أمثلة على حل المعادلات باستخدام وحدة. وحدة الأرقام (القيمة المطلقة للرقم) ، التعريفات ، الأمثلة ، الخصائص. وحدة الأرقام - التعريف والترميز والأمثلة

نحن لا نختار الرياضياتمهنتها واختارتنا.

عالم الرياضيات الروسي Yu.I. مانين

المعادلات ذات المعامل

تعتبر المعادلات التي تحتوي على متغيرات تحت علامة المقياس أصعب حل لمشكلات الرياضيات المدرسية. لحل هذه المعادلات بنجاح ، تحتاج إلى معرفة التعريف والخصائص الأساسية للوحدة. بطبيعة الحال ، يجب أن يتمتع الطلاب بالمهارات اللازمة لحل المعادلات من هذا النوع.

المفاهيم والخصائص الأساسية

المعامل (القيمة المطلقة) للعدد الحقيقي يعني ويتم تعريفه على النحو التالي:

تتضمن الخصائص البسيطة للوحدة النمطية العلاقات التالية:

ملحوظة، أن آخر خاصيتين صالحتين لأي درجة زوجية.

بالإضافة إلى ذلك ، إذا ، أين ، إذن

خصائص وحدة أكثر تعقيدًا, والتي يمكن استخدامها بشكل فعال لحل المعادلات بالوحدات النمطية, تمت صياغتها من خلال النظريات التالية:

نظرية 1. لأية وظائف تحليلية و عدم المساواة يحمل

نظرية 2. المساواة تعادل عدم المساواة.

نظرية 3. المساواة يعادل عدم المساواة.

لنفكر في أمثلة نموذجية لحل المشكلات المتعلقة بموضوع "المعادلات, تحتوي على متغيرات تحت علامة الوحدة ".

حل المعادلات بالمعامل

الطريقة الأكثر شيوعًا في الرياضيات المدرسية لحل المعادلات باستخدام وحدة هي الطريقة, على أساس توسيع الوحدات. هذه الطريقة متعددة الاستخدامات, ومع ذلك ، بشكل عام ، يمكن أن يؤدي تطبيقه إلى حسابات مرهقة للغاية. في هذا الصدد ، يجب أن يكون الطلاب على دراية بالآخرين, طرق وتقنيات أكثر فعالية لحل مثل هذه المعادلات. خاصه, يجب أن يكون لديك مهارات في تطبيق النظريات, الواردة في هذه المقالة.

مثال 1.حل المعادلة. (1)

القرار. سيتم حل المعادلة (1) بالطريقة "الكلاسيكية" - طريقة توسيع الوحدات. للقيام بذلك ، قمنا بتقسيم محور الأرقام النقاط و على فترات والنظر في ثلاث حالات.

1. إذا ، إذن ، ، وتأخذ المعادلة (1) الشكل. ومن ثم يتبع. ومع ذلك ، فإن القيمة التي تم العثور عليها هنا ليست جذر المعادلة (1).

2. إذا ، ثم من المعادلة (1) نحصل عليها أو.

منذ ذلك الحين جذر المعادلة (1).

3. إذا ، ثم تأخذ المعادلة (1) الشكل أو. لاحظ أن.

إجابة:،.

عند حل المعادلات اللاحقة بوحدة نمطية ، سنستخدم خصائص الوحدات بنشاط من أجل زيادة كفاءة حل هذه المعادلات.

مثال 2. حل المعادلة.

القرار. منذ و ثم المعادلة تعني... في هذا الصدد،،، وتأخذ المعادلة الشكل... ومن هنا نحصل... ومع ذلك ، لذلك ، المعادلة الأصلية ليس لها جذور.

الجواب: لا جذور.

مثال 3. حل المعادلة.

القرار. منذ ذلك الحين. اذا ثم، وتأخذ المعادلة الشكل.

من هنا وصلنا.

مثال 4. حل المعادلة.

القرار.نعيد كتابة المعادلة بشكل مكافئ. (2)

المعادلة الناتجة تنتمي إلى معادلات من النوع.

مع الأخذ في الاعتبار النظرية 2 ، يمكن القول بأن المعادلة (2) تعادل متباينة. من هنا وصلنا.

إجابة:.

مثال 5. حل المعادلة.

القرار. هذه المعادلة لها الشكل... وبالتالي ، وفقًا للنظرية 3, هنا لدينا عدم المساواة أو.

مثال 6. حل المعادلة.

