جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام - كل ما تحتاج إلى معرفته في امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات (2020). المعادلة sin x = a كيفية حساب الجيب

إذا قمنا ببناء دائرة وحدة يكون مركزها في الأصل، وقمنا بتعيين قيمة عشوائية للوسيطة × 0والعد من المحور ثورركن س 0, فإن هذه الزاوية على دائرة الوحدة تقابل نقطة معينة أ(رسم بياني 1) وإسقاطه على المحور أوهستكون هناك نقطة م. طول القسم أوميساوي القيمة المطلقة لإحداثيات النقطة أ. نظرا لقيمة الوسيطة × 0تم تعيين قيمة الوظيفة ذ=cos س 0 مثل النقاط الإحداثية أ. وبناء على ذلك، نقطة في(س 0 ;في 0) ينتمي إلى الرسم البياني للوظيفة في=cos X(الصورة 2). إذا كانت النقطة أيقع على يمين المحور الوحدة التنظيمية, سيكون الجيب الحالي موجبًا، لكن إذا كان إلى اليسار فسيكون سالبًا. ولكن على أية حال، الفترة ألا يستطيع مغادرة الدائرة لذلك، يقع جيب التمام في النطاق من -1 إلى 1:

-1 = كوس س = 1.

دوران إضافي في أي زاوية، مضاعفات 2 ص، نقطة الإرجاع أإلى نفس المكان. ولذلك الوظيفة ص =كوس سص:

كوس( س+ 2ص) = كوس س.

إذا أخذنا قيمتين للوسيطة، متساويتين في القيمة المطلقة، ولكنهما متعارضتان في الإشارة، سو - س, العثور على النقاط المقابلة على الدائرة فأسو فأس. كما يمكن أن يرى في التين. 3 إسقاطهم على المحور أوههي نفس النقطة م. لهذا

كوس(- س) = كوس ( س),

أولئك. جيب التمام هو وظيفة زوجية، F(–س) = F(س).

هذا يعني أنه يمكننا استكشاف خصائص الوظيفة ذ=cos Xعلى الجزء , ومن ثم تأخذ في الاعتبار التكافؤ ودوريتها.

في X= 0 نقطة أتقع على المحور أوه, الإحداثي الإحداثي هو 1، وبالتالي cos 0 = 1. مع الزيادة Xنقطة أيتحرك حول الدائرة لأعلى وإلى اليسار، ويكون إسقاطها بطبيعة الحال إلى اليسار فقط، وعند x = ص/2 جيب التمام يصبح يساوي 0. نقطة أفي هذه اللحظة يرتفع إلى الحد الأقصى للارتفاع، ثم يستمر في التحرك إلى اليسار، ولكنه ينزل بالفعل. يتناقص الإحداثي المحوري حتى يصل إلى أصغر قيمة تساوي -1 عند X= ص. وهكذا، على الفاصل الزمني الدالة في=cos Xيتناقص بشكل رتيب من 1 إلى –1 (الشكل 4، 5).

من تكافؤ جيب التمام يترتب على ذلك في الفاصل الزمني [- ص، 0] تزداد الدالة بشكل رتيب من -1 إلى 1، مع قيمة صفر عند س =–ص/2. إذا أخذت عدة فترات، فستحصل على منحنى متموج (الشكل 6).

وبالتالي فإن الوظيفة ذ=cos سيأخذ قيم صفر عند النقاط X= ص/2 + kp, أين ك -أي عدد صحيح. يتم تحقيق الحد الأقصى الذي يساوي 1 عند النقاط X= 2kp، أي. في خطوات 2 ص، والحد الأدنى يساوي –1 عند النقاط X= ص + 2kp.

الدالة ذ = الخطيئة س.

على زاوية دائرة الوحدة س 0 يتوافق مع نقطة أ(الشكل 7)، وإسقاطه على المحور الوحدة التنظيميةستكون هناك نقطة ن.زقيمة الوظيفة ص 0 =خطيئة × 0يتم تعريفها على أنها إحداثية نقطة أ. نقطة في(ركن س 0 ,في 0) ينتمي إلى الرسم البياني للوظيفة ذ= خطيئة س(الشكل 8). ومن الواضح أن الوظيفة ص =خطيئة سدورية، دورتها هي 2 ص:

الخطيئة ( س+ 2ص) = الخطيئة ( س).

بالنسبة لقيمتين للوسيطة، Xو - ، إسقاطات النقاط المقابلة لها فأسو فأسلكل محور الوحدة التنظيميةتقع بشكل متماثل بالنسبة للنقطة عن. لهذا

الخطيئة(- س) = -الخطيئة ( س),

أولئك. جيب الجيب هو دالة غريبة، f(- س) = -و( س) (الشكل 9).

إذا كانت النقطة أتدور نسبة إلى نقطة عنبزاوية ص/2 عكس اتجاه عقارب الساعة (وبعبارة أخرى، إذا كانت الزاوية Xزيادة بنسبة ص/2)، فإن إحداثيته في الموضع الجديد سيكون مساويًا للإحداثي الإحداثي في ​​الموضع القديم. مما يعني

الخطيئة ( س+ ص/2) = كوس س.

خلاف ذلك، جيب التمام هو جيب التمام "متأخرا" بواسطة ص/2، نظرًا لأن أي قيمة جيب التمام سوف "تتكرر" في جيب التمام عندما تزيد الوسيطة بمقدار ص/2. ولإنشاء رسم بياني جيبي، يكفي إزاحة رسم بياني جيب التمام ص/2 إلى اليمين (الشكل 10). يتم التعبير عن خاصية مهمة للغاية للجيب من خلال المساواة

يمكن رؤية المعنى الهندسي للمساواة من الشكل. 11. هنا X -هذا نصف قوس أ.ب, خطيئة X -نصف الوتر المقابل. ومن الواضح أنه مع اقتراب النقاط أو فييقترب طول الوتر بشكل متزايد من طول القوس. من نفس الشكل من السهل استخلاص عدم المساواة

|خطيئة س| x|، صحيح لأي X.

يطلق علماء الرياضيات على الصيغة (*) حدًا ملحوظًا. ومنه، على وجه الخصوص، يتبع تلك الخطيئة X» Xفي صغيرة X.

المهام في= تيراغرام س، ص=ctg X. يمكن تعريف الوظيفتين المثلثيتين الأخريين، الظل وظل التمام، بسهولة على أنهما نسب الجيب وجيب التمام المعروفين لنا بالفعل:

مثل الجيب وجيب التمام، فإن الظل وظل التمام هما دالتان دوريتان، لكن فتراتهما متساوية ص، أي. هم نصف حجم الجيب وجيب التمام. والسبب في ذلك واضح: إذا تغيرت علامات الجيب وجيب التمام، فلن تتغير النسبة بينهما.

