفقًا لقاعدة اشتقاق الكسر: = = = =.

لإيجاد النقاط الحرجة ، نجد النقاط التي يكون عندها مشتق الدالة مساويًا للصفر أو غير موجود.

إذا كانت = 0 ، لذلك ،. يكون المنتج إذن 0 عندما يكون أحد العوامل على الأقل هو 0: أو.

X-3) 2 يساوي 0 ، أي غير موجود في X=3.

إذن ، للدالة ثلاث نقاط حرجة من النوع الأول: ؛ ؛ .

6. على المحور الحقيقي ، نحدد النقاط الحرجة من النوع الأول ، ونضع علامة على النقطة بنقطة مثقوبة ، لأن لا تحدد وظيفة.

رتب علامات المشتق = في كل فترة:

ر. مين

ر ماكس

على فترات حيث تزيد الوظيفة الأصلية (عند (-؛ 0]) ، حيث - ينقص (في).

نقطة X= 0 هي النقطة القصوى للدالة. لإيجاد الحد الأقصى للدالة ، دعنا نجد قيمة الدالة عند النقطة 0:.

نقطة X= 6 هي النقطة الدنيا للدالة. لإيجاد الحد الأدنى للدالة ، لنجد قيمة الدالة عند النقطة 6:.

يمكن إدخال نتائج البحث في الجدول. عدد الصفوف في الجدول ثابت ويساوي أربعة ، ويعتمد عدد الأعمدة على الوظيفة قيد الدراسة. في خلايا الصف الأول ، يتم إدخال الفواصل الزمنية التي تقسم فيها النقاط الحرجة مجال تعريف الوظيفة بالتسلسل ، بما في ذلك النقاط الحرجة نفسها. لتجنب الأخطاء عند إنشاء نقاط لا تنتمي إلى منطقة التعريف ، من الممكن عدم تضمينها في الجدول.

يحتوي الصف الثاني من الجدول على علامات المشتق في كل من الفترات المدروسة وقيمة المشتق عند النقاط الحرجة. وفقًا لعلامات مشتق الوظيفة ، يتم تحديد فترات الزيادة والنقصان والحد الأقصى للدالة في السطر الثالث.

يتم استخدام السطر الأخير للإشارة إلى الحد الأقصى والحد الأدنى للوظيفة.

X	(-∞;0)		(0;3)		(3;6)		(6;+ ∞)
	+		-		-		+
و (خ)
الاستنتاجات		الأعلى				دقيقة

7. أوجد المشتق الثاني للدالة كمشتق من المشتق الأول: = =

اخرج في البسط X-3 خارج الأقواس ونفّذ التخفيض:

نقدم في البسط مثل المصطلحات:.

دعونا نجد النقاط الحرجة من النوع الثاني: النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني للدالة مساويًا للصفر أو غير موجود.

0 إذا كانت = 0. لا يمكن أن يكون هذا الكسر مساويًا للصفر ، لذلك لا توجد نقاط يكون فيها المشتق الثاني للدالة مساويًا للصفر.

لا يوجد إذا كان المقام ( X-3) 3 تساوي 0 ، أي غير موجود في X= 3. :أوه ، OU، الأصل ، وحدات القياس لكل محور.

قبل رسم دالة ما ، تحتاج إلى:

رسم خطوط مقاربة بخطوط منقطة ؛

تحديد نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات ؛

أرز. 17.1

حدد الحد الأقصى والحد الأدنى للوظيفة ، ويوصى بتعيين الحد الأقصى والحد الأدنى للوظيفة مباشرة على الرسم باستخدام الأقواس: k أو ؛

· باستخدام البيانات التي تم الحصول عليها على فترات الزيادة والنقص والتحدب والتقعر ، قم بإنشاء رسم بياني للدالة. يجب أن "تميل" فروع الرسم البياني إلى الخطوط المقاربة ، ولكن لا تتقاطع معها.

تحقق مما إذا كان الرسم البياني للوظيفة يتوافق مع الدراسة: إذا كانت الوظيفة زوجية أو فردية ، فعندئذٍ ما إذا كان التماثل ملحوظًا ؛ ما إذا كانت فترات الزيادة والنقصان المثبتة نظريًا ، والتحدب والتقعر ، ونقاط الانعطاف.

11. للحصول على بناء أكثر دقة ، يمكنك تحديد نقاط تحكم متعددة. على سبيل المثال ، لنجد قيم الدالة عند النقطتين -2 و 7:

نقوم بتعديل الرسم البياني مع مراعاة نقاط التحكم.

أسئلة المراقبة:

1. ما هي الخوارزمية لرسم الرسم البياني للوظيفة؟
2. هل يمكن أن يكون للدالة حد أقصى عند نقاط لا تنتمي إلى مجال التعريف؟

الفصل 3. 3. حساب متكامل للوظيفة

- (من اليونانية جزء سلبي ، وتتزامن الأعراض معًا). خط مستقيم يقترب باستمرار من منحنى ويقابله فقط عند اللانهاية. قاموس الكلمات الأجنبية المدرجة في اللغة الروسية. Chudinov A.N. ، 1910. ASYMPTOE من ... ... قاموس الكلمات الأجنبية للغة الروسية

ASYMPTOTE- (من اليونانية asymptotos non-coincident) ، وهو خط مستقيم يقترب منه الفرع اللامتناهي من المنحنى إلى أجل غير مسمى ، على سبيل المثال ، الخط المقارب للقطع الزائد ... الموسوعة الحديثة

ASYMPTOTE- (من اليونانية غير متطابقة) المنحنى مع فرع لانهائي هو خط مستقيم يقترب منه هذا الفرع إلى أجل غير مسمى ، على سبيل المثال ، خط مقارب للقطع الزائد ... قاموس موسوعي كبير

