• "ইউক্লিডিয়ান অ্যালগরিদম" ধারণাটির সাথে পরিচিত।
• বিভিন্ন গাণিতিক পদ্ধতি সঙ্গে সবচেয়ে সাধারণ diffister খুঁজে পেতে শেখান।

ক্লাস সময়

ইউক্লিডিয়ান অ্যালগরিদম ধারণা

এটি প্রাচীনতম গণিতাত্মক এক, যা 2,000 এরও বেশি বছর ধরে ছিল।

অ্যালগরিদম Euclida খুঁজে বের করার জন্য উদ্ভাবিত হয় সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ divisor পূর্ণসংখ্যা দম্পতি।

সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ divisel

সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ divisel (নোড) একটি সংখ্যা একটি সংখ্যা যা অবশিষ্টাংশ ছাড়াই দুটি নম্বর বিভাজন করে এবং অন্য কোনও ডেটা ডিভাইডার থেকে অবশিষ্টাংশ ছাড়াই নিজেই ভাগ করে।

অন্য কথায়, এটি একটি বৃহত্তম সংখ্যা যার জন্য একটি সাধারণ ডিভাইডার অনুসন্ধান করা হয় যার জন্য দুটি সংখ্যার আলাদা করা সম্ভব।

অ্যালগরিদম নোড বিভাগ খোঁজা

সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ডিভাইডার বিভাগ খোঁজার অ্যালগরিদমের বর্ণনা

বৃহত্তর সংখ্যা কম বিভক্ত করা হয়

এটি একটি ভারসাম্য ছাড়া বিভক্ত করা হয়, তাহলে কম এবং সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ডিভাইডার আছে। এখন আপনি খুঁজে পেতে হবে সাইকেল

যদি একটি অবশিষ্টাংশ থাকে, তাহলে বিভাগ থেকে ভারসাম্য প্রতিস্থাপন

ধারা 1 রূপান্তর।

উদাহরণ:

300 এবং 180 এর জন্য বৃহত্তম সাধারণ ডিভাইডার খুঁজুন।

300/180 \u003d 1 (অবশিষ্টাংশ 120)

180/120 \u003d 1 (অবশিষ্টাংশ 60)

120/60 \u003d 2 (অবশিষ্টাংশ 0)।

শেষ: সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ডিভাইজার 6।

এ সাইকেল "এ" বা "বি" বিভাগের ভারসাম্য দ্বারা নির্ধারিত হয়। যখন কোন অবশিষ্টাংশ নেই (আমরা "A" বা "B তে জানি না, তাই আমরা উভয়ই পরীক্ষা করি শর্তাবলী), চক্র সম্পন্ন হয়।

শেষ পর্যন্ত, সমষ্টি "A" এবং "B" প্রদর্শিত হয়, কারণ আমরা জানি না কোন পরিবর্তনশীল বৃহত্তম সাধারণ ডিভাইডারটি রেকর্ড করা হয়েছে এবং তাদের মধ্যে একজনের মধ্যে 0 এর পরিমাণের পরিমাণকে প্রভাবিত করে না।

অ্যালগরিদম nod বিয়োগ খুঁজে পাওয়ার

সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ডিভাইডার বিয়োগ খুঁজে পাওয়ার জন্য অ্যালগরিদমের বর্ণনা

কম deductible বেশী

এটি 0 আউট হয়ে গেলে, তারপর সংখ্যা একে অপরের সমান এবং সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ডিভাইজার। চক্র থেকে প্রস্থান

যদি বিয়োগের ফলাফল 0 সমান না হয় তবে বৃহত্তর সংখ্যাটি বিয়োগের ফলাফল দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়

ধারা 1 রূপান্তর।

উদাহরণ: সংখ্যা 300 এবং 180 জন্য খুঁজুন।

শেষ:সংখ্যার সবচেয়ে সাধারণ বিভাজক 300 এবং 180 - 60।

দুটি বিভাগের সর্বশ্রেষ্ঠ সামগ্রিক পরিমাপ (বিকল্প বিয়োগ পদ্ধতির পদ্ধতি) খুঁজে পাওয়ার উপায় হিসাবে পাইথাগোরিয়ানদের পরিচিত ছিল।

দুই মহান সাধারণ পরিমাপ ফাইন্ডিং যখন সেগমেন্ট উপরে হিসাবে একই উপায়ে আসে।

অবশিষ্টাংশের সাথে বিচ্ছেদ অপারেশনটি তার জ্যামিতিক এনালগ দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়: লিটল অধ্যায় যতটা সম্ভব যতটা সম্ভব মৃত, এবং একটি বৃহত্তর সেগমেন্টের অবশিষ্ট অংশ (এবং এটি বিভাগের ভারসাম্য) একটি ছোট সেগমেন্টে একপাশে সেট করা হয়।

যদি সেগমেন্ট এএবং বি। গতি, তারপর পরের একটি শূন্য অবশিষ্টাংশ না সেগমেন্টের সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ পরিমাপ দিতে হবে।

তাদের অসহায়তার ক্ষেত্রে, অ-শূন্য অবশিষ্টাংশের ফলে ক্রমটি অসীম হবে।

উদাহরণ:

সেগমেন্ট হিসাবে, একটি সমানভাবে শৃঙ্খলিত ত্রিভুজ এবিসি এর AB এবং AC এর পাশে নিন, যার মধ্যে একটি \u003d সি \u003d 72 °, B \u003d 36 °।

প্রথম অবশিষ্টাংশ হিসাবে, আমরা বিজ্ঞাপন (সিডি-বিস্টিরিস সি) এর একটি সেগমেন্ট পাই, এবং কিভাবে সহজেই দেখতে দেখি, ক্রম এবং শূন্য অবশিষ্টাংশ অসীম হবে।

সুতরাং, এবি এবং এসি সেগমেন্টগুলি সমান নয়।

প্রশ্নঃ

1. একটি ইউক্লাইড অ্যালগরিদম কি?

2. সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ বিভাজক কি?

