بناء مقياس لوغاريتمي. المقياس اللوغاريتمي وخصائصه الأساسية. مقاييس خطر الكويكبات في تورينو وباليرمو

4. مقياس بينيه سيمون. مفهوم "العمر العقلي". مقياس ستانفورد بينيه. مفهوم "الحاصل الفكري" (IQ). أعمال V. Stern ظهر المقياس الأول (سلسلة من الاختبارات) لبينيه سيمون في عام 1905. انطلق بينيه من فكرة حدوث تطور في الذكاء

حكم الشريحة في الاجتماعات الودية

"مسطرة الشرائح في الاجتماعات الودية" قال لي أحد المهندسين ذات مرة: "إنني آخذ مسطرة معي أينما ذهبت، حتى إلى حفل عشاء حيث يبدو أنه لا فائدة منها بالنسبة لي. إلا أنها طلسم لي يقوي إيماني.متى

جدول[غرام. graphikos - منقوش] - 1) رسم يستخدم لتصوير الاعتماد الكمي لأنواع مختلفة من الظواهر بصريًا؛ 2) منحنى على المستوى يصور اعتماد دالة على وسيطة.

دعوى[لات. حجة] - متغير مستقل .

وظيفة[لات. الوظيفة - التنفيذ] - متغير تابع يتغير بطريقة ما مع تغير الوسيطة .

الرسوم البيانية هي الطريقة الأبسط والأكثر ملاءمة ومرئية لتوصيل محتوى مادة معينة للقارئ، على سبيل المثال، طبيعة التغيير في الكمية، أو العملية، أو الظاهرة، وما إلى ذلك. نظرًا لأن الرسوم البيانية يتم إدراكها بصريًا من قبل الشخص، عند إنشاء الرسوم البيانية، من الضروري مراعاة خصائص العين البشرية إلى أقصى حد واتخاذ جميع التدابير لضمان ذلك المواد الرسومية ستكون ممتعة للعين، لأنها تساهم في إدراكها الصحيح.

الرسوم البيانية هي نوع واحد من التوضيح. عند بنائها، أولا وقبل كل شيء، تحتاج إلى اختيار حجم ونسبة العرض إلى الارتفاع لحقل الرسم بحكمة. هنا يجب أن تسترشد بمزيج من عدد من العوامل - الغرض من الرسم البياني (يخدم فقط لتوضيح طبيعة اعتماد الدالة على الوسيطة، أو ستكون القيم العددية للوسائط والوظائف يتحدد منها) عدد المنحنيات في مجال الرسم، مدى تعقيد شكل المنحنيات، وجود أو عدم وجود تركيز وتقاطع عدة منحنيات في مساحة صغيرة من مجال الرسم، أي جزء من المنحنى (أفقيًا أو رأسيًا) هو الأكثر إفادة وأهمية في كل حالة محددة، وما إلى ذلك. بشكل عام، يجب ألا تختار حقل رسم أصغر من 40 × 40 مم أو أكبر من حجم ورقة A4. إذا تجاوزت هذه الأبعاد، فيجب أن يكون القرار المتخذ مبررًا جيدًا.

يتم رسم الرسوم البيانية للتقارير على ورق أبيض أو ورق تتبع شفاف. من الممكن استخدام ورق الرسم البياني (ملاءمة استخدامه واضحة)، ولكن فقط أصفر فاتح أو برتقالي فاتح، لأنه في هذه الحالة يكون التباين بين الخلفية الفاتحة والخطوط السوداء مرتفعًا، وعلى نسخة بالأبيض والأسود يكون لن يكون ورق الرسم البياني مرئيًا إلا بالكاد، ولن يتداخل مع إدراك الرسم التوضيحي. استخدام ورق الرسم البياني الأزرق أو الأزرق غير مقبول بسبب التباين المنخفض بين الخلفية الزرقاء (الزرقاء) والخطوط السوداء، مما يجعل العمل مع الرسم البياني صعبًا للغاية ويمكن أن يسبب أخطاء.

يمكن إجراء الرسوم البيانية يدويًا أو إنشاؤها بواسطة الكمبيوتر. يتم رسم محور الإحداثي والمحور الإحداثي للرسم البياني على طول الحافة المقابلة لحقل الرسم صلبخطوط مفردة يبلغ سمكها حوالي 0.5 مم. لا توجد أسهم في نهايات محاور الإحداثيات.

يجب تزويد الرسوم البيانية التي توضح التبعيات المدروسة تجريبيًا بشبكة إحداثيات تغطي مجال الرسم بالكامل. يجب أن يكون سمك خطوط الشبكة الإحداثية أقل مرتين على الأقل من سمك محاور الإحداثيات. يجب أن تكون خطوة الشبكة ملائمة للعمل مع الرسم البياني، وعادة ما يتم أخذها على الأقل 5 ملم.

عند الرسم يدويًا، يجب رسم محاور الإحداثيات وخطوط الشبكة، بالإضافة إلى المنحنى نفسه، بالحبر الأسود أو الحبر الأسود فقط؛ ولا يُسمح باستخدام المعجون وأقلام الرصاص. يوصى أولاً برسم شبكة الإحداثيات بخطوط رفيعة بالقلم الرصاص، وتتبعها بالحبر في الأماكن المناسبة فقط في نهاية العمل على الرسم البياني.

تعيين المحاور، بما في ذلك حرف التعيين نفسه، وأبعاد الكمية، مفصولة بفواصل (على سبيل المثال، أنا ، μA)، يجب أن تكون على السطح الخارجي للمحاور الإحداثية، خارج شبكة الإحداثيات، لكن لا ينبغي أن تمتد إلى ما بعد نهايات محاور الإحداثيات سواء أفقيًا أو رأسيًا في الرسم التوضيحي.

يُسمح بالنقوش التوضيحية المختصرة في مجال الرسم، ولكن يجب أن تكون موجودة بحيث لا تعيق إدراك التبعية المصورة ولا تتقاطع بأي حال من الأحوال مع منحنى الرسم البياني فحسب، بل لا تلمسه أيضًا. يجب ألا تكون هناك شبكة إحداثيات في موقع النقش (ولهذا السبب، عند رسم الرسوم البيانية يدويًا، يوصى أولاً برسم شبكة الإحداثيات بخطوط رفيعة بالقلم الرصاص).

لا ينبغي أن تكون هناك مساحات كبيرة خالية من شبكة الإحداثيات في حقل الرسم لا تشغلها منحنيات أو نقوش. لتحقيق هذا، يجب أن تبدأ علامات المقياس في الترقيم ليس من الصفر على طول المحور المقابل، ولكن يجب أن تقتصر فقط على تلك القيم التي يتم من خلالها النظر في علاقة وظيفية معينة، ما لم يتعارض مع مفهوم التآمر. في بعض الحالات، يُنصح بتحريك علامة المقياس الرقمي (الأولي) الأولى على محور الإحداثيات إلى مسافة معينة من البداية الحقيقية لهذا المحور.

يجب أن يكون عدد القيم الرقمية لعلامات المقياس معقولاً، أي مريحة للعمل مع جدول زمني. على أي حال مطلوب رقمنة الأول والأخيرعلامات النطاقعلى كل محور. يرجى ملاحظة ذلك لو يتم ترقيم العلامات الأولية لكل محور بقيم صفرية ويجب أن يؤشر على الرسم كل واحد من هذه الأصفار، ولا يجوز استبدال هذين الصفرين بصفر مشترك بسبب احتمال حدوث أخطاء كبيرة في تصور الاعتماد الوظيفي.

يمكن تحديد قيم علامات المقياس الرقمي المتعددة الأرقام بطريقتين.

في الطريقة الأولىيتم تقديمها في شكل منتج من الأعداد الصحيحة التي يمكن قراءتها بواسطة الإنسان بواسطة عامل ثابت معين، والذي تتم الإشارة إليه بجوار تعيين الحرف لمحور الإحداثيات المحدد. على سبيل المثال، يتم رسم التيار على محور الإحداثيات أنا بالأمبير، ويجب أن تحتوي علامات المقياس على القيم التالية: 0.000011، 0.000012، 0.000013، 0.000014، إلخ. وينبغي ترقيم علامات المقياس هذه بهذه الطريقة: 11، 12، 13، 14، وما إلى ذلك، ويجب وضع العامل الثابت 10 -6 في تعيين نهاية هذا المحور الإحداثي وتعيين نهايته على النحو التالي: أنا ´10 -6، أ.