خط مقارب- خط مستقيم يقترب منه منحنى تدريجيًا. خط مقارب يقترب خط مستقيم (لا يصل إليه أبدًا) من خلال منحنى له فرع لا نهائي من بعض الوظائف عندما تزيد حجته إلى أجل غير مسمى أو ... دليل المترجم الفني

خط مقارب- (من اليونانية مقاربة غير متطابقة) ، خط مستقيم يقترب منه فرع لانهائي من المنحنى إلى أجل غير مسمى ، مثل الخط المقارب للقطع الزائد. ... قاموس موسوعي مصور

ASYMPTOTE- أنثى ، geom. خط مستقيم ، يقترب دائمًا من منحنى (القطع الزائد) ، لكن لا يتقارب معه أبدًا. مثال لشرح هذا: إذا تم تقسيم أي رقم إلى نصفين ، فسوف ينخفض ​​إلى ما لا نهاية ، لكنه لن يصبح صفرًا أبدًا ... ... قاموس دال التوضيحي

خط مقارب- الاسم ، عدد المرادفات: سطر واحد (182) قاموس مرادف أيسيس. في. تريشين. 2013 ... قاموس مرادف

خط مقارب- (من الكلمات اليونانية: a ، sun ، piptw) غير متطابقة. يُقصد بالخط المقارب مثل هذا الخط ، الذي ، كونه مستمرًا إلى أجل غير مسمى ، يقترب من خط منحني معين أو جزء منه ، بحيث تصبح المسافة بين الخطوط المشتركة أقل ...

خط مقاربالسطح هو خط مستقيم يتقاطع مع السطح عند نقطتين على الأقل عند اللانهاية ... موسوعة بروكهاوس وإيفرون

ASYMPTOTE- (خط مقارب) القيمة التي تميل إليها هذه الوظيفة عندما تتغير الوسيطة (الوسيطة) ، ولكنها لا تصل إليها بأي قيمة نهائية للوسيطة. على سبيل المثال ، إذا كانت التكلفة الإجمالية للمخرجات x معطاة من خلال الدالة TC = a + bx ، حيث a و b ثوابت ... القاموس الاقتصادي

خط مقارب- الخط المستقيم الذي يميل (لا يصل إليه أبدًا) ، وله فرع لا نهائي من منحنى لبعض الوظائف ، عندما تزيد حجته أو تنقص إلى ما لا نهاية. على سبيل المثال ، في الوظيفة: y = c + 1 / x ، تقترب قيمة y مع ... ... القاموس الاقتصادي والرياضي

كم عدد الخطوط المقاربة التي يمكن أن يحتويها الرسم البياني لوظيفة ما؟

لا شيء ، واحد ، اثنان ، ثلاثة ... أو عدد لا نهائي. لن نذهب بعيدًا للحصول على أمثلة ، سوف نتذكر الدوال الأولية. القطع المكافئ ، القطع المكافئ المكعب ، الجيوب الأنفية ليس لها خطوط مقاربة على الإطلاق. يحتوي الرسم البياني للدالة اللوغاريتمية الأسية على خط مقارب واحد. قوس ظل التمام ، قوس التمام له اثنان منهم ، والظل ، ظل التمام له عدد لا نهائي. ليس من غير المألوف أن يكون للرسم البياني خطوط مقاربة أفقية ورأسية. المبالغة ، سوف أحبك دائما.

ماذا يعني العثور على الخطوط المقاربة لرسم بياني لوظيفة؟

هذا يعني معرفة معادلاتهم ورسم خطوط مستقيمة إذا كانت حالة المشكلة تتطلب ذلك. تتضمن العملية إيجاد حدود الوظيفة.

الخطوط المقاربة العمودية لرسم بياني لوظيفة

الخط المقارب العمودي للرسم البياني ، كقاعدة عامة ، عند نقطة الانقطاع اللانهائي للوظيفة. الأمر بسيط: إذا كانت الوظيفة تعاني من انقطاع لا نهائي عند نقطة ما ، فإن الخط المستقيم الذي تعطيه المعادلة هو الخط المقارب الرأسي للرسم البياني.

ملاحظة: يرجى ملاحظة أنه يتم استخدام الترميز للإشارة إلى مفهومين مختلفين تمامًا. النقطة ضمنية أو معادلة الخط المستقيم - تعتمد على السياق.

وبالتالي ، لإثبات وجود خط مقارب عمودي عند نقطة ما ، يكفي إظهار أن أحد الحدود أحادية الجانب على الأقل غير محدود. غالبًا ما تكون هذه هي النقطة التي يكون فيها مقام الدالة مساويًا للصفر. في الواقع ، لقد وجدنا بالفعل خطوطًا مقاربة عمودية في الأمثلة الأخيرة من درس استمرارية الدالة. ولكن في عدد من الحالات ، لا يوجد سوى حد واحد من جانب واحد ، وإذا كان غير محدود ، فعندئذ مرة أخرى - الحب وفضل الخط المقارب العمودي. أبسط توضيح: والمحور ص.

تتبع الحقيقة الواضحة أيضًا مما سبق: إذا كانت الوظيفة مستمرة ، فلا توجد خطوط مقاربة عمودية. لسبب ما ، خطرت على البال قطع مكافئ. في الواقع ، أين يمكنك "التمسك" بخط مستقيم هنا؟ ... نعم ... أفهم ... اجتمع أتباع العم فرويد في حالة هستيرية =)

العبارة العكسية غير صحيحة بشكل عام: على سبيل المثال ، لم يتم تحديد الوظيفة في السطر الحقيقي بأكمله ، لكنها محرومة تمامًا من الخطوط المقاربة.

الخطوط المقاربة المائلة للرسم البياني للدالة

يمكن رسم الخطوط المقاربة المائلة (كحالة خاصة - أفقية) إذا كانت حجة الوظيفة تميل إلى "زائد اللانهاية" أو "ناقص اللانهاية". لذلك ، لا يمكن أن يحتوي الرسم البياني للدالة على أكثر من خطين مقاربين مائلين. على سبيل المثال ، يحتوي الرسم البياني للدالة الأسية على خط مقارب أفقي واحد عند ، ويحتوي الرسم البياني للظل في خطين مقاربين وأخرى مختلفة.

