Режим на разпределение на Поасон. Разпределение и формула на Поасон. Числени характеристики на случайна величина X

Когато се разглеждат събития с ниска вероятност, които се случват в голяма поредица от независими опити някакъв (краен) брой пъти, вероятностите за настъпване на тези събития се подчиняват на закона на Поасон или закона на редките събития, където λ е равно на средния брой на събитията на събития в идентични независими опити, т.е. λ = n × p, където p е вероятността за събитие в един опит, e = 2,71828, m е честотата на това събитие, математическото очакване M[X] е равно на λ.

Серията на разпределение на закона на Поасон има формата:

Числени характеристики на случайна величина X

Очаквана стойностПоасоново разпределение
M[X] = λ

Дисперсия на разпределението на Поасон
D[X] = λ

Закон на Поасонможе да се използва за популации, които са достатъчно големи по размер (n > 100) и имат достатъчно малък дял единици, които имат тази характеристика (p< 0,1).
В този случай разпределението на Поасон може да се приложи, когато не е известна само стойността на n - общ бройвъзможни резултати, но също и когато не е известно крайно число, което n може да представлява. Когато има среден брой повторения на събитието, вероятността за възникване на събитието се описва с термините на разширение:
.
Така че съответните вероятности са:

Следователно, ако средният брой земетресения е едно на месец, тогава m=1 и вероятността от събития на месец ще бъде както следва, изчислена от приблизителната стойност на e - m = 0,3679:

Пример. В резултат на проверка на 1000 партиди идентични продукти се получава следното разпределение на броя на дефектните продукти в партидата:

Нека да определим средния брой дефектни продукти в партида:
.
Намираме теоретичните честоти на закона на Поасон:


Емпирично и намерено теоретично разпределение на Поасон:

604	306	77	12	1
606	303	76	13	2

Сравнението свидетелства за съответствието на емпиричното разпределение с разпределението на Поасон.

Пример #2. Отделът за технически контрол провери n партиди от един и същ вид продукти и установи, че броят на X нестандартни продукти в една партида има емпирично разпределение, дадено в таблицата, в един ред от която броят x i на нестандартните продукти в е посочена една партида, а в другия ред броят на n i партиди, съдържащи x i нестандартни продукти. Изисква се при ниво на значимост α=0,05 да се тества хипотезата, че случайната променлива X (броят нестандартни продукти в една партида) разпределени според закона на Поасон.

x i	0	1	2	3	4	5
n i	370	360	190	63	14	3

Нека проверим хипотезата, че X е разпределено върху Закон на Поасонизползвайки услугата за проверка на статистически хипотези.


където p i е вероятността за попадение i-ти интервал случайна величина, разпределени по хипотетичен закон; λ = x вж.
i = 0: p 0 = 0,3679, np 0 = 367,88
i = 1: p 1 = 0,3679, np 1 = 367,88
i \u003d 2: p 2 \u003d 0,1839, np 2 \u003d 183,94
i \u003d 3: p 3 \u003d 0,0613, np 3 \u003d 61,31
i = 4: p 4 = 0,0153, np 4 = 15,33
i = 5: p 5 = 0,0031, np 5 = 3,07
i = 6: 17 = 14 + 3
i = 6: 18,39=15,33 + 3,07

аз	Наблюдавана честота n i	пи	Очаквана честота np i
0	370	0.37	367.88	0.0122
1	360	0.37	367.88	0.17
2	190	0.18	183.94	0.2
3	63	0.0613	61.31	0.0464
4	17	0.0153	18.39	0.11
	1000			0.53

Нека да определим границата на критичната област. Тъй като статистиката на Pearson измерва разликата между емпиричните и теоретичните разпределения, колкото по-голяма е наблюдаваната стойност на K obs, толкова по-силен е аргументът срещу основната хипотеза.
Следователно критичната област за тази статистика винаги е дясната :)