كيفية حل الأمثلة المعقدة مع الجذور. كيفية حل الأمثلة مع الجذور. لماذا يجب أن تكون التعبيرات الجذرية غير سلبية

الحقيقة 1.
\(\bullet\) لنأخذ عددًا غير سالب \(a\) (أي \(a\geqslant 0\) ). ثم (الحسابية) الجذر التربيعيمن الرقم \(a\) يسمى هذا الرقم غير السالب \(b\) ، عند التربيع نحصل على الرقم \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(نفس )\quad a=b^2\]ويترتب على ذلك من التعريف \(a\geqslant 0، b\geqslant 0\). هذه القيود شرط مهم لوجود الجذر التربيعي ويجب تذكرها!
تذكر أن أي رقم عند تربيعه يعطي نتيجة غير سلبية. أي \(100^2=10000\geqslant 0\) و \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) ما الذي يساوي \(\sqrt(25)\)؟ نحن نعلم أن \(5^2=25\) و \((-5)^2=25\) . نظرًا لأنه يجب علينا العثور على رقم غير سالب بحكم التعريف، فإن \(-5\) غير مناسب، لذلك \(\sqrt(25)=5\) (بما أن \(25=5^2\) ).
يُطلق على إيجاد قيمة \(\sqrt a\) أخذ الجذر التربيعي للرقم \(a\) ، ويسمى الرقم \(a\) بالتعبير الجذري.
\(\bullet\) استنادًا إلى التعريف والتعبير \(\sqrt(-25)\)، \(\sqrt(-4)\)، وما إلى ذلك. لا معنى له.

الحقيقة 2.
لإجراء حسابات سريعة، سيكون من المفيد تعلم جدول مربعات الأعداد الطبيعية من \(1\) إلى \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(array)\]

الحقيقة 3.
ما هي العمليات التي يمكنك القيام بها مع الجذور التربيعية؟
\(\رصاصة\) مجموع الجذور التربيعية أو الفرق بينها لا يساوي الجذر التربيعي للمجموع أو الفرق \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\]وبالتالي، إذا كنت بحاجة إلى حساب، على سبيل المثال، \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) ، فيجب عليك في البداية العثور على قيم \(\sqrt(25)\) و \(\ sqrt(49)\ ) ثم قم بطيها. لذلك، \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] إذا تعذر العثور على القيم \(\sqrt a\) أو \(\sqrt b\) عند إضافة \(\sqrt a+\sqrt b\)، فلن يتم تحويل هذا التعبير بشكل أكبر ويبقى كما هو. على سبيل المثال، في المجموع \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) يمكننا أن نجد \(\sqrt(49)\) هو \(7\) ، لكن \(\sqrt 2\) لا يمكن تحويله إلى بأي شكل من الأشكال، لهذا السبب \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). لسوء الحظ، لا يمكن تبسيط هذا التعبير أكثر\(\bullet\) حاصل ضرب/حاصل الجذور التربيعية يساوي الجذر التربيعي لحاصل الضرب/حاصل القسمة، أي \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (بشرط أن يكون كلا طرفي المساواة منطقيين)
مثال: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) باستخدام هذه الخصائص، من السهل إيجاد الجذور التربيعية للأعداد الكبيرة عن طريق تحليلها إلى عواملها.
لنلقي نظرة على مثال. لنجد \(\sqrt(44100)\) . منذ \(44100:100=441\) ، ثم \(44100=100\cdot 441\) . وفقاً لمعيار قابلية القسمة، فإن الرقم \(441\) يقبل القسمة على \(9\) (حيث أن مجموع أرقامه هو 9 وهو يقبل القسمة على 9)، وبالتالي \(441:9=49\)، أي \(441=9\ cdot 49\) .
وهكذا حصلنا على: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\]دعونا ننظر إلى مثال آخر: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\دفرك(56)3\]
\(\bullet\) لنوضح كيفية إدخال الأرقام تحت علامة الجذر التربيعي باستخدام مثال التعبير \(5\sqrt2\) (تدوين قصير للتعبير \(5\cdot \sqrt2\)). منذ \(5=\sqrt(25)\) إذن \ لاحظ أيضًا أنه على سبيل المثال،
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

لماذا هذا؟ دعونا نشرح باستخدام المثال 1). كما تعلم، لا يمكننا بطريقة أو بأخرى تحويل الرقم \(\sqrt2\). لنتخيل أن \(\sqrt2\) هو رقم \(a\) . وبناء على ذلك، فإن التعبير \(\sqrt2+3\sqrt2\) ليس أكثر من \(a+3a\) (رقم واحد \(a\) بالإضافة إلى ثلاثة أرقام أخرى من نفس \(a\)). ونحن نعلم أن هذا يساوي أربعة أرقام من هذا القبيل \(a\) ، أي \(4\sqrt2\) .

الحقيقة 4.
\(\bullet\) غالبًا ما يقولون "لا يمكنك استخراج الجذر" عندما لا تتمكن من التخلص من علامة \(\sqrt () \ \) للجذر (الجذر) عند إيجاد قيمة الرقم . على سبيل المثال، يمكنك أخذ جذر الرقم \(16\) لأن \(16=4^2\) ، وبالتالي \(\sqrt(16)=4\) . لكن من المستحيل استخراج جذر الرقم \(3\)، أي العثور على \(\sqrt3\)، لأنه لا يوجد رقم مربع سيعطي \(3\) .
هذه الأرقام (أو التعبيرات التي تحتوي على هذه الأرقام) غير منطقية. على سبيل المثال، الأرقام \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\)وما إلى ذلك وهلم جرا. غير عقلانية.
ومن غير المنطقي أيضًا الأرقام \(\pi\) (الرقم "pi"، يساوي تقريبًا \(3.14\))، \(e\) (يُسمى هذا الرقم رقم أويلر، وهو يساوي تقريبًا \(2.7) \)) الخ
\(\bullet\) يرجى ملاحظة أن أي رقم سيكون إما نسبيًا أو غير نسبي. وتشكل جميع الأعداد النسبية وغير المنطقية معًا مجموعة تسمى مجموعة من الأعداد الحقيقيةيُشار إلى هذه المجموعة بالحرف \(\mathbb(R)\) .
وهذا يعني أن جميع الأرقام التي نعرفها حاليًا تسمى أرقامًا حقيقية.

الحقيقة 5.
\(\bullet\) معامل الرقم الحقيقي \(a\) هو عدد غير سالب \(|a|\) يساوي المسافة من النقطة \(a\) إلى \(0\) على النقطة خط حقيقي. على سبيل المثال، \(|3|\) و \(|-3|\) تساوي 3، نظرًا لأن المسافات من النقطتين \(3\) و \(-3\) إلى \(0\) هي نفسه ويساوي \(3 \) .
\(\bullet\) إذا كان \(a\) رقمًا غير سالب، فإن \(|a|=a\) .
مثال: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) إذا كان \(a\) رقمًا سالبًا، فإن \(|a|=-a\) .
مثال: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
يقولون أنه بالنسبة للأرقام السالبة، فإن المعامل "يأكل" الطرح، في حين أن الأرقام الموجبة، وكذلك الرقم \(0\)، تبقى دون تغيير بواسطة المعامل.
لكنتنطبق هذه القاعدة على الأرقام فقط. إذا كان هناك تحت علامة المعامل الخاص بك مجهول \(x\) (أو بعض المجهول الآخر)، على سبيل المثال، \(|x|\) ، والذي لا نعرف عنه ما إذا كان موجبًا أم صفرًا أم سالبًا، فتخلص منه من المعامل لا نستطيع. في هذه الحالة، يبقى هذا التعبير كما هو: \(|x|\) . \(\bullet\) تحتوي الصيغ التالية على: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\كبير((\sqrt(a))^2=a)))، \text(متوفر ) a\geqslant 0\]في كثير من الأحيان يتم ارتكاب الخطأ التالي: يقولون أن \(\sqrt(a^2)\) و \(\sqrt a)^2\) هما نفس الشيء. يكون هذا صحيحًا فقط إذا كان \(a\) رقمًا موجبًا أو صفرًا. ولكن إذا كان \(a\) رقمًا سالبًا، فهذا غير صحيح. ويكفي النظر في هذا المثال. لنأخذ بدلاً من \(a\) الرقم \(-1\) . إذن \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) ، لكن التعبير \(\sqrt (-1))^2\) غير موجود على الإطلاق (بعد كل شيء، من المستحيل استخدام علامة الجذر لوضع أرقام سالبة!).
لذلك نلفت انتباهكم إلى أن \(\sqrt(a^2)\) لا يساوي \(\sqrt a)^2\) !مثال 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\)، لأن \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) منذ \(\sqrt(a^2)=|a|\) ، ثم \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (يشير التعبير \(2n\) إلى رقم زوجي)
أي أنه عند أخذ جذر عدد يكون بدرجة ما، تنخفض هذه الدرجة إلى النصف.
مثال:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (لاحظ أنه إذا لم يتم توفير الوحدة، فسيتبين أن جذر الرقم يساوي \(-25\ ) ؛ ولكننا نتذكر أنه بحكم تعريف الجذر، لا يمكن أن يحدث هذا: عند استخراج الجذر، يجب أن نحصل دائمًا على رقم موجب أو صفر)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (نظرًا لأن أي رقم بقوة زوجية ليس سالبًا)

الحقيقة 6.
كيفية المقارنة بين جذرين تربيعيين؟
\(\bullet\) صحيح بالنسبة للجذور التربيعية: إذا كان \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aمثال:
1) قارن \(\sqrt(50)\) و \(6\sqrt2\) . أولاً، دعونا نحول التعبير الثاني إلى \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). وهكذا، منذ \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) بين ما الأعداد الصحيحة يقع \(\sqrt(50)\)؟
بما أن \(\sqrt(49)=7\) و \(\sqrt(64)=8\) و \(49)<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) دعونا نقارن \(\sqrt 2-1\) و \(0.5\) . لنفترض أن \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(محاذاة) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((أضف واحدًا إلى كلا الجانبين))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((تربيع كلا الجانبين))\\ &2>1.5^2\\ &2>2.25 \end(محاذاة)\]نرى أننا حصلنا على متباينة غير صحيحة. لذلك، كان افتراضنا غير صحيح و\(\sqrt 2-1<0,5\) .
لاحظ أن إضافة عدد معين إلى طرفي المتراجحة لا يؤثر على إشارتها. ضرب/قسمة طرفي المتراجحة على رقم موجب لا يؤثر أيضًا على إشارتها، لكن الضرب/القسمة على رقم سالب يعكس إشارة المتراجحة!
لا يمكنك تربيع طرفي المعادلة/عدم المساواة إلا إذا كان كلا الطرفين غير سالب. على سبيل المثال، في المتباينة من المثال السابق يمكنك تربيع الطرفين، في المتباينة \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) يجب أن نتذكر ذلك \[\begin(محاذاة) &\sqrt 2\Approx 1.4\\ &\sqrt 3\Approx 1.7 \end(محاذاة)\]معرفة المعنى التقريبي لهذه الأرقام سيساعدك عند المقارنة بين الأرقام! \(\bullet\) من أجل استخراج الجذر (إذا كان من الممكن استخلاصه) من عدد كبير غير موجود في جدول المربعات، يجب عليك أولاً تحديد "المئات" التي يقع بينها، ثم - بين أي " عشرات"، ثم حدد الرقم الأخير من هذا الرقم. دعونا نظهر كيف يعمل هذا مع مثال.
لنأخذ \(\sqrt(28224)\) . نحن نعلم أن \(100^2=10\,000\)، \(200^2=40\,000\)، وما إلى ذلك. لاحظ أن \(28224\) يقع بين \(10\,000\) و \(40\,000\) . لذلك، \(\sqrt(28224)\) يقع بين \(100\) و \(200\) .
الآن دعونا نحدد بين أي "عشرات" يقع رقمنا (أي، على سبيل المثال، بين \(120\) و \(130\)). ومن جدول المربعات أيضًا نعلم أن \(11^2=121\) ، \(12^2=144\) وما إلى ذلك، ثم \(110^2=12100\) ، \(120^2=14400 \) ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \) ) . لذلك نرى أن \(28224\) يقع بين \(160^2\) و \(170^2\) . ولذلك فإن الرقم \(\sqrt(28224)\) يقع بين \(160\) و \(170\) .
دعونا نحاول تحديد الرقم الأخير. دعونا نتذكر ما هي الأعداد المكونة من رقم واحد، عند تربيعها، تعطي \(4\) في النهاية؟ وهما \(2^2\) و \(8^2\) . لذلك، \(\sqrt(28224)\) سينتهي إما بالرقم 2 أو 8. دعونا نتحقق من ذلك. لنجد \(162^2\) و \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
ولذلك، \(\sqrt(28224)=168\) . هاهو!

من أجل حل امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات بشكل مناسب، تحتاج أولاً إلى دراسة المواد النظرية، والتي تعرفك على العديد من النظريات والصيغ والخوارزميات وما إلى ذلك. للوهلة الأولى، قد يبدو أن هذا بسيط للغاية. ومع ذلك، فإن العثور على مصدر يتم فيه تقديم نظرية امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات بطريقة سهلة ومفهومة للطلاب الذين لديهم أي مستوى من التدريب هو في الواقع مهمة صعبة إلى حد ما. لا يمكن دائمًا الاحتفاظ بالكتب المدرسية في متناول اليد. وقد يكون العثور على الصيغ الأساسية لامتحان الدولة الموحدة في الرياضيات أمرًا صعبًا حتى على الإنترنت.

لماذا من المهم جدًا دراسة النظرية في الرياضيات ليس فقط لأولئك الذين يتقدمون لامتحان الدولة الموحدة؟

1. لأنه يوسع آفاقك. تعد دراسة المواد النظرية في الرياضيات مفيدة لأي شخص يرغب في الحصول على إجابات لمجموعة واسعة من الأسئلة المتعلقة بمعرفة العالم من حوله. كل شيء في الطبيعة منظم وله منطق واضح. وهذا بالضبط ما ينعكس في العلم، الذي من خلاله يمكن فهم العالم.
2. لأنه ينمي الذكاء. من خلال دراسة المواد المرجعية لامتحان الدولة الموحدة في الرياضيات، وكذلك حل المهام المختلفة، يتعلم الشخص التفكير والتفكير المنطقي، وصياغة الأفكار بكفاءة ووضوح. ينمي لديه القدرة على التحليل والتعميم واستخلاص النتائج.

نحن ندعوك إلى إجراء تقييم شخصي لجميع مزايا نهجنا في تنظيم وعرض المواد التعليمية.

العمليات مع القوى والجذور. درجة مع السلبية ,

صفر وكسور مؤشر. عن التعبيرات التي ليس لها معنى.

العمليات بالدرجات.

1. عند ضرب القوى ذات الأساس نفسه، فإن أسسها تتراكم:

أكون · أ ن = أ م + ن .

2. عند قسمة الدرجات التي لها نفس الأساس تكون أسسها يتم خصمها .

3. درجة حاصل ضرب عاملين أو أكثر تساوي حاصل ضرب درجات هذه العوامل.

(اي بي سي… ) ن = ن· ب ن · ج ن…

4. درجة النسبة (الكسر) تساوي نسبة درجات المقسوم (البسط) والمقسوم عليه (المقام):

(أ / ب ) ن = أ ن / ب ن .

5. عند رفع قوة إلى قوة، يتم ضرب أسسها:

(أكون ) ن = أ م ن .

تتم قراءة جميع الصيغ المذكورة أعلاه وتنفيذها في كلا الاتجاهين من اليسار إلى اليمين والعكس.

مثال (2 · 3 · 5 / 15)² = 2² 3² 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .

العمليات مع الجذور. في جميع الصيغ أدناه، الرمز وسائل الجذر الحسابي(التعبير الجذري إيجابي).

1. جذر منتج عدة عوامل يساوي المنتج جذور هذه العوامل:

2. جذر النسبة يساوي نسبة جذور المقسوم والمقسوم عليه:

3. عند رفع الجذر إلى قوة ما، يكفي الرفع إلى هذه القوة العدد الجذري:

4. إذا قمنا بزيادة درجة الجذرم يرفع لم القوة th هي عدد جذري، فإن قيمة الجذر لن تتغير:

5. إذا قمنا بتقليل درجة الجذرم استخراج الجذر مرة واحدة وفي نفس الوقتم القوة رقم الجذر، فإن قيمة الجذر ليست كذلكسوف يتغير:

توسيع مفهوم الدرجة. لقد تناولنا حتى الآن الدرجات ذات الأسس الطبيعية فقط؛ولكن الإجراءات مع يمكن أن تؤدي الدرجات والجذور أيضًا إلى سلبي, صفرو كسورالمؤشرات. كل هذه الأسس تتطلب تعريفا إضافيا.

درجة ذات أس سلبي. قوة بعض الأرقام ج يتم تعريف الأس السالب (العدد الصحيح) على أنه واحد مقسم بقوة نفس العدد وأس يساوي القيمة المطلقةمؤشر سلبي:

تالآن الصيغة أكون: ن= أكون - ن يمكن استخدامها ليس فقط لم، أكثر من ن، ولكن أيضًا مع م، أقل من ن .

مثال أ 4 :أ 7 = أ 4 - 7 = أ - 3 .

إذا أردنا الصيغةأكون : ن= أكون - نكان عادلا عندمام = ن, نحن بحاجة إلى تعريف لدرجة الصفر.

درجة بمؤشر صفر. قوة أي عدد غير الصفر وأسه صفر هي 1.

أمثلة. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

درجة مع الأس الكسرية. لرفع عدد حقيقيوإلى السلطة م / ن ، تحتاج إلى استخراج الجذرالقوة ن من م -القوة رقم هذا الرقمأ :

عن التعبيرات التي ليس لها معنى. هناك العديد من هذه التعبيرات.أي رقم.

في الواقع، إذا افترضنا أن هذا التعبير يساوي عددًا ما سإذن حسب تعريف عملية القسمة لدينا : 0 = 0 · س. ولكن هذه المساواة تحدث عندما أي رقم ×، وهو ما كان يحتاج إلى إثبات.

الحالة 3.

0 0 - أي رقم.

حقًا،

الحل: دعونا ننظر في ثلاث حالات رئيسية:

1) س = 0 – هذه القيمة لا تلبي هذه المعادلة

(لماذا؟).

2) متى س> 0 نحصل على: س / س = 1، أي 1 = 1 يعني

ماذا س- أي رقم؛ ولكن مع الأخذ بعين الاعتبار أن في

في حالتنا هذه س> 0، الجواب هوس > 0 ;

3) متى س < 0 получаем: – س / س= 1، أي ه . -1 = 1، وبالتالي،

في هذه الحالة ليس هناك حل.

هكذا، س > 0.

في بداية الدرس، سنراجع الخصائص الأساسية للجذور التربيعية، ثم نلقي نظرة على عدة أمثلة معقدة لتبسيط التعبيرات التي تحتوي على جذور تربيعية.

موضوع:وظيفة. خصائص الجذر التربيعي

درس:تحويل وتبسيط التعبيرات الأكثر تعقيدًا باستخدام الجذور

1. مراجعة خصائص الجذور التربيعية

دعونا نكرر النظرية بإيجاز ونتذكر الخصائص الأساسية للجذور التربيعية.

خصائص الجذور التربيعية:

1. لذلك؛

3. ;

4. .

2. أمثلة لتبسيط العبارات ذات الجذور

دعنا ننتقل إلى أمثلة لاستخدام هذه الخصائص.

مثال 1: تبسيط التعبير .

حل. للتبسيط، يجب تحليل العدد 120 إلى عوامل أولية:

سنكشف عن مربع المجموع باستخدام الصيغة المناسبة:

مثال 2: تبسيط التعبير .

حل. لنأخذ في الاعتبار أن هذا التعبير لا معنى له بالنسبة لجميع القيم الممكنة للمتغير، حيث أن هذا التعبير يحتوي على جذور تربيعية وكسور، مما يؤدي إلى "تضييق" نطاق القيم المسموح بها. أودز: ().

لنجلب التعبير بين قوسين إلى القاسم المشترك ونكتب بسط الكسر الأخير على شكل فرق المربعات:

في.

إجابة. في.

مثال 3: تبسيط التعبير .

حل. يمكن ملاحظة أن شكل قوس البسط الثاني غير مناسب ويحتاج إلى التبسيط؛ فلنحاول تحليله باستخدام طريقة التجميع.

لكي نتمكن من استنتاج عامل مشترك، قمنا بتبسيط الجذور عن طريق تحليلها. دعنا نستبدل التعبير الناتج في الكسر الأصلي:

بعد تبسيط الكسر، نطبق صيغة فرق المربعات.

3. مثال للتخلص من اللاعقلانية

مثال 4. حرر نفسك من اللاعقلانية (الجذور) في المقام: أ) ; ب) .

حل. أ) من أجل التخلص من اللاعقلانية في المقام، يتم استخدام الطريقة القياسية لضرب كل من بسط ومقام الكسر في العامل المرافق للمقام (نفس التعبير، ولكن مع الإشارة المعاكسة). يتم ذلك لتكملة مقام الكسر بفرق المربعات، مما يسمح لك بالتخلص من الجذور في المقام. دعونا نفعل ذلك في حالتنا:

ب) تنفيذ إجراءات مماثلة:

إجابة.؛ .

4. مثال لإثبات وتحديد المربع الكامل في جذري مركب

مثال 5. إثبات المساواة .

دليل. دعونا نستخدم تعريف الجذر التربيعي، والذي يترتب عليه أن مربع التعبير الأيمن يجب أن يكون مساوياً للتعبير الجذري:

. دعونا نفتح الأقواس باستخدام صيغة مربع المجموع:

، لقد حصلنا على المساواة الصحيحة.

ثبت.

مثال 6. تبسيط التعبير.

حل. يُطلق على هذا التعبير عادةً اسم الجذر المعقد (الجذر تحت الجذر). في هذا المثال، تحتاج إلى معرفة كيفية عزل مربع كامل من التعبير الجذري. للقيام بذلك، لاحظ أنه من بين المصطلحين، فهو مرشح لدور المنتج المزدوج في صيغة الفرق المربع (الفرق، حيث يوجد ناقص). لنكتبها على صورة حاصل الضرب التالي: ، فإن 1 يدعي أنه أحد حدود المربع الكامل، ويدعي 1 أنه الحد الثاني.

دعونا نستبدل هذا التعبير تحت الجذر.

هذه المقالة عبارة عن مجموعة من المعلومات التفصيلية التي تتعلق بموضوع خصائص الجذور. بالنظر إلى الموضوع، سنبدأ بالخصائص، وندرس جميع الصيغ ونقدم الأدلة. لتعزيز الموضوع، سننظر في خصائص الدرجة التاسعة.

خصائص الجذور

سنتحدث عن الخصائص.

1. ملكية أرقام مضروبة أو ب، والتي يتم تمثيلها بالمساواة أ · ب = أ · ب. ويمكن تمثيله في صورة عوامل موجبة أو تساوي الصفر أ1، أ2،…، أك 1 · أ 2 · … · أ ك = أ 1 · أ 2 · … · أ ك ;
2. من حاصل القسمة a: b = a: b، a ≥ 0، b > 0، يمكن أيضًا كتابتها بهذا النموذج a b = a b؛
3. الملكية من قوة الرقم أمع الأس الزوجي a 2 m = a m لأي رقم أعلى سبيل المثال، الخاصية من مربع الرقم a 2 = a.

في أي من المعادلات المقدمة، يمكنك تبديل الأجزاء قبل وبعد علامة الشرطة، على سبيل المثال، المساواة a · b = a · b تتحول إلى a · b = a · b. غالبًا ما تستخدم خصائص المساواة لتبسيط المعادلات المعقدة.

وإثبات الخواص الأولى يعتمد على تعريف الجذر التربيعي وخواص القوى ذات الأس الطبيعي. لتبرير الخاصية الثالثة، من الضروري الرجوع إلى تعريف معامل الرقم.

أولا وقبل كل شيء، من الضروري إثبات خصائص الجذر التربيعي أ · ب = أ · ب. ووفقا للتعريف، فمن الضروري اعتبار أن أ ب هو عدد موجب أو يساوي الصفر، والذي سيكون مساويا ل أ بأثناء البناء في مربع. قيمة التعبير a · b موجبة أو تساوي الصفر كحاصل ضرب أرقام غير سالبة. تسمح لنا خاصية قوى الأعداد المضاعفة بتمثيل المساواة بالشكل (أ · ب) 2 = أ 2 · ب 2 . حسب تعريف الجذر التربيعي، أ 2 = أ و ب 2 = ب، ثم أ · ب 2 = أ 2 · ب 2 = أ · ب.

وبطريقة مماثلة يمكن إثبات ذلك من المنتج كمضاعفات أ1، أ2،…، أسيكون مساوياً لمنتج الجذور التربيعية لهذه العوامل. بالفعل أ 1 · أ 2 · … · أ ك 2 = أ 1 2 · أ 2 2 · … · أ ك 2 = أ 1 · أ 2 · … · أ ك .

ويترتب على هذه المساواة أن أ 1 · أ 2 · … · أ ك = أ 1 · أ 2 · … · أ ك.

دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة لتعزيز الموضوع.

مثال 1

3 5 2 5 = 3 5 2 5, 4, 2 13 1 2 = 4, 2 13 1 2 و 2, 7 4 12 17 0, 2 (1) = 2, 7 4 12 17 · 0 , 2 (1) .

من الضروري إثبات خاصية الجذر التربيعي الحسابي للحاصل: أ: ب = أ: ب، أ ≥ 0، ب > 0. الخاصية تسمح لنا بكتابة المساواة a: b 2 = a 2: b 2، و a 2: b 2 = a: b، بينما a: b عدد موجب أو يساوي الصفر. وهذا التعبير سوف يصبح الدليل.

على سبيل المثال، 0:16 = 0:16، 80:5 = 80:5 و30.121 = 30.121.

دعونا نفكر في خاصية الجذر التربيعي لمربع العدد. يمكن كتابتها على شكل مساواة كـ a 2 = a لإثبات هذه الخاصية، من الضروري النظر بالتفصيل في عدة مساواة لـ أ ≥ 0وفي أ< 0 .

من الواضح أنه بالنسبة لـ ≥ 0 فإن المساواة a 2 = a صحيحة. في أ< 0 المساواة أ 2 = - أ ستكون صحيحة. في الواقع، في هذه الحالة - أ> 0و (− أ) 2 = أ 2 . يمكننا أن نستنتج، أ 2 = أ، أ ≥ 0 - أ، أ< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة.

مثال 2

5 2 = 5 = 5 و - 0، 36 2 = - 0، 36 = 0، 36.

سوف تساعد الخاصية المثبتة على تبرير 2 m = a m، حيث أ- حقيقي، و م-عدد طبيعي. في الواقع، خاصية رفع القوة تسمح لنا باستبدال القوة 2 متعبير (أ م) 2، ثم 2 م = (أ م) 2 = أ م.

مثال 3

3 8 = 3 4 = 3 4 و (- 8 , 3) ​​​​14 = - 8 , 3 7 = (8 , 3) ​​​​7 .

خصائص الجذر n

أولاً، علينا أن نأخذ في الاعتبار الخصائص الأساسية للجذور النونية:

1. الملكية من منتج الأرقام أو ب، والتي تكون موجبة أو تساوي الصفر، يمكن التعبير عنها بالمساواة a · b n = a n · b n ، هذه الخاصية صالحة للمنتج كأعداد أ1، أ2،…، أك 1 · أ 2 · … · أ ك ن = أ 1 ن · أ 2 ن · … · أ ك ن ;
2. من عدد كسري له الخاصية a b n = a n b n , حيث أهو أي عدد حقيقي موجب أو يساوي صفر، و ب- عدد حقيقي موجب؛
3. لأي أوحتى المؤشرات ن = 2 مأ 2 · م 2 · م = أ صحيح، وغريب ن = 2 م − 1المساواة a 2 · م - 1 2 · م - 1 = أ يحمل.
4. خاصية الاستخراج من a m n = a n m , أين أ- أي رقم، موجب أو يساوي صفر، نو مهي أعداد طبيعية، ويمكن أيضًا تمثيل هذه الخاصية في النموذج. . . أ ن ك ن 2 ن 1 = أ ن 1 · ن 2 . . . · ن ك ;
5. لأي غير سلبي وتعسفي نو موهي طبيعية، يمكننا أيضًا تعريف المساواة العادلة a m n · m = a n ;
6. خاصية الدرجة نمن قوة العدد أوهي موجبة أو تساوي صفراً للقوة الطبيعية م, التي تحددها المساواة a m n = a n m ;
7. خاصية المقارنة التي لها نفس الأسس: لأي أرقام موجبة أو بمثل ذلك أ< b ، عدم المساواة ن< b n ;
8. خاصية المقارنة التي لها نفس الأرقام تحت الجذر: if مو ن -الأعداد الطبيعية التي م > ن، ثم عند 0 < a < 1 عدم المساواة a m > a n صحيح، ومتى أ> 1أعدم م< a n .

تعتبر المعادلات المذكورة أعلاه صالحة إذا تم تبديل الأجزاء قبل وبعد علامة المساواة. ويمكن استخدامها أيضًا في هذا النموذج. يُستخدم هذا غالبًا عند تبسيط التعبيرات أو تحويلها.

يعتمد إثبات خصائص الجذر المذكورة أعلاه على التعريف وخصائص الدرجة وتعريف معامل الرقم. ويجب إثبات هذه الخصائص. ولكن كل شيء في محله.

1. أولاً، دعونا نثبت خصائص الجذر النوني للمنتج a · b n = a n · b n . ل أو ب، الذينكون إيجابية أو تساوي الصفر , القيمة a n · b n هي أيضًا موجبة أو تساوي الصفر، لأنها نتيجة لضرب الأعداد غير السالبة. خاصية المنتج للقوة الطبيعية تسمح لنا بكتابة المساواة a n · b n n = a n n · b n n . حسب تعريف الجذر ن-الدرجة الرابعة أ ن ن = أ و ب ن ن = ب ، لذلك أ ن · ب ن ن = أ · ب . والمساواة الناتجة هي بالضبط ما يجب إثباته.

ويمكن إثبات هذه الخاصية بالمثل بالنسبة للمنتج كالمضاعفات: للأرقام غير السالبة a 1, a 2, …, a n, a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0.

فيما يلي أمثلة على استخدام خاصية الجذر ن- القوة الرابعة من المنتج: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 و 8، 3 4 17، (21) 4 3 4 5 7 4 = 8، 3 17، (21) 3 · 5 7 4 .

1. دعونا نثبت خاصية جذر حاصل القسمة a b n = a n b n . في أ ≥ 0و ب> 0تم استيفاء الشرط a n b n ≥ 0، و a n b n n = a n n b n n = a b .

دعونا نعرض الأمثلة:

مثال 4

8 27 3 = 8 3 27 3 و 2، 3 10: 2 3 10 = 2، 3: 2 3 10.

1. في الخطوة التالية لا بد من إثبات خصائص الدرجة n من العدد إلى الدرجة ن. دعونا نتخيل ذلك على أنه المساواة a 2 m 2 m = a و a 2 m - 1 2 m - 1 = a لأي حقيقي أوطبيعية م. في أ ≥ 0نحصل على أ = أ و أ 2 م = أ 2 م، مما يثبت المساواة أ 2 م 2 م = أ، والمساواة أ 2 م - 1 2 م - 1 = أ واضحة. في أ< 0 نحصل على التوالي، أ = - أ و 2 م = (- أ) 2 م = أ 2 م. التحويل الأخير لعدد يكون صالحًا وفقًا لخاصية القوة. وهذا بالضبط ما يثبت المساواة a 2 m 2 m = a، و a 2 m - 1 2 m - 1 = a ستكون صحيحة، حيث يتم اعتبار الدرجة الفردية - c 2 m - 1 = - c 2 m - 1 لأي رقم ج،إيجابية أو تساوي الصفر.

من أجل توحيد المعلومات الواردة، دعونا ننظر في عدة أمثلة باستخدام الخاصية:

مثال 5

7 4 4 = 7 = 7، (- 5) 12 12 = - 5 = 5، 0 8 8 = 0 = 0، 6 3 3 = 6 و (- 3، 39) 5 5 = - 3، 39.

1. دعونا نثبت المساواة التالية a m n = a n m . للقيام بذلك، عليك تبديل الأرقام قبل وبعد علامة المساواة a n · m = a m n . وهذا يعني أن الإدخال صحيح. ل أ،وهو أمر إيجابي أو يساوي الصفر , من النموذج a m n هو رقم موجب أو يساوي صفر. ولننتقل إلى خاصية رفع قوة إلى قوة وتعريفها. بمساعدتهم، يمكنك تحويل المساواة في النموذج a m n n · m = a m n n m = a m m = a. وهذا يثبت خاصية جذر الجذر قيد النظر.

وقد ثبت خصائص أخرى بالمثل. حقًا، . . . أ ن ك ن 2 ن 1 ن 1 · ن 2 · . . . · ن ك = . . . أ ن ك ن 3 ن 2 ن 2 · ن 3 · . . . · ن ك = . . . أ ن ك ن 4 ن 3 ن 3 · ن 4 · . . . · ن ك = . . . = أ ن ك ن ك = أ .

على سبيل المثال، 7 3 5 = 7 5 3 و 0.0009 6 = 0.0009 2 2 6 = 0.0009 24.

1. دعونا نثبت الخاصية التالية a m n · m = a n . للقيام بذلك، من الضروري إظهار أن n هو رقم موجب أو يساوي الصفر. عند رفعها إلى القوة n m تساوي أكون. إذا كان الرقم أموجبة أو تساوي صفرًا، إذن ن-الدرجة الرابعة من بين أهو عدد موجب أو يساوي صفر، وفي هذه الحالة a n · m n = a n n m وهو ما يحتاج إلى إثبات.

من أجل تعزيز المعرفة المكتسبة، دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة.

1. دعونا نثبت الخاصية التالية – خاصية جذر قوة على الصورة a m n = a n m . فمن الواضح أنه عندما أ ≥ 0الدرجة a n m هي رقم غير سالب. علاوة على ذلك، لها نالقوة تساوي أكونفي الواقع أ ن م ن = أ ن م · ن = أ ن ن م = أ م . وهذا يثبت خاصية الدرجة قيد النظر.

على سبيل المثال، 2 3 5 3 = 2 3 3 5.

1. من الضروري إثبات ذلك لأي أرقام موجبة أو ب استيفاء الشرط أ< b . النظر في عدم المساواة ن< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию أ< b . لذلك، ن< b n при أ< b .

على سبيل المثال، دعونا نعطي 12 4< 15 2 3 4 .

1. النظر في خاصية الجذر ن-الدرجة. من الضروري أن نأخذ في الاعتبار أولاً الجزء الأول من عدم المساواة. في م > نو 0 < a < 1 صحيح م > ن . لنفترض أن m ≥ a n. ستسمح لك الخصائص بتبسيط التعبير إلى a n m · n ≥ a m m · n . بعد ذلك، وفقًا لخصائص الدرجة ذات الأس الطبيعي، فإن المتباينة a n m · n m · n ≥ a m m · n m · n تحمل، أي، أ ن ≥ أ م. القيمة التي تم الحصول عليها في م > نو 0 < a < 1 لا يتوافق مع الخصائص المذكورة أعلاه.

وبنفس الطريقة يمكن إثبات أنه متى م > نو أ> 1الشرط m صحيح< a n .

من أجل توحيد الخصائص المذكورة أعلاه، دعونا ننظر في عدة أمثلة محددة. دعونا ننظر إلى عدم المساواة باستخدام أرقام محددة.

مثال 6

0, 7 3 > 0, 7 5 و 12 > 12 7.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

في كثير من الأحيان، عند حل المشكلات، نواجه أعدادًا كبيرة نحتاج إلى استخراجها منها الجذر التربيعي. يقرر العديد من الطلاب أن هذا خطأ ويبدأون في إعادة حل المثال بأكمله. لا ينبغي عليك القيام بذلك تحت أي ظرف من الظروف! هناك سببان لهذا:

1. تظهر جذور الأعداد الكبيرة في المسائل. خاصة في النصوص؛
2. هناك خوارزمية يتم من خلالها حساب هذه الجذور شفهيًا تقريبًا.

سننظر في هذه الخوارزمية اليوم. ربما تبدو بعض الأشياء غير مفهومة بالنسبة لك. ولكن إذا انتبهت لهذا الدرس، فسوف تحصل على سلاح قوي ضدك الجذور التربيعية.

لذلك، الخوارزمية:

1. حدد الجذر المطلوب أعلاه وأدناه بالأرقام التي هي من مضاعفات 10. وبالتالي، فإننا سوف نقلل نطاق البحث إلى 10 أرقام؛
2. من هذه الأرقام العشرة، استبعد تلك الأرقام التي لا يمكن أن تكون جذورًا بالتأكيد. نتيجة لذلك، ستبقى أرقام 1-2؛
3. قم بتربيع هذه الأرقام 1-2. ومن يساوي مربعه العدد الأصلي سيكون هو الجذر.

قبل وضع هذه الخوارزمية موضع التنفيذ، دعونا نلقي نظرة على كل خطوة على حدة.

الحد من الجذر

أولًا، علينا معرفة أي الأعداد يقع جذرنا. من المرغوب فيه للغاية أن تكون الأرقام مضاعفات العشرة:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

نحصل على سلسلة من الأرقام:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

ماذا تقول لنا هذه الارقام؟ الأمر بسيط: لدينا حدود. خذ على سبيل المثال الرقم 1296. وهو يقع بين 900 و1600. ولذلك لا يمكن أن يكون جذره أقل من 30 ولا يزيد عن 40:

[تعليق على الصورة]

الأمر نفسه ينطبق على أي رقم آخر يمكنك إيجاد الجذر التربيعي منه. على سبيل المثال 3364:

[تعليق على الصورة]

وبالتالي، بدلا من رقم غير مفهوم، نحصل على نطاق محدد للغاية يقع فيه الجذر الأصلي. لتضييق نطاق البحث بشكل أكبر، انتقل إلى الخطوة الثانية.

القضاء على الأرقام غير الضرورية بشكل واضح

إذن، لدينا 10 أرقام - مرشحة للجذر. لقد حصلنا عليها بسرعة كبيرة، دون التفكير المعقد والضرب في العمود. حان الوقت للتغيير حان الوقت للتغير حان الوقت للانتقال.

صدق أو لا تصدق، سنقوم الآن بتقليل عدد المرشحين إلى اثنين - مرة أخرى دون أي حسابات معقدة! ويكفي معرفة القاعدة الخاصة. ها هو:

الرقم الأخير من المربع يعتمد فقط على الرقم الأخير الرقم الأصلي.

بمعنى آخر، ما عليك سوى إلقاء نظرة على الرقم الأخير من المربع وسنفهم على الفور أين ينتهي الرقم الأصلي.

لا يوجد سوى 10 أرقام يمكن أن تأتي في المركز الأخير. دعونا نحاول معرفة ما تتحول إليه عند التربيع. ألق نظرة على الجدول:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

يعد هذا الجدول خطوة أخرى نحو حساب الجذر. كما ترون، تبين أن الأرقام الموجودة في السطر الثاني متناظرة بالنسبة إلى الرقم خمسة. على سبيل المثال:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

كما ترون، الرقم الأخير هو نفسه في كلتا الحالتين. وهذا يعني أنه، على سبيل المثال، يجب أن ينتهي جذر 3364 بالرقم 2 أو 8. ومن ناحية أخرى، نتذكر القيد من الفقرة السابقة. نحن نحصل:

[تعليق على الصورة]

تشير المربعات الحمراء إلى أننا لا نعرف هذا الرقم بعد. لكن الجذر يقع في النطاق من 50 إلى 60، حيث لا يوجد سوى رقمين ينتهيان بالرقم 2 و8:

[تعليق على الصورة]

هذا كل شئ! من بين كل الجذور الممكنة، لم نترك سوى خيارين! وهذا في أصعب الحالات، لأن الرقم الأخير يمكن أن يكون 5 أو 0. وبعد ذلك سيكون هناك مرشح واحد فقط للجذور!

الحسابات النهائية

لذلك، لدينا رقمين مرشحين متبقيين. كيف تعرف أي واحد هو الجذر؟ الجواب واضح: قم بتربيع كلا الرقمين. الرقم الذي يعطينا الرقم الأصلي سيكون هو الجذر.

على سبيل المثال، بالنسبة للرقم 3364، وجدنا رقمين مرشحين: 52 و58. فلنقم بتربيعهما:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704؛
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.

هذا كل شئ! اتضح أن الجذر هو 58! في الوقت نفسه، لتبسيط الحسابات، استخدمت صيغة مربعات المجموع والفرق. وبفضل هذا، لم أضطر حتى إلى مضاعفة الأرقام في عمود! هذا مستوى آخر من تحسين العمليات الحسابية، ولكنه بالطبع اختياري تمامًا :)

أمثلة لحساب الجذور

النظرية بالطبع جيدة. لكن دعونا نتحقق من ذلك عمليًا.

[تعليق على الصورة]

أولاً، دعونا نكتشف بين الأرقام التي يقع فيها الرقم 576:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

الآن دعونا نلقي نظرة على الرقم الأخير. وهي تساوي 6. متى يحدث هذا؟ فقط إذا كان الجذر ينتهي بـ 4 أو 6. نحصل على رقمين:

كل ما تبقى هو تربيع كل رقم ومقارنته بالرقم الأصلي:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

عظيم! تبين أن المربع الأول يساوي الرقم الأصلي. إذن هذا هو الجذر.

مهمة. احسب الجذر التربيعي:

[تعليق على الصورة]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

دعونا ننظر إلى الرقم الأخير:

1369 → 9;
33; 37.

قم بتربيعها:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 40 3 + 9 = 1369.

وإليكم الجواب: 37.

مهمة. احسب الجذر التربيعي:

[تعليق على الصورة]

نحن نحدد العدد:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

دعونا ننظر إلى الرقم الأخير:

2704 → 4;
52; 58.

قم بتربيعها:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704؛

لقد تلقينا الإجابة: 52. لن تكون هناك حاجة إلى تربيع الرقم الثاني.

مهمة. احسب الجذر التربيعي:

[تعليق على الصورة]

نحن نحدد العدد:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

دعونا ننظر إلى الرقم الأخير:

4225 → 5;
65.

كما ترون، بعد الخطوة الثانية لم يتبق سوى خيار واحد: 65. هذا هو الجذر المطلوب. ولكن دعونا لا نزال نقوم بتربيعها والتحقق من:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225؛

كل شيء صحيح. نكتب الجواب.

خاتمة

للأسف، ليس أفضل. دعونا ننظر إلى الأسباب. هناك اثنان منهم:

• في أي اختبار عادي للرياضيات، سواء كان الامتحان الحكومي أو الامتحان الموحد، يُحظر استخدام الآلات الحاسبة. وإذا أحضرت آلة حاسبة إلى الفصل، فمن الممكن أن يتم طردك من الامتحان بسهولة.
• لا تكن مثل الأمريكان الأغبياء. وهي ليست مثل الجذور، فلا يمكنها جمع عددين أوليين. وعندما يرون الكسور، يصبحون في حالة هستيرية بشكل عام.