عندما يقترب الرسم البياني هنا وهناك من الخط المقارب المائل الوحيد ، فمن المعتاد الجمع بين "اللانهايات" تحت إدخال واحد. على سبيل المثال ، ... لقد خمنت ذلك بشكل صحيح:.

الخطوط المقاربة للرسم البياني للدالة

ظل شبح الخط المقارب يتجول في الموقع لفترة طويلة من أجل أن يتجسد أخيرًا في مقال واحد ويجلب فرحة خاصة للقراء في حيرة دراسة كاملة الوظائف. يعد العثور على الخطوط المقاربة للرسم البياني أحد الأجزاء القليلة من المهمة المحددة ، والتي يتم تناولها في الدورة المدرسية فقط بترتيب عام ، حيث تدور الأحداث حول الحساب حدود الوظيفة، لكنهم ما زالوا ينتمون إلى رياضيات أعلى. الزوار الذين ليس لديهم دراية جيدة بالتحليل الرياضي ، أعتقد أن التلميح مفهوم ؛-) ... توقف ، إلى أين أنت ذاهب؟ حدود- من السهل!

أمثلة من الخطوط المقاربة التقى على الفور في الدرس الأول حول الرسوم البيانية للوظائف الابتدائية، والآن يخضع الموضوع لدراسة تفصيلية.

إذن ما هو الخط المقارب؟

يتصور نقطة متغيرة، والتي "تنتقل" على طول الرسم البياني للدالة. الخط المقارب هو مستقيمإلى whcih إغلاق غير محدوديقترب الرسم البياني للوظيفة حيث تنتقل النقطة المتغيرة إلى ما لا نهاية.

ملحوظة : التعريف ذو مغزى ، إذا كنت بحاجة إلى صياغة في تدوين التحليل الرياضي ، فيرجى الرجوع إلى الكتاب المدرسي.

على المستوى ، يتم تصنيف الخطوط المقاربة وفقًا لترتيبها الطبيعي:

1) الخطوط المقاربة الرأسية، والتي يتم تقديمها بواسطة معادلة النموذج ، حيث "alpha" هو رقم حقيقي. يحدد الممثل الشعبي المحور ص نفسه ،
مع نوبة من الغثيان الخفيف ، نتذكر المبالغة.

2) الخطوط المقاربة المائلةتقليديا مكتوبة معادلة الخط المستقيممع عامل الانحدار. في بعض الأحيان يتم تحديد حالة خاصة كمجموعة منفصلة - الخطوط المقاربة الأفقية. على سبيل المثال ، نفس القطع الزائد مع خط مقارب.

سرعان ما نبدأ ، دعنا نطرح الموضوع مع انفجار تلقائي قصير:

كم عدد الخطوط المقاربة التي يمكن أن يحتويها الرسم البياني لوظيفة ما؟

لا شيء ، واحد ، اثنان ، ثلاثة ... أو عدد لا نهائي. سوف نتذكر لن نذهب بعيدا عن الأمثلة وظائف الابتدائية. القطع المكافئ ، القطع المكافئ المكعب ، الجيوب الأنفية ليس لها خطوط مقاربة على الإطلاق. يحتوي الرسم البياني للدالة اللوغاريتمية الأسية على خط مقارب واحد. قوس ظل التمام ، قوس التمام له اثنان منهم ، والظل ، ظل التمام له عدد لا نهائي. ليس من غير المألوف أن يكون للرسم البياني خطوط مقاربة أفقية ورأسية. المبالغة ، سوف أحبك دائما.

ماذا يعني ؟

الخطوط المقاربة العمودية لرسم بياني لوظيفة

عادة ما يكون الخط المقارب العمودي للرسم البياني عند نقطة اللانهايةالمهام. الأمر بسيط: إذا كانت الوظيفة تعاني من انقطاع لا نهائي عند نقطة ما ، فإن الخط المستقيم الذي تعطيه المعادلة هو الخط المقارب الرأسي للرسم البياني.

ملحوظة : لاحظ أن الترميز يُستخدم للإشارة إلى مفهومين مختلفين تمامًا. النقطة ضمنية أو معادلة الخط المستقيم - تعتمد على السياق.

وبالتالي ، لإثبات وجود خط مقارب عمودي عند نقطة ما ، يكفي إظهار ذلك مرة على الأقلمن حدود أحادية الجانب بلا نهاية. غالبًا ما تكون هذه هي النقطة التي يكون فيها مقام الدالة مساويًا للصفر. في الواقع ، لقد وجدنا بالفعل خطوطًا مقاربة عمودية في الأمثلة الأخيرة من الدرس. على استمرارية الوظيفة. ولكن في بعض الحالات ، لا يوجد سوى حد واحد من جانب واحد ، وإذا كان غير محدود ، فعندئذ مرة أخرى - حب وفضل الخط المقارب العمودي. أبسط توضيح: والمحور ص (انظر. الرسوم البيانية وخصائص الوظائف الابتدائية).

مما سبق ، فإن الحقيقة الواضحة تتبع أيضًا: إذا كانت الوظيفة مستمرة في، فلا توجد خطوط مقاربة عمودية. لسبب ما ، خطرت على البال قطع مكافئ. في الواقع ، أين يمكنك "التمسك" بخط مستقيم هنا؟ ... نعم ... أفهم ... اجتمع أتباع العم فرويد في حالة هستيرية =)

العبارة العكسية غير صحيحة بشكل عام: على سبيل المثال ، لم يتم تحديد الوظيفة في السطر الحقيقي بأكمله ، لكنها محرومة تمامًا من الخطوط المقاربة.

