الكتاب المدرسي Yu. N. Makarychev ، إلخ. موضوع الدرس: المعادلات الكاملة. المعادلات المتحللة طريقة المعادلات المتحللة لحلها

يبقى النظر في المجموعات المقدمة بواسطة المعادلات (35.21) و (35.23) و (35.30) و (35.31) و (35.32) و (47.7) و (47.22) و (35.20)

التعريف 47.16.يسمى سطح الدرجة الثانية تتحلل إذا كان يتكون من سطحين من الدرجة الأولى.

كمثال ، ضع في اعتبارك السطح الذي تعطيه المعادلة

يمكن تقسيم الجانب الأيسر من المساواة (35.21) إلى عوامل

(47.36)

وبالتالي ، توجد نقطة على السطح المعطاة بواسطة المعادلة (35.21) إذا وفقط إذا كانت إحداثياتها تفي بإحدى المعادلات التالية أو. وهذه معادلات طائرتين ، وفقًا للفقرة 36 \u200b\u200b(انظر الفقرة 36.2 ، الصف العاشر من الجدول) ، تمر عبر محور OZ. بالتالي ، المعادلة (35.21) تحدد سطحًا متحللًا ، أو بالأحرى مستويين متقاطعين.

المهمة: إثبات أنه إذا كان السطح أسطوانيًا ومخروطيًا في نفس الوقت ، ويتكون أيضًا من أكثر من خط مستقيم ، فإنه يتفكك ، أي يحتوي على طائرة معينة.

لنتأمل الآن المعادلة (35.30)

يمكن أن تتحلل إلى معادلتين خطيتين و. وبالتالي ، إذا كانت نقطة ما تقع على السطح المعطاة بواسطة المعادلة (35.30) ، فيجب أن تفي إحداثياتها بإحدى المعادلات التالية: و. وهذه ، وفقًا للفقرة 36 \u200b\u200b(انظر الصفحة 36.2 الصف السادس من الجدول) ، هي معادلة المستويات الموازية للمستوى. وهكذا ، تحدد المعادلة (35.30) مستويين متوازيين وهو أيضًا سطح متحلل.

لاحظ أنه يمكن تحديد أي زوج من المستويات بواسطة معادلة الدرجة الثانية التالية. المعادلتان (35.21) و (35.30) هي العنوان الأساسي معادلات مستويين ، أي معادلاتهما في نظام إحداثي مختار خصيصًا ، حيث يكون لهما (هذه المعادلات) الشكل الأبسط.

المعادلة نفس الشيء (35.31)

بشكل عام ، تعادل معادلة خطية واحدة y \u003d 0 وتمثل مستوى واحدًا (وفقًا للفقرة 36 \u200b\u200bمن البند 36.2 ، الصف الثاني عشر من الجدول ، تحدد هذه المعادلة مستوى).

لاحظ أنه يمكن تحديد أي مستوى بالمعادلة التالية من الدرجة الثانية.

عن طريق القياس مع المعادلة (35.30) (في) ، يقال أحيانًا أن المساواة (35.20) تحدد مستويين متوازيين مدمجين.

ننتقل الآن إلى الحالات المتدهورة.

1. المعادلة (35.20)

لاحظ أن النقطة M (x ، y ، z) تنتمي إلى المجموعة المعطاة في المعادلة (35.20) إذا وفقط إذا كان إحداثياتها الأولين x \u003d y \u003d 0 (والإحداثي الثالث z يمكن أن يكون أي شيء). هذا يعني ذاك تحدد المعادلة (35.20) خطًا مستقيمًا واحدًا - محور التطبيق OZ.

لاحظ أن معادلة أي خط مستقيم (انظر الفقرة 40 ، البند 40.1 ، وكذلك الفقرة 37 ، النظام (37.3)) يمكن تعريفه بمعادلة الدرجة الثانية التالية. المساواة (35.20) هي العنوان الأساسيمعادلة الدرجة الثانية لخط مستقيم ، أي معادلتها من الدرجة الثانية في نظام إحداثيات محدد خصيصًا ، حيث (هذه المعادلة) لديها أبسط معادلة.