في الطريقة الثانيةلجلب القيم العددية متعددة الأرقام لعلامات المقياس إلى شكل مناسب للإدراك البشري، يتم استخدام البادئات القياسية لتكوين وحدات قياس متعددة ومتعددة، وفي وحدات القياس هذه تشير إلى القيمة المرسومة على محور الإحداثيات. إن تطبيق الطريقة الثانية في المثال الذي تمت مناقشته أعلاه سيكون له النتيجة التالية: علامات المقياس سيكون لها نفس الرقمنة (11،12،13،14، الخ)، وستكون تسمية نهاية المحور الرقمي كما يلي: أنا ، ميكروا.

مع الأخذ في الاعتبار أنه في نظام الوحدات الدولي (SI) فإن البادئات القياسية لتكوين وحدات فرعية ومتعددة تغطي بهامش كبير النطاق الكامل للقيم العددية لأي كميات مستخدمة في التكنولوجيا، الطريقة الثانية لجلب القيم العددية متعددة الأرقام ​ومن الأفضل أن تكون علامات القياس على شكل مناسب للإدراك البشري.

على خلفية شبكة الإحداثيات للرسم، يتم رسم نقاط الرسم البياني (بقطر أكبر قليلاً من سمك خطوط محاور الإحداثيات) المقابلة للأزواج المترافقة المعروفة من قيم الوسيطات والوظائف، وترتبط هذه النقاط بشكل مستقيم مقاطع الخط، التي يوصى باختيار سمكها أقل بقليل من قطر النقاط المرسومة (بحيث تكون النقاط التجريبية مرئية بوضوح على الرسم البياني).

بشكل عام، الرسم البياني المستمد من البيانات التجريبية عادة ما يبدو وكأنه منحنى خشن (سيتم شرح أسباب ذلك في الأجزاء التالية من هذا البرنامج التعليمي). إذا لم يكن لمنحنى الرسم البياني حواف خشنة، فهذا يشير دائمًا إلى عدم كفاية الدقة في معرفة القيم الحقيقية للوسيطة والوظيفة.

ولتسهيل إدراك وتحليل الاعتماد الوظيفي قيد الدراسة، ينبغي تقريب الرسم البياني الناتج بخط سلس.

الرسوم البيانية التي تشرح فقط الصورة الأساسية أو النظرية للعملية هي أبسط في البناء، وعادة لا تحتوي على شبكة إحداثيات. تنتهي محاور الإحداثيات لهذه الرسوم البيانية بالسهام. يجب أن تكون تسميات المحاور الإحداثية خارج إطار الرسم البياني، لكن يجب ألا تمتد إلى ما بعد نهايات محاور الإحداثيات. لا يتم وضع علامات المقياس على محاور الإحداثيات؛ يُسمح على محاور الإحداثيات بالإشارة فقط إلى القيم المتطرفة للكميات المرسومة، وغالبًا حتى بدون ملاحظة أي مقياس.

مقاييس الرسم البياني

حجم- نسبة طول الخط على الخريطة أو الرسم إلى طوله الفعلي.

عند إنشاء الرسوم البيانية، يُفهم المقياس على أنه عدد وحدات القيمة المرسومة، أي ما يعادل خطوة واحدة من علامات المقياس أو شبكة الإحداثيات.

تتم الإشارة دائمًا إلى درجة علامات المقياس في بعض وحدات الطول - بالملليمتر والسنتيمتر والبوصة، في خلايا الشبكة، في أجزاء بطول معين.

هناك موازين موحدة وعملية.

ويستند المقياس الموحد على التقدم الحسابي، أي. سلسلة عددية تكون فيها القيمة العددية لكل عضو أكبر أو أقل من القيمة العددية للأعضاء المجاورة بعدد معين من الوحدات المقبولة. أمثلة على المقياس الموحد: 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، إلخ؛ 200، 400، 600، 800، 1000، وما إلى ذلك؛ 15، 18، 21، 24، 27، إلخ؛ 35، 36، 37، 38، 39، 40، الخ.

يجب اختيار درجة علامات المقياس في كل حالة محددة بحيث يكون مناسبًا للاستخدام، على وجه الخصوص، بحيث يكون من المناسب، إذا لزم الأمر، تقسيمها إلى العدد المطلوب من الأجزاء (في أغلب الأحيان بمقدار 2، بواسطة 3، في 4، في 5، في 10). بشكل عام، يجب تجنب قيم الخطوة الكسرية، على سبيل المثال، 1.7، 2.3، 3.14، 5.9، 11.35، 57.73، 149.29، إلخ.

خصائص المقياس الموحد:

1) إذا كانت الوظيفة والوسيطة مرتبطتين بعلاقة متناسبة بشكل مباشر، فعند استخدام المقاييس الموحدة على كلا المحورين، يبدو الرسم البياني لهذه العلاقة الوظيفية كخط مستقيم، يميل بزاوية معينة إلى محور الإحداثي السيني؛

2) إذا كانت العلاقة المدروسة بين الوسيطة والوظيفة غير متناسبة بشكل مباشر، وكان نطاق التغييرات في قيم الوسيطة واسعًا جدًا، ولكن تم رسمها على محور الإحداثي السيني بمقياس موحد، فإن الرسم البياني للدالة سيتم ضغط هذا الاعتماد الوظيفي (في الاتجاه الموازي لمحور الإحداثي السيني) للقيم الصغيرة للوسيطة، وفي الوقت نفسه سيتم تمديده للقيم الكبيرة للوسيطة.

عادةً ما يتم استخدام القياس الموحد عندما لا يكون نطاق قيم الوسيطة واسعًا.

المقاييس الوظيفية هي تلك التي تتغير فيها القيم العددية لعلامات المقياس المتجاورة حسب قانون ما يختلف عن قانون المتتابعة الحسابية، مثلا التربيعي، التكعيبي، اللوغاريتمي، الجيبي وغيرها.

كانت نقطة البداية لإدخال المقاييس الوظيفية موضع التنفيذ هي عدد من الأفكار، أهمها بالنسبة للهندسة هي الفكرتان التاليتان:

1) في بعض الحالات، من خلال تحديد المقياس المناسب لأحد محوري الإحداثيات أو كليهما، يمكنك تحويل الرسم البياني للعلاقة الوظيفية غير الخطية إلى خط مستقيم.

2) من خلال تحديد المقياس المناسب على طول محور الإحداثي السيني، يمكنك الحصول على فرصة لدراسة تفاصيل متساوية لمسار الرسم البياني عند أي نقطة في نطاق التغييرات في وسيطته - من الحد الأدنى للقيمة إلى الحد الأقصى، بغض النظر عن ذلك عرض.

دعونا نلقي نظرة على مثال التنفيذ الفكرة الأولى. دعونا ندرس المربّع الإلكتروني، أي. جهاز ينفذ العملية الرياضية لتربيع الكمية الكهربائية المدخلة X: Y = K 1 X، حيث Y هي الإشارة الكهربائية الناتجة، وK 1 هو معامل التناسب. مطلوب تقدير دقة التشغيل التربيعي.

يتم ذلك على هذا النحو. أولاً، تجريبيًا، نقطة بنقطة، يتم قياس خاصية السعة للمربع بأكبر قدر ممكن من الدقة عبر النطاق الكامل لإشارات الإدخال، في حين يجب أن يكون عدد النقاط كبيرًا جدًا، على الأقل عشرين، ويجب أن تكون النقاط في هذه الحالة يتم توزيعها على نطاق التغييرات في إشارة الإدخال، لأسباب واضحة، كلما زادت إشارة الإدخال في كثير من الأحيان.

ثم قاموا بتحويل المعادلة غير الخطية الأصلية تحليليًا إلى معادلة خطية، مع تغيير المتغيرات وفقًا لقواعد الرياضيات. في هذه الحالة يمكن القيام بذلك بطريقتين: إما إجراء الاستبدال X 2 = Z والحصول على المعادلة Y = K 1 Z، أو أخذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة وإجراء الاستبدال: ، الحصول على المعادلة ض = ك 2 س . حدد إحدى المعادلات الخطية التي تم الحصول عليها، على سبيل المثال، الثانية، واحسب القيم المقابلة للدالة Z ومعامل التناسب K 2.

قم بإعداد ورقة رسم بياني بحجم كبير بما فيه الكفاية، على الأقل 200 × 200 مم (لتقليل الخطأ في ترسيب النقاط)، وقم بتطبيق محاور الإحداثيات عليها، وقم بتعيين المحاور المقابلة لها زي مُوحدالمقاييس على كلا المحورين ورقمنة علامات المقياس. بعد ذلك، يتم تطبيق النقاط التجريبية (لا يزيد حجمها عن ثلث ملليمتر) في مجال الرسم بأكبر قدر ممكن من الدقة ويتم ربط مراكزها بشرائح من خطوط رفيعة بالقلم الرصاص.