الخطوط المقاربة المائلة للرسم البياني للدالة

يمكن رسم الخطوط المقاربة المائلة (كحالة خاصة - أفقية) إذا كانت حجة الوظيفة تميل إلى "زائد اللانهاية" أو "ناقص اللانهاية". لهذا لا يمكن أن يحتوي الرسم البياني للدالة على أكثر من خطين مقاربين مائلين. على سبيل المثال ، يحتوي الرسم البياني للدالة الأسية على خط مقارب أفقي واحد عند ، ويحتوي الرسم البياني لمماس القوس عند على خطين مقاربين وأخرى مختلفة.

عندما يقترب الرسم البياني هنا وهناك من الخط المقارب المائل الوحيد ، فمن المعتاد توحيد "اللانهايات" تحت إدخال واحد. على سبيل المثال ، ... لقد خمنت ذلك بشكل صحيح:.

القاعدة العامة:

إذا كان هناك اثنان أخيرحد ، إذن الخط المستقيم هو الخط المقارب المائل للرسم البياني للوظيفة عند. لو مرة على الأقلمن الحدود المذكورة أعلاه لانهائية ، فلا يوجد خط مقارب مائل.

ملحوظة : تظل الصيغ صالحة إذا كانت "x" تميل فقط إلى "plus infinity" أو فقط إلى "minus infinity".

دعونا نظهر أن القطع المكافئ ليس له خطوط مقاربة مائلة:

الحد لانهائي ، لذلك لا يوجد خط مقارب مائل. لاحظ أنه في إيجاد الحد لم تعد هناك حاجة لأنه تم تلقي الإجابة بالفعل.

ملحوظة : إذا كان لديك (أو ستواجه) صعوبة في فهم علامات زائد وناقص زائد ، فيرجى الاطلاع على المساعدة في بداية الدرس
حول وظائف متناهية الصغر، حيث أخبرت كيفية تفسير هذه العلامات بشكل صحيح.

من الواضح أن أي دالة تربيعية ، تكعيبية ، كثيرة الحدود من الدرجة الرابعة وما فوقها أيضًا لا تحتوي على خطوط مقاربة مائلة.

والآن ، لنتأكد من عدم وجود خط مقارب مائل على الرسم البياني. للكشف عن عدم اليقين ، نستخدم حكم لوبيتال:
، والتي كان من المقرر التحقق منها.

عندما تنمو الدالة إلى أجل غير مسمى ، لا يوجد مثل هذا الخط المستقيم الذي يقترب منه الرسم البياني قريب بلا حدود.

دعنا ننتقل إلى الجزء العملي من الدرس:

كيف تجد الخطوط المقاربة للرسم البياني لوظيفة؟

هذه هي الطريقة التي يتم بها صياغة مهمة نموذجية ، وهي تتضمن العثور على جميع الخطوط المقاربة للرسم البياني (عمودي ، مائل / أفقي). على الرغم من أنه ، لكي نكون أكثر دقة في صياغة السؤال ، فإننا نتحدث عن دراسة لوجود الخطوط المقاربة (بعد كل شيء ، قد لا يكون هناك أي منها على الإطلاق). لنبدأ بشيء بسيط:

مثال 1

ابحث عن الخطوط المقاربة للرسم البياني للدالة

حلمن المناسب تقسيمها إلى نقطتين:

1) نتحقق أولاً من وجود خطوط مقاربة عمودية. يتلاشى المقام عند ، ويتضح على الفور أن الوظيفة تعاني في هذه المرحلة فجوة لا نهاية لها، والخط المستقيم المعطى بالمعادلة هو الخط المقارب العمودي للرسم البياني للدالة. ولكن قبل استخلاص مثل هذا الاستنتاج ، من الضروري إيجاد حدود من جانب واحد:

أذكرك بتقنية الحساب ، التي تناولتها أيضًا في المقال استمرارية الوظيفة. نقاط الكسر. في التعبير الموجود أسفل علامة النهاية ، نستبدل بـ "x". لا يوجد شيء مثير للاهتمام في البسط:
.

لكن في المقام اتضح عدد سالب متناهي الصغر:
، فإنه يحدد مصير الحد.

الحد الأيسر غير محدود ، ومن حيث المبدأ ، من الممكن بالفعل إصدار حكم على وجود خط مقارب عمودي. لكن هناك حاجة إلى حدود من جانب واحد ليس فقط لهذا - فهي تساعد على الفهم ، كيفيقع الرسم البياني للوظيفة ورسمها بشكل صحيح. لذلك ، يجب علينا أيضًا حساب حد اليد اليمنى:

خاتمة: الحدود أحادية الجانب لانهائية ، مما يعني أن الخط هو خط مقارب رأسي للرسم البياني للوظيفة عند.

الحد الأول محدود، مما يعني أنه من الضروري "متابعة المحادثة" والعثور على الحد الثاني:

الحد الثاني أيضا محدود.

إذن خطنا المقارب هو:

خاتمة: الخط المستقيم المعطى بالمعادلة هو الخط المقارب الأفقي للرسم البياني للدالة عند.

للعثور على الخط المقارب الأفقي
يمكنك استخدام الصيغة المبسطة:

إن وجد محدودالحد ، إذن الخط هو الخط المقارب الأفقي للرسم البياني للوظيفة عند.

من السهل أن نرى أن بسط الدالة ومقامها ترتيب واحد للنمو، مما يعني أن الحد المطلوب سيكون محدودًا:

إجابة:

وفقًا للشرط ، ليس من الضروري إكمال الرسم ، ولكن إذا كان على قدم وساق البحث الوظيفي، ثم نقوم بعمل رسم تخطيطي على الفور في المسودة:

استنادًا إلى الحدود الثلاثة الموجودة ، حاول أن تكتشف بشكل مستقل كيف يمكن تحديد موقع الرسم البياني للدالة. صعب بعض الشيء؟ جد 5-6-7-8 نقاط وقم بتمييزها على الرسم. ومع ذلك ، يتم إنشاء الرسم البياني لهذه الوظيفة باستخدام تحولات الرسم البياني للوظيفة الابتدائية، والقراء الذين فحصوا بعناية المثال 21 من هذه المقالة سوف يخمنون بسهولة نوع المنحنى.

مثال 2

ابحث عن الخطوط المقاربة للرسم البياني للدالة

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". أذكرك أن العملية مقسمة بشكل ملائم إلى نقطتين - خطوط مقاربة عمودية وخطوط مقاربة مائلة. في حل العينة ، تم إيجاد الخط المقارب الأفقي باستخدام مخطط مبسط.

في الممارسة العملية ، غالبًا ما تتم مصادفة الدوال الكسرية المنطقية ، وبعد التدريب على القطوع الزائدة ، سنقوم بتعقيد المهمة:

مثال 3

ابحث عن الخطوط المقاربة للرسم البياني للدالة

حل: واحد ، اثنان ، وتم:

1) تم العثور على الخطوط المقاربة العمودية عند نقاط الانقطاع اللانهائي، لذلك عليك التحقق مما إذا كان المقام يذهب إلى الصفر. سنقرر معادلة من الدرجة الثانية:

المميز موجب ، لذا فإن للمعادلة جذرين حقيقيين ، والعمل يضاف بشكل كبير =)

من أجل إيجاد المزيد من الحدود أحادية الجانب ، من الملائم تحليل المربع ثلاثي الحدود إلى عوامل:
(بالنسبة للتدوين المضغوط ، تم إدخال "ناقص" في القوس الأول). بالنسبة لشبكة الأمان ، سنجري فحصًا عقليًا أو على مسودة ، ونفتح الأقواس.

دعنا نعيد كتابة الدالة في الصورة

ابحث عن حدود من جانب واحد عند النقطة:

وعند هذه النقطة:

وبالتالي ، فإن الخطوط المستقيمة هي الخطوط المقاربة العمودية للرسم البياني للوظيفة قيد النظر.

2) إذا نظرت إلى الوظيفة ، فمن الواضح تمامًا أن النهاية ستكون محدودة ولدينا خط مقارب أفقي. دعنا نظهرها بإيجاز:

وبالتالي ، فإن الخط المستقيم (الإحداثي) هو الخط المقارب الأفقي للرسم البياني لهذه الوظيفة.

إجابة:

تعطي الحدود والخطوط المقاربة التي تم العثور عليها الكثير من المعلومات حول الرسم البياني للدالة. حاول أن تتخيل الرسم عقليًا ، مع مراعاة الحقائق التالية:

ارسم نسختك من الرسم البياني في مسودة.

بالطبع ، لا تحدد الحدود التي تم العثور عليها نوع الرسم البياني بشكل لا لبس فيه ، وقد ترتكب خطأ ، ولكن التمرين نفسه سيكون مفيدًا للغاية أثناء دراسة كاملة الوظائف. الصورة الصحيحة في نهاية الدرس.

مثال 4

ابحث عن الخطوط المقاربة للرسم البياني للدالة

مثال 5

ابحث عن الخطوط المقاربة للرسم البياني للدالة

هذه مهام لاتخاذ قرار مستقل. يحتوي كلا الرسمين البيانيين مرة أخرى على خطوط مقاربة أفقية ، والتي يتم اكتشافها على الفور بواسطة الميزات التالية: في المثال 4 ترتيب النموالمقام - صفة مشتركة - حالة أكثرمن ترتيب نمو البسط ، وفي المثال 5 ، البسط والمقام ترتيب واحد للنمو. في محلول العينة ، يتم التحقق من الوظيفة الأولى لوجود خطوط مقاربة مائلة بشكل كامل ، والثانية - عبر الحد.

الخطوط المقاربة الأفقية ، في انطباعي الشخصي ، أكثر شيوعًا بشكل ملحوظ من تلك "المائلة حقًا". حالة عامة طال انتظارها:

مثال 6

ابحث عن الخطوط المقاربة للرسم البياني للدالة

حل: كلاسيكيات النوع:

1) بما أن المقام موجب ، فإن الدالة مستمرعلى خط الأعداد بالكامل ، ولا توجد خطوط مقاربة عمودية. …هل هذا جيد؟ ليست الكلمة الصحيحة - عظيم! العنصر رقم 1 مغلق.

2) تحقق من وجود الخطوط المقاربة المائلة:

الحد الأول محدود، لذلك دعنا ننتقل. أثناء حساب الحد الثاني للقضاء عدم اليقين "اللانهاية ناقص اللانهاية"نحضر التعبير إلى قاسم مشترك:

الحد الثاني أيضا محدودلذلك ، فإن الرسم البياني للوظيفة قيد النظر له خط مقارب مائل:

خاتمة:

وهكذا ، بالنسبة للرسم البياني للدالة قريب بلا حدوديقترب من خط مستقيم:

لاحظ أنه يتقاطع مع خط التقارب المائل في الأصل ، ونقاط التقاطع هذه مقبولة تمامًا - من المهم أن "كل شيء طبيعي" عند اللانهاية (في الواقع ، نحن نتحدث عن الخطوط المقاربة هناك بالضبط).

مثال 7

ابحث عن الخطوط المقاربة للرسم البياني للدالة

حل: ليس هناك الكثير للتعليق عليه ، لذلك سأضع عينة تقريبية من الحل النهائي:

1) الخطوط المقاربة العمودية. دعنا نستكشف النقطة.

الخط المستقيم هو الخط المقارب العمودي للمؤامرة عند.

2) الخطوط المقاربة المائلة:

الخط المستقيم هو الخط المقارب المائل للرسم البياني عند.

إجابة:

تتيح لنا الحدود والخطوط المقاربة التي تم العثور عليها من جانب واحد أن نفترض بدرجة عالية من اليقين كيف يبدو الرسم البياني لهذه الوظيفة. الرسم الصحيح في نهاية الدرس.

