গাণিতিক পরিসংখ্যান এবং এর পদ্ধতিগুলি। বিভিন্ন ক্ষেত্রে বিশেষজ্ঞের জন্য গাণিতিক পরিসংখ্যান। ভাইবোর্কার জন্য পরিবর্তনের সিরিজের ফর্ম রয়েছে

গাণিতিক পরিসংখ্যান পদ্ধতি

1। পরিচিতি

গাণিতিক পরিসংখ্যান এমন একটি বিজ্ঞান যা এলোমেলো গণ ঘটনার নিদর্শনগুলি অধ্যয়নের জন্য পরীক্ষামূলক তথ্য প্রাপ্ত, বর্ণনা এবং প্রক্রিয়াকরণের পদ্ধতিগুলি বিকাশ করে।

গাণিতিক পরিসংখ্যানগুলিতে দুটি ক্ষেত্রকে পৃথক করা যায়: বর্ণনামূলক পরিসংখ্যান এবং সূচক সংক্রান্ত পরিসংখ্যান (পরিসংখ্যানগত অনুমান)। বর্ণনামূলক পরিসংখ্যানগুলি সুবিধাজনক আকারে পরীক্ষামূলক ডেটা সংগ্রহ, পদ্ধতিবদ্ধকরণ এবং উপস্থাপনের সাথে সম্পর্কিত। এই ডেটা ভিত্তিক ইনডাকটিভ পরিসংখ্যান একজনকে কোন তথ্য সংগ্রহ করা হয় সে সম্পর্কে বা তাদের পরামিতিগুলির অনুমান সম্পর্কে নির্দিষ্ট সিদ্ধান্তগুলি আঁকতে দেয়।

গাণিতিক পরিসংখ্যানগুলির সাধারণ ক্ষেত্রগুলি হ'ল:

1) নমুনা তত্ত্ব;

2) অনুমানের তত্ত্ব;

3) পরিসংখ্যান অনুমানের পরীক্ষা;

4) রিগ্রেশন বিশ্লেষণ;

5) বৈকল্পিক বিশ্লেষণ।

গাণিতিক পরিসংখ্যান এমন অনেকগুলি মৌলিক ধারণার উপর ভিত্তি করে যা ছাড়া পরীক্ষামূলক তথ্য প্রক্রিয়াকরণের আধুনিক পদ্ধতি অধ্যয়ন করা অসম্ভব। এর মধ্যে প্রথমটি হল সাধারণ জনগণের ধারণা এবং নমুনা।

বিপুল শিল্প উত্পাদনে, প্রায়শই প্রতিটি উত্পাদিত পণ্য পরীক্ষা না করে প্রয়োজনীয় হওয়া প্রয়োজন যে পণ্যটির মানটি পূরণ করে কিনা establish যেহেতু উত্পাদিত পণ্যের সংখ্যা খুব বেশি বা পণ্য যাচাইকরণ এটি অকেজো হিসাবে উপস্থাপনের সাথে সম্পর্কিত তাই অল্প সংখ্যক পণ্য চেক করা হয়। এই চেকের ভিত্তিতে, পুরো পণ্য সিরিজের একটি সিদ্ধান্তে পৌঁছাতে হবে। অবশ্যই, আপনি এটি বলতে পারবেন না যে 1 মিলিয়ন পিসের একটি ব্যাচের সমস্ত ট্রানজিস্টর সেগুলির একটিতে যাচাই করে ভাল বা খারাপ। অন্যদিকে, যেহেতু পরীক্ষার জন্য নমুনা প্রক্রিয়া এবং পরীক্ষা নিজেই সময়সাপেক্ষ এবং ব্যয়বহুল হতে পারে তাই পণ্য যাচাইয়ের পরিধিটি এমন হওয়া উচিত যে এটি সর্বনিম্ন আকারের হয়ে ওঠার সময় পুরো ব্যাচগুলির একটি নির্ভরযোগ্য প্রতিনিধিত্ব করতে পারে। এই উদ্দেশ্যে, আমরা প্রচুর ধারণা চালু করব।

অধ্যয়ন করা অবজেক্টস বা পরীক্ষামূলক তথ্যগুলির পুরো সেটটিকে সাধারণ জনসংখ্যা বলা হয়। আমরা N দ্বারা অবজেক্টের সংখ্যা বা সাধারণ জনসংখ্যার উপাত্তের পরিমাণ বোঝাতে চাই। মান N কে সাধারণ জনগণের আয়তন বলে called যদি এন \u003e\u003e 1, অর্থাৎ এন খুব বড় হয় তবে এন \u003d ¥ সাধারণত বিবেচনা করা হয়।

এলোমেলোভাবে নমুনা বা কেবল একটি নমুনা সাধারণ জনগণের একটি অংশ এটি থেকে এলোমেলোভাবে নির্বাচিত। "এলোমেলো" শব্দের অর্থ সাধারণ জনগণ থেকে যে কোনও বস্তু বেছে নেওয়ার সম্ভাবনা একই। এটি একটি গুরুত্বপূর্ণ অনুমান, তবে বাস্তবে এটি পরীক্ষা করা প্রায়শই কঠিন।

নমুনার আকার হ'ল বস্তুর সংখ্যা বা উপাত্তের পরিমাণ যা নমুনাটি তৈরি করে এবং এটি এন ... এরপরে, আমরা ধরে নেব যে নমুনার উপাদানগুলি যথাক্রমে নির্ধারিত হতে পারে, সংখ্যার মানগুলি x 1, x 2, ... x n। উদাহরণস্বরূপ, উত্পাদিত বাইপোলার ট্রানজিস্টরের মান নিয়ন্ত্রণের প্রক্রিয়াতে এটি তাদের ডিসি লাভের পরিমাপ হতে পারে।

2. নমুনার সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্য

2.1 নমুনা গড়

আকার n এর একটি নির্দিষ্ট নমুনার জন্য, এর নমুনাটির অর্থ

অনুপাত দ্বারা নির্ধারিত হয়

যেখানে x i হ'ল নমুনা উপাদানগুলির মান। সাধারণত, আপনি এলোমেলো নমুনার পরিসংখ্যানগত বৈশিষ্ট্যগুলি বর্ণনা করতে চান, এবং এর মধ্যে একটিও নয়। এর অর্থ হ'ল একটি গাণিতিক মডেল বিবেচনা করা হচ্ছে, যা আকার এন এর পর্যাপ্ত পরিমাণে নমুনা ধরে নেয়। এই ক্ষেত্রে, নমুনা উপাদানগুলি এলোমেলো পরিবর্তনশীল এক্স i হিসাবে বিবেচনা করা হয়, সম্ভাব্যতা ঘনত্ব f (x) এর সাথে x i মান গ্রহণ করে, যা সাধারণ জনগণের সম্ভাবনার ঘনত্ব। তারপরে নমুনা গড়টিও এলোমেলো পরিবর্তনশীল

সমান

আগের মতো, আমরা বড় হাতের অক্ষর দ্বারা র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি এবং র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মানগুলি - ছোট হাতের দ্বারা চিহ্নিত করব।

নমুনা তৈরি করা হয় এমন সাধারণ জনগণের গড় মানকে সাধারণ গড় বলা হবে এবং এম x দ্বারা চিহ্নিত করা হবে। এটি আশা করা যায় যে যদি নমুনার আকারটি উল্লেখযোগ্য হয়, তবে নমুনার গড়টি সাধারণ গড় থেকে উল্লেখযোগ্যভাবে পৃথক হবে না। যেহেতু নমুনা গড়টি একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল তাই গাণিতিক প্রত্যাশা এটির জন্য পাওয়া যাবে:

সুতরাং, নমুনা গড়টির গাণিতিক প্রত্যাশা সাধারণ গড়ের সমান। এক্ষেত্রে, নমুনা গড়কে সাধারণ গড়ের নিরপেক্ষ অনুমান বলা হয়। আমরা পরে এই পদে ফিরে আসব। যেহেতু নমুনা গড়টি একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল যা সাধারণ গড়ের প্রায় ওঠানামা করে, সুতরাং নমুনা গড়ের বৈচিত্রটি ব্যবহার করে এই ওঠানামাটি অনুমান করা বাঞ্চনীয়। একটি নমুনা বিবেচনা করুন যার আকার n সাধারণ জনসংখ্যার N (n) এর চেয়ে তুলনামূলকভাবে কম<< N). Предположим, что при формировании выборки характеристики генеральной совокупности не меняются, что эквивалентно предположению N = ¥. Тогда

এলোমেলো ভেরিয়েবল এক্স i এবং এক্স জ (i¹j) স্বাধীন হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে,

এই ফলাফলটি বৈকল্পিক সূত্রে প্রতিস্থাপন করুন:

যেখানে s 2 হ'ল সাধারণ জনগণের বৈচিত্র।

এই সূত্রটি থেকে এই সূত্রটি অনুসরণ করা হয় যে নমুনার আকার বাড়ার সাথে সাথে, নমুনার ওঠানামা মানেই সাধারণ গড় প্রায় 2 / n হিসাবে হ্রাস হ্রাস পায়। আসুন এটি একটি উদাহরণ দিয়ে ব্যাখ্যা করি। গাণিতিক প্রত্যাশা এবং বৈকল্পিকের সাথে যথাক্রমে m x \u003d 10, s 2 \u003d 9 এর সমান একটি এলোমেলো সংকেত থাকুক।

সংকেত নমুনাগুলি সমান সময়ে t 1, t 2, ..., নেওয়া হয়

এক্স (টি)
এক্স 1

t 1 t 2। ... ... t n t

যেহেতু নমুনাগুলি এলোমেলো পরিবর্তনশীল, তাই আমরা তাদেরকে X (টি 1), এক্স (টি 2) দ্বারা চিহ্নিত করব ,. ... ... , এক্স (টি এন)

আসুন গণনার সংখ্যাটি নির্ধারণ করি যাতে সিগন্যালের গাণিতিক প্রত্যাশার প্রাক্কলনটি তার গাণিতিক প্রত্যাশার 1% অতিক্রম না করে। যেহেতু মি x \u003d 10, এটি প্রয়োজনীয়

অন্যদিকে, অতএব, বা এ থেকে আমরা সেই এন ³ 900 নমুনা পাই।

2.2 নমুনা বৈকল্পিক

নমুনা তথ্যের জন্য, কেবলমাত্র নমুনাটির অর্থ নয়, নমুনার গড়ের চারপাশে নমুনার মানগুলির বিস্তারও জানা গুরুত্বপূর্ণ। যদি নমুনা গড়টি সাধারণ গড়ের একটি অনুমান হয়, তবে নমুনার বৈকল্পিকটি সাধারণ পরিবর্তনের একটি অনুমান হওয়া উচিত। নমুনা বৈকল্পিক

র্যান্ডম ভেরিয়েবল সমন্বিত একটি নমুনার জন্য নিম্নলিখিত হিসাবে নির্ধারিত হয়

নমুনা বৈকল্পিকতার এই উপস্থাপনাটি ব্যবহার করে আমরা এর গাণিতিক প্রত্যাশা খুঁজে পাই

(ইপি। ভ্রুবলভস্কি, ও.ই. লিখাচেভ, এল.জি. ভ্রুব্লভস্কায়া)

গবেষণায় কিছু নির্দিষ্ট পদ্ধতি প্রয়োগ করা, শেষ পর্যন্ত পরীক্ষকটি গবেষণার অধীনে ঘটনাকে চিহ্নিত করার জন্য ডিজাইন করা বিভিন্ন সংখ্যার সূচকগুলির বৃহত বা ছোট সেট পান। তবে পদ্ধতিগতকরণ এবং প্রাপ্ত ফলাফলগুলির যথাযথ প্রক্রিয়াকরণ ছাড়াই, তথ্যগুলির গভীর ও ব্যাপক বিশ্লেষণ ছাড়া তাদের মধ্যে থাকা তথ্যগুলি উত্তোলন, নিদর্শনগুলি আবিষ্কার করা এবং সু-ভিত্তিক সিদ্ধান্তগুলি আঁকানো সম্ভব নয়। পাঠ্যে প্রদত্ত ফলাফলগুলির গাণিতিক প্রক্রিয়াকরণের সবচেয়ে প্রাথমিক এবং যথেষ্ট অ্যাক্সেসযোগ্য পদ্ধতি হ'ল একটি প্রদর্শনী প্রকৃতির nature এর অর্থ হল যে উদাহরণগুলি একটি বা অন্য গাণিতিক এবং পরিসংখ্যান পদ্ধতির প্রয়োগের চিত্র তুলে ধরে এবং এর বিশদ ব্যাখ্যা দেয় না।

গড় মান এবং প্রকরণের সূচকআরও প্রয়োজনীয় বিষয় সম্পর্কে কথা বলার আগে, সাধারণ এবং নমুনা জনসংখ্যার হিসাবে এই জাতীয় পরিসংখ্যান ধারণাগুলি বোঝা দরকার। যে কোনও চিহ্ন দ্বারা একত্রিত সংখ্যার একদলকে সংগ্রহ বলা হয় . কিছু বস্তুর উপর করা পর্যবেক্ষণগুলি ব্যতিক্রম ছাড়া অধ্যয়নকৃত জনসংখ্যার সমস্ত সদস্যকে কভার করতে পারে বা এর কেবলমাত্র একটি নির্দিষ্ট অংশ পরীক্ষা করার ক্ষেত্রে সীমাবদ্ধ থাকতে পারে। প্রথম ক্ষেত্রে, পর্যবেক্ষণটিকে বলা হবে ধারাবাহিক, বা সম্পূর্ণ, দ্বিতীয়টিতে - আংশিক বা নির্বাচিত। একটি সম্পূর্ণ সমীক্ষা খুব কমই করা হয়, কারণ বেশ কয়েকটি কারণে এটি কার্যত অচল বা অযৌক্তিক। সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ, অ্যাথলেটিক্সের সমস্ত মাস্টারদের পরীক্ষা করা অসম্ভব। সুতরাং, অবিচ্ছিন্ন বেশিরভাগ ক্ষেত্রে, অবিচ্ছিন্ন পর্যবেক্ষণের পরিবর্তে, জরিপ করা জনগোষ্ঠীর কিছু অংশ অধ্যয়নের শিকার হয়, যার মতে সামগ্রিকভাবে এর অবস্থা বিচার করা হয়।

যে জনসংখ্যা থেকে এর সদস্যদের একটি অংশ যৌথ অধ্যয়নের জন্য নির্বাচিত হয় তাকে সাধারণ জনসংখ্যা বলা হয় এবং এই জনসংখ্যার যে অংশটি একটি বা অন্যভাবে নির্বাচিত হয় তাকে নমুনা জনসংখ্যা বা কেবল নমুনা বলা হয়। এটি পরিষ্কার করা উচিত যে সাধারণ জনগণের ধারণাটি আপেক্ষিক। একটি ক্ষেত্রে, এগুলি সমস্ত ক্রীড়াবিদ, এবং অন্যটিতে - শহর, বিশ্ববিদ্যালয়। সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ, সাধারণ জনসংখ্যা সমস্ত বিশ্ববিদ্যালয়ের শিক্ষার্থী হতে পারে এবং নমুনাটি ফুটবল বিশেষজ্ঞের শিক্ষার্থী হতে পারে। যে কোনও জনগোষ্ঠীর অবজেক্টের সংখ্যাকে ভলিউম বলা হয় (সাধারণ জনসংখ্যার আকার এন দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, এবং নমুনার আকার এন হয়)।

ধারণা করা হয় যে যথাযথ নির্ভরযোগ্যতার সাথে নমুনাটি সাধারণ জনগণকে প্রতিনিধিত্ব করে কেবল যদি এর উপাদানগুলি সাধারণ জনগোষ্ঠী থেকে অ-প্রবণতাযুক্ত পদ্ধতিতে নির্বাচন করা হয়। এটি করার বিভিন্ন উপায় রয়েছে: এলোমেলো সংখ্যার একটি টেবিল অনুসারে একটি নমুনা নির্বাচন করা, সাধারণ জনসংখ্যাকে বিভিন্ন নন-ওভারল্যাপিং গোষ্ঠীতে বিভক্ত করা, যখন প্রতিটি থেকে নির্দিষ্ট সংখ্যক বস্তু নির্বাচন করা হয় ইত্যাদি etc.

নমুনার আকার হিসাবে, গাণিতিক পরিসংখ্যানের প্রাথমিক বিধান অনুসারে, নমুনাটি যত বেশি প্রতিনিধি (আরও প্রতিনিধি), তত বেশি সম্পূর্ণ হয়। একজন গবেষক, তার কাজের লাভের জন্য চেষ্টা করে, একটি ন্যূনতম নমুনার আকারে আগ্রহী এবং এমন পরিস্থিতিতে নমুনায় নির্বাচিত বস্তুর সংখ্যা একটি আপোস সমাধানের ফলাফল। নমুনাটি কতটা সাধারণ জনগণের প্রতিনিধিত্ব করতে যথেষ্ট নির্ভরযোগ্য তা জানতে, বেশ কয়েকটি সূচক (পরামিতি) নির্ধারণ করা প্রয়োজন।

পাটিগণিত গড় গণনা করানমুনার গাণিতিক গড়টি পর্যবেক্ষণের ক্ষেত্রে অধ্যয়নিত এলোমেলো ভেরিয়েবলের মানগুলির গড় স্তরের বৈশিষ্ট্যকে চিহ্নিত করে এবং পর্যবেক্ষণের মোট সংখ্যার দ্বারা অধ্যায়ের গুণাবলীর স্বতন্ত্র মানগুলির যোগফলকে ভাগ করে গণনা করা হয়:

, (1)

যেখানে এক্স i - সারি বৈকল্পিক;

n জনসংখ্যার আয়তন।

যোগফল এর ডানদিকে থাকা সেই ডেটার সংষ্টি বোঝাতে ব্যবহৃত হয়। নিম্ন এবং উচ্চতর সূচকগুলি - সংযোজনটি শুরু হওয়া উচিত এবং কোনটি সূচক দিয়ে শেষ করতে হবে তা নির্দেশ করে। সুতরাং, এর অর্থ এটি 1 থেকে সমস্ত 1 টিতে অর্ডিনাল সংখ্যাযুক্ত যুক্ত করা দরকার পি... সাইনটি প্রথম থেকে শেষ সূচক পর্যন্ত সমস্ত x এর যোগফল দেখায়।

সুতরাং, সূত্র (1) ব্যবহার করে গণনাগুলি নিম্নলিখিত পদ্ধতিটি ধরে নেয়:

1. সমস্ত প্রাপ্ত x এর সমষ্টি, অর্থাৎ,

2. প্রাপ্ত পরিমাণ - জনসংখ্যার আকার দ্বারা বিভক্ত পি।

সূচকগুলির সাথে কাজ করার সুবিধার্থে এবং স্পষ্টতার জন্য, এটি একটি টেবিল আঁকা প্রয়োজন, যেহেতু তারা সংযোজন সাপেক্ষে একাদশ প্রথম থেকে শেষ সংখ্যায় পুনরাবৃত্তি হয়েছে।

উদাহরণস্বরূপ, গাণিতিক গড়টি সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়:

পরিমাপের ফলাফলগুলি সারণি 1-এ দেখানো হয়েছে।

1 নং টেবিল

অ্যাথলিট পরীক্ষার ফলাফল

পরীক্ষার ফলাফল হিসাবে প্রাপ্ত ডেটাগুলি পরিবর্তনশীলতার দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, যা এলোমেলো ত্রুটির কারণে ঘটতে পারে: পরিমাপ করার ডিভাইসের ত্রুটি, নমুনাগুলির ভিন্নতা ইত্যাদি etc. প্রচুর পরিমাণে একজাতীয় তথ্য পরিচালনার পরে, পরীক্ষামূলক বিবেচনাধীন মান সম্পর্কে সুনির্দিষ্ট তথ্য আহরণের জন্য তাদের প্রক্রিয়া করা প্রয়োজন। পরিমাপের তথ্য, পর্যবেক্ষণ, ইত্যাদির বৃহত অ্যারেগুলি প্রক্রিয়াজাতকরণের জন্য, যা পরীক্ষার সময় পাওয়া যায়, এটি ব্যবহার করা সুবিধাজনক গাণিতিক পরিসংখ্যান পদ্ধতি.

গাণিতিক পরিসংখ্যান সম্ভাবনার তত্ত্বের সাথে অবিচ্ছেদ্যভাবে যুক্ত, তবে এই বিজ্ঞানের মধ্যে একটি উল্লেখযোগ্য পার্থক্য রয়েছে। সম্ভাব্যতা তত্ত্বটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলগুলির ইতিমধ্যে পরিচিত বিতরণগুলি ব্যবহার করে, যার ভিত্তিতে ঘটনার সম্ভাবনাগুলি, গাণিতিক প্রত্যাশা ইত্যাদি গণনা করা হয়। গাণিতিক পরিসংখ্যান সমস্যা - পরীক্ষামূলক তথ্যের উপর ভিত্তি করে একটি এলোমেলো ভেরিয়েবল বিতরণ সম্পর্কে সবচেয়ে নির্ভরযোগ্য তথ্য পেতে।

টিপিক্যাল দিকনির্দেশ গাণিতিক পরিসংখ্যান:

• নমুনা তত্ত্ব;
• অনুমানের তত্ত্ব;
• পরিসংখ্যান অনুমানের পরীক্ষা;
• রিগ্রেশন বিশ্লেষণ;
• বৈকল্পিক বিশ্লেষণ।

গাণিতিক পরিসংখ্যান পদ্ধতি

অনুমানের মূল্যায়ন ও পরীক্ষার পদ্ধতিগুলি ডেটা উত্সের সম্ভাব্য এবং হাইপার-এলোমেলো মডেলের উপর ভিত্তি করে।

গাণিতিক পরিসংখ্যানগুলি সেগুলি থেকে প্যারামিটার এবং ফাংশনগুলি অনুমান করে, যা বিতরণের গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্যগুলি উপস্থাপিত করে (মিডিয়ান, গাণিতিক প্রত্যাশা, স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি, কোয়ান্টাইলস, ইত্যাদি), ঘনত্ব এবং বিতরণ কার্যাদি ইত্যাদি etc.

আধুনিক গাণিতিক পরিসংখ্যানগুলিতে একটি বড় বিভাগ রয়েছে - পরিসংখ্যানক্রমিক ক্রম বিশ্লেষণ, এতে এটি একটি অ্যারে দ্বারা পর্যবেক্ষণের একটি অ্যারে গঠনের অনুমতিপ্রাপ্ত।

গাণিতিক পরিসংখ্যানেও সাধারণ থাকে অনুমান পরীক্ষার তত্ত্ব এবং প্রচুর পদ্ধতিতে methods নির্দিষ্ট অনুমান পরীক্ষা (উদাহরণস্বরূপ, বিতরণের প্রতিসাম্যতা সম্পর্কে, প্যারামিটারগুলি এবং বৈশিষ্ট্যের মান সম্পর্কে, প্রদত্ত বন্টন ফাংশনের সাথে অনুশীলনমূলক বিতরণ ফাংশনের চুক্তি সম্পর্কে, সমজাতীয়তা পরীক্ষা করার জন্য হাইপোথিসিস (দুটি নমুনায় বৈশিষ্ট্য বা বন্টন কার্যকারিতা)) ইত্যাদি।

পরিচালনা করে নমুনা জরিপহাইপোথেসিসগুলি মূল্যায়ন ও পরীক্ষার জন্য পর্যাপ্ত পদ্ধতিগুলি নির্মাণের সাথে সম্পর্কিত, বিভিন্ন স্যাম্পলিং স্কিমগুলির বৈশিষ্ট্য সহ, গাণিতিক পরিসংখ্যানের বিভাগটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। গাণিতিক পরিসংখ্যানগুলির পদ্ধতিগুলি নিম্নলিখিত নীচের ধারণাগুলি সরাসরি ব্যবহার করে।

নমুনা

সংজ্ঞা ১

নমুনা পরীক্ষার সময় প্রাপ্ত ডেটাগুলি বলা হয়।

উদাহরণস্বরূপ, একই গুলি বা একই রকম একটি বন্দুকের দলকে গুলি করার সময় বুলেটের পরিসরের ফলাফল।

অভিজ্ঞতা অভিজ্ঞতা বিতরণ

মন্তব্য 1

বিতরণ কার্যক্রম এলোমেলো ভেরিয়েবলের সমস্ত গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য প্রকাশ করা সম্ভব করে।

গাণিতিক পরিসংখ্যানগুলিতে একটি ধারণা রয়েছে তাত্ত্বিক (আগে থেকে জানা যায় না) এবং অভিজ্ঞতা বিতরণ ফাংশন।

অভিজ্ঞতা অভিজ্ঞতা (অভিজ্ঞতা অভিজ্ঞতা) থেকে পরীক্ষামূলক ফাংশন নির্ধারিত হয়, অর্থাৎ। নমুনা দ্বারা।

বার গ্রাফ

হিস্টোগ্রামগুলি কোনও অজানা বিতরণের উপস্থাপনের জন্য দৃশ্যমান, বরং আনুমানিকের জন্য ব্যবহৃত হয়।

বার গ্রাফ ডেটা বিতরণের একটি গ্রাফিকাল উপস্থাপনা।

একটি উচ্চমানের হিস্টোগ্রাম পেতে, নিম্নলিখিত অনুসরণ করুন বিধি:

• নমুনার উপাদানগুলির সংখ্যা নমুনার আকারের তুলনায় উল্লেখযোগ্যভাবে কম হওয়া উচিত।
• বিভক্ত বিরতিতে পর্যাপ্ত পরিমাণে নমুনা আইটেম থাকতে হবে।

যদি নমুনাটি খুব বড় হয় তবে নমুনা উপাদানগুলির ব্যবধানটি প্রায়শই সমান অংশে বিভক্ত হয়।

নমুনা গড় এবং নমুনা বৈকল্পিক

এই ধারণাগুলির সাহায্যে, কোনও বিতরণ ফাংশন, একটি হিস্টোগ্রাম ইত্যাদি নির্মাণের অবলম্বন না করে অজানা বিতরণের প্রয়োজনীয় সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্যের একটি অনুমান পাওয়া সম্ভব is

এলোপাতাড়ি মূল্য এবং তাদের বিভাগের আইন

এলোমেলো এ জাতীয় মান বলা হয় যা এলোমেলো পরিস্থিতিতে কাকতালীয় উপর নির্ভর করে মান গ্রহণ করে। পার্থক্য বিযুক্ত এবং এলোমেলো একটানা বিশালতা।

বিযুক্তমানগুলির একটি গণনামূলক সেট নিলে একটি পরিমাণকে বলা হয়। ( উদাহরণ:চিকিৎসকের অ্যাপয়েন্টমেন্টে রোগীর সংখ্যা, পৃষ্ঠায় বর্ণের সংখ্যা, প্রদত্ত পরিমাণে অণু সংখ্যা) of

একটানাএকটি পরিমাণ যা নির্দিষ্ট ব্যবধানের মধ্যে মান গ্রহণ করতে পারে। ( উদাহরণ: বায়ু তাপমাত্রা, শরীরের ওজন, মানুষের উচ্চতা ইত্যাদি)

বিতরণ আইন একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল হ'ল এই পরিমাণের সম্ভাব্য মানগুলির একটি সেট এবং এই মানগুলি, সম্ভাবনাগুলি (বা ঘটনার ফ্রিকোয়েন্সি) এর সাথে মিল।

পিআরআই আমার আর:

এক্স	x 1	x 2	এক্স 3	x 4	...	x এন
পি	পি 1	পি 2	পি 3	পি 4	...	পি এন

এক্স	x 1	x 2	এক্স 3	x 4	...	x এন
মি	মি	মি 2	মি	মি 4	...	মি এন

র্যান্ডম ভ্যালুগুলির সংখ্যাযুক্ত বৈশিষ্ট্য।

অনেক ক্ষেত্রে, একটি এলোমেলো ভেরিয়েবল বিতরণের পাশাপাশি বা তার পরিবর্তে, এই পরিমাণগুলির সম্পর্কে সংখ্যার পরামিতি দ্বারা সরবরাহ করা যেতে পারে, যাকে বলা হয় এলোমেলো ভেরিয়েবলের সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্য ... সর্বাধিক সাধারণ:

1 .প্রত্যাশিত মান - একটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের (গড় মান) হ'ল এই মানগুলির সম্ভাব্যতা দ্বারা তার সম্ভাব্য সমস্ত মানের পণ্যগুলির যোগফল:

2 .ছত্রভঙ্গ দৈব চলক:

3 .বর্গ বিচ্যুতি মানে :

"তিনটি সিগমা" বিধি - যদি সাধারণ আইন অনুসারে একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল বিতরণ করা হয়, তবে পরম মানের মধ্যে গড় মান থেকে এই মানটির বিচ্যুতি স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতির চেয়ে তিনগুণ বেশি হয় না

গস আইন - সাধারণ বিধি আইন

প্রায়শই পরিমাণে বিতরণ করা হয় সাধারণ আইন (গাউসের আইন) প্রধান বৈশিষ্ট্য : এটি এমন একটি সীমাবদ্ধ আইন যার দিকে অন্যান্য বিতরণ আইন আসে।

এলোমেলো ভেরিয়েবল সাধারণ আইন অনুসারে বিতরণ করা হয় যদি তা হয় সম্ভাব্য ঘনত্ব দেখতে:

এম (এক্স)- একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল এর গাণিতিক প্রত্যাশা;

sমান বিচ্যুতি।

সম্ভাব্য ঘনত্ব (বিতরণ ফাংশন) দেখায় যে কীভাবে অন্তরটির সাথে সম্পর্কিত সম্ভাবনা পরিবর্তন হয় dx পরিমাণের মানের উপর নির্ভর করে একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল:

গাণিতিক পরিসংখ্যানগুলির বেসিক ধারণাগুলি TS

গণিতের পরিসংখ্যান - সম্ভাব্যতার তত্ত্বের সাথে সরাসরি সম্পর্কিত প্রয়োগ করা গণির একটি অংশ। গাণিতিক পরিসংখ্যান এবং সম্ভাব্যতা তত্ত্বের মধ্যে প্রধান পার্থক্য হ'ল গাণিতিক পরিসংখ্যানগুলিতে এটি বিতরণ আইন এবং এলোমেলো ভেরিয়েবলের সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্যগুলি বিবেচনা করা হয় না, তবে পরীক্ষাগুলির ফলাফলের ভিত্তিতে এই আইনগুলি এবং সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্যগুলি সন্ধানের আনুমানিক পদ্ধতিগুলি।

মৌলিক ধারণা গাণিতিক পরিসংখ্যান হ'ল:

1. সাধারণ জনগন;

2. নমুনা;

3. প্রকরণের সীমা;

4. ফ্যাশন;

5. মধ্যমা;

6. শতকরা,

7. ফ্রিকোয়েন্সি বহুভুজ,

8. বার গ্রাফ

সাধারণ জনগন- একটি বিশাল পরিসংখ্যান জনসংখ্যা, যা থেকে কিছু বস্তু গবেষণার জন্য নির্বাচিত হয়

(উদাহরণ: অঞ্চলটির সমগ্র জনসংখ্যা, প্রদত্ত একটি শহরের বিশ্ববিদ্যালয়ের শিক্ষার্থী ইত্যাদি))

নমুনা (নমুনা জনসংখ্যা) - সাধারণ জনগোষ্ঠী থেকে নির্বাচিত বস্তুর একটি সেট।

বিভিন্ন সিরিজ- পরিসংখ্যান বিতরণ, একটি বৈকল্পিক (একটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের মান) এবং সংশ্লিষ্ট ফ্রিকোয়েন্সি সমন্বয়ে।

উদাহরণ:

এক্স, কেজি

মি

এক্স - একটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের মান (10 বছর বয়সের মেয়েদের ওজন);

মি- ঘটনার ফ্রিকোয়েন্সি।

ফ্যাশন - একটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের মান, যা ঘটনার সর্বোচ্চ ফ্রিকোয়েন্সি এর সাথে মিলে যায়। (উপরের উদাহরণে মোডটি 24 কেজি মানের সাথে মিলে যায়, এটি অন্যের চেয়ে বেশি সাধারণ: মি \u003d 20)।

মধ্যমা - একটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের মান যা বিতরণকে অর্ধেকভাগে ভাগ করে দেয়: মানগুলির অর্ধেকটি মাঝের ডানদিকে অবস্থিত, অর্ধেক (আর নেই) - বাম দিকে।

উদাহরণ:

1, 1, 1, 1, 1. 1, 2, 2, 2, 3 , 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 , 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8 , 8, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10

উদাহরণস্বরূপ, আমরা একটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের 40 টি মান পর্যবেক্ষণ করি। সমস্ত মান তাদের সংঘটনগুলির ফ্রিকোয়েন্সি ভিত্তিতে আরোহী ক্রমে সাজানো হয়। আপনি দেখতে পাচ্ছেন যে 40 টির মধ্যে 20 (অর্ধেক) হাইলাইট করা মান 7 এর ডানদিকে অবস্থিত। সুতরাং, 7 হ'ল মিডিয়ান ian

বিক্ষিপ্ত বৈশিষ্ট্যযুক্ত করতে, আমরা পরিমাপের ফলাফলগুলির 25 এবং 75% এর বেশি না হওয়া মানগুলি পাই। এই মানগুলিকে 25 তম এবং 75 তম বলা হয় শতকরা ... মিডিয়ান যদি বিতরণটি অর্ধেক করে দেয় তবে 25 তম এবং 75 তম পার্সেন্টাইলগুলি এক চতুর্থাংশের মধ্যে কেটে যায়। (যাইহোক, মিডিয়ানটি নিজেই 50 তম পার্সেন্টাইল হিসাবে বিবেচিত হতে পারে)) উদাহরণ হিসাবে আপনি দেখতে পাচ্ছেন, 25 তম এবং 75 তম শতাংশটি যথাক্রমে 3 এবং 8 এর সমান।

ব্যবহার বিযুক্ত (পয়েন্ট) পরিসংখ্যান বিতরণ এবং একটানা (অন্তর) পরিসংখ্যান বিতরণ।

স্বচ্ছতার জন্য, পরিসংখ্যান বিতরণ হিসাবে গ্রাফিক চিত্রিত হয় ফ্রিকোয়েন্সি বহুভুজ বা - হিস্টোগ্রাম .

ফ্রিকোয়েন্সি বহুভুজ- পললাইন, যে অংশগুলির সাথে স্থানাঙ্কের সাথে পয়েন্টগুলি সংযুক্ত হয় ( x 1, মি 1), (এক্স 2, মি 2), ..., বা জন্য আপেক্ষিক ফ্রিকোয়েন্সিগুলির বহুভুজ - স্থানাঙ্ক সহ ( এক্স 1, পি * 1), (এক্স 2, পি * 2), ... (আকার 1).

এম এম আমি / এন এফ (এক্স)

ডুমুর। 1 চিত্র 2

ফ্রিকোয়েন্সি হিস্টোগ্রাম- একটি সরলরেখায় নির্মিত সংলগ্ন আয়তক্ষেত্রের একটি সেট (চিত্র 2), আয়তক্ষেত্রগুলির ভিত্তি একই এবং সমান dx , এবং উচ্চতাগুলি ফ্রিকোয়েনির অনুপাতের সমান dx , বা আর * প্রতি dx (সম্ভাব্য ঘনত্ব).

উদাহরণ:

এক্স, কেজি	2,7	2,8	2,9	3,0	3,1	3,2	3,3	3,4	3,5	3,6	3,7	3,8	3,9	4,0	4,1	4,2	4,3	4,4
মি

ফ্রিকোয়েন্সি বহুভুজ

ব্যবধানের প্রস্থের সাথে আপেক্ষিক ফ্রিকোয়েন্সিটির অনুপাত বলা হয় সম্ভাব্যতা ঘনত্ব f (x) \u003d মি i / n ডেক্স \u003d পি * আই / ডিএক্স

হিস্টোগ্রাম নির্মাণের একটি উদাহরণ .

আগের উদাহরণ থেকে ডেটা ব্যবহার করা যাক।

1. শ্রেণীর অন্তরগুলির সংখ্যা গণনা

কোথায় এন - পর্যবেক্ষণ সংখ্যা। আমাদের ক্ষেত্রে এন = 100 ... সুতরাং:

2. বিরতি প্রস্থ গণনা dx :

,

3. একটি বিরতি সিরিজ অঙ্কন:

dx	2.7-2.9	2.9-3.1	3.1-3.3	3.3-3.5	3.5-3.7	3.7-3.9	3.9-4.1	4.1-4.3	4.3-4.5
মি
চ (এক্স)	0.3	0.75	1.25	0.85	0.55	0.6	0.4	0.25	0.05

বার গ্রাফ

ফলাফলের মূল্যায়ন করে নির্দিষ্ট নমুনা তথ্যের ভিত্তিতে সমস্যা সমাধানের কৌশল বেছে নেওয়ার জন্য গবেষণা উপকরণগুলির বিশ্লেষণের সমস্ত পর্যায়ে একটি নিয়ম হিসাবে গাণিতিক পরিসংখ্যানগুলির পদ্ধতিগুলি ব্যবহৃত হয়। গাণিতিক পরিসংখ্যানগুলির পদ্ধতিগুলি প্রক্রিয়াজাতকরণের জন্য ব্যবহৃত হত। পদার্থের গাণিতিক প্রক্রিয়াকরণ আপনাকে উদ্দেশ্য সম্পর্কিত তথ্যের পরিমাণগত পরামিতিগুলি পরিষ্কারভাবে সনাক্ত এবং মূল্যায়ন করতে, বিভিন্ন অনুপাত এবং নির্ভরতার মধ্যে বিশ্লেষণ এবং উপস্থাপনের অনুমতি দেয়। তারা আপনাকে কেসগুলির একটি নির্দিষ্ট সেট সম্পর্কে পরিমাণগত তথ্য সম্বলিত সংগৃহীত উপকরণগুলির মধ্যে মূল্যগুলির প্রকরণের পরিমাণ নির্ধারণ করতে অনুমতি দেয়, যার মধ্যে কিছু অভিযোগযুক্ত সংযোগগুলি নিশ্চিত করে, এবং কিছু তাদের প্রকাশ না করে, মামলার নির্বাচিত সেটগুলির মধ্যে পরিমাণগত পার্থক্যের নির্ভরযোগ্যতা গণনা করে, এবং সত্যগুলির সঠিক ব্যাখ্যার জন্য প্রয়োজনীয় অন্যান্য গাণিতিক বৈশিষ্ট্য অর্জন করে। ... অধ্যয়নের সময় প্রাপ্ত পার্থক্যের নির্ভরযোগ্যতা শিক্ষার্থীর টি-টেস্ট দ্বারা নির্ধারিত হয়েছিল।

নিম্নলিখিত মানগুলি গণনা করা হয়েছিল।

1. নমুনার গাণিতিক গড়।

বিবেচনাধীন জনসংখ্যার গড় মূল্য চিহ্নিত করে। আসুন পরিমাপের ফলাফলগুলি চিহ্নিত করুন। তারপরে:

যখন বর্তমান সূচক i 1 থেকে n এ পরিবর্তিত হয় তখন সমস্ত মানগুলির যোগফল Y হয়।

২. প্রমিতের বিচ্যুতি (স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি) বিচ্ছুরণকে চিহ্নিত করে, গণিতের গড়ের তুলনায় বিবেচিত জনসংখ্যার বিচ্ছুরণ।

\u003d (এক্স সর্বাধিক - x মিনিট) / কে

যেখানে স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি

хmaх হ'ল টেবিলের সর্বাধিক মান;

মিনটি সারণির সর্বনিম্ন মান;

k - সহগ

৩. গাণিতিক গড়ের স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটি বা প্রতিনিধিত্বের ত্রুটি (মি)। পাটিগণিত গড়ের স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটিটি সাধারণ জনগণের গাণিতিক গড় থেকে নমুনা গাণিতিক গড়ের বিচ্যুতির মাত্রাকে চিহ্নিত করে।

পাটিগণিতের গড়ের ত্রুটিটি সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়:

যেখানে y হল পরিমাপের ফলাফলগুলির আদর্শ বিচ্যুতি,

n নমুনার আকার। আরও ছোট মি, ফলাফলের স্থায়িত্ব এবং স্থায়িত্ব তত বেশি।

৪. শিক্ষার্থীর মানদণ্ড।

(অঙ্কটি হ'ল দুটি গ্রুপের মাধ্যমের মধ্যে পার্থক্য, ডিনোমিনেটর এই অর্থগুলির স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটির স্কোয়ারের যোগফলের বর্গমূল হয়)।

অধ্যয়নের ফলাফলগুলি প্রক্রিয়া করার সময়, একটি এক্সেল প্যাকেজ সহ একটি কম্পিউটার প্রোগ্রাম ব্যবহৃত হত।

গবেষণা সংস্থা

গবেষণাটি আমাদের দ্বারা গৃহীত সাধারণ নিয়ম অনুসারে চালিত হয়েছিল এবং এটি তিনটি পর্যায়ে সম্পন্ন হয়েছিল।

প্রথম পর্যায়ে বিবেচিত গবেষণা সমস্যার উপর প্রাপ্ত উপাদানগুলি সংগ্রহ করে বিশ্লেষণ করা হয়েছিল। বৈজ্ঞানিক গবেষণার বিষয়টি গঠিত হয়েছিল। এই পর্যায়ে সাহিত্যের বিশ্লেষণ অধ্যয়নের উদ্দেশ্য এবং উদ্দেশ্যগুলি নির্দিষ্ট করে তোলে। 30 মিটার দৌড়ানোর কৌশলটির প্রাথমিক পরীক্ষা করা হয়েছিল।<... class="gads_sm">

তৃতীয় পর্যায়ে, বৈজ্ঞানিক গবেষণার ফলস্বরূপ প্রাপ্ত পদার্থকে পদ্ধতিবদ্ধ করা হয়েছিল, গবেষণা সমস্যা সম্পর্কিত সমস্ত উপলভ্য তথ্যকে সাধারণীকরণ করা হয়েছিল।

পরীক্ষামূলক গবেষণাটি রাজ্য শিক্ষাপ্রতিষ্ঠান "লায়াখোচিচি মাধ্যমিক বিদ্যালয়" এর ভিত্তিতে পরিচালিত হয়েছিল, মোট, স্যাম্পলটি 6 ম শ্রেণীর (11-12 বছর বয়সী) 20 জন শিক্ষার্থীর সমন্বয়ে গঠিত।

অধ্যায় 3. গবেষণা ফলাফল বিশ্লেষণ

শিক্ষাগত পরীক্ষার ফলস্বরূপ, আমরা নিয়ন্ত্রণ এবং পরীক্ষামূলক দলগুলির মধ্যে শিক্ষার্থীদের মধ্যে 30 মিটি চলমান কৌশলটির প্রাথমিক স্তর চিহ্নিত করেছি (পরিশিষ্ট 1-2)। প্রাপ্ত ফলাফলগুলির পরিসংখ্যানিক প্রক্রিয়াকরণ নিম্নলিখিত ডেটা (সারণী 6) প্রাপ্তি সম্ভব করেছে।

ছক 6. চলমান মানের প্রাথমিক স্তর

সারণী from থেকে দেখা যায়, নিয়ন্ত্রণ ও পরীক্ষামূলক গোষ্ঠীর অ্যাথলিটদের মধ্যে গড় পয়েন্টের সংখ্যা পরিসংখ্যানগতভাবে পৃথক হয় না; পরীক্ষামূলক গ্রুপে গড় স্কোর ছিল 3..6 পয়েন্ট এবং নিয়ন্ত্রণ গোষ্ঠীতে ৩. 3. পয়েন্ট ছিল। উভয় গ্রুপে টি-টেস্ট অস্থায়ী \u003d 0.3; পি? 0.05, tcrit এ \u003d 2.1; প্রাথমিক পরীক্ষার ফলাফলগুলি দেখিয়েছিল যে সূচকগুলি প্রশিক্ষণ থেকে স্বতন্ত্র এবং এলোমেলো প্রকৃতির। প্রাথমিক পরীক্ষা অনুসারে, নিয়ন্ত্রণ গ্রুপে চলমান মানের সূচকগুলি পরীক্ষামূলক দলের সদস্যদের তুলনায় কিছুটা বেশি ছিল। তবে দলগুলির মধ্যে কোনও পরিসংখ্যানগতভাবে গুরুত্বপূর্ণ পার্থক্য ছিল না, যা 30 মিটার চালানোর কৌশলতে নিয়ন্ত্রণ এবং পরীক্ষামূলক গ্রুপগুলিতে শিক্ষার্থীদের পরিচয় প্রমাণ করে।

উভয় গ্রুপে পরীক্ষার সময়, সূচকগুলি যা চলমান কৌশলটির কার্যকারিতাটির বৈশিষ্ট্যগুলি উন্নত করে। তবে পরীক্ষায় অংশগ্রহণকারীদের বিভিন্ন গোষ্ঠীতে এই উন্নতি আলাদা ছিল। প্রশিক্ষণের ফলস্বরূপ, নিয়ন্ত্রণ গোষ্ঠীতে সূচকগুলিতে নিয়মিত ছোট বৃদ্ধি প্রকাশিত হয় (৩.৮ পয়েন্ট)। পরিশিষ্ট 2 থেকে দেখা যায়, পরীক্ষামূলক গোষ্ঠীতে সূচকগুলিতে একটি বড় বৃদ্ধি প্রকাশিত হয়েছিল। শিক্ষার্থীরা আমাদের প্রস্তাবিত প্রোগ্রাম অনুযায়ী অধ্যয়ন করেছিল, যা সূচকে উল্লেখযোগ্যভাবে উন্নতি করেছে।

সারণী 7. পরীক্ষামূলক গ্রুপের বিষয়গুলির মধ্যে চলমান মানের পরিবর্তন ges

পরীক্ষা চলাকালীন, আমরা দেখতে পেলাম যে পরীক্ষামূলক গ্রুপে লোড বাড়ানো নিয়ন্ত্রণ গোষ্ঠীর চেয়ে দ্রুততার বিকাশে উল্লেখযোগ্য উন্নতি করেছে।

কৈশোরে, চলাফেরার ফ্রিকোয়েন্সি বাড়ানোর লক্ষ্যে শারীরিক শিক্ষা সরঞ্জামগুলির প্রধান ব্যবহারের মাধ্যমে গতি বিকাশ করার পরামর্শ দেওয়া হয়। 12-15 বছর বয়সে, গতি দক্ষতা বৃদ্ধি পায়, প্রধানত গতি-শক্তি এবং শক্তি অনুশীলনের ব্যবহারের ফলস্বরূপ, যা আমরা শারীরিক সংস্কৃতি পাঠ পরিচালনা এবং বাস্কেটবল এবং অ্যাথলেটিকসের স্পোর্টস বিভাগে বহির্মুখী ক্রিয়াকলাপে ব্যবহার করি।

পরীক্ষামূলক গোষ্ঠীর পাঠ চলাকালীন জটিলতা এবং মোটর অভিজ্ঞতার কঠোর পর্যায়ে পরিচালিত হয়েছিল। ত্রুটিগুলি একটি সময় মতো সংশোধন করা হয়েছিল। প্রকৃত তথ্যের বিশ্লেষণ হিসাবে দেখা গেছে যে পরীক্ষামূলক শিক্ষাদানের পদ্ধতিটি চলমান প্রযুক্তির (টেম্প \u003d ২.৪) মানের উপর উল্লেখযোগ্য পরিবর্তন করেছে had পরীক্ষামূলক গোষ্ঠীতে প্রাপ্ত ফলাফলগুলির বিশ্লেষণ এবং সাধারণভাবে গৃহীত শিক্ষণ পদ্ধতি ব্যবহার করে নিয়ন্ত্রণ গোষ্ঠীতে প্রাপ্ত তথ্যের সাথে তাদের তুলনাটি প্রস্তাবিত পদ্ধতিটি শিক্ষার কার্যকারিতা বাড়িয়ে দেবে এমন দৃ ground় ভিত্তি দেয়।

সুতরাং, স্কুলে 30 মি চালানোর পদ্ধতিটি উন্নত করার পর্যায়ে আমরা পরীক্ষামূলক এবং নিয়ন্ত্রণ গ্রুপগুলিতে পরীক্ষার সূচকগুলির পরিবর্তনের গতিশক্তি চিহ্নিত করেছি। পরীক্ষার পরে, প্রযুক্তির গুণমান পরীক্ষামূলক গোষ্ঠীতে বৃদ্ধি পেয়ে 4.9 পয়েন্টে (টি \u003d 3.3; পি? 0.05) হয়েছে। পরীক্ষা শেষে, পরীক্ষামূলক গ্রুপে চলমান কৌশলগুলির মান নিয়ন্ত্রণ গোষ্ঠীর চেয়ে বেশি ছিল।