সম্ভাব্যতা তত্ত্ব এবং পরিসংখ্যান পরীক্ষা। সম্ভাব্যতা তত্ত্ব এবং গাণিতিক পরিসংখ্যান কোর্সের জন্য পরীক্ষা

গণিতের (mathege.ru) সমস্যাগুলির খোলা ব্যাঙ্কে বর্তমান মুহুর্তে দেওয়া, যার সমাধান শুধুমাত্র একটি সূত্রের উপর ভিত্তি করে, যা সম্ভাব্যতার শাস্ত্রীয় সংজ্ঞা।

সূত্রটি বোঝার সবচেয়ে সহজ উপায় হল উদাহরণ দিয়ে।
উদাহরণ 1.ঝুড়িতে 9 টি লাল বল এবং 3 টি নীল আছে। বল শুধুমাত্র রঙের মধ্যে পার্থক্য. এলোমেলোভাবে (না দেখে) আমরা তাদের মধ্যে একটি পাই। এইভাবে বেছে নেওয়া বলটি নীল হয়ে যাওয়ার সম্ভাবনা কত?

একটি মন্তব্য.সম্ভাব্যতার তত্ত্বের সমস্যাগুলিতে, কিছু ঘটে (এই ক্ষেত্রে, বলটি বের করার জন্য আমাদের ক্রিয়া), যার একটি ভিন্ন ফলাফল হতে পারে - ফলাফল। এটি লক্ষ করা উচিত যে ফলাফলটি বিভিন্ন উপায়ে দেখা যেতে পারে। "আমরা কিছু ধরণের বল বের করেছিলাম" - ফলাফলও। "আমরা নীল বল টানা" ফলাফল. "আমরা এই নির্দিষ্ট বলটিকে সমস্ত সম্ভাব্য বলের বাইরে টেনে এনেছি" - ফলাফলের এই ন্যূনতম সাধারণ দৃষ্টিভঙ্গিকে প্রাথমিক ফলাফল বলা হয়। এটি হল প্রাথমিক ফলাফল যা সম্ভাব্যতা গণনার সূত্রে বোঝানো হয়।

সমাধান।এখন আসুন একটি নীল বল নির্বাচন করার সম্ভাবনা গণনা করা যাক।
ইভেন্ট A: "নির্বাচিত বলটি নীল হয়ে গেছে"
সম্ভাব্য সমস্ত ফলাফলের মোট সংখ্যা: 9 + 3 = 12 (সমস্ত বলের সংখ্যা যা আমরা বের করতে পারি)
ইভেন্ট A-এর জন্য অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা: 3 (এ ধরনের ফলাফলের সংখ্যা যেখানে ঘটনা A ঘটেছে - অর্থাৎ নীল বলের সংখ্যা)
P(A) = 3/12 = 1/4 = 0.25
উত্তর: 0.25

আসুন আমরা একই সমস্যার জন্য একটি লাল বল বেছে নেওয়ার সম্ভাব্যতা গণনা করি।
সম্ভাব্য ফলাফলের মোট সংখ্যা একই থাকবে, 12. অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা: 9. সম্ভাব্যতা চাওয়া হয়েছে: 9/12 = 3/4 = 0.75

যেকোনো ঘটনার সম্ভাবনা সবসময় 0 থেকে 1 এর মধ্যে থাকে।
কখনও কখনও দৈনন্দিন বক্তৃতায় (কিন্তু সম্ভাব্যতার তত্ত্বে নয়!) ঘটনাগুলির সম্ভাবনা শতাংশ হিসাবে অনুমান করা হয়। গাণিতিক এবং কথোপকথন মূল্যায়নের মধ্যে রূপান্তরটি 100% দ্বারা গুণ (বা ভাগ) দ্বারা সম্পন্ন হয়।
তাই,
তদুপরি, যে ঘটনা ঘটতে পারে না তার সম্ভাবনা শূন্যের সমান - সেগুলি অবিশ্বাস্য। উদাহরণস্বরূপ, আমাদের উদাহরণে, এটি ঝুড়ি থেকে একটি সবুজ বল টেনে আনার সম্ভাবনা হবে। (সুত্র দ্বারা গণনা করলে অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা হল 0, P (A) = 0/12 = 0)
সম্ভাব্যতা 1 এর ইভেন্ট রয়েছে যা অবশ্যই ঘটবে, কোন বিকল্প নেই। উদাহরণস্বরূপ, "নির্বাচিত বলটি হয় লাল বা নীল" হওয়ার সম্ভাবনা আমাদের সমস্যার জন্য। (অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা: 12, P (A) = 12/12 = 1)

সম্ভাব্যতার সংজ্ঞা ব্যাখ্যা করার জন্য আমরা একটি ক্লাসিক উদাহরণ দেখেছি। সম্ভাব্যতা তত্ত্বের পরীক্ষার এই জাতীয় সমস্ত সমস্যা এই সূত্রটি প্রয়োগ করে সমাধান করা হয়।
লাল এবং নীল বলের জায়গায়, আপেল এবং নাশপাতি, ছেলে এবং মেয়ে, শেখা এবং অশিক্ষিত টিকিট, একটি বিষয়ের (প্রোটোটাইপ,), ত্রুটিপূর্ণ এবং উচ্চ মানের ব্যাগ বা বাগানের পাম্প (প্রোটোটাইপ) এর উপর একটি প্রশ্ন রয়েছে এবং নেই এমন টিকিট থাকতে পারে। ,) - নীতি একই থাকে।

পরীক্ষার সম্ভাব্যতা তত্ত্বের সমস্যা তৈরিতে এগুলি কিছুটা আলাদা, যেখানে আপনাকে একটি নির্দিষ্ট দিনে ঘটতে পারে এমন একটি ঘটনার সম্ভাব্যতা গণনা করতে হবে। (,) আগের কাজগুলির মতো, আপনাকে প্রাথমিক ফলাফল কী তা নির্ধারণ করতে হবে এবং তারপরে একই সূত্র প্রয়োগ করতে হবে।

উদাহরণ 2।সম্মেলন চলবে তিন দিন। প্রথম ও দ্বিতীয় দিনে ১৫ জন বক্তা বক্তব্য দেবেন, তৃতীয় দিনে- ২০। প্রফেসর এম.-এর রিপোর্ট তৃতীয় দিনে পড়ার সম্ভাবনা কত, যদি লটের মাধ্যমে রিপোর্টের ক্রম নির্ধারণ করা হয়?

এখানে প্রাথমিক ফলাফল কি? - একটি বক্তৃতার জন্য সমস্ত সম্ভাব্য সিরিয়াল নম্বরগুলির একটিতে একজন অধ্যাপকের প্রতিবেদনের বরাদ্দ। ড্রতে 15 + 15 + 20 = 50 জন অংশগ্রহণ করে। এইভাবে, প্রফেসর এম এর রিপোর্ট 50 টি সমস্যার একটি পেতে পারে। এর মানে হল যে শুধুমাত্র 50টি প্রাথমিক ফলাফল রয়েছে।
অনুকূল ফলাফল কি? - যাদের মধ্যে দেখা যাচ্ছে যে প্রফেসর তৃতীয় দিনে কথা বলবেন। অর্থাৎ শেষ 20 সংখ্যা।
সূত্র অনুসারে, সম্ভাব্যতা P(A) = 20/50 = 2/5 = 4/10 = 0.4
উত্তর: 0.4

এখানে লটের অঙ্কন হল মানুষ এবং আদেশকৃত স্থানগুলির মধ্যে একটি এলোমেলো চিঠিপত্রের প্রতিষ্ঠা। উদাহরণ 2-এ, চিঠিপত্র প্রতিষ্ঠার দৃষ্টিকোণ থেকে বিবেচনা করা হয়েছিল যে কোন স্থানগুলি একজন নির্দিষ্ট ব্যক্তি দখল করতে পারে। আপনি অন্য দিক থেকে একই পরিস্থিতির সাথে যোগাযোগ করতে পারেন: কোন ব্যক্তি কোন সম্ভাব্যতার সাথে একটি নির্দিষ্ট জায়গায় যেতে পারে (প্রোটোটাইপ,,,):

উদাহরণ 3.ড্রতে 5 জার্মান, 8 ফরাসি এবং 3 এস্তোনিয়ান রয়েছে। প্রথম (/ দ্বিতীয় / সপ্তম / শেষ - এটা কোন ব্যাপার না) একটি ফরাসি হতে সম্ভাবনা কি.

প্রাথমিক ফলাফলের সংখ্যা হল সম্ভাব্য সমস্ত লোকের সংখ্যা যারা লটের মাধ্যমে একটি নির্দিষ্ট স্থানে যেতে পারে। 5 + 8 + 3 = 16 জন।
অনুকূল ফলাফল - ফরাসি। 8 জন।
সম্ভাব্যতা খোঁজা: 8/16 = 1/2 = 0.5
উত্তরঃ 0.5

প্রোটোটাইপ কিছুটা ভিন্ন। কয়েন () এবং ডাইস () সম্পর্কে আরও কিছু সৃজনশীল সমস্যা রয়েছে। এই সমস্যার সমাধান প্রোটোটাইপ পৃষ্ঠাগুলিতে দেখা যাবে।

এখানে একটি মুদ্রা বা পাশা নিক্ষেপের কিছু উদাহরণ রয়েছে।

উদাহরণ 4.যখন আমরা একটি মুদ্রা উল্টাই, মাথা পাওয়ার সম্ভাবনা কত?
ফলাফল 2 - মাথা বা লেজ। (এটা বিশ্বাস করা হয় যে মুদ্রা কখনই ধারে পড়ে না) অনুকূল ফলাফল - লেজ, 1.
সম্ভাবনা 1/2 = 0.5
উত্তরঃ 0.5।

উদাহরণ 5।যদি আমরা একটি মুদ্রা দুবার উল্টাতে পারি? উভয় সময় মাথা আঘাতের সম্ভাবনা কত?
দুটি কয়েন ফ্লিপ করার সময় আমরা কোন প্রাথমিক ফলাফল বিবেচনা করব তা নির্ধারণ করা প্রধান জিনিস। দুটি কয়েন ফ্লিপ করার পরে, নিম্নলিখিত ফলাফলগুলির মধ্যে একটি পাওয়া যেতে পারে:
1) পিপি - উভয় সময়ই লেজ এসেছে
2) PO - প্রথমবার লেজ, দ্বিতীয়বার মাথা
3) OP - প্রথমবার মাথা, দ্বিতীয়বার লেজ
4) OO - উভয় সময় মাথা
অন্য কোন বিকল্প নেই. তাই, 4টি প্রাথমিক ফলাফল রয়েছে। তাদের মধ্যে অনুকূল শুধুমাত্র প্রথমটি, 1.
সম্ভাবনা: 1/4 = 0.25
উত্তর: 0.25

দুটি মুদ্রা একবার ছুঁড়লে পুচ্ছ উঠে আসার সম্ভাবনা কত?
প্রাথমিক ফলাফলের সংখ্যা একই, 4. অনুকূল ফলাফল - দ্বিতীয় এবং তৃতীয়, 2.
একটি পুচ্ছ আঘাত করার সম্ভাবনা: 2/4 = 0.5

এই ধরনের কাজে, আরও একটি সূত্র কাজে আসতে পারে।
যদি একটি মুদ্রার একটি টসের জন্য আমাদের 2টি সম্ভাব্য ফলাফল থাকে, তাহলে দুটি টসের জন্য ফলাফল হবে 2 2 = 2 2 = 4 (উদাহরণস্বরূপ 5), তিনটি টসের জন্য 2 2 2 = 2 3 = 8, চারটির জন্য: 2 · 2 · 2 · 2 = 2 4 = 16, ... N নিক্ষেপের জন্য, সম্ভাব্য ফলাফল হবে 2 · 2 · ... · 2 = 2 N।

সুতরাং, আপনি 5টি কয়েন টসের মধ্যে 5টি হেড পাওয়ার সম্ভাবনা খুঁজে পেতে পারেন।
প্রাথমিক ফলাফলের মোট সংখ্যা: 2 5 = 32।
অনুকূল ফলাফল: 1. (RRRRR - সমস্ত 5 টি লেজ)
সম্ভাবনা: 1/32 = 0.03125

একই পাশা জন্য সত্য. একটি টসের সাথে, সম্ভাব্য ফলাফল এখানে 6। সুতরাং, দুটি টসের জন্য: 6 6 = 36, তিনটির জন্য 6 6 6 = 216, ইত্যাদি।

উদাহরণ 6.আমরা পাশা নিক্ষেপ. জোড় সংখ্যা বাদ পড়ার সম্ভাবনা কত?

মোট ফলাফল: 6, মুখের সংখ্যা অনুযায়ী।
অনুকূল: 3টি ফলাফল। (2, 4, 6)
সম্ভাবনা: 3/6 = 0.5

উদাহরণ 7.দুই পাশা নিক্ষেপ. মোট 10টি ঘূর্ণিত হওয়ার সম্ভাবনা কত? (বৃত্তাকার থেকে শততম)

একজনের মৃত্যুর জন্য 6টি সম্ভাব্য ফলাফল রয়েছে। সুতরাং, উপরের নিয়ম অনুসারে, দুজনের জন্য, 6 6 = 36।
মোট 10 এর জন্য কোন ফলাফল অনুকূল হবে?
1 থেকে 6 পর্যন্ত দুটি সংখ্যার যোগফলের মধ্যে 10 অবশ্যই পচতে হবে। এটি দুটি উপায়ে করা যেতে পারে: 10 = 6 + 4 এবং 10 = 5 + 5। এর মানে হল যে কিউবগুলির জন্য নিম্নলিখিত বিকল্পগুলি সম্ভব:
(প্রথমটিতে 6 এবং দ্বিতীয়টিতে 4টি)
(প্রথমটিতে 4টি এবং দ্বিতীয়টিতে 6টি)
(প্রথমটিতে 5 এবং দ্বিতীয়টিতে 5)
মোট, 3টি বিকল্প। সম্ভাব্যতা খোঁজা: 3/36 = 1/12 = 0.08
উত্তর: 0.08

অন্যান্য ধরণের B6 সমস্যাগুলি কীভাবে সমাধান করা যায় তা নিম্নলিখিতগুলির মধ্যে একটিতে কভার করা হবে।

ক)!

খ)

খ)

ছ) P(A) =

ব্যবহার করার সময় অর্ডারটি গুরুত্বপূর্ণ নয়

ক) বসানো

খ) স্থানান্তর

খ) সংমিশ্রণ

ঘ) স্থানান্তর এবং স্থান নির্ধারণ

ক) 12 131415=32760

খ) 13টি 1415=2730

12 এ 1314=2184

ঘ) 14 15=210

সমন্বয় nদ্বারা উপাদান মি-এটা

ক) উপসেটের সংখ্যামিউপাদান

খ) প্রদত্ত সেটের একটি উপাদান দ্বারা স্থান পরিবর্তনের সংখ্যা

গ) উপায় নির্বাচন করার সংখ্যামিথেকে আইটেম nগএকাউন্টে আদেশ গ্রহণ

D) বেছে নেওয়ার উপায়গুলির সংখ্যামিথেকে আইটেম nআদেশ ব্যতীত

আই.এ. ক্রিলোভের একই নামের কল্পকাহিনী থেকে একটি কোয়ার্টেট সাজানোর কয়টি উপায় আছে?

ক) 24

খ) 4

AT 8

ঘ) 6

আপনি 30 জনের একটি দলে একজন হেডম্যান এবং একজন চিকিত্সককে কয়টি উপায়ে বেছে নিতে পারেন?

ক) 30টি

খ) 870

খ) 435

ঘ) ৩০!

ক)

খ)

ভি)

ছ)

ক)

খ) ( m-2) (m-1) মি

খ) (মি-1) মি

ছ) ( m-2) (m-1)

30 জনের একটি দলে, আপনি কলেজ পরিচালনায় অংশগ্রহণের জন্য 5 জনকে কত উপায়ে পাঠাতে পারেন?

ক) 17100720

খ) 142506

খ) 120টি

ঘ) ৩০!

আট শিক্ষার্থী করমর্দন করেন। কত হ্যান্ডশেক ছিল?

ক) 40320

খ) 28

খ) 16

ঘ) 64

অফার করা 9টির মধ্যে আপনি কতটি উপায়ে 3টি বই বেছে নিতে পারেন?

ক)

খ)

খ) আর 9

ঘ) 3P 9

ফুলদানিতে 5টি লাল এবং 3টি সাদা গোলাপ রয়েছে। আপনি কত উপায়ে 4 টি ফুল নিতে পারেন?

ক)

খ)

ভি)

ছ)

একটি ফুলদানিতে 8টি লাল এবং 3টি সাদা গোলাপ রয়েছে। আপনি 2টি লাল এবং 1টি সাদা গোলাপ কতভাবে নিতে পারেন?

ক)

খ)

ভি)

ছ)

ক) 110টি

খ) 108

12 এ

ঘ) 9

মেইলবক্সে 38টি শাখা রয়েছে। আপনি একটি ড্রয়ারে 35টি অভিন্ন পোস্টকার্ড কয়টি উপায়ে রাখতে পারেন যাতে প্রতিটি ড্রয়ারে একটির বেশি পোস্টকার্ড না থাকে?

ক)

খ) ৩৫!

ভি)

ঘ) 38!

"হাতি" শব্দ থেকে কয়টি ভিন্ন স্থানান্তর গঠিত হতে পারে?

ক) 6

খ) 4

খ) 24

ঘ) 8

10টি অংশ সমন্বিত একটি বাক্স থেকে আপনি কতটি উপায়ে দুটি অংশ নির্বাচন করতে পারেন?

ক) 10!

খ) 90টি

খ) 45

ঘ) 100

সংখ্যা 1,2,3,4 থেকে কয়টি ভিন্ন দুই-অঙ্কের সংখ্যা তৈরি করা যায়?

ক) 16

খ) 24

12 এ

ঘ) 6

5 জন কর্মচারীর জন্য 3টি ভাউচার বরাদ্দ করা হয়েছে। সব ভাউচার ভিন্ন হলে কত উপায়ে বিতরণ করা যায়?

ক) 10টি

খ) 60

খ) 125

ঘ) 243

ক) (6; + )

খ) (- ;6)

খ) (0; + )

ঘ) (0; 6)

ক)

খ)

ভি)

ছ)

ক) 4

খ) 3

2 তে

ঘ) 5

সূত্রটি "এর সংমিশ্রণের সংখ্যা" বাক্যাংশটি লিখুনn3-এর উপাদানগুলির সংমিশ্রণের সংখ্যা থেকে 5 গুণ কমn4 দ্বারা +2 উপাদান

ক)

খ)

ভি)

ছ)

বক্তৃতা হলে 28 জন শিক্ষার্থীকে কতভাবে বসানো যায়?

ক) 2880

খ) 5600

গ) 28!

ঘ) 7200

আপনি কত উপায়ে 25 জন কর্মীদের মধ্যে 5 জনের দল তৈরি করতে পারেন?

ক) 25!

খ)

ভি)

ঘ) 125

গ্রুপে 26 জন শিক্ষার্থী রয়েছে। আপনি কত উপায়ে 2 জনকে দায়িত্বের জন্য নির্বাচন করতে পারেন যাতে তাদের মধ্যে একজন সবচেয়ে পুরানো হয়?

ক)

খ)

গ) 24!

ঘ) 52

ক) 6

খ) 5

ভি)

ঘ) 15

পুনরাবৃত্তি ছাড়াই 1,2,3,4,5 সংখ্যা থেকে কয়টি পাঁচ অঙ্কের সংখ্যা তৈরি করা যায়?

ক) 24

খ) 6

খ) 120টি

ঘ) 115

1,2,3,4,5 সংখ্যাগুলিকে আপনি কয়টি পাঁচ অঙ্কের সংখ্যা তৈরি করতে পারেন যাতে 3 এবং 4 পাশাপাশি থাকে?

ক) 120টি

খ) 6

খ) 117

ঘ) 48

বৈজ্ঞানিক সমাজ 25 জন লোক নিয়ে গঠিত। সমিতির সভাপতি, সহ-সভাপতি, বৈজ্ঞানিক সম্পাদক এবং কোষাধ্যক্ষ নির্বাচন করা প্রয়োজন। সম্প্রদায়ের প্রতিটি সদস্য যদি শুধুমাত্র একটি অফিসে অধিষ্ঠিত হয় তবে কত উপায়ে এই পছন্দ করা যেতে পারে?

ক) 303600

খ) 25!

খ) 506

ঘ) 6375600

ক) ( n-4) (n-5)

খ) ( n-2) (n-1) n

ভি)

ছ)

ক)-2

খ)-3

2 তে

ঘ) 5

কত উপায়ে দাবাবোর্ডে 8টি রুক স্থাপন করা যেতে পারে যাতে তারা একে অপরকে হারাতে না পারে?

ক) 70টি

খ) 1680

খ) 64

ঘ) 40320

ক)

খ) (2 মি-1)

ভি) 2 মি

ঘ) (2 m-2)!

ক) ( n-5)!

খ)

ভি)

ছ) n (n-1) (n-2)

ক) 6

খ) 4

5 এ

ঘ) 3

ক)-1

খ) 6

খ) 27

ঘ) -22

ক) ১

খ) 0

3

ঘ) 4

ক) 9

খ) 0.5

খ) 1.5

ঘ) 0.3

সংমিশ্রণটি সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়

ক)!

খ)

খ) P (A) =

ছ)

সূত্র ব্যবহার করে স্থান নির্ধারণ করা হয়

ক) P(A) =

খ)

খ)

ছ)!

থেকে স্থানান্তর nউপাদান হয়

ক) সেট থেকে উপাদান নির্বাচনn»

খ) সেটের উপাদানের সংখ্যা "n»

গ) থেকে একটি সেটের একটি উপসেটnউপাদান

ঘ) সেটে প্রতিষ্ঠিত ক্রম "n»

প্লেসমেন্ট একটি সমস্যা প্রয়োগ করা হয় যদি

ক) ক্রম বিবেচনা করে সেট থেকে উপাদানগুলির একটি নির্বাচন রয়েছে

খ) ক্রম বিবেচনা না করে সেট থেকে উপাদানগুলির একটি নির্বাচন রয়েছে

গ) সেটে একটি পরিবর্তন করা প্রয়োজন

D) যদি সমস্ত নির্বাচিত উপাদান একই হয়

মূর্তিটিতে 6টি সাদা এবং 5টি কালো বল রয়েছে। আপনি কত উপায়ে এটি থেকে 2টি সাদা এবং 3টি কালো বল অপসারণ করতে পারেন?

ক)

খ)

ভি)

ছ)

100টি লটারি টিকিটের মধ্যে 45টি জিতেছে। একটিতে কেনা তিনটি টিকিটের মধ্যে কতটি উপায়ে কেউ একটি জয় পেতে পারে?

ক) 45

খ)

ভি)

ছ)

1 নম্বর পরীক্ষার উত্তর

2 নম্বর পরীক্ষার উত্তর

পরীক্ষা # 2

"সম্ভাব্যতা তত্ত্বের মূলনীতি"

একটি এলোমেলো ঘটনা বলা হয়

ক) পরীক্ষার এমন একটি ফলাফল যাতে প্রত্যাশিত ফলাফল ঘটতে পারে বা নাও হতে পারে

খ) পরীক্ষার যেমন একটি ফলাফল, যা ইতিমধ্যে আগাম পরিচিত

গ) পরীক্ষার এমন একটি ফলাফল যা আগে থেকে নির্ধারণ করা যায় না

ঘ) পরীক্ষার এমন একটি ফলাফল, যা পরীক্ষামূলক অবস্থা বজায় রেখে ক্রমাগত পুনরাবৃত্তি হয়

মিলন "এবং" মানে

ক) ঘটনার সম্ভাব্যতা যোগ করা

খ) ঘটনার সম্ভাব্যতা গুণ করা

ঘ) ঘটনার সম্ভাব্যতা ভাগ করা

সংযোজন "বা" মানে

ক) ঘটনার সম্ভাব্যতা ভাগ করা

খ) ঘটনার সম্ভাব্যতা যোগ করা

গ) ঘটনার সম্ভাবনার পার্থক্য

ঘ) ঘটনার সম্ভাব্যতা গুণ করা

যে সমস্ত ঘটনাগুলির মধ্যে একটির সূত্রপাত অন্যটির সূত্রপাতকে বাদ দেয় তাকে বলা হয়

ক) অসামঞ্জস্যপূর্ণ

খ) স্বাধীন

গ) আসক্ত

ঘ) জয়েন্ট

ঘটনার সম্পূর্ণ গ্রুপ দ্বারা গঠিত হয়

ক) স্বতন্ত্র ইভেন্টগুলির একটি সেট, যদি, একক পরীক্ষার ফলাফল হিসাবে, এই ঘটনাগুলির মধ্যে একটি অবশ্যই ঘটবে

খ) স্বাধীন ইভেন্টগুলির একটি সেট, যদি, একক পরীক্ষার ফলাফল হিসাবে, এই সমস্ত ঘটনাগুলি অগত্যা ঘটবে

গ) বেমানান ইভেন্টগুলির একটি সেট, যদি, একক পরীক্ষার ফলাফল হিসাবে, এই ঘটনাগুলির মধ্যে একটি অবশ্যই ঘটবে

ঘ) বেমানান ইভেন্টগুলির একটি সেট, যদি, একক পরীক্ষার ফলাফল হিসাবে, এই সমস্ত ঘটনাগুলি অগত্যা ঘটবে

বিরোধী বলা হয়

ক) দুটি স্বাধীন, একটি সম্পূর্ণ গ্রুপ গঠন করে, ঘটনা

খ) দুটি স্বাধীন ঘটনা

গ) দুটি বেমানান ঘটনা

ঘ) দুটি বেমানান, একটি সম্পূর্ণ গ্রুপ গঠন, ঘটনা

দুটি ঘটনাকে বলা হয় স্বাধীন

ক) যা, পরীক্ষার ফলস্বরূপ, অগত্যা ঘটবে

খ) যা, পরীক্ষার ফলস্বরূপ, একসঙ্গে ঘটবে না

গ) যার মধ্যে তাদের একটির ফলাফল অন্য ঘটনার ফলাফলের উপর নির্ভর করে না

ঘ) যার মধ্যে তাদের একটির ফলাফল সম্পূর্ণরূপে অন্য ঘটনার ফলাফলের উপর নির্ভর করে

একটি ঘটনা যা অবশ্যই পরীক্ষার ফলে ঘটবে

ক) অসম্ভব

খ) সঠিক

গ) নির্ভরযোগ্য

ঘ) এলোমেলো

একটি ঘটনা যা একটি বিচারের ফলে ঘটবে না

ক) অসম্ভব

খ) সঠিক

গ) নির্ভরযোগ্য

ঘ) এলোমেলো

সর্বোচ্চ সম্ভাব্যতা মান

ক) 100%

খ) ১

গ) অনন্ত

ঘ) 0

বিপরীত ঘটনার সম্ভাব্যতার যোগফল

ক) 0

খ) 100%

1 তে

ঘ) ১

শব্দগুচ্ছ "অন্তত একটি" মানে

ক) শুধুমাত্র একটি উপাদান

খ) একক উপাদান নয়

ঘ) এক, দুই এবং আর কোন উপাদান নেই

সম্ভাব্যতার ক্লাসিক্যাল সংজ্ঞা

ক) একটি ইভেন্টের সম্ভাব্যতা হল একটি ইভেন্টের সূচনার অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা এবং সমস্ত অসামঞ্জস্যপূর্ণ, শুধুমাত্র সম্ভাব্য এবং সমানভাবে সম্ভাব্য ফলাফলের সংখ্যার অনুপাত যা ইভেন্টগুলির একটি সম্পূর্ণ গোষ্ঠী গঠন করে।

খ) সম্ভাব্যতা হল একটি নির্দিষ্ট পরীক্ষায় কোন ঘটনা ঘটার সম্ভাবনার পরিমাপ

গ) সম্ভাব্যতা হল ট্রায়ালের সংখ্যার অনুপাত যেখানে ঘটনাটি ঘটেছিল এমন সমস্ত ট্রায়ালের সংখ্যা যেখানে ঘটনা ঘটতে পারে বা নাও হতে পারে।

D) ঘটনার ক্ষেত্র থেকে প্রতিটি এলোমেলো ঘটনা A একটি অ-ঋণাত্মক সংখ্যা P (A) এর সাথে যুক্ত, যাকে সম্ভাব্যতা বলা হয়।

সম্ভাব্যতা হল একটি নির্দিষ্ট পরীক্ষায় ঘটে যাওয়া ঘটনার সম্ভাবনার পরিমাপ

এটি সম্ভাব্যতার সংজ্ঞা

একটি ক্লাসিক

খ) জ্যামিতিক

খ) স্বতঃসিদ্ধ

ঘ) পরিসংখ্যানগত

সম্ভাব্যতা হল ট্রায়ালের সংখ্যার অনুপাত যেখানে ইভেন্টটি ঘটেছে এমন সমস্ত ট্রায়ালের সংখ্যা যেখানে ঘটনা ঘটতে পারে বা নাও হতে পারে। এটি সম্ভাব্যতার সংজ্ঞা

একটি ক্লাসিক

খ) জ্যামিতিক

খ) স্বতঃসিদ্ধ

ঘ) পরিসংখ্যানগত

শর্তযুক্ত সম্ভাব্যতা সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়

ক) পি (এ/বি) =

খ) P (A + B) = P (A) + P (B)-P (AB)

খ) P (AB) = P (A) P (B)

ঘ) P (A + B) = P (A) + P (B)

এই সূত্রটি P (A + B) = P (A) + P (B)-P (AB) দুটির জন্য প্রয়োগ করা হয়

ক) অসামঞ্জস্যপূর্ণ ঘটনা

খ) যৌথ অনুষ্ঠান

গ) নির্ভরশীল ঘটনা

ঘ) স্বাধীন ঘটনা

শর্তযুক্ত সম্ভাব্যতার ধারণাটি কোন দুটি ঘটনার জন্য প্রযোজ্য?

ক) অসম্ভব

খ) নির্ভরযোগ্য

খ) জয়েন্ট

ঘ) নির্ভরশীল

মোট সম্ভাব্যতা সূত্র

ক) পি ( এইচ আমি / ক) =

খ) P (A) = P (A / এইচ 1 ) পৃ(এইচ 1) + P (A / এইচ 2 ) পৃ(এইচ 2) + ... + P (A / এইচ n ) পৃ(এইচ n )

ভি) পৃ n (মি)=

ঘ) P (A) =

খ) বেয়েসের উপপাদ্য

গ) বার্নোলি স্কিম

ক) মোট সম্ভাব্যতার সূত্র

খ) বেয়েসের উপপাদ্য

গ) বার্নোলি স্কিম

D) সম্ভাব্যতার শাস্ত্রীয় সংজ্ঞা

দুটি পাশা নিক্ষেপ করা হয়। বাদ দেওয়া পয়েন্টের মোট 6 হওয়ার সম্ভাবনা খুঁজুন

ক) পি (এ) =

খ) P (A) =

খ) P (A) =

ঘ) P (A) =

দুটি পাশা নিক্ষেপ করা হয়। বাদ দেওয়া পয়েন্টের যোগফল 11 এবং পার্থক্য 5 হওয়ার সম্ভাবনা খুঁজে বের করুন

ক) পি (এ) = 0

খ) P (A) = 2/36

খ) P (A) = 1

ঘ) P (A) = 1/6

ডিভাইস, দিনের বেলা অপারেটিং, তিনটি নোড নিয়ে গঠিত, যার প্রতিটি, অন্যদের থেকে স্বাধীনভাবে, এই সময়ে ব্যর্থ হতে পারে। যেকোনো নোডের ব্যর্থতা পুরো ডিভাইসটিকে অক্ষম করবে। প্রথম নোডের দিনে সঠিক অপারেশনের সম্ভাবনা 0.9, দ্বিতীয়টি 0.85 এবং তৃতীয়টি 0.95। দিনের বেলা ডিভাইসটি নির্ভরযোগ্যভাবে কাজ করার সম্ভাবনা কতটা?

ক) P (A) = 0.1 0.15 0.05 = 0.00075

খ) P (A) = 0.9 0.85 0.95 = 0.727

খ) পি (এ) = ০.১ + ০.৮৫ ০.৯৫ = ০.৯১

D) P (A) = 0.1 0.15 0.95 = 0.014

একটি দুই-সংখ্যার সংখ্যা কল্পনা করা হয়, যার সংখ্যাগুলি ভিন্ন। সম্ভাব্যতা খুঁজে বের করুন যে একটি এলোমেলোভাবে নামের দুই-সংখ্যার সংখ্যাটি অভিপ্রেত সংখ্যার সমান হবে?

ক) পি (এ) = 0.1

খ) P (A) = 2/90

খ) P (A) = 1/100

ঘ) P (A) = 0.9

0.8 এর সমান আঘাতের সম্ভাবনার সাথে দুটি লোক লক্ষ্যে গুলি করে। লক্ষ্য আঘাতের সম্ভাবনা কত?

ক) P (A) = 0.8 0.8 = 0.64

খ) পি (এ) = 1-0.2 0.2 = 0.96

খ) P (A) = 0.8 0.2 + 0.2 0.2 = 0.2

ঘ) পি (এ) = 1-0.8 = 0.2

দুই শিক্ষার্থী তাদের প্রয়োজনীয় বই খুঁজছে। প্রথম শিক্ষার্থী বইটি খুঁজে পাওয়ার সম্ভাবনা 0.6 এবং দ্বিতীয়টি 0.7। ছাত্রদের মধ্যে একজনই তাদের কাঙ্খিত বই খুঁজে পাওয়ার সম্ভাবনা কী?

ক) পি (এ) = 1-0.6 0.7 = 0.58

খ) পি (এ) = 1-0.4 0.3 = 0.88

খ) P (A) = 0.6 0.3 + 0.7 0.4 = 0.46

D) P (A) = 0.6 0.7 + 0.3 0.4 = 0.54

32টি কার্ডের একটি ডেক থেকে, দুটি কার্ড এলোমেলোভাবে নেওয়া হয়, একের পর এক। দুই রাজাকে বন্দী করার সম্ভাবনা খুঁজে পান?

ক) পি (এ) = ০.০১২

খ) P (A) = 0.125

খ) P (A) = 0.0625

D) P (A) = 0.031

তিনটি তীর একে অপরের থেকে স্বাধীনভাবে লক্ষ্যবস্তুতে নিক্ষেপ করে। প্রথম শ্যুটারের লক্ষ্যে আঘাত করার সম্ভাবনা 0.75, দ্বিতীয়টির জন্য 0.8, তৃতীয়টির জন্য 0.9। অন্তত একটি শ্যুটার লক্ষ্য আঘাত করবে যে সম্ভাবনা খুঁজুন?

ক) P (A) = 0.25 0.2 0.1 = 0.005

খ) P (A) = 0.75 0.8 0.9 = 0.54

খ) P (A) = 1-0.25 0.2 0.1 = 0.995

ঘ) P (A) = 1-0.75 0.8 0.9 = 0.46

বাক্সে # 1 থেকে # 10 পর্যন্ত সংখ্যা দিয়ে চিহ্নিত 10টি অভিন্ন অংশ রয়েছে। এলোমেলোভাবে 6 অংশ নিন। পুনরুদ্ধারকৃত অংশগুলির মধ্যে অংশ # 5 হবে এমন সম্ভাবনা খুঁজুন?

ক) পি (এ) = 5/10 = 0.2

খ) P (A) =

খ) পি (এ) = 1/10 = 0.1

ঘ) P (A) =

100টি আইটেমের ব্যাচে 10টি ত্রুটিপূর্ণ আইটেম থাকলে এলোমেলোভাবে নেওয়া 4টি আইটেমের মধ্যে 3টি ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার সম্ভাবনা খুঁজে বের করুন।

ক) পি (এ) =

খ) P (A) =

খ) P (A) =

ঘ) P (A) =

একটি ফুলদানিতে 10টি সাদা এবং 8টি লাল রঙের গোলাপ রয়েছে। এলোমেলোভাবে দুটি ফুল নিন। সম্ভাবনা কতটুকু। তারা বিভিন্ন রং কি?

ক) পি (এ) =

খ) P (A) =

খ) P (A) =

ঘ) P (A) = 2/18

এক শটে লক্ষ্যে আঘাত করার সম্ভাবনা 1/8। 12টি শটের মধ্যে কোন মিস না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক) পি 12 (12)=

খ) আর 12 (1)=

খ) P (A) =

ঘ) P (A) =

গোলরক্ষক সমস্ত পেনাল্টি কিকের গড় 30% প্যারিস করেন। তার 4 বলে 2 নেওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক) পি 4 (2)=

খ) আর 4 (2)=

খ) পি 4 (2)=

ঘ) আর 4 (2)=

নার্সারিতে 40 টি টিকা দেওয়া খরগোশ এবং 10 টি নিয়ন্ত্রণ খরগোশ রয়েছে। 14টি খরগোশ পরপর পরীক্ষা করা হয়, ফলাফল রেকর্ড করা হয় এবং খরগোশগুলিকে ফেরত পাঠানো হয়। নিয়ন্ত্রণ খরগোশের সংঘটনের সবচেয়ে সম্ভাব্য সংখ্যা নির্ধারণ করুন।

ক) 10টি

খ) 14

খ) 14

ঘ) 14

জুতার কারখানায় শীর্ষ-গ্রেডের পণ্যগুলি সমস্ত উত্পাদনের 10%। এই কারখানা থেকে দোকানে পাঠানো 75 জোড়ার মধ্যে আপনি কত জোড়া প্রিমিয়াম বুট খুঁজে পাওয়ার আশা করতে পারেন?

ক) 75

খ) 75

খ) 75

ঘ) 75

ক) স্থানীয় ল্যাপ্লেস সূত্র

খ) ল্যাপ্লেসের অবিচ্ছেদ্য সূত্র

গ) Moivre-Laplace সূত্র

ঘ) বার্নোলি স্কিম

সমস্যাটি সমাধান করার সময় “একটি অংশের সিরিজে ত্রুটির সম্ভাবনা 2%। 600টি অংশের একটি ব্যাচে 20টি ত্রুটিপূর্ণ অংশ থাকার সম্ভাবনা কত? আরো প্রযোজ্য

ক) বার্নোলি স্কিম

খ) Moivre-Laplace সূত্র

গ) স্থানীয় ল্যাপ্লেস সূত্র

সমস্যাটি সমাধান করার সময় “ত্রুটির জন্য 700টি স্বাধীন পরীক্ষার প্রতিটিতে, একটি স্ট্যান্ডার্ড লাইট বাল্বের উপস্থিতি 0.65 এর ধ্রুবক সম্ভাবনার সাথে ঘটে। সম্ভাব্যতা খুঁজুন যে এই ধরনের পরিস্থিতিতে, একটি ত্রুটিপূর্ণ আলোর বাল্বের উপস্থিতি 230 টি পরীক্ষার চেয়ে বেশি ঘন ঘন ঘটবে, তবে 270 টি ক্ষেত্রে কম প্রায়ই "আরও প্রযোজ্য

ক) বার্নোলি স্কিম

খ) Moivre-Laplace সূত্র

গ) স্থানীয় ল্যাপ্লেস সূত্র

ঘ) ল্যাপ্লেস অখণ্ড সূত্র

ফোন নম্বর ডায়াল করার সময়, গ্রাহক নম্বরটি ভুলে যান এবং এলোমেলোভাবে ডায়াল করেন। সঠিক সংখ্যাটি টাইপ করার সম্ভাবনা খুঁজে বের করুন?

ক) পি (এ) = 1/9

খ) P (A) = 1/10

খ) P (A) = 1/99

ঘ) P (A) = 1/100

ডাই নিক্ষেপ করা হয়। পয়েন্ট একটি জোড় সংখ্যা বাদ হবে যে সম্ভাবনা খুঁজুন?

ক) P (A) = 5/6

খ) P (A) = 1/6

খ) P (A) = 3/6

ঘ) P (A) = 1

বাক্সটিতে 50টি অভিন্ন অংশ রয়েছে, যার মধ্যে 5টি আঁকা। এক টুকরো এলোমেলোভাবে বের করা হয়। একটি পুনরুদ্ধার করা অংশ রঙিন হবে যে সম্ভাবনা খুঁজুন?

ক) পি (এ) = 0.1

খ) P (A) =

খ) P (A) =

ঘ) P (A) = 0.3

কলসটিতে 3টি সাদা এবং 9টি কালো বল রয়েছে। 2 বল একই সময়ে কলস থেকে বের করা হয়। উভয় বল সাদা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক) পি (এ) =

খ) P (A) =

খ) P (A) = 2/12

ঘ) P (A) =

একটি শেলফে এলোমেলোভাবে 10টি ভিন্ন বই সাজানো হয়েছে। সম্ভাব্য 3টি নির্দিষ্ট বই পাশাপাশি রাখা হবে?

ক) পি (এ) =

খ) P (A) =

খ) P (A) =

ঘ) P (A) =

ড্র অংশগ্রহণকারীরা বাক্স থেকে 1 থেকে 100 পর্যন্ত সংখ্যা সহ টোকেনগুলি আঁকেন। এলোমেলোভাবে আঁকা প্রথম টোকেনের সংখ্যাটি 5 নম্বর ধারণ করে না এমন সম্ভাবনা খুঁজুন?

ক) পি (এ) = 5/100

খ) P (A) = 1/100

খ) P (A) =

ঘ) P (A) =

টেস্ট নম্বর 3

"বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল"

একটি পরিমাণ যা পরীক্ষার ফলাফলের উপর নির্ভর করে বিভিন্ন সংখ্যাগত মান গ্রহণ করতে পারে, তাকে বলা হয়

ক) এলোমেলো

খ) বিচ্ছিন্ন

খ) একটানা

ঘ) সম্ভাবনা

একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম চলক বলা হয়

ক) একটি পরিমাণ যা, পরীক্ষার ফলাফলের উপর নির্ভর করে, বিভিন্ন সংখ্যাসূচক মান গ্রহণ করতে পারে

খ) একটি পরিমাণ যা একটি নির্দিষ্ট সম্ভাব্যতার সাথে এক পরীক্ষা থেকে অন্য পরীক্ষায় পরিবর্তিত হয়

খ) একটি মান যা বিভিন্ন পরীক্ষায় পরিবর্তিত হয় না

D) একটি পরিমাণ যা পরীক্ষার ফলাফল নির্বিশেষে, বিভিন্ন সংখ্যাগত মান গ্রহণ করতে পারে

ফ্যাশন বলা হয়

ক) বিযুক্তির গড় মান দৈব চলক

খ) র‍্যান্ডম ভেরিয়েবলের মানের গুণফলের সমষ্টি তাদের সম্ভাব্যতা দ্বারা

গ) তার গাণিতিক প্রত্যাশা থেকে মানের বিচ্যুতির বর্গক্ষেত্রের গাণিতিক প্রত্যাশা

D) একটি বিচ্ছিন্ন এলোমেলো পরিবর্তনশীলের মান, যার সম্ভাব্যতা সর্বাধিক

একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম চলকের গড় মানকে বলা হয়

একটি ফ্যাশন

খ) গাণিতিক প্রত্যাশা

খ) মধ্যক

র‍্যান্ডম চলকের মানের গুণফলের সমষ্টিকে তাদের সম্ভাব্যতা বলে

ক) ভিন্নতা

খ) গাণিতিক প্রত্যাশা

গ) ফ্যাশন

ঘ) আদর্শ বিচ্যুতি

তার গাণিতিক প্রত্যাশা থেকে একটি মানের বিচ্যুতির বর্গক্ষেত্রের গাণিতিক প্রত্যাশা

একটি ফ্যাশন

খ) মধ্যক

খ) আদর্শ বিচ্যুতি

ঘ) ভিন্নতা

প্রকরণ গণনা করতে ব্যবহৃত সূত্র

ক)

খ) M (x 2)-M (x)

খ) M (x 2)- (M (x)) 2

D) (M (x)) 2 -M (x 2)

সূত্র যার দ্বারা প্রত্যাশিত মান গণনা করা হয়

ক)

খ) M (x 2)- (M (x)) 2

ভি)

ছ)

একটি পৃথক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বিতরণের একটি প্রদত্ত সিরিজের জন্য, গাণিতিক প্রত্যাশা খুঁজুন

ক) ১

খ) 1.3

খ) 0.5

ঘ) 0.8

একটি পৃথক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বিতরণের একটি প্রদত্ত সিরিজের জন্য, M (x 2 )

ক) 1.5

খ) 2.25

খ) 2.9

ঘ) 0.99

অজানা সম্ভাবনা খুঁজুন

ক) 0.65

খ) 0.75

খ) 0

ঘ) ১

ফ্যাশন খুঁজুন

ক) 0.03

খ) 1.7

খ) 0.28

ঘ) 1.2

মধ্যমা খুঁজুন

ক) 0.08

খ) 1.2

AT 4

ঘ) 0.28

মধ্যমা খুঁজুন

ক) 1.2

খ) 3.5

খ) 0.25

ঘ) 1.1

M(x) = 1.1 হলে x এর অজানা মান নির্ণয় করুন

ক) 3

খ) 1.1

খ) 1.2

ঘ) 0

একটি ধ্রুবকের গাণিতিক প্রত্যাশা

বিকল্প নম্বর 1

1. 800টি ইটের একটি ব্যাচে 14টি ত্রুটিপূর্ণ ইট রয়েছে। ছেলেটি এই ব্যাচ থেকে এলোমেলোভাবে একটি ইট তুলে নির্মাণ সাইটের অষ্টম তলা থেকে ফেলে দেয়। একটি পরিত্যক্ত ইট ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার সম্ভাবনা কি?
2. 11 তম শ্রেণীর পদার্থবিজ্ঞান পরীক্ষার বই 75 টি টিকিট নিয়ে গঠিত। তাদের মধ্যে 12টিতে লেজার সম্পর্কে একটি প্রশ্ন রয়েছে। Styop এর ছাত্র, এলোমেলোভাবে একটি টিকিট নির্বাচন করে, লেজার সম্পর্কে একটি প্রশ্নে হোঁচট খাওয়ার সম্ভাবনা কত?
3. ১০০ মিটার দৌড় প্রতিযোগিতায় ইতালির ৩ জন, জার্মানির ৫ জন এবং রাশিয়ার ৪ জন ক্রীড়াবিদ অংশ নিচ্ছেন। প্রতিটি ক্রীড়াবিদ জন্য লেন নম্বর লট দ্বারা আঁকা হয়. ইতালি থেকে একজন ক্রীড়াবিদ দ্বিতীয় লেনের হওয়ার সম্ভাবনা কী?
4. দোকানে 1,500 বোতল ভদকা আনা হয়েছিল। এর মধ্যে ৯ জনেরই বকেয়া রয়েছে বলে জানা গেছে। সম্ভাব্যতা খুঁজুন যে একজন অ্যালকোহলিক যিনি এলোমেলোভাবে একটি বোতল বেছে নেন তার মেয়াদ শেষ হয়ে যাওয়া বোতল কেনার জন্য শেষ হয়।
5. নগরীতে বিভিন্ন ব্যাংকের ১২০টি অফিস রয়েছে। নানী এলোমেলোভাবে এই ব্যাঙ্কগুলির মধ্যে একটি বেছে নেয় এবং এতে 100,000 রুবেলের জন্য একটি আমানত খোলে। এটা জানা যায় যে সংকটের সময় 36টি ব্যাংক দেউলিয়া হয়ে গিয়েছিল এবং এই ব্যাংকগুলির আমানতকারীরা তাদের সমস্ত অর্থ হারিয়েছে। নানী তার অবদান হারাবেন না সম্ভাবনা কি?
6. একটি 12-ঘন্টার শিফটে, একজন কর্মী সংখ্যাগতভাবে নিয়ন্ত্রিত মেশিনে 600টি যন্ত্রাংশ তৈরি করে। কাটিং টুলে ত্রুটির কারণে মেশিনে 9টি ত্রুটিপূর্ণ অংশ পাওয়া গেছে। কাজের দিন শেষে, ওয়ার্কশপের ফোরম্যান এলোমেলোভাবে এক টুকরো নেয় এবং এটি পরীক্ষা করে। তার একটি ত্রুটিপূর্ণ অংশ জুড়ে আসার সম্ভাবনা কত?

বিষয়ের উপর পরীক্ষা: "পরীক্ষার সমস্যায় সম্ভাব্যতা তত্ত্ব"

বিকল্প নম্বর 1

1. মস্কোর কিয়েভস্কি রেলওয়ে স্টেশনে, 28 টি টিকিট জানালা রয়েছে, যেখানে 4,000 জন যাত্রী ট্রেনের টিকিট কিনতে চান। পরিসংখ্যানগতভাবে, এই যাত্রীদের মধ্যে 1,680 জন অপ্রতুল। 17 তম উইন্ডোর বাইরে বসে থাকা ক্যাশিয়ার একজন অপর্যাপ্ত যাত্রীকে খুঁজে পাওয়ার সম্ভাবনাটি খুঁজুন (যাত্রীরা এলোমেলোভাবে টিকিট অফিস বেছে নেয় তা বিবেচনা করে)।
2. রাশিয়ান স্ট্যান্ডার্ড ব্যাংক তার ক্লায়েন্টদের জন্য একটি লটারি চালায় - ভিসা ক্লাসিক এবং ভিসা গোল্ড কার্ডের ধারক৷ সেখানে 6টি ওপেল অ্যাস্ট্রা গাড়ি, 1টি পোর্শে কেয়েন গাড়ি এবং 473টি আইফোন 4 ফোন আঁকা হবে।এটা জানা যায় যে ম্যানেজার ভাস্য একটি ভিসা ক্লাসিক কার্ড জারি করেছেন এবং লটারিতে বিজয়ী হয়েছেন। পুরষ্কারটি এলোমেলোভাবে বেছে নেওয়া হলে তিনি ওপেল অ্যাস্ট্রা জেতার সম্ভাবনা কী?
3. ভ্লাদিভোস্টকে একটি স্কুল মেরামত করা হয়েছিল এবং 1200টি নতুন প্লাস্টিকের জানালা ইনস্টল করা হয়েছিল। 11ম শ্রেণীর একজন ছাত্র যে গণিতে ইউএসই নিতে চায়নি সে লনে 45টি পাথর খুঁজে পেয়েছিল এবং সেগুলি এলোমেলোভাবে জানালার দিকে ছুঁড়তে শুরু করে। ফলে তিনি ৪৫টি জানালার কাঁচ ভেঙে ফেলেন। সম্ভাব্যতা খুঁজুন যে পরিচালকের অফিসে জানালা ভাঙ্গা হবে না।
4. একটি মার্কিন সামরিক কারখানা 9,000টি নকল চীনা তৈরি মাইক্রোসার্কিটের একটি ব্যাচ পেয়েছে। এই মাইক্রোসার্কিটগুলি এম-16 রাইফেলের জন্য ইলেকট্রনিক দর্শনীয় স্থানে ইনস্টল করা আছে। এটা জানা যায় যে নির্দিষ্ট ব্যাচে 8766 মাইক্রোসার্কিট ত্রুটিপূর্ণ, এবং এই ধরনের মাইক্রোসার্কিটগুলির সাথে দর্শনগুলি সঠিকভাবে কাজ করবে না। এলোমেলোভাবে নির্বাচিত ইলেকট্রনিক দৃষ্টি সঠিকভাবে কাজ করে এমন সম্ভাবনা খুঁজুন।
5. নানী তার দেশের বাড়ির ছাদে 2,400টি শসার বয়াম রাখে। এর মধ্যে ৮৭০টি দীর্ঘদিন ধরে পচে গেছে বলে জানা গেছে। যখন তার নাতনিরা দিদিমাকে দেখতে এসেছিল, তখন তিনি তাকে তার সংগ্রহ থেকে একটি জার দিয়েছিলেন, এটি এলোমেলোভাবে বেছে নিয়েছিলেন। নাতনী পচা শসা একটি জার প্রাপ্তির সম্ভাবনা কি?
6. 7 অভিবাসী নির্মাতাদের একটি দল অ্যাপার্টমেন্ট সংস্কার পরিষেবা প্রদান করে। গ্রীষ্মের মৌসুমে, তারা 360টি অর্ডার সম্পন্ন করেছে এবং 234টি ক্ষেত্রে তারা প্রবেশদ্বার থেকে নির্মাণ বর্জ্য অপসারণ করেনি। ইউটিলিটিগুলি এলোমেলোভাবে একটি অ্যাপার্টমেন্ট বেছে নেয় এবং সংস্কার কাজের গুণমান পরীক্ষা করে। চেক করার সময় ইউটিলিটি কর্মীরা বিল্ডিং ধ্বংসাবশেষে হোঁচট খাবে না এমন সম্ভাবনা খুঁজুন।

উত্তর:

Var # 1
উত্তর	0,0175	0,16	0,25	0,006		0,015
বিকল্প নম্বর 2
উত্তর	0,42	0,0125	0,9625	0,026	0,3625	0,35

শৃঙ্খলা পরীক্ষা"সম্ভাবনার তত্ত্ব এবং গণিত পরিসংখ্যান»

বিকল্প 1

একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল X এর গাণিতিক প্রত্যাশা কী?
ক) 1; খ) 2; 4 এ; ঘ) 2.5; ঙ) 3.5।

এক্স i আর i y জে
q জে

একটি র্যান্ডম পরিবর্তনশীল গাণিতিক প্রত্যাশা কি
?
ক) 0.5; খ) 0; গ) 0.3; ঘ) 2.2; ঙ) 3।

পরিমাপ নম্বর
এক্স i

নিরপেক্ষ প্রকরণ অনুমান নির্ধারণ করুন।
ক) 48.5; খ) 341.7; গ) 12.9; ঘ) ৬৩.৪২; e) 221.1।

বিকল্প 2

ক) বার্নউলির সূত্র; খ) স্থানীয় ল্যাপ্লেস উপপাদ্য; গ) ল্যাপ্লেসের অবিচ্ছেদ্য উপপাদ্য; ঘ) পয়সনের সূত্র।

একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল X এর গাণিতিক প্রত্যাশা, দ্বিপদ আইন অনুসারে বিতরণ করা হয়:
ক) npq; খ) এনপি; গ) nq; d) pq.

ল্যাপ্লেস ফাংশনের নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য রয়েছে: Ф (0) = 0।
একটি সত্য; খ) ভুল।

পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ এলোমেলো ভেরিয়েবলের মধ্যে রৈখিক সম্পর্কের ঘনিষ্ঠতার মাত্রা চিহ্নিত করে
একটি সত্য; খ) ভুল।

দুটি পৃথক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের (X, Y) একটি সিস্টেমের বন্টন ম্যাট্রিক্স টেবিল দ্বারা দেওয়া হয়

y iএক্স i

এলোমেলো চলক Y এর প্রকরণ কত?
ক) 2; খ) 5; গ) 3.5; ঘ) 2.56; e) 2.2।

এক্স i আর i y জে
q জে

এলোমেলো চলকের বৈচিত্র্য কী
?

ক) 0.9; খ) 0.3; গ) 1.15; ঘ) 5.6; ঙ) ০.২১।

বিষয়ে মৌলিক ধারণা:

1. ট্রায়াল, প্রাথমিক ফলাফল, ট্রায়ালের ফলাফল, ঘটনা।

2. একটি বিশ্বাসযোগ্য ঘটনা, একটি অসম্ভব ঘটনা, একটি এলোমেলো ঘটনা।

3. যৌথ ঘটনা, বেমানান ঘটনা, সমান ঘটনা, সমানভাবে সম্ভাব্য ঘটনা, একমাত্র সম্ভাব্য ঘটনা।

4. ইভেন্টের সম্পূর্ণ গ্রুপ, বিপরীত ঘটনা।

5. প্রাথমিক ঘটনা, যৌগিক ঘটনা।

6. বেশ কয়েকটি ঘটনার যোগফল, বেশ কয়েকটি ঘটনার গুণফল। তাদের জ্যামিতিক ব্যাখ্যা

1. টাস্কে “দুটি গুলি লক্ষ্য করে ছোড়া হয়। লক্ষ্য একবার আঘাত করার সম্ভাবনা খুঁজুন ”, পরীক্ষাটি হল:

1) * দুটি গুলি লক্ষ্যবস্তুতে নিক্ষেপ করা হয়;

2) লক্ষ্য একবার আঘাত করা হবে;

3) লক্ষ্য দুইবার আঘাত করা হবে.

2. একটি মুদ্রা নিক্ষেপ. ঘটনা: A - "কোট অব আর্মস বাদ দেওয়া হবে।" ইভেন্ট - "একটি সংখ্যা বাদ দেওয়া হবে" হল:

1) এলোমেলো;

2) নির্ভরযোগ্য;

3) অসম্ভব;

4) * বিপরীত।

3. একটি পাশা নিক্ষেপ করা হয়. আসুন ইভেন্টগুলিকে মনোনীত করি: A - "6 পয়েন্ট ড্রপ আউট", B - "4 পয়েন্ট ড্রপ আউট", D - "2 পয়েন্ট ড্রপ আউট", C - "একটি সমান সংখ্যক পয়েন্ট ড্রপ আউট"। তাহলে ঘটনা С এর সমান

1)
;

2)
;

3)*
;

4)
.

4. শিক্ষার্থীকে অবশ্যই দুটি পরীক্ষায় উত্তীর্ণ হতে হবে। ইভেন্ট A - "ছাত্র প্রথম পরীক্ষায় উত্তীর্ণ হয়েছে", ইভেন্ট B - "শিক্ষার্থী দ্বিতীয় পরীক্ষায় উত্তীর্ণ হয়েছে", ইভেন্ট C - "ছাত্র উভয় পরীক্ষায় উত্তীর্ণ হয়েছে"। তাহলে ঘটনা С এর সমান

1)*
;

2)
;

3)
;

4)
.

5. "সমস্যা" শব্দের অক্ষর থেকে একটি অক্ষর এলোমেলোভাবে বেছে নেওয়া হয়েছে। ঘটনা - "অক্ষর K নির্বাচিত" হল

1) এলোমেলো;

2) নির্ভরযোগ্য;

3) * অসম্ভব;

4) বিপরীত।

6. "WORLD" শব্দের অক্ষর থেকে একটি অক্ষর এলোমেলোভাবে বেছে নেওয়া হয়েছে। ইভেন্ট - "অক্ষর এম নির্বাচিত" হল

1) * এলোমেলো;

2) নির্ভরযোগ্য;

3) অসম্ভব।

7. ঘটনা - "একটি সাদা বল একটি কলস থেকে সরানো হয় যাতে শুধুমাত্র সাদা বল থাকে"

1) এলোমেলো;

2) * নির্ভরযোগ্য;

3) অসম্ভব।

8. দুইজন ছাত্র একটি পরীক্ষা দেয়। ঘটনাঃ ক - "প্রথম শিক্ষার্থী পরীক্ষায় উত্তীর্ণ হবে", খ - "দ্বিতীয় শিক্ষার্থী পরীক্ষায় উত্তীর্ণ হবে"

1) অসামঞ্জস্যপূর্ণ;

2) নির্ভরযোগ্য;

3) অসম্ভব;

4) * জয়েন্ট।

9. ঘটনাগুলোকে বলা হয় অসামঞ্জস্যপূর্ণ যদি

4) * একজনের আক্রমণ অন্যের উপস্থিতির সম্ভাবনাকে বাদ দেয়।

10. ঘটনাকে বলা হয় শুধুমাত্র যদি সম্ভব হয়

1) একটির সূচনা অন্যটির উপস্থিতির সম্ভাবনাকে বাদ দেয় না;

2) শর্তগুলির একটি সেট বাস্তবায়নে, তাদের প্রত্যেকেরই ঘটতে সমান সুযোগ রয়েছে;

3) * পরীক্ষার সময়, তাদের মধ্যে অন্তত একজন অবশ্যই আসবে;

বিষয় 2. সম্ভাব্যতার ক্লাসিক্যাল সংজ্ঞা

বিষয়ে মৌলিক ধারণা:

1. একটি ঘটনার সম্ভাব্যতা, একটি এলোমেলো ঘটনার সম্ভাবনার শাস্ত্রীয় সংজ্ঞা।

2. ইভেন্টের জন্য অনুকূল ফলাফল।

3. সম্ভাব্যতার জ্যামিতিক সংজ্ঞা।

4. ঘটনার আপেক্ষিক ফ্রিকোয়েন্সি।

5. সম্ভাব্যতার পরিসংখ্যানগত সংকল্প।

6. সম্ভাবনার বৈশিষ্ট্য।

7. প্রাথমিক ফলাফলের সংখ্যা গণনার পদ্ধতি: স্থানান্তর, সংমিশ্রণ, স্থান নির্ধারণ।

ব্যবহারিক উদাহরণের মাধ্যমে এই সমস্ত ধারণার প্রয়োগ।

এই থ্রেডে দেওয়া নমুনা পরীক্ষার আইটেম:

1. ঘটনাগুলিকে সমানভাবে সম্ভব বলা হয় যদি

1) তারা বেমানান;

2) * শর্তগুলির একটি সেট বাস্তবায়নে, তাদের প্রত্যেকেরই ঘটতে সমান সুযোগ রয়েছে;

3) পরীক্ষার সময়, তাদের মধ্যে অন্তত একটি অবশ্যই ঘটবে;

4) একজনের আক্রমণ অন্যের উপস্থিতির সম্ভাবনাকে বাদ দেয়।

2. পরীক্ষা - "দুটি কয়েন নিক্ষেপ করুন।" ইভেন্ট - "অন্তত একটি মুদ্রার একটি কোট অফ আর্মস থাকবে।" এই ইভেন্টের জন্য অনুকূল প্রাথমিক ফলাফলের সংখ্যা সমান:

4) চার।

3. পরীক্ষা - "দুটি কয়েন নিক্ষেপ করুন।" ইভেন্ট - "মুদ্রার একটিতে অস্ত্রের আবরণ থাকবে।" সমস্ত প্রাথমিক, সমানভাবে সম্ভব, শুধুমাত্র সম্ভব, অসামঞ্জস্যপূর্ণ ফলাফলের সংখ্যা সমান:

4) * চার।

4. কলসটিতে 12টি বল রয়েছে, তারা রঙ ছাড়া অন্য কিছুতে পার্থক্য করে না। এই বলগুলির মধ্যে 5টি কালো এবং 7টি সাদা রয়েছে। ইভেন্ট - "একটি সাদা বল এলোমেলোভাবে আঁকা হয়।" এই ইভেন্টের জন্য, অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা সমান:

5. কলসটিতে 12টি বল রয়েছে, যা রঙ ছাড়া অন্য কিছুতে পার্থক্য করে না। এই বলগুলির মধ্যে 5টি কালো এবং 7টি সাদা রয়েছে। ইভেন্ট - "একটি সাদা বল এলোমেলোভাবে আঁকা হয়।" এই ইভেন্টের জন্য, সমস্ত ফলাফলের সংখ্যা হল:

6. একটি ইভেন্টের সম্ভাব্যতা ব্যবধান থেকে যেকোনো মান গ্রহণ করে:

3)
;

4)
;

5)*
.

7. গ্রাহক ফোন নম্বরের শেষ দুটি সংখ্যা ভুলে গিয়েছিলেন এবং শুধুমাত্র জেনেও যে সেগুলি আলাদা, সেগুলি এলোমেলোভাবে ডায়াল করে৷ কত উপায়ে তিনি এটা করতে পারেন?

1);

2)*;