একটি সংখ্যার ঘাতের বর্গমূল। শিকড় গুণন: পদ্ধতি এবং অ্যাপ্লিকেশন। গুণের মৌলিক নিয়ম

ডিগ্রি সূত্রসমীকরণ এবং অসমতা সমাধানে জটিল অভিব্যক্তি হ্রাস এবং সরলীকরণের প্রক্রিয়ায় ব্যবহৃত হয়।

সংখ্যা গহয় n- একটি সংখ্যার তম শক্তি ককখন:

ডিগ্রী সহ অপারেশন।

1. একই বেসের সাথে ডিগ্রী গুন করে, তাদের সূচক যোগ করা হয়:

একটি মি· a n = a m + n।

2. একই বেস দিয়ে ডিগ্রী ভাগ করার সময়, তাদের সূচকগুলি বিয়োগ করা হয়:

3. 2 বা ততোধিক ফ্যাক্টরের গুণফলের ডিগ্রী এই ফ্যাক্টরগুলির ডিগ্রীর গুণফলের সমান:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. ভগ্নাংশের ডিগ্রি লভ্যাংশ এবং ভাজকের ডিগ্রির অনুপাতের সমান:

(a/b) n = a n /b n।

5. একটি শক্তিকে একটি শক্তিতে উন্নীত করা, সূচকগুলিকে গুণ করা হয়:

(a m) n = a m n।

উপরের প্রতিটি সূত্র বাম থেকে ডানে এবং তদ্বিপরীত দিকনির্দেশে সত্য।

উদাহরণ স্বরূপ. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

শিকড় সঙ্গে অপারেশন.

1. বেশ কয়েকটি কারণের গুণফলের মূল এই উপাদানগুলির মূলের গুণফলের সমান:

2. একটি অনুপাতের মূল লভ্যাংশ এবং মূলের ভাজকের অনুপাতের সমান:

3. একটি মূলকে একটি শক্তিতে উত্থাপন করার সময়, এই শক্তিতে র্যাডিকাল সংখ্যা বাড়াতে যথেষ্ট:

4. রুট এর ডিগ্রী বাড়ালে nএকবার এবং একই সময়ে বিল্ড ইন nতম শক্তি একটি মৌলিক সংখ্যা, তাহলে মূলের মান পরিবর্তন হবে না:

5. রুট এর ডিগ্রী কমিয়ে দিলে nএকই সময়ে মূল নিষ্কাশন করুন n-একটি মৌলিক সংখ্যার তম শক্তি, তাহলে মূলের মান পরিবর্তন হবে না:

একটি ঋণাত্মক সূচক সহ একটি ডিগ্রি।একটি অ-ধনাত্মক (পূর্ণসংখ্যা) সূচক সহ একটি নির্দিষ্ট সংখ্যার শক্তিকে অ-ধনাত্মক সূচকের পরম মানের সমান সূচক সহ একই সংখ্যার শক্তি দ্বারা বিভক্ত হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়:

সূত্র একটি মি:a n =a m - nজন্য ব্যবহার করা যাবে না শুধুমাত্র মি> n, কিন্তু সঙ্গে মি< n.

উদাহরণ স্বরূপ. ক4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

সূত্রে একটি মি:a n =a m - nন্যায্য হয়ে ওঠে যখন m=n, শূন্য ডিগ্রী উপস্থিতি প্রয়োজন.

শূন্য সূচক সহ একটি ডিগ্রি।শূন্য সূচক সহ শূন্যের সমান নয় এমন কোনো সংখ্যার শক্তি একের সমান।

উদাহরণ স্বরূপ. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

একটি ভগ্নাংশ সূচক সহ ডিগ্রী।একটি বাস্তব সংখ্যা বাড়াতে কডিগ্রী পর্যন্ত m/n, আপনি মূল নিষ্কাশন করা প্রয়োজন nতম ডিগ্রী মি-এই সংখ্যার তম শক্তি ক.

অনুশীলনে রুট নিষ্কাশন অপারেশন সফলভাবে ব্যবহার করতে, আপনাকে এই অপারেশনের বৈশিষ্ট্যগুলির সাথে পরিচিত হতে হবে।
সমস্ত বৈশিষ্ট্য শুধুমাত্র শিকড়ের চিহ্নের অধীনে থাকা ভেরিয়েবলের অ-নেতিবাচক মানের জন্য প্রণয়ন এবং প্রমাণিত হয়।

উপপাদ্য ঘ. দুটি অ-নেতিবাচক চিপের গুণফলের nম মূল (n=2, 3, 4,...) এই সংখ্যার nম মূলের গুণফলের সমান:

মন্তব্য:

1. উপপাদ্য 1 সেই ক্ষেত্রে বৈধ থাকে যখন র্যাডিকেল এক্সপ্রেশনটি দুটির বেশি অ-নেতিবাচক সংখ্যার গুণফল হয়।

উপপাদ্য 2।যদি, এবং n হল 1 এর থেকে বড় একটি স্বাভাবিক সংখ্যা, তাহলে সমতাটি সত্য

সংক্ষিপ্ত(যদিও ভুল) সূত্র, যা অনুশীলনে ব্যবহার করা আরও সুবিধাজনক: একটি ভগ্নাংশের মূল শিকড়ের ভগ্নাংশের সমান।

উপপাদ্য 1 আমাদের টি গুণ করতে দেয় একই মাত্রার শুধুমাত্র শিকড় , অর্থাৎ একই সূচকের সাথে শুধুমাত্র শিকড়।

উপপাদ্য 3.If ,k হল একটি স্বাভাবিক সংখ্যা এবং n হল 1 এর থেকে বড় একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা, তাহলে সমতা সত্য

অন্য কথায়, একটি প্রাকৃতিক শক্তিতে একটি শিকড় উত্থাপন করার জন্য, এই শক্তিতে আমূল অভিব্যক্তি উত্থাপন করাই যথেষ্ট।
এটি উপপাদ্য 1 এর একটি ফলাফল। আসলে, উদাহরণস্বরূপ, k = 3 এর জন্য আমরা পাই: আমরা k এর সূচকের অন্য কোনো প্রাকৃতিক মানের ক্ষেত্রে ঠিক একইভাবে যুক্তি দিতে পারি।

উপপাদ্য 4. যদি ,k, n হল 1-এর থেকে বড় স্বাভাবিক সংখ্যা, তাহলে সমতা সত্য

অন্য কথায়, একটি শিকড় থেকে একটি মূল বের করার জন্য, শিকড়ের সূচকগুলিকে গুন করা যথেষ্ট।
উদাহরণ স্বরূপ,

সতর্ক হোন!আমরা শিখেছি যে চারটি অপারেশন শিকড়ের উপর সঞ্চালিত হতে পারে: গুণ, ভাগ, সূচক এবং মূল নিষ্কাশন (মূল থেকে)। কিন্তু শিকড় যোগ এবং বিয়োগ সম্পর্কে কি? কোনভাবেই না.
উদাহরণস্বরূপ, রিয়েলি লেখার পরিবর্তে, তবে এটি স্পষ্ট যে

উপপাদ্য 5. যদি মূল এবং র্যাডিকাল এক্সপ্রেশনের সূচকগুলিকে একই প্রাকৃতিক সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করা হয়, তাহলে মূলের মান পরিবর্তন হবে না, যেমন

সমস্যা সমাধানের উদাহরণ

উদাহরণ 1.হিসাব করুন

সমাধান।শিকড়ের প্রথম সম্পত্তি ব্যবহার করে (উপাদ্য 1), আমরা পাই:

উদাহরণ 2।হিসাব করুন
সমাধান।একটি মিশ্র সংখ্যাকে একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশে রূপান্তর করুন।
আমাদের কাছে মূলের দ্বিতীয় বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করা আছে ( উপপাদ্য 2 ), আমরা পেতে:

উদাহরণ 3.গণনা করুন:

সমাধান।বীজগণিতের যে কোনও সূত্র, যেমন আপনি ভাল জানেন, কেবল "বাম থেকে ডানে" নয়, "ডান থেকে বামে"ও ব্যবহৃত হয়। এইভাবে, শিকড়ের প্রথম সম্পত্তির অর্থ হল যে সেগুলি আকারে উপস্থাপন করা যেতে পারে এবং বিপরীতভাবে, অভিব্যক্তি দ্বারা প্রতিস্থাপিত হতে পারে। একই শিকড় দ্বিতীয় সম্পত্তি প্রযোজ্য. এটি বিবেচনায় নিয়ে, এর গণনা করা যাক।

অযৌক্তিক অভিব্যক্তি এবং তাদের রূপান্তর

শেষবার আমরা মনে রেখেছিলাম (বা শিখেছি, কার উপর নির্ভর করে) এটি কী , শিখেছি কিভাবে এই ধরনের শিকড় বের করতে হয়, শিকড়ের মৌলিক বৈশিষ্ট্যগুলি টুকরো টুকরো করে বাছাই করে এবং শিকড় সহ সহজ উদাহরণগুলি সমাধান করে।

এই পাঠটি পূর্ববর্তীটির একটি ধারাবাহিকতা হবে এবং সমস্ত ধরণের শিকড় সমন্বিত বিভিন্ন অভিব্যক্তির রূপান্তরের জন্য নিবেদিত হবে। এই ধরনের অভিব্যক্তি বলা হয় অযৌক্তিক. অক্ষর সহ অভিব্যক্তি, অতিরিক্ত শর্ত, ভগ্নাংশে অযৌক্তিকতা থেকে মুক্তি পাওয়া এবং শিকড় দিয়ে কাজ করার কিছু উন্নত কৌশল এখানে উপস্থিত হবে। এই পাঠে যে কৌশলগুলি নিয়ে আলোচনা করা হবে তা প্রায় যেকোনো স্তরের জটিলতার USE সমস্যা (এবং শুধু নয়) সমাধানের জন্য একটি ভাল ভিত্তি হয়ে উঠবে। চল শুরু করা যাক.

প্রথমত, আমি এখানে মূল সূত্র এবং মূলের বৈশিষ্ট্যগুলি নকল করব। যাতে টপিক থেকে টপিক না যায়। এখানে তারা:

এ

আপনি অবশ্যই এই সূত্রগুলি জানেন এবং সেগুলি প্রয়োগ করতে সক্ষম হবেন। এবং উভয় দিকেই - উভয় বাম থেকে ডান এবং ডান থেকে বাম। এটি তাদের উপর ভিত্তি করে যে কোন ডিগ্রী জটিলতার শিকড় সহ বেশিরভাগ কাজের সমাধান। আপাতত সহজ জিনিস দিয়ে শুরু করা যাক - সূত্র বা তাদের সমন্বয়ের সরাসরি প্রয়োগের সাথে।

সূত্রের সহজ প্রয়োগ

এই অংশে, সহজ এবং নিরীহ উদাহরণ বিবেচনা করা হবে - অক্ষর ছাড়া, অতিরিক্ত শর্ত এবং অন্যান্য কৌশল। যাইহোক, এমনকি তাদের মধ্যে, একটি নিয়ম হিসাবে, বিকল্প আছে। এবং আরো পরিশীলিত উদাহরণ, আরো এই ধরনের বিকল্প আছে. এবং অনভিজ্ঞ ছাত্র প্রধান সমস্যা সম্মুখীন - কোথা থেকে শুরু? এখানে উত্তর সহজ- আপনি যদি জানেন না আপনার কী প্রয়োজন, আপনি যা করতে পারেন তা করুন. যতক্ষণ না আপনার ক্রিয়াকলাপ গণিতের নিয়মের সাথে শান্তি ও সামঞ্জস্যপূর্ণ হয় এবং তাদের বিরোধিতা না করে।) উদাহরণস্বরূপ, এই কাজটি:

গণনা করুন:

এমনকি এমন একটি সাধারণ উদাহরণেও, উত্তরের জন্য বেশ কয়েকটি সম্ভাব্য পথ রয়েছে।

প্রথমটি হল প্রথম বৈশিষ্ট্য দ্বারা শিকড়গুলিকে গুন করা এবং ফলাফল থেকে মূলটি বের করা:

দ্বিতীয় বিকল্পটি হল: আমরা এটি স্পর্শ করি না, আমরা এর সাথে কাজ করি। আমরা মূল চিহ্নের নীচে থেকে গুণকটি বের করি এবং তারপরে - প্রথম সম্পত্তি অনুসারে। এটার মত:

আপনি যত খুশি সিদ্ধান্ত নিতে পারেন। বিকল্পগুলির যে কোনওটিতে, উত্তরটি এক - আটটি। উদাহরণস্বরূপ, আমার পক্ষে 4 এবং 128 গুন করা এবং 512 পাওয়া সহজ এবং এই সংখ্যা থেকে ঘনমূলটি সহজেই বের করা যেতে পারে। যদি কেউ মনে না রাখে যে 512 8 ঘনক, তাহলে এটা কোন ব্যাপার না: আপনি 512 কে 2 9 হিসাবে লিখতে পারেন (দুটির প্রথম 10টি শক্তি, আমি আশা করি আপনি মনে রাখবেন?) এবং শক্তির মূলের জন্য সূত্রটি ব্যবহার করে :

আরেকটি উদাহরণ.

গণনা করুন:।

আপনি যদি প্রথম বৈশিষ্ট্য অনুসারে কাজ করেন (একটি মূলের নীচে সবকিছু রেখে), আপনি একটি মোটা সংখ্যা পাবেন, যা থেকে মূলটি বের করা যেতে পারে - চিনিও নয়। এবং এটি একটি সত্য নয় যে এটি সঠিকভাবে বের করা হবে।) অতএব, সংখ্যার মূলের নীচে থেকে ফ্যাক্টরগুলি সরানো এখানে দরকারী। এবং সবচেয়ে বেশি ব্যবহার করুন:

এবং এখন সবকিছু ঠিক আছে:

যা বাকি থাকে তা হল একটি মূলের নীচে আট এবং দুই লিখতে (প্রথম সম্পত্তি অনুসারে) এবং কাজটি হয়ে যায়। :)

এখন কিছু ভগ্নাংশ যোগ করা যাক.

গণনা করুন:

উদাহরণটি বেশ আদিম, তবে এর বিকল্পও রয়েছে। আপনি লবকে রূপান্তর করতে এবং হর দিয়ে এটি হ্রাস করতে গুণক ব্যবহার করতে পারেন:

অথবা আপনি অবিলম্বে শিকড় বিভাজনের জন্য সূত্র ব্যবহার করতে পারেন:

যেমনটি আমরা দেখি, এইভাবে এবং ওটা – সবকিছুই সঠিক।) যদি আপনি অর্ধেক পথে হোঁচট না খেয়ে ভুল করেন। যদিও আমি এখানে ভুল করতে পারি ...

আসুন এখন শেষ পাঠের হোমওয়ার্ক থেকে একেবারে শেষ উদাহরণটি দেখি:

সহজতর করা:

শিকড় একটি সম্পূর্ণ অকল্পনীয় সেট, এবং এমনকি নেস্টেড বেশী. আমার কি করা উচিৎ? প্রধান জিনিস ভয় পাবেন না! এখানে আমরা প্রথমে শিকড়ের নীচে 2, 4 এবং 32 সংখ্যাগুলি লক্ষ্য করি - দুটির ক্ষমতা। প্রথম জিনিসটি হল সমস্ত সংখ্যা কমিয়ে দুইয়ে করা: সর্বোপরি, উদাহরণে যত বেশি অভিন্ন সংখ্যা এবং কম ভিন্ন সংখ্যা তত সহজ।) আসুন প্রথম ফ্যাক্টর দিয়ে আলাদাভাবে শুরু করি:

মূলের সূচকে চারটি দিয়ে মূলের নীচে দুটি কমিয়ে সংখ্যাটিকে সরলীকরণ করা যেতে পারে:

এখন, কাজের মূল অনুযায়ী:

.

সংখ্যায় আমরা দুটিকে মূল চিহ্ন হিসাবে বের করি:

এবং আমরা মূল সূত্রের মূল ব্যবহার করে অভিব্যক্তিটি মোকাবেলা করি:

সুতরাং, প্রথম ফ্যাক্টরটি এভাবে লেখা হবে:

নীড়ের শিকড়গুলি অদৃশ্য হয়ে গেছে, সংখ্যাগুলি ছোট হয়ে গেছে, যা ইতিমধ্যেই আনন্দদায়ক। এটা ঠিক যে শিকড়গুলি আলাদা, তবে আমরা আপাতত সেভাবেই ছেড়ে দেব। যদি প্রয়োজন হয়, আমরা সেগুলিকে একইগুলিতে রূপান্তর করব। দ্বিতীয় ফ্যাক্টর নেওয়া যাক।)

আমরা দ্বিতীয় ফ্যাক্টরটিকে একইভাবে রূপান্তর করি, পণ্যের মূল এবং মূলের মূলের সূত্র ব্যবহার করে। যেখানে প্রয়োজন, আমরা পঞ্চম সূত্র ব্যবহার করে সূচকগুলি হ্রাস করি:

আমরা মূল উদাহরণে সবকিছু পেস্ট করি এবং পাই:

আমরা সম্পূর্ণ ভিন্ন শিকড় একটি সম্পূর্ণ গুচ্ছ পণ্য পেয়েছিলাম. সেগুলিকে একটি সূচকে আনতে ভাল হবে, এবং তারপরে আমরা দেখব। ওয়েল, এটা বেশ সম্ভব. মূল সূচকগুলির মধ্যে সবচেয়ে বড় হল 12, এবং বাকি সবগুলি - 2, 3, 4, 6 - 12 নম্বরের ভাজক৷ অতএব, আমরা পঞ্চম বৈশিষ্ট্য অনুসারে সমস্ত মূলকে একটি সূচক - 12-এ কমিয়ে দেব:

আমরা গণনা এবং পাই:

আমরা একটি সুন্দর নম্বর পাইনি, কিন্তু এটা ঠিক আছে। আমাদের জিজ্ঞাসা করা হয়েছিল সহজতর করাঅভিব্যক্তি, না গণনা. সরলীকৃত? অবশ্যই! এবং উত্তরের ধরন (পূর্ণসংখ্যা বা না) এখানে আর কোন ভূমিকা পালন করে না।

কিছু যোগ/বিয়োগ এবং সংক্ষিপ্ত গুণের সূত্র

দুর্ভাগ্যবশত, জন্য সাধারণ সূত্র শিকড় যোগ এবং বিয়োগগণিতে না। যাইহোক, কাজগুলিতে শিকড় সহ এই ক্রিয়াগুলি প্রায়শই পাওয়া যায়। এখানে এটা বোঝা দরকার যে যেকোন শিকড় হল বীজগণিতের অক্ষরগুলির মতো ঠিক একই গাণিতিক চিহ্ন।) এবং একই কৌশল এবং নিয়মগুলি শিকড়ের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য - অক্ষর খোলার বন্ধনী, অনুরূপগুলি আনা, সংক্ষিপ্ত গুণের সূত্র ইত্যাদি।

উদাহরণস্বরূপ, এটি প্রত্যেকের কাছে পরিষ্কার। অনুরূপ একইশিকড় একে অপরের সাথে যোগ/বিয়োগ করা যায় বেশ সহজে:

যদি শিকড়গুলি ভিন্ন হয়, তাহলে আমরা একটি গুণক যোগ/বিয়োগ করে বা পঞ্চম বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে তাদের একই করার উপায় খুঁজি। যদি এটি কোনও উপায়ে সরলীকৃত না হয় তবে সম্ভবত রূপান্তরগুলি আরও ধূর্ত।

এর প্রথম উদাহরণ তাকান.

অভিব্যক্তির অর্থ খুঁজুন: .

তিনটি শিকড়, যদিও ঘন, থেকে ভিন্নসংখ্যা এগুলি বিশুদ্ধভাবে আহরণ করা হয় না এবং একে অপরের থেকে যোগ/বিয়োগ করা হয়। অতএব, সাধারণ সূত্রের ব্যবহার এখানে কাজ করে না। আমার কি করা উচিৎ? আসুন প্রতিটি মূলের উপাদানগুলি বের করি। যাই হোক না কেন, এটি খারাপ হবে না।) তাছাড়া, আসলে, অন্য কোন বিকল্প নেই:

এটাই, .

এটাই সমাধান। এখানে আমরা সাহায্যে বিভিন্ন শিকড় থেকে একই দিকে চলে এসেছি মূলের নীচে থেকে গুণক অপসারণ করা হচ্ছে. এবং তারপরে তারা কেবল অনুরূপ নিয়ে এসেছিল।) আমরা আরও সিদ্ধান্ত নিই।

একটি অভিব্যক্তির মান খুঁজুন:

সতের রুট সম্পর্কে আপনি কিছুই করতে পারবেন না। আমরা প্রথম সম্পত্তি অনুসারে কাজ করি - আমরা দুটি শিকড়ের পণ্য থেকে একটি মূল তৈরি করি:

এখন এর একটি ঘনিষ্ঠ তাকান করা যাক. আমাদের বড় ঘনমূলের নিচে কি আছে? পার্থক্য হল কোয়া... আচ্ছা, অবশ্যই! বর্গক্ষেত্রের পার্থক্য:

এখন যা অবশিষ্ট থাকে তা হল মূল বের করা: .

গণনা করুন:

এখানে আপনাকে গাণিতিক চাতুর্য দেখাতে হবে।) আমরা প্রায় নিম্নরূপ মনে করি: “সুতরাং, উদাহরণে, শিকড়ের গুণফল। একটি মূলের নীচে পার্থক্য, এবং অন্যটির নীচে যোগফল। বর্গাকার সূত্রের পার্থক্যের সাথে খুব মিল। কিন্তু... শিকড় ভিন্ন! প্রথমটি বর্গাকার, এবং দ্বিতীয়টি চতুর্থ ডিগ্রির... তাদের একই করা ভালো হবে। পঞ্চম বৈশিষ্ট্য অনুসারে, আপনি সহজেই একটি বর্গমূল থেকে চতুর্থ মূল তৈরি করতে পারেন। এটি করার জন্য, এটি র্যাডিকাল অভিব্যক্তি বর্গ করা যথেষ্ট।"

আপনি যদি একই বিষয়ে চিন্তা করেন, তাহলে আপনি সাফল্যের অর্ধেক পথ। একদম ঠিক! প্রথম ফ্যাক্টরটিকে চতুর্থ মূলে পরিণত করা যাক। এটার মত:

এখন, কিছু করার নেই, তবে আপনাকে পার্থক্যের বর্গক্ষেত্রের সূত্রটি মনে রাখতে হবে। শুধুমাত্র যখন শিকড় প্রয়োগ করা হয়। তাতে কি? কেন শিকড় অন্যান্য সংখ্যা বা রাশির চেয়ে খারাপ?! আমরা বানাই:

"হুম, ভাল, তারা এটি খাড়া করেছে, তাই কি? ঘোড়া মুলার চেয়ে মিষ্টি নয়। থামো! আর মূলের নিচের চারটি বের করলে? তারপরে একই অভিব্যক্তিটি দ্বিতীয় মূলের নীচে হিসাবে আবির্ভূত হবে, শুধুমাত্র একটি বিয়োগ সহ, এবং এটিই ঠিক যা আমরা অর্জন করার চেষ্টা করছি!"

ঠিক! চারটি নেওয়া যাক:

.

এবং এখন - প্রযুক্তির বিষয়:

এইভাবে জটিল উদাহরণগুলিকে অস্পষ্ট করা হয়।) এখন ভগ্নাংশের সাথে অনুশীলন করার সময়।

গণনা করুন:

এটা স্পষ্ট যে লবকে রূপান্তর করতে হবে। কিভাবে? অবশ্যই যোগফলের বর্গক্ষেত্রের সূত্র ব্যবহার করে। আমাদের কি অন্য কোন বিকল্প আছে? :) আমরা এটিকে বর্গাকার করি, কারণগুলি বের করি, সূচকগুলি হ্রাস করি (যেখানে প্রয়োজন):

কি দারুন! আমরা আমাদের ভগ্নাংশের ঠিক হর পেয়েছি।) এর মানে হল পুরো ভগ্নাংশটি স্পষ্টতই একের সমান:

আরেকটি উদাহরণ. শুধুমাত্র এখন সংক্ষিপ্ত গুণের জন্য অন্য সূত্রে।)

গণনা করুন:

এটা স্পষ্ট যে পার্থক্যের বর্গক্ষেত্রটি অনুশীলনে ব্যবহার করা আবশ্যক। আমরা আলাদাভাবে হর লিখি এবং - চলুন!

আমরা শিকড়ের নীচে থেকে কারণগুলি বের করি:

তাই,

এখন খারাপ সবকিছু দুর্দান্তভাবে হ্রাস পেয়েছে এবং দেখা যাচ্ছে:

আচ্ছা, এর পরবর্তী স্তরে নিয়ে যাওয়া যাক। :)

চিঠি এবং অতিরিক্ত শর্তাবলী

শিকড় সহ আক্ষরিক অভিব্যক্তিগুলি সংখ্যাসূচক অভিব্যক্তির চেয়ে একটি জটিল জিনিস এবং বিরক্তিকর এবং খুব গুরুতর ত্রুটির একটি অক্ষয় উৎস। আসুন এই উত্সটি বন্ধ করি।) ত্রুটিগুলি দেখা দেয় এই কারণে যে এই ধরনের কাজগুলিতে প্রায়ই নেতিবাচক সংখ্যা এবং অভিব্যক্তি জড়িত থাকে। তারা হয় আমাদের সরাসরি টাস্ক দেওয়া হয়, অথবা লুকানো হয় অক্ষর এবং অতিরিক্ত শর্তাবলী. এবং শিকড় নিয়ে কাজ করার প্রক্রিয়ায়, আমাদের ক্রমাগত মনে রাখতে হবে যে শিকড়ের মধ্যে রয়েছে এমনকি ডিগ্রিউভয়ই মূলের নীচে এবং মূল নিষ্কাশনের ফলে সেখানে থাকা উচিত অ-নেতিবাচক অভিব্যক্তি. এই অনুচ্ছেদের কাজের মূল সূত্রটি হবে চতুর্থ সূত্র:

বিজোড় ডিগ্রীর শিকড় সহ কোন প্রশ্ন নেই - সবকিছু সবসময় ইতিবাচক এবং নেতিবাচক উভয়ই বের করা হয়। এবং বিয়োগ, যদি কিছু, সামনে আনা হয়. চলুন সরাসরি শিকড় পেতে এমন কিডিগ্রি।) যেমন একটি ছোট কাজ।

সহজতর করা: , যদি .

এটা মনে হবে যে সবকিছু সহজ। এটা শুধু X হতে চালু হবে.) কিন্তু তারপর কেন অতিরিক্ত শর্ত? এই ধরনের ক্ষেত্রে, সংখ্যা দিয়ে অনুমান করা দরকারী। সম্পূর্ণরূপে আমার জন্য.) যদি, তাহলে x স্পষ্টতই একটি ঋণাত্মক সংখ্যা। বিয়োগ তিন, উদাহরণস্বরূপ. বা মাইনাস চল্লিশ। দিন . আপনি কি বিয়োগ তিন থেকে চতুর্থ শক্তি বাড়াতে পারবেন? অবশ্যই! ফলাফল 81। 81-এর চতুর্থ মূল বের করা কি সম্ভব? কেন না? করতে পারা! আপনি তিনটি পাবেন। এখন আমাদের সম্পূর্ণ চেইন বিশ্লেষণ করা যাক:

আমরা কি দেখতে পাচ্ছি? ইনপুট একটি ঋণাত্মক সংখ্যা ছিল, এবং আউটপুট ইতিমধ্যেই ইতিবাচক ছিল. এটা ছিল বিয়োগ তিন, এখন এটা প্লাস থ্রি।) আসুন অক্ষরে ফিরে আসি। নিঃসন্দেহে, মডুলো এটি ঠিক X হবে, কিন্তু শুধুমাত্র X নিজেই বিয়োগ (শর্ত অনুসারে!), এবং নিষ্কাশনের ফলাফল (পাটিগণিত মূলের কারণে!) প্লাস হতে হবে। কিভাবে একটি প্লাস পেতে? খুব সহজ! এটি করার জন্য, একটি সুস্পষ্টভাবে নেতিবাচক সংখ্যার সামনে একটি বিয়োগ রাখুন।) এবং সঠিক সমাধানটি এইরকম দেখাচ্ছে:

যাইহোক, যদি আমরা সূত্রটি ব্যবহার করি, তাহলে, একটি মডিউলের সংজ্ঞাটি মনে রেখে, আমরা অবিলম্বে সঠিক উত্তর পেয়ে যাব। কারন

|x| = -x এ x<0.

মূল চিহ্ন থেকে ফ্যাক্টরটি বের করুন: , কোথায় .

প্রথম নজরে আমূল অভিব্যক্তি। এখানে সবকিছু ঠিক আছে. যে কোন ক্ষেত্রে, এটি অ-নেতিবাচক হবে। এর নিষ্কাশন শুরু করা যাক. একটি পণ্যের মূলের সূত্র ব্যবহার করে, আমরা প্রতিটি ফ্যাক্টরের মূল বের করি:

আমি মনে করি না যে মডিউলগুলি কোথা থেকে এসেছে তা ব্যাখ্যা করার দরকার আছে।) এখন আসুন প্রতিটি মডিউল বিশ্লেষণ করি।

গুণক | ক | আমরা এটি অপরিবর্তিত রেখেছি: চিঠির জন্য আমাদের কোন শর্ত নেইক. আমরা জানি না এটা ইতিবাচক নাকি নেতিবাচক। পরবর্তী মডিউল |খ 2 | নিরাপদে বাদ দেওয়া যেতে পারে: যেকোনো ক্ষেত্রে, অভিব্যক্তিখ 2 অ নেতিবাচক কিন্তু সম্পর্কে |গ 3 | - এখানে ইতিমধ্যে একটি সমস্যা আছে।) যদি, তারপর গ 3 <0. Стало быть, модуль надо раскрыть একটি বিয়োগ সঙ্গে: | গ 3 | = - গ 3 . মোট, সঠিক সমাধান হবে:

এবং এখন - বিপরীত সমস্যা। সবচেয়ে সহজ নয়, আমি এখনই আপনাকে সতর্ক করছি!

মূলের চিহ্নের নীচে একটি গুণক লিখুন: .

তাহলে সাথে সাথে সমাধান লিখে ফেলুন এভাবে

তারপর আপনি একটি ফাঁদে পড়ে. এই ভুল সিদ্ধান্ত! কি ব্যাপার?

আসুন মূলের নীচে অভিব্যক্তিটি ঘনিষ্ঠভাবে দেখি। চতুর্থ ডিগ্রির মূলের নীচে, যেমনটি আমরা জানি, সেখানে থাকা উচিত অ নেতিবাচকঅভিব্যক্তি অন্যথায়, মূলের কোন অর্থ নেই।) তাই এবং এর মানে হল যে এবং, তাই, নিজেই অ-ইতিবাচক: .

এবং এখানে ভুল হল যে আমরা মূলে পরিচয় করিয়ে দিচ্ছি অ ইতিবাচকসংখ্যা: চতুর্থ ডিগ্রি এটিকে পরিণত করে অ নেতিবাচকএবং ভুল ফলাফল প্রাপ্ত হয় - বামদিকে একটি ইচ্ছাকৃত বিয়োগ রয়েছে এবং ডানদিকে ইতিমধ্যে একটি প্লাস রয়েছে। এবং মূলে প্রয়োগ করুন এমন কিডিগ্রী আমাদের অধিকার আছে শুধুমাত্র অ নেতিবাচকসংখ্যা বা অভিব্যক্তি। এবং বিয়োগটি ছেড়ে দিন, যদি একটি থাকে তবে মূলের সামনে।) আমরা কীভাবে সংখ্যার একটি অ-নেতিবাচক গুণক সনাক্ত করতে পারি?, বুদ্ধিমান যে এটি নিজেই সম্পূর্ণ নেতিবাচক? হ্যাঁ, ঠিক একই! একটি বিয়োগ রাখুন।) এবং যাতে কিছুই পরিবর্তন না হয়, অন্য একটি বিয়োগ দিয়ে এটির জন্য ক্ষতিপূরণ দিন। এটার মত:

এবং এখন ইতিমধ্যে অ নেতিবাচকআমরা শান্তভাবে সমস্ত নিয়ম অনুসারে মূলের নীচে সংখ্যা (-b) লিখি:

এই উদাহরণটি স্পষ্টভাবে দেখায় যে, গণিতের অন্যান্য শাখার বিপরীতে, মূলে সঠিক উত্তর সবসময় সূত্র থেকে স্বয়ংক্রিয়ভাবে অনুসরণ করে না। আপনাকে চিন্তা করতে হবে এবং ব্যক্তিগতভাবে সঠিক সিদ্ধান্ত নিতে হবে।) আপনাকে বিশেষ করে সাইন ইনের ব্যাপারে আরও সতর্ক হওয়া উচিত অযৌক্তিক সমীকরণ এবং অসমতা.

শিকড় দিয়ে কাজ করার সময় পরবর্তী গুরুত্বপূর্ণ কৌশলটি দেখা যাক - অযৌক্তিকতা পরিত্রাণ.

ভগ্নাংশে অযৌক্তিকতা দূর করা

অভিব্যক্তি শিকড় ধারণ করে, তাহলে, আমি আপনাকে মনে করিয়ে দেওয়া যাক, যেমন একটি অভিব্যক্তি বলা হয় অযৌক্তিকতার সাথে অভিব্যক্তি. কিছু ক্ষেত্রে, এই খুব অযৌক্তিকতা (অর্থাৎ শিকড়) থেকে পরিত্রাণ পেতে এটি কার্যকর হতে পারে। কিভাবে আপনি মূল নির্মূল করতে পারেন? আমাদের মূল অদৃশ্য হয়ে যায় যখন... একটি শক্তিতে উত্থিত হয়। একটি সূচকের সাথে হয় মূল নির্দেশকের সমান বা এটির একাধিক। কিন্তু, যদি আমরা মূলটিকে একটি শক্তিতে বাড়াই (অর্থাৎ মূলটিকে প্রয়োজনীয় সংখ্যক বার গুণ করি), তাহলে অভিব্যক্তিটি পরিবর্তিত হবে। ভাল না।) যাইহোক, গণিতে এমন বিষয় রয়েছে যেখানে গুণন বেশ ব্যথাহীন। ভগ্নাংশে, উদাহরণস্বরূপ। ভগ্নাংশের মৌলিক বৈশিষ্ট্য অনুসারে, লব এবং হরকে একই সংখ্যা দ্বারা গুণ (ভাগ) করলে ভগ্নাংশের মান পরিবর্তন হবে না।

ধরা যাক আমাদের এই ভগ্নাংশ দেওয়া হয়েছে:

এটা হর মধ্যে মূল পরিত্রাণ পেতে সম্ভব? করতে পারা! এটি করার জন্য, মূল কিউব করা আবশ্যক। আমরা একটি পূর্ণ ঘনক জন্য হর অনুপস্থিত কি? আমরা একটি গুণক মিস করছি, যেমন. সুতরাং আমরা ভগ্নাংশের লব এবং হরকে দ্বারা গুণ করি

হর এর মূল অদৃশ্য হয়ে গেছে। কিন্তু... সে অংকের মধ্যে হাজির হল। কিছুই করা যায় না, ভাগ্য এমনই।) এটি আমাদের কাছে আর গুরুত্বপূর্ণ নয়: আমাদের শিকড় থেকে হরকে মুক্ত করতে বলা হয়েছিল। মুক্তি? নিঃসন্দেহে।)

যাইহোক, যারা ইতিমধ্যেই ত্রিকোণমিতির সাথে স্বাচ্ছন্দ্য বোধ করেন তারা এই বিষয়টিতে মনোযোগ দিয়েছেন যে কিছু পাঠ্যপুস্তক এবং টেবিলে, উদাহরণস্বরূপ, তারা আলাদাভাবে মনোনীত করেছেন: কোথাও , এবং কোথাও। প্রশ্ন হল- ঠিক কি? উত্তর: সবকিছু সঠিক!) যদি আপনি অনুমান করেন- এটি কেবল ভগ্নাংশের হরকে অযৌক্তিকতা থেকে মুক্তির ফলাফল. :)

আমরা কেন ভগ্নাংশে অযৌক্তিকতা থেকে নিজেদের মুক্ত করব? এটা কি পার্থক্য তৈরি করে - মূলটি লব বা হরে? ক্যালকুলেটর যাই হোক না কেন সবকিছু গণনা করবে।) ঠিক আছে, যারা ক্যালকুলেটরের সাথে অংশ নেন না, তাদের জন্য কার্যত কোন পার্থক্য নেই... তবে এমনকি একটি ক্যালকুলেটর গণনা করলেও, আপনি এই বিষয়টিতে মনোযোগ দিতে পারেন যে বিভক্ত করাচালু সম্পূর্ণসংখ্যা সবসময় আরো সুবিধাজনক এবং দ্রুত অযৌক্তিক. এবং আমি একটি কলামে বিভাজন সম্পর্কে নীরব থাকব।)

নিম্নলিখিত উদাহরণ শুধুমাত্র আমার কথা নিশ্চিত করবে.

কিভাবে আমরা এখানে হর এর বর্গমূল নির্মূল করতে পারি? যদি লব এবং হরকে রাশি দ্বারা গুণ করা হয়, তাহলে হরটি যোগফলের বর্গ হবে। প্রথম এবং দ্বিতীয় সংখ্যার বর্গক্ষেত্রের যোগফল আমাদেরকে কোনো মূল ছাড়াই শুধু সংখ্যা দেবে, যা খুবই আনন্দদায়ক। যাইহোক... এটা পপ আপ হবে দ্বিগুণ পণ্যপ্রথম সংখ্যা থেকে দ্বিতীয়, যেখানে তিনটির মূল এখনও থাকবে। এটা চ্যানেল না. আমার কি করা উচিৎ? সংক্ষিপ্ত গুণের জন্য আরেকটি চমৎকার সূত্র মনে রাখবেন! যেখানে কোন দ্বিগুণ পণ্য নেই, কিন্তু শুধুমাত্র বর্গক্ষেত্র:

একটি অভিব্যক্তি যা একটি নির্দিষ্ট যোগফল (বা পার্থক্য) দ্বারা গুণ করলে উৎপন্ন হয় বর্গক্ষেত্রের পার্থক্য, বলা সংযোজিত অভিব্যক্তি. আমাদের উদাহরণে, কনজুগেট এক্সপ্রেশন পার্থক্য হবে। সুতরাং আমরা এই পার্থক্য দ্বারা লব এবং হরকে গুণ করি:

আমি কি বলতে পারি? আমাদের ম্যানিপুলেশনের ফলস্বরূপ, কেবল হরটির মূলটিই অদৃশ্য হয়নি, ভগ্নাংশটি সম্পূর্ণরূপে অদৃশ্য হয়ে গেছে! :) এমনকি একটি ক্যালকুলেটর দিয়েও, তিনটি থেকে তিনটির মূল বিয়োগ করা হর-এ মূলের সাথে একটি ভগ্নাংশ গণনা করার চেয়ে সহজ। আরেকটি উদাহরণ.

ভগ্নাংশের অযৌক্তিকতা থেকে নিজেকে মুক্ত করুন:

এ থেকে কিভাবে বের হওয়া যায়? বর্গক্ষেত্রের সাথে সংক্ষিপ্ত গুণের জন্য সূত্রগুলি এখনই কাজ করে না - এই সময় আমাদের মূল বর্গ নয়, তবে মূলগুলি সম্পূর্ণরূপে নির্মূল করা সম্ভব হবে না ঘন. এটি প্রয়োজনীয় যে রুটটি কোনওভাবে একটি ঘনক্ষেত্রে উত্থাপিত হয়। অতএব, কিউব সহ একটি সূত্র ব্যবহার করতে হবে। কোনটি? আসুন এটা নিয়ে ভাবি। হর হল সমষ্টি। কিভাবে আমরা মূলের ঘনক অর্জন করতে পারি? গুন করা আংশিক বর্গ পার্থক্য! সুতরাং, আমরা সূত্রটি প্রয়োগ করব কিউবের সমষ্টি. এইটা:

হিসাবে কআমরা তিনটি আছে, এবং একটি গুণ হিসাবে খ- পাঁচটির ঘনমূল:

এবং আবার ভগ্নাংশটি অদৃশ্য হয়ে গেল।) এই ধরনের পরিস্থিতি, যখন ভগ্নাংশের হরকে অযৌক্তিকতা থেকে মুক্ত করা হয়, ভগ্নাংশটি নিজেই শিকড় সহ সম্পূর্ণরূপে অদৃশ্য হয়ে যায়, প্রায়শই ঘটে। আপনি এই উদাহরণ কিভাবে পছন্দ করেন!

গণনা করুন:

শুধু এই তিনটি ভগ্নাংশ যোগ করার চেষ্টা করুন! কোন ভুল নেই! :) এক সাধারণ হর এর মূল্য। আমরা যদি প্রতিটি ভগ্নাংশের অযৌক্তিকতা থেকে নিজেদেরকে মুক্ত করার চেষ্টা করি? আচ্ছা, আসুন চেষ্টা করি:

বাহ, কত আকর্ষণীয়! সব ভগ্নাংশ চলে গেছে! সম্পূর্ণরূপে। এবং এখন উদাহরণ দুটি উপায়ে সমাধান করা যেতে পারে:

সহজ এবং মার্জিত. এবং দীর্ঘ এবং ক্লান্তিকর হিসাব ছাড়াই। :)

সেজন্য ভগ্নাংশে অযৌক্তিকতা থেকে মুক্তির কাজটি করতে হবে। এই ধরনের পরিশীলিত উদাহরণগুলিতে, এটি একমাত্র জিনিস যা বাঁচায়, হ্যাঁ।) অবশ্যই, কেউ মনোযোগীতা বাতিল করেনি। এমন কিছু কাজ আছে যেখানে আপনাকে অযৌক্তিকতা থেকে পরিত্রাণ পেতে বলা হয়েছে অংক. এই কাজগুলি বিবেচনা করা থেকে আলাদা নয়, শুধুমাত্র অংকটি শিকড় থেকে পরিষ্কার করা হয়।)

আরও জটিল উদাহরণ

শিকড়ের সাথে কাজ করার জন্য কিছু বিশেষ কৌশল বিবেচনা করা এবং সহজতম উদাহরণগুলি না করে অট্যাংলিং অনুশীলন করা বাকি রয়েছে। এবং তারপরে প্রাপ্ত তথ্যগুলি যে কোনও স্তরের জটিলতার শিকড় দিয়ে কাজগুলি সমাধান করার জন্য যথেষ্ট হবে। তাই - এগিয়ে যান।) প্রথমত, রুট থেকে রুট ফর্মুলা কাজ না করলে নেস্টেড রুট দিয়ে কী করতে হবে তা বের করা যাক। উদাহরণস্বরূপ, এখানে একটি উদাহরণ.

গণনা করুন:

মূলটি মূলের নীচে... তদুপরি, মূলের নীচে যোগফল বা পার্থক্য। অতএব, মূলের মূলের সূত্রটি (সূচকের গুন সহ) এখানে এটা কাজ করে না. তাই কিছু একটা করা দরকার আমূল অভিব্যক্তি: আমাদের কাছে অন্য কোনো বিকল্প নেই। এই ধরনের উদাহরণে, প্রায়শই বড় রুট এনক্রিপ্ট করা হয় পারফেক্ট বর্গকিছু পরিমাণ বা পার্থক্য। এবং বর্গক্ষেত্রের মূল ইতিমধ্যেই পুরোপুরি নিষ্কাশিত! এবং এখন আমাদের কাজ এটি ডিক্রিপ্ট করা।) এই ধরনের ডিক্রিপশন সুন্দরভাবে করা হয় সমীকরণ সিস্টেম. এখন আপনি নিজের জন্য সবকিছু দেখতে পাবেন।)

সুতরাং, প্রথম রুটের অধীনে আমাদের এই অভিব্যক্তি রয়েছে:

যদি আপনি সঠিক অনুমান না করেন? এর চেক করা যাক! আমরা যোগফলের বর্গক্ষেত্রের সূত্র ব্যবহার করে এটিকে বর্গ করি:

এটা ঠিক।) কিন্তু... আমি এই অভিব্যক্তি কোথা থেকে পেলাম? আকাশ থেকে?

না।) আমরা সততার সাথে এটিকে একটু কম পাব। সহজভাবে এই অভিব্যক্তিটি ব্যবহার করে, আমি দেখাই যে কীভাবে টাস্ক লেখকরা এই ধরনের স্কোয়ারগুলিকে এনক্রিপ্ট করে। :) 54 কি? এই প্রথম এবং দ্বিতীয় সংখ্যার বর্গক্ষেত্রের যোগফল. এবং, মনোযোগ দিতে, ইতিমধ্যে শিকড় ছাড়া! এবং মূলটি থাকে দ্বিগুণ পণ্য, যা আমাদের ক্ষেত্রে সমান। অতএব, এই জাতীয় উদাহরণগুলি উন্মোচন করা শুরু হয় দ্বিগুণ পণ্যের সন্ধানের মাধ্যমে। যদি আপনি স্বাভাবিক নির্বাচন সঙ্গে unravel. এবং, উপায় দ্বারা, লক্ষণ সম্পর্কে. এখানে সবকিছু সহজ. দ্বিগুণের আগে যোগ থাকলে যোগফলের বর্গ। যদি এটি একটি বিয়োগ হয়, তাহলে পার্থক্য।) আমাদের একটি প্লাস আছে - এর অর্থ যোগফলের বর্গ।) এবং এখন - ডিকোডিংয়ের প্রতিশ্রুত বিশ্লেষণাত্মক পদ্ধতি। সিস্টেমের মাধ্যমে।)

সুতরাং, আমাদের মূলের নীচে অভিব্যক্তিটি স্পষ্টভাবে ঝুলে আছে (a+b) 2, এবং আমাদের টাস্ক খুঁজে বের করা হয় কএবং খ. আমাদের ক্ষেত্রে, বর্গক্ষেত্রের যোগফল 54 দেয়। তাই আমরা লিখি:

এখন পণ্য দ্বিগুণ করুন। আমাদের এটা আছে. তাই আমরা এটি লিখি:

আমরা এই সিস্টেম পেয়েছি:

আমরা স্বাভাবিক প্রতিস্থাপন পদ্ধতি দ্বারা সমাধান. আমরা দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে প্রকাশ করি, উদাহরণস্বরূপ, এবং এটিকে প্রথমটিতে প্রতিস্থাপন করি:

আসুন প্রথম সমীকরণটি সমাধান করি:

পেয়েছি দ্বিচক্রীয়সমীকরণ আপেক্ষিকক . আমরা বৈষম্যকারী গণনা করি:

মানে,

আমরা চারটি সম্ভাব্য মান পেয়েছিক. আমরা ভয় পাই না। এখন আমরা সমস্ত অপ্রয়োজনীয় জিনিস আউট করব।) এখন আমরা যদি চারটি পাওয়া মানের প্রতিটির জন্য সংশ্লিষ্ট মানগুলি গণনা করি, তাহলে আমরা আমাদের সিস্টেমের চারটি সমাধান পাব। এখানে তারা:

এবং এখানে প্রশ্ন হল - কোন সমাধান আমাদের জন্য সঠিক? আসুন এটা নিয়ে ভাবি। নেতিবাচক সমাধানগুলি অবিলম্বে বাতিল করা যেতে পারে: স্কোয়ার করার সময়, বিয়োগগুলি "বার্ন আউট" হয়ে যাবে এবং সামগ্রিকভাবে সম্পূর্ণ র্যাডিকেল অভিব্যক্তি পরিবর্তন হবে না।) প্রথম দুটি বিকল্প অবশিষ্ট রয়েছে। আপনি সেগুলিকে সম্পূর্ণ নির্বিচারে বেছে নিতে পারেন: পদগুলিকে পুনর্বিন্যাস করলেও যোগফল পরিবর্তন হয় না।) ধরুন, উদাহরণস্বরূপ, , a .

মোট, আমরা মূলের নীচে নিম্নলিখিত যোগফলের বর্গ পেয়েছি:

সবকিছু পরিষ্কার.)

আমি এই ধরনের বিস্তারিতভাবে সিদ্ধান্তের প্রক্রিয়া বর্ণনা করার জন্য কিছুই নয়। কিভাবে ডিক্রিপশন ঘটে তা পরিষ্কার করার জন্য।) কিন্তু একটি সমস্যা আছে। ডিকোডিংয়ের বিশ্লেষণাত্মক পদ্ধতি, যদিও নির্ভরযোগ্য, খুব দীর্ঘ এবং কষ্টকর: আপনাকে একটি দ্বিগুণ সমীকরণ সমাধান করতে হবে, সিস্টেমের চারটি সমাধান পেতে হবে এবং তারপরেও চিন্তা করতে হবে কোনটি বেছে নেবেন... সমস্যা হচ্ছে? আমি সম্মত, এটা কষ্টকর. এই পদ্ধতিটি এই উদাহরণগুলির অধিকাংশের মধ্যে নির্দোষভাবে কাজ করে। যাইহোক, খুব প্রায়ই আপনি নিজেকে অনেক কাজ বাঁচাতে পারেন এবং সৃজনশীলভাবে উভয় সংখ্যা খুঁজে পেতে পারেন। নির্বাচনের মাধ্যমে।) হ্যাঁ, হ্যাঁ! এখন, দ্বিতীয় পদের (দ্বিতীয় রুট) উদাহরণ ব্যবহার করে, আমি মূলের নীচে সম্পূর্ণ বর্গকে বিচ্ছিন্ন করার একটি সহজ এবং দ্রুত উপায় দেখাব।

তাই এখন আমাদের এই রুট আছে: .

আসুন এই মত চিন্তা করা যাক: “মূলের নীচে সম্ভবত একটি এনক্রিপ্ট করা সম্পূর্ণ বর্গক্ষেত্র। একবার দ্বিগুণের আগে একটি বিয়োগ হলে, এর অর্থ পার্থক্যের বর্গ। প্রথম এবং দ্বিতীয় সংখ্যার বর্গক্ষেত্রের যোগফল আমাদের সংখ্যা দেয় 54. কিন্তু এই বর্গ কি ধরনের? 1 এবং 53? 49 এবং 5 ? অনেকগুলি বিকল্প আছে... না, দ্বিগুণ পণ্যের সাথে অট্যাংলিং শুরু করা ভাল। আমাদেরহিসাবে লেখা যেতে পারে। একবার পণ্য দ্বিগুণ, তারপর আমরা অবিলম্বে দুটি বাতিল. তারপর ভূমিকা জন্য প্রার্থী a এবং b থাকে 7 এবং . এটা 14 হলে কি হবে এবং/2 ? এটা সম্ভব. কিন্তু আমরা সবসময় সহজ কিছু দিয়ে শুরু করি!”সুতরাং, যাক, একটি . বর্গের যোগফলের জন্য তাদের পরীক্ষা করা যাক:

ঘটেছিলো! এর মানে হল যে আমাদের আমূল অভিব্যক্তি আসলে পার্থক্যের বর্গ:

সিস্টেমের সাথে জগাখিচুড়ি এড়াতে এখানে একটি হালকা উপায়। এটি সবসময় কাজ করে না, তবে এই উদাহরণগুলির অনেকগুলিতে এটি যথেষ্ট যথেষ্ট। সুতরাং, শিকড় অধীনে সম্পূর্ণ বর্গক্ষেত্র আছে। যা অবশিষ্ট থাকে তা হল সঠিকভাবে শিকড় বের করা এবং উদাহরণটি গণনা করা:

এখন আসুন শিকড়ের আরও একটি অ-মানক কাজ দেখি।)

প্রমাণ করুন যে A সংখ্যাটি- পূর্ণসংখ্যা, যদি .

কিছুই সরাসরি নিষ্কাশন করা হয় না, শিকড় এমবেড করা হয়, এমনকি বিভিন্ন মাত্রার... একটি দুঃস্বপ্ন! যাইহোক, টাস্কটি বোধগম্য হয়।) অতএব, এটি সমাধান করার জন্য একটি চাবিকাঠি রয়েছে।) এবং এখানে মূল বিষয় হল এটি। আমাদের সমতা বিবেচনা করুন

কিভাবে সমীকরণ আপেক্ষিক ক. হ্যা হ্যা! এটি শিকড় পরিত্রাণ পেতে ভাল হবে। আমাদের শিকড় কিউবিক, তাই আসুন সমীকরণের উভয় দিক ঘনক করি। সূত্র অনুযায়ী যোগফলের ঘনক:

কিউব এবং কিউবিক মূল একে অপরকে বাতিল করে দেয় এবং প্রতিটি বড় মূলের নীচে আমরা বর্গ থেকে একটি বন্ধনী নিই এবং পার্থক্যের গুণফল এবং যোগফলকে বর্গক্ষেত্রের পার্থক্যে ভেঙে ফেলি:

আলাদাভাবে, আমরা শিকড়ের নীচে বর্গক্ষেত্রের পার্থক্য গণনা করি:

পাঠের শুরুতে, আমরা বর্গমূলের মৌলিক বৈশিষ্ট্যগুলি পর্যালোচনা করব, এবং তারপর বর্গমূল সমন্বিত অভিব্যক্তির সরলীকরণের বেশ কয়েকটি জটিল উদাহরণ দেখব।

বিষয়:ফাংশন. বর্গমূলের বৈশিষ্ট্য

পাঠ:শিকড় সহ আরও জটিল অভিব্যক্তি রূপান্তর করা এবং সরল করা

1. বর্গমূলের বৈশিষ্ট্য পর্যালোচনা করুন

আসুন সংক্ষেপে তত্ত্বটি পুনরাবৃত্তি করি এবং বর্গমূলের মৌলিক বৈশিষ্ট্যগুলি স্মরণ করি।

বর্গমূলের বৈশিষ্ট্য:

1. অতএব,;

3. ;

4. .

2. শিকড় সহ অভিব্যক্তি সরলীকরণের উদাহরণ

আসুন এই বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করার উদাহরণগুলিতে এগিয়ে যাই।

উদাহরণ 1: একটি অভিব্যক্তি সরল করুন .

সমাধান। সরলীকরণের জন্য, 120 নম্বরটিকে মৌলিক গুণনীয়কগুলির মধ্যে ফ্যাক্টরাইজ করা আবশ্যক:

আমরা উপযুক্ত সূত্র ব্যবহার করে যোগফলের বর্গ প্রকাশ করব:

উদাহরণ 2: একটি অভিব্যক্তি সরল করুন .

সমাধান। আসুন আমরা বিবেচনা করি যে এই অভিব্যক্তিটি ভেরিয়েবলের সমস্ত সম্ভাব্য মানের জন্য অর্থপূর্ণ নয়, যেহেতু এই অভিব্যক্তিতে বর্গমূল এবং ভগ্নাংশ রয়েছে, যা অনুমোদিত মানগুলির পরিসরকে "সংকীর্ণ" করে। ODZ: ().

বন্ধনীতে অভিব্যক্তিটিকে সাধারণ হর-এ নিয়ে আসুন এবং বর্গক্ষেত্রের পার্থক্য হিসাবে শেষ ভগ্নাংশের লব লিখি:

এ.

উত্তর. এ

উদাহরণ 3: একটি অভিব্যক্তি সরল করুন .

সমাধান। এটি দেখা যায় যে দ্বিতীয় সংখ্যার বন্ধনীটির একটি অসুবিধাজনক চেহারা রয়েছে এবং এটি সরলীকরণ করা দরকার; আসুন গ্রুপিং পদ্ধতি ব্যবহার করে এটিকে ফ্যাক্টর করার চেষ্টা করি।

একটি সাধারণ ফ্যাক্টর বের করতে সক্ষম হওয়ার জন্য, আমরা তাদের ফ্যাক্টর করে শিকড়গুলিকে সরলীকৃত করেছি। আসুন মূল ভগ্নাংশে ফলাফলের অভিব্যক্তি প্রতিস্থাপন করি:

ভগ্নাংশ কমানোর পর, আমরা বর্গাকার সূত্রের পার্থক্য প্রয়োগ করি।

3. অযৌক্তিকতা পরিত্রাণ পেতে একটি উদাহরণ

উদাহরণ 4. অযৌক্তিকতা (মূল) থেকে নিজেকে মুক্ত করুন: ক) ; খ)।

সমাধান। ক) হর মধ্যে অযৌক্তিকতা পরিত্রাণ পেতে, একটি ভগ্নাংশের লব এবং হর উভয়কে সংযোজিত গুণকের দ্বারা হরকে গুণ করার আদর্শ পদ্ধতি ব্যবহার করা হয় (একই অভিব্যক্তি, কিন্তু বিপরীত চিহ্ন সহ)। এটি বর্গের পার্থক্যের সাথে ভগ্নাংশের হরকে পরিপূরক করার জন্য করা হয়, যা আপনাকে হর এর শিকড় থেকে মুক্তি পেতে দেয়। আসুন আমাদের ক্ষেত্রে এটি করি:

খ) অনুরূপ কর্ম সম্পাদন করুন:

উত্তর.; .

4. একটি জটিল র্যাডিকেলে একটি সম্পূর্ণ বর্গক্ষেত্রের প্রমাণ এবং সনাক্তকরণের উদাহরণ

উদাহরণ 5. সমতা প্রমাণ করুন .

প্রমাণ। আসুন একটি বর্গমূলের সংজ্ঞাটি ব্যবহার করা যাক, যা থেকে এটি অনুসরণ করে যে ডানদিকের অভিব্যক্তিটির বর্গটি অবশ্যই মূল অভিব্যক্তির সমান হতে হবে:

. যোগফলের বর্গক্ষেত্রের সূত্র ব্যবহার করে বন্ধনী খুলি:

, আমরা সঠিক সমতা পেয়েছি।

প্রমাণিত।

উদাহরণ 6. অভিব্যক্তি সরলীকরণ করুন।

সমাধান। এই অভিব্যক্তিকে সাধারণত একটি জটিল র‌্যাডিকাল (মূলের নীচে মূল) বলা হয়। এই উদাহরণে, আপনাকে র‍্যাডিকাল এক্সপ্রেশন থেকে একটি সম্পূর্ণ বর্গক্ষেত্রকে কীভাবে আলাদা করতে হবে তা বের করতে হবে। এটি করার জন্য, নোট করুন যে দুটি পদের মধ্যে, এটি বর্গীয় পার্থক্যের সূত্রে দ্বিগুণ পণ্যের ভূমিকার জন্য প্রার্থী (পার্থক্য, যেহেতু একটি বিয়োগ আছে)। আসুন আমরা এটিকে নিম্নলিখিত পণ্যের আকারে লিখি: , তারপর 1টি একটি সম্পূর্ণ বর্গক্ষেত্রের একটি পদ বলে দাবি করে এবং 1টি দ্বিতীয়টি বলে দাবি করে৷

আসুন মূলের নীচে এই অভিব্যক্তিটি প্রতিস্থাপন করি।

ক্যালকুলেটরের আগে, ছাত্র এবং শিক্ষকরা হাত দিয়ে বর্গমূল গণনা করে। ম্যানুয়ালি একটি সংখ্যার বর্গমূল গণনা করার বিভিন্ন উপায় রয়েছে। তাদের মধ্যে কিছু শুধুমাত্র একটি আনুমানিক সমাধান অফার করে, অন্যরা একটি সঠিক উত্তর দেয়।

ধাপ

আপনি উত্তর দিবেন

র্যাডিকাল সংখ্যাকে গুণনীয়কগুলিতে পরিণত করুন যা বর্গ সংখ্যা।মৌলিক সংখ্যার উপর নির্ভর করে, আপনি একটি আনুমানিক বা সঠিক উত্তর পাবেন। বর্গ সংখ্যা হল এমন সংখ্যা যা থেকে পুরো বর্গমূল নেওয়া যায়। গুণনীয়ক হল সংখ্যা যেগুলোকে গুণ করলে আসল সংখ্যা দেয়। উদাহরণস্বরূপ, 8 নম্বরের গুণনীয়ক হল 2 এবং 4, যেহেতু 2 x 4 = 8, 25, 36, 49 সংখ্যাগুলি বর্গ সংখ্যা, যেহেতু √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7। বর্গ গুণনীয়ক গুণনীয়ক, যা বর্গ সংখ্যা। প্রথমত, র্যাডিকাল সংখ্যাকে বর্গাকার গুণনীয়কগুলিতে পরিণত করার চেষ্টা করুন।

• উদাহরণস্বরূপ, 400 এর বর্গমূল গণনা করুন (হাতে)। প্রথমে 400 কে বর্গাকার ফ্যাক্টর করার চেষ্টা করুন। 400 হল 100 এর একটি গুণিতক, অর্থাৎ 25 দ্বারা বিভাজ্য - এটি একটি বর্গ সংখ্যা। 400 কে 25 দ্বারা ভাগ করলে আপনি 16 পাবেন। 16 সংখ্যাটিও একটি বর্গ সংখ্যা। এইভাবে, 400 কে 25 এবং 16 এর বর্গাকার গুণনীয়ক, অর্থাৎ 25 x 16 = 400 এর মধ্যে গুণিত করা যেতে পারে।
• এটি নিম্নরূপ লেখা যেতে পারে: √400 = √(25 x 16)।

1. কিছু পদের গুণফলের বর্গমূল প্রতিটি পদের বর্গমূলের গুণফলের সমান, অর্থাৎ √(a x b) = √a x √b। প্রতিটি বর্গ গুণকের বর্গমূল নিতে এই নিয়মটি ব্যবহার করুন এবং উত্তর খুঁজে পেতে ফলাফলগুলিকে গুণ করুন।

   • আমাদের উদাহরণে, 25 এবং 16 এর মূল নিন।
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. যদি র্যাডিকাল সংখ্যা দুটি বর্গ গুণনীয়ক না করে (এবং এটি বেশিরভাগ ক্ষেত্রেই ঘটে), আপনি একটি পূর্ণ সংখ্যার আকারে সঠিক উত্তরটি খুঁজে পেতে সক্ষম হবেন না। কিন্তু আপনি র্যাডিকাল সংখ্যাটিকে একটি বর্গ গুণনীয়ক এবং একটি সাধারণ গুণক (একটি সংখ্যা যেখান থেকে পুরো বর্গমূল নেওয়া যায় না) মধ্যে পচিয়ে সমস্যাটিকে সহজ করতে পারেন। তাহলে আপনি বর্গ গুণনীয়কের বর্গমূল নেবেন এবং সাধারণ গুণনীয়কের মূল নেবেন।

   • উদাহরণস্বরূপ, 147 নম্বরের বর্গমূল গণনা করুন। 147 নম্বরটিকে দুটি বর্গ গুণনীয়ক হিসাবে বিন্যস্ত করা যায় না, তবে এটি নিম্নলিখিত গুণনীয়কগুলিতে গুণিত হতে পারে: 49 এবং 3। নিম্নরূপ সমস্যাটি সমাধান করুন:
     • = √(49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. প্রয়োজনে মূলের মান অনুমান করুন।এখন আপনি মূলের মান অনুমান করতে পারেন (একটি আনুমানিক মান সন্ধান করুন) মূল সংখ্যার সাথে সবচেয়ে কাছাকাছি (সংখ্যা রেখার উভয় পাশে) বর্গ সংখ্যার মূলের মানগুলির সাথে তুলনা করে। আপনি একটি দশমিক ভগ্নাংশ হিসাবে রুট মান পাবেন, যা অবশ্যই মূল চিহ্নের পিছনে থাকা সংখ্যা দ্বারা গুণিত হবে।

   • আমাদের উদাহরণে ফিরে আসা যাক। র্যাডিকাল সংখ্যা হল 3। এর সবচেয়ে কাছের বর্গ সংখ্যা হবে 1 (√1 = 1) এবং 4 (√4 = 2)। সুতরাং, √3-এর মান 1 এবং 2-এর মধ্যে অবস্থিত। যেহেতু √3-এর মান সম্ভবত 1-এর থেকে 2-এর কাছাকাছি, তাই আমাদের অনুমান হল: √3 = 1.7। আমরা এই মানটিকে মূল চিহ্নের সংখ্যা দ্বারা গুণ করি: 7 x 1.7 = 11.9। আপনি যদি একটি ক্যালকুলেটরে গণিত করেন, আপনি 12.13 পাবেন, যা আমাদের উত্তরের বেশ কাছাকাছি।
     • এই পদ্ধতিটি বড় সংখ্যার সাথেও কাজ করে। উদাহরণস্বরূপ, √35 বিবেচনা করুন। র্যাডিকাল সংখ্যা হল 35। এর নিকটতম বর্গ সংখ্যা হবে 25 (√25 = 5) এবং 36 (√36 = 6)। সুতরাং, √35-এর মান 5 এবং 6-এর মধ্যে অবস্থিত। যেহেতু √35-এর মান 5-এর তুলনায় 6-এর অনেক কাছাকাছি (কারণ 36-এর থেকে 35 মাত্র 1 কম), আমরা বলতে পারি যে √35 6-এর থেকে সামান্য কম। ক্যালকুলেটরে চেক করুন আমাদের উত্তর দেয় 5.92 - আমরা ঠিক ছিলাম।

4. অন্য উপায় - র্যাডিকাল সংখ্যাকে মৌলিক গুণনীয়কগুলিতে পরিণত করুন . প্রাইম ফ্যাক্টর হল এমন সংখ্যা যেগুলি শুধুমাত্র 1 এবং নিজেদের দ্বারা বিভাজ্য। একটি সিরিজে মৌলিক গুণনীয়কগুলি লিখুন এবং অভিন্ন গুণনীয়কের জোড়া খুঁজে বের করুন। এই জাতীয় কারণগুলি মূল চিহ্নের বাইরে নেওয়া যেতে পারে।

   • উদাহরণস্বরূপ, 45 এর বর্গমূল গণনা করুন। আমরা মৌলিক সংখ্যাকে মৌলিক গুণনীয়কগুলিতে নির্ণয় করি: 45 = 9 x 5, এবং 9 = 3 x 3। এইভাবে, √45 = √(3 x 3 x 5)। 3 কে মূল চিহ্ন হিসাবে নেওয়া যেতে পারে: √45 = 3√5। এখন আমরা √5 অনুমান করতে পারি।
   • আসুন আরেকটি উদাহরণ দেখি: √88।
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11)। আপনি 2 এর তিনটি গুণক পেয়েছেন; তাদের একটি দম্পতি নিন এবং মূল চিহ্নের বাইরে তাদের সরান।
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11। এখন আপনি √2 এবং √11 মূল্যায়ন করতে পারেন এবং একটি আনুমানিক উত্তর খুঁজে পেতে পারেন।

   বর্গমূল ম্যানুয়ালি গণনা করা হচ্ছে

   দীর্ঘ বিভাগ ব্যবহার করে

   1. এই পদ্ধতিতে দীর্ঘ বিভাজনের অনুরূপ একটি প্রক্রিয়া জড়িত এবং একটি সঠিক উত্তর প্রদান করে।প্রথমে, শীটটিকে দুটি অর্ধে বিভক্ত করে একটি উল্লম্ব রেখা আঁকুন, এবং তারপরে ডানদিকে এবং শীটের উপরের প্রান্তের সামান্য নীচে, উল্লম্ব লাইনে একটি অনুভূমিক রেখা আঁকুন। এখন র্যাডিকাল সংখ্যাটিকে দশমিক বিন্দুর পর ভগ্নাংশ দিয়ে শুরু করে সংখ্যার জোড়ায় ভাগ করুন। সুতরাং, 79520789182.47897 নম্বরটি "7 95 20 78 91 82, 47 89 70" হিসাবে লেখা হয়েছে।

      • উদাহরণস্বরূপ, আসুন 780.14 সংখ্যার বর্গমূল গণনা করি। দুটি লাইন আঁকুন (ছবিতে দেখানো হয়েছে) এবং প্রদত্ত সংখ্যাটি "7 80, 14" আকারে উপরের বাম দিকে লিখুন। এটা স্বাভাবিক যে বাম দিক থেকে প্রথম অঙ্কটি একটি জোড়াবিহীন সংখ্যা। আপনি উপরের ডানদিকে উত্তরটি (এই সংখ্যার মূল) লিখবেন।

   2. বাম দিক থেকে প্রথম জোড়া সংখ্যার (বা একক সংখ্যা) জন্য, সবচেয়ে বড় পূর্ণসংখ্যা n খুঁজুন যার বর্গটি প্রশ্নে থাকা সংখ্যার জোড়ার (বা একক সংখ্যা) থেকে কম বা সমান। অন্য কথায়, বাম দিক থেকে প্রথম জোড়া সংখ্যার (বা একক সংখ্যা) সবচেয়ে কাছের কিন্তু তার চেয়ে ছোট বর্গ সংখ্যাটি খুঁজুন এবং সেই বর্গ সংখ্যার বর্গমূল নিন; আপনি n নম্বর পাবেন। উপরের ডানদিকে আপনি যে n পেয়েছেন তা লিখুন এবং নীচে ডানদিকে n এর বর্গ লিখুন।

      • আমাদের ক্ষেত্রে, বাম দিকের প্রথম সংখ্যাটি হবে 7। পরবর্তী, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. বাম দিকের সংখ্যার প্রথম জোড়া (বা একক সংখ্যা) থেকে আপনি এইমাত্র পাওয়া সংখ্যাটির বর্গটি বিয়োগ করুন।সাবট্রাহেন্ডের নিচে গণনার ফলাফল লিখুন (n সংখ্যার বর্গ)।

      • আমাদের উদাহরণে, 7 থেকে 4 বিয়োগ করুন এবং 3 পাবেন।

   4. সংখ্যার দ্বিতীয় জোড়াটি নামিয়ে নিন এবং পূর্ববর্তী ধাপে প্রাপ্ত মানের পাশে এটি লিখুন।তারপর উপরের ডানদিকে সংখ্যাটি দ্বিগুণ করুন এবং নীচে ডানদিকে "_×_=" যোগ করে ফলাফলটি লিখুন।

      • আমাদের উদাহরণে, সংখ্যার দ্বিতীয় জোড়া হল "80"। 3 এর পরে "80" লিখুন। তারপর, উপরের ডানদিকে দ্বিগুণ সংখ্যাটি 4 দেয়। নীচে ডানদিকে "4_×_=" লিখুন।

   5. ডানদিকে শূন্যস্থান পূরণ করুন।

      • আমাদের ক্ষেত্রে, যদি আমরা ড্যাশের পরিবর্তে 8 নম্বর রাখি, তাহলে 48 x 8 = 384, যা 380-এর বেশি। অতএব, 8 একটি সংখ্যা খুব বড়, কিন্তু 7 করবে। ড্যাশের পরিবর্তে 7 লিখুন এবং পান: 47 x 7 = 329। উপরের ডানদিকে 7 লিখুন - এটি 780.14 নম্বরের পছন্দসই বর্গমূলের দ্বিতীয় সংখ্যা।

   6. বাম দিকের বর্তমান সংখ্যা থেকে ফলিত সংখ্যাটি বিয়োগ করুন।বাম দিকে বর্তমান সংখ্যার নিচে পূর্ববর্তী ধাপ থেকে ফলাফল লিখুন, পার্থক্যটি খুঁজুন এবং সাবট্রাহেন্ডের নিচে লিখুন।

      • আমাদের উদাহরণে, 380 থেকে 329 বিয়োগ করুন, যা 51 এর সমান।

   7. ধাপ 4 পুনরাবৃত্তি করুন।যদি স্থানান্তরিত সংখ্যার জোড়া মূল সংখ্যার ভগ্নাংশ হয়, তাহলে উপরের ডানদিকে প্রয়োজনীয় বর্গমূলে পূর্ণসংখ্যা এবং ভগ্নাংশের মধ্যে একটি বিভাজক (কমা) রাখুন। বাম দিকে, পরবর্তী জোড়া সংখ্যাগুলো নিচে আনুন। উপরের ডানদিকে সংখ্যাটি দ্বিগুণ করুন এবং নীচে ডানদিকে "_×_=" যোগ করে ফলাফলটি লিখুন।

      • আমাদের উদাহরণে, পরবর্তী জোড়া সংখ্যাটি 780.14 নম্বরের ভগ্নাংশের অংশ হবে, তাই উপরের ডানদিকে পছন্দসই বর্গমূলে পূর্ণসংখ্যা এবং ভগ্নাংশের বিভাজক রাখুন। 14 নামিয়ে নিন এবং নীচে বাম দিকে লিখুন। উপরের ডানদিকে দ্বিগুণ সংখ্যা (27) হল 54, তাই নীচে ডানদিকে "54_×_=" লিখুন৷

   8. ধাপ 5 এবং 6 পুনরাবৃত্তি করুন.ডানদিকে ড্যাশের জায়গায় সবচেয়ে বড় সংখ্যাটি খুঁজুন (ড্যাশগুলির পরিবর্তে আপনাকে একই সংখ্যা প্রতিস্থাপন করতে হবে) যাতে গুণনের ফলাফল বাম দিকে বর্তমান সংখ্যার চেয়ে কম বা সমান হয়।

      • আমাদের উদাহরণে, 549 x 9 = 4941, যা বাম দিকের বর্তমান সংখ্যা (5114) থেকে কম। উপরের ডানদিকে 9 লিখুন এবং বাম দিকের বর্তমান সংখ্যা থেকে গুণের ফলাফল বিয়োগ করুন: 5114 - 4941 = 173।

   9. যদি আপনার বর্গমূলের জন্য আরও দশমিক স্থান খুঁজে বের করতে হয়, তাহলে বর্তমান সংখ্যার বাম দিকে কয়েকটি শূন্য লিখুন এবং পদক্ষেপ 4, 5 এবং 6 পুনরাবৃত্তি করুন। যতক্ষণ না আপনি উত্তরের নির্ভুলতা (দশমিক স্থানের সংখ্যা) না পান ততক্ষণ ধাপগুলি পুনরাবৃত্তি করুন। প্রয়োজন

   প্রক্রিয়া বোঝা

   এই পদ্ধতিটি আয়ত্ত করতে, যে সংখ্যাটির বর্গমূলটি আপনাকে S বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্র হিসাবে খুঁজে বের করতে হবে তা কল্পনা করুন। এই ক্ষেত্রে, আপনি এমন একটি বর্গক্ষেত্রের L পাশের দৈর্ঘ্যটি সন্ধান করবেন। আমরা L এর মান এমনভাবে গণনা করি যে L² = S।

   উত্তরে প্রতিটি নম্বরের জন্য একটি চিঠি দিন। L-এর (কাঙ্খিত বর্গমূল) মানের প্রথম অঙ্কটি A দ্বারা চিহ্নিত করা যাক। B হবে দ্বিতীয় সংখ্যা, C হবে তৃতীয় সংখ্যা ইত্যাদি।

   প্রথম অঙ্কের প্রতিটি জোড়ার জন্য একটি অক্ষর নির্দিষ্ট করুন।এস এর মানের অঙ্কের প্রথম জোড়াকে S a দ্বারা বোঝানো যাক, S b দ্বারা অঙ্কের দ্বিতীয় জোড়া, ইত্যাদি।

   এই পদ্ধতি এবং দীর্ঘ বিভাজনের মধ্যে সংযোগ বুঝুন।ঠিক বিভাজনের মতো, যেখানে আমরা প্রতিবার যে সংখ্যাটিকে ভাগ করছি তার পরবর্তী অঙ্কে আগ্রহী, বর্গমূল গণনা করার সময়, আমরা ক্রমানুসারে এক জোড়া অঙ্কের মাধ্যমে কাজ করি (বর্গমূলের মানের পরবর্তী একটি সংখ্যা পেতে )

   1. S সংখ্যার প্রথম জোড়া Sa সংখ্যাটি বিবেচনা করুন (আমাদের উদাহরণে Sa = 7) এবং এর বর্গমূল খুঁজুন।এই ক্ষেত্রে, পছন্দসই বর্গমূল মানের প্রথম সংখ্যা A হবে এমন একটি সংখ্যা যার বর্গ S a এর থেকে কম বা সমান (অর্থাৎ, আমরা একটি A খুঁজছি যাতে অসমতা A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • ধরা যাক আমাদের 88962 কে 7 দ্বারা ভাগ করতে হবে; এখানে প্রথম ধাপটি একই রকম হবে: আমরা বিভাজ্য সংখ্যা 88962 (8) এর প্রথম অঙ্কটি বিবেচনা করি এবং সবচেয়ে বড় সংখ্যাটি নির্বাচন করি যেটিকে 7 দ্বারা গুণ করা হলে, 8 এর চেয়ে কম বা সমান একটি মান দেয়। অর্থাৎ, আমরা খুঁজছি একটি সংখ্যা d যার জন্য অসমতা সত্য: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.