ব্যবহৃত উত্স তালিকা

1. বিষয়টি পাঠ্যক্রম: "ইভেকলিডা অ্যালগরিদম", কোরচেভা পি। আই, লুৎস্ক

2. বিশেষ করে এ. আই অ্যালগরিদম ইউক্লিডিয়া এবং ক্রমাগত ভগ্নাংশ দ্বারা। - Novosibirsk: Ant, 2003

3. Counthroho সি। সংখ্যা তত্ত্ব প্রবর্তন। অ্যালগরিদম আরএসএ, - এম।, 2001

4. Kostrikin A.i. বীজগণিত - এম, 2000 এর ভূমিকা

সম্পাদিত এবং শিক্ষক দ্বারা পাঠানো কিয়েভ জাতীয় বিশ্ববিদ্যালয়। Taras Shevchenko. Solovyov এম এস।

পাঠের উপর কাজ

Kortecheva পি। আই।

Solovyov এম এস।

ও সম্পর্কে একটি প্রশ্ন রাখুন। আধুনিক শিক্ষা, ধারণা প্রকাশ করুন বা আপনি করতে পারেন urebral সমস্যা সমাধান শিক্ষাগত ফোরাম

অ্যালগরিদম ইউক্লিডা - এটি দুটি পূর্ণসংখ্যার বৃহত্তম সাধারণ ডিভাইডার (নোড) খুঁজে বের করার একটি উপায়। অ্যালগরিদমের মূল সংস্করণটি যখন নোডটি হ্রাস পায়, তখন ইউক্লাইড (তৃতীয় সেঞ্চুরি। বিসি। ই) দ্বারা খোলা হয়েছিল। বর্তমানে, নোডটি গণনা করার সময়, ইউক্লাইড অ্যালগরিদম বিভাগটি ব্যবহার করে, কারণ এই পদ্ধতিটি আরও কার্যকর।

গণনা নোড বিভাগ

সংখ্যার সংখ্যা সর্বাধিক সাধারণ divisor হয় বৃহত্তম সংখ্যা যা উভয় দম্পতির উপর দৃষ্টি নিবদ্ধ করে। সংখ্যা 108 এবং 72 এর জন্য নোডগুলি গণনা করতে হবে। বিভাগটি গণনা করার জন্য অ্যালগরিদম যেমন হবে:

1. আমরা ছোট (ডিভাইডার) থেকে বড় নম্বর (বিভাজন) বিভক্ত করুন (ডিভাইডার): 108/72 \u003d 1, অবশিষ্ট 36।
2. যেহেতু অবশিষ্টাংশ শূন্য ছিল না, তাই আমরা একটি বিভাজক বিভক্ত করা হবে, এবং অবশিষ্টাংশ একটি ডিভাইডার: 72/36 \u003d 2, অবশিষ্টাংশ 0।
3. যখন অবশিষ্টাংশ শূন্য হয়, বিভাজক নির্দিষ্ট সংখ্যার একটি জোড়া জন্য পছন্দসই নোড। অর্থাৎ, নোড (108, 72) \u003d 36. প্রকৃতপক্ষে, 108/36 \u003d 3 এবং 72/36 \u003d ২।

এই অ্যালগরিদম অবশিষ্টাংশ শূন্য হয়ে না হওয়া পর্যন্ত বিভাগ পুনরাবৃত্তি করা হয়। যখন সে হয়ে যায় নোড শেষ বিভাগের একটি বিভাজক। উদাহরণস্বরূপ, এটি একটি নোড খুঁজে বের করতে হবে (106, 16):

1. 106/16 \u003d 6, অবশিষ্টাংশ 10
2. 16/10 \u003d 1, অবশিষ্টাংশ 6
3. 10/6 \u003d 1, অবশিষ্টাংশ 4
4. 6/4 \u003d 1, অবশিষ্টাংশ 2
5. 4/2 \u003d 2, অবশিষ্টাংশ 0
6. নোড (106, 16) \u003d 2

গণনা নোড সাবট্রাকশন

একটি নোড বিয়োগ খুঁজে বের করার সময়, শূন্য এছাড়াও প্রয়োজন হয়। অ্যালগরিদম বিভাগের পদ্ধতির অনুরূপ, শুধুমাত্র প্রতিটি পরবর্তী পর্যায়ে এখানে, পূর্ববর্তী পদক্ষেপ থেকে বিয়োগযোগ্য এবং পার্থক্য হ্রাসযোগ্য এবং হ্রাস করা হয়। একই সময়ে, এটি সর্বদা একটি বৃহত্তর সংখ্যা থেকে কাটা হয়। অ্যালগরিদম এই বিভিন্ন ইতিবাচক পূর্ণসংখ্যার জন্য শুধুমাত্র উপযুক্ত।

একটি নোড খুঁজে বের করতে হবে (108, 72):

1. 108 - 72 = 36
2. 72 - 36 = 36
3. 36 - 36 = 0
4. নোড (108, 72) \u003d 36

আমরা একটি নোড খুঁজে পাবেন (44, 60):

1. 60 - 44 = 16
2. 44 - 16 = 28
3. 28 - 16 = 12
4. 16 - 12 = 4
5. 12 - 4 = 8
6. 8 - 4 = 4
7. 4 - 4 = 0
8. নোড (44, 60) \u003d 4

এই অ্যালগরিদম কখনও কখনও ভিন্নভাবে বর্ণনা করা হয়। বিয়োগ আগে শেষ, একটি ধাপে, যখন এক নম্বর অন্যের উপর দৃষ্টি নিবদ্ধ করা হয়। যে, যাচাই চেক সঙ্গে বিয়োগ একত্রিত করা। তারপর 44 এবং 60 এর জন্য নোডের অবস্থানটি এইরকম দেখাচ্ছে:

1. 44 টি বিভক্ত করেছেন 60? না। 60 - 44 \u003d 16।
2. এটা কি 44 দ্বারা বিভক্ত করা হয়? না। 44 - 16 \u003d 28।
3. এটা কি 28 দ্বারা বিভক্ত করা হয়? না। 28 - 16 \u003d 12।
4. আপনি কি 1২ টি লক্ষ্য করেছেন 16? না। 16 - 12 \u003d 4।
5. 4 বৈধ 12 কি? হ্যাঁ. সুতরাং, নোড (44, 60) \u003d 4।

বিঃদ্রঃ, নোড ব্যক্তিগত নয়, কিন্তু একটি বিভাজক। উদাহরণস্বরূপ আমরা 1২ থেকে 4 ভাগ করি, তাহলে আমরা একটি ব্যক্তিগত পাই। কিন্তু এটি একটি নোড নয়।

প্রমাণ অ্যালগরিদম ইউক্লিডা

আমরা এই বিষয়টি বিবেচনা করি যে যদি জোড়াটির একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা অন্যকে বিভক্ত করে তবে তাদের নোডগুলি একটি ছোট একের সমান হবে। আপনি এটির মত এটি লিখতে পারেন:

যদি A / B লক্ষ্য করা হয়, তবে নোড (A, B) \u003d B। উদাহরণস্বরূপ, নোড (15, 5) \u003d 5।

সুতরাং, যদি শেষ পর্যন্ত আমরা এক জোড়া সংখ্যার সাথে এসেছি, যার মধ্যে একটিটি লক্ষ্যটি ভাগ করে নেয়, তবে ছোটটি সবচেয়ে বড় সাধারণ ডিভাইকের জন্য হবে। এটি এমন কয়েকটি সংখ্যক সংখ্যক সংখ্যক একটি ইউক্লাইড অ্যালগরিদম খুঁজছেন: এক নম্বরটি অন্যের লক্ষ্যবস্তু।

দ্বিতীয় সত্য। এটি প্রমাণ করতে হবে যে যদি এক নম্বর অন্যের চেয়ে বেশি হয় তবে তাদের সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ডিভাইজারটি জোড়ার ছোট সংখ্যাগুলির জন্য সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ডিভাইডারের সমান, এবং বৃহত্তর এবং ছোট সংখ্যার পার্থক্য। এই এই মত লেখা যেতে পারে:

যদি একটি.< b, то НОД(a, b) = НОД(a, b - a).