القرار. دعونا نفترض ذلك. مثل ، ثم تأخذ المعادلة المعطاة شكل معادلة تربيعية, (3)

أين ... بما أن المعادلة (3) لها جذر موجب واحد وثم ... ومن ثم ، نحصل على جذرين من المعادلة الأصلية: و.

مثال 7. حل المعادلة. (4)

القرار. منذ المعادلة يعادل مجموعة من معادلتين: و ، ثم ، عند حل المعادلة (4) ، من الضروري النظر في حالتين.

1. إذا ، إذن أو.

من هنا نحصل ، و.

2. إذا ، إذن أو.

منذ ذلك الحين.

إجابة:،،،.

المثال 8. حل المعادلة . (5)

القرار. منذ ذلك الحين وبعد ذلك. من هذا ومن المعادلة (5) يتبع ذلك ، أي. هنا لدينا نظام المعادلات

ومع ذلك ، فإن نظام المعادلات هذا غير متسق.

الجواب: لا جذور.

المثال 9. حل المعادلة. (6)

القرار.إذا أشرنا ، إذن ومن المعادلة (6) نحصل عليها

أو. (7)

بما أن المعادلة (7) لها الشكل ، فإن هذه المعادلة تعادل متباينة. من هنا وصلنا. منذ ذلك الحين أو.

إجابة:.

المثال 10. حل المعادلة. (8)

القرار. وفقًا للنظرية 1 ، يمكننا الكتابة

(9)

مع الأخذ في الاعتبار المعادلة (8) ، نستنتج أن كلا التفاوتات (9) تتحول إلى مساواة ، أي نظام المعادلات يحمل

ومع ذلك ، من خلال النظرية 3 ، فإن نظام المعادلات أعلاه يعادل نظام عدم المساواة

(10)

حل نظام المتباينات (10) نحصل عليها. بما أن نظام المتباينات (10) يعادل المعادلة (8) ، فإن المعادلة الأصلية لها جذر واحد.

إجابة:.

المثال 11. حل المعادلة. (11)

القرار. دعونا ، ثم المساواة تأتي من المعادلة (11).

ومن ثم يتبع ذلك و. وهكذا ، لدينا هنا نظام من عدم المساواة

الحل لهذا النظام من عدم المساواة هو و.

إجابة:،.

المثال 12. حل المعادلة. (12)

القرار. سيتم حل المعادلة (12) بطريقة التمديد التسلسلي للوحدات. للقيام بذلك ، فكر في عدة حالات.

1. إذا ، إذن.

1.1. إذا ، ثم ، و.

1.2 اذا ثم. ومع ذلك ، لذلك ، في هذه الحالة ، المعادلة (12) ليس لها جذور.

2. إذا ، إذن.

2.1. إذا ، ثم ، و.

2.2. إذا ، ثم و.

إجابة:،،،،.

المثال 13. حل المعادلة. (13)

القرار. بما أن الجانب الأيسر من المعادلة (13) غير سالب ، و. وفي هذا الصدد ، والمعادلة (13)

يأخذ الشكل أو.

ومن المعروف أن المعادلة يعادل توليفة من معادلتين و ، الحل الذي نحصل عليهو. مثل ، ثم المعادلة (13) لها جذر واحد.

إجابة:.

المثال 14. حل نظام المعادلات (14)

القرار. منذ و ، ثم و. لذلك ، من نظام المعادلات (14) نحصل على أربعة أنظمة من المعادلات:

جذور أنظمة المعادلات المذكورة أعلاه هي جذور نظام المعادلات (14).

إجابة: ،،،،،،،.

المثال 15. حل نظام المعادلات (15)

القرار. منذ ذلك الحين. في هذا الصدد ، من نظام المعادلات (15) ، نحصل على نظامين من المعادلات

جذور نظام المعادلات الأول هي و ، ومن نظام المعادلات الثاني نحصل على و.

إجابة:،،،.

المثال 16. حل نظام المعادلات (16)

القرار. من المعادلة الأولى للنظام (16) يتبع ذلك.

منذ ذلك الحين ... تأمل المعادلة الثانية للنظام. بقدر ماثم، وتأخذ المعادلة الشكلأو أو.

إذا قمت باستبدال القيمة في المعادلة الأولى للنظام (16)، ثم ، أو.

إجابة:،.

لدراسة أعمق لطرق حل المشكلات, المتعلقة بحل المعادلات, تحتوي على متغيرات تحت علامة الوحدة, هل يمكنني أن أنصح دروس من قائمة الأدبيات الموصى بها.