نظرًا لأن مقام الظل يحتوي على جيب التمام، فلا يتم تعريف الظل في تلك النقاط التي يكون فيها جيب التمام 0 - عندما X= ص/2 +ك.ب. وفي جميع النقاط الأخرى فإنه يزيد بشكل رتيب. مباشر X= ص/2 + kpللظل هي الخطوط المقاربة الرأسية. في نقاط kpالظل والمنحدر هما 0 و1 على التوالي (الشكل 12).

لم يتم تعريف ظل التمام حيث يكون جيب التمام 0 (متى س = ك.ب). وفي نقاط أخرى يتناقص بشكل رتيب، وخطوط مستقيمة س = ك.ب – خطوطها المقاربة العمودية. في نقاط س = ص/2 +ك.بيصبح ظل التمام 0، والميل عند هذه النقاط يساوي -1 (الشكل 13).

التكافؤ والدورية.

يتم استدعاء الدالة حتى لو F(–س) = F(س). دوال جيب التمام والقاطع زوجية، ودوال الجيب والظل وظل التمام وقاطع التمام فردية:

الخطيئة (–α) = – الخطيئة α	تان (–α) = – تان α
كوس (–α) = كوس α	CTG (–α) = – CTG α
ثانية (–α) = ثانية α	كوسيك (–α) = – كوسيك α

خصائص التكافؤ تتبع من تماثل النقاط صأ و ر- أ (الشكل 14) بالنسبة للمحور X. مع هذا التماثل، يتغير إحداثي النقطة (( X;في) يذهب إلى ( X; -و)). جميع الوظائف - الدورية، والجيب، وجيب التمام، والقاطع، وقاطع التمام لها فترة 2 ص, و الظل و ظل التمام - ص:

الخطيئة (α + 2 كπ) = الخطيئة α	كوس(α+2 كπ) = كوس α
تيراغرام(α+ كπ) = تان α	سرير أطفال(α+ كπ) = cotg α
ثانية (α + 2 كπ) = ثانية α	كوسيك(α+2 كπ) = كوسيك α

تتكرر دورية الجيب وجيب التمام من حقيقة أن جميع النقاط صأ+2 kp، أين ك= 0، ±1، ±2،…، تتزامن، ودورية الظل وظل التمام ترجع إلى حقيقة أن النقاط صأ + kpتقع بالتناوب في نقطتين متقابلتين تمامًا من الدائرة، مما يعطي نفس النقطة على محور الظل.

يمكن تلخيص الخصائص الرئيسية للدوال المثلثية في جدول:

وظيفة	اِختِصاص	معاني متعددة	التكافؤ	مجالات الرتابة ( ك= 0، ± 1، ± 2،…)
خطيئة س	– А × А	[–1, +1]	غريب	يزيد مع سيا((4 ك – 1) ص /2, (4ك + 1) ص/2)، يتناقص عند سيا((4 ك + 1) ص /2, (4ك + 3) ص/2)
كوس س	– А × А	[–1, +1]	حتى	يزيد مع سيا ((2 ك – 1) ص, 2kp)، يتناقص عند سيا (2 kp, (2ك + 1) ص)
tg س	س № ص/2 + ص ك	(–Ґ , +Ґ )	غريب	يزيد مع سيا ((2 ك – 1) ص /2, (2ك + 1) ص /2)
ctg س	س № ص ك	(–Ґ , +Ґ )	غريب	يتناقص عند سعن ( kp, (ك + 1) ص)
ثانية س	س № ص/2 + ص ك	(–А، -1] و [+1، +А )	حتى	يزيد مع سيا (2 kp, (2ك + 1) ص)، يتناقص عند سيا ((2 ك– 1) ص ، 2 kp)
com.cosec س	س № ص ك	(–А، -1] و [+1، +А )	غريب	يزيد مع سيا((4 ك + 1) ص /2, (4ك + 3) ص/2)، يتناقص عند سيا((4 ك – 1) ص /2, (4ك + 1) ص /2)

صيغ التخفيض.

وفقا لهذه الصيغ، قيمة الدالة المثلثية للوسيطة أ، أين ص/2 a p ، يمكن اختزاله إلى قيمة الدالة الوسيطة a ، حيث 0 a p /2، إما هي نفسها أو مكملة لها.

حجة ب	-أ	+ أ	ص-أ	ص+ أ	+ أ	+ أ	2ص-أ
الخطيئة ب	كوس أ	كوس أ	الخطيئة أ	-خطيئة أ	-كوس أ	-كوس أ	-خطيئة أ
كوس ب	الخطيئة أ	-خطيئة أ	-كوس أ	-كوس أ	-خطيئة أ	الخطيئة أ	كوس أ

لذلك، في جداول الدوال المثلثية، يتم إعطاء القيم فقط للزوايا الحادة، ويكفي أن نقتصر، على سبيل المثال، على الجيب والظل. يعرض الجدول فقط الصيغ الأكثر استخدامًا للجيب وجيب التمام. من خلال هذه، من السهل الحصول على صيغ الظل وظل التمام. عند إلقاء دالة من وسيطة النموذج kp/2 ± أ، حيث ك- عدد صحيح لدالة الوسيطة a:

1) يتم حفظ اسم الوظيفة إذا كحتى، والتغييرات إلى "التكميلية" إذا كغريب؛

2) الإشارة الموجودة على الجانب الأيمن تتزامن مع إشارة الدالة القابلة للاختزال عند النقطة kp/2 ± أ إذا كانت الزاوية أ حادة.

على سبيل المثال، عند إرسال ctg (a – ص/2) نتأكد من أن – ص/2 عند 0 a p /2 يقع في الربع الرابع، حيث يكون ظل التمام سالبًا، ووفقًا للقاعدة 1، نقوم بتغيير اسم الدالة: ctg (a – ص/2) = –tg أ .

صيغ الإضافة.

صيغ للزوايا المتعددة.

هذه الصيغ مشتقة مباشرة من صيغ الجمع:

الخطيئة 2أ = 2 الخطيئة أ كوس أ ;

cos 2a = cos 2 a – sin 2 a = 2 cos 2 a – 1 = 1 – 2 sin 2 a ;

الخطيئة 3أ = 3 الخطيئة أ – 4 الخطيئة 3 أ;

cos 3a = 4 cos 3 a – 3 cos a ;

تم استخدام صيغة cos 3a بواسطة François Viète عند حل المعادلة التكعيبية. وكان أول من وجد تعبيرات عن جتا نا والخطيئة ن a، والتي تم الحصول عليها لاحقًا بطريقة أبسط من صيغة Moivre.

إذا قمت باستبدال a بـ /2 في صيغ الوسيطات المزدوجة، فيمكن تحويلها إلى صيغ نصف الزاوية:

صيغ الاستبدال العالمية.