নোড (A, B) \u003d নোড (A, B-A) নিম্নরূপ হতে পারে তা প্রমাণ করুন। বি বি \u003d সি হতে দিন। যদি কোন সংখ্যা x A এবং B ভাগ করে তবে এটি অ্যালার্মটি বিভক্ত করবে। সব পরে, যদি একটি এবং বি ভিন্ন হয়, তাহলে তাদের মধ্যে বিভাজক একটি সম্পূর্ণ দ্বারা স্ট্যাক করা হয়, কিন্তু একটি ভিন্ন সংখ্যা। এবং যদি আপনি অন্যের মধ্যে একটিকে কাটা করেন তবে ডিভাইডারটি ফলে পার্থক্যের মধ্যে একটি পূর্ণসংখ্যা মাপসই করা উচিত।

আপনি যদি ধারাবাহিকভাবে একটি এবং b হ্রাস করতে পারেন তবে এটি খুব শীঘ্রই বা পরে আমরা এমন একটি মান আসব যা ফোকাসটি বেশি। যেমন একটি জোড়া মধ্যে ছোট প্রাথমিক জোড়া জন্য বৃহত্তম সাধারণ বিভাজক হবে। প্রাকৃতিক সংখ্যা। এই ইউক্লাইড অ্যালগরিদম হয়।

অ্যালগরিদম Evkalalid নোড অবস্থিত (সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ডিভাইডার)

দুটি পূর্ণসংখ্যা অ-নেতিবাচক সংখ্যা এবং। এটি তাদের সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ডিভাইজার খুঁজে বের করতে হবে, I.E. একই সময়ে একটি বিভাজক যে বৃহত্তম সংখ্যা এবং, এবং। উপরে ইংরেজী ভাষা "সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ডিভাইজার" লিখিত "সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ডিভাইজার", এবং এর বন্টন হল:

(এখানে প্রতীক "" বিভক্তি দ্বারা নির্দেশিত, I.E. "" ডিভাইড "নির্দেশ করে)

যখন এটি সংখ্যাগুলি শূন্য থেকে শূন্য থেকে থাকে এবং অন্যটি শূন্য থেকে আলাদা হয়, তাদের সংজ্ঞা অনুসারে তাদের সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ডিভাইজার, এই দ্বিতীয় সংখ্যাটি হবে। যখন উভয় সংখ্যা শূন্য হয়, ফলাফলটি সংজ্ঞায়িত করা হয় না (এটি কোনও অসীম বৃহত সংখ্যার জন্য উপযুক্ত হবে), আমরা এই ক্ষেত্রে সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ডিভাইডারটিকে শূন্যে রাখব। অতএব, আমরা এমন একটি নিয়ম সম্পর্কে কথা বলতে পারি: যদি সংখ্যাগুলি শূন্য হয় তবে তাদের বৃহত্তম সাধারণ ডিভাইজার দ্বিতীয় সংখ্যাটির সমান।

অ্যালগরিদম ইউক্লিডানিচের বিবেচিত দুটি সংখ্যা এবং এর জন্য সবচেয়ে বড় সাধারণ ডিভাইজার খুঁজে বের করার কাজটি সমাধান করে।

এই অ্যালগরিদমটি প্রথমে ইউক্লিডা "শুরুতে" (প্রায় 300 গ্রাম বিসি) বইটিতে বর্ণিত হয়েছিল, যদিও এটি বেশ সম্ভব ছিল, এই অ্যালগরিদমের আগের উৎপত্তি।

অ্যালগরিদম

অ্যালগরিদম নিজেই অত্যন্ত সহজ এবং নিম্নলিখিত সূত্র দ্বারা বর্ণিত:

বিক্রয়

Int gcd (int a, int b) (যদি (b \u003d\u003d 0) এটি ফেরত দেয়; অন্যথায় জিসিডি (বি, একটি% বি);)

Ternary প্রচলিত সি ++ বিবৃতি ব্যবহার করে, অ্যালগরিদম এমনকি সংক্ষিপ্তভাবে রেকর্ড করা যেতে পারে:

Int gcd (int a, int b) (ফেরত B? GCD (B, A% B): A)

অবশেষে, আমরা এবং অ্যালগরিদমের অ-অপরিশোধিত ফর্মটি প্রদান করি:

Int gcd (int a, int b) (যখন (খ) (একটি% \u003d b; swap (A, B);) একটি ফেরত;)

সঠিকতা প্রমাণ

প্রথমত, আমরা মনে করি যে ইউক্লিড অ্যালগরিদমের প্রতিটি পুনরাবৃত্তিতে, তার দ্বিতীয় যুক্তি কঠোরভাবে হ্রাস পায়, অতএব, কতগুলি অ-নেতিবাচক, তারপর ইউক্লাইড অ্যালগরিদম সর্বদা শেষ.

জন্য সঠিকতা প্রমাণ আমরা যে কোন জন্য যে দেখাতে হবে।

আমরা দেখিয়েছি যে সমানতার বাম পাশে দাঁড়িয়ে থাকা মানটি ডানদিকে বিভক্ত, এবং ডানদিকে দাঁড়িয়ে থাকা বামদিকে বিভক্ত। স্পষ্টতই, এর অর্থ হ'ল বাম এবং ডান অংশগুলি মিলে যায়, যা ইউক্লিডিয়া অ্যালগরিদমের সঠিকতা প্রমাণ করবে।

নির্দেশ করুন. । তারপর, সংজ্ঞা দ্বারা, এবং।

কিন্তু তারপর এটি অনুসরণ করে:

সুতরাং, বিবৃতিটি মনে রেখে, আমরা সিস্টেমটি পাই:

আমরা এখন পরবর্তী সহজ সত্যটি ব্যবহার করি: যদি কিছু তিনটি সংখ্যার জন্য এটি হয়: এবং তারপর এটি সঞ্চালিত হয় :. আমাদের পরিস্থিতিতে আমরা পেতে:

অথবা, তার সংজ্ঞা পরিবর্তে প্রতিস্থাপন, কিভাবে, আমরা পেতে:

সুতরাং, আমরা প্রমাণ অর্ধেক ছিল: দেখিয়েছেন যে বাম অংশটি সঠিকভাবে বিভক্ত করে। প্রমাণের দ্বিতীয় অর্ধেক একইভাবে তৈরি করা হয়।

কর্মঘন্টা

অ্যালগরিদম অপারেশন সময় অনুমান করা হয় থিওরেম লামাযা ইউক্লিডিয়া অ্যালগরিদম এবং ফিবোনাসি ক্রমের একটি আশ্চর্যজনক সংযোগ স্থাপন করে:

যদি\u003e এবং কিছু জন্য, ইউক্লাইড অ্যালগরিদম আর recursive কল সঞ্চালন করবে।

ই-কমার্সে ব্যাপকভাবে। এছাড়াও, অ্যালগরিদমটি হিংস্র পদ্ধতিতে ক্রমাগত ভগ্নাংশগুলি তৈরি করার সময় রৈখিক ডায়োফট্যান্টিক সমীকরণগুলি সমাধানে ব্যবহৃত হয়। ইউক্লিডিয়ান অ্যালগরিদম সংখ্যাগুলির বর্তমান তত্ত্বের তত্ত্ব দ্বারা প্রমাণের জন্য প্রধান সরঞ্জাম, উদাহরণস্বরূপ, চারটি স্কোয়ারের সমষ্টি এবং গাণিতিক প্রধান তত্ত্বের উপর LAGRANGE থিওরেম।

বিশ্বকোষ ইউটিউব।

1 / 5

✪ গণিত। প্রাকৃতিক সংখ্যা: ইউক্লিডিয়া অ্যালগরিদম। ফক্সফোর্ড অনলাইন প্রশিক্ষণ কেন্দ্র

✪ অ্যালগরিদম Evchenida.

✪ ইউক্লিডিয়া আলগোরিদিম, দ্রুত উপায় নোড খুঁজুন

✪ গণিত 71. সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ডিভাইডার। অ্যালগরিদম ইউক্লিডা - একাডেমী এর প্রকৌশলী বিজ্ঞান

✪ 20 চক্র যখন অ্যালগরিদম ইউক্লিডা পাইথন

সাবটাইটেল

ইতিহাস

প্রাচীন গ্রীক গণিত এই অ্যালগরিদম বলা হয় ἀνθυφαίρεσις অথবা ἀνταναίρεσις - "পারস্পরিক বিয়োগ।" এই অ্যালগরিদমটি ইউক্লাইড দ্বারা খোলা ছিল না, এটির উল্লেখটি ইতিমধ্যেই পাওয়া যায় বিষয় Aristotle। ইউক্লিডিয়া এর "শুরুতে", এটি দুইবার বর্ণিত হয় - সপ্তম বইটিতে দুটি প্রাকৃতিক সংখ্যাগুলির সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ডিভিশন এবং দুটি একক মানের সর্বোচ্চ সাধারণ পরিমাপ খোঁজার জন্য এক্স বুকের মধ্যে। উভয় ক্ষেত্রেই, অ্যালগরিদমের একটি জ্যামিতিক বর্ণনা দেওয়া হয়, দুটি বিভাগের "সাধারণ পরিমাপ" খুঁজে পেতে দেওয়া হয়।

বর্ণনা

ইক্লিডিয়ান অ্যালগরিদম পূর্ণসংখ্যা জন্য

দিন একটি (\\ displaystyle একটি) এবং বি (\\ divapplystyle b) - পূর্ণসংখ্যা একই সময়ে সমান নয়, এবং সংখ্যা ক্রম

একটি\u003e বি\u003e আর 1\u003e আর 2\u003e আর 3\u003e আর 4\u003e ...\u003e আরএন (\\ divapplespstyle একটি\u003e b\u003e r_ (1)\u003e R_ (2)\u003e R_ (3)\u003e R_ (4)\u003e \\ \\ DOTS \\\u003e R_ (N))

প্রতিটি যে দ্বারা নির্ধারিত আর কে (\\ divapplesstyle r_ (কে)) - এটি পূর্ববর্তী সংখ্যাটি পূর্ববর্তী সংখ্যাটিকে পূর্ববর্তী করে বিভাজনের ভারসাম্য, এবং শেষ পর্যন্ত শেষ লক্ষ্যে বিভক্ত, এটি হল:

A \u003d B Q 0 + R 1, (\\ \\ \\ divapplystyle একটি \u003d bq_ (0) + r_ (1),) বি \u003d আর 1 প্রশ্ন 1 + আর ২, (\\ \\ divapplespstyle b \u003d r_ (1) q_ (1) + r_ (2),) R 1 \u003d R 2 প্রশ্ন 2 + R 3, (\\ divapplespstyle r_ (1) \u003d r_ (2) q_ (2) + r_ (3),) ⋯ (\\ divapplespstyle \\ cdots) R কে - 2 \u003d আর কে - 1 প্রশ্ন কে - 1 + আর কে, (\\ \\ divapplespstyle r_ (k-2) \u003d r_ (কে -1) q_ (কে -1) + r_ (k),) ⋯ (\\ divapplespstyle \\ cdots) আর এন - 2 \u003d আর এন - 1 প্রশ্ন এন - 1 + r_ (\\ divappleshyle r_ (n-2) \u003d r_ (n-1) q_ (n-1) + r_ (n),) আর এন - 1 \u003d আর এন এন এন এন। (\\ Divinnsstyle r_ (n-1) \u003d r_ (n) q_ (n)।)

তারপর নোড ( এ, বি।), সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ divisor এ এবং বি।কাক আর এন, এই ক্রম শেষ nonzero সদস্য।

অস্তিত্ব যেমন আর 1 , আর 2 , ..., আর এন, যে, অবশিষ্টাংশ সঙ্গে বিভাজক সম্ভাবনা এম। উপরে এন। কোন পুরো জন্য এম। এবং পুরো এন। ≠ 0, আবেশন দ্বারা প্রমাণিত এম।.

সঠিকতা এই অ্যালগরিদম নিম্নলিখিত দুটি বিবৃতি থেকে অনুসরণ করে:

• দিন এ = বি।⋅প্রশ্ন + আর, তারপর নোড (এ, বি) \u003d নোড (বি, আর)।

প্রমান

• নোড ( আর, 0) = আর কোন nonzero জন্য আর (যেহেতু 0 শূন্য ব্যতীত কোনও পূর্ণসংখ্যা মধ্যে বিভক্ত করা হয়)।

জ্যামিতিক অ্যালগরিদম ইউক্লিডা

দুই কাটা দৈর্ঘ্য দেওয়া যাক এ এবং বি।। একটি বড় কাটা ছোট আউট লেট এবং পার্থক্য দ্বারা প্রাপ্ত একটি বড় সেগমেন্ট প্রতিস্থাপন। সেগমেন্ট সমান না হওয়া পর্যন্ত আমরা এই অপারেশনটি পুনরাবৃত্তি করি। যদি এটি ঘটে তবে প্রাথমিক সেগমেন্টগুলি সামঞ্জস্যপূর্ণ, এবং শেষ সেগমেন্টটি তাদের সর্বশ্রেষ্ঠ সামগ্রিক পরিমাপ। কোন সাধারণ পরিমাপ না থাকলে, প্রক্রিয়াটি অসীম। এই ফর্মটিতে, অ্যালগরিদমটি ইউক্লাইড দ্বারা বর্ণিত হয় এবং একটি প্রচলন এবং শাসকের সাহায্যে উপলব্ধি করা হয়।