المثال 8

ابحث عن الخطوط المقاربة للرسم البياني للدالة

هذا مثال لحل مستقل ، لتسهيل حساب بعض الحدود ، يمكنك قسمة البسط على حد المقام على حد. ومرة أخرى ، عند تحليل النتائج ، حاول رسم رسم بياني لهذه الوظيفة.

من الواضح أن مالكي الخطوط المقاربة المائلة "الحقيقية" هم الرسوم البيانية لتلك الدوال الكسرية المنطقية التي لها أعلى درجة من البسط مرة اخرىأعلى درجة للمقام. إذا كان هناك المزيد ، فلن يكون هناك خط مقارب مائل (على سبيل المثال ،).

لكن المعجزات الأخرى تحدث في الحياة:

المثال 9

المثال 11

افحص الرسم البياني لوظيفة الخطوط المقاربة

حل: من الواضح أن لذلك ، فإننا نعتبر نصف المستوى الأيمن فقط ، حيث يوجد رسم بياني للدالة.

وبالتالي ، فإن الخط المستقيم (المحور الصادي) هو الخط المقارب العمودي للرسم البياني للوظيفة عند.

2) يمكن إجراء دراسة الخط المقارب المائل وفقًا للمخطط الكامل ، ولكن في المقالة قواعد L'Hospitalوجدنا أن دالة خطية ذات ترتيب أعلى للنمو من دالة لوغاريتمية ، لذلك: (انظر المثال 1 من نفس الدرس).

الخلاصة: المحور السيني هو الخط المقارب الأفقي للرسم البياني للوظيفة في.

إجابة:
، لو ؛
، لو .

الرسم من أجل الوضوح:

ومن المثير للاهتمام ، أن الوظيفة التي تبدو متشابهة ليس لها خطوط مقاربة على الإطلاق (أولئك الذين يرغبون في ذلك يمكنهم التحقق من ذلك).

مثالان أخيران للدراسة الذاتية:

المثال 12

افحص الرسم البياني لوظيفة الخطوط المقاربة

هذه هي الطريقة التي يتم بها صياغة مهمة نموذجية ، وهي تتضمن العثور على جميع الخطوط المقاربة للرسم البياني (عمودي ، مائل / أفقي). على الرغم من أنه ، لكي نكون أكثر دقة في صياغة السؤال ، فإننا نتحدث عن دراسة لوجود الخطوط المقاربة (بعد كل شيء ، قد لا يكون هناك أي منها على الإطلاق).

لنبدأ بشيء بسيط:

مثال 1

حل من المناسب تقسيمها إلى نقطتين:

1) نتحقق أولاً من وجود خطوط مقاربة عمودية. يتلاشى المقام عند ، ويتضح على الفور أن الوظيفة تعاني في هذه المرحلة فجوة لا نهاية لها، والخط المستقيم المعطى بالمعادلة هو الخط المقارب العمودي للرسم البياني للدالة. ولكن قبل استخلاص مثل هذا الاستنتاج ، من الضروري إيجاد حدود من جانب واحد:

أذكرك بتقنية الحساب ، التي تناولتها أيضًا في المقال استمرارية الوظيفة. نقاط الكسر. في التعبير الموجود أسفل علامة النهاية ، نستبدل بـ "x". لا يوجد شيء مثير للاهتمام في البسط:
.

لكن في المقام اتضح عدد سالب متناهي الصغر:
، فإنه يحدد مصير الحد.

الحد الأيسر غير محدود ، ومن حيث المبدأ ، من الممكن بالفعل إصدار حكم على وجود خط مقارب عمودي. لكن هناك حاجة إلى حدود من جانب واحد ليس فقط لهذا - فهي تساعد على الفهم كيفيقع الرسم البياني للوظيفة ورسمها بشكل صحيح. لذلك ، يجب علينا أيضًا حساب حد اليد اليمنى:

خاتمة: الحدود أحادية الجانب لانهائية ، مما يعني أن الخط هو خط مقارب رأسي للرسم البياني للوظيفة عند.

الحد الأول محدود، مما يعني أنه من الضروري "متابعة المحادثة" والعثور على الحد الثاني:

الحد الثاني أيضا محدود.

إذن خطنا المقارب هو:

خاتمة: الخط المستقيم المعطى بالمعادلة هو الخط المقارب الأفقي للرسم البياني للدالة عند.

للعثور على الخط المقارب الأفقي يمكنك استخدام الصيغة المبسطة:

إذا كان هناك حد منتهي ، فإن الخط هو خط مقارب أفقي للرسم البياني للدالة عند.

من السهل أن نرى أن بسط الدالة ومقامها ترتيب واحد للنمو، مما يعني أن الحد المطلوب سيكون محدودًا:

إجابة:

وفقًا للشرط ، ليس من الضروري إكمال الرسم ، ولكن إذا كان على قدم وساق البحث الوظيفي، ثم نقوم بعمل رسم تخطيطي على الفور في المسودة:

استنادًا إلى الحدود الثلاثة الموجودة ، حاول أن تكتشف بشكل مستقل كيف يمكن تحديد موقع الرسم البياني للدالة. صعب بعض الشيء؟ جد 5-6-7-8 نقاط وقم بتمييزها على الرسم. ومع ذلك ، يتم إنشاء الرسم البياني لهذه الوظيفة باستخدام تحولات الرسم البياني للوظيفة الابتدائية، والقراء الذين فحصوا بعناية المثال 21 من هذه المقالة سوف يخمنون بسهولة نوع المنحنى.

مثال 2

ابحث عن الخطوط المقاربة للرسم البياني للدالة

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". أذكرك أن العملية مقسمة بشكل ملائم إلى نقطتين - خطوط مقاربة عمودية وخطوط مقاربة مائلة. في حل العينة ، تم إيجاد الخط المقارب الأفقي باستخدام مخطط مبسط.

