1. Общо уравнение

Определение. Самолетът се нарича повърхността, всички точки на които отговарят на общото уравнение: AX + BY + CZ + D \u003d 0, където A, B, C - координатите на вектора

N \u003d AI + BJ + CK е стандартът на нормален до равнината. Възможни са следните специални случаи:

A \u003d 0 - самолет, успоредно на оста

B \u003d 0 - равнина успоредно на ос \u003d 0 - самолет успоредно на ос oz

D \u003d 0 - самолетът преминава през произхода на координатите

A \u003d B \u003d 0 - равнината е успоредна на равнината на Xow A \u003d C \u003d 0 - равнината е успоредна на XZ B \u003d C \u003d 0 равнина - самолета, успоредна на равнината Йоз А \u003d D \u003d 0 - Самолетът преминава през оста

B \u003d d \u003d 0 - равнината преминава през оста на OUS \u003d d \u003d 0 - самолетът преминава през ос от Оз

A \u003d B \u003d D \u003d 0 - равнината съвпада с равнината на XOU A \u003d C \u003d D \u003d 0 - равнината съвпада с равнината XOZ B \u003d C \u003d D \u003d 0 - самолетът съвпада с йоз равнината

2. Повърхностно уравнение в пространството

Определение. Всяко уравнение, свързващо координатите X, Y, Z Всяка точка на повърхността е уравнението на тази повърхност.

3. уравнението на равнината, преминаваща през три точки

За да могат чрез три капелибо точки на пространството, е възможно да се извърши единична равнина, е необходимо тези точки да не лежат по една права линия.

Разгледайте точки m1 (x1, y1, z1), m2 (x2, y2, z2), m3 (x3, y3, z3) в общата десертална система

координати.
За произволна точка m (x, y, z)	лежи в една и съща равнина с точки
M 1, m 2, m3 е необходим, че векторите m 1 m2, m 1 m3, m 1 m са отделения, т.е.
M1 m \u003d (x - x1; y - y1; z - z1)
(M 1 m 2, m 1 m3, m 1 m) \u003d 0. Така, m 1 m 2	\u003d (x 2 - x 1; y2		- Y 1; Z 2 - Z 1)
M1 m 3.	\u003d (х 3 - х 1; y3 - y1; z3 - z 1)
		x - X1.	y - Y1.	z - Z1.
Уравнението на равнината, преминаваща през три точки:		x 2 - x 1	y 2 - Y 1	z 2 - z 1
		x 3 - x 1	y 3 - Y 1	z 3 - Z 1

4. уравнението на равнината на две точки и вектора, колонинарната равнина

Позволете точките M1 (X1, Y1, Z1), M2 (X2, Y2, Z2) и вектора \u003d (А1, А2, А3).

Ще направим уравнението на равнината, преминаваща през данните на точките M1 и M2 и произволни

точка m (x, y, z) в паралелен вектор a.
Вектори m1 m \u003d (x - x1; y - y1; z - z1)	и вектор a \u003d (a, a					трябва да е
M 1m 2 \u003d (х 2 - х 1; y2 - y1; z2 - z 1)
			x - X1.				y - Y1.	z - Z1.
appliannas, т.е. (M 1 m, m 1 m 2, a) \u003d 0.eurepeance на самолета:		x 2 - x 1					y 2 - Y 1	z 2 - z 1

5. уравнението на равнината в една точка и два вектора, колонинарната равнина

Оставете две версии на a \u003d (a 1, a2, a 3) и b \u003d (b1, b2, b3), са определени колинейни самолети. След това за произволна точка m (x, y, z) принадлежаща към равнината, векторите А, В, mm 1 трябва да бъдат отделение.

6. уравнението на равнината на точката и вектора на нормалното

Теорема. Ако точка m 0 (x 0, y 0, z 0) е посочена в пространството, уравнението на равнината, преминаваща през точка m 0, перпендикулярно на вектора на нормални N (A, B, с) е: a ( X - X 0) + B (Y - Y 0) + C (Z - Z 0) \u003d 0.

7. Уравнението на равнината в сегменти

Ако в общата сума + от + cz + d \u003d 0 уравнение за споделяне на двете части на (-D)

х -

y -

z - 1 \u003d 0, смяна -

C, получаваме равнинно уравнение

в сегменти:

един. Числа А, В, С са съответно точки на пресичане на равнината

с оси x, y, z.

8. Уравнение на равнината във векторна форма

r n \u003d p, където r \u003d xi + yj + zk е радиазерът на точната точка m (x, y, z),

n \u003d i cosi + j cos β + k cossγ - един вектор с посока, перпендикулярна,

спуснат до равнината от началото на координатите. α, β и γ - ъгли, образувани от този вектор с оси x, y, z. P е дължината на това перпендикулярно. В координатите това уравнение изглежда като:

x cosa + y cos β + z cossγ - p \u003d 0

9. Разстояние от точка до самолет

Разстояние от произволна точка m 0 (x 0, y 0, z 0) към самолета AX + by + cz + d \u003d 0 е:

d \u003d ax0 + by0 + cz0 + d

A2 + B2 + C 2

Пример. Намерете уравнението на равнината, преминаваща през точки А (2, -1.4) и в (3.2, -1) перпендикулярно на равнината X + Y + 2Z - 3 \u003d 0.

Желаното равнинно уравнение е: AX + BY + CZ + D \u003d 0, вектор нормален към тази равнина N 1 (a, b, c). Vector AB (1.3, -5) принадлежи към равнината. Самолетът ни даде,

желаният перпендикуляр има вектор на нормален N2 (1,2,2). Като точки А и Б принадлежат на двете равнини, а самолетът е взаимно перпендикулярно, след това

n \u003d ab × n

− 5

- J.

− 5

11 I - 7 J - 2 k.

− 5

По този начин, векторът на нормалния N1 (11, -7, -2). Като Точка А принадлежи към желаната равнина, нейните координати трябва да задоволят уравнението на този самолет, т.е.

11.2 + 7.1- 2.4 + d \u003d 0; D \u003d - 21. Общо, ние получаваме уравнението на самолета: 11Х - 7 Y - 2Z - 21 \u003d 0

10. Уравнение на линията в пространството

Както върху равнината, така и в пространството, всяка линия може да бъде определена като набор от точки, чиито координати в някаква координатна система, избрана в пространството, отговаря на уравнението:

F (x, y, z) \u003d 0. Това уравнение се нарича уравнение на линията в пространството.

В допълнение, линията в пространството може да бъде определена и по друг начин. Тя може да се разглежда като линия на пресичане на две повърхности, всеки от които е определен от същото уравнение.

Нека f (x, y, z) \u003d 0 и φ (x, y, z) \u003d 0 са уравненията на повърхности, пресичащи се по Л.

F (x, y, z) \u003d 0

След това двойка уравнения f (x, y, z) \u003d 0, наречен уравнението на линията в пространството.

11. Уравнението е директно в пространството на точка и водещ вектор 0 \u003d m 0 m.

Като Векторите са m 0 m и s colinear, след това съотношението m 0 m \u003d st, където t е някакъв параметър. Общо, можете да напишете: r \u003d r 0 + st.

Като Това уравнение отговаря на координатите на всяка точка, полученото уравнение е преки пряко уравнение.

x \u003d x0 + mt

Това векторно уравнение може да бъде представено в координатна форма: Y \u003d Y 0 + NT

z \u003d z0 + pt

Конвертиране на тази система и приравняване на стойността на т параметъра, получаваме канонизъм

уравнения директно в пространството:	x - X0.		y - Y0.		z - Z0.

Определение. Директните косини се наричат \u200b\u200bдиректно косинусови водачи на вектора S, които могат да бъдат изчислени от формулите:

	cosa \u003d.			Шпакловка Cos β \u003d.		Шпакловка Cossy \u003d.
					N 2 + p 2		m 2 + n 2 + p2

От тук получаваме: m: n: p \u003d cosa: cos β: cossγ.

Числата m, n, p се наричат \u200b\u200bъглови коефициенти директно. Като S е ненулев вектор, след това m, n и p не могат да бъдат нула едновременно, но един или два от тези числа могат да бъдат нула. В този случай, в уравнението, съответните номератори трябва да бъдат изравнени.

12. Уравнението е директно в пространството, преминаващо през две точки

Ако има две произволни точки m 1 (x 1, y 1, z 1) на прав в пространството) и

M 2 (x 2, y2, z2) координатите на тези точки трябва да отговарят на полученото по-горе уравнение: \\ t

x 2 - x 1		y 2 - Y 1		z 2 - z 1

Можете да зададете по различни начини (с една точка и вектор, две точки и вектор, три точки и т.н.). Отчита се, че равноправното уравнение може да има различни видове. Също така, при определени условия, равнината може да бъде успоредна, перпендикулярна на пресичане и т.н. Вземете това и говорете за тази статия. Ще се научим да правим общо равнище на самолета и не само.

Нормално уравнение на формата

Да предположим, че има място R3, който има правоъгълна XYZ координатна система. Задайте вектора α, който ще бъде освободен от началната точка O. След края на вектора α, ние ще извършим самолета P, което ще бъде перпендикулярно на него.

Обозначи с p произволна точка q \u003d (x, y, z). Radius-векторна точка Q Абонирайте се за буквата r. В този случай дължината на вектора α е равна на р \u003d iαi и ʋ \u003d (Cosa, Cosp, Coss).

Това е един вектор, който е насочен настрана, както и векторът α. α, β и γ са ъглите, които са оформени между вектора ʋ и положителните посоки на осите на X, Y, Z, съответно. Проекцията на всяка точка QLP на вектора ʋ е постоянна стойност, която е равна на p: (p, ʋ) \u003d p (≥0).

Посоченото уравнение има смисъл, когато p \u003d 0. Единственият, самолетът P в този случай ще премине точката o (α \u003d 0), която е началото на координатите, а векторът на единицата ʋ, освободен от точка o, ще бъде перпендикулярно на Р, въпреки посоката си, \\ t което означава, че векторът ʋ се определя от точността преди знака. Предишното уравнение е уравнението на нашата равнина N, изразена във векторна форма. Но в координатите, външният му вид ще бъде такъв:

R тук е по-голямо или равно на 0. Намерихме равнината уравнение в пространството в нормална форма.

Общо уравнение

Ако уравнението в координатите за умножаване на произволен номер, който не е нула, получаваме уравнението, еквивалентно на това, което определя самия самолет. Ще има такъв вид:

Тук А, В, С е номерата, които са едновременно различни от нула. Това уравнение се нарича уравнение на общата равнина на формата.

Уравнения на равнините. Частни дела

Уравнението в обща форма може да бъде модифицирано в присъствието на допълнителни условия. Помислете за някои от тях.

Да предположим, че коефициентът А е 0. Това означава, че тази равнина е успоредна на определената ос. В този случай гледната точка на уравнението ще се промени: WU + CZ + D \u003d 0.

Подобно на вида на уравнението ще бъде променено при следните условия:

• Първо, ако b \u003d 0, уравнението ще се промени в AH + CZ + D \u003d 0, което ще покаже успоредно на оста на OU.
• Второ, ако c \u003d 0, уравнението се превръща в AH + W + d \u003d 0, което ще говори за успоредно на определената ос Oz.
• Трето, ако d \u003d 0, уравнението ще изглежда като AH + V / CZ \u003d 0, което ще означава, че равнината пресича O (произхода на координатите).
• Четвърто, ако a \u003d b \u003d 0, уравнението ще се промени на CZ + D \u003d 0, което ще се окаже успоредно на Oxy.
• Пето, ако b \u003d c \u003d 0, уравнението ще стане AH + D \u003d 0 и това означава, че равнината до OYZ е успоредна.
• Шесто, ако a \u003d c \u003d 0, тогава уравнението ще придобие изгледа на WU + D \u003d 0, т.е. ще докладва успоредно на OXZ.

Преглед на уравнението в сегменти

В случая, когато номерата А, В, С, D са различни от нула, формата на уравнение (0) може да бъде както следва:

x / a + y / b + z / s \u003d 1,

в която a \u003d -D / a, b \u003d -d / b, c \u003d -d / s.

Ние получаваме в крайна сметка си струва да се отбележи, че тази равнина ще прекоси оста на една точка с координати (A, 0.0), OU - (0, B, 0) и OZ - (0.0, с).

Като се вземат предвид уравнението x / a + y / b + z / s \u003d 1, не е трудно визуално да се представя поставянето на равнината спрямо определената координатна система.

Координати на нормалния вектор

Нормалният вектор N към равнината P има координати, които са коефициенти на общото уравнение на тази равнина, т.е. n (a, b, c).

За да се определят координатите на нормалното N, е достатъчно да се знае общото уравнение на определената равнина.

Когато използвате уравнението в сегменти, което има формата x / a + y / b + z / s \u003d 1, както при използването на общото уравнение, са възможни координатите на всеки нормален вектор на определената равнина: (1 / a + 1 / b + 1 / с).

Заслужава да се отбележи, че нормалният вектор спомага за решаването на различни задачи. Най-често срещаните задачи включват доказателство за перпендикулярност или паралелизъм на самолетите, задачите за намиране на ъгли между равнини или ъгли между равнини и права.

Изглед за уравнението на равнината според координатите на точката и нормалния вектор

Ненулевият вектор n, перпендикулярно на определената равнина, се нарича нормален (нормален) за дадена равнина.

Да предположим, че в координатното пространство (правоъгълна координатна система) Oxyz се дава:

• точка mₒ с координати (xₒ, uₒ, zₒ);
• нулев вектор n \u003d a * i + in * j + s * k.

Необходимо е да се направи уравнението на равнината, което ще премине през точка mₒ перпендикулярно на нормалното N.

В пространството изберете произволна точка и го обозначете с m (x Y, z). Оставете радиуса-вектора на всяка точка m (x, z) ще бъде r \u003d x * i + y * j + z * k и радиус-векторна точка mₒ (xₒ, uₒ, zₒ) - Rₒ \u003d Xₒ * i + u * j + zₒ * k. Точка m ще принадлежи към дадена равнина, ако векторът mₒm е перпендикулярно на вектора n. Ние записваме състоянието на ортогоналността с помощта на скаларен продукт:

[Mₒm, n] \u003d 0.

Тъй като mₒm \u003d r-rₒ, векторното уравнение на равнината изглежда така:

Това уравнение може да има друга форма. За тази цел се използват свойствата на скаларния продукт, а лявата страна на уравнението се превръща. \u003d -. Ако определите като С, тогава ще бъде получено следното уравнение: - C \u003d 0 или \u003d C, което изразява постоянството на прогнозите върху нормалния вектор на радиусите на векторите на посочените точки, които принадлежат към равнината.

Сега можете да получите координатен изглед на записа на векторното уравнение на нашия самолет \u003d 0. Тъй като R-Rₒ \u003d (X-Xₒ) * I + (Y-Uₒ) * J + (Z-Zₒ) * K, и n \u003d A * I + в * J + C * K, имаме:

Оказва се, че имаме равнинно уравнение, преминаващо през точката, перпендикулярна на нормалната n:

A * (x-xₒ) + b * (u-) c * (z - zₒ) \u003d 0.

Изглед за уравнението на равнината според координатите на две точки и вектор, колинеарната равнина

Ние ще поставим две произволни точки m '(x', u ', z') и m "(x", y, z "), както и векторът a (a ', a", a ‴).

Сега ще можем да изготвим уравнението на дадена равнина, която ще премине през наличните точки m 'и m ", както и всяка точка m с координатите (x, y, z) успоредно на посочения вектор a.

В същото време, векторите m'm \u003d (xx '; y,'; zz ') и m m \u003d (x "-H'; y" -u '; z "-z') трябва да бъде отделение вектор A \u003d (a ", a", a), което означава, че (m'm, m "m, a) \u003d 0.

Така че нашето уравнение на равнината в космоса ще изглежда така:

Изглед за уравнението на равнината, пресичаща три точки

Да предположим, че имаме три точки: (x ', y', z '), (x ", y, z"), (x ‴, ‴, z ‴), които не принадлежат към една права линия. Необходимо е да се напише уравнението на равнината, преминаваща през посочените три точки. Теорията на геометрията твърди, че този вид самолет наистина съществува, това е само единственият и уникален. Тъй като този самолет пресича точката (x ', z'), гледната точка на нейното уравнение ще бъде както следва:

Тук a, b, с ненулева едновременно. Също така, посочената равнина пресича още две точки: (x ", y, z") и (x ‴, ‴, z ‴). В това отношение трябва да се извърши този вид състояние:

Сега можем да изготвим хомогенна система с неизвестна U, V, W:

В нашата случай x, u или Z извършва произволна точка, която удовлетворява уравнението (1). Като се има предвид уравнението (1) и системата от уравнения (2) и (3), системата на уравнения, посочена на фигурата по-горе, удовлетворява вектора N (A, B, C), която е нетривиална. Ето защо определянето на тази система е нула.

Уравнение (1), което успяхме, това е уравнението на равнината. След 3 точки тя точно минава и е лесно да се провери. За да направите това, разградете нашия идентификатор в елементите в първия ред. От съществуващите свойства на детерминанта, следва, че нашата равнина едновременно пресича три първоначално определени точки (x ', u', z '), (x ", y, z"), (x ‴, ‴, z ‴). Това е, че решихме задачата пред нас.

Двумашинен ъгъл между самолетите

Двумашинният ъгъл е пространствен геометрична формаобразувани от две половин самолети, които идват от една права линия. С други думи, това е част от пространството, което е ограничено от тези полу-самолети.

Да предположим, че имаме две равнини със следните уравнения:

Знаем, че векторите n \u003d (a, b, с) и n¹ \u003d (А1, В1, С1) са перпендикулярни според посочените равнини. В тази връзка Ъгълът φ между векторите n и n¹ е равен на ъгъла (два човека), която се намира между тези равнини. Скаларен продукт Той има формата:

Nn¹ \u003d | n || n¹ | cos φ,

това е така, защото

cosφ \u003d nn¹ / | n || n¹ | \u003d (Aa¹ + експлозив + SS¹) / (((a ² + c² + c²)) * (√ (А1) ² + (v) ² + (с¹) ²)) .

Достатъчно е да се помисли, че 0≤φ≤π.

Всъщност, две равнини, които се пресичат, образуват два ъгъла (два човека): φ 1 и φ 2. Сумата е равна на π (φ 1 + φ 2 \u003d π). Що се отнася до техните косина, техните абсолютни стойности са равни, но те се различават по знаци, т.е. cos φ 1 \u003d -COS φ 2. Ако в уравнение (0) се заменя с А, в и С за номер - съответно, уравнението, което получаваме, ще определи същата равнина, единственият, ъгълът φ в COS φ \u003d NN 1 / уравнение | n || n 1 | ще бъде заменен с π-φ.

Уравнение перпендикулярна равнина.

Перпендикулярът се нарича равнината, между която ъгълът е 90 градуса. Използвайки посочения по-горе материал, можем да намерим уравнението на равнината, перпендикулярно на другия. Да предположим, че имаме два самолета: AH + V / CZ + D \u003d 0 и A 11 и Az + V \u003d 0 и Az + d \u003d 0. Можем да твърдим, че те ще бъдат перпендикулярни, ако cosφ \u003d 0. Това означава, че nn¹ \u003d aa¹ + експлозия + ss¹ \u003d 0.

Уравнение на паралелен план

Паралелно се наричат \u200b\u200bдве равнини, които не съдържат общи точки.

Състоянието (техните уравнения са същите, както в предишния параграф), се крие във факта, че векторите n и n¹, които са перпендикулярни, колинеарни. Това означава, че са изпълнени следните условия:

A / \u003d v / v¹ \u003d c / c¹.

Ако условията на пропорционалност се разширят - A / A¹ \u003d In / C \u003d C / C¹ \u003d DD¹,

това предполага, че тези самолети съвпадат. И това означава, че уравненията ah + v / cz + d \u003d 0 и a¹x + в + s¹z + d \u003d 0 описват една равнина.

Разстояние до равнина от точка

Да предположим, че имаме самолет P, който е определен от уравнение (0). Необходимо е да се намери разстоянието от точката с координатите (xₒ, uₒ, zₒ) \u003d Qₒ. За да направите това, трябва да донесете уравнението на равнината P в нормалната форма:

(ρ, v) \u003d p (≥0).

В този случай, ρ (x, y, z) е радиуса-векторът на наша точка q, разположен на p, p е дължината на перпендикуляра n, която е освободена от нулевата точка, v е един вектор, който е Намира се в посока А.

Разликата ρ-ρº радиус-вектор от някаква точка Q \u003d (x, y, z), принадлежаща към n, както и вектор на радиуса на дадена точка Q 0 \u003d (xₒ, uₒ, zₒ) е един и същ вектор, \\ t абсолютна стойност Прогнозите за които на V са равни на разстоянието d, за да намерят от Q 0 \u003d (xₒ, y, zₒ) до p:

D \u003d | (ρ-ρ 0, v) | но

(ρ-ρ 0, v) \u003d (ρ, v) - (ρ 0, v) \u003d p- (ρ 0, v).

Така се оказва

d \u003d | (ρ 0, v) -r |.

Така ще намерим абсолютната стойност на получения израз, т.е. желаната d.

Използвайки езика на параметрите, ние получаваме очевидно:

d \u003d | AHₒ + VUₒ + CZₒ | / √ (a² + c² + c²).

Ако точка Q 0 е от другата страна на равнината Р, както и началото на координатите, след това между вектора ρ-ρ 0 и V е следователно:

d \u003d - (ρ-ρ 0, v) \u003d (ρ 0, v) -r\u003e 0.

В случая, когато точката Q 0, заедно с началото на координатите, се намира на една и съща страна от n, тогава създаденият ъгъл е остър, т.е.

d \u003d (ρ-ρ 0, v) \u003d p - (ρ 0, v)\u003e 0.

В резултат на това се оказва, че в първия случай (ρ 0, v)\u003e p, във втория (ρ 0, v)<р.

Допирателна равнина и нейното уравнение

Докосването на равнината към повърхността в точката на докосване mº е равнина, съдържаща всички възможни допирателни към кривата, проведена през тази точка на повърхността.

С тази форма на уравнението на повърхността f (x, y, z) \u003d 0, уравнението на допирателната равнина в допирателната точка mº (xº, uº, zº) ще изглежда така:

F X (xº, yº, zº) (xº) + F X (xº, yº, zº) (UHº) + F X (xº, yº, zº) (z-zº) \u003d 0.

Ако посочите повърхността в изрична форма Z \u003d F (x, y), тогава допирателната равнина ще бъде описана от уравнението:

z-zº \u003d F (xº, uº) (xº) + f (xº, yº) (uº).

Пресичане на две равнини

Координатната система (правоъгълна) оксиз се намира, две равнини P 'и P "са дадени, които се пресичат и не съвпадат. Тъй като всяка равнина в правоъгълната координатна система се определя от цялостното уравнение, ние приемаме, че P 'и P "се определят от уравненията A'H + B'U + C'z + D' \u003d 0 и A" X + в "Y + с" Z + d "\u003d 0. В този случай имаме нормален N '(a', b ', c') самолет P 'и нормален N "(А", в ", С") самолет P ". Тъй като нашите самолети не са успоредни и не съвпадат, тези вектори не са колинеарни. Използвайки езика на математиката, можем да напишем това състояние, както следва: n '≠ n "↔ (a', в ', c') ≠ (λ * a", λ * в ", λ * s"), λεr. Нека права линия, която се намира в кръстовището на P 'и P ", ще бъде обозначена с буквата А, в този случай, a \u003d p' ∩ p".

а е директен, състоящ се от различни точки (общи) равнини P 'и P ". Това означава, че координатите на всяка точка, принадлежащи към Direct A, трябва едновременно да отговарят на уравненията A'H + B'U + C'z + D '\u003d 0 и "X + към" Y + с "Z + D" \u003d 0 . Така че координатите на точката ще бъдат частно решение на следната система на уравнения:

В резултат на това се оказва, че решението (генерал) на тази система на уравнения ще определи координатите на всяка от точките на линията, които ще действат като точка на пресичане на P 'и P ", и определят директното А в координатната система Oxyz (правоъгълна) в пространството.

Помислете за равнина в пространството. Позицията на то се определя напълно от набора от вектор n, перпендикулярно на тази равнина, и някаква фиксирана точка, лежаща в самолета Q, перпендикулярна равнина Q, се нарича нормален вектор на тази равнина. Ако определите чрез a, b и от проекцията на нормалния вектор n, тогава

Извличаме уравнението на равнината Q преминава през тази точка и имащ даден нормален вектор. За да направите това, помислете за векторна точка на свързване с произволна точка на равнината Q (фиг. 81).

Във всяка позиция на точката m на равнината Q, Mxem е перпендикулярна на нормалната векторна равнина. Следователно, скаларният продукт ще напише скаларен продукт чрез прогнози. Както и векторът, тогава

и следователно,

Показахме, че координатите на всяка точка на самолета q отговарят на уравнението (4). Лесно е да се отбележи, че координатите на точките, които не лежат в равнината на Q, това уравнение не е удовлетворяващо (в последния случай). Следователно, получихме желаното уравнение на равнината Q. Уравнение (4) се нарича уравнение на равнината, преминаваща през тази точка. Това е първата степен по отношение на текущите координати.

Така че, показахме, че всяка равнина съответства на уравнението на първа степен по отношение на текущите координати.

Пример 1. Напишете уравнението на равнината, преминаваща през точката, перпендикулярна на вектора.

Решение. Тук . Въз основа на формула (4) получаваме

или след опростяване

Даване на коефициентите A, B и от уравнение (4) различни стойности, можем да получим уравнението на всеки самолет, преминаващ през точката. Комбинацията от самолети, преминаващи през тази точка, се нарича лигамент на равнините. Уравнение (4), при което коефициентите А, В и С могат да приемат всякакви стойности, се наричат \u200b\u200bуравнението на лигамента на самолетите.

Пример 2. Направете уравнението на равнината, преминаваща през три точки (фиг. 82).

Решение. Напишете уравнението на лигамента на самолетите, преминаващи през точката

Позицията на равнината в пространството ще бъде доста дефинирана, ако е настроена на неговото разстояние от началото на О, т.е. дължината на перпендикуляра от, спусната от точката o на равнината и единица вектор N °, перпендикулярно до самолета и насочени от началото до равнината (фиг. 110).

Когато точка m се движи по равнината, неговият радиус-вектор варира, така че през цялото време да се свърже с някакво състояние. Нека видим какво е това състояние. Очевидно, за всяка точка, лежаща в самолета, имаме:

Това условие се осъществява само за равнинни точки; Тя е счупена, ако m m лъжи от самолета. По този начин равенството (1) изразява имота, общите равнина и само тях. Съгласно § 7 ch. 11 имаме:

и следователно уравнението (1) може да бъде пренаписано във формата:

Уравнението (d) изразява състояние, в което точката) се крие в тази равнина и се нарича нормално уравнение за този самолет. Радиучният вектор на произволна точка на равнината се нарича ток радиус-вектор.

Уравнението (1) на равнината е написано във векторна форма. Обръщайки се към координатите и поставяне на произхода в началото на векторите - точка o, отбелязваме, че прогнозите на единица вектор на оста на координатите са косина на ъглите, съставени от осите с този вектор, и прогнозите на точка на радиуса-вектор m

сервирайте координатите на въпроса, т.е. ние имаме:

Уравнението (г) отива в координатата:

Когато превеждате векторното уравнение (d) на равнината до координатното уравнение (2), ние използвахме формулата (15) § 9 ch. 11 Изразяване на скаларен продукт чрез прогнозите на векторите. Уравнение (2) изразява състояние, в което точка m (x, y, z) се крие на тази равнина и се нарича нормално уравнение за този самолет в координатната форма. Полученото уравнение (2) е първа степен роднина, т.е. всяка равнина може да бъде представена от уравнението на първа степен по отношение на текущите координати.

Имайте предвид, че извлечените уравнения (1 ") и (2) остават в сила и след това, когато, т.е. тази равнина преминава през произхода. В този случай е възможно да се вземат всеки от двата единични вектора перпендикулярни на равнината и различни от друга посока.

Коментар. Нормалното уравнение на равнината (2) може да се изведе без използване на векторния метод.

Вземете произволна равнина и прекарвайте чрез произхода на координатите, перпендикулярни на него Direct I. Ние инсталираме по тази директна положителна посока от началото на координатите към равнината (ако избраната равнина преминава през произхода на координатите, тогава посоката на прав може да се вземе всеки).

Позицията на тази равнина в пространството е напълно определена от разстоянието от произхода, т.е. дължината на сегмента на оста L от произхода до точката на пресичане с равнината (на Фиг. 111 - сегмент) и ъглите между тях оста и координатните оси. Когато точката на координати се движат по равнината, нейните координати се променят така, че през цялото време да се свърже с някои състояния. Нека видим какво е това състояние.

Изграждане на фиг. 111 Координирана счупена линия OPSM произволна точка m равнина. Вземете проекцията на това, счупена на оста l. Забелязвайки, че проекцията на счупената е равна на проекцията на своя сегмент за късо съединение (гл. I, § 3), ще имаме.

24. Линейна зависимост на колоните на матрицата. Свойства Линейна зависимост и независимост на струните (колони) на матрицата

Свойства на линейно зависими и линейно независими колони на матрици

25. Бази непълнолетен. Теорема на основния малък. Теорема.

26. Системи за линейни уравнения. Теоремата на Kronkener - Capelli за съвместимостта на системите.

27. Единни системи на линейни уравнения. Свойства на техните решения. Общо решение на магарето.

28. Основни решения на системните системи

29. Нехомогенни системи на линейни уравнения. Свойства на техните решения. Изграждане на общо решение на NSLU.

30. Линейни пространства. Определение. Примери, ефекти от аксиома.

31. Линейна зависимост на линейните космически вектори. Имоти

32. Основа на линейно пространство. Измерение

33. Уникалността на декомпозицията на векторите по база. Координати. Действия върху вектори в координатна форма.

34. Промяна на векторните координати, когато се премествате на нова основа. Матрица на прехода.

35. Евклидово пространство. Определение, примери. Векторни модули. Ъгълът между векторите. Неравенството на Cauchy Bunyakovsky.

36. Линеен оператор. Матрицата на линейния оператор. Промяна на матрицата на линейния оператор при преминаване към нова основа.

37. Изображението и ядрото на линейния оператор. Линеен оператор.

38. В отделен файл.

39. Собствени вектори и собствени стойности на линеен оператор. Техните свойства

40. Последователност. Ограничение на последователността. Ограничени, неограничени, безкрайно малки и безкрайно големи последователности. Дефиниция

[Редактиране] примери

[Редактиране] операции по последователности

[Редактиране] Последствие

[Редактиране] примери

[Редактиране] свойства

[Редактиране] лимитната последователност

[Редактиране] лимит на последователността

[Редактиране] Някои видове последователности

[Редактиране] ограничени и неограничени последователности

[Редактиране] Критерий с ограничена цифрова последователност

[Редактиране] свойства на ограничени последователности

[Редактиране] безкрайно големи и безкрайно малки последователности

[Редактиране] свойства на безкрайно малки последователности

[Редактиране] конвергентни и различни последователности

[Редактиране] свойствата на конвергиращите се последователности

41. Концепцията за функцията. Начини за задаване на функцията.

42. Ограничителна функция в точка, в безкрайност. Геометрично тълкуване. Определения и примери.

43. Теоремите са ограничени:

44. непрекъснати функции и свойства:

Имоти местни

Global.

Теорема за консервация за непрекъсната функция

Доказателства

45. Първият прекрасен лимит. Последствия. Граничните теорема суми, произведения и частни.

46. \u200b\u200bОграничени функции и техните свойства. Необходимото условие за съществуването на границата на функцията в точката.

47. Безкрайно малки функции, техните свойства. Лема

Лемида за безкрайно малки

48. Критерий за съществуването на границата на функцията в точката.

49. Безкрайно големи функции, комуникация с безкрайно малки функции.

50. Разкриване на несигурности. Втората прекрасна граница.

51. Еквивалентни безкрайно малки функции. Таблица с еквивалентни безкрайно малки функции.

52. Теоремата за употребата на еквивалентна безкрайно малка за изчисляване на границите.

3.2. Формулите на основната еквивалентност са безкрайно малки.

53. Еднопосочна функция ограничава в точка. Едностранчивостта на функцията в точка.

54. Точки за прекъсване на точки и тяхната класификация.

55. свойствата на функциите непрекъснато на сегмента.

56. Задачи, водещи до концепцията за деривата. Концепцията за деривата. Геометрично и физическо значение производно.

1.1 Задачи, водещи до концепцията за дериват

, Ако.

57. Диференциалност на функцията. Критерий Функцията за диференциране в точка.

57. Диференциалност на функцията. Критерий Функцията за диференциране в точка.

58. Деривативна сложна функция.

59. Диференциална функция. Инвариантността на първия диференциален формуляр за запис.

60. Обратната функция и нейното производно.

60. Обратната функция и нейното производно.

61. Правила за диференциация.

63. Логаритмична диференциация. Производно на постепенната индикативна функция.

5.4. Производно на постепенната индикативна функция

64. Вижте отделен файл.

65. Теореми средно - фермата, ролка.

66. Теоремите на средната лагрант, Cauchy.

67. Различни по-високи поръчки. Не-инвариантна формуляр за запис.

68. Лопатално правило. Разкриване на несигурности, използвайки лопаталното правило.

69. Taylor формула. Разлагане на функцията съгласно формулата Taylor.

70. Монотонността на функцията. Условия за монотонност.

71. Екстремна функция. Необходимото условие за съществуването на екстремум.

72. Достатъчно екстремс.

73. Преобразуване и вдлъбната функция на функцията. Точки на инфлексия.

74. Асимптоти от графики.

[Редактиране] Видове асимптоти от графики [редактиране] вертикално

[Редактиране] хоризонтално

[Редактиране] наклонена

[Редактиране] Намиране на асимптот

76. Метод за замяна на променливи в неопределен интеграл.

77. Интеграция в части в неопределен интеграл. Класове функции, които се интегрират в части.

78. Рационални Fraci. Разлагането на рационални фракции на сумата от най-простите.

79. Интегриране на най-простите рационални фракции.

80. Интегриране на тригонометрични функции.

81. Интегриране на ирационалното ...

82. Интеграция на ярост на очите ...

83. Понятието за специфичен интеграл, неговото геометрично значение и свойства. Средна теорема.

84. Вграден с променлива горна граница. Формула Нютон Labitsa.

85. Полярна координатна система. Уравнения на кривите в полярната координатна система.

Уравнение на кривите в полярни координати

Кръг

Polar Rosa.

Спирал Архимед

Конични раздели

86. Изчисляване на конкретен интеграл. Използването му за изчисляване на площите с плоски фигури, дължината на кривата на дъгата.

87. Изчисляване на органите, органите на въртене.

88. Приложение за специфичен интеграл със задачите на физиката.

89. Независими интегрални интеграли.

89. Независими интегрални интеграли.

Инвалидни интегрални интеграли

Геометричен смисъл на несъвместимия интеграл i мил

Примери

90. Неразлични интеграли на рода.

Геометричен смисъл на неправилни интеграли на рода

Нормално равнище.

Общото уравнение на вида равнина се нарича нормално уравнение на равнинатаАко дължината на вектора равно на един, който е, , и.

Често е възможно да се види, че нормалното уравнение на равнината е написано във формата. Тук - ръководството на сесинките на нормалния вектор на тази равнина с една дължина, т.е. и пс. - Не-отрицателно число, равно на разстоянието от началото на координатите към равнината.

Нормално равнинно уравнение в правоъгълна координатна система Oxyz. Определя равнината, която се отстранява от началото на координатите пс. В положителната посока на нормалния вектор на този самолет . Ако p \u003d 0.Самолетът преминава през произхода на координатите.

Даваме пример за нормално равнище.

Нека самолетът е поставен в правоъгълната координатна система Oxyz. общо уравнение на равнината на формата . Това общо уравнение на равнината е нормално уравнение на равнината. Наистина, нормалният вектор на този самолет има дължина, равна на една, тъй като .

Уравнението на равнината в нормална форма ви позволява да намерите разстоянието от точката до самолета.

Разстояние от точка до самолета.

Разстоянието от точката до самолета е най-малкото от разстоянията между тази точка и точките на равнината. Известно е, че разстояние От точката до равнината е равна на дължината на перпендикуляра, спусната от тази точка към равнината.

Ако произходът на координатите лежи от различни страни на самолета, в противоположния случай. Разстоянието от точката до самолета е

Взаимно местоположение на самолетите. Условия за паралелизъм и перпендикулярност на равнините.

Разстояние между паралелни самолети

Свързани концепции

Самолетът е паралелен , ако

или (Векторно изкуство)

Равнини перпендикулярни, ако

Или . (Скаларен продукт)

Директно в пространството. Различни видове уравнение са прави.

Уравнения директно в пространството - първоначална информация.

Директно уравнение в равнината Окси е линейно уравнение с две променливи х. и y.което отговаря на координатите на всяка точка, и не отговарят на координатите на други точки. С линия в триизмерно пространство, това е малко по-различно - няма линейно уравнение с три променливи. х., y. и z.което би удовлетворява само координатите на Dots Direct, посочени в правоъгълната координатна система Oxyz.. Наистина, уравнението на вида, където х., y. и z. - променливи и А., Б., ° С. и Д. - някои валидни номера и НО, В и В В същото време не са нула, представлява общо уравнение на равнината. Тогава възниква въпросът: "Как може да бъде описана директна линия в правоъгълна координатна система Oxyz.»?

Отговорът към него се съдържа в следващите параграфи на статията.

Уравненията директно в пространството са уравненията на две пресичащи се равнини.

Спомнете си една аксиома: ако две самолети в пространството имат обща точка, тогава те имат общ директ, на който са разположени всички общи точки от тези самолети. По този начин може да се посочи директната линия в пространството, като се посочват две равнини, пресичащи се чрез това директно.

Ние прехвърляме най-новото изявление на езика на алгебрата.

Нека правоъгълната координатна система бъде фиксирана в триизмерно пространство Oxyz. и е известно, че това е направено а. Това е линията на пресичане на две равнини и която съответства на общите уравнения на равнината е видеото. От изправ а. Това е набор от всички общи планове и, след това координатите на всяка точка Direct A ще удовлетворят както уравненията на уравнението, координатите на всички други точки няма да бъдат изпълнени едновременно както уравненията на равнините. Следователно координатите на всяка точка директно а. В правоъгълна координатна система Oxyz. . \\ t частно решение на системата от линейни уравнения Изглед и общото решение на системата на уравнения определя координатите на всяка точка директно а.това е, определя директното а..

Така че, директно в пространството в правоъгълна координатна система Oxyz. може да се определи от системата от уравненията на две пресичащи се равнини .

Ето пример за задачата на права линия в пространството, използвайки система от две уравнения - .

Описанието на права линия с уравненията на две пресичащи се равнини е чудесно за намиране на координатите на пресечната точка на преките и равнинатакакто и намиране на координатите на пресечната точка на две директно в пространството.

Препоръчваме да продължите проучването на тази тема, като се свържете с статията. уравнения директно в пространството - уравнения на две пресичащи се равнини. Той представя по-подробна информация, решенията на характерните примери и задачи се разглобяват подробно и се показва методът на прехода към уравненията директно в пространството на друг вид.

Трябва да се отбележи, че има различни методи за задача директно в пространствотои на практика, директният се определя по-често от две пресичащи се равнини, но пряка линия на директна и точка, лежаща по тази права линия. В тези случаи е по-лесно да се получат канонични и параметрични уравнения директно в пространството. Ще говорим за тях в следващите параграфи.

Параметрични уравнения директно в пространството.

Параметрични уравнения директно в пространството имаш добър ,

където х. 1 ,y. 1 и z. 1 - координати на някаква точка направо а. х. , а. y. и а. z. (а. х. , а. y. и а. z. В същото време не са нулеви) - подходящи директни директни координати, a - някакъв параметър, който може да отнеме всяко валидно значение.

С всяка стойност на параметъра от параметрични уравнения, директно в пространството можем да изчислим първите три числа,

тя ще съответства на някаква точка направо (следователно името на този тип уравнения). Например, когато

от параметрични уравнения, директно в пространството, което получаваме координати х. 1 , y. 1 и z. 1 : .

Като пример, помислете за директните, кои параметрични уравнения конкретно задават . Този директ преминава през точката, а водещият вектор на този директ има координати.

Препоръчваме да продължим изучаването на темата, като се свържете с статията параметрични уравнения директно в пространството. Той показва изтеглянето на параметрични уравнения до направо в пространството, специалните случаи на параметрични уравнения се разглобяват в пространството, са дадени графични илюстрации, дадени са подробни решения на характерните задачи и свързването на параметрични уравнения директно с други видове преки уравнения .

Канонични уравнения директно в пространството.

Разрешаване на всяка от параметричните уравнения на директния тип по отношение на параметъра, лесно да отидете канонични уравнения директно в пространството Изглед .

Каноничните уравнения директно в пространството се определят директно преминаване през точката и директен директен вектор е вектор . Например уравнения директно в канонична форма съответстват на директно преминаване през точката на пространството с координатите, водещият вектор на този директ има координати.

Трябва да се отбележи, че един или два от номерата в каноничните уравнения на правия може да бъде нула (и трите не могат да бъдат нулеви индивидуално равни, тъй като директната линия не може да бъде нула). След това запис на гледката счита се за формални (както в знаменателите на една или две фракции ще бъдат zeros) и трябва да се разбира като където.

Ако един от числата в каноничните уравнения е равен на нула, тогава директният лъжи в една от координатните равнини или в равнината го успоредно. Ако два от романите са нула, след това директно или съвпада с една от координатните оси или успоредно с него. Например, директно съответстващо на каноничните уравнения директно в пространството на вида лежи в самолета z \u003d -2.което е успоредно на координатовата равнина Оксии координиране на ос Oy. Определени от канонични уравнения.

Графични илюстрации на тези случаи, оттеглянето на канонични уравнения в пространството, подробни решения на характерни примери и задачи, както и прехода от канонични уравнения, насочени към други уравнения директно в пространството, виж статията канонични уравнения директно в пространството.

Общото уравнение е прав. Преход от общо за каноничното уравнение.

"