উদাহরণস্বরূপ

Euclidea Algorithm উদাহরণস্বরূপ একটি নোড খুঁজে পেতে ব্যবহার করা হবে এ \u003d 1071 আই। বি। \u003d 462. 1071 এর সাথে শুরু করার জন্য, একাধিক মান 462 নিন, যতক্ষণ না আমরা 462 এর চেয়ে কম একটি পার্থক্য পাই। আমাদের অবশ্যই 46২ টি দুবার নিতে হবে, ( প্রশ্ন 0 \u003d 2), অবশিষ্টাংশের সাথে অবশিষ্ট 147:

1071 \u003d 2 × 462 + 147।

তারপরে, 462 থেকে, একাধিক মান 147 নিন, যতক্ষণ না আমরা 147 এরও কম একটি পার্থক্য পাই। আমাদের অবশ্যই 147 টি তিনবার নিতে হবে ( প্রশ্ন 1 \u003d 3), অবশিষ্টাংশ 21:

462 \u003d 3 × 147 + 21।

তারপরে, 147 সাল থেকে, একাধিক মান 21 নিন, যতক্ষণ না আমরা 21 এর কম একটি পার্থক্য পাই। আমাদের অবশ্যই ২1 সাত বার নিতে হবে ( প্রশ্ন 2 \u003d 7), একটি অবশিষ্টাংশ ছাড়া থাকার:

147 \u003d 7 × 21 + 0।

সুতরাং, ক্রম একটি\u003e b\u003e আর 1 > আর 2 > আর 3 > … > আর এই বিশেষ ক্ষেত্রে এন এই মত চেহারা হবে:

1071 > 462 > 147 > 21.

শেষ অবশিষ্টাংশ শূন্য, যেহেতু অ্যালগরিদম একটি সংখ্যা 21 এবং নোড (1071, 462) \u003d 21 দিয়ে শেষ হয়।

ট্যাবুলার আকারে নিম্নলিখিত ছিল:

অ্যাপ্লিকেশন.

উন্নত ইউক্লিডিয়া অ্যালগরিদম এবং বিপ্লব

জন্য সূত্র R আমি (\\ divapplespstyle r_ (i)) নিম্নরূপ পুনর্লিখন করা যাবে:

R 1 \u003d A + B (- Q 0) (\\ divappleshyle r_ (1) \u003d a + b (-q_ (0))) R 2 \u003d B - R 1 প্রশ্ন 1 \u003d A (Q 1) + B (1 + q 1 q 0) (\\ divapplespstyle r_ (2) \u003d b-r_ (1) q_ (1) \u003d a (-q_ (-q_ ( 1) + B (1 + q_ (1) q__ (0))) ⋮ (\\ divapplespstyle \\ vdots) নোড (A, B) \u003d R N \u003d A + B T (\\ DASPLASESTYLE (A, B) \u003d R_ (N) \u003d + BT)

এখানে এস এবং টি। পুরো। সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ডিভাইজার এই উপস্থাপনাটিকে কাদা-এর পারিশ্রমিক বলা হয়, এবং এস এবং টি। - মন্টো এর coefficients। মুষ্টির অনুপাত ইউক্লিডিয়া লেমা এবং গাণিতিক প্রধান তত্ত্বের প্রমাণে কী।

চেইন ভগ্নাংশ

ইউক্লাইড অ্যালগরিদমটি বেশ ঘনিষ্ঠভাবে চেইন ভগ্নাংশের সাথে যুক্ত। মনোভাব এ/বি। একটি চেইন ভগ্নাংশ আকারে দৃশ্যের অনুমতি দেয়:

একটি বি \u003d [q 0; প্রশ্ন 1, প্রশ্ন ২, ⋯, q এন] (\\ divapplespstyle (\\ frac (A) (B)) \u003d).

একই সময়ে, শেষ সদস্য ছাড়া চেইন ভগ্নাংশ coefficients অনুপাত সমান টি।/এসএকটি বিয়োগ চিহ্ন সঙ্গে নেওয়া:

[প্রশ্ন 0; প্রশ্ন 1, প্রশ্ন ২, ⋯, q এন -1] \u003d - টি এস (\\ divexstylele \u003d - (\\ frac (t) (গুলি))).

ইক্লিডিয়া অ্যালগরিদমের সমতা সেটিংসের ক্রমটি ফর্মটিতে পুনঃলিখন করা যেতে পারে:

Ab \u003d q 0 + R 0 বিবিআর 0 \u003d q 1 + R 1 আর 0 আর 0 আর 1 \u003d q 2 + R 2 R 1 ⋮ RK - 2 RK - 1 \u003d QK + RKRK - 1 ⋮ R N - 2 R N - 1 \u003d Q N (\\ divapplstyle (\\ beginded (aligned) (\\ frac (A) (B)) & \u003d q_ (0) + (\\ Frac (R_ (0)) (B)) \\\\ (\\ frac (B ) (R_ (0)) & \u003d q_ (1) + (\\ frac (r_ (1)) (r_ (0))) \\\\ (\\ frac (r_ (0)) (r_ (1)) & \u003d Q__ (2) + (\\ Frac (R_ (2)) (R_ (1))) \\\\ & () \\ \\ vdots \\\\ (\\ frac (R_ (K-2)) (R_ (K-1) ) & \u003d Q_ (কে) + (\\ Frac (R_ (K)) (R_ (কে -1))) \\\\ \\ () \\ \\ vdots \\\\ (\\ frac (r_ (n-2)) (R_) (এন -1)) & \u003d q_ (n) \\ end (aligned))))

সমতাটির ডান অংশে শেষ শব্দটি পরবর্তী সমীকরণের বাম দিকের বিপরীত মূল্যের সমান। অতএব, প্রথম দুটি সমীকরণ ফর্মটিতে মিলিত হতে পারে:

এবি \u003d Q 0 + 1 প্রশ্ন 1 + R 1 R 0 (\\ FRAWSSTYLE (\\ FRAC (A) (B)) \u003d Q_ (0) + (\\ CFRAC (1) (Q__ (1) + + + \\ 1)) (R_ (0))))))

তৃতীয় সমতা অভিব্যক্তি denominator প্রতিস্থাপন করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। আর 1 /আর 0, আমরা পেতে পারি:

এবি \u003d প্রশ্ন 0 + 1 প্রশ্ন 1 + 1 প্রশ্ন 2 + আর 2 আর 1 (\\ \\ divapplesstyle (\\ frac (a) (b)) \u003d q__ (0) + (\\ CFRAC (1) (Q_ (1) + \\ CFRAC (1) (Q_ (2) + (\\ CFRAC (R_ (2)) (R_ (1)))))))))))))))))

অবশিষ্টাংশের শেষ সম্পর্ক আর কে। /আর কে।-1 সর্বদা ক্রম অনুসারে নিম্নোক্ত সমতা ব্যবহার করে প্রতিস্থাপিত করা যেতে পারে, এবং তাই শেষ সমীকরণে। ফলাফল একটি চেইন ভগ্নাংশ:

একটি বি \u003d q 0 + 1 প্রশ্ন 1 + 1 প্রশ্ন 2 + 1 ⋱ + 1 প্রশ্ন n \u003d [q 0; প্রশ্ন 1, প্রশ্ন ২, ..., qn] (\\ divappleshyle (\\ frac (a) (b)) \u003d q_ (0) + (\\ cfrac (1) (q_ (1) + (\\ cfrac (1) (\\ cfrac (1) Q_ (2) + (\\ CFRAC (1) (\\ ddots + (\\ cfrac (1) (q__ (n)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))

Polynomials জন্য জেনারাইজড ইউক্লিডিয়ান অ্যালগরিদম

ইউক্লিডিয়ান অ্যালগরিদম এবং একটি বর্ধিত ইউক্লাইড অ্যালগরিদম প্রাকৃতিকভাবে polynomials এর রিং সংক্ষিপ্তসার কে।[এক্স.] একটি পরিবর্তনশীল থেকে একটি ইচ্ছাকৃত ক্ষেত্রের উপর কে।কারণ এই polynomials অবশিষ্টাংশ সঙ্গে বিভাগ অপারেশন সংজ্ঞায়িত। Polynomials এর জন্য একটি ইউক্লিডিয়া অ্যালগরিদম সম্পাদন করার সময়, পূর্ণসংখ্যার জন্য ইক্লাইড অ্যালগরিদমটি পলিনোমিয়াল অবশিষ্টাংশ (পিআরএস) এর ক্রম দ্বারা প্রাপ্ত হয়।

রিং জন্য উদাহরণ জেড।[এক্স.]

Cont (F) সংজ্ঞা দ্বারা হতে দিন - Z [x] থেকে Polynomial F (x) এর coefficients এর নোডের নোড - কন্টেন্ট polynomial। বিভাগ F (x) থেকে ব্যক্তিগত (F) থেকে প্রাইভেট বলা হয় আদিম অংশ Polynomial F (x) primpart দ্বারা চিহ্নিত করা হয় (F (x))। এই সংজ্ঞা দুটি polynomials নোড খুঁজে পেতে প্রয়োজন হবে। পি 1 (এক্স) এবং পি 2 (এক্স) রিং জেড [এক্স]। পূর্ণসংখ্যা উপর polynomials জন্য, নিম্নলিখিত সত্য সত্য:

সি ও এন টি ((\\ divationstyle cont ()Noderno. (সি ওট (পি 1 (এক্স)), সিও এনটি (পি 2 (এক্স))), (\\ divappleshytyle \\ (c_ (1) (x)), cont (p_ (2) (x)) \\) ,)

পি আর আমি এম পি একটি আর টি ((\\ divapplespstyle primpart ()নোড (পি 1 (x), পি 2 (এক্স)) \u003d (\\ \\ \\ divationstyle \\ (p_ (1) (x), p_ (2) (x) \\) \u003d) \u003d)নোড (পি আর আমি এম পি একটি আর টি (পি 1 (এক্স)), পি আর আই এম পি একটি আর টি (পি 2 (এক্স)))। (\\ Divapplespstyle \\ (primpart (p_ (1) (x)), primpart (p_ (2) (x)) \\)।)।)।)

সুতরাং, দুই নির্বিচারে বহুবচনগুলির একটি নোড অনুসন্ধানের কাজটি আদিম পলিনোমিয়ালগুলির নোড খোঁজার কাজে হ্রাস পেয়েছে।

Z [x] থেকে দুটি আদিম পলিনোমিয়ালস পি 1 (x) এবং P 2 (x) হতে হবে যার জন্য তাদের ডিগ্রীগুলির মধ্যে সম্পর্ক সঞ্চালিত হয়: DEG (P 1 (X)) \u003d M এবং DEG (P 2 (X) ) \u003d এন, এম\u003e এন। অবশিষ্টাংশের সাথে পলিনোমিয়াল বিভাগগুলি বোঝায় যে ডিভাইডারের সিনিয়র কোঅফিসেন্টের সিনিয়র বিভাগের সংখ্যার সঠিকতা, সাধারণভাবে, অবশিষ্টাংশের সাথে বিভাগটি অসম্ভব। অতএব, Pseudoiding এর অ্যালগরিদম চালু করা হয়, যা এখনও আপনাকে একটি ছদ্ম-আত্মহত্যা এবং ছদ্ম-নল (প্রেমিকা) পেতে অনুমতি দেয়, যা নিজেদের মধ্যে অনেক polynomials অন্তর্গত হতে হবে।

ছদ্ম-মডেলের অধীনে আমরা বুঝতে পারব যে পলিনোমিয়ালের বিভাগটি বিভাগটি নিজেই দ্বারা পূর্ববর্তী। পি 1 (এক্স) (\\ divapplespstyle p_ (1) (x)) উপরে (এল সি (পি 2 (এক্স)) এম - এন + 1 (\\ divapplstyle (lc (p_ (2) (x))) ^ (m-n + 1)), আই

এল সি (পি 2 (এক্স)) এম - এন + 1 পি 1 (এক্স) \u003d পি 2 (এক্স) q (x) + R 2 (x), ডিইজি \u2061 (r (x))< deg ⁡ (p 2 (x)) , {\displaystyle lc(p_{2}(x))^{m-n+1}p_{1}(x)=p_{2}(x)q(x)+r_{2}(x),\deg(r(x))<\deg(p_{2}(x)),}

কোথায় Q (x) (\\ divapplespstyle q (x)) এবং R (x) (\\ divapplesstyle r (x)) - সেই অনুযায়ী, ছদ্ম-বেদী ও ছদ্মোস্ট্যাট।

তাই, পি 1 (এক্স), পি 2 (এক্স) ∈ Z [এক্স] (\\ divappleshyle p_ (1) (x), p_ (2) (x) \\ z [x])তাছাড়া DEG \u2061 (P 1) \u003d N 1 ≥ DEG \u2061 (P 2) \u003d N 2 (\\ divappleshyle \\ deg (p_ (1)) \u003d n_ (1) \\ geq \\ deg (p_ (2)) \u003d n_ (2) \u003d n_ (2) )। তারপর ইউক্লিড অ্যালগরিদম নিম্নলিখিত ধাপগুলি ধারণ করে:

1. বিষয়বস্তু নোড গণনা:

সি: \u003d (\\ divapplespstyle c: \u003d)নোড (সি ও এন টি (পি 1), সি ও এন টি (পি 2)) (\\ divapplespstyle \\ (con (p_ (1)), cont (p_ (2)) \\)).