2. المعادلة (47.7)

يمكن إرضاء المعادلة (47.7) بثلاثية واحدة فقط من الأرقام x \u003d y \u003d z \u003d 0. وهكذا فإن المساواة (47.7) في مجموعات الفضاء فقط نقطة واحدة О (0 ؛ 0 ؛ 0) - أصل الإحداثيات ؛ إحداثيات أي نقطة أخرى في الفضاء لا يمكن أن تحقق المساواة (47.7). لاحظ أيضًا أنه يمكن تحديد مجموعة تتكون من نقطة واحدة بالمعادلة التالية من الدرجة الثانية:

3. المعادلة (35.23)

ولا يمكن تلبية هذه المعادلة بإحداثيات أي نقطة في الفضاء ، أي عليه يحدد مجموعة فارغة... عن طريق القياس مع المعادلة (33.4)

(انظر القسم 47.5 ، التعريف 47.8) ، يطلق عليه أيضًا اسم الأسطوانة الاهليلجية التخيلية.

4.المعادلة (35.32)

كما أن إحداثيات أي نقطة في الفضاء لا يمكن أن تفي بهذه المعادلة ، وبالتالي فهي يحدد مجموعة فارغة. بالقياس مع المعادلة المماثلة (35.30) ، يسمى هذا "السطح" أيضًا بالمستويات المتوازية التخيلية.

5. المعادلة (47.22)

ولا يمكن تلبية هذه المعادلة بإحداثيات أي نقطة في الفضاء ، وبالتالي فهي يحدد مجموعة فارغة... بالقياس مع المساواة مع المساواة (47.17) (انظر القسم 47.2) ، تسمى هذه المجموعة أيضًا شكل بيضاوي وهمي.

يتم النظر في جميع الحالات.

تقارير أكاديمية العلوم ، 2008 ، المجلد 420 ، العدد 6 ، ص. 744-745

فيزياء رياضية

الحلول المتدهورة لمعادلة VESELOV-NOVIKOV

© 2008 عضو مراسل في RAS I. A. Taimanov، S. P. Tsarev

تم استلامه في 14 فبراير 2008

معادلة فيسيلوف-نوفيكوف

ش ، \u003d e3 u + E3 u + s E (vu) + zE (vu) \u003d o ، E V \u003d E u ،

حيث E \u003d (Ex - ¿Ey) ، E \u003d 1 (Ex + Ey) ، هو تعميم ثنائي الأبعاد لمعادلة Korteweg-de Vries (KdV)

و \u003d 4 uhxx \u200b\u200b+ viih ،

الذي يذهب إليه في الحد أحادي البعد: V \u003d u \u003d u (x). تحدد المعادلة (1) تشوهات عامل شرودنغر ثنائي الأبعاد

يحدد تحويل الحل φ للمعادلة Hf \u003d 0 إلى الحل ب من المعادلة H b \u003d 0 ، حيث

H \u003d EE + u ، u \u003d u + 2 EE 1n w.

في الحد أحادي البعد ، يتم تقليل تحول Moutard إلى تحول Darboux المعروف.

يتوسع تحول Moutard ليشمل تحول حلول النظام

Hf \u003d 0 ، و (\u003d (E3 + E3 + 3 VE + 3 V * E) و ، ^ ^ ^

حيث Э V \u003d Эи ، ЭV * \u003d Э и ، وهو ثابت تحت التحول (تحويل Moutard الموسع)

\u003d ~ | ((f Eyyu-Eph) dz- (f Eyu-u Ef) dz +

من النموذج H1 \u003d HA + 5H ، حيث A ، B عوامل تفاضلية. تحافظ هذه التشوهات على "طيف" المشغل H عند مستوى الطاقة الصفري ، مما يؤدي إلى تحويل حلول المعادلة

Hf \u003d (EE + u) و \u003d 0 (3)

وفقًا لـ (على سبيل المثال + أ) φ \u003d 0.

هناك طريقة لإنشاء حلول جديدة (ش ، φ) للمعادلة (3) من الحلول القديمة (ش ، φ) لهذه المعادلة ، والتي يتم تقليلها إلى تربيعات - تحويل موتارد. وهو يتألف مما يلي: دع العامل H مع احتمال u يُعطى والحل w من المعادلة (3): Hw \u003d 0. ثم الصيغة

W | [(f Esh - w Ef) dz - (f Esh - w Ef) dz]

معهد الرياضيات. م. سوبوليف ، فرع سيبيريا للأكاديمية الروسية للعلوم ، نوفوسيبيرسك

جامعة ولاية كراسنويارسك التربوية

+ [f E u - u E f + u E f - f E u +

2 2 "2 _ ~ _2 + 2 (E f Esh - Ef E w) -2 (E f Esh - Ef E w) +

3 فولت (f Esh - w Ef) + 3 فولت * (w Ef - f Esh)] dt) ،

u ^ u + 2EE lnm ، V ^ V + 2E21nm ،

V * ^ u * + 2E21psh ،

حيث يرضي ث (4).

معادلة فيسيلوف-نوفيكوف (1) هي

حالة التوافق للنظام (4) عند V * \u003d V.

عندما يكون الحل w حقيقيًا ، تكون الشروط u \u003d u u

يتم الحفاظ على V * \u003d V وتحويل Moutard الممتد يترجم الحلول الحقيقية و

المعادلة (1) إلى حلول حقيقية أخرى وهذه المعادلة.

يتم الحصول على جميع solitons المنطقية لمعادلة KdV من خلال تكرار تحويل Darboux من الجهد u \u003d 0. علاوة على ذلك ، فإن جميع الإمكانات الناتجة فردية.

في الحالة ثنائية الأبعاد ، يمكن أن يؤدي البناء المماثل إلى إمكانات غير متداخلة وحتى تتناقص بسرعة بالفعل بعد تكرارين.

حل المعادلة

أجهزة اتصال لاسلكية. على وجه التحديد ، دع u0 \u003d 0 و ω1 ω2 حلان حقيقيان للنظام (4):

ش ، \u003d Γ (ض ، ض) + و (ض ، ض) ، \u003d أنا (ض ، ض) + أنا (ض ، ض) ، (5)

حيث / و هي صورة كاملة في r وتفي بالمعادلات

fg \u003d Yyyy "yag \u003d yyyy"

تحدد كل وظيفة من الوظائف uj u2 تحويل Moutard (الموسع) للاحتمال u \u003d 0 والحلول المقابلة للنظام (4). دعنا نسميهم Mu و Ma. الاحتمالات الناتجة نحن

نشير بواسطة u1 \u003d Myu (u0) ، u2 \u003d Myu (u0).

دع δ1 e My (ω2) ، أي يتم الحصول على b1 من ω2 عن طريق تحويل M ω. لاحظ أن تحويل Moutard لـ يعتمد على ثابت التكامل. نختار ثابتًا بحيث تكون b1 دالة حقيقية. يتيح لنا اختيار الثابت التحكم بشكل متكرر في اللامركزية للجهد المتكرر (سنستخدم هذا في أمثلة محددة).

يظهر فحص بسيط أن b2 \u003d - b1 f

e mu (yuh). تحمل اللمة المعروفة ، وهذا صحيح بالنسبة لإمكانية تعسفية u0.

Lemma 1. دع u12 \u003d M01 (u2) و u21 \u003d M02 (u2). ثم u12 \u003d u21.

بالنسبة للحالة u0 \u003d 0 ، لدينا Lemma 2. لنفترض أن 1 و ω2 لهما الشكل (5). ثم يتم إعطاء u \u003d Mb (My (u0)) ، حيث u0 \u003d 0 و b1 e My (u2) ، بواسطة الصيغة

u \u003d 2EE 1nI ((/ I - fya) +) ((f "I - fя") dr + (GY - G I) dr) +1 (G "I - fя" "+ 2 (f" I " - GZ) + GY "" - G "" z + 2 (zi - zi ")) dz).

لاحظ أنه حتى بالنسبة للحلول الأولية الثابتة ω1 ، ω2 للنظام (4) ، يمكننا الحصول على حل لمعادلة Veselov-Novikov بديناميكيات غير بديهية في r.

النظرية 1. لنفترض أن U (z، z) هي الإمكانات المنطقية التي تم الحصول عليها من خلال تحويل Moutard المزدوج من ω1 \u003d iz2 - i ~ z، ffl2 \u003d z2 + (1 +

أنا) z + ~ z + (1 - i) z. إن U المحتمل هو nonsular وينخفض \u200b\u200bكـ r-3 لـ r ^ حل معادلة Veselov-Novikov (1) مع البيانات الأولية

U \\ t \u003d 0 \u003d U تصبح مفردة في وقت محدود ولها تفرد في الشكل

(3 x4 + 4 x3 + 6 x2 y2 + 3 y4 + 4 y3 + 30-12 طن)

تعليق. معادلة Veselov-Novikov ثابتة في ظل التحول t ^ -t، z ^ -z. من السهل أن نرى أن الحل لهذا

المعادلة بالبيانات الأولية U (z، z، 0) \u003d U (-z، - z) منتظمة لجميع t\u003e 0.