يتم التقاط الرسم الناتج وتوجيهه بالنسبة للعين. (انظر بعين واحدة!)بحيث يمتد خط الرؤية على طول الرسم البياني. إحدى خصائص أعيننا هي أنها تلاحظ جيدًا أدنى انحناء للخط المستقيم (ولكنها عمليًا لا تلاحظ انحرافات كبيرة جدًا، تصل إلى عشرات بالمائة، في المظهر الحقيقي للمنحنيات المختلفة عن مظهرها النظري الدقيق) ). لذلك، عند التقييم البصري لدرجة استقامة مثل هذا الرسم البياني الخطي المصطنع، يتم تحديد درجة الامتثال بسهولة شديدة حقيقيالعلاقة الرياضية بين الوظيفة والحجة والقانون النظري المفترض لعلاقتهما.

إذا كان الرسم البياني يبدو واضحًا، فسيتم التوصل إلى نتيجة حول الجودة العالية للتربيع، أي. أنه في هذه الحالة، وبدقة كافية للأغراض الهندسية، تكون الخاصية التربيعية بالفعل تربيعية.

إذا انحرف الرسم البياني في جزء أو آخر عن الخط المستقيم، فهذا يشير إلى وجود خطأ ملحوظ في تنفيذ الخاصية المطلوبة (في هذه الحالة، التربيعية). من خلال تطبيق مسطرة على الرسم البياني وتحديد الفرق في إحداثيات الرسوم البيانية الحقيقية والنظرية (الخطية)، يمكنك حساب الخطأ كميًا في تنفيذ خاصية غير خطية معينة.

الفكرة الثانيةويتم تنفيذه ببساطة باستخدام ما يسمى بالمقياس اللوغاريتمي.

اللوغاريتمي هو مقياس عندما لا يتم رسم القيم العددية للكمية الفيزيائية نفسها، ولكن يتم رسم لوغاريتماتها على طول محور الإحداثيات.

حاليا الأكثر شيوعا في مجال التكنولوجيا بريجز ويعرف أيضا باسم العشري(مرتكز على 10 ) اللوغاريتمات، لذا سيتم مناقشتها بشكل أكبر.

لتسهيل إتقان المقياس اللوغاريتمي، يجب أن تفهم بوضوح بعض الخصائص المحددة للوغاريتمات.

عند استخدام مقياس لوغاريتمي، يتم استخدام مفهوم "العقد" على نطاق واسع. العقد هو جزء من المحور العددي من X min إلى X max حيث تختلف هذه الأرقام بترتيب من حيث الحجم، أي. X ماكس: X دقيقة = 10 . عادة مشروط في الأيام العشرة الأولىتسمى القطعة العددية من 1 إلى 10 (أي أن العد يبدأ من الرقم 1)، العقد الثاني- من 10 إلى 100، العقد الثالث- من 100 إلى 1000، وما إلى ذلك؛ مشروطة أيضايسمى الجزء من محور الرقم من 1 إلى 0.1 باستثناء العشرة أيام الأولى، يسمى جزء المحور العددي من 0.1 إلى 0.01 ناقص العقد الثاني قطعة من المحور العددييتم استدعاء من 0.01 إلى 0.001 ناقص العقد الثالثالخ. اللوغاريتم العشري للعقد هو بحكم التعريف يساوي واحد، أي. على المقياس اللوغاريتمي، العقد هو وحدة لوغاريتمية. يمكن تقسيم العقد إلى أي عدد صحيح "k" من الأجزاء المتساوية بقيمة . على سبيل المثال، نصف عقد (k=2) يساوي ، وثلث عقد (k=3) يساوي، وما إلى ذلك. المنتج للجميع قفأجزاء من العقد تساوي 10. (في بعض مجالات التكنولوجيا، على سبيل المثال، في الصوتيات، يتم استخدام مفهوم "أوكتاف" بدلا من عقد. الأوكتاف هو جزء من المحور العددي من X min إلى X max حيث تختلف هذه الأرقام بعامل اثنين، أي X max: X min = 2. ويمكن أيضًا تقسيم الأوكتاف على أي عدد صحيح "k" ” أجزاء متساوية لها حجم . على سبيل المثال، نصف الأوكتاف (k=2) يساوي ، وثلث الأوكتاف (k=3) يساوي، وما إلى ذلك. عمل قفأجزاء الأوكتاف تساوي 2.).

أي عدد Y أكبر من واحد ص = ث 10 ن -1،أين دبليو - العدد الصحيح أو العدد العشري الكسري المقابل للعقد الأول, n هو رقم العقد الذي يقع فيه الرقم Y. على سبيل المثال، يمكن تمثيل الرقم 2 (الموجود في العقد الأول) بالشكل 2 10 1-1 = 2 10 0، والرقم 60 (الموجود في العقد الثاني) العقد) - حيث أن 6 10 2-1 = 6 10 1، الرقم 200 مثل 2 10 2، الرقم 3160 مثل 3.160 10 3، الرقم 75340 مثل 7.5340 10 4.

أي رقم Y أقل من واحدفي نظام الأرقام العشرية يمكن تمثيلها على أنها ص = ث 10ن. على سبيل المثال، الرقم 0.2 (الموجود في العقد الأول على يسار 1) مثل 2 10 -1، الرقم 0.02 (الموجود في العقد الثاني على يسار 1) مثل 2 10 -2، الرقم 0.00316 (تقع في العقد الثالث على يسار 1) – مثل 3.16 10 -3.

كما تعلم فإن لوغاريتم أي رقم يتكون من جزأين: من الجزء الصحيح (الأيسر) - صفات،ومن الجزء الكسري (الأيمن) - العشري. صفة مميزةاللوغاريتم العشري، وهو رقم أقل من عدد الأرقام في الجزء الصحيح من الرقم، يوضح العقد الذي يقع فيه الرقم المحدد. الجزء العشري,يمثل كسرًا عشريًا، ويوضح الموقع الدقيق للرقم في عقد معين. لهذا السبب، بغض النظر عن كبر أو صغر الرقم Y=W10 n -1 أو Y=W10 n ، بغض النظر عن عقد المحور العددي الذي يوجد فيه، ولكن إذا تم تمثيل الجزء الأول منه (W) بعدد صحيح أو كسري من العقد الأول، ثم بعد اللوغاريتم، الجزء العشري للرقم Y يساوي اللوغاريتم العشري للرقم W، أي. إنه نفس الشيء بالنسبة لأي عقد - وهذا هو الموقف الأساسي لبناء مقياس لوغاريتمي.

يتم إنشاء المقاييس اللوغاريتمية على طول المحاور الإحداثية والإحداثية بطرق مختلفة.

يتم إنشاء محور الإحداثي على النحو التالي.

أولاً، وفقًا للحد الأقصى لقيم X max والحد الأدنى لقيم X min للوسيطة، يتم تحديد عدد العقود التي يجب رسمها على محور الإحداثي السيني.

إذا كان X max وX min ضمن نفس العقد، فسيتم رسم عقد واحد أو الجزء الضروري منه على محور الإحداثي السيني. إذا كان X max وX min ينتميان إلى عقود مختلفة، فسيتم رسم العدد المطلوب من العقود أو الأجزاء الضرورية منها على محور الإحداثي السيني. على أية حال، إذا كان الجزء المطلوب من العقد أكثر من نصفه، فمن المستحسن أن تأخذ عقدًا كاملاً بدلاً من هذا الجزء من العقد - فهذا يسهل إلى حد كبير بناء الرسم البياني وإدراكه.

ولنوضح ما سبق بمثال. دع محور الإحداثي السيني يرسم الإزاحة من X min = 15 ميكرومتر = 0.015 مم إلى X max = 60 مم . من الواضح أن X max يشير إلى العقد الثاني على يمين 1، ويشير X min إلى العقد الثاني على يسار 1، أي. يجب أن يكون محور الإحداثي 4 عقود. نظرًا لأن قيم X max و X min لا تتزامن مع الحدود المقبولة عادةً للعقود، فلنقدر نسبة العقود الأولى (من اليسار إلى اليمين) والعقود الأخيرة التي يشغلها نطاق قيم الوسيطات.

مع الأخذ في الاعتبار خصائص اللوغاريتمات - لوغاريتم المنتج يساوي مجموع اللوغاريتمات، نحدد: logX min = log0.015 = log(1.5 10 -2) = log1.5 + log(10 -2) = (» 0.18) + (-2 ) » -1.82، أي بالعد إلى يسار 1 (بما أن log1 = 0، وهذا الصفر هو نقطة البداية للوحدات اللوغاريتمية)، فإن الحجة تحتل »1.82 أطوال هندسية من العقود. ويترتب على ذلك أنه في العقد الموجود في أقصى اليسار (أي في العقد الأول من اليسار إلى اليمين)، » يتم استخدام 82% من الطول الهندسي للعقد، لذلك ينبغي تخصيص عقدين كاملين إلى يسار 1. وبالمثل logX m ax = log60 = log(6 10 1) = log6+ log(10 1) = (» 0.78) + 1 » 1.78، أي بالعد إلى اليمين من 1 (أي من صفر وحدات لوغاريتمية)، تحتل الحجة »1.78 أطوال هندسية من العقود. ويترتب على ذلك أنه في العقد الموجود في أقصى اليمين (أي في العقد الأخير من اليسار إلى اليمين)، » يتم استخدام 78% من الطول الهندسي للعقد، لذلك يجب أيضًا وضع عقدين كاملين جانبًا على يمين 1.

في المجموع، ينبغي تخصيص أربعة عقود كاملة جانبًا على محور الإحداثيات في هذا المثال، حيث يستقر النطاق الكامل لقيم الوسيطة من 15 ميكرومتر إلى 60 ملم "بشكل مريح". من أجل التيسير، في هذا المثال، يجب اعتبار نقطة البداية للعقود هي النقطة الموجودة في أقصى يسار محور الإحداثيات.

كيف ينبغي تعيين محور الإحداثيات وكيف ينبغي ترقيم علامات المقياس المطابقة لحدود العقود، وكذلك العلامات خلال العقود، على سبيل المثال، X min وX max؟

يتم رسم لوغاريتمات الوسيطة على محور الإحداثيات، لذلك يجب تحديد محور الإحداثيات رسميًا بشكل صارم " إل جي إكس”, دون تحديد الأبعاد ، نظرًا لأن اللوغاريتم، حسب التعريف، هو دائمًا رقم بلا أبعاد (التسمية "lgX, mm" هي خطأ فادح).يجب أن تحتوي علامات المقياس على حدود العقد على رقمنة تتوافق مع لوغاريتمات القيم العددية لهذه الحدود. في المثال قيد النظر، ستكون هذه هي الأرقام التالية (يتم حسابها من اليسار إلى اليمين): -2، -1، 0، 1، 2. العلامة المقابلة لـ X min = 15 ميكرومتر سيكون لها رقمنة تبلغ -1.82، و العلامة المقابلة لـ X max = 60 مم، سيكون لها رقمنة +1.78. يظهر الشكل الصارم نظريًا لمحور الإحداثيات على مقياس لوغاريتمي لشروط هذا المثال. 5.

من الواضح أن الشكل الصارم نظريًا لمحور الإحداثيات على المقياس اللوغاريتمي غير مريح للغاية للاستخدام العملي: أولاً، عند النظر إلى هذا المحور، من المستحيل تحديد أبعاد الوسيطة، ما لم يكن هناك نقش توضيحي في الرسم مجال؛ ثانيًا، وهذا هو الشيء الرئيسي، سيتعين عليك دائمًا تحويل القيم الحقيقية للوسيطة عقليًا إلى لوغاريتماتها وإعادتها، وهو أمر مزعج للغاية عند النقاط المتوسطة على المحور.

الشكل 5: عرض صارم نظريًا لمحور الإحداثيات على مقياس لوغاريتمي

ولتفادي هذه الصعوبات اتفقنا على ما يلي. يتم رسم لوغاريتمات قيم الوسيطات المقابلة فعليًا على محور الإحداثيات، ولكن يتم ترقيم هذه النقاط بواسطة قيم الوسيطات التي تم رسم لوغاريتماتها . تتم الإشارة إلى محور الإحداثيات بالتسمية المقابلة للوسيطة المحددة دون تحديد رمز اللوغاريتم، كما تتم الإشارة إلى البعد المستخدم للوسيطة المحددة، على سبيل المثال، X، مم؛ و، هرتز. أنا، μA، الخ. راي عاميظهر الشكل 1 نفس محور الإحداثيات على مقياس لوغاريتمي. 6.

الشكل 6: العرض المقبول عمومًا لمحور الإحداثيات على مقياس لوغاريتمي

وقد لوحظ أعلاه أن موضع علامات المقياس للأرقام المقابلة لها خلال كل عقد، أي. داخل وحدة لوغاريتمية واحدة (LU)، نفس الشيء تمامًا، لذلك سننظر في عملية تطبيقها خلال عقد واحد فقط، للتبسيط - الأول، وللسهولة سنأخذ الطول الهندسي للعقد ليكون كبيرًا: 1 ​​LU = 100 ملم (الشكل 7).

الشكل 7: رسم توضيحي لعملية تطبيق علامات المقياس خلال عقد واحد

لوغاريتمات الأعداد الصحيحة للعقد الأول: log1 = 0، log2 "0.3، log3" 0.48، log4 "0.6، log5" 0.7، log6 "0.78، log7" 0.85، log8 "0، 9، log9 » 0.95، log10 = 1.0. يتم رسم المقاطع ذات الطول المقابل على محور الإحداثيات، ويتم ترقيم النقاط الناتجة بأرقام تتوافق مع هذه اللوغاريتمات. عادة لا يتم تطبيق علامة "1.5" على المحور الإحداثي، خاصة إذا كان الطول الهندسي للعقد صغيرا؛ هنا يتم تطبيق هذه العلامة (lg1.5 » 0.18 LE) كمثال لتطبيق علامة الرقم الكسرية على المحور.

تختلف رقمنة علامات العقود الأخرى فقط من حيث أن القيم العددية للعلامات تتغير حسب العدد المقابل من أوامر الحجم، على سبيل المثال، العلامة المقابلة لوغاريتم الرقم 2 ستتم رقمنتها في العقود اللاحقة، على التوالي، 20، 200، 2000، وما إلى ذلك، وفي العقود السابقة، على التوالي، 0.2، 0.02، 0.002، وما إلى ذلك.

بالنسبة لطول معين للمحور الإحداثي L مثلا 125 مم، فإن الطول الهندسي لعقد واحد L d يعتمد على عدد العقود m التي يجب وضعها على هذا المحور: L d = L axis /m، على سبيل المثال , مع m = 4 L d = L المحور:m = 125:4 » 31 ملم. الرقم الناتج غريب وغير مريح للعمل به، لذا فهو كذلك ومن المستحسن التقريب إلى أقرب رقم زوجي، مريحة للتحجيم،على سبيل المثال، خذ L d = 30 ملم.وفقًا للطول الهندسي المخصص للعقد، ستتغير أيضًا المسافات الهندسية للعلامات من بداية العقد، ولكن أطوالها، معبرا عنها بالكسور من طول العقد, ستبقى دائما دون تغيير.

إحدى خصائص اللوغاريتمات هي: log0 = - ¥، وهو أمر من المستحيل تصويره بيانياً. لذلك، إذا كانت X min = 0 وكان هذا الظرف مهمًا بشكل أساسي لعرضه على الرسم البياني، فيمكنك المتابعة على النحو التالي. على محور الإحداثي السيني، الذي يتراجع قليلاً إلى اليمين من بدايته المادية، يتم تطبيق العلامة "0" (صفر)، ثم يتم مقاطعة محور الإحداثي المحوري الصلب بطول قصير معين، ويتم تصويره كخط متقطع، ثم يتم تصويره مرة أخرى على أنه صلبة ومقسمة إلى عقود، بدءًا من بعض قيم الحجج الصغيرة (بمعنى المشكلة). على سبيل المثال، إذا كان X min = 0 مم، وX max = 60 مم، فإن مظهر محور الإحداثي السيني سيكون كما يلي (الشكل 8).

الشكل 8 رسم توضيحي لبناء المحور السيني على مقياس لوغاريتمي في الحالة عندما

الحد الأدنى لقيمة الوسيطة هو صفر

يتم إنشاء المحور الإحداثي على مقياس لوغاريتمي على النحو التالي.

يتم رسم قيم الوظيفة على طول المحور الإحداثي ليس في وحدات القياس الخاصة بها (المليمتر، الأمبير، فولت، الدرجات، وما إلى ذلك)، ولكن في الوحدات الرياضية الاصطناعية - ديسيبل (ديسيبل)، وهو عُشر الأبيض (ب).

تاريخ ظهور هذه الوحدات هو كما يلي. في نهاية القرن التاسع عشر، بدأ إدخال الطاقة الكهربائية موضع التنفيذ بسرعة، ومن ثم نشأت مشكلة مقارنة قوى مصادر الطاقة الكهربائية المختلفة وقدرة مستهلكي الكهرباء المختلفين، والتي تتمثل في حقيقة أن هذه النسب في كثير من الأحيان تميزت بأعداد كبيرة جدًا، والتي كانت غير مريحة للغاية للعمل. ثم تذكروا أن خاصية اللوغاريتمات هي تقليل القيمة العددية للنسب الكبيرة جدا، ولذلك اقترح توصيف نسبة القدرة للمصادر أو المستهلكين للكهرباء وليس بالقيمة المطلقة لنسبة القدرة P 1 / P 2، ولكن من خلال لوغاريتم سجل النسبة هذا(P 1 / P 2).

سميت وحدة نسبة الطاقة اللوغاريتمية "بل" تكريما لمخترع الهاتف. واحد أبيض يتوافق مع نسبة الطاقة 10:

N = السجل [(P 1 / P 2) = 10] = 1 B.

أصبح من الواضح تدريجيًا أن bel وحدة كبيرة جدًا، واتضح أنه أكثر ملاءمة لاستخدام أعشار bel - ديسيبل (dB)، وبالتالي اتخذ التعبير لتحديد نسبة الطاقة الشكل التالي: N = 10 log( ف 1 / ف 2)، ديسيبل.

اتضح أنه من الملائم التعبير بالديسيبل عن نسب المعلمات الأخرى للطاقة الكهربائية - التيار والجهد، ولكن في نفس الوقت تغير العامل "10" أمام اللوغاريتم، نظرًا لأن الطاقة والتيار (والجهد) ترتبط بعلاقة تربيعية: P = i 2 R، حيث R هي مقاومة الحمل. ومن المنطقي مقارنة قوة مصادر الطاقة (والمستهلكين) بنفس مقاومات الحمل

يتم الحصول على تعبير مماثل لنسبة الجهد.

نظرا لراحة التعبير النسبالكميات من حيث الديسيبل، بدأ استخدامها تدريجياً لتقدير نسب شدة (قيم) الكميات الأخرى، بما في ذلك الكميات غير الكهربائية.

عندما تكون النسبة (X 1 /X 2) > 1 فإن لوغاريتم هذا الرقم يكون موجباً، أما عندما يكون (X 1 /X 2)< 1, то логарифм отрицателен, и вычислять его хлопотно. Удобней сделать так: если отношение (X 1 /X 2) < 1, то проще определить логарифм обратного отношения X 2 /X 1 , а полученному результату приписать знак “минус”, потому что абсолютное значение логарифма будет одним и тем же. Например, X 1 = 10, а X 2 =20. Тогда X 1 /X 2 = 10/20 = 0,5 , lg0,5 = lg(5 10 -1) = lg5 + lg(10 -1) = 0,699 - 1 = -0,301. Если же взять обратное соотношение X 2 /X 1 = 2, lg2 = 0,301, т.е. получаем ту же самую цифру, только с другим знаком, зато процесс вычисления резко упрощается.

بشكل أساسيلا يمكن التعبير عنها إلا بالديسيبل نسبةالكميات، ولكن نظرًا لأن الديسيبل مناسب جدًا للعمل به، فغالبًا ما يتم التعبير عن القيم المطلقة للكميات بهذه الوحدات، وذلك باستخدام حقيقة أنه يمكن تمثيل أي رقم X كـ X/1، فلن تتغير القيمة الرقمية. ثم log(X/1) = logX – log1 = logX – 0 = logX. تنتشر هذه التقنية على نطاق واسع في نظرية التحكم الآلي والإلكترونيات الراديوية وعدد من مجالات العلوم والتكنولوجيا الأخرى.

عادة، المحور الإحداثيعلى المقياس اللوغاريتمي، يشار إليه بالرمز المقبول لهذه الوظيفة، مشيرًا، مفصولة بفواصل، إلى الوحدة "dB"، على سبيل المثال، U، dB؛ X، ديسيبل. ك، ديسيبل، الخ. عادةً ما يتم تطبيق علامات المقياس على المحور الإحداثي على مقياس موحد ويتم ترقيمها بالعدد المقابل من الديسيبل.

قيمة X تساوي واحدًا (X = 1) تتوافق مع صفر مقياس الديسيبل، لأن log1 = 0. لذلك، يمكن أن تكون علامات العلامات على المحور الإحداثي على مقياس لوغاريتمي إما "زائد" أو "ناقص"، اعتمادًا على قيمة القيمة التي يتم رسمها. يمكن وضع علامة "0، ديسيبل" في أي مكان على المحور الإحداثي (عند أي ارتفاع يتم قياسه من نقطة بدايته المادية) - حيث يكون ذلك مناسبًا لإنشاء الرسم البياني وإدراكه.

العلامات الرسمية لاستخدام المقياس اللوغاريتمي لإنشاء أي محور إحداثي هي كما يلي:

1) وجود علامات مقياس على محور الإحداثيات، تختلف قيمها العددية بترتيب من حيث الحجم (10 مرات)، والمسافات الخطية المتساوية بينها؛

2) توزيع غريب لعلامات المقياس على محور الإحداثيات خلال عقود وخطوط الشبكة المقابلة - متفرقة في بداية العقد وتتكثف تدريجياً مع اقترابها من نهاية العقد؛

3) رقمنة علامات الشبكة بالديسيبل.

لتحديد مقياس لوغاريتمي، يكفي وجود واحدة على الأقل من هذه الميزات.

تتميز جميع المقاييس اللوغاريتمية بالمجموعة التالية من الخصائص:

1) هناك احتمال مفصلة بنفس القدر وفي نفس الوقت خذ بعين الاعتبار ميزات الرسم البياني في جميع مجالات قيم الوسيطات، سواء بالنسبة للقيم الصغيرة جدًا أو الكبيرة جدًا؛

2) الخطأ النسبي في تحديد إحداثيات أي نقطة على الرسم البياني هو نفسه على طول المحور بأكمله المبني على مقياس لوغاريتمي، ويتم تحديده بنسبة الحجم الهندسي للنقطة على الرسم البياني في الاتجاه الموازي لهذا المحور والطول الهندسي للعقد المقابل؛

3) الرسوم البيانية لعدد من التعبيرات الرياضية المعقدة يستطيعتتحول إلى مقاطع مستقيمة إذا تم رسم كلا المحورين على مقياس لوغاريتمي؛

4) من المستحيل بشكل أساسي رسم النقاط المقابلة للقيمة الصفرية للوسيطة و (أو) الدالة على المحاور اللوغاريتمية log0 = -¥ (إذا كان من الضروري الحصول على هذه النقاط، فيجب على المرء اللجوء إلى التقنيات الاصطناعية - انظر أعلاه)؛

5) عند استخدام المقاييس اللوغاريتمية على كلا المحورين، يكون الرسم البياني للاعتماد التناسبي المباشر على شكل قطعة خط مستقيم.

إن تدفقات الطاقة الضوئية التي تسقط على شبكية أعيننا من الشمس ومن النجوم تختلف مليارات المرات! لكن العين ترى كلا الأمرين. لا توجد أداة قياس فنية أخرى تتمتع بمثل هذا النطاق الواسع من الحساسية. لإجراء القياسات، يتم استخدام مكبرات صوت خاصة أو "مخففات" (مرشحات) للإشارة، وتتعامل أعيننا مع هذه المشكلة نفسها. وليس العيون فقط. نحن نسمع صرير البعوض وزئير الطائرة، لكن ضغط الصوت يختلف أيضًا مليارات المرات. كيف تعمل مشاعرنا على هذا النطاق الواسع؟ اتضح أنهم يستخدمون "خدعة رياضية" واحدة - تحويل مقياس القياس.

في الحياة اليومية، كقاعدة عامة، نستخدم لقياس كميات مختلفة. المقاييس الخطية: لقياس الطول - الأمتار والأميال والقدمين، ولإظهار الوزن - بالجرام والأطنان والرطل، والدرجات المئوية أو الفهرنهايت - لدرجة الحرارة. في العلوم، يكون نطاق القياسات أوسع بكثير مما هو عليه في الحياة اليومية، لذلك يعمل العلماء غالبًا بمراتب أسية، ويكتبون الأرقام فيما يسمى بالرموز العلمية، والتي يتم تحديدها على الآلات الحاسبة باسم "الترميز العلمي". على سبيل المثال، بدلا من 56000 يكتبون 5.6 ´ 10 4. في الأساس، هذا هو تدوين لوغاريتمي، على الرغم من أن الأس عادة ما يترك فقط الجزء بأكمله من اللوغاريتم، ويتم كتابة الجزء العشري - الجزء الكسري من اللوغاريتم - ككسر عشري. هذا مناسب: يشير الأس بالكامل على الفور إلى منطقة القياس - "ترتيب الحجم". في مثالنا، يشير الإدخال "10 4" إلى أننا نتحدث عن عشرات الآلاف. يحدد الرقم العشري معنى الرقم، وعادةً ما يتوافق عدد الأرقام مع دقة القياس، ويشير الإدخال "5.6" إلى أن القياس من المحتمل أن يكون دقيقًا بنسبة 1٪ تقريبًا.

دون وعي، غالبًا ما نستخدم هذا التمثيل للأرقام في الحياة اليومية. عندما نقول "ثلاثة ملايين ونصف" أو نستخدم الصيغة المختصرة "3.5 مليون"، فإننا في الواقع نستخدم الترميز العلمي (3.5 ´ 10 6). وكما تبين، فإن ميلنا الضمني نحو التمثيل اللوغاريتمي للأرقام له أساس فسيولوجي عميق: فالحقيقة هي أن أعضاء الحواس المختلفة في أجسامنا تستخدم أيضًا مقاييس لوغاريتمية.

ويبدو أن هذا كان أول من لاحظه الفيزيائي الفرنسي بيير بوغيه (1698-1758)، الذي اكتشف في تجاربه على الشاشات المضيئة أن العين تسجل الاختلاف النسبي في سطوع الأسطح. وقد صيغ هذا الاكتشاف على شكل قاعدة واضحة من قبل عالم وظائف الأعضاء الألماني إرنست هاينريش فيبر (1795-1878) الذي درس حساسية العضلات والجلد. لقد أثبت أننا لا ندرك تغيرًا مطلقًا، بل نسبيًا في قوة التحفيز. على سبيل المثال، إذا كان لديك وزن يزن 10 جرام في يدك، فستشعر بثقة بإضافة وزن آخر من نفس الوزن إليه؛ لكن إذا كنت تحمل وزنًا قدره 10 كجم، فلن تشعر بإضافة وزن 10 جرام إليه. وفي وقت لاحق تم تأكيد ذلك للحواس الأخرى - الرؤية والسمع والذوق. اتضح أن حساسيتنا نسبية، وعادة ما تكون دقة الحواس نسبة قليلة.

في عام 1858، صاغ الفيزيائي وعالم النفس الألماني غوستاف تيودور فيشنر (1801-1887) هذا رياضيًا: إن شدة الإحساس الذي ندركه تتناسب مع لوغاريتم قوة التحفيز. يُسمى هذا القانون بقانون فيبر-فيشنر، أو القانون النفسي الفيزيائي الأساسي. وغالبًا ما يتم صياغته على النحو التالي: "عندما تتغير قوة المحفز في تقدم هندسي، فإن شدة الإحساس تتغير في تقدم حسابي". وبطبيعة الحال، فإن نطاق صلاحية هذه القاعدة ليس غير محدود؛ ويظل هذا صحيحًا بالنسبة للمحفزات التي ليست ضعيفة جدًا (أعلى من عتبة الحساسية) وليست قوية جدًا (تحت عتبة الألم).

الآليات البيولوجية لتنفيذ قانون فيبر-فيشنر ليست واضحة تمامًا بعد. لذلك، نلاحظ فقط كيف تتجلى هذه الميزة لتصورنا في العلوم والتكنولوجيا. ويرد في الجدول بعض المقاييس اللوغاريتمية المقبولة عمومًا، والتي يحددها اختيار معاملات التناسب.

طاولة. المقاييس اللوغاريتمية

المراسلات المتبادلة بينهما هي: 1 dex = 1 B = 10 dB = -2.5 mag » 2,303 خبرة. لاحظ أنه في كل هذه المقاييس، لا تشير الأيقونة الموجودة بعد الرقم إلى البعد المادي للكمية، بل إلى نوع المقياس. تعبر جميع المقاييس اللوغاريتمية عن نسبة كميتين فيزيائيتين لهما نفس الاسم. لذلك، يمكن أن يعني الإدخال "0.5 dex" إما زيادة قدرها 3.16... مرات في الدخل السنوي للشركة (على سبيل المثال، من 86 إلى 272 مليون روبل)، أو زيادة قدرها 3.16... مرات في متوسط ​​إنتاج الحليب الأبقار في المزرعة (على سبيل المثال، من 1500 إلى 4750 لترا سنويا).

حجم ونبرة الصوت - الأبيض، ديسيبل، أوكتافات

في مقياس اللوغاريتم العشري العادي، تسمى وحدة القياس بيل تكريما للمخترع الأمريكي للهاتف، ألكسندر جراهام بيل (1847-1922). في كثير من الأحيان، يتم استخدام الجزء العاشر - ديسيبل. وتستخدم كلتا الوحدتين بشكل رئيسي في الصوتيات لقياس مستويات شدة الصوت وضغط الصوت، وكذلك في الهندسة الكهربائية. فرق المستوى بمقدار 1 ديسيبل يعني نسبة 10 0.1 = 1.2589... مرة. ثلاثة ديسيبل تقريبًا مضاعفة. في الصوتيات، صوت بالكاد مسموع (الضغط حوالي 2 ´ 10 –5 نيوتن / م 2)، بحيث أنه عند مستوى صوت 90 ديسيبل يكون ضغط الصوت على طبلة الأذن أكبر بمليار مرة من الهمس الذي لا يمكن إدراكه.

ومع ذلك، فإن وحدات بيل والديسيبل لها ميزة تجعل من الصعب استخدامها خارج نطاق الهندسة الصوتية والكهربائية. النقطة المهمة هي أن هذه المقاييس اللوغاريتمية يتم تعريفها بشكل مختلف بالنسبة للكميات الفيزيائية المختلفة. التعريف المقدم أعلاه يستخدم فقط لكميات "الطاقة" التي تشمل القدرة والطاقة وتدفق الطاقة... وبالنسبة لكميات "الطاقة" (الجهد والتيار والضغط وشدة المجال...) تعريف مختلف للأبيض والديسيبل يتم استخدامه، على سبيل المثال، شدة الصوت (تدفق الطاقة) وضغط الصوت مرتبطان بالعلاقة أنا ~ ص 2. إن غموض البليس والديسيبل يجعل وحدة dex أكثر ملاءمة، والتي يتم استخدامها بشكل متزايد.

إذا أدركنا سعة موجة الصوت على أنها جهارة الصوت، فإننا ندرك ترددها على أنه درجة الصوت. وفي هذه الحالة، يكون قانون Weber-Fechner صحيحًا: فنحن ندرك أن الأصوات المختلفة متباعدة بشكل متساوٍ في الارتفاع إذا كانت نسب تردداتها متساوية. تُستخدم الوحدات اللوغاريتمية لقياس الفترات الموسيقية. أهمها هو الأوكتاف، وهو الفاصل بين صوتين، تردد أحدهما ضعف تردد الآخر. أصبح مفهوم الأوكتاف شائعًا بشكل متزايد خارج المجال الموسيقي، حيث أن الأعداد في الشكل 2 نتستخدم على نطاق واسع في الإلكترونيات النبضية، وخاصة في مجال الحوسبة. صحيح، في هذه المناطق عادة ما يتم استبدال كلمة اوكتاف بالكلمة قليل(رقم ثنائي).

سطوع مصادر الضوء - مقياس الحجم

يقيس علماء الفلك "تألق" الأجرام السماوية بالمقادير النجمية. هذه كمية بلا أبعاد تميز الإضاءة الناتجة عن جسم سماوي بالقرب من الراصد. وكما نرى، يستخدم علماء الفلك كلمة التألق لوصف الإدراك البصري الذي لا يتطابق تمامًا مع ما هو متعارف عليه في الحياة اليومية. تتم الإشارة إلى تألق مصدر واحد من خلال مقارنته بتألق مصدر آخر، والذي يتم أخذه كمعيار. عادةً ما تكون هذه المعايير بمثابة نجوم مختارة خصيصًا.

أساس مقياس الحجم هو الجذر الخامس لـ 100. وهذا تكريم للتقاليد التاريخية التي ليس لها أي مبرر عقلاني. لأغراض القياس الضوئي الفلكي، ستكون بيلات كافية تماما، لكن الأحجام النجمية ولدت في وقت سابق بكثير، والآن من الصعب رفضها. يُشار إلى الحجم بالحرف اللاتيني "m" (من الحجم اللاتيني - الحجم). من بين الشذوذات في هذا المقياس، هناك شيء آخر - اتجاهه هو العكس: كلما زاد الحجم، أضعف سطوع الكائن. على سبيل المثال، نجم ذو حجم 2 (2 م) أكثر سطوعًا بمقدار 2.512 مرة من نجم من الدرجة الثالثة (3 م) وعلى 2.512 ´ 2.512 = 6.310 مرة أكثر سطوعًا من نجم من الدرجة الرابعة (4 م)، إلخ.

الحساسية الكيميائية - مقياس الحموضة

مقياس التفاعل الكيميائي للبيئة، ما يسمى بمقياس الحموضة، قريب جدًا أيضًا من مقياس الحجم. اسمحوا لي أن أذكرك أن قيمة الرقم الهيدروجيني المعروفة لأطفال المدارس وكل من يستخدم مستحضرات التجميل يتم تحديدها من خلال العلاقة: الرقم الهيدروجيني = – سجل، حيث يوجد تركيز أيونات الهيدروجين الموجبة في المحلول. في هذه الحالة، الماء النقي في درجة حرارة الغرفة (وسط محايد)، الذي = 10 –7، يؤخذ كنقطة الصفر. علاوة على ذلك، مع زيادة الحموضة، تنخفض قيمة الرقم الهيدروجيني - ما هو مقياس الحجم؟ كلما ارتفعت الحموضة، انخفضت قيمة المؤشر، فقط قاعدة اللوغاريتم ليست 2.512... (كما هو الحال مع المقادير النجمية)، ولكن 10.

كما تعلمون، كانت المؤشرات الكيميائية الأولى هي براعم التذوق لدينا، والتي يستخدمها الطهاة اليوم فقط، ولكن في الماضي كان يستخدمها الكيميائيون أيضًا. لذلك، ليس من المستغرب أن يظهر مقياس التركيز اللوغاريتمي في الكيمياء: لقد عمل قانون ويبر-فيشنر، الذي تطيعه جميع حواسنا، بما في ذلك أعضاء التذوق.

إدراك الظواهر النفسية - مقياس العاطفة

باستخدام العديد من الأمثلة، سنرى أنه ليس فقط المقاييس الفسيولوجية، ولكن أيضًا المقاييس العقلية التي تحدد قوة عواطفنا هي أيضًا ذات طبيعة لوغاريتمية: بالنسبة لتقييماتنا الذاتية للانطباع الذي يحدث علينا، نختار دون وعي "خطوات" في شكل تقدم هندسي.

كمثال معروف، لنبدأ بـ "مقياس لانداو"، الذي قام بموجبه فيزيائينا الشهير بتقييم مزايا زملائه. هكذا يتذكر الأكاديمي V. L. Ginzburg هذا: "... كان لدى لانداو "مقياس الجدارة" في مجال الفيزياء. كان المقياس لوغاريتميًا (حققت الفئة 2 إنجازات أقل بعشر مرات من إنجازات الفئة 1). من بين علماء الفيزياء في قرننا هذا، أينشتاين فقط حصل على الدرجة 0.5؛ والفئة الأولى ضمت بور، وديراك، وهايزنبرغ وعدد آخر..."

يتحدث طلاب آخرون من الفيزيائي العظيم عن مقياس لانداو بشكل مختلف قليلاً: "لقد خصص لانداو أرقام "النجوم" لعلماء الفيزياء العظماء حول العالم. أنت تعلم أن النجم من الدرجة الأولى هو نجم شديد السطوع، والنجم من الدرجة الثانية أقل سطوعًا، وما إلى ذلك. خصص لانداو نصف القيمة لأينشتاين وبور ونيوتن - 0.5. ديراك، هايزنبرج هم نجوم من الدرجة الأولى. لقد أعطى لنفسه القيمة الثانية.

لا يزال من غير الواضح ما إذا كان اللوغاريتم يعتمد على أي قاعدة - 10 أو 2.512... - استخدم ليف لانداو لتحديد مستوى عبقرية علماء الفيزياء النظرية. هناك شيء واحد مؤكد: بالنسبة لهذه التقييمات العاطفية والذاتية البحتة، استخدم مقياسًا لوغاريتميًا.

لقد لاحظت بالفعل أننا في الحياة اليومية نستخدم غالبًا المقياس اللوغاريتمي. يمكن إعطاء الأمثلة لفترة طويلة. لذلك، نحن نقسم الأغنياء إلى مليونيرات ومليارديرات. نحن نقسم المدن حسب عدد السكان إلى مليون ومائة ألف شخص. عند شراء المنتجات من أحد المتاجر، نحاول توفير الروبلات، ولكن عند التفكير في شراء ثلاجة أو تلفزيون جديد، فإننا ننتبه فقط إلى مئات الروبلات. كما هو الحال في المقاييس الفسيولوجية، في القضايا العاطفية اليومية، لا نرى فرقًا مطلقًا، بل نسبيًا. علاوة على ذلك، يصبح الأمر ملحوظًا وهامًا بالنسبة لنا عندما يتجاوز عدة بالمائة من القيمة المقاسة. ويبدو أن حساسية "مقياس المشاعر" الخاص بنا تقترب من حساسية العين والأذن والمستقبلات الفسيولوجية الأخرى.

خذ بعين الاعتبار أحد المقاييس "العاطفية" المقترحة في السنوات الأخيرة.

مقاييس خطر الكويكبات في تورينو وباليرمو

وبشكل عام، فإن مقياس بينزيل يشبه مقياس ريختر، الذي يستخدمه علماء الزلازل للإشارة إلى إطلاق الطاقة من الزلازل. كلاهما مفهوم تمامًا لغير المتخصصين، وهذه هي مصلحتهم التي لا شك فيها. يتيح لك مقياس تورينو تصنيف الكويكبات والأجرام السماوية الأخرى (مع الأخذ في الاعتبار حجمها وسرعتها بالنسبة لكوكبنا) إلى 11 مستوى من الخطر على أبناء الأرض. ولا يأخذ في الاعتبار احتمال اصطدام كويكب بالأرض فحسب، بل يأخذ أيضًا في الاعتبار الدمار المحتمل الذي يمكن أن تسببه الكارثة.

وكما يتبين من الجدول، فإن الفئة صفر تشمل تلك الأجسام التي يمكننا القول بثقة أنها لن تصل إلى سطح الأرض؛ إلى الأول - أولئك الذين ما زالوا يستحقون المراقبة الدقيقة؛ أما الثاني والثالث والرابع فيشمل الكواكب الصغيرة التي تسبب قلقًا مبررًا. وتشمل الفئات الخامسة إلى السابعة الأجسام التي تهدد الأرض بشكل واضح، ولا شك أن الأجسام من الفئات الثلاثة الأخيرة ستصطدم بكوكبنا، ويمكن أن تكون العواقب على محيطها الحيوي محلية أو إقليمية أو عالمية. لقد أثبت مقياس تورينو فائدته في تصنيف وشرح العواقب المحتملة للاصطدامات الفضائية للجمهور. على الرغم من أنه لا يحتوي على معايير كمية واضحة، إلا أنه لا يزال بإمكانك ملاحظة أنه مع الانتقال إلى النقطة التالية، يزداد التوتر العاطفي "بأمر من حيث الحجم".

طاولة.مقياس تورينو لخطر اصطدام الأرض بالكويكبات والمذنبات

وقد تم تأكيد ذلك كميًا في النسخة المهنية المنشورة مؤخرًا من مقياس تورينو، والذي يسمى مقياس باليرمو لمخاطر التأثير الفني. بدلاً من النقاط، يستخدم مؤشر PS المستمر (من مقياس باليرمو)، والذي يتم تعريفه على أنه لوغاريتم نسبة الاحتمالية المتوقعة للاصطدام بجسم معين في الفاصل الزمني المقدر إلى الاحتمالية الخلفية للاصطدام بأشياء مماثلة أثناء نفس الوقت. وبالتالي، فإن درجة الخوف من خطر النيزك لها أيضًا طابع لوغاريتمي.

وكما نرى، فإن القانون اللوغاريتمي المتأصل في علم وظائف الأعضاء والنفسية البشرية يوسع النطاق الديناميكي لحواسنا، مما يؤدي إلى إضعاف استجابتها للمنبهات القوية وبالتالي دفع عتبة الألم إلى الخلف. من الواضح أن هذا ساهم لملايين السنين في بقاء نوع الإنسان العاقل. والسؤال هو ما إذا كانت هذه الخاصية النفسية لدينا لن تكون قاتلة للإنسانية في العصر الحديث.

أخبار الشريك

نسب القيم المحددة في نهايات هذا المقطع، بينما على مقياس على مقياس خطي يتناسب طول المقطع مع الفرق في القيم في نهاياته. على سبيل المثال، بالنسبة للوغاريتم العشري، يكون كل مقطع لاحق على المحور أكبر بمقدار 10 مرات من المقطع السابق.

من الأمثلة الواضحة على استخدام وفائدة المقياس اللوغاريتمي قاعدة الشريحة، والتي تسمح بإجراء حسابات معقدة إلى حد ما بدقة تتراوح بين اثنين إلى ثلاث منازل عشرية.

يعد المقياس اللوغاريتمي مفيدًا للغاية لعرض نطاقات كبيرة جدًا من الكميات. بالإضافة إلى ذلك، بالنسبة للعديد من الحواس، يتناسب حجم الإحساس مع لوغاريتم التأثير. على سبيل المثال، في الموسيقى، يُنظر إلى النغمات التي تختلف في التردد بعامل اثنين على أنها نفس النغمة بأوكتاف أعلى، والفاصل الزمني بين نغمات نصف النغمة يتوافق مع نسبة تردداتها البالغة 2 1/12. ولذلك فإن السلم الموسيقي لوغاريتمي. بالإضافة إلى ذلك، وفقًا لقانون فيبر-فيشنر، فإن ارتفاع الصوت المدرك يتناسب أيضًا مع لوغاريتم شدته (على وجه التحديد، لوغاريتم قوة مكبر الصوت). ولذلك، فيما يتعلق بخصائص السعة والتردد لأجهزة إعادة إنتاج الصوت، يتم استخدام مقياس لوغاريتمي على كلا المحورين.

أمثلة على استخدام المقياس اللوغاريتمي:

• مقياس ريختر لشدة الزلازل
• مقياس التعرض في التصوير الفوتوغرافي
• مقادير النجوم - مقياس سطوع النجوم
• حجم
• مقياس شدة الصوت - ديسيبل
• مقياس تردد الصوت - مقياس النوتة الموسيقية

ملحوظات

مؤسسة ويكيميديا. 2010.

انظر ما هو "المقياس اللوغاريتمي" في القواميس الأخرى:

مقياس لوغاريتمي- - [Ya.N.Luginsky، M.S.Fezi Zhilinskaya، Yu.S.Kabirov. القاموس الإنجليزي الروسي للهندسة الكهربائية وهندسة الطاقة، موسكو، 1999] موضوعات الهندسة الكهربائية، المفاهيم الأساسية EN مقياس لوغاريتمي ...

مقياس لوغاريتمي- حالة logaritminis Mastelis T sritis automatika atitikmenys: engl. مقياس لوغاريتمي vok. logarithmischer Maßstab, m rus. مقياس لوغاريتمي، م برانك. échelle logarithmyque, f … Automatikos terminų žodynas

مقياس لوغاريتمي- حالة logaritminis Mastelis T sritis fizika atitikmenys: engl. مقياس لوغاريتمي vok. لوغاريتمينسكالا، و؛ logarithmischer Maßstab, m rus. مقياس لوغاريتمي، م برانك. échelle logarithmique, f… Fizikos terminų žodynas

مقياس لوغاريتمي مزدوج- مقياس لوغاريتمي مزدوج - [L.G.سومينكو. قاموس إنجليزي روسي في مجال تكنولوجيا المعلومات. M.: State Enterprise TsNIIS، 2003.] موضوعات تكنولوجيا المعلومات بشكل عام المرادفات مقياس لوغاريتمي مزدوج مقياس سجل EN ... دليل المترجم الفني

- (مقياس (بالرسوم البيانية)) تسميات على كل محور من محاور الرسم البياني توضح مستوى السعر أو الكمية أو قيم المتغيرات الأخرى. من الضروري دائمًا الإشارة إلى المقياس المستخدم. يمكن استخدامها على أي نطاق؛ الأكثر استخداما... القاموس الاقتصادي

علم طرق تحديد التركيب الكيميائي للمواد. التحليل الكيميائي يتخلل حرفيا حياتنا كلها. وتستخدم أساليبه لاختبار الأدوية بدقة. وفي الزراعة يستخدم لتحديد حموضة التربة... ... موسوعة كولير

- دالة (استجابة التردد) توضح اعتماد معامل بعض الوظائف ذات القيمة المعقدة على التردد. يمكن أيضًا أخذ استجابة التردد لوظائف التردد المعقدة الأخرى، على سبيل المثال، كثافة القدرة الطيفية للإشارة، في الاعتبار. الاستجابة الترددية من الناحية النظرية... ... ويكيبيديا

استجابة تردد السعة (AFC) هي دالة توضح اعتماد معامل بعض الوظائف ذات القيمة المعقدة على التردد. غالبًا ما يعني ذلك وحدة معامل النقل المعقد لشبكة خطية ذات أربعة منافذ. ويمكنه أيضًا... ... ويكيبيديا

فرع من فروع الفيزياء يدرس فيه تفاعل المعادن مع الكهرباء. ماج. الموجات الضوئية النطاق (الخصائص الكهروديناميكية للمعادن). تتميز المعادن بـ: معاملات كبيرة. انعكاسات الموجات R في نطاق واسع من الأطوال الموجية l، والتي ترتبط بارتفاع... ... الموسوعة الفيزيائية

ولهذا المصطلح معاني أخرى، انظر المقياس (المعاني). المقياس هو نظام إشارات يُعطى له رسم خرائط متجانس، والذي يربط عنصرًا أو آخر من عناصر المقياس بأشياء حقيقية. رسميًا، يسمى المقياس صفًا، ... ... ويكيبيديا

إذا كانت القيمة المرسومة على محور الرسم التخطيطي نيختلف على نطاق واسع، ثم يتم استخدام مقياس لوغاريتمي (الشكل 5.12). في المشاريع، يتم رسم التردد في أغلب الأحيان على مقياس لوغاريتمي على سعة التردد، وخصائص تردد الطور، والجهد على خصائص سعة مكبرات الصوت، وما إلى ذلك. لبناء المقاييس اللوغاريتمية، يتم استخدام نظام اللوغاريتمات العشرية. يسمى الجزء من المقياس الذي تتغير فيه القيمة عشر مرات بالعقد. الخطوط التي تحدد العقود أصبحت أكثر سمكا.

المقياس المستخدم في بناء المقياس ليتناسب مع لوغاريتم الكمية المرسومة على المحور ن.

,

أين م - عامل الحجم يساوي طول العقد.

إذا كان طول محور المخطط لتحتاج إلى وضعها تعقود، إذن، من الواضح أن M=L/m. لا يشير المقياس اللوغاريتمي إلى لوغاريتم الرقم، بل يشير إلى الرقم نفسه. يبدأ المقياس عند 10 ن، أين ص - صفر أو أي عدد صحيح. يرجع تطور المقياس اللوغاريتمي إلى تطور العقد الأول، نظرًا لأن المقياس بأكمله يتكون من عدد من العقود، ويختلف فقط في أن أرقام المقياس لكل عقد لاحق تزداد بمقدار مرتبة واحدة مقارنة بالعقد السابق (انظر الشكل 5.12). يجب أن يتم رقمنة المقياس خلال العقد بالتساوي، ويجب أن يكون عدد الأرقام في مقاييس العقد هو نفسه.

عند حساب وتحليل أنظمة التحكم الآلي، اللوغاريتمي خصائص التردد السعة(LAH)، على محاور الإحداثي السيني التي يتم رسم لوغاريتمات التردد عليها، وعلى المحاور الإحداثية يتم رسم لوغاريتمات السعات النسبية. تتمتع الخصائص اللوغاريتمية بميزة أنه بالنسبة للعديد من الأنظمة البسيطة يتم تقريبها تقريبًا بواسطة مقاطع خط مستقيم، ويتم تقليل مضاعفة دالتي النقل إلى إضافة إحداثيات اثنين من خصائص تردد السعة اللوغاريتمية وتردد الطور.

6. الأنواع الرئيسية لرسومات مشروع الدبلوم وقواعد تنفيذها

6.1. وضع الرسومات على ورقة

تنسيق الرسم هو حجم الورقة المقطوعة التي تم الرسم عليها (الجدول 6.1).

الجدول 3.1.

ملاحظة: إذا لزم الأمر، يُسمح باستخدام تنسيق A5 بأبعاد جانبية تبلغ 148 × 210 ملم.

يتم تقسيم الأوراق (بدون تقطيع) إلى تنسيقات أصغر، مع تحديدها بخطوط قطع رفيعة أو حدود مقسمة بطول 7-10 مم، يتم تطبيقه على زوايا التنسيقات المحددة (الشكل 6.1). يتم رسم إطار داخل التنسيق، مع ترك هامش عرضه 5 مم من ثلاث جهات، وهامش عرضه 25 مم في الجانب الرابع، يمكن إدخال الرسم عليه في العمود الفقري عند الخياطة.

الشكل 6.1. اختيار التنسيقات وإطارات الرسم على ورقة

عند عرض الرسم، يجب أن تكون منطقة الخياطة على يسار منطقة العمل. بالنسبة لتنسيق A4، يتم ترك هامش التجليد على الجانب الطويل.

عند اختيار التنسيق والحجم، يجب أن يؤخذ في الاعتبار أن الرسم الذي تشغل فيه الصور الرسومية ما لا يقل عن 75٪ من مساحة العمل الخاصة به، يعتبر مملوءًا بشكل طبيعي.