في الممارسة العملية ، غالبًا ما تتم مصادفة الدوال الكسرية المنطقية ، وبعد التدريب على القطوع الزائدة ، سنقوم بتعقيد المهمة:

مثال 3

ابحث عن الخطوط المقاربة للرسم البياني للدالة

حل: واحد ، اثنان ، وتم:

1) تم العثور على الخطوط المقاربة العمودية عند نقاط الانقطاع اللانهائي، لذلك عليك التحقق مما إذا كان المقام يذهب إلى الصفر. سنقرر معادلة من الدرجة الثانية :

المميز موجب ، لذا فإن للمعادلة جذرين حقيقيين ، والعمل يضاف بشكل كبير =)

من أجل إيجاد المزيد من الحدود أحادية الجانب ، من الملائم تحليل المربع ثلاثي الحدود إلى عوامل:
(بالنسبة للتدوين المضغوط ، تم إدخال "ناقص" في القوس الأول). بالنسبة لشبكة الأمان ، سنجري فحصًا عقليًا أو على مسودة ، ونفتح الأقواس.

دعنا نعيد كتابة الدالة في الصورة

ابحث عن حدود من جانب واحد عند النقطة:

وعند هذه النقطة:

وبالتالي ، فإن الخطوط المستقيمة هي الخطوط المقاربة العمودية للرسم البياني للوظيفة قيد النظر.

2) إذا نظرت إلى الوظيفة ، فمن الواضح تمامًا أن النهاية ستكون محدودة ولدينا خط مقارب أفقي. دعنا نظهرها بإيجاز:

وبالتالي ، فإن الخط المستقيم (الإحداثي) هو الخط المقارب الأفقي للرسم البياني لهذه الوظيفة.

إجابة:

تعطي الحدود والخطوط المقاربة التي تم العثور عليها الكثير من المعلومات حول الرسم البياني للدالة. حاول أن تتخيل الرسم عقليًا ، مع مراعاة الحقائق التالية:

ارسم نسختك من الرسم البياني في مسودة.

بالطبع ، لا تحدد الحدود التي تم العثور عليها نوع الرسم البياني بشكل لا لبس فيه ، وقد ترتكب خطأ ، ولكن التمرين نفسه سيكون مفيدًا للغاية أثناء دراسة كاملة الوظائف. الصورة الصحيحة في نهاية الدرس.

مثال 4

ابحث عن الخطوط المقاربة للرسم البياني للدالة

مثال 5

ابحث عن الخطوط المقاربة للرسم البياني للدالة

هذه مهام لاتخاذ قرار مستقل. يحتوي كلا الرسمين البيانيين مرة أخرى على خطوط مقاربة أفقية ، والتي يتم اكتشافها على الفور بواسطة الميزات التالية: في المثال 4 ترتيب النموالمقام أكبر من ترتيب نمو البسط ، وفي المثال 5 هو البسط والمقام ترتيب واحد للنمو. في محلول العينة ، يتم التحقق من الوظيفة الأولى لوجود خطوط مقاربة مائلة بشكل كامل ، والثانية - عبر الحد.

الخطوط المقاربة الأفقية ، في انطباعي الشخصي ، أكثر شيوعًا بشكل ملحوظ من تلك "المائلة حقًا". حالة عامة طال انتظارها:

مثال 6

ابحث عن الخطوط المقاربة للرسم البياني للدالة

حل: كلاسيكيات النوع:

1) بما أن المقام موجب ، فإن الدالة مستمرعلى خط الأعداد بالكامل ، ولا توجد خطوط مقاربة عمودية. …هل هذا جيد؟ ليست الكلمة الصحيحة - ممتاز! العنصر رقم 1 مغلق.

2) تحقق من وجود الخطوط المقاربة المائلة:

الحد الأول محدود، لذلك دعنا ننتقل. أثناء حساب الحد الثاني للقضاء عدم اليقين "اللانهاية ناقص اللانهاية"نحضر التعبير إلى قاسم مشترك:

الحد الثاني أيضا محدودلذلك ، فإن الرسم البياني للوظيفة قيد النظر له خط مقارب مائل:

خاتمة:

وهكذا ، بالنسبة للرسم البياني للدالة قريب بلا حدوديقترب من خط مستقيم:

لاحظ أنه يتقاطع مع خط التقارب المائل في الأصل ، وأن نقاط التقاطع هذه مقبولة تمامًا - من المهم أن "كل شيء طبيعي" عند اللانهاية (في الواقع ، هناك مناقشة للخطوط المقاربة تظهر).

مثال 7

ابحث عن الخطوط المقاربة للرسم البياني للدالة

حل: ليس هناك الكثير للتعليق عليه ، لذلك سأضع عينة تقريبية من الحل النهائي:

1) الخطوط المقاربة العمودية. دعنا نستكشف النقطة.

الخط المستقيم هو الخط المقارب العمودي للمؤامرة عند.

2) الخطوط المقاربة المائلة:

الخط المستقيم هو الخط المقارب المائل للرسم البياني عند.

إجابة:

تتيح لنا الحدود والخطوط المقاربة التي تم العثور عليها من جانب واحد أن نفترض بدرجة عالية من اليقين كيف يبدو الرسم البياني لهذه الوظيفة. الرسم الصحيح في نهاية الدرس.

المثال 8

ابحث عن الخطوط المقاربة للرسم البياني للدالة

هذا مثال لحل مستقل ، لتسهيل حساب بعض الحدود ، يمكنك قسمة البسط على حد المقام على حد. ومرة أخرى ، عند تحليل النتائج ، حاول رسم رسم بياني لهذه الوظيفة.

من الواضح أن مالكي الخطوط المقاربة المائلة "الحقيقية" هم الرسوم البيانية لتلك الدوال الكسرية المنطقية التي لها أعلى درجة من البسط مرة اخرىأعلى درجة للمقام. إذا كان هناك المزيد ، فلن يكون هناك خط مقارب مائل (على سبيل المثال ،).

