Разстояние от точка c до права линия AB. Определя разстоянието от точка до права линия. Относителното положение на две прави линии

Тази статия говори за темата « разстояние от точка до права », определянето на разстоянието от точка до права линия с илюстрирани примери по метода на координатите Всеки блок от теорията в края показва примери за решаване на подобни проблеми.

Разстоянието от точка до права линия се намира чрез дефиницията на разстоянието от точка до точка. Нека да разгледаме отблизо.

Нека има права a и точка M 1, която не принадлежи на дадена права. Начертайте през него линия b, която е перпендикулярна на права a. Точката на пресичане на линиите се приема като H 1. Получаваме, че M 1 H 1 е перпендикулярът, който е бил спуснат от точката M 1 до линията a.

Определение 1

Разстояние от точка М 1 до права а наречено разстоянието между точките M 1 и H 1.

Има записи на дефиниция с фигурата на дължината на перпендикуляра.

Определение 2

Разстояние от точка до права е дължината на перпендикуляра, изтеглен от дадена точка до дадена права линия.

Определенията са еквивалентни. Помислете за фигурата по-долу.

Известно е, че разстоянието от точка до права линия е най-малкото от всички възможни. Нека разгледаме един пример.

Ако вземем точка Q, лежаща на права линия a, не съвпадаща с точката M 1, тогава получаваме, че отсечката M 1 Q се нарича наклонена, спусната от M 1 до линията a. Необходимо е да се посочи, че перпендикулярът от точка M 1 е по-малък от всяка друга наклонена линия, изтеглена от точка до линия.

За да докажете това, помислете за триъгълник M 1 Q 1 H 1, където M 1 Q 1 е хипотенузата. Известно е, че дължината му винаги е по-голяма от дължината на който и да е от краката. Имаме, че M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Първоначалните данни за намиране от точка до права линия ви позволяват да използвате няколко метода за решение: чрез питагоровата теорема, определяне на синус, косинус, тангенс на ъгъл и други. Повечето задачи от този тип се решават в училище в часовете по геометрия.

Когато, когато намирате разстоянието от точка до права линия, можете да въведете правоъгълна координатна система, тогава се използва методът на координатите. В този параграф ще разгледаме основните два метода за намиране на желаното разстояние от дадена точка.

Първият метод включва намиране на разстоянието като перпендикуляр, изтеглен от M 1 до права линия a. Във втория метод се използва нормалното уравнение на права линия a за намиране на желаното разстояние.

Ако в равнината има точка с координати M 1 (x 1, y 1), разположена в правоъгълна координатна система, права линия a, и трябва да намерите разстоянието M 1 H 1, можете да изчислите по два начина. Нека ги разгледаме.

Първият начин

Ако има координати на точката H 1, равни на x 2, y 2, тогава разстоянието от точката до правата линия се изчислява чрез координатите от формулата M 1 H 1 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Сега да преминем към намирането на координатите на точката H 1.

Известно е, че права линия в O x y съответства на уравнението на права линия на равнина. Нека вземем начин за определяне на права линия a, като напишем общото уравнение на права линия или уравнение с наклон. Съставяме уравнението на права линия, която минава през точката M 1, перпендикулярна на дадената права а. Правата линия ще се обозначава с бук b. H 1 е точката на пресичане на линии a и b, което означава, че за да определите координатите, трябва да използвате статията, която се занимава с координатите на точките на пресичане на две линии.

Вижда се, че алгоритъмът за намиране на разстоянието от дадена точка M 1 (x 1, y 1) до права линия a се извършва съгласно точки:

Определение 3

• намиране на общото уравнение на права линия a, имащо формата A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0, или уравнение с наклон, имащо формата y \u003d k 1 x + b 1;
• получаване на общо уравнение на права b, имащо формата A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0 или уравнение с наклон y \u003d k 2 x + b 2, ако права b пресича точка M 1 и е перпендикулярна на дадена права a;
• определяне на координатите x 2, y 2 на точката H 1, която е пресечната точка на a и b, за това системата е решена линейни уравнения A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0 или y \u003d k 1 x + b 1 y \u003d k 2 x + b 2;
• изчисляване на необходимото разстояние от точка до права линия с помощта на формулата M 1 H 1 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Втори начин

Теоремата може да помогне да се отговори на въпроса за намиране на разстоянието от дадена точка до дадена права линия на равнина.

Теорема

Правоъгълната координатна система има O x y има точка M 1 (x 1, y 1), от която се прави права линия a към равнината, дадена от нормалното уравнение на равнината, която има формата cos α x + cos β y - p \u003d 0, равна на към модула на стойността, получена от лявата страна на нормалното уравнение на линията, изчислена при x \u003d x 1, y \u003d y 1, което означава, че M 1 H 1 \u003d cos α x 1 + cos β y 1 - p.

Доказателства

Правата а съответства на нормалното уравнение на равнината, която има формата cos α x + cos β y - p \u003d 0, тогава n → \u003d (cos α, cos β) се счита за нормален вектор на права a на разстояние от началото до линията a с p единици ... Необходимо е да се покажат всички данни на фигурата, да се добави точка с координати M 1 (x 1, y 1), където радиусът на вектора M 1 - O M 1 → \u003d (x 1, y 1). Необходимо е да се начертае права линия от точка до права линия, която обозначаваме с M 1 H 1. Необходимо е да се покажат проекциите М 2 и Н 2 на точки М 1 и Н 2 върху права линия, преминаваща през точка О с вектор на посока от вида n → \u003d (cos α, cos β), а числената проекция на вектора се обозначава като OM 1 → \u003d (x 1, y 1) към посоката n → \u003d (cos α, cos β) като npn → OM 1 →.

Вариациите зависят от местоположението на самата точка M 1. Помислете на фигурата по-долу.

Фиксираме резултатите с помощта на формулата M 1 H 1 \u003d n p n → O M → 1 - p. След това намаляваме равенството до тази форма M 1 H 1 \u003d cos α x 1 + cos β y 1 - p, за да получим n p n → O M → 1 \u003d cos α x 1 + cos β y 1.

Скаларното произведение на вектори в резултат дава трансформирана формула с формата n →, OM → 1 \u003d n → npn → OM 1 → \u003d 1 npn → OM 1 → \u003d npn → OM 1 →, което е произведение в координатна форма на формата n →, OM 1 → \u003d cos α x 1 + cos β y 1. Следователно получаваме, че n p n → O M 1 → \u003d cos α x 1 + cos β y 1. От това следва, че M 1 H 1 \u003d n p n → O M 1 → - p \u003d cos α x 1 + cos β y 1 - p. Теоремата е доказана.

Получаваме, че за да намерите разстоянието от точката M 1 (x 1, y 1) до права линия a на равнината, трябва да извършите няколко действия:

Определение 4

• получаване на нормалното уравнение на права линия a cos α x + cos β y - p \u003d 0, при условие че не е в задачата;
• изчисляване на израза cos α · x 1 + cos β · y 1 - p, където получената стойност приема M 1 H 1.

Нека приложим тези методи за решаване на задачи с намиране на разстоянието от точка до равнина.

Пример 1

Намерете разстоянието от точката с координати M 1 (- 1, 2) до линията 4 x - 3 y + 35 \u003d 0.

Решение

Нека приложим първия метод за решаване.

За целта е необходимо да се намери общото уравнение на права линия b, която минава през дадена точка M 1 (- 1, 2), перпендикулярна на права линия 4 x - 3 y + 35 \u003d 0. От условието се вижда, че права линия b е перпендикулярна на права линия a, тогава нейният посочен вектор има координати, равни на (4, - 3). По този начин имаме възможност да напишем каноничното уравнение на права линия b на равнината, тъй като има координати на точката M 1, принадлежи на права линия b. Определете координатите на вектора на посоката на права линия b. Получаваме x - (- 1) 4 \u003d y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 \u003d y - 2 - 3. Полученото канонично уравнение трябва да се трансформира в общото. Тогава получаваме това

x + 1 4 \u003d y - 2 - 3 ⇔ - 3 (x + 1) \u003d 4 (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 \u003d 0

Нека намерим координатите на точките на пресичане на прави линии, които ще вземем като обозначение H 1. Трансформациите изглеждат така:

4 x - 3 y + 35 \u003d 0 3 x + 4 y - 5 \u003d 0 ⇔ x \u003d 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 \u003d 0 ⇔ x \u003d 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 \u003d 0 ⇔ ⇔ x \u003d 3 4 y - 35 4 y \u003d 5 ⇔ x \u003d 3 4 5 - 35 4 y \u003d 5 ⇔ x \u003d - 5 y \u003d 5

От горното имаме, че координатите на точката H 1 са (- 5; 5).

Необходимо е да се изчисли разстоянието от точка M 1 до права a. Имаме, че координатите на точките M 1 (- 1, 2) и H 1 (- 5, 5), след това заместваме във формулата за намиране на разстоянието и получаваме това

M 1 H 1 \u003d (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 \u003d 25 \u003d 5

Второ решение.

За да се реши по друг начин, е необходимо да се получи нормалното уравнение на линията. Оценете нормализиращия коефициент и умножете двете страни на уравнението 4 x - 3 y + 35 \u003d 0. От това получаваме, че нормализиращият коефициент е - 1 4 2 + (- 3) 2 \u003d - 1 5, а нормалното уравнение ще има вид - 1 5 4 x - 3 y + 35 \u003d - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 \u003d 0.

Съгласно алгоритъма за изчисление е необходимо да се получи нормалното уравнение на правата линия и да се изчисли със стойностите x \u003d - 1, y \u003d 2. Тогава получаваме това

4 5 - 1 + 3 5 2 - 7 \u003d - 5

Следователно откриваме, че разстоянието от точката M 1 (- 1, 2) до дадената права линия 4 x - 3 y + 35 \u003d 0 има стойността - 5 \u003d 5.

Отговор: 5 .

Вижда се, че при този метод е важно да се използва нормалното уравнение на права линия, тъй като този метод е най-кратък. Но първият метод е удобен с това, че е последователен и логичен, въпреки че има повече точки за изчисление.

Пример 2

На равнината има правоъгълна координатна система O x y с точка M 1 (8, 0) и права линия y \u003d 1 2 x + 1. Намерете разстоянието от дадена точка до права линия.

Решение

Решението по първия начин предполага привеждане на даденото уравнение с наклона към общото уравнение. За простота можете да го направите по различен начин.

Ако произведението на наклоните на перпендикулярните линии има стойност - 1, тогава наклонът на линията, перпендикулярна на дадената y \u003d 1 2 x + 1, има стойността 2. Сега получаваме уравнението на правата линия, минаваща през точката с координати M 1 (8, 0). Имаме, че y - 0 \u003d - 2 (x - 8) ⇔ y \u003d - 2 x + 16.

Обръщаме се към намирането на координатите на точката H 1, т.е. пресечните точки y \u003d - 2 x + 16 и y \u003d 1 2 x + 1. Съставяме система от уравнения и получаваме:

y \u003d 1 2 x + 1 y \u003d - 2 x + 16 ⇔ y \u003d 1 2 x + 1 1 2 x + 1 \u003d - 2 x + 16 ⇔ y \u003d 1 2 x + 1 x \u003d 6 ⇔ ⇔ y \u003d 1 2 6 + 1 x \u003d 6 \u003d y \u003d 4 x \u003d 6 ⇒ H 1 (6, 4)

От това следва, че разстоянието от точката с координати M 1 (8, 0) до правата линия y \u003d 1 2 x + 1 е равно на разстоянието от началната точка и крайната точка с координати M 1 (8, 0) и H 1 (6, 4) ... Изчисляваме и получаваме, че M 1 H 1 \u003d 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 \u003d 2 5.

Решението по втория начин е да се премине от уравнение с коефициент към нормалната му форма. Тоест получаваме y \u003d 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 \u003d 0, тогава стойността на нормализиращия фактор ще бъде - 1 1 2 2 + (- 1) 2 \u003d - 2 5. От това следва, че нормалното уравнение на линията приема формата - 2 5 1 2 x - y + 1 \u003d - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 \u003d 0. Нека направим изчисление от точката M 1 8, 0 до права линия на формата - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 \u003d 0. Получаваме:

M 1 H 1 \u003d - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 \u003d - 10 5 \u003d 2 5

Отговор: 2 5 .

Пример 3

Необходимо е да се изчисли разстоянието от точка с координати M 1 (- 2, 4) до прави линии 2 x - 3 \u003d 0 и y + 1 \u003d 0.

Решение

Получаваме уравнението на нормалната форма на права линия 2 x - 3 \u003d 0:

2 x - 3 \u003d 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 \u003d 1 2 0 ⇔ x - 3 2 \u003d 0

След това пристъпваме към изчисляване на разстоянието от точката M 1 - 2, 4 до правата линия x - 3 2 \u003d 0. Получаваме:

M 1 H 1 \u003d - 2 - 3 2 \u003d 3 1 2

Уравнението на права линия y + 1 \u003d 0 има нормализиращ коефициент -1. Това означава, че уравнението ще приеме формата - y - 1 \u003d 0. Пристъпваме към изчисляване на разстоянието от точката M 1 (- 2, 4) до правата линия - y - 1 \u003d 0. Получаваме, че е равно на - 4 - 1 \u003d 5.

Отговор: 3 1 2 и 5.

Помислете подробно за намирането на разстоянието от дадена точка на равнината до координатните оси O x и O y.

В правоъгълна координатна система, оста O y има уравнение на права линия, която е непълна, има формата x \u003d 0 и O x - y \u003d 0. Уравненията са нормални за координатните оси, тогава трябва да намерите разстоянието от точката с координати M 1 x 1, y 1 до прави линии. Това се прави въз основа на формулите M 1 H 1 \u003d x 1 и M 1 H 1 \u003d y 1. Помислете на фигурата по-долу.

Пример 4

Намерете разстоянието от точката M 1 (6, - 7) до координатните линии, разположени в равнината O x y.

Решение

Тъй като уравнението y \u003d 0 се отнася до правата линия O x, можете да намерите разстоянието от M 1 с дадените координати до тази права линия, използвайки формулата. Получаваме, че 6 \u003d 6.

Тъй като уравнението x \u003d 0 се отнася до права линия O y, тогава можете да намерите разстоянието от M 1 до тази права линия, използвайки формулата. Тогава получаваме това - 7 \u003d 7.

Отговор:разстоянието от M 1 до O x е 6, а от M 1 до O y е 7.

Когато в триизмерно пространство имаме точка с координати M 1 (x 1, y 1, z 1), е необходимо да се намери разстоянието от точка A до права a.

Помислете за два метода, които ви позволяват да изчислите разстоянието от точка до права линия, разположена в пространството. Първият случай разглежда разстоянието от точката M 1 до правата линия, където точката на права линия се нарича H 1 и е основата на перпендикуляра, изтеглен от точката M 1 до права линия a. Вторият случай предполага, че точките на тази равнина трябва да се търсят като височината на успоредника.

Първият начин

От дефиницията имаме, че разстоянието от точката M 1, разположена на права линия a, е дължината на перпендикуляра M 1 H 1, тогава получаваме, че с намерените координати на точката H 1, след това намираме разстоянието между M 1 (x 1, y 1, z 1 ) и H 1 (x 1, y 1, z 1), въз основа на формулата M 1 H 1 \u003d x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.

Получаваме, че цялото решение отива за намиране на координатите на основата на перпендикуляра, изчертан от М 1 до права a. Това се прави по следния начин: H 1 е точката, където правата линия a се пресича с равнината, която преминава през дадената точка.

Следователно алгоритъмът за определяне на разстоянието от точката M 1 (x 1, y 1, z 1) до линията a в пространството предполага няколко точки:

Определение 5

• съставяне на уравнението на χ равнината като уравнение на равнината, преминаваща през дадена точка, която е перпендикулярна на права линия;
• определяне на координати (x 2, y 2, z 2), принадлежащи на точката H 1, която е точката на пресичане на правата линия a и равнината χ;
• изчисляване на разстоянието от точка до права линия с помощта на формулата M 1 H 1 \u003d x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.

Втори начин

От условието имаме права линия a, тогава можем да определим вектора на посоката a → \u003d a x, a y, a z с координати x 3, y 3, z 3 и определена точка M 3, принадлежаща на права линия a. Ако има координати на точки M 1 (x 1, y 1) и M 3 x 3, y 3, z 3, можете да изчислите M 3 M 1 →:

M 3 M 1 → \u003d (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

Необходимо е да отложите векторите a → \u003d a x, a y, a z и M 3 M 1 → \u003d x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 от точката M 3, да се свържете и да получите фигура паралелограм. M 1 H 1 е височината на успоредника.

Помислете на фигурата по-долу.

Имаме, че височината M 1 H 1 е желаното разстояние, тогава е необходимо да се намери по формулата. Тоест, ние търсим M 1 H 1.

Нека обозначим площта на успоредника за буквата S, намира се по формулата с помощта на вектора a → \u003d (a x, a y, a z) и M 3 M 1 → \u003d x 1 - x 3. y 1 - y 3, z 1 - z 3. Формулата на площта е S \u003d a → × M 3 M 1 →. Също така площта на фигурата е равна на произведението на дължините на нейните страни на височината, получаваме, че S \u003d a → M 1 H 1 с a → \u003d ax 2 + ay 2 + az 2, което е дължината на вектора a → \u003d (ax, ay, az), което е равно на страната на успоредника. Следователно M 1 H 1 е разстоянието от точка до права. Той се намира по формулата M 1 H 1 \u003d a → × M 3 M 1 → a →.

За да се намери разстоянието от точка с координати M 1 (x 1, y 1, z 1) до права линия a в пространството, е необходимо да се извършат няколко стъпки от алгоритъма:

Определение 6

• определяне на насочващия вектор на права линия a - a → \u003d (a x, a y, a z);
• изчисляване на дължината на вектора на посоката a → \u003d a x 2 + a y 2 + a z 2;
• получаване на координати x 3, y 3, z 3, принадлежащи на точката M 3, разположена на права линия a;
• изчисляване на координатите на вектора M 3 M 1 →;
• намиране на векторното произведение на вектори a → (ax, ay, az) и M 3 M 1 → \u003d x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 като a → × M 3 M 1 → \u003d i → j → k → axayazx 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3, за да се получи дължината по формулата a → × M 3 M 1 →;
• изчисляване на разстоянието от точка до права M 1 H 1 \u003d a → × M 3 M 1 → a →.

Решаване на задачи за намиране на разстоянието от дадена точка до дадена права линия в пространството

Пример 5

Намерете разстоянието от точката с координати M 1 2, - 4, - 1 до линията x + 1 2 \u003d y - 1 \u003d z + 5 5.

Решение

Първият метод започва с изписване на уравнението на равнината χ, преминаваща през M 1 и перпендикулярна на зададена точка... Получаваме израз на формата:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) \u003d 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 \u003d 0

Необходимо е да се намерят координатите на точката H 1, която е пресечната точка с равнината χ до линията, посочена от условието. Трябва да се премести от канонична форма до пресичащата се. След това получаваме система от уравнения от вида:

x + 1 2 \u003d y - 1 \u003d z + 5 5 ⇔ - 1 (x + 1) \u003d 2 y 5 (x + 1) \u003d 2 (z + 5) 5 y \u003d - 1 (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 \u003d 0 5 x - 2 z - 5 \u003d 0 5 y + z + 5 \u003d 0 ⇔ x + 2 y + 1 \u003d 0 5 x - 2 z - 5 \u003d 0

Необходимо е да се изчисли системата x + 2 y + 1 \u003d 0 5 x - 2 z - 5 \u003d 0 2 x - y + 5 z - 3 \u003d 0 ⇔ x + 2 y \u003d - 1 5 x - 2 z \u003d 5 2 x - y + 5 z \u003d 3 според метода на Cramer, тогава получаваме това:

∆ \u003d 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 \u003d - 60 ∆ x \u003d - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 \u003d - 60 ⇔ x \u003d ∆ x ∆ \u003d - 60 - 60 \u003d 1 ∆ y \u003d 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 \u003d 60 ⇒ y \u003d ∆ y ∆ \u003d 60 - 60 \u003d - 1 ∆ z \u003d 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 \u003d 0 ⇒ z \u003d ∆ z ∆ \u003d 0 - 60 \u003d 0

Следователно имаме, че H 1 (1, - 1, 0).

M 1 H 1 \u003d 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 \u003d 11

Вторият начин е да започнете с търсене на координати в каноничното уравнение. За да направите това, трябва да обърнете внимание на знаменателите на фракцията. Тогава a → \u003d 2, - 1, 5 е векторът на посоката на линията x + 1 2 \u003d y - 1 \u003d z + 5 5. Необходимо е да се изчисли дължината по формулата a → \u003d 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 \u003d 30.

Ясно е, че линията x + 1 2 \u003d y - 1 \u003d z + 5 5 пресича точката M 3 (- 1, 0, - 5), следователно имаме, че векторът с начало M 3 (- 1, 0, - 5) и краят му в точка M 1 2, - 4, - 1 е M 3 M 1 → \u003d 3, - 4, 4. Намерете векторния продукт a → \u003d (2, - 1, 5) и M 3 M 1 → \u003d (3, - 4, 4).

Получаваме израз на формата a → × M 3 M 1 → \u003d i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 \u003d - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 J → \u003d 16 i → + 7 j → - 5 k →

получаваме, че дължината на векторното произведение е → × M 3 M 1 → \u003d 16 2 + 7 2 + - 5 2 \u003d 330.

Разполагаме с всички данни за използване на формулата за изчисляване на разстоянието от точка за права линия, така че я прилагаме и получаваме:

M 1 H 1 \u003d a → × M 3 M 1 → a → \u003d 330 30 \u003d 11

Отговор: 11 .

Ако забележите грешка в текста, моля, изберете го и натиснете Ctrl + Enter

Формула за изчисляване на разстоянието от точка до права линия на равнина

Ако е дадено уравнението на правата Ax + By + C \u003d 0, тогава разстоянието от точката M (M x, M y) до правата линия може да бъде намерено по следната формула

Примери за задачи за изчисляване на разстоянието от точка до права на равнина

Пример 1.

Намерете разстоянието между линията 3x + 4y - 6 \u003d 0 и точката M (-1, 3).

Решение. Заместете във формулата коефициентите на линията и координатите на точката

Отговор: разстоянието от точка до права линия е 0,6.

уравнение на равнина, преминаваща през точки, перпендикулярни на вектор Общо уравнение на равнина

Извиква се ненулев вектор, перпендикулярен на дадена равнина нормален вектор (или, накратко, нормално ) за тази равнина.

Нека да се даде координатното пространство (в правоъгълна координатна система):

точка ;

б) ненулев вектор (Фигура 4.8, а).

Необходимо е да се направи уравнение на равнина, преминаваща през точка перпендикулярна на вектора Край на доказателството.

Нека сега разгледаме различни видове уравнения на права линия на равнина.

1) Общо уравнение на равнинатаP .

От извода на уравнението следва, че едновременно A, Б. и ° С не е равно на 0 (обяснете защо).

Точката принадлежи на равнината P само ако координатите му удовлетворяват уравнението на равнината. В зависимост от коефициента A, Б., ° С и дсамолет P заема една или друга позиция:

- равнината преминава през началото на координатната система, - равнината не преминава през началото на координатната система,

- равнината е успоредна на оста х,

х,

- равнината е успоредна на оста Y.,

- равнината не е успоредна на оста Y.,

- равнината е успоредна на оста Z.,

- равнината не е успоредна на оста Z..

Докажете тези твърдения сами.

Уравнение (6) лесно се извлича от уравнение (5). Всъщност, нека точката лежи в самолета P... Тогава неговите координати удовлетворяват уравнението Изваждайки уравнение (7) от уравнение (5) и групирайки членовете, получаваме уравнение (6). Разгледайте сега два вектора с координати съответно. От формула (6) следва, че скаларното им произведение е равно на нула. Следователно, векторът е перпендикулярен на вектора. Началото и краят на последния вектор са съответно в точките, които принадлежат на равнината P... Следователно, векторът е перпендикулярен на равнината P... Разстояние от точка до равнина P, чието общо уравнение е определя се по формулата Доказателството на тази формула е напълно аналогично на доказателството на формулата за разстоянието между точка и права (вж. Фиг. 2).
Фигура: 2. Към извода на формулата за разстоянието между равнина и права линия.

Наистина, разстоянието д между права и равнина е

където е точка, лежаща на равнина. Следователно, както в лекция № 11, се получава горната формула. Две равнини са успоредни, ако техните нормални вектори са успоредни. От това получаваме условието за паралелност на две равнини - коефициенти на общи уравнения на равнини. Две равнини са перпендикулярни, ако техните нормални вектори са перпендикулярни, следователно получаваме условието за перпендикулярност на две равнини, ако техните общи уравнения са известни

Ъгъл е между две равнини е равен на ъгъла между техните нормални вектори (виж фиг. 3) и следователно може да се изчисли по формулата
Определяне на ъгъла между равнините.

(11)

Разстояние от точка до равнина и начини за намирането му

Разстояние от точка до самолет - дължината на перпендикуляра, паднал от точка върху тази равнина. Има поне два начина за намиране на разстоянието от точка до равнина: геометрични и алгебричен.

С геометричния метод първо трябва да разберете как се намира перпендикулярът от точка до равнина: може би той се намира в някаква удобна равнина, височината ли е в някакъв удобен (или не толкова) триъгълник, или може би този перпендикуляр обикновено е височината в някаква пирамида.

След този първи и най-труден етап задачата се разделя на няколко конкретни контурни задачи (може би в различни равнини).

По алгебричен начин за да намерите разстоянието от точка до равнина, трябва да въведете координатна система, да намерите координатите на точката и уравнението на равнината и след това да приложите формулата за разстоянието от точка до равнина.

OoooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooЗатова ще преминем към първия раздел, надявам се, че до края на статията ще остана весел.

Относителното положение на две прави линии

Случаят, когато публиката пее заедно с припева. Две прави линии могат:

1) съвпадение;

2) да са успоредни :;

3) или се пресичат в една точка :.

Помощ за манекени : моля запомнете математическия знак на кръстовището, той ще бъде много често срещан. Нотацията показва, че права линия пресича права в точка.

Как да определим относителното положение на две прави линии?

Нека започнем с първия случай:

Две прави линии съвпадат тогава и само ако съответните им коефициенти са пропорционални, тоест има такова число "ламбда", че равенствата

Помислете за прави линии и съставете три уравнения от съответните коефициенти :. От всяко уравнение следва, че следователно тези линии съвпадат.

Всъщност, ако всички коефициенти на уравнението умножете по –1 (променете знаците) и намалете всички коефициенти на уравнението по 2, след което получавате същото уравнение :.

Вторият случай, когато линиите са успоредни:

Две прави линии са успоредни тогава и само ако техните коефициенти за променливите са пропорционални: но.

Като пример, разгледайте два реда. Проверяваме пропорционалността на съответните коефициенти за променливите:

Съвсем ясно е обаче, че.

И третият случай, когато линиите се пресичат:

Две прави линии се пресичат тогава и само ако техните коефициенти за променливи НЕ са пропорционални, тоест НЯМА такава ламбда стойност, че да са изпълнени равенствата

И така, за прави линии ще съставим системата:

От първото уравнение следва това, а от второто уравнение: системата е непоследователна (няма решения). По този начин коефициентите на променливите не са пропорционални.

Заключение: линиите се пресичат

При практически проблеми можете да използвате току-що разгледаната схема за решение. Между другото, той е много подобен на алгоритъма за проверка на вектори за колинеарност, който разгледахме в урока Понятието за линейна (не) зависимост на векторите. Векторна основа... Но има по-цивилизована опаковка:

Пример 1

Разберете относителното положение на правите линии:

Решение въз основа на изследването на вектори на посоката на прави линии:

а) От уравненията намираме векторите на посоката на правите линии: .

, така че векторите не са колинеарни и линиите се пресичат.

За всеки случай ще сложа камък с указатели на кръстовището:

Останалите прескачат камъка и продължават, направо до Кашчей Безсмъртния \u003d)

б) Намерете векторите на посоката на прави линии:

Линиите имат един и същ вектор на посока, което означава, че те са или успоредни, или съвпадат. Тук няма нужда да се брои детерминантата.

Очевидно е, че коефициентите за неизвестните са пропорционални, докато.

Нека разберем дали равенството е вярно:

По този начин,

в) Намерете векторите на посоката на прави линии:

Нека изчислим детерминанта, съставена от координатите на тези вектори:
следователно векторите на посоката са колинеарни. Линиите са успоредни или съвпадат.

Коефициентът на пропорционалност "ламбда" е лесно да се види директно от съотношението на колинеарните вектори на посоката. Той обаче може да бъде намерен и чрез коефициентите на самите уравнения: .

Сега нека разберем дали равенството е вярно. И двата безплатни условия са нула, така че:

Получената стойност удовлетворява това уравнение (всяко число обикновено го удовлетворява).

По този начин линиите съвпадат.

Отговор:

Много скоро ще се научите (или дори вече сте се научили) да решавате разглеждания проблем устно само за няколко секунди. В тази връзка не виждам причина да се предлага нещо за независимо решение, по-добре е да се положи друга важна тухла в геометричната основа:

Как да изградим права линия, успоредна на дадена?

За непознаване на тази най-проста задача Славеят Разбойник строго наказва.

Пример 2

Правата линия се дава от уравнението. Приравнете успоредна права, която минава през точка.

Решение: Да обозначим неизвестната пряка буква. Какво казва състоянието за нея? Правата линия минава през точката. И ако правите линии са успоредни, тогава е очевидно, че насочващият вектор на правата линия "tse" е подходящ и за конструиране на права линия "de".

Изваждаме вектора на посоката от уравнението:

Отговор:

Геометрията на примера изглежда проста:

Аналитичната проверка се състои от следните стъпки:

1) Проверете дали правите линии имат един и същ вектор на посока (ако уравнението на права линия не е опростено правилно, тогава векторите ще бъдат колинеарни).

2) Проверете дали точката отговаря на полученото уравнение.

Аналитичният преглед в повечето случаи е лесен за устно. Погледнете двете уравнения и много от вас бързо ще разберат паралелизма на правите линии без никакво рисуване.

Примери за саморешаване днес ще бъдат креативни. Защото все още трябва да се състезавате с Баба Яга, а тя, знаете ли, е любителка на всякакви загадки.

Пример 3

Направете уравнение на права линия, минаваща през точка, успоредна на права линия, ако

Има рационално и не много рационално решение. Най-краткият път е в края на урока.

Извършихме малко работа с паралелни линии и ще се върнем към тях по-късно. Случаят на съвпадащи прави линии представлява малък интерес, така че помислете за проблем, който ви е добре известен училищна програма:

Как да намерим пресечната точка на две линии?

Ако направо пресичат се в точка, тогава нейните координати са решението системи от линейни уравнения

Как да намерим точката на пресичане на линии? Решете системата.

Толкова за теб геометрично значение на система от две линейни уравнения в две неизвестни Има две пресичащи се (най-често) прави линии на равнина.

Пример 4

Намерете точката на пресичане на линии

Решение: Има два начина за решаване - графичен и аналитичен.

Графичният начин е просто да нарисувате линиите за данни и да откриете пресечната точка директно от чертежа:

Ето нашата точка :. За да го проверите, трябва да замените координатите му във всяко уравнение на права линия, те трябва да се поберат както там, така и там. С други думи, координатите на точка са решението на системата. По принцип разгледахме графичен начин за решаване системи от линейни уравнения с две уравнения, две неизвестни.

Графичният метод, разбира се, не е лош, но има забележими недостатъци. Не, въпросът не е в това, че седмокласниците решават така, въпросът е, че ще отнеме време, за да получите правилна и ТОЧНА рисунка. Освен това някои прави линии не са толкова лесни за конструиране и самата точка на пресичане може да се намира някъде в тридесетте кралства извън листа на тетрадката.

Следователно е по-целесъобразно да се търси пресечната точка с помощта на аналитичния метод. Нека решим системата:

За решаване на системата е използван методът на постепенно добавяне на уравнения. Посетете урока, за да развиете подходящи умения. Как да решим система от уравнения?

Отговор:

Проверката е тривиална - координатите на пресечната точка трябва да отговарят на всяко уравнение в системата.

Пример 5

Намерете пресечната точка на линиите, ако те се пресичат.

Това е пример за решение „направи си сам“. Удобно е да разделите задачата на няколко етапа. Анализът на състоянието предполага какво е необходимо:
1) Направете уравнението на правата линия.
2) Направете уравнението на правата линия.
3) Разберете относителното положение на правите линии.
4) Ако линиите се пресичат, намерете точката на пресичане.

Разработването на алгоритъм от действия е типично за много геометрични проблеми и многократно ще се фокусирам върху това.

Цялостно решение и отговорът в края на урока:

Чифт обувки все още не са износени, тъй като стигнахме до втория раздел на урока:

Перпендикулярни прави линии. Разстояние от точка до права.
Ъгъл между прави линии

Нека започнем с типична и много важна задача. В първата част научихме как да изградим права линия, успоредна на тази, и сега хижата на пилешки бутчета ще се обърне на 90 градуса:

Как да изградим линия, перпендикулярна на дадена?

Пример 6

Правата линия се дава от уравнението. Приравнете перпендикулярна права през точка.

Решение: По условие е известно, че. Би било хубаво да се намери векторът на посоката на правата линия. Тъй като линиите са перпендикулярни, трикът е прост:

От уравнението "премахнете" нормалния вектор :, който ще бъде векторът на посоката на правата линия.

Нека съставим уравнението на права линия от точка и вектор на посоката:

Отговор:

Нека разширим геометричната скица:

Хммм ... Оранжево небе, оранжево море, оранжева камила.

Аналитична проверка на решението:

1) Извадете векторите на посоката от уравненията и с помощта точково произведение на вектори стигаме до извода, че правите линии наистина са перпендикулярни :.

Между другото, можете да използвате нормални вектори, дори е по-лесно.

2) Проверете дали точката отговаря на полученото уравнение .

Проверката отново е лесна за извършване устно.

Пример 7

Намерете точката на пресичане на перпендикулярни линии, ако уравнението е известно и точка.

Това е пример за решение „направи си сам“. В задачата има няколко действия, така че е удобно да подреждате решението точка по точка.

Нашето вълнуващо пътешествие продължава:

Разстояние от точка до права

Пред нас е права ивица на реката и нашата задача е да я достигнем по най-краткия път. Няма препятствия и най-оптималният маршрут ще бъде движение по перпендикуляра. Тоест разстоянието от точка до права линия е дължината на една перпендикулярна линия.

Разстоянието в геометрията традиционно се обозначава с гръцката буква "ro", например: - разстоянието от точката "em" до правата линия "de".

Разстояние от точка до права изразено с формулата

Пример 8

Намерете разстоянието от точка до права

Решение: всичко, от което се нуждаете, е внимателно да замените числата във формулата и да извършите изчисленията:

Отговор:

Нека изпълним чертежа:

Разстоянието от точката до намерената линия е точно дължината на червената линия. Ако съставите чертеж върху карирана хартия в мащаб 1 единица. \u003d 1 см (2 клетки), тогава разстоянието може да се измери с обикновена линийка.

Помислете за друга задача за същия план:

Задачата е да се намерят координатите на точка, която е симетрична на точка по отношение на права линия ... Предлагам да извършите действията сами, но ще очертая алгоритъма на решението с междинни резултати:

1) Намерете права, която е перпендикулярна на линията.

2) Намерете точката на пресичане на линиите: .

И двете действия са подробно описани в този урок.

3) Точката е средната точка на отсечката. Знаем координатите на средата и един от краищата. От формули за координатите на средната точка намираме.

Няма да е излишно да проверите дали разстоянието също е 2,2 единици.

Тук могат да възникнат трудности при изчисленията, но в кулата микро калкулаторът помага чудесно, което ви позволява да преброите обикновените фракции. Многократно съветван, ще съветва и отново.

Как да намерим разстоянието между две успоредни линии?

Пример 9

Намерете разстоянието между две успоредни линии

Това е друг пример за независимо решение. Ще дам един малък намек: има безкрайно много начини за решаването му. Дебрифинг в края на урока, но по-добре се опитайте сами да познаете, мисля, че вашата изобретателност беше разпръсната доста добре.

Ъгъл между две прави линии

Всеки ъгъл е задник:


В геометрията ъгълът между две прави линии се приема за НАЙ-МАЛИЯ ъгъл, от което автоматично следва, че не може да бъде тъп. На фигурата ъгълът, обозначен с червената дъга, не се счита за ъгъл между пресичащи се прави линии. И неговият „зелен“ съсед се счита за такъв, или противоположно ориентирани "Пурпурен" ъгъл.

Ако правите линии са перпендикулярни, тогава всеки от 4-те ъгъла може да се приеме като ъгъл между тях.

Как се различават ъглите? Ориентация. Първо, посоката на ъгъла "превъртане" е от основно значение. Второ, отрицателно ориентиран ъгъл се записва със знак минус, например, ако.

Защо казах това? Изглежда, че можете да се справите с обичайната концепция за ъгъл. Факт е, че във формулите, по които ще намерим ъглите, лесно можете да получите отрицателен резултат и това не бива да ви изненадва. Ъгълът със знак минус не е по-лош и има много специфично геометрично значение. На чертежа, за отрицателен ъгъл, не забравяйте да посочите ориентацията му със стрелка (по посока на часовниковата стрелка).

Как да намерим ъгъла между две прави линии? Има две работещи формули:

Пример 10

Намерете ъгъла между прави линии

Решение и Метод първи

Помислете за две прави линии, дадени от уравнения в общ вид:

Ако направо не перпендикулярнотогава ориентирана ъгълът между тях може да бъде изчислен по формулата:

Нека обърнем голямо внимание на знаменателя - това е точно скаларен продукт вектори на посоката на прави линии:

Ако, тогава знаменателят на формулата изчезва и векторите ще бъдат ортогонални, а правите линии са перпендикулярни. Ето защо беше направена резервация относно неперпендикулярността на правите линии във формулировката.

Въз основа на гореизложеното е удобно да се подреди решение в две стъпки:

1) Изчислете скаларен продукт вектори на посоката на прави линии:
, следователно правите линии не са перпендикулярни.

2) Ъгълът между правите линии се намира по формулата:

През обратна функция самият ъгъл е лесен за намиране. В този случай използваме странността на арктангенса (вж. Графики и свойства на елементарни функции):

Отговор:

В отговора посочваме точната стойност, както и приблизителната стойност (за предпочитане както в градуси, така и в радиани), изчислена с помощта на калкулатора.

Е, минус, значи минус, всичко е наред. Ето геометрична илюстрация:

Не е изненадващо, че ъгълът се оказа с отрицателна ориентация, тъй като в постановката на задачата първото число е права линия и с него започна „усукването“ на ъгъла.

Ако наистина искате да получите положителен ъгъл, трябва да замените правите линии, т.е. да вземете коефициентите от второто уравнение , а коефициентите са взети от първото уравнение. Накратко, трябва да започнете с права линия .

Разстоянието от точка до права линия е дължината на перпендикуляра, изпуснат от точка до права линия. В описателната геометрия тя се определя графично, използвайки алгоритъма по-долу.

Алгоритъм

1. Правата линия се прехвърля в положение, в което ще бъде успоредна на която и да е проекционна равнина. За това се използват методи за преобразуване на ортогонални проекции.
2. От една точка се прави перпендикуляр до права линия. Тази конструкция се основава на теоремата за проекцията прав ъгъл.
3. Дължината на перпендикуляр се определя чрез трансформиране на неговите проекции или чрез метода на правоъгълния триъгълник.

Следващата фигура показва сложна рисунка точка М и линия b, дефинирани от сегмент CD. Изисква се да се намери разстоянието между тях.

Според нашия алгоритъм първото нещо, което трябва да направите, е да преместите линията в позиция, успоредна на равнината на проекция. Важно е да се разбере, че след трансформациите действителното разстояние между точката и линията не трябва да се променя. Ето защо е удобно тук да се използва методът за подмяна на равнини, който не включва движещи се фигури в пространството.

Резултатите от първия етап на строителството са показани по-долу. Фигурата показва как допълнителна фронтална равнина P 4 се въвежда успоредно на b. В новата система (P 1, P 4) точки C "" 1, D "" 1, M "" 1 са на същото разстояние от оста X 1 като C "", D "", M "" от оста Х.

Изпълнявайки втората част на алгоритъма, от M "" 1 спускаме перпендикуляра M "" 1 N "" 1 до правата линия b "" 1, тъй като десният ъгъл MND между b и MN се проектира върху равнината P 4 в пълен размер. На комуникационната линия определяме позицията на точка N "и извършваме проекцията M" N "на сегмента MN.

На последния етап трябва да определите стойността на сегмента MN по неговите проекции M "N" и M "" 1 N "" 1. За това изграждаме правоъгълен триъгълник M "" 1 N "" 1 N 0, при което кракът N "" 1 N 0 е равен на разликата (Y M 1 - Y N 1) отстраняването на точки M "и N" от оста X 1. Дължината на хипотенузата M "" 1 N 0 на триъгълника M "" 1 N "" 1 N 0 съответства на желаното разстояние от M до b.

Второ решение

• Успоредно с CD, въвеждаме нова фронтална равнина P 4. Той пресича П 1 по оста X 1 и X 1 ∥C "D". В съответствие с метода за подмяна на равнини, ние определяме проекциите на точки C "" 1, D "" 1 и M "" 1, както е показано на фигурата.
• Перпендикулярно на C "" 1 D "" 1 изграждаме допълнителна хоризонтална равнина P 5, върху която се проектира права линия b до точката C "2 \u003d b" 2.
• Разстоянието между точка М и права b се определя от дължината на отсечката M "2 C" 2, маркирана в червено.

Подобни задачи:

155 *. Определете действителния размер на отсечката AB в общо положение (фиг. 153, а).

Решение. Както знаете, проекцията на отсечка с права линия на която и да е равнина е равна на самия сегмент (като се вземе предвид мащабът на чертежа), ако е успоредна на тази равнина

(Фиг. 153, б). От това следва, че чрез преобразуване на чертежа е необходимо да се постигне паралелност на този сегмент на квадрата. V или pl. H или допълнете системата V, H с друга равнина, перпендикулярна на pl. V или към мн. H и в същото време успоредно на този сегмент.

На фиг. 153, в показва въвеждането на допълнителна равнина S, перпендикулярна на pl. H и успоредно на даден сегмент AB.

Проекцията a s b s е равна на естествената стойност на отсечката AB.

На фиг. 153, d показва друга техника: сегмент AB се завърта около права линия, преминаваща през точка B и перпендикулярна на pl. H, до паралелна позиция

мн. V. В този случай точка Б остава на място и точка А заема нова позиция А 1. Хоризонтът е в новата позиция. проекция а 1 b || оста x. Проекцията a "1 b" е равна на естествената стойност на отсечката AB.

156. Дадена е пирамида SABCD (фиг. 154). Определете действителния размер на ръбовете на пирамидата AS и CS, като използвате метода за смяна на проекционните равнини и ръбовете BS и DS, като използвате метода на въртене, и вземете оста на въртене перпендикулярно на квадрата. H.

157 *. Определете разстоянието от точка А до права линия BC (фиг. 155, а).

Решение. Разстоянието от точка до права линия се измерва чрез перпендикулярен отсечка, изтеглена от точка до права линия.

Ако правата линия е перпендикулярна на която и да е равнина (фиг. 155.6), тогава разстоянието от точката до правата линия се измерва с разстоянието между проекцията на точката и точкова проекция права линия на тази равнина. Ако права линия заема обща позиция в системата V, H, тогава, за да се определи разстоянието от точка до права линия чрез промяна на равнините на проекция, е необходимо да се въведат две допълнителни равнини в системата V, H.

Първо (фиг. 155, в) влизаме в мн. S успоредно на BC сегмента (новата ос S / H е успоредна на bc проекцията) и конструирайте b s c s и a s проекции. След това (фиг. 155, г) въвеждаме друга мн. T перпендикулярна на линията BC (нова ос T / S, перпендикулярна на b s c s). Изграждаме проекции на права и точка - с t (b t) и a t. Разстоянието между точки a t и c t (b t) е равно на разстоянието l от точка A до права BC.

На фиг. 155е, същата задача се изпълнява с помощта на метода на въртене във формата му, който се нарича метод на паралелно движение. Първо, правата линия BC и точка A, запазвайки взаимното си положение непроменено, завъртат около някои (не е посочено на чертежа) права линия, перпендикулярна на pl. H, така че линията BC да е успоредна на квадрата. V. Това е равносилно на движещи се точки A, B, C в равнини, успоредни на квадрат. З. В този случай хоризонтът. проекцията на дадена система (BC + A) не се променя нито по величина, нито по конфигурация, променя се само нейното положение спрямо оста x. Позиционираме хоризонта. проекцията на права линия BC, успоредна на оста x (позиция b 1 c 1) и дефинирайте проекцията a 1, отлагайки c 1 1 1 \u003d c-1 и a 1 1 1 \u003d a-1, и a 1 1 1 ⊥ c 1 1 1. Изчертавайки прави линии b "b" 1, a "a" 1, c "c" 1, успоредни на оста x, намираме предната част върху тях. проекция b "1, a" 1, c "1. След това преместете точки B 1, C 1 и A 1 в равнини, успоредни на квадрат V (също без промяна на относителното им положение), така че да получите B 2 C 2 ⊥ квадрат H. В този случай проекцията на правата линия ще бъде разположена перпендикулярно на оси x, b 2 c "2 \u003d b" 1 c "1 и за конструиране на проекцията a" 2 вземете b "2 2" 2 \u003d b "1 2" 1, нарисувайте 2 "a" 2 ⊥ b "2 c" 2 и отложете a "2 2" 2 \u003d a "1 2" 1. Сега, след като похарчите от 1 до 2 и от 1 до 2 || x 1 получаваме проекции b 2 с 2 и a 2 и необходимото разстояние l от точка А до права BC. Можете да определите разстоянието от A до BC, като завъртите равнината, определена от точка A, и линия BC около хоризонталата на тази равнина до положението T || мн. Н (фиг. 155, е).

В равнината, определена от точка А и права линия BC, нарисувайте хоризонтална линия A-1 (фиг. 155, g) и завъртете точка B. Точка B се премества на квадрат. R (дадено на чертежа от пътеката R h), перпендикулярно на A-1; в точка O е центърът на въртене на точка B. Сега определяме действителната стойност на радиуса на въртене на VO (фиг. 155, c). В необходимото положение, т.е.когато pl. T, дефинирано от точка A и линия BC, ще стане || мн. H, точка B ще се окаже на R h на разстояние Ob 1 от точка O (може да има друга позиция на същата писта R h, но от другата страна на O). Точка b 1 е хоризонтът. проекцията на точка B след преместването й в позиция B 1 в пространството, когато равнината, определена от точка A и права BC, зае позиция T.

След като нарисуваме (фиг. 155, i) права линия b 1 1, получаваме хоризонта. проекцията на права линия BC, вече разположена || мн. H в същата равнина с А. В това положение разстоянието от a до b 1 1 е равно на желаното разстояние l. Равнината P, в която лежат дадените елементи, може да се комбинира с pl. H (фиг. 155, j), завъртане pl. Хоризонтът около него. проследяване. Продължавайки от задаване на равнината по точка A и права линия BC до определяне на прави линии BC и A-1 (фиг. 155, l), намираме следи от тези прави линии и през тях чертаем следи P ϑ и P h. Изграждаме (фиг. 155, м) в комбинация с мн. Н позиция отпред. следа - P ϑ0.

Начертайте хоризонта през точка а. челна проекция; подравнената фронтална преминава през точка 2 на коловоза Р h успоредно на Р ϑ0. Точка A 0 - комбинирана с pl. H е позицията на точка А. По същия начин намираме точка B 0. Директно слънце в комбинация с пл. Позицията H преминава през точка B 0 и точка m (хоризонтална линия).

Разстоянието от точка A 0 до права B 0 C 0 е равно на необходимото разстояние l.

Можете да изпълните посочената конструкция, като намерите само една следа P h (фиг. 155, n и o). Цялата конструкция е подобна на завой около хоризонтала (виж фиг. 155, g, c, i): следата Р h е една от контурните линии на квадрата. R.

От методите за преобразуване на чертеж, дадени за решаване на този проблем, се предпочита методът на въртене около хоризонтала или фронта.

158. Дадена пирамида SABC (фиг. 156). Определете разстоянията:

а) от върха B на основата до нейната страна AC чрез паралелно движение;

б) от върха на пирамидата S до страните BC и AB на основата чрез завъртане около хоризонталата;

в) от горната S до страничната AC на основата чрез промяна на проекционните равнини.

159. Дадена е призма (фиг. 157). Определете разстоянията:

а) между ръбовете AD и CF чрез промяна на проекционните равнини;

б) между ребрата BE и CF чрез въртене около челната част;

в) между ръбовете AD и BE чрез паралелно движение.

160. Определете действителния размер на четириъгълника ABCD (фиг. 158), като го подравните с pl. З. Използвайте само хоризонтална равнина.

161 *. Определете разстоянието между пресичащите линии AB и CD (фиг. 159, а) и изградете проекции на общия за тях перпендикуляр.

Решение. Разстоянието между пресичащите линии се измерва от отсечката (MN) на перпендикуляра на двете линии (фиг. 159, б). Очевидно е, че ако една от правите линии е поставена перпендикулярно на който и да е квадрат. T тогава

отсечката MN на перпендикуляра на двете линии ще бъде успоредна на квадрат. T проекцията на тази равнина ще покаже желаното разстояние. Проекцията на десния ъгъл mena MN n AB на квадрата. T също е прав ъгъл между m t n t и a t b t, тъй като една от страните на десния ъгъл AMN, а именно MN. успоредно на мн. Т.

На фиг. 159, c и d желаното разстояние l се определя чрез метода за смяна на проекционните равнини. Първо, въвеждаме допълнителен квадрат. проекции S, перпендикулярни на pl. H и успоредно на правата линия CD (фиг. 159, c). След това въвеждаме още един допълнителен квадрат. T, перпендикулярно на pl. S и перпендикулярно на една и съща права CD (фиг. 159, г). Сега можете да изградите проекция на общия перпендикуляр, като изтеглите m t n t от точката c t (d t), перпендикулярна на проекцията a t b t. Точките m t и n t са проекции на точки на пресичане на този перпендикуляр с прави линии AB и CD. В точката m t (фиг. 159, д) намираме m s на s s b s: проекцията m s n s трябва да бъде успоредна на оста T / S. Освен това чрез m s и n s намираме m и n на ab и cd, а върху тях m "и n" на a "b" и c "d".

На фиг. 159, в показва решението на този проблем по метода на паралелните движения. Първо поставете прав CD, успореден на квадрат. V: проекция c 1 d 1 || х. След това преместваме прави линии CD и AB от позиции C 1 D 1 и A 1 B 1 в позиции C 2 B 2 и A 2 B 2, така че C 2 D 2 е перпендикулярна на H: проекция с "2 d" 2 ⊥ x. Разположен е сегментът на търсения перпендикуляр || мн. H и следователно m 2 n 2 изразява желаното разстояние l между AB и CD. Намерете положението на проекциите m "2 и n" 2 върху a "2 b" 2 и c "2 d" 2, след това проекциите и m 1 и m "1, n 1 и n" 1, и накрая проекциите m "и n ", m и n.

162. Дадена пирамида SABC (фиг. 160). Определете разстоянието между ръба SB и страната AC на основата на пирамидата и изградете проекции на общия перпендикуляр на SB и AC, прилагайки метода за смяна на проекционните равнини.

163. Дадена е пирамида SABC (фиг. 161). Определете разстоянието между ръба SH и страната BC на основата на пирамидата и изградете проекцията на общия перпендикуляр на SX и BC, прилагайки метода на паралелно движение.

164 *. Определете разстоянието от точка А до равнината в случаите, когато равнината е дадена: а) от триъгълника BCD (фиг. 162, а); б) следи (фиг. 162, б).

Решение. Както знаете, разстоянието от точка до равнина се измерва със стойността на перпендикуляр, изтеглен от точка до равнина. Това разстояние се проектира върху всеки квадрат. проекции в естествен размер, ако тази равнина е перпендикулярна на квадрата. проекции (фиг. 162, в). Тази ситуация може да се постигне чрез трансформиране на чертежа, например чрез промяна на квадрата. прогнози. Въвеждаме мн. S (фиг. 16в, г), перпендикулярна на pl. триъгълник BCD. За целта харчим в пл. триъгълник хоризонтален B-1 и поставете проекционната ос S перпендикулярно на проекцията b-1 на хоризонталата. Изграждаме проекции на точка и равнина - a s и отсечка c s d s. Разстоянието от a s до c s d s е равно на необходимото разстояние l на точката до равнината.

На Рио. 162, e се прилага методът на паралелно движение. Преместваме цялата система, докато хоризонталата на равнината B-1 не е перпендикулярна на равнината V: проекцията b 1 1 1 трябва да бъде перпендикулярна на оста x. В това положение равнината на триъгълника ще се превърне в предна проекция, а разстоянието l от точка А до него ще се окаже квадратно. V без изкривяване.

На фиг. 162, b равнината се определя от следи. Въвеждаме (фиг. 162, д) допълнителен квадрат. S, перпендикулярна на pl. P: ос S / H, перпендикулярна на P h. Останалото става ясно от чертежа. На фиг. 162, проблемът е решен с едно движение: мн. P отива в позиция P 1, тоест става челно изпъкнала. Проследяване. Р 1h е перпендикулярен на оста x. Изграждаме фронт в това положение на самолета. хоризонтална следа - точка n "1, n 1. Следа P 1ϑ ще премине през P 1x и n 1. Разстоянието от" 1 до P 1ϑ е равно на желаното разстояние l.

165. Дадена е пирамида SABC (виж фиг. 160). Определете разстоянието от точка А до границата на SBC на пирамидата, като използвате метода на паралелното движение.

166. Дадена е пирамида SABC (виж фиг. 161). Определете височината на пирамидата, като използвате метода на паралелното движение.

167 *. Определете разстоянието между пресичането на прави линии AB и CD (вижте фиг. 159, а) като разстоянието между успоредните равнини, изтеглени през тези прави линии.

Решение. На фиг. 163 и показва паралелни равнини P и Q, от които pl. Q се извършва през CD успоредно на AB и pl. R - през AB успоредно на pl. В. Разстоянието между такива равнини е разстоянието между пресичащите линии AB и CD. Можете обаче да се ограничите до изграждането само на една равнина, например Q, успоредна на AB и след това да определите разстоянието от поне точка A до тази равнина.

На фиг. 163c показва Q равнината, изтеглена през CD успоредно на AB; в проекции, начертани с "e" || a "b" и ce || аб. Прилагане на метода за смяна на квадрата. проекции (фиг. 163, в), въвеждаме допълнителен квадрат. S, перпендикулярна на pl. V и в същото време

перпендикулярно на мн. В. За да начертаете оста S / V, вземете челната D-1 в тази равнина. Сега изчертаваме S / V перпендикулярно на d "1" (фиг. 163, c). Pl. Q ще се покаже на pl. S като права линия с s d s. Останалото става ясно от чертежа.

168. Като се има предвид пирамидата SABC (виж фиг. 160). Определете разстоянието между ребрата SC и AB. Приложете: 1) метода за промяна на квадрата. проекции, 2) метод на паралелно движение.

169 *. Определете разстоянието между успоредни равнини, едната от които е дадена с прави линии AB и AC, а другата с прави линии DE и DF (фиг. 164, а). Извършете също конструкцията за случая, когато равнините са дадени със следи (фиг. 164, б).

Решение. Разстоянието (фиг. 164, в) между успоредните равнини може да се определи чрез изчертаване на перпендикуляр от всяка точка на една равнина до друга равнина. На фиг. 164, g въведе допълнително pl. S перпендикулярно на мн. H и към двете дадени равнини. Оста S.H е перпендикулярна на хоризонта. хоризонтална проекция, начертана в една от равнините. Изграждаме проекция на тази равнина и точка в друга равнина на площада. 5. Разстоянието на точката d s до правата l s a s е равно на необходимото разстояние между успоредните равнини.

На фиг. 164, d е дадена друга конструкция (съгласно метода на паралелно движение). За да бъде равнината, изразена чрез пресичащи се прави AB и AC, перпендикулярна на pl. V, хоризонт. проекцията на хоризонталната линия на тази равнина е зададена перпендикулярно на оста x: 1 1 2 1 ⊥ x. Разстояние между предната част. проекция d "1 точка D и права линия a" 1 2 "1 (челна проекция на равнината) е равна на необходимото разстояние между равнините.

На фиг. 164, e показва въвеждането на допълнителен pl. S, перпендикулярна на площта H и на дадените равнини P и Q (оста S / H е перпендикулярна на коловозите P h и Q h). Изграждаме следи P s и Q s. Разстоянието между тях (виж фиг. 164, в) е равно на необходимото разстояние l между равнините P и Q.

На фиг. 164, g показва движението на равнините P 1 n Q 1, до позициите P 1 и Q 1, когато хоризонтът. следите се оказват перпендикулярни на оста x. Разстояние между нов фронт. по следи P 1ϑ и Q 1ϑ е равно на необходимото разстояние l.

170. Даден е паралелепипед ABCDEFGH (фиг. 165). Определете разстоянията: а) между основите на паралелепипеда - l 1; б) между лицата ABFE и DCGH - l 2; в) между ръбовете ADHE и BCGF-l 3.