2. আদিম অংশ গণনা:

পি 1 '(এক্স): \u003d পি আর আমি এম পি একটি আর টি (পি 1 (এক্স)); (\\ Divapplystyle p_ (1) "(x): \u003d primpart (p_ (1) (x));)

পি 2 '(এক্স): \u003d পি আর আমি এম পি একটি আর টি (পি 2 (এক্স))। (\\ \\ Divapplystyle p_ (2) "(x): \u003d primpart (p_ (2) (x))।))।)

3. Polynomial অবশিষ্টাংশ ক্রম নির্মাণ:

পি 1 '(এক্স), (\\ divapplespstyle p_ (1) "(x),)

পি 2 '(এক্স), (\\ divappleshyle p_ (2) "(x),)

পি 3 (এক্স): \u003d প্রেম (পি 1 '(x), পি 2' (এক্স)), (\\ divappleshyle p_ (3) (x): \u003d prem (p_ (1) "(x), P_ (2 ) "(এক্স)),)

পি 4 (এক্স): \u003d প্রেম (পি 2 '(এক্স), পি 3 (এক্স)), (\\ divapplesstyle p_ (4) (x): \u003d prem (p_ (2) "(x), p_ (3) (এক্স)),)

পি 5 (এক্স): \u003d প্রেম (পি 3 (এক্স), পি 4 (এক্স)), (\\ divappleshyle p_ (5) (x): \u003d prem (p_ (3) (x), p_ (4) (x )),))

। । । (\\ \\ divapplstyle ...)

পি এইচ (এক্স): \u003d পি আর ই এম (পি এইচ - ২ (এক্স), পি এইচ - 1 (এক্স))। (\\ Divinnsstyle p_ (h) (x): \u003d prem (p_ (h - 2) (x), p_ (h - 1) (x))।))।)

দুটি প্রধান উপায়ে নোডগুলি খোঁজার দুটি মৌলিক পদ্ধতি বিবেচনা করুন: ইউক্লিডিয়া অ্যালগরিদম ব্যবহার করে এবং সহজ কারণগুলির উপর বিস্তৃত করে। দুই, তিন এবং আরো সংখ্যা উভয় পদ্ধতি প্রয়োগ করুন।

নোড খোঁজার জন্য অ্যালগরিদম Euclida

Euclida Algorithm আপনি সহজে দুটি ইতিবাচক সংখ্যা জন্য সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ডিভাইডার গণনা করতে পারবেন। আমরা বিভাগে ইউক্লাইড অ্যালগরিদমের শব্দটি এবং প্রমাণটি "বৃহত্তম সাধারণ ডিভাইজার: নির্ধারক, উদাহরণ।"

অ্যালগরিদমের সারাংশ ধারাবাহিকভাবে অবশিষ্টাংশের সাথে বিভাগ পরিচালনা করা, যার মধ্যে বেশ কয়েকটি সমানতা অর্জন করা হয়:

একটি \u003d বি · প্রশ্ন 1 + আর 1, 0< r 1 < b b = r 1 · q 2 + r 2 , 0 < r 2 < r 1 r 1 = r 2 · q 3 + r 3 , 0 < r 3 < r 2 r 2 = r 3 · q 4 + r 4 , 0 < r 4 < r 3 ⋮ r k - 2 = r k - 1 · q k + r k , 0 < r k < r k - 1 r k - 1 = r k · q k + 1

আমরা যখন বিভাগ শেষ করতে পারেন R K + 1 \u003d 0, যেখানেই R k \u003d নোড (এ, বি).

উদাহরণ 1।

64 এবং 48 .

সিদ্ধান্ত

আমরা নোটেশনটি উপস্থাপন করি: A \u003d 64, B \u003d 48।

ইউক্লাইড অ্যালগরিদমের উপর ভিত্তি করে বিভাগ পরিচালনা করবে 64 উপরে 48 .

আমরা 1 এবং অবশিষ্টাংশ 16 পেতে। এটি সক্রিয় করে যে q 1 \u003d 1, R 1 \u003d 16।

আমরা দ্বিতীয় ধাপে বিভক্ত 48 16, আমরা 3 পেতে। আমি প্রশ্ন 2 \u003d 3, কিন্তু আর 2 \u003d 0। সুতরাং, সংখ্যা 16 অবস্থা থেকে সংখ্যা জন্য বৃহত্তম সাধারণ বিভাজক।

উত্তর: নোড (64, 48) \u003d 16।

উদাহরণ 2।

নোড সমান কি 111 এবং 432 ?

সিদ্ধান্ত

ডেলিম। 432 উপরে 111 । ইউক্লাইড অ্যালগরিদমের মতে, আমরা সমতা একটি চেইন পাই 432 \u003d 111 · 3 + 99, 111 \u003d 99 · 1 + 12, 99 \u003d 12 · 1 + 3, 12 \u003d 3 · 4।

সুতরাং, সংখ্যা সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ডিভাইডার 111 এবং 432 - এই 3।

উত্তর: নোড (111, 432) \u003d 3।

উদাহরণ 3।

সংখ্যা 661 এবং 113 এর বৃহত্তম মোট ডিভাইডার খুঁজুন।

সিদ্ধান্ত

আমরা ধারাবাহিকভাবে বিভক্ত সংখ্যা এবং নোড পেতে হবে (661 , 113) = 1 । এর মানে হল 661 এবং 113 পারস্পরিক সহজ সংখ্যা। যদি তারা প্রধান সংখ্যার টেবিলে পরিণত হয় তবে গণনা শুরু হওয়ার আগে আমরা খুঁজে পেতে পারি।

উত্তর: নোড (661, 113) \u003d 1।

সাধারণ গুণক সংখ্যা সংখ্যা decomposition ব্যবহার করে একটি নোড খোঁজা

গুণকগুলিতে decomposing দ্বারা দুটি সংখ্যার বৃহত্তম ডিভাইজার খুঁজে পেতে, এই দুটি সংখ্যার বিচ্ছেদ দ্বারা প্রাপ্ত সমস্ত সাধারণ কারণগুলি গুণমান করা এবং তাদের কাছে সাধারণ।

উদাহরণ 4।

আমরা যদি সাধারণ গুণকগুলিতে সংখ্যা 220 এবং 600 গণনা করি তবে আমরা দুটি কাজ পাব: 220 \u003d 2 · 2 · 5 · 11 এবং 600 \u003d 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 5। এই দুটি কাজগুলিতে গুণক ২, ২ এবং 5 টি সাধারণ। এই নোড মানে (220, 600) \u003d 2 · 2 · 5 \u003d 20.

উদাহরণ 5।

সংখ্যা সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ডিভাইডার খুঁজুন 72 এবং 96 .

সিদ্ধান্ত

আমরা সংখ্যা সব সহজ গুণক খুঁজে পাবেন। 72 এবং 96 :

72 36 18 9 3 1 2 2 2 3 3

96 48 24 12 6 3 1 2 2 2 2 2 3

দুই নম্বরের জন্য, সহজ গুণক: ২, ২, ২ এবং 3। এই নোড মানে (72, 96) \u003d 2 · 2 · 2 · 3 \u003d ২4.

উত্তর: নোড (72, 96) \u003d 24।

দুটি সংখ্যাগুলির সর্ববৃহৎ মোট ডিভাইডারটি খুঁজে বের করার নিয়মটি বৃহত্তম সাধারণ ডিভাইডারের বৈশিষ্ট্যগুলির উপর ভিত্তি করে তৈরি করা হয়, যার মধ্যে নোড (এম · একটি 1, এম বি 1) \u003d m · নোড (একটি 1, বি 1), যেখানে এম কোন পূর্ণসংখ্যা ইতিবাচক সংখ্যা।

তিন এবং আরো সংখ্যা একটি নোড ফাইন্ডিং

সংখ্যাগুলির সংখ্যা যা আমাদের নোড খুঁজে বের করতে হবে তা সত্ত্বেও, আমরা একই অ্যালগরিদম কাজ করব, যা দুটি সংখ্যার নোডের ধারাবাহিক ফাইন্ডিংয়ের মধ্যে রয়েছে। এটি নিম্নলিখিত তত্ত্বের ব্যবহারে এই অ্যালগরিদমের উপর ভিত্তি করে তৈরি করা হয়েছে: বিভিন্ন সংখ্যাগুলির নোড একটি 1, একটি 2, ..., একটি কে সংখ্যা সমান ডি কে।যা সামঞ্জস্যপূর্ণ গণনা নোড অধীনে (একটি 1, একটি 2) \u003d ডি 2, নোড (ডি ২, এ 3) \u003d ডি 3, নোড (ডি 3, একটি 4) \u003d ডি 4, ..., নোড (ডি কে - 1, একটি কে) \u003d ডি কে।

উদাহরণ 6।

চার নম্বর 78, ২94, 570 এর সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ডিভাইজার খুঁজুন 36 .

সিদ্ধান্ত

আমরা নোটেশনটি উপস্থাপন করি: একটি 1 \u003d 78, ২ \u003d ২94, একটি 3 \u003d 570, একটি 4 \u003d 36।

আসুন আমরা শুরু করি যে আমরা 78 এবং ২94 এর নোডগুলি খুঁজে পাব: ডি 2 \u003d।নোড (78 , 294) = 6 .

এখন ডি 3 \u003d নোড (ডি 2, একটি 3) \u003d নোড (6, 570) খুঁজে বের করতে এগিয়ে যান। ইউক্লিডিয়া অ্যালগরিদমের মতে 570 \u003d 6 · 95।এটা যে মানে ডি 3 \u003d।নোড (6 , 570) = 6 .

আমরা d 4 \u003d নোড (ডি 3, একটি 4) \u003d নোড (6, 36) খুঁজে পাই। 36 এটি একটি অবশিষ্টাংশ ছাড়া 6 দ্বারা বিভক্ত করা হয়। এই আমাদের পেতে অনুমতি দেয় ডি 4 \u003d।নোড (6 , 36) = 6 .

ডি 4 \u003d 6, যে, নোড (78 , 294 , 570 , 36) = 6 .

উত্তর:

এবং এখন তাদের এবং আরো সংখ্যার জন্য নোড গণনা করার আরেকটি উপায় বিবেচনা করা যাক। আমরা একটি নোড খুঁজে পেতে, সংখ্যা সব সাধারণ সহজ গুণক মুভিং করতে পারেন।

উদাহরণ 7।

নোড গণনা 78, ২94, 570 এবং 36 .

সিদ্ধান্ত

আমরা সাধারণ গুণকগণের এই সংখ্যাগুলি বিচ্ছেদ করবো: 78 \u003d ২ · 3 · 13, ২94 \u003d ২ · 3 · 7, 7, 570 \u003d ২ · 3 · 7, 19, 36 \u003d ২ · 3 · 19, 36 \u003d ২ · ২ · 3।

সমস্ত চার নম্বরের জন্য, মোট গুণক সংখ্যা 2 এবং 3 হবে।

এটা যে নোড সক্রিয় আউট (78, ২94, 570, 36) \u003d 2 · 3 \u003d 6.

উত্তর: নোড (78, ২94, 570, 36) \u003d 6।

নোড নেতিবাচক সংখ্যা খোঁজা

যদি আমাদের নেতিবাচক সংখ্যার মোকাবেলা করতে হয় তবে বৃহত্তম সাধারণ ডিভাইডারটি খুঁজে পেতে আমরা এই সংখ্যাগুলির মডিউলগুলি ব্যবহার করতে পারি। আমরা এটি করতে পারি, বিপরীত লক্ষণগুলির সাথে সংখ্যাগুলির সম্পত্তিটি জানাচ্ছি: সংখ্যা এন। এবং - এন। একই dividers আছে।

উদাহরণ 8।

নোড নেতিবাচক পূর্ণসংখ্যা খুঁজুন − 231 এবং − 140 .

সিদ্ধান্ত

গণনা সঞ্চালনের জন্য, সংখ্যার মডিউল, শর্তে ডেটা নিন। এই সংখ্যা 231 এবং 140 হবে। আমরা সংক্ষিপ্তভাবে লিখুন: নোড (− 231 , − 140) = নোড (231, 140)। এখন আমরা ইউক্লাইড অ্যালগরিদমটিকে দুটি সংখ্যার সহজ গুণক খুঁজে পেতে প্রয়োগ করি: 231 \u003d 140 · 1 + 91; 140 \u003d 91 · 1 + 49; 91 \u003d 49 · 1 + 42; 49 \u003d 42 · 1 + 7 এবং 42 \u003d 7 · 6। আমরা যে নোড পেতে (231, 140) \u003d 7 .

এবং নোড থেকে (− 231 , − 140) = নোড (231 , 140) তারপর নোড − 231 এবং − 140 কাক 7 .

উত্তর: নোড (- 231, - 140) \u003d 7।

উদাহরণ 9।

তিন নম্বর নোড নির্ধারণ করুন - 585, 81 এবং − 189 .

সিদ্ধান্ত

আমরা তাদের পরম মূল্যের তালিকাতে নেতিবাচক সংখ্যাগুলি প্রতিস্থাপন করব, আমরা নোড পাই (− 585 , 81 , − 189) = নোড (585 , 81 , 189) । তারপর সহজ কারণের সংখ্যাটির সমস্ত তথ্য বিচ্ছিন্ন করুন: 585 \u003d 3 · 3 · 5 · 13, 81 \u003d 3 · 3 · 3 · 3 এবং 189 \u003d 3 · 3 · 3 · 7। তিন নম্বরের জন্য সহজ গুণক 3 এবং 3। এটা যে নোড (585, 81, 189) \u003d নোড (- 585, 81, - 189) \u003d 9।

উত্তর: নোড (- 585, 81, - 189) \u003d 9।

যদি আপনি পাঠ্যটিতে একটি ভুল লক্ষ্য করেন তবে দয়া করে এটি নির্বাচন করুন এবং Ctrl + Enter টিপুন