باستخدام هذه الصيغ، يمكن إعادة كتابة التعبير الذي يشتمل على دوال مثلثية مختلفة لنفس الوسيطة كتعبير عقلاني لدالة واحدة tg (a /2)، وقد يكون ذلك مفيدًا عند حل بعض المعادلات:

صيغ لتحويل المبالغ إلى منتجات والمنتجات إلى مبالغ.

قبل ظهور أجهزة الكمبيوتر، تم استخدام هذه الصيغ لتبسيط العمليات الحسابية. تم إجراء الحسابات باستخدام الجداول اللوغاريتمية، وفي وقت لاحق - قاعدة الشريحة، لأن اللوغاريتمات هي الأنسب لضرب الأرقام، لذلك تم إحضار جميع التعبيرات الأصلية إلى نموذج مناسب للوغاريثمية، أي. للأعمال، على سبيل المثال:

2 خطيئة أالخطيئة ب = كوس ( أ-ب) - كوس ( أ + ب);

2cos أكوس ب=كوس( أ-ب) + كوس ( أ + ب);

2 خطيئة أكوس ب= الخطيئة( أ-ب) + الخطيئة ( أ + ب).

يمكن الحصول على صيغ وظائف الظل وظل التمام مما سبق.

صيغ تخفيض الدرجة.

من صيغ الوسائط المتعددة يتم اشتقاق الصيغ التالية:

الخطيئة 2 أ = (1 - كوس 2أ)/2؛	كوس 2 أ = (1 + كوس 2أ )/2؛
الخطيئة 3 أ = (3 الخطيئة أ - الخطيئة 3أ)/4؛	كوس 3 أ = (3 كوس أ + كوس 3أ)/4.

باستخدام هذه الصيغ، يمكن اختزال المعادلات المثلثية إلى معادلات ذات درجات أقل. بنفس الطريقة، يمكننا استخلاص صيغ الاختزال للقوى الأعلى للجيب وجيب التمام.

مشتقات وتكاملات الدوال المثلثية
(الخطيئة س)` = كوس س;	(كوس س)` = -الخطيئة س;
(تيراغرام س)` = ;	(ctg س)` = – ;
ر الخطيئة × دي إكس= -كوس س + ج;	ر كوس × دي إكس= خطيئة س + ج;
ر تيراغرام × دي إكس= -ln|cos س| + ج;	تي سي تي جي س دكس = ln|الخطيئة س| + ج;

كل دالة مثلثية في كل نقطة من مجال تعريفها تكون مستمرة وقابلة للاشتقاق بشكل لا نهائي. علاوة على ذلك، فإن مشتقات الدوال المثلثية هي دوال مثلثية، وعند التكامل يتم الحصول أيضًا على الدوال المثلثية أو لوغاريتماتها. إن تكاملات المجموعات العقلانية للدوال المثلثية هي دائمًا دوال أولية.

تمثيل الدوال المثلثية على شكل متسلسلة قوى وحواصل لا نهائية.

يمكن توسيع جميع الدوال المثلثية في سلسلة الطاقة. في هذه الحالة، وظائف الخطيئة س bcos سيتم عرضها في صفوف. متقاربة لجميع القيم س:

يمكن استخدام هذه السلسلة للحصول على تعبيرات تقريبية للخطيئة سوكوس سبقيم صغيرة س:

في | س|ص/2؛

عند 0x| ص

(بن – أرقام برنولي).

وظائف الخطيئة سوكوس سيمكن تمثيلها في شكل منتجات لا حصر لها:

النظام المثلثي 1، كوس س,الخطيئة س، كوس 2 س، الخطيئة 2 س,¼,كوس nx,الخطيئة nx، ¼، أشكال على القطعة [- ص, ص] نظام متعامد من الوظائف، مما يجعل من الممكن تمثيل الوظائف في شكل سلسلة مثلثية.

يتم تعريفها على أنها استمرارات تحليلية للوظائف المثلثية المقابلة للوسيطة الحقيقية في المستوى المعقد. نعم خطيئة ضوكوس ضيمكن تعريفها باستخدام سلسلة للخطيئة سوكوس س, إذا بدلا من ذلك سيضع ض:

وتتقارب هذه المتسلسلة على المستوى بأكمله، لذا فهي خطيئة ضوكوس ض- وظائف كاملة.

يتم تحديد الظل وظل التمام بواسطة الصيغ:

وظائف تيراغرام ضو CTG ض– وظائف ميرومورفيكية. أقطاب tg ضوثانية ض- بسيط (الترتيب الأول) ويقع في نقاط ض = ص/2 + ن,القطبين CTG ضوكوزيك ض- بسيطة أيضًا وتقع في نقاط ض = ص ن، ن = 0، ±1، ±2،…

جميع الصيغ الصالحة للدوال المثلثية للوسيطة الحقيقية صالحة أيضًا للدالة المعقدة. بخاصة،

الخطيئة(- ض) = -الخطيئة ض,

كوس(- ض) = كوس ض,

تيراغرام(- ض) = –تغ ض,

سي تي جي(- ض) = –ctg ض،

أولئك. يتم الحفاظ على التكافؤ الزوجي والفردي. يتم أيضًا حفظ الصيغ

الخطيئة ( ض + 2ص) = خطيئة ض, (ض + 2ص) = كوس ض, (ض + ص) = تيراغرام ض, (ض + ص) =ctg ض,

أولئك. يتم أيضًا الحفاظ على الدورية، والفترات هي نفسها بالنسبة لوظائف الوسيطة الحقيقية.

يمكن التعبير عن الدوال المثلثية بدلالة دالة أسية لحجة خيالية بحتة:

خلف، ه إيزأعرب من حيث كوس ضوالخطيئة ضوفقا للصيغة:

ه إيز=cos ض + أناخطيئة ض

تسمى هذه الصيغ صيغ أويلر. قام ليونارد أويلر بتطويرها في عام 1743.

يمكن أيضًا التعبير عن الدوال المثلثية من حيث الدوال الزائدية:

ض = –أناش IZ، cos z = ch iz، z = –i th iz.

حيث sh وch وth عبارة عن جيب التمام وجيب التمام والظل الزائدي.

الدوال المثلثية للحجة المعقدة ض = س + أنا، أين سو ذ- الأعداد الحقيقية، يمكن التعبير عنها من خلال الدوال المثلثية والزائدة للحجج الحقيقية، على سبيل المثال:

الخطيئة ( س + إيي) = خطيئة سالفصل ذ + أناكوس سش ذ;

كوس( س + إيي) = كوس سالفصل ذ + أناخطيئة سش ذ.

يمكن أن يأخذ جيب التمام وجيب التمام للوسيطة المعقدة قيمًا حقيقية أكبر من 1 في القيمة المطلقة. على سبيل المثال:

إذا دخلت زاوية مجهولة في معادلة كوسيطة للدوال المثلثية، فإن المعادلة تسمى مثلثية. مثل هذه المعادلات شائعة جدًا لدرجة أن طرقها الحلول مفصلة للغاية وتم تطويرها بعناية. معباستخدام تقنيات وصيغ مختلفة، يتم تحويل المعادلات المثلثية إلى معادلات من النموذج F(س)= أ، أين F- أي من أبسط الدوال المثلثية: جيب التمام، وجيب التمام، والظل، وظل التمام. ثم أعرب الحجة سهذه الوظيفة من خلال قيمتها المعروفة أ.

بما أن الدوال المثلثية دورية، فهي نفسها أمن نطاق القيم هناك عدد لا نهائي من قيم الوسيطة، ولا يمكن كتابة حلول المعادلة كدالة واحدة لـ أ. لذلك، في مجال تعريف كل من الدوال المثلثية الرئيسية، يتم اختيار قسم يأخذ فيه جميع قيمه، كل منها مرة واحدة فقط، والدالة العكسية لها موجودة في هذا القسم. يتم الإشارة إلى مثل هذه الدوال بإضافة البادئة قوس (قوس) إلى اسم الدالة الأصلية، وتسمى الدوال المثلثية العكسية وظائف أو ببساطة وظائف القوس.

الدوال المثلثية العكسية.

للخطيئة X, كوس X, tg Xو CTG Xيمكن تعريف الوظائف العكسية. يتم الإشارة إليها وفقًا لذلك بواسطة arcsin X(اقرأ "أركسين" س")، أركوس س، أركان سو arcctg س. حسب التعريف، أركسين Xهناك مثل هذا العدد ذ،ماذا

خطيئة في = X.

وبالمثل بالنسبة للدوال المثلثية العكسية الأخرى. لكن هذا التعريف يعاني من بعض عدم الدقة.

إذا عكست الخطيئة X, كوس X, tg Xو CTG Xبالنسبة إلى منصف الربعين الأول والثالث من المستوى الإحداثي، تصبح الوظائف غامضة بسبب دوريتها: عدد لا حصر له من الزوايا يتوافق مع نفس الجيب (جيب التمام، الظل، ظل التمام).

للتخلص من الغموض، قسم من المنحنى بعرض ص، في هذه الحالة من الضروري الحفاظ على المراسلات الفردية بين الوسيطة وقيمة الوظيفة. يتم تحديد المناطق القريبة من أصل الإحداثيات. لجيب في باعتبارها "فاصل زمني واحد لواحد" نأخذ المقطع [- ص/2, ص/2]، حيث يزيد الجيب بشكل رتيب من -1 إلى 1، بالنسبة لجيب التمام - الجزء، بالنسبة للظل وظل التمام، على التوالي، الفواصل الزمنية (- ص/2, ص/2) و (0، ص). ينعكس كل منحنى في الفترة بالنسبة للمنصف ويمكن الآن تحديد الدوال المثلثية العكسية. على سبيل المثال، دع قيمة الوسيطة تعطى × 0،بحيث 0 ج س 0 Ј 1. ثم قيمة الدالة ذ 0 = أرسين س 0 سيكون هناك معنى واحد فقط في 0 , مثل ذلك - ص/2 ج في 0 Ј ص/2 و س 0 = خطيئة ذ 0 .

وبالتالي، أركسين هو وظيفة أركسين أ, محددة على الفاصل الزمني [-1، 1] ومتساوية لكل منهما أإلى هذه القيمة، - ص/2 أ ع /2 أن الخطيئة أ = أ.من السهل جدًا تمثيلها باستخدام دائرة الوحدة (الشكل 15). متى | أ| 1 على الدائرة هناك نقطتان مع الإحداثية أ، متناظرة حول المحور ش.واحد منهم يتوافق مع الزاوية أ= أرسين أ, والآخر هو الزاوية ص - أ. معمع الأخذ في الاعتبار دورية الجيب، حل المعادلة الخطيئة س= أمكتوب على النحو التالي:

س =(–1)نأركسين أ + 2ص ن,

أين ن= 0، ±1، ±2،...

يمكن حل المعادلات المثلثية البسيطة الأخرى بنفس الطريقة:

كوس س = أ, –1 =أ= 1;

س =± أركوس أ + 2ص ن,

أين ص= 0، ±1، ±2،... (الشكل 16)؛

tg X = أ;

س= أركانتان أ + صن،

أين ن = 0، ±1، ±2،... (الشكل 17)؛

ctg X= أ;

X= arcctg أ + صن،

أين ن = 0، ±1، ±2،... (الشكل 18).

الخصائص الأساسية للدوال المثلثية العكسية:

أركسين X(الشكل 19): مجال التعريف - الجزء [-1، 1]؛ يتراوح - [- ص/2, ص/2]، وظيفة متزايدة رتابة؛

أركوس X(الشكل 20): مجال التعريف - الجزء [-1، 1]؛ يتراوح - ؛ وظيفة متناقصة بشكل رتيب؛

com.arctg X(الشكل 21): مجال التعريف – جميع الأعداد الحقيقية؛ نطاق القيم - الفاصل الزمني (- ص/2, ص/2); وظيفة متزايدة رتابة. مستقيم في= –ص/2 و ص = ص /2 –الخطوط المقاربة الأفقية.

com.arcctg X(الشكل 22): مجال التعريف – جميع الأعداد الحقيقية؛ نطاق القيم - الفاصل الزمني (0، ص); وظيفة متناقصة بشكل رتيب؛ مستقيم ذ= 0 و ص = ص- الخطوط المقاربة الأفقية.

لأن الدوال المثلثية للخطيئة الوسيطة المعقدة ضوكوس ض(على عكس وظائف الوسيطة الحقيقية) تأخذ جميع القيم المعقدة، ثم المعادلات خطيئة ض = أوكوس ض = ألديك حلول لأي معقدة فأسو ذهي أرقام حقيقية، تنطبق عدم المساواة

½| ه\ه ذ–e-y| ≥|الخطيئة ض|≤½( ه ذ +ه-ص)،

½| ه ذ–e-y| ≥|كوس ض|≤½( ه ص +ه -y),

منها في ذ® А تتبع الصيغ المقاربة (بشكل موحد فيما يتعلق بـ س)

|خطيئة ض| » 1/2 ه |ذ| ,

|cos ض| » 1/2 ه |ذ| .

ظهرت الدوال المثلثية لأول مرة فيما يتعلق بالبحث في علم الفلك والهندسة. تم العثور على نسب الأجزاء في المثلث والدائرة، والتي هي في الأساس وظائف مثلثية، بالفعل في القرن الثالث. قبل الميلاد ه. في أعمال علماء الرياضيات في اليونان القديمة – إقليدس وأرشميدس وأبولونيوس البيرجي وآخرون، ومع ذلك، لم تكن هذه العلاقات موضوعًا مستقلاً للدراسة، لذلك لم يدرسوا الدوال المثلثية في حد ذاتها. تم اعتبارها في البداية كأجزاء وفي هذا الشكل تم استخدامها من قبل أريستارخوس (أواخر النصف الرابع إلى الثاني من القرن الثالث قبل الميلاد)، وهيبارخوس (القرن الثاني قبل الميلاد)، ومينيلوس (القرن الأول الميلادي).) وبطليموس (القرن الثاني الميلادي) عندما حل المثلثات الكروية. قام بطليموس بتجميع أول جدول للأوتار للزوايا الحادة كل 30 بوصة بدقة 10–6. وكان هذا أول جدول للجيب. وكنسبة، فإن الدالة sin a موجودة بالفعل في أريابهاتا (نهاية القرن الخامس). تم العثور على الدالتين tg a وctg a في البتاني (النصف الثاني من القرن التاسع - أوائل القرن العاشر) وأبو الوفا (القرن العاشر)، الذي يستخدم أيضًا sec a وcosec a... عرف أريابهاتا الصيغة بالفعل ( sin 2 a + cos 2 a) = 1، بالإضافة إلى صيغ sin وcos نصف الزاوية، والتي بمساعدتها قمت ببناء جداول جيب الزوايا للزوايا حتى 3°45"؛ بناءً على القيم المعروفة للدوال المثلثية لأبسط الحجج. أعطى بهاسكارا (القرن الثاني عشر) طريقة لبناء الجداول بدلالة 1 باستخدام صيغ الجمع. تم اشتقاق صيغ تحويل مجموع واختلاف الدوال المثلثية للحجج المختلفة إلى منتج بواسطة ريجيومونتانوس (القرن الخامس عشر) وج. نابير فيما يتعلق باختراع الأخير للوغاريتمات (1614). أعطى Regiomontan جدول قيم الجيب من حيث 1". تم الحصول على توسيع الدوال المثلثية في سلسلة القوى بواسطة I. Newton (1669). تم جلب نظرية الدوال المثلثية إلى شكلها الحديث بواسطة L. Euler ( القرن الثامن عشر) وهو يمتلك تعريفهم للحجج الحقيقية والمعقدة، المقبولة الآن رمزية، وإقامة اتصالات مع الوظيفة الأسية والتعامد لنظام الجيب وجيب التمام.

لحل بعض المشاكل، سيكون جدول الهويات المثلثية مفيدًا، مما سيجعل تحويل الدوال أسهل بكثير:

أبسط الهويات المثلثية

حاصل قسمة جيب زاوية ألفا على جيب تمام الزاوية نفسها يساوي ظل هذه الزاوية (الصيغة 1). وانظر أيضاً إثبات صحة تحويل أبسط المتطابقات المثلثية.
حاصل قسمة جيب تمام الزاوية ألفا على جيب الزاوية نفسها يساوي ظل التمام لنفس الزاوية (الصيغة 2)
قاطع الزاوية يساوي واحدًا مقسومًا على جيب تمام الزاوية نفسها (الصيغة 3)
مجموع مربعات جيب التمام وجيب التمام للزاوية نفسها يساوي واحدًا (الصيغة 4). انظر أيضًا إثبات مجموع مربعات جيب التمام والجيب.
مجموع واحد وظل الزاوية يساوي نسبة واحد إلى مربع جيب تمام هذه الزاوية (الصيغة 5)
واحد زائد ظل تمام الزاوية يساوي حاصل قسمة واحد على مربع جيب هذه الزاوية (الصيغة 6)
حاصل ضرب المماس وظل التمام للزاوية نفسها يساوي واحدًا (الصيغة 7).

تحويل الزوايا السالبة للدوال المثلثية (الزوجية والفردية)

من أجل التخلص من القيمة السلبية لقياس درجة الزاوية عند حساب الجيب أو جيب التمام أو الظل، يمكنك استخدام التحويلات المثلثية (الهويات) التالية بناءً على مبادئ الدوال المثلثية الزوجية أو الفردية.

كما تبدو، جيب التماموالقاطع هو دالة زوجية, الجيب والظل وظل التمام هي وظائف غريبة.

جيب الزاوية السالبة يساوي القيمة السالبة لجيب الزاوية الموجبة نفسها (ناقص جيب ألفا).
سيعطي جيب التمام ناقص ألفا نفس قيمة جيب التمام لزاوية ألفا.
الظل ناقص ألفا يساوي ناقص الظل ألفا.

صيغ لتقليل الزوايا المزدوجة (جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام للزوايا المزدوجة)

إذا كنت بحاجة إلى تقسيم زاوية إلى النصف، أو العكس، والانتقال من زاوية مزدوجة إلى زاوية واحدة، يمكنك استخدام المتطابقات المثلثية التالية:

تحويل زاوية مزدوجة (جيب الزاوية المزدوجة، وجيب تمام الزاوية المزدوجة، وظل الزاوية المزدوجة) في حالة فردية وفقًا للقواعد التالية:

جيب الزاوية المزدوجةيساوي ضعف منتج الجيب وجيب التمام لزاوية واحدة

جيب تمام الزاوية المزدوجةيساوي الفرق بين مربع جيب تمام الزاوية الواحدة ومربع جيب هذه الزاوية

جيب تمام الزاوية المزدوجةيساوي ضعف مربع جيب تمام الزاوية الواحدة ناقص واحد

جيب تمام الزاوية المزدوجةيساوي واحد ناقص جيب مزدوج تربيع زاوية واحدة

ظل الزاوية المزدوجةيساوي كسرًا بسطه ضعف ظل زاوية واحدة، ومقامه يساوي واحدًا ناقص مربع ظل الزاوية الواحدة.

ظل التمام للزاوية المزدوجةيساوي كسرًا بسطه هو مربع ظل تمام الزاوية الواحدة ناقص واحد، ومقامه يساوي ضعف ظل التمام للزاوية الواحدة

صيغ للاستبدال المثلثي العالمي

يمكن أن تكون صيغ التحويل أدناه مفيدة عندما تحتاج إلى تقسيم وسيطة دالة مثلثية (sin α، cos α، tan α) على اثنين وتقليل التعبير إلى قيمة نصف زاوية. من قيمة α نحصل على α/2.

تسمى هذه الصيغ صيغ الاستبدال المثلثي العالمي. تكمن قيمتها في حقيقة أنه بمساعدتهم يتم تقليل التعبير المثلثي إلى التعبير عن ظل نصف زاوية، بغض النظر عن الدوال المثلثية (sin cos tan ctg) التي كانت موجودة في الأصل في التعبير. بعد ذلك، يصبح حل المعادلة ذات ظل نصف الزاوية أسهل بكثير.

الهويات المثلثية للتحولات نصف الزاوية

فيما يلي صيغ التحويل المثلثي لنصف الزاوية إلى قيمتها الكاملة.
يتم تقليل قيمة وسيطة الدالة المثلثية α/2 إلى قيمة وسيطة الدالة المثلثية α.

الصيغ المثلثية لإضافة الزوايا

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

الخطيئة (α + β) = الخطيئة α cos β + الخطيئة β cos α

الخطيئة (α - β) = الخطيئة α cos β - الخطيئة β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

الظل وظل التمام لمجموع الزوايايمكن تحويل ألفا وبيتا باستخدام القواعد التالية لتحويل الدوال المثلثية:

ظل مجموع الزوايايساوي كسرًا بسطه مجموع مماس الزاوية الأولى ومماس الزاوية الثانية، ومقامه واحد ناقص حاصل ضرب مماس الزاوية الأولى ومماس الزاوية الثانية.

ظل فرق الزاويةيساوي كسرًا بسطه يساوي الفرق بين ظل الزاوية المنقصة وظل الزاوية المطروحة، والمقام هو واحد زائد حاصل ضرب مماسات هذه الزوايا.

ظل التمام لمجموع الزوايايساوي الكسر الذي بسطه يساوي حاصل ضرب ظل التمام لهذه الزوايا زائد واحد، والمقام يساوي الفرق بين ظل التمام للزاوية الثانية وظل التمام للزاوية الأولى.

ظل تمام فرق الزاويةيساوي الكسر الذي بسطه هو حاصل ضرب ظل التمام لهذه الزوايا ناقص واحد، والمقام يساوي مجموع ظل التمام لهذه الزوايا.

تعتبر هذه الهويات المثلثية ملائمة للاستخدام عندما تحتاج إلى حساب، على سبيل المثال، ظل الزاوية 105 درجات (tg 105). إذا كنت تتخيله كـ tg (45 + 60)، فيمكنك استخدام التحويلات المتطابقة المحددة لظل مجموع الزوايا، ثم ببساطة استبدال القيم المجدولة للظل 45 والظل 60 درجة.

صيغ لتحويل مجموع أو اختلاف الدوال المثلثية

يمكن تحويل التعبيرات التي تمثل مجموع الصيغة sin α + sin β باستخدام الصيغ التالية:

صيغ الزاوية الثلاثية - تحويل sin3α cos3α tan3α إلى sinα cosα tanα

في بعض الأحيان يكون من الضروري تحويل القيمة الثلاثية للزاوية بحيث تصبح وسيطة الدالة المثلثية هي الزاوية α بدلاً من 3α.
في هذه الحالة، يمكنك استخدام صيغ تحويل الزوايا الثلاثية (الهويات):

صيغ لتحويل منتجات الدوال المثلثية

إذا كانت هناك حاجة لتحويل منتج جيب التمام من زوايا مختلفة، أو جيب التمام من زوايا مختلفة، أو حتى منتج الجيب وجيب التمام، فيمكنك استخدام الهويات المثلثية التالية:


في هذه الحالة، سيتم تحويل منتج وظائف الجيب أو جيب التمام أو الظل للزوايا المختلفة إلى مجموع أو فرق.

صيغ لتقليل الدوال المثلثية

تحتاج إلى استخدام جدول التخفيض على النحو التالي. في السطر نختار الوظيفة التي تهمنا. في العمود هناك زاوية. على سبيل المثال، جيب الزاوية (α+90) عند تقاطع الصف الأول والعمود الأول، نجد أن sin (α+90) = cos α.

يمارس.
أوجد قيمة x عند .

حل.
إن العثور على قيمة وسيطة الدالة التي تساوي عندها أي قيمة يعني تحديد الوسيطات التي ستكون فيها قيمة الجيب تمامًا كما هو موضح في الشرط.
في هذه الحالة، نحتاج إلى معرفة القيم التي ستساوي قيمة الجيب 1/2. ويمكن القيام بذلك بعدة طرق.
على سبيل المثال، استخدم لتحديد قيم x التي ستكون دالة الجيب مساوية لـ 1/2.
طريقة أخرى هي استخدام . دعني أذكرك أن قيم الجيب تقع على محور أوي.
الطريقة الأكثر شيوعًا هي الاستخدام، خاصة عند التعامل مع القيم القياسية لهذه الوظيفة، مثل 1/2.
وفي جميع الأحوال، لا ينبغي لأحد أن ينسى أحد أهم خصائص الجيب - دورته.
دعونا نجد القيمة 1/2 للجيب في الجدول ونرى ما هي الوسائط المقابلة لها. الوسيطات التي نهتم بها هي Pi / 6 و5Pi / 6.
لنكتب جميع الجذور التي تحقق المعادلة المعطاة. للقيام بذلك نكتب الوسيطة المجهولة x التي تهمنا وأحد قيم الوسيطة التي تم الحصول عليها من الجدول وهي Pi / 6. ونكتب لها مع مراعاة فترة الجيب ، جميع قيم الوسيطة:

لنأخذ القيمة الثانية ونتبع نفس الخطوات كما في الحالة السابقة:

الحل الكامل للمعادلة الأصلية سيكون:
و
سيمكن أن تأخذ قيمة أي عدد صحيح.

جيب الجيب هو أحد الدوال المثلثية الأساسية، ولا يقتصر استخدامه على الهندسة وحدها. جداول حساب الدوال المثلثية، مثل الآلات الحاسبة الهندسية، ليست في متناول اليد دائمًا، وفي بعض الأحيان يكون حساب الجيب ضروريًا لحل المشكلات المختلفة. بشكل عام، حساب الجيب سيساعد على تعزيز مهارات الرسم ومعرفة الهويات المثلثية.

العاب المسطرة والقلم الرصاص

مهمة بسيطة: كيف تجد جيب الزاوية المرسومة على الورق؟ لحل المشكلة، ستحتاج إلى مسطرة عادية ومثلث (أو بوصلة) وقلم رصاص. إن أبسط طريقة لحساب جيب الزاوية هي قسمة الضلع البعيد للمثلث مع الزاوية القائمة على الضلع الطويل - الوتر. وبالتالي، عليك أولاً إكمال الزاوية الحادة لشكل المثلث القائم عن طريق رسم خط عمودي على أحد الشعاعين على مسافة اعتباطية من رأس الزاوية. سنحتاج إلى الحفاظ على زاوية قدرها 90 درجة بالضبط، والتي نحتاج إلى مثلث كتابي لها.

يعد استخدام البوصلة أكثر دقة بعض الشيء، ولكنه سيستغرق وقتًا أطول. على أحد الأشعة، تحتاج إلى تحديد نقطتين على مسافة معينة، قم بتعيين نصف قطر على البوصلة يساوي تقريبًا المسافة بين النقاط، وارسم دوائر نصف دائرية بمراكز عند هذه النقاط حتى يتم الحصول على تقاطعات هذه الخطوط. ومن خلال ربط نقاط تقاطع دائرتنا مع بعضها البعض، نحصل على عمودي صارم على شعاع زاويتنا، كل ما تبقى هو تمديد الخط حتى يتقاطع مع شعاع آخر.

في المثلث الناتج، تحتاج إلى استخدام المسطرة لقياس الجانب المقابل للزاوية والجانب الطويل على أحد الأشعة. ستكون نسبة البعد الأول إلى الثاني هي القيمة المطلوبة لجيب الزاوية الحادة.

أوجد جيب الزاوية التي قياسها أكبر من 90 درجة

بالنسبة للزاوية المنفرجة، فإن المهمة ليست أكثر صعوبة. علينا رسم شعاع من الرأس في الاتجاه المعاكس باستخدام المسطرة لتكوين خط مستقيم مع أحد أشعة الزاوية التي نهتم بها. ينبغي التعامل مع الزاوية الحادة الناتجة كما هو موضح أعلاه؛ حيث تكون جيب الزوايا المتجاورة التي تشكل معًا زاوية عكسية قدرها 180 درجة متساوية.

حساب جيب الجيب باستخدام الدوال المثلثية الأخرى

كما أن حساب الجيب ممكن إذا كانت قيم الدوال المثلثية الأخرى للزاوية أو على الأقل أطوال أضلاع المثلث معروفة. الهويات المثلثية سوف تساعدنا في هذا. دعونا نلقي نظرة على الأمثلة الشائعة.

كيفية العثور على الجيب مع جيب تمام معروف للزاوية؟ تنص الهوية المثلثية الأولى، المستندة إلى نظرية فيثاغورس، على أن مجموع مربعي الجيب وجيب التمام للزاوية نفسها يساوي واحدًا.

كيفية العثور على الجيب مع ظل معروف لزاوية؟ يتم الحصول على الظل عن طريق قسمة الجانب البعيد على الجانب القريب أو قسمة الجيب على جيب التمام. وبالتالي، فإن الجيب سيكون منتج جيب التمام والظل، ومربع الجيب سيكون مربع هذا المنتج. نستبدل جيب التمام التربيعي بالفرق بين الوحدة وجيب التمام وفقًا للمتطابقة المثلثية الأولى، ومن خلال التلاعبات البسيطة، نختصر المعادلة إلى حساب جيب التمام المربع من خلال المماس؛ وبناءً على ذلك، لحساب الجيب، سوف يجب عليك استخراج جذر النتيجة التي تم الحصول عليها.

كيفية العثور على جيب مع ظل تمام معروف لزاوية؟ يمكن حساب قيمة ظل التمام عن طريق قسمة طول الساق الأقرب للزاوية على طول البعيد، وكذلك قسمة جيب التمام على جيب التمام، أي أن ظل التمام هو دالة عكسية للظل النسبي إلى الرقم 1. لحساب الجيب، يمكنك حساب الظل باستخدام الصيغة tg α = 1 / ctg α واستخدام الصيغة في الخيار الثاني. يمكنك أيضًا استخلاص صيغة مباشرة عن طريق القياس مع المماس، والتي ستبدو بهذا الشكل.

كيفية العثور على جيب ثلاثة جوانب للمثلث

توجد صيغة لإيجاد طول الضلع المجهول لأي مثلث، وليس المثلث القائم الزاوية فقط، من ضلعين معلومين باستخدام الدالة المثلثية لجيب تمام الزاوية المقابلة. إنها تبدو هكذا.

حسنًا، يمكن حساب جيب الجيب أيضًا من جيب التمام وفقًا للصيغ المذكورة أعلاه.

علم المثلثات هو فرع من فروع العلوم الرياضية التي تدرس الدوال المثلثية واستخدامها في الهندسة. بدأ تطور علم المثلثات في اليونان القديمة. خلال العصور الوسطى، قدم علماء من الشرق الأوسط والهند مساهمات مهمة في تطوير هذا العلم.

هذه المقالة مخصصة للمفاهيم والتعاريف الأساسية لعلم المثلثات. ويناقش تعريفات الدوال المثلثية الأساسية: جيب التمام، وجيب التمام، والظل، وظل التمام. يتم شرح معناها وتوضيحها في سياق الهندسة.

في البداية، تم التعبير عن تعريفات الدوال المثلثية التي تكون حجتها زاوية من حيث نسبة أضلاع المثلث القائم الزاوية.

تعريفات الدوال المثلثية

جيب الزاوية (sin α) هو نسبة الساق المقابلة لهذه الزاوية إلى الوتر.

جيب تمام الزاوية (cos α) - نسبة الساق المجاورة إلى الوتر.

زاوية الظل (t g α) - نسبة الجانب المقابل إلى الجانب المجاور.

زاوية ظل التمام (c t g α) - نسبة الجانب المجاور إلى الجانب الآخر.

هذه التعريفات معطاة للزاوية الحادة للمثلث القائم الزاوية!

دعونا نعطي مثالا.

في المثلث ABC ذو الزاوية القائمة C، جيب الزاوية A يساوي نسبة الضلع BC إلى الوتر AB.

تسمح لك تعريفات الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام بحساب قيم هذه الوظائف من الأطوال المعروفة لأضلاع المثلث.

من المهم أن نتذكر!

نطاق قيم الجيب وجيب التمام هو من -1 إلى 1. وبعبارة أخرى، يأخذ الجيب وجيب التمام القيم من -1 إلى 1. نطاق قيم الظل وظل التمام هو خط الأعداد بأكمله، أي أن هذه الوظائف يمكن أن تأخذ أي قيم.

تنطبق التعريفات المذكورة أعلاه على الزوايا الحادة. في علم المثلثات، تم تقديم مفهوم زاوية الدوران، والتي لا تقتصر قيمتها، على عكس الزاوية الحادة، على 0 إلى 90 درجة.يتم التعبير عن زاوية الدوران بالدرجات أو الراديان بأي رقم حقيقي من - ∞ إلى + ∞ .

في هذا السياق، يمكننا تحديد الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام لزاوية ذات حجم تعسفي. دعونا نتخيل دائرة وحدة مركزها هو أصل نظام الإحداثيات الديكارتية.

النقطة الأولية A ذات الإحداثيات (1، 0) تدور حول مركز دائرة الوحدة بزاوية معينة α وتتجه إلى النقطة A 1. يتم تقديم التعريف من حيث إحداثيات النقطة A 1 (x، y).

جيب (خطيئة) لزاوية الدوران

جيب زاوية الدوران α هو إحداثي النقطة A 1 (x, y). الخطيئة α = ذ

جيب التمام (cos) لزاوية الدوران

جيب التمام لزاوية الدوران α هو حدود النقطة A 1 (x، y). كوس α = س

الظل (tg) لزاوية الدوران

ظل زاوية الدوران α هو نسبة إحداثيات النقطة A 1 (x، y) إلى الإحداثي المحوري. تي ز α = ص س

ظل التمام (ctg) لزاوية الدوران

ظل التمام لزاوية الدوران α هو نسبة حدود النقطة A 1 (x، y) إلى الإحداثي. ج تي ز α = س ص

يتم تعريف الجيب وجيب التمام لأي زاوية دوران. وهذا أمر منطقي، لأنه يمكن تحديد الإحداثي والإحداثي للنقطة بعد الدوران بأي زاوية. الوضع مختلف مع الظل وظل التمام. يكون المماس غير محدد عندما تذهب نقطة بعد الدوران إلى نقطة ذات حدود صفرية (0، 1) و (0، - 1). في مثل هذه الحالات، التعبير عن الظل t g α = y x ببساطة لا معنى له، لأنه يحتوي على القسمة على صفر. الوضع مشابه مع ظل التمام. والفرق هو أن ظل التمام لا يتم تعريفه في الحالات التي يكون فيها إحداثي النقطة يساوي الصفر.

من المهم أن نتذكر!

يتم تعريف الجيب وجيب التمام لأي زوايا α.

يتم تعريف الظل لجميع الزوايا باستثناء α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)

يتم تعريف ظل التمام لجميع الزوايا باستثناء α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

عند حل الأمثلة العملية، لا تقل "جيب زاوية الدوران α". لقد تم ببساطة حذف عبارة "زاوية الدوران"، مما يعني أنه من الواضح بالفعل من السياق ما تتم مناقشته.

أعداد

ماذا عن تعريف الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام لعدد، وليس زاوية الدوران؟

جيب التمام، وجيب التمام، والظل، وظل التمام لعدد

جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام لعدد رهو رقم يساوي على التوالي جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام رراديان.

على سبيل المثال، جيب العدد 10 π يساوي جيب زاوية الدوران 10 π راد.

هناك طريقة أخرى لتحديد جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام لأي رقم. دعونا نلقي نظرة فاحصة على ذلك.

أي عدد حقيقي رترتبط نقطة على دائرة الوحدة بالمركز عند أصل نظام الإحداثيات الديكارتي المستطيل. يتم تحديد الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام من خلال إحداثيات هذه النقطة.

نقطة البداية على الدائرة هي النقطة (أ) بإحداثيات (1، 0).

رقم موجب، عدد إيجابي ر

عدد السلبي ريتوافق مع النقطة التي ستذهب إليها نقطة البداية إذا تحركت حول الدائرة عكس اتجاه عقارب الساعة ومرت المسار t.

الآن بعد أن تم إنشاء العلاقة بين الرقم ونقطة على الدائرة، ننتقل إلى تعريف الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام.

جيب (الخطيئة) من ر

جيب الرقم ر- إحداثية نقطة على دائرة الوحدة المقابلة للرقم ر. الخطيئة ر = ذ

جيب التمام (كوس) ر

جيب التمام لعدد ر- نهاية نقطة دائرة الوحدة المقابلة للرقم ر. كوس ر = س

الظل (tg) من ر

ظل الرقم ر- نسبة الإحداثيات إلى حدود نقطة ما على دائرة الوحدة المقابلة للرقم ر. t g t = y x = sin t cos t

تتوافق أحدث التعريفات مع التعريف الوارد في بداية هذه الفقرة ولا تتعارض معه. أشر على الدائرة المقابلة للرقم ر، يتزامن مع النقطة التي تذهب إليها نقطة البداية بعد الدوران بزاوية رراديان.

الدوال المثلثية للوسيطة الزاوية والرقمية

كل قيمة للزاوية α تتوافق مع قيمة معينة لجيب وجيب التمام لهذه الزاوية. تمامًا مثل جميع الزوايا α بخلاف α = 90 ° + 180 ° k، k ∈ Z (α = π 2 + π k، k ∈ Z) تتوافق مع قيمة ظل معينة. يتم تعريف ظل التمام، كما هو مذكور أعلاه، لجميع α باستثناء α = 180° k، k ∈ Z (α = π k، k ∈ Z).

يمكننا القول أن sin α، cos α، t g α، c t g α هي دوال للزاوية ألفا، أو دوال للوسيطة الزاوية.

وبالمثل، يمكننا التحدث عن الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام كوظائف للوسيطة العددية. كل عدد حقيقي ريتوافق مع قيمة معينة لجيب أو جيب تمام الرقم ر. جميع الأرقام غير π 2 + π · k, k ∈ Z، تتوافق مع قيمة الظل. يتم تعريف ظل التمام، بالمثل، لجميع الأرقام باستثناء π · k، k ∈ Z.

الوظائف الأساسية لعلم المثلثات

جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام هي الوظائف المثلثية الأساسية.

عادةً ما يكون واضحًا من السياق أي وسيطة للدالة المثلثية (الوسيطة الزاوية أو الوسيطة الرقمية) التي نتعامل معها.

دعنا نعود إلى التعريفات المقدمة في البداية وزاوية ألفا، التي تقع في النطاق من 0 إلى 90 درجة. تتوافق التعريفات المثلثية للجيب وجيب التمام والظل وظل التمام تمامًا مع التعريفات الهندسية المقدمة من خلال نسب العرض إلى الارتفاع للمثلث القائم الزاوية. دعونا نظهر ذلك.

لنأخذ دائرة وحدة مركزها في نظام الإحداثيات الديكارتية المستطيل. لنقم بتدوير نقطة البداية A (1، 0) بزاوية تصل إلى 90 درجة ونرسم خطًا عموديًا على محور الإحداثي المحوري من النقطة الناتجة A 1 (x، y). في المثلث الأيمن الناتج، الزاوية A 1 O H تساوي زاوية الدوران α، طول الساق O H يساوي حدود النقطة A 1 (x، y). طول الساق المقابلة للزاوية يساوي إحداثي النقطة A 1 (x، y)، وطول الوتر يساوي واحدًا، لأنه نصف قطر دائرة الوحدة.

وفقا للتعريف من الهندسة، فإن جيب الزاوية α يساوي نسبة الجانب المقابل إلى الوتر.

الخطيئة α = أ 1 ح O أ 1 = ص 1 = ص

هذا يعني أن تحديد جيب الزاوية الحادة في المثلث القائم من خلال نسبة العرض إلى الارتفاع يعادل تحديد جيب زاوية الدوران α، مع وجود ألفا في النطاق من 0 إلى 90 درجة.

وبالمثل، يمكن إظهار تطابق التعريفات لجيب التمام والظل وظل التمام.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter