تحولات متطابقة. تحويل التعبيرات. النظرية التفصيلية (2020) التعبير وتحولاتها المتطابقة

الإجراء الحسابي الذي يتم تنفيذه أخيرًا عند حساب قيمة التعبير هو "الرئيسي".

بمعنى ، إذا استبدلت بعض الأرقام (أي) بدلاً من الأحرف ، وحاولت حساب قيمة التعبير ، فإذا كان الإجراء الأخير هو الضرب ، فسيكون لدينا منتج (يتم تحليل التعبير).

إذا كان الإجراء الأخير هو الجمع أو الطرح ، فهذا يعني أن التعبير لم يتم تحليله إلى عوامل (وبالتالي لا يمكن إلغاؤه).

لإصلاح الحل بنفسك ، خذ بعض الأمثلة:

أمثلة:

حلول:

1. أتمنى ألا تتسرع في قطعك على الفور؟ لا يزال "قطع" وحدات مثل هذا غير كافٍ:

يجب أن يكون الإجراء الأول هو التحليل:

4. جمع وطرح الكسور. تحويل الكسور إلى قاسم مشترك.

جمع الكسور العادية وطرحها عملية مألوفة جدًا: نبحث عن مقام مشترك ، ونضرب كل كسر في العامل المفقود ونجمع / نطرح البسط.

دعنا نتذكر:

الإجابات:

1. المقامات وهي أولية بشكل متبادل ، أي ليس لها عوامل مشتركة. لذلك ، المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام يساوي حاصل ضربهما. سيكون هذا هو القاسم المشترك:

2. هنا القاسم المشترك هو:

3. هنا ، أولاً وقبل كل شيء ، نحول الكسور المختلطة إلى كسور غير صحيحة ، وبعد ذلك - وفقًا للمخطط المعتاد:

يختلف الأمر تمامًا إذا كانت الكسور تحتوي على أحرف ، على سبيل المثال:

لنبدأ ببساطة:

أ) لا تحتوي القواسم على أحرف

كل شيء هنا هو نفسه كما هو الحال مع الكسور الرقمية العادية: نجد القاسم المشترك ، ونضرب كل كسر في العامل المفقود ونجمع / نطرح البسط:

الآن في البسط يمكنك إحضار متشابهة ، إن وجدت ، والتحلل إلى عوامل:

جربها بنفسك:

الإجابات:

ب) تحتوي القواسم على حروف

دعونا نتذكر مبدأ إيجاد قاسم مشترك بدون أحرف:

· أولاً ، نحدد العوامل المشتركة.

· اكتب كل العوامل المشتركة مرة واحدة.

· واضربهم في كل العوامل الأخرى غير المشتركة.

لتحديد العوامل المشتركة بين القواسم ، نحللها أولاً إلى عوامل أولية:

دعنا نؤكد على العوامل المشتركة:

الآن دعنا نكتب العوامل المشتركة مرة واحدة ونضيف إليها جميع العوامل غير المشتركة (غير المسطرة):

هذا هو القاسم المشترك.

دعنا نعود إلى الحروف. تظهر القواسم بنفس الطريقة تمامًا:

· نحلل القواسم إلى عوامل.

· نحدد العوامل المشتركة (المتطابقة).

· اكتب كل العوامل المشتركة مرة واحدة.

· نضربهم في جميع العوامل الأخرى ، وليس المشترك.

لذلك ، بالترتيب:

1) نحلل القواسم إلى عوامل:

2) نحدد العوامل المشتركة (المتطابقة):

3) نكتب جميع العوامل المشتركة مرة واحدة ونضربها في جميع العوامل الأخرى (غير المضغوطة):

إذن فإن المقام المشترك هنا. يجب ضرب الكسر الأول في والثاني في:

بالمناسبة ، هناك خدعة واحدة:

فمثلا: .

نرى نفس العوامل في القواسم ، جميعها فقط بمؤشرات مختلفة. سيكون القاسم المشترك:

الى حد

الى حد

الى حد

في الدرجة.

دعنا نعقد المهمة:

كيف تجعل الكسور نفس المقام؟

لنتذكر الخاصية الأساسية للكسر:

لا يُقال في أي مكان أنه يمكن طرح (أو إضافة) نفس العدد من بسط الكسر ومقامه. لأن هذا ليس صحيحا!

انظر بنفسك: خذ أي كسر ، على سبيل المثال ، وأضف بعض الأرقام إلى البسط والمقام ، على سبيل المثال. ما الذي تم تعلمه؟

إذن ، قاعدة أخرى لا تتزعزع:

عند اختزال الكسور إلى قاسم مشترك ، استخدم الضرب فقط!

لكن ما الذي تحتاجه للمضاعفة لتحصل على؟

هنا وتضاعف. وضرب في:

التعبيرات التي لا يمكن تحليلها إلى عوامل تسمى "العوامل الأولية".

على سبيل المثال ، هو عامل أساسي. - أيضا. لكن - لا: هو عامل.

ما رأيك في التعبير؟ هل هي الابتدائية؟

لا ، حيث يمكن تحليلها إلى عوامل:

(لقد قرأت بالفعل عن التحليل في الموضوع "").

لذلك ، فإن العوامل الأولية التي تقوم بتوسيع التعبير بالأحرف فيها مماثلة للعوامل الأولية التي تقوم بتوسيع الأرقام فيها. وسنتعامل معهم بنفس الطريقة.

نرى أن كلا المقام لهما عامل. سيذهب إلى القاسم المشترك في القوة (تذكر لماذا؟).

العامل أساسي ، وهو ليس مشتركًا بينهم ، مما يعني أنه يجب ببساطة ضرب الكسر الأول به:

مثال آخر:

القرار:

قبل ضرب هذه القواسم في حالة من الذعر ، عليك التفكير في كيفية تحليلها في العوامل؟ كلاهما يمثل:

غرامة! ثم:

مثال آخر:

القرار:

كالعادة ، عامل القواسم. في المقام الأول ، نضعه ببساطة خارج الأقواس ؛ في الثانية - فرق المربعات:

يبدو أنه لا توجد عوامل مشتركة. لكن إذا نظرت عن كثب ، ستجد أنها متشابهة جدًا ... والحقيقة:

لذلك دعونا نكتب:

أي ، اتضح على النحو التالي: داخل الأقواس ، قمنا بتبديل الحدود ، وفي نفس الوقت تغيرت الإشارة الموجودة أمام الكسر إلى العكس. لاحظ أنه سيتعين عليك القيام بذلك كثيرًا.

الآن نأتي إلى قاسم مشترك:

فهمتك؟ دعنا نتحقق الآن.

مهام حل مستقل:

الإجابات:

هنا يجب أن نتذكر واحدًا آخر - الفرق بين المكعبات:

يرجى ملاحظة أن مقام الكسر الثاني ليس معادلة "مربع المجموع"! سيبدو مربع المجموع كما يلي :.

أ هو ما يسمى بالمربع غير المكتمل من المجموع: المصطلح الثاني فيه هو حاصل ضرب الأول والأخير ، وليس حاصل ضربهما المضاعف. يعتبر المربع غير المكتمل للمحصلة أحد عوامل تمدد فرق المكعبات:

ماذا لو كان هناك بالفعل ثلاثة كسور؟

نفس الشيء! بادئ ذي بدء ، لنتأكد من أن الحد الأقصى لعدد العوامل في المقامات هو نفسه:

انتبه: إذا قمت بتغيير العلامات داخل أحد الأقواس ، فإن الإشارة الموجودة أمام الكسر تتغير إلى العكس. عندما نغير العلامات الموجودة في القوس الثاني ، تنعكس الإشارة أمام الكسر مرة أخرى. ونتيجة لذلك ، لم يتغير (العلامة قبل الكسر).

في المقام المشترك ، اكتب المقام الأول كاملاً ، ثم أضف إليه جميع العوامل التي لم تُكتب بعد ، من الثاني ، ثم من الثالث (وهكذا ، إذا كان هناك المزيد من الكسور). هذا هو ، اتضح مثل هذا:

حسنًا ... مع الكسور ، من الواضح ما يجب فعله. لكن ماذا عن الشيطان؟

الأمر بسيط: أنت تعرف كيفية جمع الكسور ، أليس كذلك؟ هذا يعني أننا بحاجة إلى جعل الشيطان جزءًا صغيرًا! تذكر: الكسر هو عملية قسمة (يقسم البسط على المقام ، في حالة نسيانه فجأة). ولا شيء أسهل من قسمة رقم على. في هذه الحالة ، لن يتغير الرقم نفسه ، لكنه سيتحول إلى كسر:

بالضبط ما هو مطلوب!

5. ضرب وقسمة الكسور.

حسنًا ، الجزء الأصعب قد انتهى الآن. وأمامنا أبسط ولكن في نفس الوقت الأهم:

إجراء

ما هو الإجراء المتبع لحساب التعبير الرقمي؟ تذكر بحساب معنى هذا التعبير:

هل تحسبها؟

يجب أن ينجح.

لذا أذكرك.

الخطوة الأولى هي حساب الدرجة.

والثاني هو الضرب والقسمة. إذا كان هناك العديد من عمليات الضرب والقسمة في نفس الوقت ، فيمكن إجراؤها بأي ترتيب.

وأخيرًا ، نجري عمليات الجمع والطرح. مرة أخرى ، بأي ترتيب.

لكن: يتم تقييم التعبير بين قوسين خارج الترتيب!

إذا تم ضرب أو تقسيم عدة أقواس على بعضها البعض ، فإننا نحسب أولاً التعبير في كل من الأقواس ، ثم نضربها أو نقسمها.

ماذا لو كان هناك المزيد من الأقواس داخل الأقواس؟ حسنًا ، لنفكر: بعض التعبيرات مكتوبة داخل الأقواس. وعند تقييم تعبير ما ، ما هو أول شيء يجب فعله؟ هذا صحيح ، احسب الأقواس. حسنًا ، اكتشفناها: أولاً نحسب الأقواس الداخلية ، ثم كل شيء آخر.

لذا ، فإن ترتيب الإجراءات للتعبير أعلاه هو كما يلي (يتم تمييز الإجراء الحالي باللون الأحمر ، أي الإجراء الذي أقوم به الآن):

حسنًا ، كل شيء بسيط.

لكن هذا ليس هو نفس التعبير بالحروف؟

لا ، نفس الشيء! فقط ، بدلاً من العمليات الحسابية ، تحتاج إلى القيام بعمليات جبرية ، أي الإجراءات الموضحة في القسم السابق: جلب مشابه، جمع الكسور ، اختزال الكسور ، وهكذا. سيكون الاختلاف الوحيد هو تأثير تحليل كثيرات الحدود إلى عوامل (والتي نستخدمها غالبًا عند التعامل مع الكسور). في أغلب الأحيان ، للتخصيم ، تحتاج إلى استخدام i أو مجرد وضع العامل المشترك خارج الأقواس.

عادة ما يكون هدفنا هو تقديم تعبير كعمل أو معين.

فمثلا:

لنبسط التعبير.

1) أولاً ، نبسط التعبير بين قوسين. هناك فرق الكسور ، وهدفنا هو تقديمه كحاصل ضرب أو حاصل قسمة. لذلك ، نضع الكسور في مقام مشترك ونضيف:

من المستحيل تبسيط هذا التعبير بعد الآن ، كل العوامل هنا أولية (هل ما زلت تتذكر ما يعنيه هذا؟).

2) نحصل على:

ضرب الكسور: ما أسهل.

3) الآن يمكنك تقصير:

هذا هو. لا شيء معقد ، أليس كذلك؟

مثال آخر:

تبسيط التعبير.

حاول أولاً حلها بنفسك ، وعندها فقط شاهد الحل.

القرار:

بادئ ذي بدء ، دعنا نحدد ترتيب الإجراءات.

أولًا ، نجمع الكسور بين الأقواس ، نحصل على واحد بدلًا من كسرين.

ثم نقسم الكسور. حسنًا ، اجمع الناتج مع الكسر الأخير.

سأقوم بتعداد الإجراءات بشكل تخطيطي:

الآن سأعرض العملية برمتها ، تلوين الإجراء الحالي باللون الأحمر:

1. في حالة وجود حالات مماثلة ، يجب إحضارها على الفور. في أي لحظة لدينا مماثلة ، فمن المستحسن إحضارها على الفور.

2. الأمر نفسه ينطبق على اختزال الكسور: بمجرد وجود فرصة للاختزال ، يجب استخدامها. الاستثناء هو الكسور التي تضيفها أو تطرحها: إذا كان لديهم الآن نفس المقامات ، فيجب ترك التخفيض لوقت لاحق.

إليك بعض المهام التي عليك حلها بنفسك:

وعدت في البداية:

الإجابات:

الحلول (موجزة):

إذا كنت قد تعاملت مع الأمثلة الثلاثة الأولى على الأقل ، فهذا يعني أنك قد أتقنت الموضوع.

الآن إلى الأمام للتعلم!

تحويل العبارات. الملخصات والصيغ الأساسية

عمليات التبسيط الأساسية:

• جلب مماثلة: لإضافة (إحضار) هذه المصطلحات ، تحتاج إلى إضافة معاملاتها وتعيين جزء الحرف.
• التخصيم:أخذ العامل المشترك ، والتطبيق ، وما إلى ذلك.
• تخفيض الكسر: يمكن ضرب أو قسمة بسط الكسر أو مقامته على نفس العدد غير الصفري ، مما لا يغير قيمة الكسر.
  1) البسط والمقام عامل بها
  2) إذا كانت هناك عوامل مشتركة في البسط والمقام ، فيمكن شطبهما.

  هام: يمكن تقليل المضاعفات فقط!

• جمع وطرح الكسور:
  ;
• ضرب وقسمة الكسور:
  ;

تمثل تحويلات الهوية العمل الذي نقوم به باستخدام التعبيرات الرقمية والحرفية ، بالإضافة إلى التعبيرات التي تحتوي على متغيرات. نقوم بتنفيذ كل هذه التحولات من أجل إحضار التعبير الأصلي إلى الشكل الذي سيكون مناسبًا لحل المشكلة. سننظر في الأنواع الرئيسية للتحولات المتطابقة في هذا الموضوع.

تحويل متطابق للتعبير. ما هذا؟

لأول مرة نلتقي بمفهوم التحول المتطابق في دروس الجبر في الصف السابع. في الوقت نفسه ، نتعرف أولاً على مفهوم التعبيرات المتساوية. دعونا نفهم المفاهيم والتعريفات لجعل الموضوع أسهل في الفهم.

التعريف 1

تحويل متطابق للتعبير - هذه هي الإجراءات التي يتم تنفيذها بهدف استبدال التعبير الأصلي بتعبير يكون مساويًا للتعبير الأصلي.

غالبًا ما يستخدم هذا التعريف في شكل مختصر ، حيث يتم حذف كلمة "متطابق". من المفترض على أي حال أننا نقوم بتحويل التعبير بطريقة للحصول على تعبير مطابق للأصل ، وهذا لا يحتاج إلى التأكيد بشكل منفصل.

سوف نوضح هذا التعريف أمثلة.

مثال 1

إذا استبدلنا التعبير س + 3 - 2 لتعبير متطابق x + 1، ثم سنقوم بإجراء التحويل المماثل للتعبير س + 3 - 2.

مثال 2

استبدال التعبير 2 أ 6 بالتعبير أ 3 هو التحول المتطابق بينما يتم استبدال التعبير x على التعبير × 2 ليس تحولًا متطابقًا ، منذ التعبيرات x و × 2 ليست متساوية.

نلفت انتباهك إلى شكل تعبيرات الكتابة عند إجراء تحولات متطابقة. نكتب عادة التعبير الأصلي والتعبير الناتج على أنهما مساواة. إذن ، كتابة x + 1 + 2 \u003d x + 3 تعني أن التعبير x + 1 + 2 قد اختزل إلى الصورة x + 3.

يقودنا التنفيذ المتسلسل للإجراءات إلى سلسلة من المساواة ، وهي عبارة عن عدة تحولات متطابقة تقع على التوالي. لذلك ، نحن نفهم الترميز x + 1 + 2 \u003d x + 3 \u003d 3 + x كتنفيذ متسلسل لتحوليين: أولاً ، تم إحضار التعبير x + 1 + 2 إلى الشكل x + 3 ، وهو - إلى الشكل 3 + x.

التحولات المتطابقة و ODU

عدد من التعبيرات التي بدأنا تعلمها في الصف الثامن لا معنى لها لجميع قيم المتغيرات. يتطلب إجراء تحويلات متطابقة في هذه الحالات الانتباه إلى نطاق القيم المسموح بها للمتغيرات (ADV). يمكن أن يؤدي إجراء تحويلات متطابقة إلى ترك ODZ دون تغيير أو تضييقه.

مثال 3

عند القفز من التعبير أ + (- ب) للتعبير أ - ب نطاق متغير أ و ب بقي على حاله.

مثال 4

انتقل من التعبير س إلى التعبير × 2 × يؤدي إلى تضييق نطاق القيم المسموح بها للمتغير x من مجموعة جميع الأعداد الحقيقية إلى مجموعة جميع الأعداد الحقيقية التي تم استبعاد الصفر منها.

مثال 5

تحويل متطابق للتعبير × 2 ×يؤدي التعبير x إلى توسيع نطاق القيم المسموح بها للمتغير x من مجموعة جميع الأعداد الحقيقية باستثناء الصفر إلى مجموعة جميع الأعداد الحقيقية.

يعد تضييق أو توسيع نطاق القيم المسموح بها للمتغيرات عند إجراء تحويلات متطابقة أمرًا مهمًا في حل المشكلات ، حيث يمكن أن يؤثر على دقة الحسابات ويؤدي إلى حدوث أخطاء.

تحولات الهوية الأساسية

دعونا الآن نرى ما هي التحويلات المتطابقة وكيف يتم إجراؤها. دعونا نفرد تلك الأنواع من التحولات المتطابقة ، التي يتعين علينا التعامل معها في أغلب الأحيان ، في المجموعة الرئيسية.

بالإضافة إلى التحويلات الأساسية المتطابقة ، هناك عدد من التحويلات التي تتعلق بتعبيرات من نوع معين. بالنسبة للكسور ، هذه هي طرق الاختزال والاختزال إلى مقام جديد. بالنسبة للتعبيرات ذات الجذور والقوى ، فإن جميع الإجراءات التي تتم بناءً على خصائص الجذور والقوى. بالنسبة للتعبيرات اللوغاريتمية ، الإجراءات التي يتم تنفيذها بناءً على خصائص اللوغاريتمات. إلى عن على التعبيرات المثلثية باستخدام جميع الإجراءات الصيغ المثلثية... تم تفصيل كل هذه التحولات الخاصة في موضوعات منفصلة يمكن العثور عليها في مواردنا. في هذا الصدد ، لن نتطرق إليها في هذا المقال.

دعنا ننتقل إلى النظر في التحولات الرئيسية المتطابقة.

تقليب الشروط والعوامل

لنبدأ بإعادة ترتيب المصطلحات. نحن نتعامل مع هذا التحول المتطابق في أغلب الأحيان. ويمكن اعتبار العبارة التالية القاعدة الأساسية هنا: في أي مجموع ، لا يؤثر تبديل المصطلحات في الأماكن على النتيجة.

تستند هذه القاعدة على الإزاحة والجمع بين خصائص الجمع. تتيح لنا هذه الخصائص إعادة ترتيب المصطلحات في أماكن والحصول على تعبيرات تتساوى مع العبارات الأصلية. هذا هو السبب في أن تبديل المصطلحات في الأماكن في المجموع هو تحويل الهوية.

مثال 6

لدينا مجموع ثلاثة حدود 3 + 5 + 7. إذا قمنا بتبديل المصطلحين 3 و 5 ، فإن التعبير يأخذ الشكل 5 + 3 + 7. توجد عدة خيارات لإعادة ترتيب الشروط في هذه الحالة. كل منهم يؤدي إلى الحصول على تعبيرات مماثلة للتعبير الأصلي.

ليس فقط الأرقام ، ولكن أيضًا التعبيرات يمكن أن تعمل كمصطلحات في المجموع. تمامًا مثل الأرقام ، يمكن إعادة ترتيبها دون التأثير على النتيجة النهائية للحسابات.

مثال 7

في مجموع ثلاثة حدود 1 أ + ب ، أ 2 + 2 أ + 5 + أ 7 أ 3 و - 12 أ بالصيغة 1 أ + ب + أ 2 + 2 أ + 5 + أ 7 أ 3 + ( - 12) · يمكن إعادة ترتيب المصطلحات ، على سبيل المثال ، على النحو التالي (- 12) · أ + 1 أ + ب + أ 2 + 2 · أ + 5 + أ 7 · أ 3. في المقابل ، يمكنك إعادة ترتيب حدود مقام الكسر 1 a + b ، وسيأخذ الكسر الصورة 1 b + a. والتعبير تحت علامة الجذر أ 2 + 2 أ + 5 هو أيضًا المبلغ الذي يمكن من خلاله تبديل الشروط.

بنفس طريقة المصطلحات ، في التعبيرات الأصلية يمكنك تغيير أماكن العوامل والحصول على معادلات صحيحة متطابقة. يخضع هذا الإجراء للقاعدة التالية:

التعريف 2

في المنتج ، لا تؤثر إعادة ترتيب المضاعفات في أماكن على نتيجة الحساب.

تستند هذه القاعدة إلى الإزاحة والجمع بين خصائص الضرب ، والتي تؤكد صحة التحويل المتطابق.

المثال 8

تكوين 3 5 7 يمكن تمثيل تبديل العوامل بأحد الأشكال التالية: 5 3 7 ، 5 7 3 ، 7 3 5 ، 7 5 3 أو 3 7 5.

المثال 9

معادلة العوامل في حاصل الضرب x + 1 x 2 - x + 1 x يعطي x 2 - x + 1 x x + 1

توسيع الأقواس

يمكن أن تحتوي الأقواس على تعبيرات رقمية ومتغيرة. يمكن تحويل هذه التعبيرات إلى تعبيرات متساوية بشكل متماثل ، حيث لن يكون هناك أقواس على الإطلاق أو سيكون هناك عدد أقل منها في التعبيرات الأصلية. هذه الطريقة في تحويل التعبيرات تسمى توسيع الأقواس.

المثال 10

لنقم بتنفيذ إجراءات مع أقواس في تعبير عن النموذج 3 + س - 1 س من أجل الحصول على تعبير صحيح مماثل 3 + س - 1 س.

يمكن تحويل التعبير 3 x - 1 + - 1 + x 1 - x إلى تعبير متساوٍ تمامًا بدون الأقواس 3 x - 3 - 1 + x 1 - x.

لقد قمنا بالتفصيل قواعد تحويل التعبيرات ذات الأقواس في موضوع "توسيع الأقواس" ، والذي تم نشره في مصدرنا.

تجميع المصطلحات والعوامل

في الحالات التي نتعامل فيها مع ثلاثة مصطلحات أو أكثر ، يمكننا أن نلجأ إلى هذا الشكل من التحولات المتطابقة مثل تجميع المصطلحات. تعني طريقة التحويل هذه دمج عدة مصطلحات في مجموعة عن طريق إعادة ترتيبها وإرفاقها بين قوسين.

أثناء التجميع ، يتم تبادل المصطلحات بحيث تظهر المصطلحات المراد تجميعها جنبًا إلى جنب في التعبير. يمكن بعد ذلك وضعها بين قوسين.

المثال 11

لنأخذ التعبير 5 + 7 + 1 ... إذا قمنا بتجميع الحد الأول مع الثالث ، نحصل على (5 + 1) + 7 .

يتم تجميع العوامل بشكل مشابه لتجميع المصطلحات.

المثال 12

في العمل 2 3 4 5 يمكننا تجميع العامل الأول مع الثالث ، والثاني مع الرابع ، ونصل إلى التعبير (2 4) (3 5)... وإذا قمنا بتجميع العوامل الأول والثاني والرابع ، فسنحصل على المقدار (2 3 5) 4.

يمكن تمثيل المصطلحات والعوامل المجمعة بواسطة الأعداد الأولية والتعبيرات. تمت مناقشة قواعد التجميع بالتفصيل في موضوع "تجميع المصطلحات والعوامل".

استبدال الفروق بالمبالغ والنواتج الجزئية والعكس

أصبح استبدال الاختلافات بالمبالغ ممكنًا بفضل معرفتنا بأرقام متقابلة. الآن نطرح من رقم أ أعداد ب يمكن اعتباره إضافة إلى الرقم أ أعداد - ب... المساواة أ - ب \u003d أ + (- ب)يمكن اعتباره عادلاً وعلى أساسه استبدال الفروق بالمبالغ.

المثال 13

لنأخذ التعبير 4 + 3 − 2 حيث فرق الأرقام 3 − 2 يمكننا أن نكتب كمجموع 3 + (− 2) ... نحن نحصل 4 + 3 + (− 2) .

المثال 14

كل الاختلافات في التعبير 5 + 2 x - x 2-3 x 3-0، 2 يمكن استبدالها بمبالغ مثل 5 + 2 × + (- × 2) + (- 3 × 3) + (- 0 ، 2).

يمكننا أن نذهب إلى المبالغ من أي اختلافات. وبالمثل ، يمكننا إجراء الاستبدال العكسي.

أصبح استبدال القسمة بالضرب بمقلوب المقسوم عليه ممكنًا من خلال مفهوم الأرقام المتبادلة. يمكن كتابة هذا التحول من خلال المساواة أ: ب \u003d أ (ب - 1).

كانت هذه القاعدة أساس قاعدة قسمة الكسور العادية.

المثال 15

نشر 1 2: 3 5 يمكن استبداله بمنتج النموذج 1 2 5 3.

وبالمثل ، عن طريق القياس ، يمكن استبدال القسمة بالضرب.

المثال 16

في حالة التعبير 1 + 5: س: (س + 3)استبدل القسمة بـ x يمكن ضربها 1 ×... قسمة حسب x + 3 يمكننا استبدالها بضربها 1 × + 3... يتيح لنا التحويل الحصول على تعبير مطابق للتعبير الأصلي: 1 + 5 · 1 x · 1 x + 3.

يتم استبدال الضرب بالقسمة وفقًا للمخطط أ ب \u003d أ: (ب - 1).

المثال 17

في التعبير 5 x x 2 + 1 - 3 ، يمكن استبدال الضرب بالقسمة كما يلي: 5: x 2 + 1 x - 3.

أداء الإجراءات على الأرقام

أداء الإجراءات بالأرقام يخضع لقاعدة ترتيب الإجراءات. أولاً ، يتم تنفيذ الإجراءات بقوى الأعداد وجذور الأعداد. بعد ذلك ، نستبدل الدوال اللوغاريتمية والمثلثية والوظائف الأخرى بقيمها. ثم يتم تنفيذ الإجراءات بين قوسين. وبعد ذلك يمكن تنفيذ جميع الإجراءات الأخرى من اليسار إلى اليمين. من المهم أن تتذكر أنه يتم إجراء الضرب والقسمة قبل الجمع والطرح.

تتيح لك العمليات التي تحتوي على أرقام تحويل التعبير الأصلي إلى نفس التعبير الذي يساوي.

المثال 18

أعد كتابة التعبير 3 · 2 3 - 1 · a + 4 · x 2 + 5 · x مع تنفيذ جميع الإجراءات الممكنة مع الأرقام.

القرار

بادئ ذي بدء ، دعنا ننتبه إلى الدرجة 2 3 والجذر 4 وحساب قيمهما: 2 3 = 8 و 4 \u003d 2 2 \u003d 2.

عوّض بالقيم التي تم الحصول عليها في التعبير الأصلي واحصل على: 3 · (8-1) · a + 2 · (x 2 + 5 · x).

لنقم الآن بتنفيذ الإجراءات بين قوسين: 8 − 1 = 7 ... وانتقل إلى التعبير 3 7 a + 2 (x 2 + 5 x).

يبقى علينا القيام بضرب الأعداد 3 و 7 ... نحصل على: 21 أ + 2 (س 2 + 5 س).

إجابة: 3 2 3 - 1 أ + 4 س 2 + 5 س \u003d 21 أ + 2 (س 2 + 5 س)

يمكن أن تسبق الإجراءات على الأرقام أنواع أخرى من التحويلات المتطابقة ، مثل تجميع الأرقام أو توسيع الأقواس.

المثال 19

لنأخذ التعبير 3 + 2 (6: 3) × (ص 3 4) - 2 + 11.

القرار

الخطوة الأولى هي استبدال حاصل القسمة بين قوسين 6: 3 على قيمته 2 ... نحصل على: 3 + 2 2 x (y 3 4) - 2 + 11.

دعنا نفدد الأقواس: 3 + 2 2 س (ص 3 4) - 2 + 11 \u003d 3 + 2 2 س ص 3 4 - 2 + 11.

لنجمع العوامل العددية في المنتج ، بالإضافة إلى المصطلحات التي تمثل أرقامًا: (3 - 2 + 11) + (2 2 4) × ص 3.

لننفذ الإجراءات بين قوسين: (3 - 2 + 11) + (2 2 4) × ص 3 \u003d 12 + 16 × ص 3

إجابة: 3 + 2 (6: 3) × (ص 3 4) - 2 + 11 \u003d 12 + 16 × ص 3

إذا عملنا باستخدام التعبيرات العددية ، فسيكون الهدف من عملنا هو إيجاد معنى التعبير. إذا قمنا بتحويل التعبيرات باستخدام المتغيرات ، فسيكون الهدف من أفعالنا هو تبسيط التعبير.

أخرج العامل المشترك

في الحالات التي يكون فيها للحدود في التعبير نفس العامل ، فيمكننا إخراج هذا العامل المشترك خارج الأقواس. للقيام بذلك ، نحتاج أولاً إلى تمثيل التعبير الأصلي على أنه حاصل ضرب العامل المشترك والتعبير الموجود بين قوسين ، والذي يتكون من الحدود الأصلية بدون العامل المشترك.

المثال 20

عدديا 2 7 + 2 3 يمكننا إخراج العامل المشترك 2 بين قوسين والحصول على نفس التعبير الصحيح للنموذج 2 (7 + 3).

يمكنك تحديث ذاكرتك بقواعد وضع العامل المشترك خارج الأقواس في القسم المقابل من مواردنا. تناقش المادة بالتفصيل القواعد الخاصة بوضع العامل المشترك خارج الأقواس وتقدم أمثلة عديدة.

تخفيض شروط مماثلة

الآن دعنا ننتقل إلى المبالغ التي تحتوي على مصطلحات متشابهة. هناك خياران محتملان: المجاميع التي تحتوي على نفس المصطلحات ، والمجاميع التي تختلف مصطلحاتها حسب المعامل العددي. تسمى الإجراءات التي تحتوي على مبالغ تحتوي على مثل هذه المصطلحات تقليل هذه الشروط. يتم تنفيذه على النحو التالي: نخرج جزء الحرف العام خارج الأقواس ونحسب مجموع المعاملات العددية بين قوسين.

المثال 21

ضع في اعتبارك التعبير 1 + 4 س - 2 س... يمكننا وضع الجزء الحرفي من x خارج الأقواس والحصول على المقدار 1 + x (4-2)... دعونا نحسب قيمة التعبير بين قوسين ونحصل على مجموع الصيغة 1 + x · 2.

استبدال الأرقام والتعبيرات بتعبيرات متساوية

يمكن استبدال الأرقام والتعبيرات التي يتكون منها التعبير الأصلي بتعبيرات متساوية بشكل مماثل. يؤدي مثل هذا التحول في التعبير الأصلي إلى تعبير مماثل له.

مثال 22 مثال 23

ضع في اعتبارك التعبير 1 + أ 5، حيث يمكننا استبدال درجة 5 بمنتج متساوي ، على سبيل المثال ، من النموذج أ 4... هذا سوف يعطينا التعبير 1 + أ 4.

التحول الذي يتم إجراؤه مصطنع. من المنطقي فقط التحضير للتحولات الأخرى.

المثال 24

ضع في اعتبارك تحويل المبلغ 4 × 3 + 2 × 2... هنا المصطلح 4 × 3 يمكننا تمثيله كعمل 2 × 2 2 ×... نتيجة لذلك ، يأخذ التعبير الأصلي الشكل 2 × 2 2 × + 2 × 2... الآن يمكننا تحديد العامل المشترك 2 × 2 ووضعها خارج الأقواس: 2 × 2 (2 × + 1).

اجمع واطرح نفس الرقم

تعد إضافة وطرح نفس الرقم أو التعبير في نفس الوقت أسلوبًا مصطنعًا لتحويل التعبيرات.

المثال 25

ضع في اعتبارك التعبير × 2 + 2 س... يمكننا إضافة أو طرح واحد منه ، مما سيسمح لنا بإجراء تحويل مماثل آخر في المستقبل - لتحديد مربع ذات الحدين: س 2 + 2 س \u003d س 2 + 2 س + 1 - 1 \u003d (س + 1) 2-1.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl + Enter

"المتطابقات. تحويل متطابق من التعبيرات ".

أهداف الدرس

التعليمية:

لتعريف وتوحيد مفاهيم "التعبيرات المتماثلة بشكل متماثل" ، "الهوية" ، "التحولات المتطابقة" ؛

النظر في طرق إثبات الهويات ، والمساهمة في تطوير المهارات لإثبات الهويات ؛

للتحقق من استيعاب الطلاب للمواد التي تم اجتيازها ، لتكوين مهارات استخدام ما تم تعلمه لإدراك الجديد.

النامية : تنمية التفكير ، كلام الطلاب.

تعليمي : لتثقيف الاجتهاد والدقة وصحة تسجيل حل التمارين.

نوع الدرس: تعلم مواد جديدة

معدات : لوحة الوسائط المتعددة ، السبورة البيضاء ، الكتاب المدرسي ، المصنف.

ص لان درس

لحظة تنظيمية (استهدف الطلاب في الدرس)

فحص الواجب المنزلي (تصحيح الخطأ)

تمارين الفم

دراسة مادة جديدة (التعارف والتوحيد الأولي لمفاهيم "الهوية" ، "التحولات المتطابقة").

التدريبات التدريبية (تكوين مفاهيم "الهوية" ، "التحولات المتطابقة").

تلخيص نتائج الدرس (لخص المعلومات النظرية التي تم الحصول عليها في الدرس).

رسالة الواجب المنزلي (اشرح محتوى الواجب المنزلي)

خلال الفصول

I. لحظة تنظيمية.

فحص الواجب المنزلي.

أسئلة الواجب المنزلي.

تحليل الحل على السبورة.

الرياضيات مطلوبة
لا يمكنك العيش بدونها
نحن نعلم ، ونعلم ، والأصدقاء ،
ماذا نتذكر من الصباح؟

II ... تمارين الفم.

لنقم بالإحماء.

نتيجة الجمع. (كمية)

كم عدد الأرقام التي تعرفها؟ (عشرة)

مائة من العدد. (نسبه مئويه)

نتيجة التقسيم؟ (نشر)

أصغر عدد طبيعي؟ (1)

هل من الممكن عند القسمة الأعداد الطبيعية الحصول على صفر؟ (ليس)

ما مجموع الأعداد من -200 إلى 200؟ (0)

ما هو أكبر عدد صحيح سالب. (-1)

ما هو الرقم الذي لا يمكن تقسيمه؟ (0)

نتيجة الضرب؟ (تكوين)

أكبر عدد مكون من رقمين؟ (99)

ما هو المنتج من -200 إلى 200؟ (0)

نتيجة الطرح. (فرق)

كم غرام في الكيلوغرام؟ (1000)

خاصية الإزاحة بالإضافة. (المبلغ لا يتغير من إعادة ترتيب أماكن الشروط)

خاصية السفر من الضرب. (المنتج لا يتغير من التقليب للمضاعفات)

الجمع بين خاصية الجمع. (لإضافة رقم إلى مجموع رقمين ، يمكنك إضافة مجموع الثاني والثالث إلى الرقم الأول)

تركيبة خاصية الضرب. (لضرب حاصل ضرب عددين في الرقم الثالث ، يمكنك ضرب الرقم الأول في حاصل ضرب العددين الثاني والثالث)

ملكية التوزيع. (لضرب رقم في مجموع رقمين ، يمكنك ضرب هذا الرقم في كل مصطلح وإضافة النتائج)

ثالثا ... تعلم مواد جديدة .

مدرس. أوجد قيمة التعابير الخاصة بـ x \u003d 5 و y \u003d 4

3 (س + ص) \u003d 3 (5 + 4) \u003d 3 * 9 \u003d 27

3 س + 3 ص \u003d 3 * 5 + 3 * 4 \u003d 27

حصلنا على نفس النتيجة. من خاصية التوزيع ، يترتب على ذلك ، بشكل عام ، أنه بالنسبة لأية قيم للمتغيرات ، فإن قيم التعبيرات 3 (x + y) و 3x + 3y متساوية.

فكر الآن في التعبيرات 2x + y و 2xy. بالنسبة إلى x \u003d 1 و y \u003d 2 ، يأخذان قيمًا متساوية:

2 س + ص \u003d 2 * 1 + 2 \u003d 4

2xy \u003d 2 * 1 * 2 \u003d 4

ومع ذلك ، يمكنك تحديد قيم لـ x و y بحيث لا تكون قيم هذين التعبيرين متساوية. على سبيل المثال ، إذا كانت س \u003d 3 ، ص \u003d 4 ، إذن

2 س + ص \u003d 2 * 3 + 4 \u003d 10

2xy \u003d 2 * 3 * 4 \u003d 24

التعريف: يُطلق على تعبيرين تتساوى قيمهما لأي قيم من المتغيرات بالتساوي.

التعبيران 3 (x + y) و 3x + 3y متساويان ، لكن التعابير 2x + y و 2 xy ليستا متساويتين.

المساواة 3 (x + y) و 3 x + 3y صحيحة لأي قيم من x و y. تسمى هذه المساواة الهويات.

التعريف: المساواة ، التي هي صحيحة لأي قيم للمتغيرات ، تسمى الهوية.

تعتبر المساواة العددية الحقيقية أيضًا هويات. لقد التقينا بالفعل مع الهويات. الهويات هي مساواة تعبر عن الخصائص الأساسية للإجراءات على الأرقام (يعلق الطلاب على كل خاصية وينطقونها).

أ + ب \u003d ب + أ أب \u003d با (أ + ب) + ج \u003d أ + (ب + ج) (أب) ج \u003d أ (قبل الميلاد) أ (ب + ج) \u003d أب + ج

أمثلة أخرى للهويات (يعلق الطلاب على كل خاصية من خلال التحدث.)

أ + 0 \u003d أ

أ * 1 \u003d أ

أ + (-a) \u003d 0

و * (- ب ) = - أب

أ - ب = أ + (- ب )

(- أ ) * (- ب ) = أب

التعريف: يُطلق على استبدال تعبير بآخر ، نفس التعبير المتساوي ، تحويل الهوية أو ببساطة تحول تعبير.

مدرس:

يتم إجراء تحويلات متطابقة للتعبيرات ذات المتغيرات بناءً على خصائص الإجراءات على الأرقام.

تستخدم التحويلات المتطابقة للتعبيرات على نطاق واسع في حساب قيم التعبيرات وحل المشكلات الأخرى. لقد أجريت بالفعل بعض التحولات المتطابقة ، على سبيل المثال ، وضع مصطلحات متشابهة ، وتوسيع الأقواس. لنتذكر قواعد هذه التحولات:

الطلاب:

لإحضار مثل هذه المصطلحات ، تحتاج إلى إضافة معاملاتها وضرب الناتج في إجمالي جزء الحرف ؛

إذا كانت هناك علامة زائد أمام القوسين ، فيمكن حذف الأقواس ، مع الاحتفاظ بإشارة كل مصطلح بين قوسين ؛

إذا كانت هناك علامة ناقص أمام القوسين ، فيمكن حذف الأقواس بتغيير إشارة كل مصطلح بين قوسين.

مدرس:

مثال 1. دعونا نقدم مصطلحات مماثلة

5 س + 2 س -3 س \u003d س (5 + 2-3) \u003d 4x

ما هي القاعدة التي استخدمناها؟

التلميذ:

لقد استخدمنا القاعدة للحد من هذه المصطلحات. يعتمد هذا التحويل على خاصية التوزيع الخاصة بالضرب.

مدرس:

مثال 2. لنفك الأقواس في التعبير 2 أ + (ب-3 ج) = 2 أ + ب – 3 ج

طبقنا القاعدة لتوسيع الأقواس مسبوقة بعلامة الجمع.

التلميذ:

يعتمد التحويل المنفذ على خاصية الجمع التوافقية.

مدرس:

مثال 3. لنفك الأقواس في التعبير a - (4ب - ق) \u003dأ – 4 ب + ج

استخدمنا قاعدة الأقواس المفتوحة مسبوقة بعلامة الطرح.

ما الخاصية التي يعتمد عليها هذا التحول؟

التلميذ:

يعتمد التحويل الذي يتم إجراؤه على خاصية التوزيع الخاصة بالضرب وخاصية الجمع بين الإضافة.

رابعا ... تمارين تدريبية

(قبل أن نبدأ ، نقضي التربية البدنية

استيقظنا بسرعة وابتسمنا.

امتدوا أعلى وأعلى.

حسنًا ، افرد كتفيك ،

رفع أقل.

انعطف يمينًا ويسارًا

جلسوا ونهضوا. جلسوا ونهضوا.

وركضوا على الفور.

(أحسنت ، أجلس).

دعونا نقوم بعمل مستقل صغير - المراسلات ، وأولئك الذين يعتقدون أن الموضوع متقن جيدًا - يقررون الاختبار عبر الإنترنت.

1) 5 (3x -2) - (4x + 9) أ) 5-10: x

2) 5x-4 (2x-5) +5 ب) 11x -19

3) (5 × 10): × ب) 3 × + 25

4) 11x-4 (x - 3) + 5x D) -3x + 25

د) 12 × +12

الخامس ... ملخص الدرس .

يطرح المعلم الأسئلة ، ويجيب الطلاب عليها كما يحلو لهم.

أي تعبيرين يقال أنهما متساويان؟ أعط أمثلة.

ما المساواة يسمى الهوية؟ اعط مثالا.

ما هي التحولات المتطابقة التي تعرفها؟

السادس ... واجب منزلي ... ص 5 ، ابحث عن تعابير متطابقة قديمة باستخدام الإنترنت

لاستخدام معاينة العروض التقديمية ، قم بإنشاء حساب Google لنفسك (حساب) وقم بتسجيل الدخول إليه: https://accounts.google.com

تعليق الشرائح:

المتطابقات. تحولات متطابقة من التعبيرات. الصف السابع.

أوجد قيمة التعابير عند x \u003d 5 و y \u003d 4 3 (x + y) \u003d 3 (5 + 4) \u003d 3 * 9 \u003d 27 3x + 3y \u003d 3 * 5 + 3 * 4 \u003d 27 أوجد قيمة التعابير عند x \u003d 6 و ص \u003d 5 3 (س + ص) \u003d 3 (6 + 5) \u003d 3 * 11 \u003d 33 3 س + 3 ص \u003d 3 * 6 + 3 * 5 \u003d 33

الخلاصة: حصلنا على نفس النتيجة. من خاصية التوزيع ، يترتب على ذلك ، بشكل عام ، أنه بالنسبة لأية قيم للمتغيرات ، فإن قيم التعبيرات 3 (x + y) و 3x + 3y متساوية. 3 (س + ص) \u003d 3 س + 3 ص

فكر الآن في التعبيرات 2x + y و 2xy. بالنسبة إلى x \u003d 1 و y \u003d 2 يأخذان قيمًا متساوية: 2x + y \u003d 2 * 1 + 2 \u003d 4 2xy \u003d 2 * 1 * 2 \u003d 4 لـ x \u003d 3 ، y \u003d 4 قيم التعبيرات مختلفة 2x + y \u003d 2 * 3 + 4 \u003d 10 2xy \u003d 2 * 3 * 4 \u003d 24

الخلاصة: التعبيرات 3 (x + y) و 3 x + 3y متساويتان بشكل مماثل ، والتعبيرات 2x + y و 2 xy ليستا متساويتين. التعريف: يتم استدعاء تعبيرين تساوي قيمتهما لأي قيم من المتغيرات بالتساوي.

الهوية إن المساواة 3 (x + y) و 3 x + 3y صحيحة لأي قيم لـ x و y. تسمى هذه المساواة الهويات. التعريف: المساواة ، التي هي صحيحة لأي قيم للمتغيرات ، تسمى الهوية. تعتبر المساواة العددية الحقيقية أيضًا هويات. لقد التقينا بالفعل مع الهويات.

الهويات هي مساواة تعبر عن الخصائص الأساسية للأفعال على الأرقام. أ + ب \u003d ب + أ أب \u003d با (أ + ب) + ج \u003d أ + (ب + ج) (أب) ج \u003d أ (ب ج) أ (ب + ج) \u003d أب + ج

يمكن إعطاء أمثلة أخرى للهويات: a + 0 \u003d a a * 1 \u003d a a + (-a) \u003d 0 a * (- b) \u003d - ab a- b \u003d a + (- b) (-a) * ( -b) \u003d ab استبدال تعبير بآخر مساوٍ له ، يسمى تحويل الهوية ، أو ببساطة تحويل تعبير.

لإحضار مثل هذه المصطلحات ، تحتاج إلى إضافة معاملاتها وضرب الناتج في إجمالي جزء الحرف. مثال 1. لنعطي المصطلحات المتشابهة 5x + 2x-3x \u003d x (5 + 2-3) \u003d 4x

إذا كانت هناك علامة زائد أمام الأقواس ، فيمكن حذف الأقواس ، مع الاحتفاظ بإشارة كل مصطلح بين قوسين. مثال 2. انشر الأقواس في التعبير 2 أ + (ب -3 ج) \u003d 2 أ + ب - 3 ج

إذا كانت هناك علامة ناقص أمام القوسين ، فيمكن حذف الأقواس بتغيير إشارة كل مصطلح بين قوسين. مثال 3. دعونا نفتح الأقواس في التعبير أ - (4 ب - ج) \u003d أ - 4 ب + ج

الواجب المنزلي: ص 5 ، رقم 91 ، 97 ، 99 شكرا لك على الدرس!

حول الموضوع: التطورات المنهجية والعروض والملاحظات

منهجية إعداد الطلاب للامتحان في قسم "تحويل التعبيرات والتعبير"

تم تطوير هذا المشروع بهدف إعداد الطلاب لامتحانات الدولة في الصف التاسع وما بعده لامتحان الدولة الموحدة في الصف الحادي عشر ...

أثناء دراسة الجبر ، صادفنا مفاهيم كثيرة الحدود (على سبيل المثال ($ yx $ ، $ \\ 2x ^ 2-2x $ ، إلخ.) وكسر جبري (على سبيل المثال $ \\ frac (x + 5) (x) $ ، $ \\ frac (2x) ^ 2) (2x ^ 2-2x) $، $ \\ \\ frac (xy) (yx) $ ، إلخ.) تشابه هذه المفاهيم هو أنه في كل من كثيرات الحدود وفي الكسور الجبرية هناك متغيرات وقيم عددية ، حسابية الإجراءات: الجمع والطرح والضرب والرفع إلى قوة ، والفرق بين هذه المفاهيم هو أنه في كثيرات الحدود لا يوجد قسمة على متغير ، ولكن في الكسور الجبرية ، يمكن القسمة على متغير.

تسمى كل من كثيرات الحدود والكسور الجبرية في الرياضيات بالتعبيرات الجبرية المنطقية. لكن كثيرات الحدود هي تعبيرات منطقية كاملة ، والكسور الجبرية هي كذلك عقلاني كسور التعبيرات.

يمكنك الحصول على تعبير جبري كامل من تعبير كسري منطقي باستخدام التحويل المتطابق ، والذي سيكون في هذه الحالة الخاصية الرئيسية للكسر - اختزال الكسور. دعنا نتحقق من ذلك في الممارسة:

مثال 1

إجراء التحويل: $ \\ \\ frac (x ^ 2-4x + 4) (x-2) $

القرار: يمكن تحويل هذه المعادلة الكسرية المنطقية باستخدام الخاصية الرئيسية للتخفيض الجزئي ، أي قسمة البسط والمقام على نفس الرقم أو التعبير بخلاف $ 0 $.

لا يمكن إلغاء هذا الكسر على الفور ، يجب تحويل البسط.

نقوم بتحويل التعبير في بسط الكسر ، لذلك نستخدم صيغة مربع الفرق: $ a ^ 2-2ab + b ^ 2 \u003d ((a-b)) ^ 2 $

يشبه الكسر

\\ [\\ frac (x ^ 2-4x + 4) (x-2) \u003d \\ frac (x ^ 2-4x + 4) (x-2) \u003d \\ frac (((x-2)) ^ 2) ( x-2) \u003d \\ frac (\\ left (x-2 \\ right) (x-2)) (x-2) \\]

الآن نرى أن هناك عاملًا مشتركًا في البسط والمقام - هذا هو التعبير $ x-2 $ ، والذي بواسطته سنلغي الكسر.

\\ [\\ frac (x ^ 2-4x + 4) (x-2) \u003d \\ frac (x ^ 2-4x + 4) (x-2) \u003d \\ frac (((x-2)) ^ 2) ( x-2) \u003d \\ frac (\\ left (x-2 \\ right) (x-2)) (x-2) \u003d x-2 \\]

بعد الاختزال ، حصلنا على أن التعبير المنطقي الكسري الأصلي $ \\ frac (x ^ 2-4x + 4) (x-2) $ أصبح متعدد الحدود $ x-2 $ ، أي عقلاني كله.

الآن دعنا ننتبه إلى حقيقة أن التعبيرات $ \\ frac (x ^ 2-4x + 4) (x-2) $ و $ x-2 \\ $ يمكن اعتبارها متطابقة وليس لجميع قيم المتغير ، حيث من أجل وجود التعبير المنطقي الكسري وكان من الممكن اختزاله بواسطة كثير الحدود $ x-2 $ ، يجب ألا يكون مقام الكسر مساويًا لـ $ 0 $ (بالإضافة إلى العامل الذي نختزل به. في هذا المثال ، يتطابق المقام والعامل ، ولكن هذا ليس هو الحال دائمًا).

تسمى قيم المتغير الذي يوجد عنده الكسر الجبري القيم المقبولة للمتغير.

لنضع شرطًا على مقام الكسر: $ x-2 ≠ 0 $ ، ثم $ x ≠ 2 $.

ومن ثم ، فإن التعبيرات $ \\ frac (x ^ 2-4x + 4) (x-2) $ و $ x-2 $ متطابقة مع جميع قيم المتغير ، باستثناء $ 2 $.

التعريف 1

متساوية بشكل مماثل التعبيرات هي تلك التي تساوي جميع القيم المسموح بها للمتغير.

التحويل المتطابق هو أي استبدال للتعبير الأصلي مع مساوٍ له. وتشمل هذه التحويلات تنفيذ الإجراءات: الجمع ، والطرح ، والضرب ، وإخراج العامل المشترك من قوس ، واختزال الكسور الجبرية إلى قاسم مشترك ، واختزال الكسور الجبرية ، وتقليل المصطلحات المماثلة ، إلخ. يجب أن يؤخذ في الاعتبار أن عددًا من التحولات ، مثل الاختزال ، والحد من المصطلحات المماثلة يمكن أن يغير القيم المسموح بها للمتغير.

التقنيات المستخدمة لإثبات الهويات

اجعل الجانب الأيسر من الهوية إلى اليمين أو العكس باستخدام تحويلات الهوية

قم بتقليل كلا الجانبين إلى نفس التعبير باستخدام تحويلات متطابقة

انقل التعبيرات في جزء من التعبير إلى جزء آخر وأثبت أن الفرق الناتج هو $ 0 $

أي من الطرق المذكورة أعلاه لاستخدامها لإثبات هوية معينة يعتمد على الهوية الأصلية.

مثال 2

إثبات الهوية $ ((a + b + c)) ^ 2- 2 (ab + ac + bc) \u003d a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 $

القرار: لإثبات هذه الهوية ، نستخدم أول الأساليب المذكورة أعلاه ، أي نقوم بتحويل الجانب الأيسر من الهوية إلى مساواتها مع اليمين.

ضع في اعتبارك الجانب الأيسر من الهوية: $ \\ ((a + b + c)) ^ 2- 2 (ab + ac + bc) $ - هو الفرق بين كثيرتي الحدود. أول كثير حدود هو مربع مجموع ثلاثة حدود. لتربيع مجموع عدة حدود ، نستخدم الصيغة:

\\ [((أ + ب + ج)) ^ 2 \u003d أ ^ 2 + ب ^ 2 + ج ^ 2 + 2ab + 2ac + 2bc \\]

للقيام بذلك ، نحتاج إلى ضرب الرقم في كثير الحدود. تذكر أنه لهذا علينا ضرب العامل المشترك خارج الأقواس في كل حد من كثير الحدود بين قوسين. ثم نحصل على:

2 $ (ab + ac + bc) \u003d 2ab + 2ac + 2bc $

الآن بالعودة إلى كثير الحدود الأصلي ، سوف يأخذ الشكل:

$ ((a + b + c)) ^ 2- 2 (ab + ac + bc) \u003d \\ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2ab + 2ac + 2bc- (2ab + 2ac + 2bc) $

لاحظ أنه قبل القوس توجد علامة "-" ، مما يعني أنه عند فتح الأقواس ، يتم عكس جميع الأحرف الموجودة بين الأقواس.

$ ((a + b + c)) ^ 2- 2 (ab + ac + bc) \u003d \\ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2ab + 2ac + 2bc- (2ab + 2ac + 2bc) \u003d a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2ab + 2ac + 2bc-2ab-2ac-2bc $

نعطي مصطلحات مماثلة ، ثم نحصل على أن monomials $ 2ab $ و $ 2ac $ و $ \\ 2bc $ و $ -2ab $ و $ - 2ac $ و $ -2bc $ يتم إبادة بعضها البعض ، أي مجموعهم هو 0 دولار.

$ ((a + b + c)) ^ 2- 2 (ab + ac + bc) \u003d \\ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2ab + 2ac + 2bc- (2ab + 2ac + 2bc) \u003d a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2ab + 2ac + 2bc-2ab-2ac-2bc \u003d a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 $

لذلك ، عن طريق التحويلات المتطابقة ، حصلنا على التعبير المتطابق على الجانب الأيسر من الهوية الأصلية

$ ((a + b + c)) ^ 2- 2 (ab + ac + bc) \u003d \\ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 $

لاحظ أن التعبير الناتج يوضح أن الهوية الأصلية صحيحة.

لاحظ أنه في الهوية الأصلية ، جميع قيم المتغير مقبولة ، مما يعني أننا أثبتنا الهوية باستخدام تحويلات متطابقة ، وهي صحيحة لجميع القيم المسموح بها للمتغير.