1. مجموعة مسائل في الرياضيات للمتقدمين للكليات التقنية / إد. م. سكانافي. - م: السلام والتعليم، 2013. - 608 ص.

2. Suprun V.P. الرياضيات لطلاب المرحلة الثانوية: مشاكل متزايدة التعقيد. - م: قرص مضغوط "Librokom" / URSS، 2017. - 200 ص.

3. Suprun V.P. الرياضيات لطلاب المرحلة الثانوية: طرق حل المشكلات غير القياسية. - م: قرص مضغوط "Librokom" / URSS، 2017. - 296 ص.

لا يزال لديك أسئلة؟

للحصول على مساعدة من مدرس - سجل.

الموقع ، مع النسخ الكامل أو الجزئي للمادة ، يلزم وجود رابط إلى المصدر.

المعامل هو القيمة المطلقة للتعبير. من أجل الإشارة إلى وحدة بطريقة ما ، من المعتاد استخدام الأقواس المستقيمة. القيمة المحاطة بأقواس مستقيمة هي القيمة التي يتم أخذها بطريقة معيارية. تتمثل عملية حل أي وحدة في توسيع الأقواس الصحيحة جدًا ، والتي تسمى الأقواس المعيارية في اللغة الرياضية. يتم الكشف عنها وفقًا لعدد معين من القواعد. أيضًا ، في ترتيب حل الوحدات ، توجد أيضًا مجموعات قيم تلك التعبيرات التي كانت في أقواس الوحدة النمطية. في معظم الحالات ، يتم توسيع الوحدة النمطية بحيث يحصل التعبير الذي كان شبه نمطي على قيم موجبة وسالبة ، بما في ذلك القيمة صفر. بناءً على الخصائص المحددة للوحدة النمطية ، يتم في العملية تجميع معادلات أو عدم مساواة مختلفة من التعبير الأصلي ، والتي تحتاج بعد ذلك إلى حلها. دعنا نتعرف على كيفية حل الوحدات.

عملية الحل

يبدأ حل الوحدة بكتابة المعادلة الأصلية بوحدة نمطية. للإجابة على سؤال حول كيفية حل المعادلات بوحدة نمطية ، تحتاج إلى توسيعها بالكامل. لحل هذه المعادلة ، يتم توسيع الوحدة. يجب مراعاة جميع التعبيرات النمطية. من الضروري تحديد قيم الكميات غير المعروفة المدرجة في تكوينها ، يتحول التعبير المعياري بين قوسين إلى الصفر. للقيام بذلك ، يكفي مساواة التعبير الموجود بين قوسين معياريين بالصفر ، ثم حساب حل المعادلة الناتجة. يجب تسجيل القيم التي تم العثور عليها. بنفس الطريقة ، من الضروري أيضًا تحديد قيمة جميع المتغيرات غير المعروفة لجميع الوحدات في هذه المعادلة. بعد ذلك ، تحتاج إلى التعامل مع تعريف ومراعاة جميع حالات وجود المتغيرات في التعبيرات ، عندما تختلف عن القيمة صفر. للقيام بذلك ، عليك كتابة بعض أنظمة المتباينات وفقًا لجميع الوحدات في المتباينة الأصلية. يجب تصميم المتباينات بحيث تغطي جميع القيم المتاحة والمحتملة للمتغير الموجود على خط الأعداد. ثم تحتاج إلى رسم هذا الخط العددي للغاية للتصور ، والذي ستؤجل عليه في المستقبل جميع القيم التي تم الحصول عليها.

يمكن الآن القيام بكل شيء تقريبًا على الإنترنت. الوحدة ليست استثناء من القاعدة. يمكنك حلها عبر الإنترنت باستخدام أحد الموارد الحديثة العديدة. كل قيم المتغير الموجودة في الوحدة النمطية الصفرية ستكون قيدًا خاصًا سيتم استخدامه في عملية حل المعادلة النمطية. في المعادلة الأصلية ، يلزم توسيع جميع الأقواس المعيارية المتاحة ، مع تغيير علامة التعبير بحيث تتوافق قيم المتغير المطلوب مع تلك القيم التي يمكن رؤيتها على خط الأعداد. يجب حل المعادلة الناتجة. يجب التحقق من قيمة المتغير التي سيتم الحصول عليها أثناء حل المعادلة مقابل القيد الذي حددته الوحدة نفسها. إذا كانت قيمة المتغير تفي بالشرط تمامًا ، فهي صحيحة. يجب التخلص من جميع الجذور التي سيتم الحصول عليها أثناء حل المعادلة ، ولكنها لن تتناسب مع القيود.

