مجموع متوسطات المثلث. الوسيط. نظرية مفصلة مع الأمثلة. العناصر الأساسية للمثلث ABC
تحتوي على هذا الجزء تسمى نقطة تقاطع الوسيط مع ضلع المثلث قاعدة الوسيط.
- يمكنك أيضًا تقديم المفهوم الوسيط الخارجيمثلث.
يوتيوب الموسوعي
1 / 3
✪ متوسطات منصفات وارتفاعات المثلث - الصف السابع
✪ متوسط المثلث. بناء. ملكيات.
✪ المنصف، الوسيط، ارتفاع المثلث. الهندسة الصف السابع
ترجمات
ملكيات
الملكية الرئيسية
تتقاطع المتوسطات الثلاثة للمثلث عند نقطة واحدة تسمى المركز الأوسط أو مركز ثقل المثلث، وتقسم عند هذه النقطة إلى قسمين بنسبة 2:1، تحسب من الرأس.
خصائص متوسطات المثلث متساوي الساقين
- في المثلث المتساوي الساقين، يكون الوسطان المرسومان على جوانب متساوية من المثلث متساويين، والوسيط الثالث هو منصف وارتفاع.
- والعكس صحيح أيضًا: إذا كان متوسطان في مثلث متساويين، فإن المثلث متساوي الساقين، والوسيط الثالث هو منصف وارتفاع الزاوية عند رأسها.
- في المثلث متساوي الأضلاع، جميع المتوسطات الثلاثة متساوية.
خصائص القواعد المتوسطة
- نظرية أويلر لدائرة من تسع نقاط: قواعد الارتفاعات الثلاثة للمثلث الاختياري، ومنتصف أضلاعه الثلاثة ( أسس وسطاتها) ونقاط منتصف الأجزاء الثلاثة التي تربط رؤوسها بالمركز المتعامد، كلها تقع على نفس الدائرة (ما يسمى دائرة تسع نقاط).
- جزء مرسومة من خلال أسبابأي متوسطين للمثلث هو خط الوسط. يكون الخط الأوسط للمثلث دائمًا موازيًا لجانب المثلث الذي لا توجد نقاط مشتركة معه.
- النتيجة الطبيعية (نظرية طاليس حول موازيشرائح). خط المنتصف للمثلث يساوي نصف طول ضلع المثلث الموازي له.
خصائص أخرى
- إذا مثلث متنوع القدرات (مختلف الأضلاع) فإن منصفه المرسوم من أي رأس يقع بين الوسط والارتفاع المرسوم من نفس الرأس.
- يقسم الوسيط المثلث إلى مثلثين متساويين (في المساحة).
- يقسم المثلث على ثلاثة متوسطات إلى ستة مثلثات متساوية.
- من الأجزاء التي تشكل المتوسطات، يمكنك إنشاء مثلث، ستكون مساحته 3/4 من المثلث بأكمله. الأطوال المتوسطة تلبي متباينة المثلث.
- في المثلث القائم، الوسيط المرسوم من الرأس بالزاوية القائمة يساوي نصف الوتر.
- الجانب الأكبر من المثلث يتوافق مع الوسيط الأصغر.
- قطعة مستقيمة، متناظرة أو مترافق بشكل متساويويسمى الوسيط الداخلي نسبة إلى المنصف الداخلي بمتوسط المثلث. ثلاثة سيميديونتمر عبر نقطة واحدة - نقطة ليموين.
- متوسط زاوية المثلث مترافق ايزوتوميالنفسي.
العلاقات الأساسية
على وجه الخصوص، مجموع مربعات متوسطات المثلث هو 3/4 مجموع مربعات جوانبه: م أ 2 + م ب 2 + م ج 2 = 3 4 (أ 2 + ب 2 + ج 2) (\displaystyle m_(a)^(2)+m_(b)^(2)+m_(c)^(2) =(\frac (3)(4))(أ^(2)+ب^(2)+ج^(2))).
- على العكس من ذلك، يمكنك التعبير عن طول الجانب التعسفي للمثلث بدلالة المتوسطات:
خصائص الحبال
1. القطر (نصف القطر) المتعامد مع الوتر يقسم هذا الوتر والقوسين المقابلين له إلى نصفين. النظرية العكسية صحيحة أيضًا: إذا كان القطر (نصف القطر) يشطر وترًا، فإنه يكون عموديًا على هذا الوتر.
2. الأقواس الموجودة بين الأوتار المتوازية متساوية.
3. إذا كان هناك وتران من الدائرة، أ.بو قرص مضغوطتتقاطع عند نقطة ما مفإن حاصل ضرب أجزاء وتر واحد يساوي حاصل ضرب أجزاء وتر آخر: صباحا ميغابايت = سم MD.
خصائص الدائرة
1. لا يجوز أن يكون للخط المستقيم نقاط مشتركة مع الدائرة؛ لديك نقطة مشتركة مع الدائرة ( الظل); هناك نقطتان مشتركتان معها ( قاطع).
2. من خلال ثلاث نقاط لا تقع على نفس الخط، يمكنك رسم دائرة، وواحدة فقط.
3. تقع نقطة تماس دائرتين على الخط الواصل بين مركزيهما.
نظرية الظل والقاطع
إذا تم رسم المماس والقاطع من نقطة تقع خارج الدائرة، فإن مربع طول المماس يساوي حاصل ضرب القاطع وجزءه الخارجي: MC 2 = MA ميجابايت.
نظرية القاطع
إذا تم رسم قاطعين من نقطة تقع خارج الدائرة، فإن منتج قاطع واحد وجزءه الخارجي يساوي منتج القاطع الآخر وجزءه الخارجي. MA MB = MC MD.
زوايا في دائرة
وسطالزاوية في الدائرة هي زاوية مستوية يوجد رأسها في مركزها.
تسمى الزاوية التي يقع رأسها على دائرة ويتقاطع ضلعاها مع هذه الدائرة زاوية مكتوبة.
أي نقطتين على الدائرة تقسمها إلى قسمين. ويسمى كل جزء من هذه الأجزاء قوسالدوائر. يمكن أن يكون قياس القوس هو قياس الزاوية المركزية المقابلة له.
يسمى القوس نصف دائرة،إذا كانت القطعة الواصلة بين طرفيها قطراً.
خصائص الزوايا المرتبطة بالدائرة
1. الزاوية المحيطية إما أن تساوي نصف الزاوية المركزية المقابلة لها، أو تكمل نصف هذه الزاوية إلى 180 درجة.
2. الزوايا المحيطية في دائرة واحدة والمرتكزة على نفس القوس متساوية.
3. الزاوية المحيطية المقابلة للقطر هي 90°.
5. الزاوية التي يشكلها مماس الدائرة والقاطع المرسوم على نقطة التماس تساوي نصف القوس المحصور بين ضلعيها.
الأطوال والمساحات
1. محيط جنصف القطر رتحسب بواسطة الصيغة: ج= 2 ر.
2. المنطقة سنصف قطر الدائرة رتحسب بواسطة الصيغة: س = ص 2.
3. طول القوس الدائري لنصف القطر رمع قياس الزاوية المركزية بالراديان، وتحسب بالصيغة: ل = ر .
4. المنطقة سقطاعات نصف القطر ريتم حساب الزاوية المركزية بالراديان بواسطة الصيغة: س = ص 2 .
دوائر منقوشة ومحدودة
الدائرة والمثلث
· مركز الدائرة المنقوشة هو نقطة تقاطع منصفات المثلث ونصف قطرها صتحسب بواسطة الصيغة:
ص =، أين سهي مساحة المثلث، و - نصف محيط؛
· مركز الدائرة المحددة هو نقطة تقاطع العمودين المنصفين، ويحسب نصف قطرها R بالصيغة:
ص = , ر = ;
· مركز الدائرة المحاطة بمثلث قائم الزاوية يقع في منتصف الوتر.
· تتطابق مراكز الدوائر المحصورة والمنقوشة في المثلث فقط إذا كان هذا المثلث منتظماً.
الدائرة والرباعي
· يمكن وصف الدائرة حول شكل رباعي محدب إذا وفقط إذا كان مجموع زواياه الداخلية المتقابلة يساوي 180 درجة:
180 درجة؛
لا يمكن رسم الدائرة بشكل رباعي إلا إذا كانت مجموع أضلاعها المتقابلة متساوية أ + ج = ب + د;
يمكن وصف متوازي الأضلاع بأنه دائرة إذا كان مستطيلًا فقط؛
· يمكن وصف الدائرة حول شبه المنحرف إذا وفقط إذا كان شبه المنحرف متساوي الساقين؛ يقع مركز الدائرة عند تقاطع محور تماثل شبه المنحرف مع المنصف العمودي على الجانب؛
· يمكن رسم الدائرة في متوازي الأضلاع فقط إذا كانت عبارة عن معين.
مثلثات
خصائص متوسطات المثلث
1. يقسم الوسيط المثلث إلى مثلثين متساويين في المساحة.
2. يتقاطع متوسطات المثلث عند نقطة واحدة، مما يقسم كل منها بنسبة 2:1، اعتباراً من الرأس. هذه النقطة تسمى مركز الجاذبيةمثلث.
3. يتم تقسيم المثلث بأكمله حسب متوسطاته إلى ستة مثلثات متساوية.
خصائص منصفات المثلث
1. منصف الزاوية هو موضع النقاط المتساوية البعد عن جوانب هذه الزاوية.
2. منصف الزاوية الداخلية للمثلث يقسم الضلع المقابل إلى أجزاء متناسبة مع الأضلاع المجاورة: .
3. نقطة تقاطع منصفات المثلث هي مركز الدائرة المحصورة في هذا المثلث.
خصائص ارتفاعات المثلث
1. في المثلث القائم، الارتفاع المرسوم من رأس الزاوية القائمة يقسمه إلى مثلثين مشابهين للمثلث الأصلي.
2. في المثلث حاد الزوايا يقطع ارتفاعاه المثلثات المتشابهة عنه.
الوسيط هو القطعة الممتدة من رأس المثلث إلى منتصف الضلع المقابل، أي أنه يقسمها إلى نصفين عند نقطة التقاطع. النقطة التي يتقاطع عندها الوسيط مع الجانب المقابل للرأس الذي يخرج منه تسمى القاعدة. يمر كل وسيط في المثلث بنقطة واحدة تسمى نقطة التقاطع. يمكن التعبير عن صيغة طوله بعدة طرق.
صيغ للتعبير عن طول الوسيط
- في كثير من الأحيان، في المسائل الهندسية، يتعين على الطلاب التعامل مع قطعة مثل متوسط المثلث. يتم التعبير عن صيغة طوله من حيث الجوانب:
حيث a وb وc هي الجوانب. علاوة على ذلك، c هو الجانب الذي يقع عليه الوسيط. هذه هي الطريقة التي تبدو بها الصيغة الأبسط. في بعض الأحيان تكون متوسطات المثلث مطلوبة لإجراء العمليات الحسابية المساعدة. هناك صيغ أخرى.
- إذا تم أثناء الحساب معرفة جانبين للمثلث وزاوية معينة α تقع بينهما، فسيتم التعبير عن طول متوسط المثلث، الذي تم تخفيضه إلى الجانب الثالث، على النحو التالي.
الخصائص الأساسية
- جميع المتوسطات لها نقطة تقاطع مشتركة واحدة O ويتم تقسيمها عليها بنسبة اثنين إلى واحد، إذا تم حسابها من قمة الرأس. وتسمى هذه النقطة مركز ثقل المثلث.
- يقسم الوسيط المثلث إلى قسمين آخرين مساحتهما متساوية. تسمى هذه المثلثات بمساحة متساوية.
- إذا قمت برسم جميع المتوسطات، فسيتم تقسيم المثلث إلى 6 أرقام متساوية، والتي ستكون أيضًا مثلثات.
- إذا كانت أضلاع المثلث الثلاثة متساوية، فإن كل متوسط سيكون أيضًا ارتفاعًا ومنصفًا، أي عموديًا على الجانب الذي يرسم عليه، وينصف الزاوية التي يخرج منها.
- في المثلث المتساوي الساقين، الوسيط المرسوم من الرأس المقابل للضلع الذي لا يساوي أي ضلع آخر سيكون أيضًا الارتفاع والمنصف. المتوسطات المسقطة من القمم الأخرى متساوية. وهذا أيضًا شرط ضروري وكافي لتساوي الساقين.
- إذا كان المثلث هو قاعدة الهرم العادي، فإن الارتفاع الذي انخفض إلى هذه القاعدة يتم إسقاطه إلى نقطة تقاطع جميع المتوسطات.
- في المثلث القائم، الوسيط المرسوم على الضلع الأطول يساوي نصف طوله.
- دع O تكون نقطة تقاطع متوسطات المثلث. ستكون الصيغة أدناه صحيحة لأي نقطة M.
- متوسط المثلث له خاصية أخرى. فيما يلي صيغة مربع طوله من خلال مربعات الجوانب.
خصائص الجوانب التي يرسم عليها الوسيط
- إذا قمت بتوصيل أي نقطتين من نقاط تقاطع المتوسطات مع الجوانب التي تم إسقاطها عليها، فسيكون الجزء الناتج هو خط الوسط للمثلث ويكون نصف جانب المثلث الذي لا توجد نقاط مشتركة معه.
- تقع قواعد الارتفاعات والمتوسطات في المثلث، وكذلك نقاط منتصف القطع التي تربط رؤوس المثلث بنقطة تقاطع الارتفاعات، على نفس الدائرة.
في الختام، من المنطقي أن نقول إن أحد أهم القطع هو متوسط المثلث. ويمكن استخدام صيغته لإيجاد أطوال أضلاعه الأخرى.
الحفاظ على خصوصيتك مهم بالنسبة لنا. لهذا السبب، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى مراجعة ممارسات الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كانت لديك أي أسئلة.
جمع واستخدام المعلومات الشخصية
تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد هوية شخص معين أو الاتصال به.
قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.
فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.
ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:
- عند تقديم طلب على الموقع، قد نقوم بجمع معلومات مختلفة، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وما إلى ذلك.
كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:
- تتيح لنا المعلومات الشخصية التي نجمعها الاتصال بك بشأن العروض الفريدة والعروض الترويجية وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
- من وقت لآخر، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إشعارات ومراسلات مهمة.
- قد نستخدم أيضًا المعلومات الشخصية لأغراض داخلية، مثل إجراء عمليات التدقيق وتحليل البيانات والأبحاث المختلفة من أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
- إذا شاركت في سحب جائزة أو مسابقة أو عرض ترويجي مماثل، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة مثل هذه البرامج.
الكشف عن المعلومات لأطراف ثالثة
نحن لا نكشف عن المعلومات الواردة منك إلى أطراف ثالثة.
الاستثناءات:
- إذا لزم الأمر - وفقًا للقانون، والإجراءات القضائية، وفي الإجراءات القانونية و/أو بناءً على الطلبات العامة أو الطلبات المقدمة من السلطات الحكومية في أراضي الاتحاد الروسي - للكشف عن معلوماتك الشخصية. يجوز لنا أيضًا الكشف عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأغراض الأمنية أو إنفاذ القانون أو أي أغراض أخرى ذات أهمية عامة.
- في حالة إعادة التنظيم أو الدمج أو البيع، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الطرف الثالث الذي يخلفه.
حماية المعلومات الشخصية
نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام، بالإضافة إلى الوصول غير المصرح به والكشف والتغيير والتدمير.
احترام خصوصيتك على مستوى الشركة
للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة، نقوم بتوصيل معايير الخصوصية والأمان لموظفينا وننفذ ممارسات الخصوصية بشكل صارم.
الوسيط هو أحد الأجزاء الفريدة للمثلث. يحتوي الوسيط على عدد من الخصائص المفيدة لحل المشكلات، كما تعمل نقطة تقاطع المتوسطات على توسيع قائمة هذه الخصائص. سيتم مناقشة نقطة تقاطع المتوسطات وخصائصها اليوم.
الوسيط
الوسيط هو القطعة التي تربط رأس المثلث بمنتصف القطعة الموجودة على الجانب الآخر. تتقاطع المتوسطات الثلاثة للمثلث عند نقطة واحدة، تسمى نقطة التقاطع المتوسطة.
المتوسطات، على عكس الارتفاعات، تقع دائمًا داخل المثلث. وهذا أمر منطقي، لأن الجزء الأوسط يربط قمة الجانب ووسطه. ونقطة منتصف الضلع تقع دائمًا داخل المثلث.
أرز. 1. المتوسطات في مثلث منفرج.
إذا قمت بتوصيل أي قاعدتين من المتوسطات بقطعة، فستحصل على الخط الأوسط للمثلث. تشكل الخطوط الثلاثة الوسطى للمثلث مثلثًا مشابهًا للمثلث الأصلي بنسبة تشابه 1:2
هناك خاصية أخرى مثيرة للاهتمام للمتوسطات والتي ستساعدك على تجنب الارتباك عند إنشاء النسبة الذهبية للمثلث. يقع الوسيط في المثلث دائمًا بين الارتفاع والمنصف.
أرز. 2. النسبة الذهبية للمثلث التعسفي.
نقدم أيضًا صيغة لحساب طول الوسيط من ثلاثة جوانب. تُستخدم هذه الصيغة غالبًا عند حل المشكلات، ولذلك ينصح بتذكرها.
$$m_c=((\sqrt(2a^2+2b^2-c^2))\over(2))$$
غالبًا ما يكون من الأسهل على الطلاب أن يتذكروا الصياغة اللفظية بدلاً من حفظ الصيغة. للعثور على الوسيط على ثلاثة جوانب، عليك أن تأخذ جذر مجموع ضعفي مربعات الجوانب مطروحًا منه مربع الجانب الذي يرسم عليه الوسيط. يجب تقسيم الجذر الناتج إلى النصف.
نقطة التقاطع المتوسطة
نقطة تقاطع المتوسطات هي إحدى النقاط الثلاث المميزة للمثلث والتي تشكل النسبة الذهبية للمثلث.
تحتوي نقطة تقاطع متوسطات المثلث على عدد من الخصائص المفيدة في حل المشكلات:
- يتم تقسيم الوسيط بواسطة نقطة التقاطع إلى أجزاء بمعامل تناسب قدره 1:2 من الرأس.
- ثلاثة متوسطات مرسومة في مثلث تقسمه إلى 6 مثلثات متساوية. تسمى المثلثات ذات المساحة المتساوية بمساحة متساوية. هناك القليل من القواسم المشتركة بين هذه الأرقام نفسها، لكن خصائصها العددية للمنطقة متطابقة.
- النقطة التي يتقاطع فيها المتوسطات في المثلث تسمى النقطه الوسطى وهي مركز ثقل المثلث.
نقطة تقاطع المتوسطات هي النقطة الوحيدة من القسم الذهبي للمثلث التي لها معنى مادي حقيقي. إذا قمت بقطع مثلث من الورق المقوى ورسمت متوسطات فيه بقلم رصاص رفيع، فستكون نقطة تقاطعها هي مركز ثقل الشكل المسطح.
أرز. 3. مركز ثقل المثلث.
وهذا يعني أنه إذا وضعت إبرة في هذه المرحلة، فإن الرقم سيبقى عليها دون ثقب، وذلك فقط بسبب التوازن.
ماذا تعلمنا؟
لقد أعطينا الصيغة لحساب متوسط أضلاع المثلث الثلاثة. تم إعطاء العديد من خصائص نقطة تقاطع المتوسطات في المثلث. تحدثنا عن المعنى المادي الحقيقي للنقطه الوسطى للمثلث.
اختبار حول الموضوع
تصنيف المادة
متوسط تقييم: 4.1. إجمالي التقييمات المستلمة: 255.
