Уравнения. Трансформации на идентичност Трансформация на изрази. обобщение и основни формули

„Идентичности. Трансформация на идентичност на изразите”.

Цели на урока

Образователни:

да запознае и първоначално затвърди понятията „идентично равни изрази“, „тъждественост“, „тъждествени трансформации“;

да обмислят начини за доказване на самоличности, да допринесат за развитието на умения за доказване на самоличности;

да се провери усвояването от учениците на обхванатия материал, да се формират умения за прилагане на изучаваното за възприемане на новото.

Образователни : развиват мисленето, речта на учениците.

Образователни : да възпитава трудолюбие, точност, правилно записване на решението на упражненията.

Тип урок: изучаване на нов материал

Оборудване : Мултимедийна дъска, черна дъска, учебник, работна тетрадка.

П lan урок

Организационен момент (да се насочат учениците към урока)

Проверка на домашната работа (коригиране на грешки)

устни упражнения

Изучаване на нов материал (Въведение и първично затвърждаване на понятията "идентичност", "идентични трансформации").

Тренировъчни упражнения(Формиране на понятията "идентичност", "идентични трансформации").

Обобщаване на урока (Обобщете теоретичната информация, получена в урока).

Съобщение за домашна работа (Обяснете съдържанието на домашната работа)

По време на занятията

I. Организационен момент.

Проверка на домашната работа.

Въпроси за домашната работа.

Дебрифинг на дъската.

Необходима е математика
Без нея е невъзможно
Ние учим, учим, приятели,
Какво си спомняме сутрин?

II . устни упражнения.

Да направим тренировка.

Резултат от добавянето. (Сбор)

Колко числа знаете? (десет)

Стотна от число. (процент)

резултат от разделението? (частно)

Най-малкото естествено число? (един)

Възможно ли е при разделяне естествени числаполучи нула? (Не)

Какъв е сборът на числата от -200 до 200? (0)

Кое е най-голямото отрицателно цяло число. (-един)

На кое число не може да се раздели? (0)

Резултат от умножение? (работа)

Най-голямото двуцифрено число? (99)

Какъв е продуктът от -200 до 200? (0)

Резултатът от изваждането. (разлика)

Колко грама в килограм? (1000)

Комутативно свойство на събиране. (Сборът не се променя от пренареждането на местата на термините)

Комутативно свойство на умножението. (Продуктът не се променя от пермутацията на местата на факторите)

Асоциативно свойство на събиране. (За да добавите число към сбора от две числа, можете да добавите сумата от второто и третото към първото число)

Асоциативно свойство на умножението. (за да умножите произведението на две числа по третото число, можете да умножите първото число по произведението на второто и третото)

разпределителен имот. (За да умножите число по сбора от две числа, можете да умножите това число по всеки член и да добавите резултатите)

III . Изучаване на нов материал .

учител. Намерете стойността на изразите при x=5 и y=4

3(x+y)=3(5+4)=3*9=27

3x+3y=3*5+3*4=27

Получихме същия резултат. От разпределителното свойство следва, че като цяло за всякакви стойности на променливите стойностите на изразите 3(x + y) и 3x + 3y са равни.

Помислете сега за изразите 2x + y и 2xy. За x=1 и y=2 те вземат равни стойности:

2x+y=2*1+2=4

2xy=2*1*2=4

Можете обаче да посочите стойности на x и y, така че стойностите на тези изрази да не са равни. Например, ако x=3, y=4, тогава

2x+y=2*3+4=10

2xy=2*3*4=24

Определение: Два израза, чиито стойности са равни за всяка стойност на променливите, се казва, че са идентично равни.

Изразите 3(x+y) и 3x+3y са идентично равни, но изразите 2x+y и 2xy не са идентично равни.

Равенството 3(x + y) и 3x + 3y е вярно за всякакви стойности на x и y. Такива равенства се наричат ​​идентичности.

Определение: Равенството, което е вярно за всякакви стойности на променливите, се нарича идентичност.

Истинските числови равенства също се считат за идентичности. Вече се срещнахме с самоличности. Идентичностите са равенства, които изразяват основните свойства на действията върху числата (Учениците коментират всяко свойство, като го произнасят).

a + b = b + a ab=ba (a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a(bc) a(b + c) = ab + ac

Могат да бъдат дадени и други примери за идентичности (Учениците коментират всяко свойство, като го произнасят).

а + 0 = а

а * 1 = а

а + (-а) = 0

а * (- б ) = - аб

а - б = а + (- б )

(- а ) * (- б ) = аб

Определение: Замяната на един израз с друг, идентично равен на него, се нарича идентична трансформация или просто трансформация на израз.

учител:

Идентични трансформации на изрази с променливи се извършват въз основа на свойствата на операциите с числа.

Трансформациите на идентичност на изразите се използват широко при изчисляване на стойностите на изразите и решаване на други проблеми. Вече трябваше да извършите някои идентични трансформации, например намаляване на подобни термини, разширяване на скоби. Припомнете си правилата за тези трансформации:

студенти:

За да се изведат подобни термини, е необходимо да се съберат техните коефициенти и резултатът да се умножи по общата буквена част;

Ако има знак плюс пред скобите, тогава скобите могат да бъдат пропуснати, като се запази знакът на всеки термин, затворен в скоби;

Ако има знак минус преди скобите, тогава скобите могат да бъдат пропуснати, като се промени знакът на всеки термин, затворен в скоби.

учител:

Пример 1. Представяме подобни термини

5x + 2x-3x=x(5+2-3)=4x

Какво правило използвахме?

Студент:

Използвахме правилото за редукция на подобни термини. Тази трансформация се основава на разпределителното свойство на умножението.

учител:

Пример 2. Разгънете скобите в израза 2a + (б-3 ° С) = 2 а + б – 3 ° С

Приложихме правилото за отваряне на скоби, предшествано от знак плюс.

Студент:

Извършената трансформация се основава на асоциативното свойство на събиране.

учител:

Пример 3. Нека отворим скобите в израза a - (4б- в) =а – 4 б + ° С

Използвахме правилото за отваряне на скоби, които се предхождат от знак минус.

На какво свойство се основава тази трансформация?

Студент:

Извършеното преобразуване се основава на разпределителното свойство на умножението и асоциативното свойство на събирането.

IV . Тренировъчни упражнения

(Преди да започнем, правим физическа активност

Бързо станаха и се усмихнаха.

Теглени все по-високо.

Хайде, изправете раменете си

Повдигане, спускане.

Завийте надясно, завийте наляво

Седни, ставай. Седни, ставай.

И хукнаха на място.

(Браво, седнете).

Да вземем мини самостоятелна работа- съответствие, И тези, които вярват, че темата е добре разбрана - решава онлайн - тестване.

1) 5 (3x -2) - (4x + 9) A) 5-10: x

2) 5x-4 (2x-5) + 5 B) 11x -19

3) (5x-10): x B) 3x + 25

4) 11x-4 (x - 3) + 5x D) -3x + 25

E) 12x +12

V . Обобщаване на урока .

Учителят задава въпроси, а учениците им отговарят по желание.

Кои два израза се наричат ​​идентично равни? Дай примери.

Какво равенство се нарича идентичност? Дай пример.

Какви идентични трансформации познавате?

VI . Домашна работа . стр.5, намерете стари идентични изрази с помощта на Интернет

Преобразуванията на идентичност са работата, която вършим с числови и азбучни изрази, както и с изрази, които съдържат променливи. Ние извършваме всички тези трансформации, за да приведем оригиналния израз във форма, която ще бъде удобна за решаване на проблема. Ще разгледаме основните видове идентични трансформации в тази тема.

Трансформация на идентичност на израз. Какво е?

За първи път се срещаме с концепцията за идентични трансформирани ние в уроците по алгебра в 7 клас. След това първо се запознаваме с понятието за идентично равни изрази. Нека се занимаваме с понятията и дефинициите, за да улесним усвояването на темата.

Определение 1

Трансформация на идентичност на изразса действия, извършени за замяна на оригиналния израз с израз, който ще бъде идентично равен на оригиналния.

Често това определение се използва в съкратена форма, в която думата "идентичен" е пропусната. Приема се, че във всеки случай извършваме трансформацията на израза по такъв начин, че да получим израз, идентичен с оригиналния, и това не е необходимо да се подчертава отделно.

Илюстрирайте това определениепримери.

Пример 1

Ако заменим израза х + 3 - 2към идентично равен израз х+1, тогава извършваме идентичната трансформация на израза х + 3 - 2.

Пример 2

Замяна на израз 2 a 6 с израз а 3е трансформацията на идентичността, докато замяната на израза хкъм израза x2не е идентична трансформация, тъй като изразите хи x2не са идентично равни.

Обръщаме вашето внимание към формата на писмени изрази при извършване на идентични трансформации. Обикновено изписваме оригиналния израз и получения израз като равенство. И така, записването на x + 1 + 2 = x + 3 означава, че изразът x + 1 + 2 е редуциран до формата x + 3 .

Последователното изпълнение на действия ни води до верига от равенства, която представлява няколко последователни идентични трансформации. И така, ние разбираме нотацията x + 1 + 2 = x + 3 = 3 + x като последователно изпълнение на две трансформации: първо, изразът x + 1 + 2 беше сведен до формата x + 3 и беше сведен до формата 3 + x.

Трансформации на идентичност и ОДЗ

Редица изрази, които започваме да изучаваме в 8 клас, нямат смисъл за никакви стойности на променливи. Извършването на идентични трансформации в тези случаи изисква да обърнем внимание на областта на допустимите стойности на променливите (ODV). Извършването на идентични трансформации може да остави ODZ непроменено или да го стесни.

Пример 3

При извършване на преход от израза a + (−b)към израза a-bдиапазон от разрешени стойности на променливи аи бостава същото.

Пример 4

Преход от израз x към израз х 2 хводи до стесняване на диапазона от приемливи стойности на променливата x от множеството на всички реални числа до множеството от всички реални числа, от които нулата е изключена.

Пример 5

Трансформация на идентичност на израз х 2 хизразът x води до разширяване на диапазона от валидни стойности на променливата x от множеството на всички реални числа с изключение на нула до множеството от всички реални числа.

Стесняването или разширяването на диапазона на допустимите стойности на променливите при извършване на идентични трансформации е важно при решаването на проблеми, тъй като може да повлияе на точността на изчисленията и да доведе до грешки.

Основни трансформации на идентичността

Нека сега да видим какви са идентичните трансформации и как се извършват. Нека отделим в основната група онези видове идентични трансформации, с които най-често се налага да се справяме.

В допълнение към основните трансформации на идентичност, има редица трансформации, които се отнасят до изрази от определен тип. За дробите това са методи за редукция и редукция до нов знаменател. За изрази с корени и степени, всички действия, които се извършват въз основа на свойствата на корени и степени. За логаритмични изрази, действия, които се извършват въз основа на свойствата на логаритмите. За тригонометрични изразивсички действия, използващи тригонометрични формули. Всички тези конкретни трансформации са разгледани подробно в отделни теми, които можете да намерите на нашия ресурс. Поради тази причина няма да се спираме на тях в тази статия.

Нека преминем към разглеждането на основните идентични трансформации.

Пренареждане на термини, фактори

Нека започнем с пренареждане на термините. С тази идентична трансформация се занимаваме най-често. И следното твърдение може да се счита за основно правило тук: във всяка сума пренареждането на термините на места не влияе на резултата.

Това правило се основава на комутативните и асоциативните свойства на събирането. Тези свойства ни позволяват да пренаредим термините на места и в същото време да получим изрази, които са идентично равни на оригиналните. Ето защо пренареждането на членове на места в сбора е идентична трансформация.

Пример 6

Имаме сбора от три члена 3 + 5 + 7 . Ако разменим членовете 3 и 5, тогава изразът ще приеме формата 5 + 3 + 7. Има няколко възможности за пренареждане на термините в този случай. Всички те водят до получаване на изрази, които са идентично равни на оригиналния.

Не само числата, но и изразите могат да действат като членове в сбора. Те, също като числата, могат да бъдат пренаредени, без да се засяга крайният резултат от изчисленията.

Пример 7

В сбора от три члена 1 a + b, a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 и - 12 a от вида 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 + ( - 12) член може да бъде пренареден, например, така (- 12) a + 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 . От своя страна можете да пренаредите членовете в знаменателя на дроб 1 a + b, докато дробът ще приеме формата 1 b + a. И изразът под знака корен а 2 + 2 а + 5също така е сума, в която термините могат да се разменят.

По същия начин като термините, в оригиналните изрази могат да се разменят факторите и да се получат идентично правилни уравнения. Това действие се ръководи от следното правило:

Определение 2

В продукта пренареждането на факторите на места не влияе на резултата от изчислението.

Това правило се основава на комутативните и асоциативните свойства на умножението, които потвърждават правилността на идентичното преобразуване.

Пример 8

Работете 3 5 7пермутацията на фактори може да бъде представена в една от следните форми: 5 3 7 , 5 7 3 , 7 3 5 , 7 5 3 или 3 7 5.

Пример 9

Пермутирането на факторите в произведението x + 1 x 2 - x + 1 x ще даде x 2 - x + 1 x x + 1

Разширяване на скоби

Скобите могат да съдържат записи на числови изрази и изрази с променливи. Тези изрази могат да бъдат трансформирани в идентично равни изрази, в които изобщо няма да има скоби или ще има по-малко от тях, отколкото в оригиналните изрази. Този начин на преобразуване на изрази се нарича разширяване на скоби.

Пример 10

Нека да извършим действия със скоби в израз на формата 3 + x − 1 xза да се получи идентично верният израз 3 + x − 1 x.

Изразът 3 · x - 1 + - 1 + x 1 - x може да се преобразува в идентично равен израз без скоби 3 · x - 3 - 1 + x 1 - x .

Обсъдихме подробно правилата за преобразуване на изрази със скоби в темата "Разширяване на скоби", която е публикувана на нашия ресурс.

Групиране на термини, фактори

В случаите, когато имаме работа с три или повече термина, можем да прибегнем до такъв тип идентични трансформации като групиране на термини. Под този метод на трансформация се разбира обединяването на няколко термина в група чрез пренареждането им и поставянето им в скоби.

При групиране термините се разменят по такъв начин, че групираните термини да са в записа на израза един до друг. След това те могат да бъдат затворени в скоби.

Пример 11

Вземете израза 5 + 7 + 1 . Ако групираме първия член с третия, получаваме (5 + 1) + 7 .

Групирането на факторите се извършва подобно на групирането на термините.

Пример 12

В работата 2 3 4 5възможно е да групирате първия фактор с третия, а втория фактор с четвъртия, в този случай стигаме до израза (2 4) (3 5). И ако групираме първия, втория и четвъртия фактор, ще получим израза (2 3 5) 4.

Термините и факторите, които са групирани, могат да бъдат представени като прости числа, както и изрази. Правилата за групиране бяха подробно обсъдени в темата "Групиране на термини и фактори".

Замяна на разликите със суми, частични произведения и обратно

Замяната на разликите със суми стана възможна благодарение на запознаването ни с противоположните числа. Сега изваждане от число ачисла бможе да се разглежда като допълнение към числото ачисла −b. Равенство a − b = a + (− b)може да се счита за справедлив и въз основа на него да извърши замяната на разликите със суми.

Пример 13

Вземете израза 4 + 3 − 2 , в която разликата в числата 3 − 2 можем да запишем като сбор 3 + (− 2) . Вземи 4 + 3 + (− 2) .

Пример 14

Всички разлики в изражението 5 + 2 x - x 2 - 3 x 3 - 0, 2могат да бъдат заменени със суми като 5 + 2 x + (− x 2) + (− 3 x 3) + (− 0 , 2).

Можем да преминем към суми от всякакви разлики. По подобен начин можем да направим обратна замяна.

Замяната на деленето с умножение с реципрочната стойност на делителя става възможна чрез концепцията за реципрочни числа. Тази трансформация може да се запише като a: b = a (b − 1).

Това правило беше в основата на правилото за разделяне на обикновени дроби.

Пример 15

Частен 1 2: 3 5 може да бъде заменен с продукт от формата 1 2 5 3.

По същия начин, по аналогия, деленето може да бъде заменено с умножение.

Пример 16

В случая на израза 1+5:x:(x+3)заменете разделението с хможе да се умножи по 1 х. Деление по х + 3можем да заменим, като умножим с 1 х + 3. Трансформацията ни позволява да получим израз, който е идентичен с оригинала: 1 + 5 1 x 1 x + 3 .

Замяната на умножение с деление се извършва по схемата a b = a: (b − 1).

Пример 17

В израза 5 x x 2 + 1 - 3 умножението може да бъде заменено с деление като 5: x 2 + 1 x - 3.

Извършване на действия с числа

Извършването на операции с числа е подчинено на правилото за реда на операциите. Първо се извършват операции със степени на числа и корени от числа. След това заменяме логаритмите, тригонометричните и други функции с техните стойности. След това се изпълняват действията в скоби. И тогава вече можете да извършвате всички други действия отляво надясно. Важно е да запомните, че умножението и деленето се извършват преди събиране и изваждане.

Операциите с числа ви позволяват да трансформирате оригиналния израз в идентичен, равен на него.

Пример 18

Нека трансформираме израза 3 · 2 3 - 1 · a + 4 · x 2 + 5 · x, като извършим всички възможни операции с числа.

Решение

Първо, нека разгледаме степента 2 3 и корен 4 и изчислете техните стойности: 2 3 = 8 и 4 = 2 2 = 2 .

Заместете получените стойности в оригиналния израз и получете: 3 (8 - 1) a + 2 (x 2 + 5 x) .

Сега нека направим скоби: 8 − 1 = 7 . И да преминем към израза 3 7 a + 2 (x 2 + 5 x) .

Трябва само да направим умножението 3 и 7 . Получаваме: 21 a + 2 (x 2 + 5 x) .

Отговор: 3 2 3 - 1 a + 4 x 2 + 5 x = 21 a + 2 (x 2 + 5 x)

Операциите с числа могат да бъдат предшествани от други видове трансформации на идентичност, като групиране на числа или разширяване на скоби.

Пример 19

Вземете израза 3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) − 2 + 11.

Решение

Първо, ще променим частното в скоби 6: 3 върху значението му 2 . Получаваме: 3 + 2 2 x (y 3 4) − 2 + 11 .

Нека разширим скобите: 3 + 2 2 x (y 3 4) − 2 + 11 = 3 + 2 2 x y 3 4 − 2 + 11.

Нека групираме числовите фактори в продукта, както и термините, които са числа: (3 − 2 + 11) + (2 2 4) x y 3.

Нека направим скоби: (3 − 2 + 11) + (2 2 4) x y 3 = 12 + 16 x y 3

Отговор:3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) − 2 + 11 = 12 + 16 x y 3

Ако работим с числови изрази, тогава целта на нашата работа ще бъде да намерим стойността на израза. Ако трансформираме изрази с променливи, тогава целта на нашите действия ще бъде да опростим израза.

Включване в скоби на общия фактор

В случаите, когато термините в израза имат един и същ фактор, тогава можем да извадим този общ множител от скоби. За да направим това, първо трябва да представим оригиналния израз като продукт на общ фактор и израз в скоби, който се състои от оригиналните термини без общ фактор.

Пример 20

Числено 2 7 + 2 3можем да извадим общия фактор 2 извън скобите и да получите идентично правилен израз на формата 2 (7 + 3).

Можете да опресните паметта на правилата за поставяне на общия фактор извън скоби в съответния раздел на нашия ресурс. В материала се разглеждат подробно правилата за изваждане на общия фактор от скоби и са дадени множество примери.

Намаляване на подобни термини

Сега нека преминем към суми, които съдържат подобни термини. Тук са възможни две опции: суми, съдържащи едни и същи членове, и суми, чиито членове се различават с числов коефициент. Операциите със суми, съдържащи подобни термини, се наричат ​​редукция на сходни членове. Извършва се по следния начин: поставяме общата буквена част извън скоби и изчисляваме сумата от числови коефициенти в скоби.

Пример 21

Помислете за израза 1 + 4 x − 2 x. Можем да извадим буквалната част от x от скоби и да получим израза 1 + x (4 − 2). Нека да изчислим стойността на израза в скоби и да получим сумата от вида 1 + x · 2 .

Замяна на числа и изрази с идентично равни изрази

Числата и изразите, които съставляват оригиналния израз, могат да бъдат заменени с изрази, които са идентично равни на тях. Такава трансформация на оригиналния израз води до израз, който е идентично равен на него.

Пример 22 Пример 23

Помислете за израза 1 + a5, в който можем да заменим степента a 5 с продукт, идентично равен на него, например от вида а 4. Това ще ни даде израза 1 + а 4.

Извършената трансформация е изкуствена. Има смисъл само в подготовка за други трансформации.

Пример 24

Помислете за трансформацията на сумата 4 x 3 + 2 x 2. Ето термина 4x3можем да представим като продукт 2 x 2 x 2 x. В резултат на това оригиналният израз приема формата 2 x 2 2 x + 2 x 2. Сега можем да изолираме общия фактор 2x2и го извадете от скобите: 2 x 2 (2 x + 1).

Събиране и изваждане на едно и също число

Добавянето и изваждането на едно и също число или израз по едно и също време е техника за изкуствена трансформация на израз.

Пример 25

Помислете за израза х 2 + 2 х. Можем да добавим или извадим едно от него, което ще ни позволи впоследствие да извършим друга идентична трансформация - да изберем квадрата на бинома: x 2 + 2 x = x 2 + 2 x + 1 - 1 = (x + 1) 2 - 1.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Нека са дадени два алгебрични израза:

Нека направим таблица със стойностите на всеки от тези изрази за различни числови стойности на буквата x.

Виждаме, че за всички тези стойности, които са дадени на буквата x, стойностите на двата израза се оказват равни. Същото ще важи и за всяка друга стойност на x.

За да проверим това, трансформираме първия израз. Въз основа на закона за разпределението пишем:

След като извършихме посочените операции върху числата, получаваме:

И така, първият израз, след неговото опростяване, се оказа абсолютно същият като втория израз.

Сега е ясно, че за всяка стойност на x стойностите на двата израза са равни.

Изразите, чиито стойности са равни за всякакви стойности на буквите, включени в тях, се наричат ​​идентично равни или идентични.

Следователно те са идентични изрази.

Нека направим една важна забележка. Да вземем изрази:

След като съставихме таблица, подобна на предишната, ще се уверим, че и двата израза, за всяка стойност на x, с изключение на имат еднакви числови стойности. Само когато вторият израз е равен на 6, а първият губи значението си, тъй като знаменателят е нула. (Припомнете си, че не можете да разделите на нула.) Можем ли да кажем, че тези изрази са идентични?

По-рано се договорихме, че всеки израз ще се разглежда само за допустими стойности на букви, тоест за онези стойности, за които изразът не губи значението си. Това означава, че тук, когато сравняваме два израза, ние вземаме предвид само тези буквени стойности, които са валидни и за двата израза. Следователно трябва да изключим стойността. И тъй като за всички останали стойности на x и двата израза имат една и съща числова стойност, имаме право да ги считаме за идентични.

Въз основа на казаното даваме следната дефиниция на идентични изрази:

1. Изразите се наричат ​​идентични, ако имат еднакви числови стойности за всички допустими стойности на буквите, включени в тях.

Ако две идентични изразисвързваме със знак за равенство, получаваме идентичност. означава:

2. Идентичността е равенство, което е вярно за всички допустими стойности на буквите, включени в него.

Вече сме се сблъсквали с идентичности и преди. Така, например, всички равенства са тъждества, с които изразихме основните закони за събиране и умножение.

Например равенства, изразяващи комутативния закон на събирането

и асоциативния закон на умножението

са валидни за всякакви стойности на буквите. Следователно тези равенства са идентичности.

Всички истински аритметични равенства също се считат за идентичности, например:

В алгебрата човек често трябва да заменя израз с друг, който е идентичен с него. Нека например се изисква да се намери стойността на израза

Ще улесним значително изчисленията, ако заменим дадения израз с израз, който е идентичен с него. Въз основа на закона за разпределението можем да запишем:

Но числата в скобите са 100. И така, имаме идентичност:

Замествайки 6,53 вместо a в дясната му страна, ние веднага (в ума) намираме числова стойност(653) от този израз.

Замяната на един израз с друг, идентичен с него, се нарича идентична трансформация на този израз.

Припомнете си, че всеки алгебричен израз за всякакви допустими стойности на букви е някакъв

номер. Това означава, че всички закони и свойства важат за алгебричните изрази аритметични операциикоито бяха представени в предишната глава. И така, прилагането на законите и свойствата на аритметичните операции трансформира даден алгебричен израз в израз, който е идентичен с него.

Наред с изучаването на операциите и техните свойства в алгебрата, те изучават такива понятия като израз, уравнение, неравенство . Първоначалното запознаване с тях става в началния курс по математика. Те се въвеждат по правило без строги дефиниции, най-често привидно, което изисква от учителя не само да бъде много внимателен при използването на термините, обозначаващи тези понятия, но и да познава редица техни свойства. Следователно основната задача, която си поставяме, когато започваме да изучаваме материала от този параграф, е да изясним и задълбочим знанията за изразите (числови и с променливи), числови равенства и числови неравенства, уравнения и неравенства.

Изучаването на тези понятия е свързано с използването на математически език, то се отнася до изкуствени езици, които се създават и развиват заедно с определена наука. Като всеки друг математически език, той има своя собствена азбука. В нашия курс той ще бъде представен частично, поради необходимостта да се обърне повече внимание на връзката между алгебрата и аритметиката. Тази азбука включва:

1) числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; с тяхна помощ числата се изписват според специални правила;

2) признаци на операции +, -, , :;

3) признаци на връзката<, >, =, М;

4) малки букви на латинската азбука, те се използват за обозначаване на числа;

5) скоби (кръгли, къдрави и др.), Те се наричат ​​технически знаци.

С помощта на тази азбука в алгебрата се образуват думи, наричайки ги изрази, а от думите се получават изречения - числови равенства, числови неравенства, уравнения, неравенства с променливи.

Както знаете, записи 3 + 7, 24: 8, 3 × 2 - 4, (25 + 3)× 2-17 се наричат числови изрази. Те се образуват от числа, знаци за действие, скоби. Ако извършим всички действия, посочени в израза, получаваме извикано число стойността на числов израз . И така, стойността на числовия израз е 3 × 2 - 4 е равно на 2.

Има числови изрази, чиито стойности не могат да бъдат намерени. За такива изрази се казва няма смисъл .

Например, израз 8: (4 - 4) няма смисъл, тъй като стойността му не може да бъде намерена: 4 - 4 = 0, а деленето на нула е невъзможно. Изразът 7-9 също няма смисъл, ако го разглеждаме в множество естествени числа, тъй като стойностите на израза 7-9 не могат да бъдат намерени в този набор.

Помислете за нотацията 2a + 3. Тя се образува от числа, знаци за действие и буква a. Ако вместо a заменим числа, тогава ще се получат различни числови изрази:

ако а = 7, тогава 2 × 7 + 3;

ако а = 0, тогава 2 × 0 + 3;

ако а = - 4, тогава 2 × (- 4) + 3.

В обозначението 2a + 3 такава буква a се нарича променлива , а самият запис 2a + 3 - променлив израз.

Променливата в математиката, като правило, се обозначава с всяка малка буква на латинската азбука. AT начално училищеза обозначаване на променлива, освен букви, се използват и други знаци, например œ. Тогава изразът с променлива има формата: 2ל + 3.

Всеки израз с променлива съответства на набор от числа, заместването на които води до числов израз, който има смисъл. Този комплект се нарича обхват на израза .

Например,областта на израза 5: (x - 7) се състои от всички реални числа, с изключение на числото 7, тъй като за x = 7 изразът 5: (7 - 7) няма значение.

В математиката се считат изрази, които съдържат една, две или повече променливи.

Например, 2a + 3 е израз с една променлива и (3x + 8y) × 2 е израз с три променливи. За да получите числов израз от израз с три променливи, вместо всяка променлива, заменете числата, които принадлежат на обхвата на израза.

И така, разбрахме как се образуват числови изрази и изрази с променливи от азбуката на математическия език. Ако направим аналогия с руския език, тогава изразите са думите на математическия език.

Но, използвайки азбуката на математическия език, е възможно да се формират такива, например, записи: (3 + 2)) - × 12 или 3x - y: +) 8, което не може да бъде наречено нито числов израз, нито израз с променлива. Тези примери показват, че описанието - от кои знаци от азбуката на математическия език се формират изрази, числови и с променливи, не е дефиниция на тези понятия. Нека дадем дефиниция на числов израз (израз с променливи се дефинира по подобен начин).

Определение.Ако f и q са числови изрази, тогава (f) + (q), (f) - (q), (f) × (q), (f) (q) са числови изрази. Всяко число се счита за числов израз.

Ако тази дефиниция се следваше точно, тогава би трябвало да се напишат твърде много скоби, например (7) + (5) или (6): (2). За да съкратим нотацията, се договорихме да не пишем скоби, ако се добавят или изваждат няколко израза и тези операции се извършват отляво надясно. По същия начин скобите не се пишат, когато няколко числа се умножават или разделят, а тези операции се извършват в ред отляво надясно.

Например, те пишат така: 37 - 12 + 62 - 17 + 13 или 120:15-7:12.

Освен това се съгласихме първо да извършим действията от втория етап (умножение и деление), а след това действията от първия етап (събиране и изваждане). Следователно изразът (12-4:3) + (5-8:2-7) се записва, както следва: 12 - 4: 3 + 5 - 8: 2 - 7.

Задача.Намерете стойността на израза 3x (x - 2) + 4(x - 2) за x = 6.

Решение

1 начин. Заменете числото 6 вместо променлива в този израз: 3 × 6-(6 - 2) + 4 × (6 - 2). За да намерим стойността на получения числов израз, изпълняваме всички посочени действия: 3 × 6 × (6 - 2) + 4 × (6-2) = 18 × 4 + 4 × 4 = 72 + 16 = 88. Следователно , кога х= 6 стойността на израза 3x(x-2) + 4(x-2) е 88.

2 начин. Преди да заменим числото 6 в този израз, нека го опростим: Zx (x - 2) + 4 (x - 2) = (Х - 2)(3x + 4). И след това, замествайки в получения израз вместо хномер 6, направете следното: (6 - 2) × (3 × 6 + 4) = 4x (18 + 4) = 4x22 = 88.

Нека обърнем внимание на следното: както при първия метод за решаване на задачата, така и при втория заменихме един израз с друг.

Например, изразът 18 × 4 + 4 × 4 беше заменен с израза 72 + 16, а изразът 3x (x - 2) + 4(x - 2) - с израза (Х - 2)(3x + 4) и тези замествания водят до същия резултат. В математиката, описвайки решението на този проблем, те казват, че сме изпълнили идентични трансформации изрази.

Определение.Два израза се казват, че са идентично равни, ако за всякакви стойности на променливите от областта на изразите съответните им стойности са равни.

Примери за идентично равни изрази са изразите 5(x + 2) и 5x+ 10, защото за всякакви реални стойности хстойностите им са равни.

Ако два израза, които са идентично равни в определено множество, се съединят със знак за равенство, тогава получаваме изречение, наречено самоличност на този комплект.

Например, 5(x + 2) = 5x + 10 е идентичност на множеството от реални числа, тъй като за всички реални числа стойностите на израза 5(x + 2) и 5x + 10 са еднакви. Използвайки общата нотация на квантора, това тъждество може да бъде записано по следния начин: (" x н R) 5(x + 2) = 5x + 10. Истинските числови равенства също се считат за идентичности.

Извиква се заместване на израз с друг, който е идентично равен на него в някакво множество идентичното преобразуване на дадения израз върху това множество.

И така, заменяйки израза 5(x + 2) с израза 5x + 10, който е идентично равен на него, извършихме идентичната трансформация на първия израз. Но как, като имаме предвид два израза, да разберем дали те са еднакво равни или не? Намерете съответните стойности на изразите, като замените конкретни числа за променливи? Дълго и не винаги е възможно. Но тогава какви са правилата, които трябва да се спазват при извършване на идентични трансформации на изрази? Има много от тези правила, сред тях са свойствата на алгебричните операции.

Задача.Разложете на множители израза ax - bx + ab - b 2 .

Решение.Нека групираме членовете на този израз на две (първият с втория, третият с четвъртия): ax - bx + ab - b 2 \u003d (ax-bx) + (ab-b 2). Тази трансформация е възможна въз основа на свойството на асоциативност на събиране на реални числа.

Изваждаме общия фактор в получения израз от всяка скоба: (ax - bx) + (ab - b 2) \u003d x (a - b) + b (a - b) - тази трансформация е възможна въз основа на разпределителната свойство на умножение по отношение на изваждане на реални числа.

В получения израз термините имат общ фактор, изваждаме го от скоби: x (a - b) + b (a - b) \u003d (a - b) (x - b). В основата на извършеното преобразуване е разпределителното свойство на умножението по отношение на събирането.

И така, ax - bx + ab - b 2 \u003d (a - b) (x - b).

В началния курс по математика, като правило, се извършват само еднакви преобразувания на числови изрази. Теоретична основаТакива трансформации са свойствата на събиране и умножение, различни правила: добавяне на сума към число, число към сума, изваждане на число от сума и т.н.

Например, за да намерите произведението на 35 × 4, трябва да извършите трансформации: 35 × 4 = (30 + 5) × 4 = 30 × 4 + 5 × 4 = 120 + 20 = 140. Извършените трансформации се основават на: разпределителното свойство на умножението по отношение на събирането; принципът на записване на числа в десетичната бройна система (35 = 30 + 5); правила за умножение и събиране на естествени числа.

Числата и изразите, които съставляват оригиналния израз, могат да бъдат заменени с изрази, които са идентично равни на тях. Такава трансформация на оригиналния израз води до израз, който е идентично равен на него.

Например в израза 3+x числото 3 може да бъде заменено със сумата 1+2, което води до израза (1+2)+x, който е идентично равен на оригиналния израз. Друг пример: в израза 1+a 5 степента на a 5 може да бъде заменена с продукт, идентично равен на него, например от вида a·a 4 . Това ще ни даде израза 1+a·a 4 .

Тази трансформация несъмнено е изкуствена и обикновено е подготовка за някаква по-нататъшна трансформация. Например, в сбора 4·x 3 +2·x 2, като се вземат предвид свойствата на степента, членът 4·x 3 може да бъде представен като произведение 2·x 2 ·2·x . След такава трансформация първоначалният израз ще приеме формата 2·x 2 ·2·x+2·x 2 . Очевидно членовете в получената сума имат общ фактор 2 x 2, така че можем да извършим следната трансформация - скоби. След него ще стигнем до израза: 2 x 2 (2 x+1) .

Събиране и изваждане на едно и също число

Друго изкуствена трансформацияизразът е събиране и едновременно изваждане на едно и също число или израз. Такава трансформация е идентична, тъй като всъщност е еквивалентна на добавяне на нула и добавянето на нула не променя стойността.

Помислете за пример. Да вземем израза x 2 +2 x . Ако към него се добави и един се отнеме, това ще позволи да се извърши още една идентична трансформация в бъдеще - изберете квадрата на бинома: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1−1=(x+1) 2 −1.

Библиография.

• алгебра:учебник за 7 клетки. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковски. - 17-то изд. - М. : Образование, 2008. - 240 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• алгебра:учебник за 8 клетки. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М. : Образование, 2008. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордкович А.Г.алгебра. 7-ми клас. В 14 ч. Част 1. Учебник за студенти от образователни институции / А. Г. Мордкович. - 17 изд., доп. - М.: Мнемозина, 2013. - 175 с.: ил. ISBN 978-5-346-02432-3.