لكن المعجزات الأخرى تحدث في الحياة:

المثال 9

حل: وظيفة مستمرعلى خط الأعداد بالكامل ، مما يعني أنه لا توجد خطوط مقاربة عمودية. ولكن قد تكون هناك منحدرات. نحن نفحص:

أتذكر كيف صادفت وظيفة مماثلة في الجامعة ولم أصدق ببساطة أن لها خطًا مقاربًا مائلًا. حتى احتسبت الحد الثاني:

بالمعنى الدقيق للكلمة ، هناك نوعان من أوجه عدم اليقين هنا: ولكن بطريقة أو بأخرى ، تحتاج إلى استخدام طريقة الحل ، والتي تمت مناقشتها في الأمثلة 5-6 من المقالة حول حدود التعقيد المتزايد. اضرب واقسم على التعبير المرافق لاستخدام الصيغة:

إجابة:

ربما يكون الخط المقارب المائل الأكثر شيوعًا.

حتى الآن ، تمكنت اللانهاية من "قطع نفس الفرشاة" ، ولكن يحدث أن الرسم البياني للوظيفة مختلفينالخطوط المقاربة المائلة من أجل ومن أجل:

المثال 10

افحص الرسم البياني لوظيفة الخطوط المقاربة

حل: التعبير الجذر موجب ، مما يعني اِختِصاص- أي رقم حقيقي ، ولا يمكن أن يكون هناك عصا رأسية.

دعنا نتحقق مما إذا كانت الخطوط المقاربة المائلة موجودة.

إذا كانت "x" تميل إلى "ناقص ما لا نهاية" ، إذن:
(عند إدخال "x" تحت الجذر التربيعي ، يجب إضافة علامة "ناقص" حتى لا تفقد المقام السالب)

يبدو الأمر غير مألوف ، لكن عدم اليقين هنا هو "اللانهاية ناقص اللانهاية". اضرب البسط والمقام في التعبير المساعد:

وبالتالي ، فإن الخط المستقيم هو الخط المقارب المائل للرسم البياني عند.

مع "بالإضافة إلى اللانهاية" ، يصبح كل شيء أكثر تافهًا:

والخط المستقيم - عند.

إجابة:

لو ؛
، لو .

لا أستطيع مقاومة الصورة الرسومية:


هذا هو أحد الفروع مقارنة مبالغ فيها .

ليس من غير المألوف أن يكون الوجود المحتمل للخطوط المقاربة محدودًا في البداية نطاق الوظيفة:

المثال 11

افحص الرسم البياني لوظيفة الخطوط المقاربة

حل: من الواضح أن لذلك ، فإننا نعتبر نصف المستوى الأيمن فقط ، حيث يوجد رسم بياني للدالة.

1) الوظيفة مستمرعلى الفاصل الزمني ، مما يعني أنه إذا كان الخط المقارب العمودي موجودًا ، فيمكن أن يكون المحور ص فقط. ندرس سلوك الوظيفة بالقرب من النقطة على اليمين:

ملحوظة، لا يوجد غموض هنا(في مثل هذه الحالات ، تم التركيز في بداية المقال طرق الحل المحدود).

وبالتالي ، فإن الخط المستقيم (المحور الصادي) هو الخط المقارب العمودي للرسم البياني للوظيفة عند.

2) يمكن إجراء دراسة الخط المقارب المائل وفقًا للمخطط الكامل ، ولكن في المقالة قواعد لوبيتالوجدنا أن دالة خطية ذات ترتيب أعلى للنمو من دالة لوغاريتمية ، لذلك: (انظر المثال 1 من نفس الدرس).

الخلاصة: المحور السيني هو الخط المقارب الأفقي للرسم البياني للوظيفة في.

إجابة:

لو ؛
، لو .

الرسم من أجل الوضوح:

ومن المثير للاهتمام ، أن الوظيفة التي تبدو متشابهة ليس لها خطوط مقاربة على الإطلاق (أولئك الذين يرغبون في ذلك يمكنهم التحقق من ذلك).

مثالان أخيران للدراسة الذاتية:

المثال 12

افحص الرسم البياني لوظيفة الخطوط المقاربة

لاختبار الخطوط المقاربة العمودية ، نحتاج أولاً إلى إيجادها نطاق الوظيفة، ثم احسب زوجًا من الحدود من جانب واحد عند نقاط "مشبوهة". لا يتم أيضًا استبعاد الخطوط المقاربة المائلة ، حيث يتم تعريف الوظيفة على "زائد" و "ناقص" ما لا نهاية.

المثال 13

افحص الرسم البياني لوظيفة الخطوط المقاربة

وهنا لا يمكن أن يكون هناك سوى الخطوط المقاربة المائلة ، وينبغي النظر في الاتجاهات بشكل منفصل.

أتمنى أن تكون قد وجدت الخط المقارب الصحيح =)

أتمنى لك النجاح!

الحلول والأجوبة:

المثال 2:حل :
. لنجد حدودًا من جانب واحد:

مستقيم هو الخط المقارب العمودي للرسم البياني للوظيفة في .
2) الخطوط المقاربة المائلة.

مستقيم .
إجابة:

رسم إلى المثال 3:

المثال 4:حل :
1) الخطوط المقاربة العمودية. تعاني الوظيفة من انقطاع لا نهائي عند نقطة ما . دعنا نحسب الحدود من جانب واحد:

ملحوظة: العدد السالب المتناهي الصغر لقوة زوجية يساوي عددًا موجبًا متناهي الصغر: .

مستقيم هو الخط المقارب العمودي للرسم البياني للوظيفة.
2) الخطوط المقاربة المائلة.


مستقيم (الإحداثيّة) هو الخط المقارب الأفقي للرسم البياني للوظيفة عند .
إجابة: