ماذا يعني التوصل إلى قاسم مشترك؟ اختزال الكسور إلى قاسم مشترك. تنزيل درس فيديو "اختزال الكسور إلى قاسم مشترك"

الكسور لها قواسم مختلفة أو متطابقة. نفس القاسم أو يسمى خلاف ذلك القاسم المشتركعند الكسر. مثال على القاسم المشترك:

\(\frac(17)(5)، \frac(1)(5)\)

مثال على المقامات المختلفة للكسور:

\(\frac(8)(3)، \frac(2)(13)\)

كيفية تقليل الكسر إلى قاسم مشترك؟

مقام الكسر الأول هو 3، ومقام الكسر الثاني هو 13. تحتاج إلى العثور على رقم يقبل القسمة على 3 و13. هذا الرقم هو 39.

يجب ضرب الكسر الأول ب مضاعف إضافي 13. للتأكد من عدم تغير الكسر، يجب علينا ضرب البسط في 13 والمقام.

\(\frac(8)(3) = \frac(8 \مرات \اللون(أحمر) (13))(3 \مرات \color(أحمر) (13)) = \frac(104)(39)\)

نضرب الكسر الثاني بعامل إضافي قدره 3.

\(\frac(2)(13) = \frac(2 \مرات \color(أحمر) (3))(13 \times \color(red) (3)) = \frac(6)(39)\)

لقد قمنا بتبسيط الكسر إلى قاسم مشترك:

\(\frac(8)(3) = \frac(104)(39)، \frac(2)(13) = \frac(6)(39)\)

القاسم المشترك الأدنى.

دعونا ننظر إلى مثال آخر:

دعونا نختصر الكسرين \(\frac(5)(8)\) و \(\frac(7)(12)\) إلى قاسم مشترك.

القاسم المشترك للرقمين 8 و 12 يمكن أن يكون الأرقام 24، 48، 96، 120، ...، ومن المعتاد الاختيار القاسم المشترك الأدنىوفي حالتنا هذا هو الرقم 24.

القاسم المشترك الأدنىهو أصغر عدد يمكن به قسمة مقام الكسرين الأول والثاني.

كيفية العثور على القاسم المشترك الأدنى؟
طريقة تعداد الأعداد التي يتم من خلالها قسمة مقام الكسرين الأول والثاني واختيار الأصغر.

نحتاج إلى ضرب الكسر الذي مقامه 8 في 3، وضرب الكسر الذي مقامه 12 في 2.

\(\begin(align)&\frac(5)(8) = \frac(5 \times \color(red) (3))(8 \times \color(red) (3)) = \frac(15) )(24)\\\\&\frac(7)(12) = \frac(7 \مرات \color(أحمر) (2))(12 \times \color(red) (2)) = \frac( 14)(24)\\\\\النهاية(محاذاة)\)

إذا لم تتمكن على الفور من تقليل الكسور إلى المقام المشترك الأدنى، فلا داعي للقلق؛ في المستقبل، عند حل المثال، قد تضطر إلى الحصول على الإجابة التي تلقيتها.

يمكن إيجاد المقام المشترك لأي كسرين، ويمكن أن يكون حاصل ضرب مقامات هذين الكسرين.

على سبيل المثال:
اختصر الكسرين \(\frac(1)(4)\) و \(\frac(9)(16)\) إلى أصغر مقام مشترك لهما.

أسهل طريقة لإيجاد المقام المشترك هي ضرب المقامين 4⋅16=64. الرقم 64 ليس القاسم المشترك الأصغر. تتطلب المهمة منك العثور على القاسم المشترك الأدنى. لذلك، نحن نبحث أبعد من ذلك. نحتاج إلى رقم قابل للقسمة على 4 و16، هذا هو الرقم 16. لنجلب الكسر إلى مقام مشترك، ونضرب الكسر بالمقام 4 في 4، والكسر بالمقام 16 بواحد. نحن نحصل:

\(\begin(align)&\frac(1)(4) = \frac(1 \times \color(red) (4))(4 \times \color(red) (4)) = \frac(4) )(16)\\\\&\frac(9)(16) = \frac(9 \مرات \color(أحمر) (1))(16 \times \color(red) (1)) = \frac( 9)(16)\\\\ \النهاية(محاذاة)\)

يشرح هذا المقال كيفية العثور على القاسم المشترك الأدنىو كيفية تقليل الكسور إلى قاسم مشترك. أولاً، يتم تقديم تعريفات المقام المشترك للكسور والمقام المشترك الأصغر، ويتم توضيح كيفية العثور على المقام المشترك للكسور. فيما يلي قاعدة اختزال الكسور إلى قاسم مشترك ويتم النظر في أمثلة تطبيق هذه القاعدة. في الختام، تتم مناقشة أمثلة جلب ثلاثة كسور أو أكثر إلى قاسم مشترك.

التنقل في الصفحة.

ما يسمى اختزال الكسور إلى قاسم مشترك؟

والآن يمكننا أن نقول ما معنى اختزال الكسور إلى مقام مشترك. اختزال الكسور إلى قاسم مشترك- هذا هو ضرب بسط ومقام كسور معينة بعوامل إضافية بحيث تكون النتيجة كسورًا لها نفس المقامات.

القاسم المشترك، التعريف، الأمثلة

حان الوقت الآن لتحديد القاسم المشترك للكسور.

بمعنى آخر، القاسم المشترك لمجموعة معينة من الكسور العادية هو أي عدد طبيعي يقبل القسمة على جميع مقامات هذه الكسور.

ويترتب على التعريف المذكور أن مجموعة معينة من الكسور لديها عدد لا نهائي من القواسم المشتركة، حيث أن هناك عدد لا حصر له من المضاعفات المشتركة لجميع القواسم المشتركة لمجموعة الكسور الأصلية.

يتيح لك تحديد القاسم المشترك للكسور العثور على القواسم المشتركة لكسور معينة. لنفترض، على سبيل المثال، أنه بالنظر إلى الكسرين 1/4 و5/6، فإن مقاميهما هما 4 و6 على التوالي. المضاعفات المشتركة الموجبة للرقمين 4 و 6 هي الأرقام 12، 24، 36، 48، ... أي من هذه الأرقام هو قاسم مشترك للكسرين 1/4 و 5/6.

لدمج المادة، فكر في حل المثال التالي.

مثال.

هل يمكن اختزال الكسور 2/3 و23/6 و7/12 إلى قاسم مشترك قدره 150؟

حل.

للإجابة على السؤال، علينا معرفة ما إذا كان العدد 150 هو مضاعف مشترك للمقامات 3 و6 و12. للقيام بذلك، دعونا نتحقق مما إذا كان الرقم 150 قابلاً للقسمة على كل من هذه الأرقام (إذا لزم الأمر، راجع قواعد وأمثلة قسمة الأعداد الطبيعية، بالإضافة إلى قواعد وأمثلة قسمة الأعداد الطبيعية على الباقي): 150:3=50 , 150:6=25, 150: 12=12 (6 المتبقية) .

لذا، 150 لا يقبل القسمة على 12، وبالتالي فإن 150 ليس مضاعفًا مشتركًا للأعداد 3 و6 و12. ولذلك، فإن الرقم 150 لا يمكن أن يكون القاسم المشترك للكسور الأصلية.

إجابة:

ممنوع.

القاسم المشترك الأدنى، كيف يمكن العثور عليه؟

في مجموعة الأعداد التي تمثل مقامًا مشتركًا لكسور معينة، يوجد أصغر عدد طبيعي، وهو ما يسمى بالمقام المشترك الأصغر. دعونا نقوم بصياغة تعريف القاسم المشترك الأدنى لهذه الكسور.

تعريف.

القاسم المشترك الأدنىهو أصغر عدد من جميع القواسم المشتركة لهذه الكسور.

يبقى أن نتعامل مع مسألة كيفية العثور على القاسم المشترك الأصغر.

بما أنه القاسم المشترك الأقل إيجابية لمجموعة معينة من الأرقام، فإن المضاعف المشترك الأصغر لمقامات الكسور المعطاة يمثل المقام المشترك الأصغر للكسور المعطاة.

ومن ثم، فإن إيجاد المقام المشترك الأصغر للكسور يعتمد على مقامات تلك الكسور. دعونا نلقي نظرة على الحل على المثال.

مثال.

أوجد المقام المشترك الأصغر للكسرين 3/10 و277/28.

حل.

مقامات هذه الكسور هي 10 و28. تم العثور على القاسم المشترك الأدنى المطلوب على أنه المضاعف المشترك الأصغر للرقمين 10 و28. في حالتنا، الأمر سهل: بما أن 10=2·5، و28=2·2·7، إذن LCM(15, 28)=2·2·5·7=140.

إجابة:

140 .

كيفية تقليل الكسور إلى قاسم مشترك؟ القواعد والأمثلة والحلول

عادة ما تؤدي الكسور المشتركة إلى قاسم مشترك أدنى. سنكتب الآن قاعدة تشرح كيفية تبسيط الكسور إلى مقامها المشترك الأصغر.

قاعدة اختزال الكسور إلى أدنى مقام مشتركيتكون من ثلاث خطوات:

• أولاً، ابحث عن القاسم المشترك الأصغر للكسور.
• ثانياً، يتم حساب عامل إضافي لكل كسر، وذلك بقسمة المقام المشترك الأصغر على مقام كل كسر.
• ثالثًا، يتم ضرب بسط ومقام كل كسر في العامل الإضافي الخاص به.

دعونا نطبق القاعدة المذكورة لحل المثال التالي.

مثال.

اختصر الكسرين 5/14 و7/18 إلى مقامهما المشترك الأصغر.

حل.

لننفذ جميع خطوات الخوارزمية لتقليل الكسور إلى أدنى مقام مشترك.

أولًا، نجد المقام المشترك الأصغر، وهو ما يساوي المضاعف المشترك الأصغر للرقمين 14 و18. بما أن 14=2·7 و18=2·3·3، إذن م م م(14، 18)=2·3·3·7=126.

نقوم الآن بحساب العوامل الإضافية التي سيتم من خلالها تخفيض الكسور 5/14 و7/18 إلى المقام 126. بالنسبة للكسر 5/14 العامل الإضافي هو 126:14=9، وبالنسبة للكسر 7/18 العامل الإضافي هو 126:18=7.

يبقى ضرب البسط ومقامات الكسور 5/14 و 7/18 بعوامل إضافية 9 و 7 على التوالي. لدينا و .

وبذلك يكون قد اكتمل اختزال الكسرين 5/14 و7/18 إلى المقام المشترك الأصغر. وكانت الكسور الناتجة 45/126 و49/126.

أردت في الأصل تضمين تقنيات القاسم المشترك في قسم إضافة وطرح الكسور. ولكن اتضح أن هناك الكثير من المعلومات، وأهميتها كبيرة جدًا (بعد كل شيء، ليس فقط الكسور العددية لها قواسم مشتركة)، ومن الأفضل دراسة هذه المشكلة بشكل منفصل.

لذا، لنفترض أن لدينا كسرين لهما مقامات مختلفة. ونريد التأكد من أن المقامين متساويان. الخاصية الأساسية للكسر تأتي للإنقاذ، والتي، اسمحوا لي أن أذكركم، تبدو كما يلي:

لا يتغير الكسر إذا ضرب بسطه ومقامه في نفس العدد غير الصفر.

وبالتالي، إذا اخترت العوامل بشكل صحيح، فسوف تصبح قواسم الكسور متساوية - وتسمى هذه العملية الاختزال إلى قاسم مشترك. والأعداد المطلوبة، التي تعادل المقامات، تسمى عوامل إضافية.

لماذا نحتاج إلى اختزال الكسور إلى قاسم مشترك؟ فيما يلي بعض الأسباب:

1. جمع وطرح الكسور ذات المقامات المختلفة. لا توجد طريقة أخرى لتنفيذ هذه العملية؛
2. مقارنة الكسور. في بعض الأحيان، يؤدي الاختزال إلى قاسم مشترك إلى تبسيط هذه المهمة إلى حد كبير؛
3. حل المسائل المتعلقة بالكسور والنسب المئوية. النسب المئوية هي في الأساس تعبيرات عادية تحتوي على كسور.

هناك العديد من الطرق للعثور على الأعداد التي، عند ضربها بها، تصبح مقامات الكسور متساوية. وسننظر في ثلاثة منها فقط - من أجل زيادة التعقيد والفعالية إلى حد ما.

الضرب المتقاطع

الطريقة الأبسط والأكثر موثوقية، والتي تضمن مساواة المقامات. سنتصرف "بطريقة متسرعة": نضرب الكسر الأول بمقام الكسر الثاني، والثاني بمقام الأول. ونتيجة لذلك، فإن مقامات كلا الكسرين ستصبح مساوية لمنتج المقامين الأصليين. إلق نظرة:

كعوامل إضافية، فكر في مقامات الكسور المجاورة. نحن نحصل:

نعم، الأمر بهذه البساطة. إذا كنت قد بدأت للتو في دراسة الكسور، فمن الأفضل العمل بهذه الطريقة - وبهذه الطريقة ستؤمن نفسك ضد العديد من الأخطاء وتضمن حصولك على النتيجة.

العيب الوحيد لهذه الطريقة هو أنه عليك العد كثيرًا، لأن المقامات يتم ضربها "تمامًا"، ويمكن أن تكون النتيجة أعدادًا كبيرة جدًا. هذا هو الثمن الذي يجب دفعه مقابل الموثوقية.

طريقة القسمة المشتركة

تساعد هذه التقنية على تقليل العمليات الحسابية بشكل كبير، ولكن لسوء الحظ، يتم استخدامها نادرًا جدًا. هذه الطريقة على النحو التالي:

1. قبل المضي قدمًا مباشرةً (أي باستخدام طريقة التقاطع)، ألقِ نظرة على المقامات. وربما انقسم أحدهما (الأكبر) إلى الآخر.
2. وسيكون العدد الناتج عن هذه القسمة عاملاً إضافيًا للكسر ذي المقام الأصغر.
3. في هذه الحالة، لا يلزم ضرب الكسر ذو المقام الكبير بأي شيء على الإطلاق - وهنا تكمن المدخرات. وفي الوقت نفسه، يتم تقليل احتمال الخطأ بشكل حاد.

مهمة. ابحث عن معاني العبارات:

لاحظ أن 84: 21 = 4؛ 72: 12 = 6. وبما أنه في كلتا الحالتين يتم تقسيم المقام دون باقي على الآخر، فإننا نستخدم طريقة العوامل المشتركة. لدينا:

لاحظ أن الكسر الثاني لم يتم ضربه بأي شيء على الإطلاق. في الواقع، قمنا بخفض كمية العمليات الحسابية إلى النصف!

بالمناسبة، لم آخذ الكسور في هذا المثال عن طريق الصدفة. إذا كنت مهتمًا، فحاول عدهم باستخدام الطريقة المتقاطعة. بعد التخفيض، ستكون الإجابات هي نفسها، ولكن سيكون هناك المزيد من العمل.

هذه هي قوة طريقة المقسومات المشتركة، ولكن، مرة أخرى، لا يمكن استخدامها إلا عندما يكون أحد المقامين قابلاً للقسمة على الآخر دون باقي. وهو ما يحدث نادرًا جدًا.

الطريقة المتعددة الأقل شيوعًا

عندما نختصر الكسور إلى مقام مشترك، فإننا نحاول بشكل أساسي العثور على رقم يقبل القسمة على كل مقام. ثم نأتي بمقامي الكسرين إلى هذا الرقم.

هناك الكثير من هذه الأرقام، وأصغرها لن يكون بالضرورة مساويا للناتج المباشر لمقامات الكسور الأصلية، كما هو مفترض في طريقة "التقاطع".

على سبيل المثال، بالنسبة للمقامين 8 و12، فإن الرقم 24 مناسب تمامًا، حيث أن 24: 8 = 3؛ 24: 12 = 2. وهذا الرقم أقل بكثير من حاصل الضرب 8 · 12 = 96.

يُطلق على أصغر عدد يقبل القسمة على كل من المقامات المضاعف المشترك الأصغر (LCM).

تدوين: المضاعف المشترك الأصغر لـ a و b يُشار إليه بـ LCM(a ; b) . على سبيل المثال، LCM(16, 24) = 48 ; م م(8; 12) = 24 .

إذا تمكنت من العثور على مثل هذا الرقم، فسيكون المبلغ الإجمالي للحسابات ضئيلا. انظر إلى الامثله:

مهمة. ابحث عن معاني العبارات:

لاحظ أن 234 = 117 2؛ 351 = 117 3. العاملان 2 و 3 هما كوبريم (ليس لهما عوامل مشتركة غير 1)، والعامل 117 مشترك. وبالتالي، م م(234، 351) = 117 2 3 = 702.

وبالمثل، 15 = 5 3؛ 20 = 5 · 4. العاملان 3 و4 هما أوليان أساسيان، والعامل 5 مشترك. وبالتالي، المضاعف المشترك الأصغر(15، 20) = 5 3 4 = 60.

الآن دعونا نجلب الكسور إلى القواسم المشتركة:

لاحظ مدى فائدة تحليل المقامات الأصلية:

1. بعد أن اكتشفنا عوامل متطابقة، وصلنا على الفور إلى المضاعف المشترك الأصغر، وهو، بشكل عام، مشكلة غير تافهة؛
2. ومن خلال التوسيع الناتج، يمكنك معرفة العوامل "المفقودة" في كل جزء. على سبيل المثال، 234 · 3 = 702، لذلك، بالنسبة للكسر الأول فإن العامل الإضافي هو 3.

لتقدير مقدار الفرق الذي تحدثه طريقة المضاعف الأقل شيوعًا، حاول حساب هذه الأمثلة نفسها باستخدام الطريقة المتقاطعة. بالطبع بدون آلة حاسبة. أعتقد أنه بعد هذه التعليقات ستكون غير ضرورية.

لا تعتقد أنه لن يكون هناك مثل هذه الكسور المعقدة في الأمثلة الحقيقية. إنهم يجتمعون طوال الوقت، والمهام المذكورة أعلاه ليست الحد الأقصى!

المشكلة الوحيدة هي كيفية العثور على شهادة عدم الممانعة هذه. في بعض الأحيان يتم العثور على كل شيء في بضع ثوان، حرفيا "بالعين"، ولكن بشكل عام هذه مهمة حسابية معقدة تتطلب دراسة منفصلة. لن نتطرق إلى ذلك هنا.

• جمع وطرح الكسور ذات المقامات المتشابهة
• جمع وطرح الكسور ذات المقامات المختلفة
• مفهوم المؤسسة الوطنية للنفط
• تقليل الكسور إلى نفس المقام
• كيفية جمع عدد صحيح وكسر

1- جمع وطرح الكسور ذات المقامات المتشابهة

لجمع الكسور التي لها نفس المقامات، يجب عليك جمع بسطها، مع ترك المقام كما هو، على سبيل المثال:

لطرح الكسور التي لها نفس المقامات، عليك أن تطرح بسط الكسر الثاني من بسط الكسر الأول، وتترك المقام كما هو، على سبيل المثال:

لإضافة كسور مختلطة، تحتاج إلى إضافة أجزائها بالكامل بشكل منفصل، ثم إضافة أجزائها الكسرية، وكتابة النتيجة ككسر مختلط،

مثال 1:

مثال 2:

إذا حصلت عند إضافة الأجزاء الكسرية على كسر غير فعلي، فاختر الجزء الكامل منه وأضفه إلى الجزء الكامل، على سبيل المثال:

2 جمع وطرح الكسور ذات المقامات المختلفة.

من أجل جمع أو طرح الكسور ذات المقامات المختلفة، يجب عليك أولًا اختزالها إلى نفس المقام، ثم المضي قدمًا كما هو موضح في بداية هذه المقالة. القاسم المشترك للعديد من الكسور هو LCM (المضاعف المشترك الأصغر). بالنسبة لبسط كل كسر، يتم إيجاد عوامل إضافية عن طريق قسمة المضاعف المشترك الأصغر على مقام هذا الكسر. سننظر إلى مثال لاحقاً، بعد أن نفهم ما هي شهادة عدم الممانعة (NOC).

3 المضاعف المشترك الأصغر (LCM)

المضاعف المشترك الأصغر لعددين (LCM) هو أصغر عدد طبيعي يقبل القسمة على كلا الرقمين دون ترك باقي. في بعض الأحيان يمكن العثور على المضاعف المشترك الأصغر شفهيًا، ولكن في كثير من الأحيان، خاصة عند التعامل مع أعداد كبيرة، يتعين عليك العثور على المضاعف المشترك الأصغر كتابيًا، باستخدام الخوارزمية التالية:

للعثور على LCM لعدة أرقام، تحتاج إلى:

1. قم بتحليل هذه الأرقام إلى عوامل أولية
2. خذ أكبر توسع واكتب هذه الأرقام كمنتج
3. حدد في التحليلات الأخرى الأرقام التي لا تظهر في التحليل الأكبر (أو تحدث فيه مرات أقل)، وأضفها إلى المنتج.
4. اضرب جميع الأرقام الموجودة في المنتج، وسيكون هذا هو المضاعف المشترك الأصغر.

على سبيل المثال، لنجد المضاعف المشترك الأصغر للرقمين 28 و21:

4 تخفيض الكسور إلى نفس المقام

دعنا نعود إلى إضافة الكسور ذات القواسم المختلفة.

عندما نقوم بتبسيط الكسور إلى نفس المقام، أي ما يعادل المضاعف المشترك الأصغر لكلا المقامين، يجب علينا ضرب بسط هذه الكسور في مضاعفات إضافية. يمكنك العثور عليها عن طريق قسمة LCM على مقام الكسر المقابل، على سبيل المثال:

وبالتالي، لتبسيط الكسور إلى نفس الأس، يجب عليك أولاً العثور على المضاعف المشترك الأصغر (أي أصغر رقم يقبل القسمة على كلا المقامين) لمقامي هذه الكسور، ثم إضافة عوامل إضافية إلى بسط الكسور. يمكنك العثور عليها عن طريق قسمة القاسم المشترك (CLD) على مقام الكسر المقابل. ثم تحتاج إلى ضرب بسط كل كسر بعامل إضافي، ووضع المضاعف المشترك الأصغر كمقام.

5 كيفية جمع عدد صحيح وكسر

لجمع عدد صحيح وكسر، ما عليك سوى إضافة هذا الرقم قبل الكسر لإنشاء كسر مختلط، على سبيل المثال:

إذا أضفنا عددًا صحيحًا وكسرًا مختلطًا، فإننا نضيف هذا الرقم إلى جزء العدد الصحيح من الكسر، على سبيل المثال:

المدرب 1

جمع وطرح الكسور ذات المقامات المتشابهة.

الحد الزمني: 0

التنقل (أرقام الوظائف فقط)

0 من أصل 20 مهمة مكتملة

معلومة

يختبر هذا الاختبار قدرتك على جمع الكسور ذات المقامات المتشابهة. وفي هذه الحالة يجب مراعاة قاعدتين:

• إذا كانت النتيجة كسرًا غير حقيقي، فستحتاج إلى تحويله إلى رقم مختلط.
• إذا كان من الممكن تقصير الكسر، تأكد من تقصيره، وإلا سيتم احتساب إجابة غير صحيحة.

لقد أجريت الاختبار بالفعل من قبل. لا يمكنك البدء مرة أخرى.

جاري التحميل التجريبي...

يجب عليك تسجيل الدخول أو التسجيل لتبدأ الاختبار.

يجب عليك إكمال الاختبارات التالية لبدء هذا الاختبار:

نتائج

الإجابات الصحيحة: 0 من 20

وقتك:

انتهى الوقت

لقد حصلت على 0 من 0 نقطة (0)

1. مع الجواب
2. مع علامة المشاهدة