مشروع حول موضوع القطع المكافئ من حولنا. عرض تقديمي عن الرياضيات حول موضوع "القطع المكافئ. أقارب القطع المكافئ، القريب والبعيد." أقارب القطع المكافئ

عرض تقديمي حول الموضوع: القطع المكافئ وخصائصه أكمله: طالب الصف العاشر Grechkin Yaroslav المعلم Shamsutdinova R.R. مدرسة

القطع المكافئ. ركز. دليل القطع المكافئ هو المحل الهندسي للنقاط على المستوى، حيث المسافة إلى نقطة ثابتة من هذا المستوى، تسمى البؤرة، تساوي المسافة إلى خط مستقيم ثابت يقع في نفس المستوى ويسمى دليل القطع المكافئ. القطع المكافئ هو منحنى من الدرجة الثانية. التركيز هو نقطة تعسفية من القطع المكافئ. الدليل هو خط مستقيم يقع في مستوى القطع المكافئ وله خاصية أن نسبة المسافة من أي نقطة على المنحنى إلى بؤرة المنحنى إلى المسافة من نفس النقطة إلى هذا الخط المستقيم هي قيمة ثابتة تساوي الانحراف. الانحراف هو خاصية عددية للقسم المخروطي.

خلفية تاريخية من المفترض أن مكتشف المقاطع المخروطية هو منايخموس (القرن الرابع قبل الميلاد)، تلميذ أفلاطون ومعلم الإسكندر الأكبر. استخدم ميناكموس القطع المكافئ والقطع الزائد متساوي الأضلاع لحل مسألة مضاعفة المكعب. أطروحات حول المقاطع المخروطية كتبها أرسطيوس وإقليدس في نهاية القرن الرابع. قبل الميلاد، ولكن تم تضمين المواد منها في المقاطع المخروطية الشهيرة لأبولونيوس من برجا (حوالي 260-170 قبل الميلاد)، والتي بقيت حتى يومنا هذا. تخلى أبولونيوس عن شرط أن يكون المستوى القاطع للمخروط المولد متعامدًا، ومن خلال تغيير زاوية ميله، حصل على جميع المقاطع المخروطية من مخروط دائري واحد، مستقيم أو مائل. نحن مدينون أيضًا بأسماء المنحنيات الحديثة لأبولونيوس - القطع الناقص والقطع المكافئ والقطع الزائد. استخدم أبولونيوس في منشآته مخروطًا دائريًا ذو تجويفين. منذ زمن أبولونيوس تم تقسيم المقاطع المخروطية إلى ثلاثة أنواع حسب ميل مستوى القطع إلى المولد للمخروط. يتشكل القطع المكافئ عندما يكون مستوى القطع موازيًا لإحدى مستويات الظل للمخروط. كانت بؤرة القطع الناقص والقطع الزائد معروفة لأبولونيوس، ولكن يبدو أن بؤرة القطع المكافئ قد تم تحديدها لأول مرة بواسطة بابوس (النصف الثاني من القرن الثالث)، الذي عرّف هذا المنحنى بأنه موضع النقاط المتساوية البعد من نقطة معينة (البؤرة). وخط مستقيم معين، وهو ما يسمى المخرج. بناء القطع المكافئ باستخدام خيط مشدود، بناءً على تعريف بابوس، تم اقتراحه من قبل إيزيدور ميليتس (القرن السادس).

اشتقاق معادلة القطع المكافئ للحصول على معادلة المنحنى الموافق لهذا التعريف، قمنا بإدخال نظام إحداثي مناسب. للقيام بذلك، من التركيز F نقوم بتخفيض FD المتعامد إلى الدليل l. سيكون أصل الإحداثيات O في منتصف المقطع FD، وسيتم توجيه المحور على طول المقطع FD بحيث يتزامن اتجاهه مع اتجاه المتجه. لنرسم المحور العمودي على المحور. دع المسافة بين البؤرة ودليل القطع المكافئ تساوي p. ثم في نظام الإحداثيات المختار، يحتوي القطع المكافئ على المعادلة

اشتقاق معادلة القطع المكافئ في نظام الإحداثيات المختار، تكون بؤرة القطع المكافئ هي النقطة، والدليل لديه المعادلة. دع النقطة الحالية تكون قطع مكافئ. ثم، باستخدام صيغة الحالة المستوية، نجد أن المسافة من النقطة M إلى الدليل l هي طول الخط العمودي MK المسقط على الدليل من النقطة M. ومن الشكل يتضح أنه بعد ذلك، من خلال تعريف القطع المكافئ، MK = FM، أي: المعادلة القانونية للقطع المكافئ

خصائص القطع المكافئ يحتوي القطع المكافئ على محور تماثل. البرهان: يظهر المتغير y في المعادلة للقوة الثانية فقط. لذلك، إذا كانت إحداثيات النقطة M (x ; - y) تحقق معادلة القطع المكافئ، فإن إحداثيات النقطة N (x ; – y) ستحققها. النقطة N متناظرة مع النقطة M بالنسبة لمحور الثور. لذلك، فإن محور الثور هو محور تناظر القطع المكافئ في نظام الإحداثيات المتعارف عليه. ويسمى محور التماثل بمحور القطع المكافئ. النقطة التي يتقاطع فيها القطع المكافئ مع المحور تسمى قمة القطع المكافئ. قمة القطع المكافئ في نظام الإحداثيات المتعارف عليه هي نقطة الأصل.

خصائص القطع المكافئ لتكن F هي محور القطع المكافئ، M نقطة عشوائية من القطع المكافئ، l شعاع أصله عند نقطة موازية لمحور القطع المكافئ. ثم يقسم العمودي للقطع المكافئ عند النقطة M الزاوية التي يشكلها المقطع FM والشعاع l إلى النصف. تعني هذه الخاصية أن شعاع الضوء الخارج من البؤرة، والمنعكس من القطع المكافئ، سوف يسير بموازاة محور هذا القطع المكافئ. والعكس صحيح، فإن جميع الأشعة القادمة من اللانهاية والموازية لمحور القطع المكافئ ستتقارب عند بؤرته. تستخدم هذه الخاصية على نطاق واسع في التكنولوجيا. عادةً ما تحتوي الأضواء الكاشفة على مرآة، يتم الحصول على سطحها عن طريق تدوير القطع المكافئ حول محور التماثل (المرآة المكافئة). يتم وضع مصدر الضوء في الأضواء الكاشفة في بؤرة القطع المكافئ. ونتيجة لذلك، ينتج ضوء الكشاف شعاعًا من أشعة الضوء المتوازية تقريبًا. تُستخدم نفس الخاصية في استقبال هوائيات الاتصالات الفضائية وفي مرايا التلسكوب، التي تجمع تيارًا من الأشعة المتوازية من موجات الراديو أو تيارًا من الأشعة الضوئية المتوازية وتركزها في بؤرة المرآة.

إنشاء القطع المكافئ من أجل رسم القطع المكافئ، ستحتاج إلى مسطرة، ومربع، وخيط بطول يساوي الساق الأكبر للمربع، وأزرار. قم بإرفاق أحد طرفي الخيط بالبؤرة والآخر بأعلى الزاوية الأصغر من المربع. لنطبق مسطرة على الدليل ونضع مربعًا عليها بالساق الأصغر. استخدم قلم رصاص لسحب الخيط بحيث تلامس نقطته الورقة وتضغط على الساق الأكبر. سنقوم بتحريك المربع والضغط على قلم الرصاص على جانبه بحيث يظل الخيط مشدودًا. في هذه الحالة، سيرسم قلم الرصاص قطعًا مكافئًا على الورقة.

بناء القطع المكافئ إذا صنعت سطح مرآة على شكل قطع مكافئ ووضعت مصدر ضوء في بؤرته، فإن أشعة الضوء المنعكسة من سطح المرآة ستذهب في اتجاه واحد عمودي على اتجاه القطع المكافئ. ولذلك، فإن الأسطح العاكسة للأضواء الكاشفة، والمصابيح الأمامية للسيارات، والمصابيح الكهربائية، والتلسكوبات، والهوائيات المكافئة، وما إلى ذلك. مصنوعة على شكل قطع مكافئ.

حوارات حول القطع المكافئ مدرسة MBOU Igrimskaya الثانوية رقم 2، سالي تاتيانا أناتوليفنا، مدرس الرياضيات

أهداف وغايات الدرس: مراجعة خصائص الدالة التربيعية. أظهر العلاقة بين الدالة التربيعية ورسمها البياني والعالم الحقيقي. تنظيم المعرفة حول تطبيق خصائص القطع المكافئ.

تعريف. دالة من الصيغة y = ax 2 + b x + c، حيث يتم إعطاء أرقام a، b، c، a≠0، x متغير حقيقي، وتسمى دالة تربيعية. أمثلة: 1) y = 5x+1 4) y =x 3 +7x-1 2) y=3x 2 -1 5) y=4x 2 3) y=-2x 2 +x+3 6) y=-3x 2 +2x

 تحديد إحداثيات رأس القطع المكافئ.  معادلة محور تماثل القطع المكافئ.  الأصفار الوظيفية.  الفترات التي تزيد وتنقص فيها الدالة.  الفترات التي تأخذ فيها الدالة قيمًا موجبة وقيمًا سالبة.  ما إشارة المعامل a ؟  كيف يعتمد موضع فروع القطع المكافئ على المعامل a؟

أعلى القطع المكافئ: التعيين. أوجد إحداثيات رأس القطع المكافئ: 1) y = x 2 -4x-5 2) y = -5x 2 +3 الإجابة: (2;-9) الإجابة: (0;3) معادلة محور التماثل : س = س 0

إحداثيات نقاط تقاطع القطع المكافئ مع محاور الإحداثيات. C Ox: y=0 ax 2 + b x+c=0 C Oy: x=0 y=c مهمة. أوجد إحداثيات نقاط تقاطع القطع المكافئ مع محاور الإحداثيات: 1) y = x 2 - x; 2)ص=س 2 +3; 3)ص=5س 2 -3س-2 (0;0);(1;0) (0;3) (1;0);(-0.4;0);(0;2)

امتحان. (-1;1) (- ∞ ;0) (1; ∞) (-∞;∞) (-1;0) x≠-1 لا توجد قيم x y 0 y > 0 y

أنشئ رسمًا بيانيًا للدالة واستخدمه لمعرفة خصائصها. Y = -x 2 -6x-8 خصائص الدالة: y > 0 على الفاصل الزمني y

الرسم البياني للدالة التربيعية - القطع المكافئ (باليونانية παραβοlectή - ملحق) هو موضع النقاط المتساوية البعد عن خط معين (يسمى دليل القطع المكافئ) ونقطة معينة (تسمى بؤرة القطع المكافئ).

خصائص القطع المكافئ هو منحنى من الدرجة الثانية. وله محور تماثل يسمى محور القطع المكافئ. يمر المحور عبر البؤرة ويكون عموديًا على الدليل. إذا انعكس بؤرة القطع المكافئ بالنسبة إلى المماس، فستقع صورته على الدليل. القطع المكافئ هو نقيض الخط. جميع القطع المكافئة متشابهة. تحدد المسافة بين التركيز والدليل المقياس. عندما يدور القطع المكافئ حول محور التماثل، يتم الحصول على قطع مكافئ بيضاوي الشكل. ص> 0

محور أرخميدس هذا اليوم هو 212 قبل الميلاد. لقد تذكرها الرومان الباقون على قيد الحياة لبقية حياتهم. أضاء ما يقرب من نصف ألف شمس صغيرة فجأة على جدار القلعة. في البداية، أعمى ببساطة، ولكن بعد فترة من الوقت حدث شيء رائع: السفن الرومانية الرائدة التي اقتربت من سيراكيوز، واحدة تلو الأخرى، بدأت فجأة في الاشتعال مثل المشاعل. فهرب الرومان مذعورين.

وفقا للأسطورة، أحرق أرخميدس سيراكيوز الأسطول الروماني أثناء الدفاع عن مدينته بمرايا مكافئة. تُستخدم خصائص هذه المرايا في بناء الأفران الشمسية والتلسكوبات وما إلى ذلك.

قطع مكافئ رائع أحب الغناء والاستمتاع، والدوران في رقصة مرحة. عندما أدور حول محور، أتحول إلى شخصية مهمة. ويصعد السادة ويرافقونك إلى السيارة. والجميع يريد أن يدعوك للبقاء على سطح المنزل. أُحجِيَّة

الجسم المقذوف إلى الأعلى يتحرك بشكل قطع مكافئ. افترض أن كرة قُذفت رأسيًا إلى الأعلى من ارتفاع 1.5 m، مما يعطيها سرعة ابتدائية قدرها 10 m/s². ثم الارتفاع h (بالمتر) الذي تقع فيه الكرة هو دالة تربيعية لزمن الرحلة t (بالصورة). إذا افترضنا أن g = 10 m/s، فيمكن وصف الدالة h= f(t) بالصيغة h= 1.5+10t-5 t². الرسم البياني لهذه الوظيفة هو جزء من القطع المكافئ.

تطبيق خصائص القطع المكافئ في حل المسائل ذات التعقيد المتزايد. 1. كم عدد جذور المعادلة: (x -100)(x -101)+(x - 101)(x -102)+(x -102)(x -100)=0؟

القطع المكافئ.

أقارب القطع المكافئ -

قريب وبعيد

سيلتشينكو أولغا، إيزوتوفا آنا

طلاب الصف التاسع في مدرسة MBOU Strashevichi الثانوية

المعلم: ساموليسوفا تاتيانا فاسيليفنا

الهدف من المشروع:

دراسة أحد منحنيات الدرجة الثانية (القطع المكافئ) ومجال تطبيقه.

أهداف المشروع:

1. إعطاء تعريف رياضي للقطع المكافئ.

2. دراسة خصائص القطع المكافئ.

3. اكتشف سبب تسمية القطع المكافئ بالقطع المخروطي.

4. ابحث عن معلومات حول "أقارب" القطع المكافئ

5. تحديد مجالات تطبيق القطع المكافئ

نحن جميعًا على دراية بثلاثية الحدود التربيعية، والتي تتعلق بها يبدو أننا جميعًا نعرف: كيفية العثور على الجذور، وكيفية إنشاء رسم بياني، وكيفية حل المتباينات التربيعية... ولكن هذا حكم متسرع - صديقنا القديم لديه الكثير من الأسرار والمفاجآت!

القطع المكافئ (اليونانية παραβοлή - الملحق) - منحنى تكون نقاطه بعيدة بشكل متساوٍ عن نقطة ما تسمى التركيز وعن خط مستقيم يسمى دليل القطع المكافئ.

القطع المكافئ- هذا قسم مخروطالطائرة الموازية لمولدها.

طريقة أخرى للبناء

اتضح أن القطع المكافئ - الرسم البياني للدالة التربيعية - له خاصية مثيرة للاهتمام: توجد نقطة ومثل هذا الخط بحيث تكون كل نقطة من القطع المكافئ بعيدة بشكل متساوٍ عن هذه النقطة وعن هذا الخط (تسمى النقطة بؤرة القطع المكافئ، ويسمى الخط الدليل). كانت خاصية القطع المكافئ هذه معروفة لدى علماء الرياضيات في اليونان القديمة. بالنسبة للرسم البياني للدالة y = x 2، يكون التركيز هو النقطة ذات الإحداثيات (0;0.25)، والدليل هو الخط المستقيم y = -0.25.

حاول أن تكتشف كيف يمكنك بناء القطع المكافئ باستخدام هذه الخاصية.

خصائص القطع المكافئ

1. القطع المكافئ هو منحنى من الدرجة الثانية.

2. له محور تماثل يسمى محور القطع المكافئ. يمر المحور عبر البؤرة ويكون الرأس عموديًا على الدليل.

3. الملكية البصرية. يتم تجميع شعاع من الأشعة الموازية لمحور القطع المكافئ، المنعكس في القطع المكافئ، عند بؤرته. والعكس صحيح، ينعكس الضوء الصادر من المصدر الموجود في البؤرة بواسطة القطع المكافئ إلى شعاع من الأشعة الموازي لمحوره.

4. بالنسبة للقطع المكافئ، يكون التركيز عند النقطة (0؛ 0.25).

بالنسبة للقطع المكافئ، يكون التركيز عند النقطة (0؛ f).

5. جميع القطع المكافئة متشابهة. تحدد المسافة بين التركيز والدليل المقياس.

أقرب أقرباء القطع المكافئ- هذا دائرة , القطع الزائدو الشكل البيضاوي.

والقاسم المشترك بين كل هذه المنحنيات هو المخروط العادي:

رسم مستوى موازي لمحور المخروط،

فإن خط التقاطع سيكون قطعًا زائدًا

• إذا كان المستوى عموديًا على المحور، فإن التقاطع يكون دائرة ,

• إذا تم وضع الطائرة بين الأخيرين،

ثم سيؤدي التقاطع إلى شكل بيضاوي.

إذا كان المستوى موازيا للمصفوفة المولدة للمخروط، عندها سينتج عن التقاطع قطع مكافئ ,

ولذلك، فإن كل هذه المنحنيات معًا تسمى المقاطع المخروطية.

بالفعلوفي عام 340 قبل الميلاد، عرف عالم الرياضيات اليوناني ميناكموس عن خاصية هذه المنحنيات، وفي القرن الثاني قبل الميلاد كتب أبولونيوس البيرجي أطروحة مماثلة بعنوان “الأقسام المخروطية”.

دائري.

قريب آخر مشهور للقطع المكافئ هو الدائري. هذا هو مسار نقطة على حافة عجلة تدور في خط مستقيم دون انزلاق. وقد أطلق جاليليو هذا الاسم على المنحنى. إذا نزلت على زلاجة من تل مبني على شكل دائري، فإن وقت النزول لا يعتمد على المكان الذي بدأت منه الزلاجة بالتدحرج. لكن النزول من نفس الارتفاع على شريحة بأي شكل آخر سيستغرق وقتًا أطول. وبسبب هذه الخاصية، يُطلق على الدائري أيضًا اسم "الزمن القصير". (من الكلمات اليونانية التي تعني "الأقصر" و"الوقت").

القطع المكافئ للدوران.

إذا قمت بتدوير القطع المكافئ حول محور دورانه، فستحصل على سطح يسمى القطع المكافئ للثورة.

إذا قمت بتحريك الماء في كوب بقوة باستخدام ملعقة ثم قمت بإزالة الملعقة، فإن سطح الماء سيأخذ شكل القطع المكافئ.

استخدام القطع المكافئ في التكنولوجيا

يقوم الشكل المكافئ للدوران بتركيز شعاع من الأشعة الموازية للمحور الرئيسي في نقطة واحدة.

غالبًا ما تُستخدم خاصية الشكل المكافئ للثورة لتجميع شعاع من الأشعة الموازية للمحور الرئيسي في نقطة واحدة - التركيز، أو على العكس من ذلك، لتشكيل شعاع موازٍ من الإشعاع من مصدر يقع في التركيز.

تعتمد الهوائيات المكافئة والتلسكوبات العاكسة والكشافات والمصابيح الأمامية للسيارات على هذا المبدأ.

استخدام القطع المكافئ في التكنولوجيا

التلسكوبات العاكسة

تسليط الضوء

أضواء السيارة

ولاعة شمسية

طريقة مبتكرة لاستخدام الطاقة الشمسية. الولاعة الشمسية عبارة عن مرآة مكافئة من الفولاذ المقاوم للصدأ، تشبه إلى حد كبير تلك المستخدمة لإضاءة الشعلة الأولمبية في أثينا.

تتيح المرآة المكافئة جمع كل الطاقة في نقطة محورية واحدة وإشعال النار. يمكن أن تصل درجة الحرارة عند هذه النقطة إلى 537 درجة مئوية. سيكون مثل هذا الجهاز لا غنى عنه أثناء التنزه وفي الظروف الميدانية الأخرى.

القطع المكافئ في الفضاء المادي

المدار المكافئ وحركة الأقمار الصناعية على طوله

هبوط كرة سلةكرة

محطة للطاقة الشمسية مكافئة في ولاية كاليفورنيا، الولايات المتحدة الأمريكية.

القطع المكافئ في الطبيعة

القطع المكافئ. شكله لا يصدق، وكذلك ارتفاعه. بعض الناس

وما زالوا لا يؤمنون بوجود هذه الصخرة الغريبة. هذا ما يقولونه:

"لا يوجد إله ولا قطع مكافئ. وما يعرضونه هو فوتوشوب.

القطع المكافئ في الطبيعة

أي شخص يعتقد أنه لا يمكن العثور على القطع المكافئ إلا على صفحات الكتاب المدرسي فهو مخطئ بلا شك. انظر بعناية إلى الصور وابحث عن القطع المكافئة فيها.

اصنع بعض الرسومات لأوراق الشجر والزهور والحيوانات بنفسك وابحث عن القطع المكافئة فيها.

القطع المكافئة في عالم الحيوان

مسارات القفز الحيوانية قريبة من القطع المكافئ

نتائج

أثناء العمل في هذا المشروع :

1. تمت صياغة تعريف رياضي صارم للقطع المكافئ.

2. تم دراسة طريقة بناء القطع المكافئ.

3. تمت دراسة بعض خواص القطع المكافئ.

4. تم الكشف عن العلاقة بين مفهومي "القطع المكافئ" و"القطع المخروطية"، كما تم العثور على أقارب للقطع المكافئ.

5. تم تحديد مجالات تطبيق القطع المكافئ (الفيزياء، التكنولوجيا، علم الفلك، الهندسة المعمارية، الخ).

6. تم التأكيد على أهمية الرياضيات في العالم من حولنا.

قائمة المصادر المستخدمة:

1. القاموس الموسوعي لعالم الرياضيات الشاب. قام بتجميعها أ.ب. سافين، م، علم أصول التدريس، 1982.

2. موسوعة الأطفال، المجلد 11، “الرياضيات”، م، “أفانتا+”، 1998.

3. النادي الرياضي "الكنغر"، "حول المثلث الثلاثي" سانت بطرسبرغ، 2002.

4. الموقع الإلكتروني http://www/uvlekat- matem.narod.ru/

5. الموقع www.bigpi.biysk.ru

6. الموقع الإلكتروني en.wikipedia.org › مخروطي قسم

"الدوال الأسية واللوغاريتمية" - العمليات التي تخضع لقوانين المحاذاة. دوامة لوغاريتمية. تطبيقات على الدالة الأسية. الرسوم البيانية التخطيطية للوظيفة y = logax. الأسس الكسرية. السكاكين في الآلية. خصائص الدالة y = logax. خصائص الدالة y = logax لـ a > 1. اللوالب. الدالة اللوغاريتمية وخصائصها ورسمها البياني.

"""وظائف الطاقة" الصف الحادي عشر" - وظيفة الطاقة. الدالة ص=س-2. القطع الزائد. الدالة ذ = x2n-1. وظيفة مكعبة. ص = س. الدالة ص=س-3. الدالة ص=س0. وظائف السلطة مع الأس الطبيعي. الدالة ص=x4. الرسم البياني هو القطع المكافئ. الدالة ذ = x2n.

"الدالة العكسية" - الدالة العكسية لـ v(t). مهمة. ص = و (س)، س - ! يعكس. بناء دالة عكسية للدالة المعطاة. أوجد قيمة x بمعلومية قيمة y. دعونا نتبادل x و y: y = g(x). الدالة y = g(x) تسمى معكوس الدالة y = f(x). وظيفة عكسها. دع y = f(x) تكون دالة قابلة للعكس. أوجد قيمة y لقيمة x معينة.

"درس الدالة الخطية" - 20 دقيقة. طول الشعر المتنامي. نوم الطفل. رسوم الهاتف الثابت. رسوم سيارة أجرة. متى تكون الرسوم البيانية للدوال الخطية متوازية أو متقاطعة؟ العمل في المنزل. التحجيم. كيفية رسم بياني وظيفة خطية؟ حيث 265 هي الوحدة الأساسية + 3 روبل في الدقيقة. ز- عمر الطفل. تمت مناقشة القضايا.

"الدوال العكسية المتبادلة" - خصائص الدوال العكسية المتبادلة. الرسوم البيانية للدوال العكسية المتبادلة. هل الدالة العكسية محددة دائمًا؟ لا يتم تعريف الدالة العكسية دائمًا. علامة انعكاس الوظيفة. سلوك الوظائف العكسية المتبادلة. العلاقة بين الرسوم البيانية للوظائف المباشرة والعكسية. الموارد المعلوماتية. تعريف الوظائف العكسية المتبادلة.