يعد حل المعادلات التي تحتوي على متغير تحت علامة المعامل من أكثر الموضوعات تحديًا للطلاب. دعونا نفهم ذلك كبداية ، ما الذي يرتبط به هذا؟ لماذا ، على سبيل المثال ، تقوم المعادلات التربيعية بنقر معظم الأطفال مثل المكسرات ، ولكن مع هذا المفهوم بعيدًا عن التعقيد كوحدة نمطية ، فإن لديها العديد من المشكلات؟

في رأيي ، ترتبط كل هذه الصعوبات بعدم وجود قواعد مصاغة بوضوح لحل المعادلات بمعامل. لذا ، تقرر معادلة من الدرجة الثانية، يعرف الطالب على وجه اليقين أنه يحتاج أولاً إلى تطبيق الصيغة التمييزية ، ثم صيغة جذور المعادلة التربيعية. ولكن ماذا لو كانت هناك وحدة نمطية في المعادلة؟ سنحاول أن نصف بوضوح خطة العمل اللازمة للحالة عندما تحتوي المعادلة على مجهول تحت علامة المعامل. فيما يلي بعض الأمثلة لكل حالة.

لكن أولاً ، دعنا نتذكر تعريف الوحدة... إذن ، مقياس العدد أ هذا الرقم نفسه يسمى إذا أ غير سلبي و -أإذا كان الرقم أ أقل من الصفر. يمكنك كتابتها على هذا النحو:

| أ | \u003d أ إذا كانت a 0 و | أ | \u003d -a إذا أ< 0

عند الحديث عن المعنى الهندسي للوحدة ، يجب أن نتذكر أن كل رقم حقيقي يتوافق مع نقطة معينة على محور الأرقام - ك تنسيق. لذا ، فإن المعامل أو القيمة المطلقة لرقم ما هي المسافة من هذه النقطة إلى أصل المحور العددي. يتم تحديد المسافة دائمًا كرقم موجب. وبالتالي ، فإن القيمة المطلقة لأي رقم سالب هي رقم موجب. بالمناسبة ، حتى في هذه المرحلة ، يبدأ العديد من الطلاب بالارتباك. يمكن أن يكون أي رقم في الوحدة النمطية ، ولكن نتيجة تطبيق الوحدة تكون دائمًا رقمًا موجبًا.

الآن دعنا ننتقل مباشرة إلى حل المعادلات.

1. ضع في اعتبارك معادلة بالصيغة | x | \u003d c ، حيث c هو رقم حقيقي. يمكن حل هذه المعادلة باستخدام تعريف المقياس.

نقسم جميع الأعداد الحقيقية إلى ثلاث مجموعات: تلك التي تكون أكبر من الصفر ، وتلك الأقل من الصفر ، والمجموعة الثالثة هي الرقم 0. لنكتب الحل في شكل رسم بياني:

(± c إذا كانت c\u003e 0

إذا كان | x | \u003d c ، إذن x \u003d (0 ، إذا كانت c \u003d 0

(لا جذور إذا كان مع< 0

1) | x | \u003d 5 لأن 5\u003e 0 ، ثم x \u003d ± 5 ؛

2) | x | \u003d -5 ، لأن -خمسة< 0, то уравнение не имеет корней;

3) | x | \u003d 0 ، ثم x \u003d 0.

2. معادلة بالصيغة | f (x) | \u003d ب ، حيث ب\u003e 0. لحل هذه المعادلة ، من الضروري التخلص من المقياس. نقوم بذلك على النحو التالي: f (x) \u003d b أو f (x) \u003d -b. الآن من الضروري حل كل من المعادلات التي تم الحصول عليها بشكل منفصل. إذا كان في المعادلة الأصلية ب< 0, решений не будет.

1) | x + 2 | \u003d 4 لأن 4\u003e 0 ، إذن

س + 2 \u003d 4 أو س + 2 \u003d -4

2) | × 2-5 | \u003d 11 لأن 11\u003e 0 ، إذن

س 2-5 \u003d 11 أو س 2-5 \u003d -11

× 2 \u003d 16 × 2 \u003d -6

س \u003d ± 4 لا جذور

3) | × 2 - 5 × | \u003d -8 ، لأن -8< 0, то уравнение не имеет корней.

3. معادلة بالصيغة | f (x) | \u003d ز (س). بالمعنى المقصود في الوحدة النمطية ، سيكون لهذه المعادلة حلول إذا كان جانبها الأيمن أكبر من أو يساوي الصفر ، أي ز (س) ≥ 0 ثم لدينا:

و (س) \u003d ز (س)أو و (س) \u003d -ج (س).

1) | 2x - 1 | \u003d 5x - 10. هذه المعادلة لها جذور إذا كانت 5x - 10 ≥ 0. هنا يبدأ حل هذه المعادلات.

1.O.D.Z. 5 س - 10 0

2. الحل:

2 س - 1 \u003d 5 س - 10 أو 2 س - 1 \u003d - (5 س - 10)

3. نحن نتحد ODZ. والحل هو:

لا يتناسب الجذر x \u003d 11/7 وفقًا لـ O.D.Z. فهو أقل من 2 و x \u003d 3 يفي بهذا الشرط.

الجواب: س \u003d 3

2) | س - 1 | \u003d 1 - × 2.

1.O.D.Z. 1 - x 2 ≥ 0. لنحل هذه المتباينة بطريقة الفواصل:

(1 - س) (1 + س) ≥ 0

2. الحل:

س - 1 \u003d 1 - س 2 أو س - 1 \u003d - (1 - × 2)

س 2 + س - 2 \u003d 0 س 2 - س \u003d 0

س \u003d -2 أو س \u003d 1 س \u003d 0 أو س \u003d 1

3. نجمع بين الحل و ODZ:

فقط الجذور x \u003d 1 و x \u003d 0 مناسبة.

الجواب: س \u003d 0 ، س \u003d 1.

4. معادلة بالصيغة | f (x) | \u003d | ز (س) |. مثل هذه المعادلة تعادل المعادلتين التاليتين f (x) \u003d g (x) أو f (x) \u003d -g (x).

1) | × 2 - 5 × + 7 | \u003d | 2x - 5 |. هذه المعادلة تعادل المعادلتين التاليتين:

x 2-5x + 7 \u003d 2x - 5 أو x 2-5x +7 \u003d -2x + 5

س 2 - 7 س + 12 \u003d 0 س 2 - 3 س + 2 \u003d 0

س \u003d 3 أو س \u003d 4 س \u003d 2 أو س \u003d 1

الإجابة: س \u003d 1 ، س \u003d 2 ، س \u003d 3 ، س \u003d 4.

5. تحل المعادلات بطريقة الاستبدال (استبدال متغير). طريقة الحل هذه أسهل في الشرح بمثال محدد. لذلك ، دعنا نعطي معادلة تربيعية بمعامل:

× 2 - 6 | س | + 5 \u003d 0. بواسطة خاصية الوحدة النمطية x 2 \u003d | x | 2 ، لذلك يمكن إعادة كتابة المعادلة على النحو التالي:

| س | 2-6 | x | + 5 \u003d 0. دعنا نستبدل | x | \u003d t ≥ 0 ، إذن سيكون لدينا:

t 2 - 6t + 5 \u003d 0. لحل هذه المعادلة ، نحصل على t \u003d 1 أو t \u003d 5. لنعد إلى البديل:

| س | \u003d 1 أو | x | \u003d 5

س \u003d ± 1 س \u003d ± 5

الإجابة: س \u003d -5 ، س \u003d -1 ، س \u003d 1 ، س \u003d 5.

لنلق نظرة على مثال آخر:

× 2 + | س | - 2 \u003d 0. بواسطة خاصية الوحدة النمطية x 2 \u003d | x | 2 ، لذلك

| س | 2 + | س | - 2 \u003d 0. لنقم بالاستبدال | x | \u003d t ≥ 0 ، ثم:

t 2 + t - 2 \u003d 0. لحل هذه المعادلة ، نحصل على t \u003d -2 أو t \u003d 1. لنعد إلى البديل:

| س | \u003d -2 أو | x | \u003d 1

لا جذور س \u003d ± 1

الإجابة: س \u003d -1 ، س \u003d 1.

6. نوع آخر من المعادلات - المعادلات مع وحدة نمطية "معقدة". تتضمن هذه المعادلات المعادلات التي تحتوي على "وحدات في وحدة نمطية". يمكن حل المعادلات من هذا النوع باستخدام خصائص الوحدة.

1) | 3 - | x || \u003d 4. سنتابع بنفس الطريقة المتبعة في المعادلات من النوع الثاني. لان 4\u003e 0 ، ثم نحصل على معادلتين:

3 - | x | \u003d 4 أو 3 - | x | \u003d -4.

نعبر الآن عن المقياس x في كل معادلة ، ثم | x | \u003d -1 أو | x | \u003d 7.

نحل كل من المعادلات التي تم الحصول عليها. لا توجد جذور في المعادلة الأولى لأن -1< 0, а во втором x = ±7.

الإجابة هي س \u003d -7 ، س \u003d 7.

2) | 3 + | س + 1 || \u003d 5. نحل هذه المعادلة بنفس الطريقة:

3 + | س + 1 | \u003d 5 أو 3 + | س + 1 | \u003d -5

| x + 1 | \u003d 2 | س + 1 | \u003d -8

س + 1 \u003d 2 أو س + 1 \u003d -2. لا جذور.

الإجابة: س \u003d -3 ، س \u003d 1.

هناك أيضًا طريقة عالمية لحل المعادلات باستخدام وحدة نمطية. هذه هي طريقة التباعد. لكننا سننظر في الأمر لاحقًا.

الموقع ، مع النسخ الكامل أو الجزئي للمادة ، يلزم وجود رابط إلى المصدر.

المصطلح (وحدة) مترجماً حرفياً من اللاتينية يعني "قياس". تم تقديم هذا المفهوم إلى الرياضيات من قبل العالم الإنجليزي R. Cotes. قدم عالم الرياضيات الألماني K. Weierstrass علامة المقياس - الرمز الذي يشير إلى هذا المفهوم عند الكتابة.

في تواصل مع

لأول مرة يتم دراسة هذا المفهوم في الرياضيات في مناهج الصف السادس الثانوي. وفقًا لتعريف واحد ، المعامل هو القيمة المطلقة لعدد حقيقي. بعبارة أخرى ، لمعرفة القيمة المطلقة لرقم حقيقي ، يجب أن تتجاهل علامته.

القيمة المطلقة بيانيا و كما تدل | أ |.

السمة المميزة الرئيسية لهذا المفهوم هي أنه دائمًا كمية غير سلبية.

الأرقام التي تختلف عن بعضها البعض فقط في الإشارة تسمى العكس. إذا كانت القيمة موجبة ، فإن نقيضها سيكون سالبًا ، والصفر هو عكس نفسه.

المعنى الهندسي

إذا أخذنا في الاعتبار مفهوم الوحدة من وجهة نظر الهندسة ، فسنشير إلى المسافة ، والتي يتم قياسها في أجزاء الوحدة من الأصل إلى نقطة محددة... يكشف هذا التعريف بالكامل عن المعنى الهندسي للمصطلح قيد الدراسة.

يمكن التعبير عن ذلك بيانياً كما يلي: | a | \u003d الزراعة العضوية.

خصائص الحجم المطلق

أدناه سننظر في جميع الخصائص الرياضية لهذا المفهوم وطرق الكتابة في شكل تعبيرات حرفية:

ميزات حل المعادلات بالوحدة النمطية

إذا تحدثنا عن حل المعادلات الرياضية والمتباينات التي تحتوي على وحدة نمطية ، فعليك أن تتذكر أنه لحلها عليك فتح هذه العلامة.

على سبيل المثال ، إذا كانت علامة القيمة المطلقة تحتوي على بعض التعبيرات الرياضية ، فقبل فتح الوحدة النمطية ، من الضروري مراعاة التعريفات الرياضية الحالية.

| A + 5 | \u003d أ + 5إذا كان A أكبر من أو يساوي الصفر.

5-أإذا كانت القيمة أقل من الصفر.

في بعض الحالات ، يمكن توسيع العلامة بشكل لا لبس فيه لأي من قيم المتغير.

لنأخذ مثالاً آخر. لنقم ببناء خط إحداثيات ، نضع عليه علامة على جميع القيم العددية ، والتي ستكون قيمتها المطلقة 5.

أولاً ، تحتاج إلى رسم خط إحداثي ، وتحديد أصل الإحداثيات عليه وتعيين حجم جزء الوحدة. بالإضافة إلى ذلك ، يجب أن يكون للخط اتجاه. الآن على هذا الخط المستقيم ، من الضروري تطبيق العلامات التي ستكون مساوية لقيمة جزء الوحدة.

وبالتالي ، يمكننا أن نرى أنه في هذا الخط الإحداثي سيكون هناك نقطتان مهمتان لنا بقيمتين 5 و -5.

من السهل العثور على وحدة العدد ، والنظرية الكامنة وراءها مهمة عند حل المشكلات.

ستكون خصائص وقواعد الإفصاح المستخدمة في حل التمارين والامتحانات مفيدة لأطفال المدارس والطلاب. كسب المال بمعرفتك في https://teachs.ru!

ما هي وحدة في الرياضيات

يصف مقياس العدد المسافة على خط الأعداد من صفر إلى نقطة ، بغض النظر عن الاتجاه الذي تقع فيه النقطة من الصفر. تدوين رياضي : | x |.

بمعنى آخر ، إنها القيمة المطلقة للرقم. يثبت التعريف أن القيمة ليست سالبة أبدًا.

خصائص الوحدة

من المهم تذكر الخصائص التالية:

وحدة الرقم المركب

القيمة المطلقة للرقم المركب هي طول المقطع الموجه المرسوم من بداية المستوى المركب إلى النقطة (أ ، ب).

هذا الخط الاتجاهي هو أيضًا متجه يمثل رقمًا مركبًا أ + ثنائي، لذا فإن القيمة المطلقة للرقم المركب هي نفس حجم (أو طول) المتجه الذي يمثل أ + ثنائي.

كيفية حل المعادلات بالوحدة النمطية

المعادلة ذات المعامل هي المساواة التي تحتوي على تعبير القيمة المطلقة. إذا كان يمثل ، بالنسبة لعدد حقيقي ، المسافة بينه وبين الأصل على خط الأعداد ، فإن المتباينات النمطية هي نوع من عدم المساواة يتكون من قيم مطلقة.

معادلات مثل | x | \u003d أ

المعادلة | x | \u003d أ لديها إجابتان x \u003d a و x \u003d –aلأن كلا الخيارين يقعان على خط الإحداثيات على مسافة من 0.

المساواة مع القيمة المطلقة ليس لها حل إذا كانت القيمة سالبة.

إذا كان | x |< a представляет собой расстояние чисел от начала координат, это значит, что нужно искать все числа, чье расстояние от начала координат меньше a.

معادلات مثل | x | \u003d | ذ |

عندما تكون هناك قيم مطلقة على جانبي المعادلات ، فأنت بحاجة إلى النظر في كلا الاحتمالين من أجل التعريفات المقبولة - التعبيرات الإيجابية والسلبية.

على سبيل المثال ، من أجل المساواة | x - a | \u003d | س + ب | هناك خياران: (س - أ) \u003d - (س + ب) أو (س - أ) \u003d (س + ب).

معادلات مثل | x | \u003d ذ

تحتوي المعادلات من هذا النوع على القيمة المطلقة للتعبير مع متغير على يسار الصفر ، وأخرى غير معروفة إلى اليمين. يمكن أن يكون المتغير y أكبر من الصفر أو أقل منه.

للحصول على إجابة في هذه المساواة ، تحتاج إلى حل نظام من عدة معادلات ، حيث تحتاج إلى التأكد من أن y قيمة غير سالبة:

حل المتباينات بالمقياس

لفهم كيفية توسيع الوحدة في أنواع مختلفة من المساواة وعدم المساواة بشكل أفضل ، تحتاج إلى تحليل الأمثلة.

معادلات النموذج | x | \u003d أ

مثال 1 (الجبر الصف 6). حل: | x | + 2 \u003d 4.

القرار.

يتم حل هذه المعادلات بنفس طريقة حل المساواة بدون قيم مطلقة. هذا يعني أنه بتحريك المجهول إلى اليسار والثوابت إلى اليمين ، لا يتغير التعبير.

بعد نقل الثابت إلى اليمين ، حصلنا على: | س | \u003d 2.

نظرًا لأن المجهول مرتبط بالقيمة المطلقة ، فإن هذه المساواة لها إجابتان: 2 و −2 .

إجابة: 2 و −2 .

مثال 2(الجبر الصف 7). حل المتباينة | x + 2 | ≥ 1.

القرار.

أول شيء يجب فعله هو إيجاد النقاط التي تتغير فيها القيمة المطلقة. للقيام بذلك ، فإن التعبير يساوي 0 ... تم الاستلام: س \u003d –2.

هذا يعني انه –2 - نقطة تحول.

دعنا نقسم الفترة إلى جزأين:

1. لـ x + 2 ≥ 0

[−1; + ∞).

1. لـ x + 2< 0

الإجابة المشتركة لهاتين المتراجحتين هي الفترة (−∞; –3].

قرار نهائي – الجمع بين إجابات الأجزاء الفردية:

x∈ (–∞; –3] ∪ [–1; + ∞).

إجابة: x∈ (–∞; –3] ∪ [–1; + ∞) .

معادلات النموذج | x | \u003d | ذ |

مثال 1 (الجبر الصف 8). حل المعادلة بوحدتين: 2 * | x \u200b\u200b- 1 | + 3 \u003d 9 - | س - 1 |.

القرار:

إجابة: × 1 \u003d 3 ؛ × 2 \u003d − 1.

مثال 2 (الجبر الصف 8). حل عدم المساواة:

القرار:

معادلات النموذج | x | \u003d ذ

مثال 1 (الجبر الصف 10). البحث عن x:

القرار:

من المهم جدًا التحقق من الجانب الأيمن ، وإلا يمكنك كتابة جذور خاطئة في الرد. من النظام يمكنك أن ترى ما لا يكمن في الفجوة.

إجابة: س \u003d 0.

وحدة المجموع

معامل الفرق

القيمة المطلقة للفرق بين رقمين x و y تساوي المسافة بين النقاط ذات الإحداثيات X و ص على خط الإحداثيات.

مثال 1.

مثال 2.

معامل العدد السالب

لإيجاد القيمة المطلقة لرقم أقل من الصفر ، عليك أن تعرف المسافة بينه وبين الصفر. نظرًا لأن المسافة دائمًا موجبة (من المستحيل المرور بخطوات "سلبية" ، فهي مجرد خطوات في الاتجاه الآخر) ، تكون النتيجة إيجابية دائمًا. بمعنى آخر،

ببساطة ، القيمة المطلقة للرقم السالب لها معنى معاكس.

معامل الصفر

خاصية معروفة:

هذا هو السبب في أنه لا يمكن القول بأن القيمة المطلقة رقم موجب: الصفر ليس سالبًا أو موجبًا.

وحدة مربعة

المعامل التربيعي يساوي دائمًا التعبير التربيعي:

أمثلة على الرسوم البيانية مع وحدة

غالبًا ما توجد في الاختبارات والاختبارات مهام لا يمكن حلها إلا من خلال تحليل الرسوم البيانية. دعونا نفكر في مثل هذه المهام.

مثال 1.

دالة f (x) \u003d | x | معطاة. من الضروري إنشاء رسم بياني من - 3 إلى 3 بخطوة 1.

القرار:

تفسير: يوضح الشكل أن الرسم البياني متماثل حول المحور ص.

مثال 2... من الضروري رسم ومقارنة الرسوم البيانية للوظائف f (x) \u003d | x - 2 | و g (x) \u003d | x | –2.

القرار:

تفسير: ثابت داخل قيمة مطلقة ينقل الرسم البياني بأكمله إلى اليمين إذا كانت قيمته سالبة ، وإلى اليسار إذا كانت موجبة. لكن الثابت بالخارج سيحرك الرسم البياني لأعلى إذا كانت القيمة موجبة ، ولأسفل إذا كانت سالبة (مثل - 2 فى مهمة ز (خ)).

إحداثيات فيرتكس x (النقطة التي يتصل عندها خطان ، أعلى الرسم البياني) هي الرقم الذي يتم من خلاله إزاحة الرسم البياني إلى اليسار أو اليمين. والتنسيق ذ هي القيمة التي يتحرك بها الرسم البياني لأعلى أو لأسفل.

يمكنك إنشاء مثل هذه الرسوم البيانية باستخدام تطبيقات التخطيط عبر الإنترنت. بمساعدتهم ، يمكنك أن ترى بصريًا كيف تؤثر الثوابت على الوظائف.

طريقة الفاصل الزمني في المهام مع وحدة

تعتبر طريقة التباعد من أفضل الطرق للعثور على إجابة في مشاكل الوحدة ، خاصةً إذا كان هناك العديد في التعبير.

لاستخدام الطريقة ، عليك القيام بما يلي:

1. اضبط كل تعبير على صفر.
2. أوجد قيم المتغيرات.
3. قم بتطبيق النقاط التي تم الحصول عليها في الخطوة 2 على الخط العددي.
4. حدد علامة التعابير (قيمة سالبة أو موجبة) في الفواصل ورسم الرمز - أو + ، على التوالي. أسهل طريقة لتحديد العلامة هي استخدام طريقة الاستبدال (استبدال أي قيمة من الفاصل الزمني).
5. حل المتباينات مع العلامات الناتجة.

مثال 1... حل بطريقة الفواصل.

القرار: