معادلة الخط المستقيم عبر نقطتين على المستوى. معادلة خط مستقيم يمر بنقطتين: أمثلة ، حلول. المعادلة العادية للخط المستقيم

خصائص الخط المستقيم في الهندسة الإقليدية.

يمكنك رسم عدد لا نهائي من الخطوط المستقيمة عبر أي نقطة.

يمكن رسم خط مستقيم واحد من خلال أي نقطتين غير متطابقتين.

يتقاطع خطان مستقيمان غير متطابقين على المستوى عند نقطة واحدة أو يتقاطعان

متوازي (يتبع من السابق).

في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، هناك ثلاثة خيارات الترتيب المتبادل خطان مستقيمان:

• تتقاطع الخطوط المستقيمة

• الخطوط المستقيمة متوازية

• تتقاطع الخطوط المستقيمة.

مباشرة خط - منحنى جبري من الدرجة الأولى: في نظام الإحداثيات الديكارتية ، خط مستقيم

تُعطى على المستوى بمعادلة من الدرجة الأولى (معادلة خطية).

المعادلة العامة للخط.

تعريف... يمكن الحصول على أي خط مستقيم على مستوى بمعادلة من الدرجة الأولى

الفأس + وو + ج \u003d 0 ،

مع ثابت أ ، ب لا يساوي الصفر في نفس الوقت. تسمى هذه المعادلة من الدرجة الأولى مشترك

معادلة الخط المستقيم. بالاعتماد على قيم الثوابت أ ، ب و من عند الحالات الخاصة التالية ممكنة:

. ج \u003d 0 ، 0 ، ب 0 - الخط المستقيم يمر عبر الأصل

. أ \u003d 0 ، ب 0 ، ج 0 (ب + ج \u003d 0)- خط مستقيم موازٍ للمحور يا

. ب \u003d 0 ، أ ≠ 0 ، ج 0 (فأس + ج \u003d 0) - خط مستقيم موازٍ للمحور OU

. ب \u003d ج \u003d 0 ، أ ≠ 0 - يتطابق الخط المستقيم مع المحور OU

. أ \u003d ج \u003d 0 ، ب 0 - يتطابق الخط المستقيم مع المحور يا

يمكن تمثيل معادلة الخط المستقيم بأشكال مختلفة ، اعتمادًا على أي معطى

الشروط الأولية.

معادلة الخط المستقيم على طول النقطة والمتجه العادي.

تعريف... في نظام إحداثيات مستطيل ديكارتي ، متجه به مكونات (أ ، ب)

عمودي على الخط المستقيم المعطى بالمعادلة

الفأس + وو + ج \u003d 0.

مثال... أوجد معادلة الخط المستقيم المار بنقطة أ (1 ، 2) عمودي على المتجه (3, -1).

القرار... عند A \u003d 3 و B \u003d -1 ، نقوم بتكوين معادلة الخط المستقيم: 3x - y + C \u003d 0. لإيجاد المعامل C

عوض بإحداثيات النقطة المعطاة أ في التعبير الناتج ، وبذلك نحصل على: 3 - 2 + C \u003d 0

ج \u003d -1. المجموع: المعادلة المطلوبة: 3 س - ص - 1 \u003d 0.

معادلة خط مستقيم يمر بنقطتين.

دع نقطتين في الفضاء م 1 (س 1 ، ص 1 ، ض 1)و M2 (× 2 ، ص 2 ، ض 2) ، ثم معادلة الخط المستقيم,

يمر عبر هذه النقاط:

إذا كان أي من المقامات يساوي صفرًا ، فيجب أن يساوي البسط المقابل صفرًا. على ال

المستوى ، معادلة الخط المستقيم المكتوبة أعلاه مبسطة:

اذا كان × 1 × 2 و س \u003d س 1 ، اذا كان س 1 \u003d س 2 .

جزء \u003d ك اتصل ميل مستقيم.

مثال... أوجد معادلة الخط المستقيم المار بالنقطتين أ (1 ، 2) وب (3 ، 4).

القرار... بتطبيق الصيغة أعلاه ، نحصل على:

معادلة الخط المستقيم بالنقطة والميل.

إذا كانت المعادلة العامة للخط المستقيم الفأس + وو + ج \u003d 0 أحضر إلى النموذج:

والمعين ، ثم يتم استدعاء المعادلة الناتجة

معادلة الخط المستقيم بميله k.

معادلة الخط المستقيم على طول نقطة ومتجه الاتجاه.

بالتشابه مع الفقرة مع مراعاة معادلة الخط المستقيم عبر المتجه العادي ، يمكنك إدخال المهمة

خط مستقيم يمر بنقطة ومتجه الاتجاه لخط مستقيم.

تعريف... كل متجه غير صفري (α 1، α 2)مكوناته تفي بالشرط

А 1 + α 2 \u003d 0 اتصل توجيه متجه لخط مستقيم.

الفأس + وو + ج \u003d 0.

مثال... أوجد معادلة خط مستقيم مع متجه اتجاه (1 ، -1) ويمر بالنقطة أ (1 ، 2).

القرار... سيتم البحث عن معادلة الخط المستقيم المطلوب بالشكل: الفأس + ب + ج \u003d 0. حسب التعريف ،

يجب أن تستوفي المعاملات الشروط:

1 * أ + (-1) * ب \u003d 0 ، أي أ \u003d ب.

ثم تأخذ معادلة الخط المستقيم الشكل: الفأس + آي + ج \u003d 0 ، أو س + ص + ج / أ \u003d 0.

في س \u003d 1 ، ص \u003d 2نحن نحصل ج / أ \u003d -3، بمعنى آخر. المعادلة المطلوبة:

س + ص - 3 \u003d 0

معادلة خط مستقيم في مقاطع.

إذا كانت المعادلة العامة للخط المستقيم Ax + Vy + C \u003d 0 C ≠ 0 ، عند القسمة على -C ، نحصل على:

او اين

المعنى الهندسي للمعاملات هو أن المعامل a هو إحداثيات نقطة التقاطع

مباشرة مع المحور يا، و ب - إحداثيات نقطة تقاطع الخط المستقيم مع المحور OU.

مثال... يتم إعطاء المعادلة العامة للخط المستقيم س - ص + 1 \u003d 0.أوجد معادلة هذا الخط المستقيم في أجزاء.

ج \u003d 1 ، أ \u003d -1 ، ب \u003d 1.

المعادلة العادية للخط المستقيم.

إذا كان كلا طرفي المعادلة الفأس + وو + ج \u003d 0 قسمة على الرقم من اتصل

عامل التطبيع، ثم نحصل

xcosφ + ysinφ - ع \u003d 0 -معادلة الخط العادي.

يجب اختيار علامة ± لعامل التطبيع بحيث μ * ج< 0.

ر - انخفاض الطول العمودي من الأصل إلى الخط المستقيم ،

و φ - الزاوية المتكونة من هذا عمودي مع الاتجاه الموجب للمحور يا.

مثال... يتم إعطاء المعادلة العامة للخط 12 س - 5 ص - 65 \u003d 0... مطلوب لكتابة أنواع مختلفة من المعادلات

هذا الخط المستقيم.

معادلة هذا الخط في المقاطع:

معادلة هذا الخط بالميل: (اقسم على 5)

معادلة الخط المستقيم:

كوس φ \u003d 12/13 ؛ الخطيئة φ \u003d -5/13 ؛ ص \u003d 5.

وتجدر الإشارة إلى أنه لا يمكن تمثيل كل خط مستقيم بمعادلة في مقاطع ، على سبيل المثال ، الخطوط المستقيمة ،

بالتوازي مع المحاور أو يمر عبر الأصل.

الزاوية بين الخطوط المستقيمة على المستوى.

تعريف... إذا أعطيت سطرين ص \u003d ك 1 س + ب 1 ، ص \u003d ك 2 س + ب 2 ، ثم زاوية حادة بين هذه الخطوط

سيتم تعريفه على أنه

خطان مستقيمان متوازيان إذا ل 1 \u003d ك 2... خطان مستقيمان عموديان ،

اذا كان ل 1 \u003d -1 / ك 2 .

نظرية.

مباشرة الفأس + وو + ج \u003d 0و أ 1 س + ب 1 ص + ج 1 \u003d 0 متوازية عندما تكون المعاملات متناسبة

А 1 \u003d А ، В 1 \u003d... إذا كان كذلك С 1 \u003d λС، ثم تتطابق الخطوط المستقيمة. إحداثيات نقطة تقاطع خطين

تم العثور عليها كحل لنظام معادلات هذه الخطوط المستقيمة.

معادلة خط مستقيم يمر عبر نقطة معينة عمودية على خط مستقيم معين.

تعريف... خط من خلال نقطة م 1 (× 1 ، ص 1) وعمودي على الخط ص \u003d ك س + ب

ممثلة بالمعادلة:

المسافة من نقطة إلى خط.

نظرية... إذا أعطيت نقطة م (س 0 ، ص 0) ، المسافة إلى الخط المستقيم الفأس + وو + ج \u003d 0معرف ك:

دليل... دع النقطة م 1 (× 1 ، ص 1) - اسقطت قاعدة العمود العمودي من النقطة ملاجل منحه

خط مستقيم. ثم المسافة بين النقطتين مو م 1:

(1)

إحداثيات × 1 و في 1 يمكن إيجادها كحل لنظام المعادلات:

المعادلة الثانية للنظام هي معادلة الخط المستقيم الذي يمر عبر نقطة معينة M 0 عموديًا عليها

خط مستقيم معين. إذا قمنا بتحويل المعادلة الأولى للنظام إلى النموذج:

أ (س - س 0) + ب (ص - ص 0) + فأس 0 + ب 0 + ج \u003d 0 ،

ثم نحصل على الحل:

بالتعويض عن هذه التعبيرات في المعادلة (1) ، نجد:

تم إثبات النظرية.

دع الخط يمر عبر النقطتين M 1 (x 1 ؛ y 1) و M 2 (x 2 ؛ y 2). معادلة الخط المستقيم المار بالنقطة M 1 لها الصيغة y-y 1 \u003d ك (× - × 1) ، (10.6)

أين ك - لا يزال معامل غير معروف.

نظرًا لأن الخط المستقيم يمر بالنقطة M 2 (x 2 y 2) ، يجب أن تحقق إحداثيات هذه النقطة المعادلة (10.6): y 2 -y 1 \u003d ك (× 2 - × 1).

من هنا نجد استبدال القيمة الموجودة ك في المعادلة (10.6) ، نحصل على معادلة خط مستقيم يمر عبر النقطتين M 1 و M 2:

من المفترض أنه في هذه المعادلة x 1 ≠ x 2 ، y 1 y 2

إذا كانت x 1 \u003d x 2 ، فإن الخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين M 1 (x 1، y I) و M 2 (x 2، y 2) يكون موازٍ للمحور الإحداثي. معادلتها لها الشكل س \u003d س 1 .

إذا كانت y 2 \u003d y I ، فيمكن كتابة معادلة الخط المستقيم على أنها y \u003d y 1 ، فالخط المستقيم M 1 M 2 يوازي محور الإحداثي.

معادلة خط مستقيم في مقاطع

دع الخط المستقيم يتقاطع مع محور Ox عند النقطة M 1 (أ ؛ 0) ، ومحور Oy - عند النقطة M 2 (0 ؛ ب). ستأخذ المعادلة الشكل:
أولئك.
... هذه المعادلة تسمى معادلة الخط المستقيم في مقاطع منذ ذلك الحين يشير الرقمان أ و ب إلى الأجزاء المقطوعة بخط مستقيم على محاور الإحداثيات.

معادلة خط مستقيم يمر عبر نقطة معينة عمودية على متجه معين

دعونا نجد معادلة الخط المستقيم الذي يمر عبر نقطة معينة Mo (x O ؛ y o) عموديًا على متجه غير صفري معين n \u003d (A ؛ B).

خذ نقطة عشوائية M (x ؛ y) على خط مستقيم وفكر في المتجه M 0 M (x - x 0 ؛ y - y o) (انظر الشكل 1). نظرًا لأن المتجهين n و M o M عموديان ، فإن حاصل ضربهما القياسي هو صفر: أي

أ (س - س) + ب (ص - يو) \u003d 0. (10.8)

المعادلة (10.8) تسمى معادلة خط مستقيم يمر عبر نقطة معينة عمودية على متجه معين .

المتجه ن \u003d (أ ؛ ب) ، المتعامد على الخط المستقيم ، يسمى عادي المتجه الطبيعي لهذا الخط .

يمكن إعادة كتابة المعادلة (10.8) كـ الفأس + وو + ج \u003d 0 , (10.9)

حيث A و B هما إحداثيات المتجه العادي ، C \u003d -Aх о - у о - المصطلح الحر. المعادلة (10.9) هي المعادلة العامة للخط المستقيم (انظر الشكل 2).

الشكل 1 الشكل 2

المعادلات المتعارف عليها للخط

,

أين
- إحداثيات النقطة التي يمر من خلالها الخط المستقيم
- ناقل الاتجاه.

دائرة المنحنيات من الدرجة الثانية

الدائرة هي مجموعة جميع نقاط المستوى ، على مسافة متساوية من نقطة معينة ، والتي تسمى المركز.

المعادلة الأساسية لدائرة نصف قطرها ر تتمحور في نقطة
:

على وجه الخصوص ، إذا تزامن مركز الحصة مع الأصل ، فستبدو المعادلة كما يلي:

الشكل البيضاوي

القطع الناقص هو مجموعة من النقاط على مستوى ، مجموع المسافات من كل منها إلى نقطتين معطاة و التي تسمى البؤر ثابتة
أكبر من المسافة بين البؤر
.

المعادلة الأساسية للقطع الناقص ، التي تقع بؤرتها على محور الثور ، وأصل الإحداثيات في منتصف المسافة بين البؤر له شكل
ص ديأ طول المحور شبه الرئيسي ؛ب - طول المحور شبه الصغير (الشكل 2).

العلاقة بين معلمات القطع الناقص
و معبر عنها بالنسبه:

(4)

القطع الناقص اللامركزيتسمى نسبة المسافة البينية2 ج إلى المحور الرئيسي2 أ:

المدراء تسمى القطع الناقصة بالخطوط المستقيمة الموازية للمحور Oy ، والتي تقع على مسافة من هذا المحور. معادلات المخرجات:
.

إذا كان في معادلة القطع الناقص
، ثم بؤر القطع الناقص على محور Oy.

وبالتالي،

دعونا نعطي نقطتين م 1 (× 1 ، ص 1) و م 2 (× 2 ، ص 2)... نكتب معادلة الخط المستقيم بالشكل (5) حيث ك معامل غير معروف:

منذ هذه النقطة م 2ينتمي إلى خط مستقيم معين ، فإن إحداثياته \u200b\u200bتحقق المعادلة (5) :. بالتعبير عن هذا واستبداله بالمعادلة (5) ، نحصل على المعادلة المطلوبة:

اذا كان يمكن إعادة كتابة هذه المعادلة بشكل أكثر ملاءمة للحفظ:

(6)

مثال.اكتب معادلة الخط المستقيم المار بالنقطتين م 1 (1.2) وم 2 (-2.3)

القرار. ... باستخدام خاصية النسبة ، وإجراء التحولات اللازمة ، نحصل على المعادلة العامة للخط المستقيم:

الزاوية بين خطين مستقيمين

النظر في سطرين ل 1 و ل 2:

ل 1: ،، و

ل 2: , ,

φ هي الزاوية بينهما (). يوضح الشكل 4:

من هنا أو

باستخدام الصيغة (7) ، يمكن تحديد إحدى الزوايا بين الخطوط المستقيمة. الزاوية الثانية هي.

مثال... يتم الحصول على خطين مستقيمين بواسطة المعادلتين y \u003d 2x + 3 و y \u003d -3x + 2. أوجد الزاوية بين هذين الخطين.

القرار... من المعادلات يمكن ملاحظة أن k 1 \u003d 2 و k 2 \u003d -3. بالتعويض بهذه القيم في الصيغة (7) ، نجد

... وبالتالي ، فإن الزاوية بين هذين الخطين متساوية.

شروط التوازي والعمودي لخطين

إذا كان مستقيما ل 1 و ل 2 متوازية ، إذن φ=0 و tgφ \u003d 0... يتبع من الصيغة (7) أنه من أين ل 2 \u003d ك 1... وبالتالي ، فإن شرط التوازي بين خطين مستقيمين هو تساوي منحدراتهما.

إذا كان مستقيما ل 1 و ل 2 عمودية ، إذن φ \u003d π / 2, α 2 \u003d / 2 + α 1. ... وهكذا ، فإن حالة عمودي خطين مستقيمين هي أن منحدراتهما مقلوبة في الحجم ومعاكسة في الإشارة.

المسافة من نقطة إلى خط

نظرية. إذا أعطيت نقطة M (x 0 ، y 0) ، فإن المسافة إلى الخط المستقيم Ax + Vy + C \u003d 0 يتم تحديدها على أنها

دليل. اجعل النقطة M 1 (x 1، y 1) هي قاعدة العمود العمودي الذي تم إسقاطه من النقطة M على خط معين. ثم المسافة بين النقطتين M و M 1:

يمكن إيجاد الإحداثيين x 1 و y 1 كحل لنظام المعادلات:

المعادلة الثانية للنظام هي معادلة خط مستقيم يمر بنقطة معينة M 0 متعامدة على خط مستقيم معين.

إذا قمنا بتحويل المعادلة الأولى للنظام إلى النموذج:

أ (س - س 0) + ب (ص - ص 0) + فأس 0 + ب 0 + ج \u003d 0 ،

ثم نحصل على الحل:

بالتعويض عن هذه التعبيرات في المعادلة (1) ، نجد:

تم إثبات النظرية.

مثال. حدد الزاوية بين الخطوط المستقيمة: y \u003d -3x + 7 ؛ ص \u003d 2 س + 1.

ك 1 \u003d -3 ؛ ل 2 \u003d 2 tgj \u003d ؛ ي \u003d ع / 4.

مثال. بيّن أن الخطوط المستقيمة 3x - 5y + 7 \u003d 0 و 10x + 6y - 3 \u003d 0 متعامدة.

نجد: ك 1 \u003d 3/5 ، ك 2 \u003d -5/3 ، ك 1 ك 2 \u003d -1 ، لذلك ، الخطوط المستقيمة متعامدة.

مثال. رؤوس المثلث أ (0 ؛ 1) ، ب (6 ؛ 5) ، ج (12 ؛ -1) معطاة. أوجد معادلة الارتفاع المرسوم من الرأس C.

نجد معادلة الضلع AB: ؛ 4 س \u003d 6 ص - 6 ؛

2x - 3y + 3 \u003d 0 ؛

معادلة الارتفاع المطلوبة هي: Ax + By + C \u003d 0 أو y \u003d kx + b.

ك \u003d. ثم y \u003d. لان الارتفاع يمر من خلال النقطة C ، ثم إحداثياته \u200b\u200bتفي بالمعادلة المعطاة: من أين ب \u003d 17. المجموع:.

الجواب: 3 س + 2 ص - 34 \u003d 0.

يتم تحديد المسافة من نقطة إلى خط مستقيم بطول الخط العمودي الذي تم إسقاطه من نقطة إلى خط مستقيم.

إذا كان الخط موازيًا لمستوى الإسقاط (ح | | P 1)، ثم من أجل تحديد المسافة من النقطة و على التوالي ح من الضروري خفض عمودي من النقطة و على الأفقي ح.

فكر في مثال أكثر تعقيدًا ، عندما يكون الخط المستقيم في الوضع العام. فليكن من الضروري تحديد المسافة من النقطة م على التوالي و الموقف العام.

مهمة تحديد المسافة بين الخطوط المتوازية تم حلها بشكل مشابه للحل السابق. تؤخذ نقطة على خط مستقيم ، ويتم إسقاط عمودي منها إلى خط مستقيم آخر. طول الخط العمودي يساوي المسافة بين الخطوط المتوازية.

منحنى الرتبة الثانية يسمى خطًا تحدده معادلة من الدرجة الثانية بالنسبة للإحداثيات الديكارتية الحالية. بشكل عام ، Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F \u003d 0 ،

حيث A ، B ، C ، D ، E ، F هي أعداد حقيقية وواحدة على الأقل من الأعداد A 2 + B 2 + C 2 0.

دائرة

مركز الدائرة هو موضع النقاط في المستوى على مسافة متساوية من نقطة المستوى C (أ ، ب).

الدائرة تعطى بالمعادلة التالية:

حيث x و y هما إحداثيات نقطة عشوائية من الدائرة ، R هو نصف قطر الدائرة.

معادلة المحيط

1. لا يوجد حد بـ x، y

2. معاملات متساوية عند x 2 و y 2

الشكل البيضاوي

الشكل البيضاوي يسمى موقع النقاط في المستوى ، ويسمى مجموع مسافات كل منها من نقطتين معينتين في هذا المستوى بؤر (قيمة ثابتة).

معادلة القطع الناقص الكنسي:

X و y ينتميان إلى القطع الناقص.

أ - المحور شبه الرئيسي للقطع الناقص

ب - المحور شبه الصغير للقطع الناقص

يحتوي القطع الناقص على محورين للتناظر OX و OY. محاور تناظر القطع الناقص هي محاورها ، ونقطة تقاطعها هي مركز القطع الناقص. يتم استدعاء المحور الذي توجد عليه النقاط المحور البؤري... نقطة تقاطع القطع الناقص مع المحاور هي قمة القطع الناقص.

نسبة الضغط (التمدد): ε \u003d ق / أ - الانحراف (يميز شكل القطع الناقص) ، فكلما كان أصغر ، قل طوله على طول المحور البؤري.

إذا لم تكن مراكز القطع الناقص في المركز C (α ، β)

القطع الزائد

مقارنة مبالغ فيها يسمى موضع النقاط في الطائرة ، قيمه مطلقه الفرق في المسافة ، كل نقطة من نقطتين معينتين على هذا المستوى ، تسمى البؤر ، هي قيمة ثابتة بخلاف الصفر.

معادلة القطع الزائد المتعارف عليها

يحتوي القطع الزائد على محوري تناظر:

أ هو نصف المحور الحقيقي للتناظر

ب - شبه محور تناظر وهمي

الخطوط العريضة للقطع الزائد:

القطع المكافئ

القطع المكافئ يسمى موقع النقاط في مستوى متساوي البعد من نقطة معينة F ، ويسمى البؤرة وخط مستقيم معين يسمى الدليل.

معادلة القطع المكافئ الكنسي:

ص 2 \u003d 2 بكسل ، حيث p هي المسافة من التركيز إلى الدليل (معلمة القطع المكافئ)

إذا كان رأس القطع المكافئ C (α ، β) ، فإن معادلة القطع المكافئ (y-β) 2 \u003d 2p (x-α)

إذا تم أخذ المحور البؤري على أنه المحور الإحداثي ، فستأخذ معادلة القطع المكافئ الشكل: x 2 \u003d 2qу

دعونا نعطي نقطتين م(X1 ,يملك1) و ن(X2, ذ2). دعونا نجد معادلة الخط المستقيم الذي يمر عبر هذه النقاط.

لأن هذا الخط يمر بالنقطة م، ثم وفقًا للصيغة (1.13) تكون معادلتها بالشكل

يملك – ص1 = ك(X - x1),

أين ك - منحدر غير معروف.

يتم تحديد قيمة هذا المعامل من الحالة التي يمر بها الخط المطلوب عبر النقطة ن، وبالتالي ، فإن إحداثياتها تفي بالمعادلة (1.13)

ص2 – ص1 = ك(X2 – X1),

من هنا يمكنك إيجاد ميل هذا الخط المستقيم:

,

أو بعد التحويل

(1.14)

الصيغة (1.14) تحدد معادلة خط مستقيم يمر بنقطتين م(X1, ص1) و ن(X2, ص2).

في حالة خاصة عندما تكون النقاط م(أ, 0), ن(0, ب), و ¹ 0, ب ¹ 0 ، تقع على محاور الإحداثيات ، تأخذ المعادلة (1.14) شكلاً أبسط

المعادلة (1.15) اتصل معادلة الخط المستقيم في مقاطع، هنا و و ب تشير إلى الأجزاء المقطوعة بخط مستقيم على المحاور (الشكل 1.6).

الشكل 1.6

المثال 1.10. يساوي خطًا مستقيمًا عبر النقاط م(1 ، 2) و ب(3, –1).

. وفقًا لـ (1.14) ، فإن معادلة الخط المطلوب لها الشكل

2(ص – 2) = -3(X – 1).

نقل جميع الشروط إلى الجانب الأيسر ، نحصل أخيرًا على المعادلة المطلوبة

3X + 2ص – 7 = 0.

المثال 1.11. يساوي خطًا مستقيمًا يمر بنقطة م(2، 1) ونقطة تقاطع الخطوط X+ نعم -1 = 0, X - ذ+ 2 = 0.

. نحسب إحداثيات نقطة تقاطع الخطوط المستقيمة عن طريق حل المعادلات الآتية معًا

إذا أضفنا هذه المعادلات مصطلحًا تلو الآخر ، فسنحصل على 2 X + 1 \u003d 0 ، من أين. بالتعويض عن القيمة الموجودة في أي معادلة ، نجد قيمة الإحداثي يملك:

نكتب الآن معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين (2 ، 1) و:

أو.

ومن ثم ، أو –5 ( ص – 1) = X – 2.

أخيرًا ، نحصل على معادلة الخط المطلوب في النموذج X + 5ص – 7 = 0.

المثال 1.12. أوجد معادلة الخط المستقيم المار بالنقاط م(2،1) و ن(2,3).

باستخدام الصيغة (1.14) نحصل على المعادلة

لا معنى له لأن المقام الثاني هو صفر. يمكن أن نرى من بيان المشكلة أن الأحجام لكلتا النقطتين لها نفس القيمة. ومن ثم ، فإن الخط المطلوب موازٍ للمحور OY ومعادلتها هي: x = 2.

تعليق . إذا ، عند كتابة معادلة خط مستقيم وفقًا للصيغة (1.14) ، تبين أن أحد المقامات يساوي صفرًا ، فيمكن الحصول على المعادلة المرغوبة عن طريق معادلة البسط المقابل بالصفر.

فكر في طرق أخرى لتعريف خط مستقيم على مستوى.

1. دع المتجه غير الصفري يكون عموديًا على الخط المحدد إلو نقطة م0(X0, ص0) على هذا الخط المستقيم (الشكل 1.7).

الشكل 1.7

نشير م(X, ص) نقطة اعتباطية على الخط إل... ناقلات و متعامد. باستخدام شروط التعامد لهذه النواقل ، نحصل على إما و(X – X0) + ب(ص – ص0) = 0.

حصلنا على معادلة خط مستقيم يمر بنقطة م0 عمودي على المتجه. هذا المتجه يسمى المتجه الطبيعي على التوالي إل... يمكن إعادة كتابة المعادلة الناتجة كـ

يا + وو + من عند \u003d 0 أين من عند = –(وX0 + بواسطة0), (1.16),

أين و و في- إحداثيات المتجه الطبيعي.

نحصل على المعادلة العامة للخط المستقيم في الصورة البارامترية.

2. يمكن تحديد خط مستقيم على مستوى على النحو التالي: دع متجهًا غير صفري موازيًا لخط مستقيم معين إل و نقطة م0(X0, ص0) على هذا الخط المستقيم. خذ نقطة اعتباطية مرة أخرى م(X، y) على خط مستقيم (الشكل 1.8).

الشكل 1.8

ناقلات و علاقة خطية متداخلة.

نكتب حالة العلاقة الخطية المتداخلة لهذه المتجهات: ، أين تي - رقم تعسفي يسمى المعلمة. لنكتب هذه المساواة في الإحداثيات:

تسمى هذه المعادلات المعادلات البارامترية مباشرة... نستبعد من هذه المعادلات المعلمة تي:

يمكن كتابة هذه المعادلات بطريقة أخرى

. (1.18)

يتم استدعاء المعادلة الناتجة المعادلة الأساسية للخط... المتجه يسمى متجه الاتجاه للخط المستقيم .

تعليق . من السهل أن نرى ما إذا كان المتجه الطبيعي للخط إل، ثم يمكن أن يكون متجه اتجاهه متجهًا ، حيث

المثال 1.13. اكتب معادلة الخط المستقيم المار بالنقطة م0 (1، 1) موازية للخط المستقيم 3 X + 2يملك– 8 = 0.

القرار . المتجه هو المتجه الطبيعي للخطوط المستقيمة المحددة والمطلوبة. دعونا نستخدم معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطة م0 مع متجه عادي معين 3 ( X –1) + 2(يملك - 1) \u003d 0 أو 3 X + 2 س - 5 \u003d 0. استلمت معادلة الخط المستقيم المطلوب.