ينخفض \u200b\u200bالجهد العقلاني (1) ، المعطى في العمل ، مثل r-6 ويعطي حلاً ثابتًا غير دائري لمعادلة Veselov-Novikov. باختيار f (z) \u003d a3z3 + a2z2 + a1z2 + a0 + 6a3t ، g (z) \u003d b3z3 + b2z2 + b1z2 + b0 + 6b3t ، من السهل الحصول على حلول معادلة Veselov-Novikov ، تتناقص عند اللانهاية ، غير المفرد عند t \u003d 0 ولها التفردات في الأوقات المحدودة t\u003e t0.

لاحظ أن حلول معادلة Korteweg-de Vries ذات البيانات الأولية السلسة والمتناقصة بسرعة تظل غير منطقية لـ t\u003e 0 (انظر ، على سبيل المثال ،).

تم تنفيذ هذا العمل بدعم مالي جزئي من المؤسسة الروسية للأبحاث الأساسية (رموز المشروع 06-01-00094 لـ I.A.T. و 06-01-00814 لـ S.P.Ts.).

قائمة المراجع

1. Veseloe AP \u200b\u200b، Novikov SP // DAN. 1984. T. 279، No. 1. S. 20-24.

2. دوبروفين ب أ ، كريشيفر آي إم ، نوفيكوف إس بي. // دان. 1976. تى 229. رقم 1. س 15-19.

يحيي المعلم الطلاب ويعلن:

سنواصل اليوم العمل معك حول الموضوع: المعادلات الكاملة

علينا تعزيز مهارات حل المعادلات بدرجة أعلى من الثانية ؛ تعرف على الفئات الرئيسية الثلاث للمعادلات بأكملها ، واتقن الطرق لحلها

على الجزء الخلفي من اللوحة ، قام اثنان من الطلاب بالفعل بإعداد الحل رقم 273 ومستعدان للإجابة على أسئلة الطلاب

يا رفاق ، أقترح تذكر القليل من المعلومات النظرية التي تعلمناها في الدرس السابق. أطلب منك الإجابة على الأسئلة

أي معادلة ذات متغير واحد تسمى عددًا صحيحًا؟ أعط أمثلة

كيف تجد درجة المعادلة بأكملها؟

إلى أي شكل يمكن اختزال معادلة الدرجة الأولى

ماذا سيكون الحل لمثل هذه المعادلة

ما هو الشكل الذي يمكن اختزال معادلة الدرجة الثانية إليه؟

كيف تحل مثل هذه المعادلة؟

كم عدد الجذور سيكون لها؟

إلى أي شكل يمكن اختزال معادلة الدرجة الثالثة؟

معادلة الدرجة الرابعة؟

كم عدد الجذور يمكن أن يكون لديهم؟

اليوم ، يا رفاق ، سنتعلم المزيد عن المعادلات بأكملها: سندرس طرقًا لحل 3 فئات رئيسية من المعادلات:

1) المعادلات البيكودية

هذه معادلات من النموذج
حيث x متغير و a و b و c بعض الأرقام و a 0.

2) المعادلات المتحللة ، والتي يتم تقليلها إلى الشكل A (x) * B (x) \u003d 0 ، حيث A (x) و B (x) هي كثيرة الحدود بالنسبة إلى X.

لقد قمت بالفعل بحل المعادلات المتحللة جزئيًا في الدرس السابق.

3) تحل المعادلات عن طريق تغيير المتغير.

تعليمات

الآن ستتلقى كل مجموعة بطاقات يتم فيها وصف طريقة الحل بالتفصيل ، تحتاج إلى تحليل هذه المعادلات بشكل مشترك وإكمال المهام المتعلقة بهذا الموضوع. في مجموعتك ، تحقق من إجابات رفاقك ، وابحث عن الأخطاء وتوصل إلى إجابة مشتركة.

بعد أن تنتهي كل مجموعة من معادلاتها ، ستحتاج إلى شرحها للمجموعات الأخرى في السبورة. فكر في من تقوم بتفويضه من المجموعة.

العمل في مجموعات

أثناء العمل الجماعي ، يلاحظ المعلم كيف يفكر الأطفال ، وما إذا كانت الفرق قد تشكلت ، وما إذا كان للأطفال قادة.

يقدم المساعدة إذا لزم الأمر. إذا تعاملت مجموعة مع المهمة في وقت أبكر من غيرها ، فلا يزال لدى المعلم المعادلات من هذه البطاقة ذات التعقيد المتزايد في المخزون.

حماية البطاقة

يعرض المعلم أن يقرر ، إذا لم يفعل الرجال ذلك بعد ، من سيدافع عن البطاقة عند السبورة.

يمكن للمدرس ، أثناء عمل القادة ، تصحيح كلامهم إذا ارتكبوا أخطاء.

لذا ، يا رفاق ، لقد استمعتم لبعضكم البعض ، المعادلات الخاصة بحلكم مكتوبة على السبورة. ابدأ بالعمل

اور. ايغر.

IIgr.

IIIgr.

تحتاج إلى حل تلك المعادلات التي لا تملكها.

رقم 276 (ب ، د) ، 278 (ب ، د) ، 283 (أ)

إذن يا شباب ، درسنا اليوم حل المعادلات الجديدة في مجموعات. هل تعتقد أن عملنا سار بشكل جيد؟

هل وصلنا إلى هدفنا؟

ما الذي كان يمنعك في عملك؟

يقوم المعلم بتقييم الأطفال الأكثر نشاطًا.

شكرا لك على الدرس!!!

يُنصح في المستقبل القريب بإجراء عمل مستقل يحتوي على المعادلات التي تم تحليلها في هذا الدرس.

"حل المعادلات ذات الدرجات العليا" - ماذا يعني حل المعادلة؟ مهام المرحلة الاولى. دافئ (تحقق من d / h). حل المعادلات ذات الدرجات العليا. ما أنواع المعادلات المكتوبة على السبورة؟ التعليم الجسدي. المرحلة الثانية عمل مستقل الخيار 1 الخيار 2. ما يسمى جذر المعادلة؟ مخطط الحل معادلة خط مستقيم معادلة من الدرجة الثانية معادلة بكوادر.

"طرق حل المعادلات وعدم المساواة" - مصر القديمة. المعادلات التكعيبية. طرق غير قياسية لحل المعادلات وعدم المساواة. فكرة التجانس. طريقة رسومية لحل المعادلات التي تحتوي على وحدة. عدم المساواة مع الوحدة. حل المعادلات الخاصة بالمعاملات. لا تحتوي المتباينة الأصلية على أي حل. مجموع المربع.

"المعادلات وعدم المساواة" - استبدال. أوجد حدود نقطة تقاطع الرسوم البيانية للوظيفة. ما قيمة a هو عدد جذور المعادلة. "الطريقة الرسومية. وتتكون مما يلي: رسم الرسوم البيانية لدالتين في نظام إحداثي واحد. حلول المعادلات والمتباينات." أوجد أصغر حل طبيعي لعدم المساواة.

"المعادلات الكسرية" - حل المعادلة الناتجة. معادلة من الدرجة الثانية له جذور 2 إذا …… استبعد الجذور التي لم يتم تضمينها في القيم المقبولة لكسور المعادلة. … رسالتك. روح عالية ". خوارزمية لحل المعادلات المنطقية الكسرية. وتذكر - ما هو الشيء الرئيسي في الشخص؟ المعادلات المنطقية الكسرية. كم عدد الجذور لهذه المعادلة؟ 4. ما اسم هذه المعادلة؟

"حل المعادلات اللوغاريتمية" - إذا كانت المعادلة تحتوي على لوغاريتمات ذات قواعد مختلفة ، إذن أولاً وقبل كل شيء ، يجب عليك تقليل جميع اللوغاريتمات إلى قاعدة واحدة باستخدام صيغ الانتقال. احسب قيم التعبير. التعريف: لتلخيص المادة على خصائص اللوغاريتمات ، دالة لوغاريتمية؛ النظر في الطرق الأساسية لحل المعادلات اللوغاريتمية ؛ تطوير المهارات الشفوية.

طرق حل المعادلات اللوغاريتمية - بحث. حل المعادلات اللوغاريتمية. ما يسمى اللوغاريتم. تنظيم معرفة الطالب. عمل ابداعي... ابحث عن الخطأ. نظام المعادلات. حل المعادلات اللوغاريتمية بطرق مختلفة. الخيار الأول الخيار الثاني. الوظيفة المحددة. طريقة لإدخال متغير جديد. قارن. طرق حل المعادلات اللوغاريتمية.

هناك 49 عرضا في المجموع