একটি সমকোণ থেকে একটি আয়তক্ষেত্রাকার উচ্চতা। সঠিক ত্রিভুজ. ব্যক্তিগত তথ্য সংগ্রহ এবং ব্যবহার

(ABC)এবং এর বৈশিষ্ট্য, যা চিত্রে দেখানো হয়েছে। একটি সমকোণ ত্রিভুজের একটি কর্ণ রয়েছে, যার দিকটি সমকোণের বিপরীত।

টিপ 1: কিভাবে একটি সমকোণী ত্রিভুজে উচ্চতা খুঁজে বের করতে হয়

একটি সমকোণ গঠনকারী বাহুগুলিকে পা বলা হয়। পার্শ্ব অঙ্কন এডি, ডিসি এবং বিডি, ডিসি- পা, এবং পাশ এসিএবং SW- কর্ণ।

উপপাদ্য 1. 30° কোণ সহ একটি সমকোণী ত্রিভুজে, এই কোণের বিপরীত পাটি কর্ণের অর্ধেক ছিঁড়ে যাবে।

hC

এবি- কর্ণ;

বিজ্ঞাপনএবং ডিবি

ত্রিভুজ
একটি উপপাদ্য আছে:
মন্তব্য সিস্টেম CACKLই

সমাধান: 1) যেকোনো আয়তক্ষেত্রের কর্ণ সমান। সত্য 2) যদি একটি ত্রিভুজে একটি তীব্র কোণ থাকে, তাহলে এই ত্রিভুজটি তীক্ষ্ণ-কোণ। সত্য না. ত্রিভুজের প্রকারভেদ। একটি ত্রিভুজকে তীব্র-কোণ বলা হয় যদি এর তিনটি কোণই তীক্ষ্ণ হয়, অর্থাৎ 90° 3-এর কম) যদি বিন্দুটি থাকে।

অথবা, অন্য পোস্টে,

পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য অনুসারে

সমকোণী ত্রিভুজ সূত্রে উচ্চতা কত?

একটি সমকোণী ত্রিভুজের উচ্চতা

সমস্যা বিবৃতিতে থাকা ডেটার উপর নির্ভর করে কর্ণের দিকে আঁকা একটি সমকোণী ত্রিভুজের উচ্চতা এক বা অন্য উপায়ে পাওয়া যেতে পারে।

অথবা, অন্য পোস্টে,

যেখানে BK এবং KC হল কর্ণের উপর পায়ের অনুমান (যে অংশগুলিতে উচ্চতা কর্ণকে ভাগ করে)।

একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের মাধ্যমে কর্ণের দিকে আঁকা উচ্চতা পাওয়া যায়। যদি আমরা একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল বের করার সূত্রটি প্রয়োগ করি

(একটি বাহুর অর্ধেক গুণফল এবং এই দিকে টানা উচ্চতা) কর্ণ এবং কর্ণের দিকে টানা উচ্চতা, আমরা পাই:

এখান থেকে আমরা ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণ এবং কর্ণের দৈর্ঘ্যের অনুপাত হিসাবে উচ্চতা খুঁজে পেতে পারি:

যেহেতু সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল পায়ের গুণফলের অর্ধেক:

অর্থাৎ, কর্ণের দিকে টানা উচ্চতার দৈর্ঘ্য কর্ণ এবং পায়ের গুণফলের অনুপাতের সমান। যদি আমরা a এবং b এর মাধ্যমে পায়ের দৈর্ঘ্য, c এর মাধ্যমে কর্ণের দৈর্ঘ্য বোঝাই, সূত্রটিকে আবার লিখতে পারে

যেহেতু একটি সমকোণী ত্রিভুজের চারপাশে পরিধিকৃত একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ কর্ণের অর্ধেক সমান, তাই উচ্চতার দৈর্ঘ্য পা এবং পরিধিকৃত বৃত্তের ব্যাসার্ধের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা যেতে পারে:

যেহেতু কর্ণের দিকে টানা উচ্চতা আরও দুটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে, তাই এর দৈর্ঘ্য সমকোণী ত্রিভুজের অনুপাতের মাধ্যমে পাওয়া যায়।

সমকোণী ত্রিভুজ ABK থেকে

সমকোণী ত্রিভুজ ACK থেকে

একটি সমকোণী ত্রিভুজের উচ্চতার দৈর্ঘ্য পায়ের দৈর্ঘ্যের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা যেতে পারে। কারণ

পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য অনুসারে

যদি আমরা সমীকরণের উভয় পক্ষকে বর্গ করি:

আপনি পায়ে একটি সমকোণী ত্রিভুজের উচ্চতা সম্পর্কিত করার জন্য আরেকটি সূত্র পেতে পারেন:

সমকোণী ত্রিভুজ সূত্রে উচ্চতা কত?

সঠিক ত্রিভুজ. গড় স্তর.

আপনি কি আপনার শক্তি পরীক্ষা করতে চান এবং ইউনিফাইড স্টেট এক্সামিনেশন বা OGE-এর জন্য আপনি কতটা প্রস্তুত তার ফলাফল জানতে চান?

প্রধান সমকোণী ত্রিভুজ উপপাদ্য হল পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য।

পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য

উপায় দ্বারা, আপনি ভাল মনে আছে পা এবং কর্ণ কি? যদি না হয়, তাহলে ছবিটি দেখুন - আপনার জ্ঞান রিফ্রেশ করুন

এটা সম্ভব যে আপনি ইতিমধ্যেই অনেকবার পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য ব্যবহার করেছেন, কিন্তু আপনি কি কখনও ভেবে দেখেছেন কেন এই ধরনের একটি উপপাদ্য সত্য। আপনি এটা কিভাবে প্রমাণ করবেন? আসুন প্রাচীন গ্রীকদের মত করি। এর একটি পাশ দিয়ে একটি বর্গক্ষেত্র আঁকুন।

আপনি দেখতে পাচ্ছেন কত ধূর্ততার সাথে আমরা এর দিকগুলিকে দৈর্ঘ্যের অংশে ভাগ করেছি এবং!

এখন চিহ্নিত বিন্দু সংযোগ করা যাক

এখানে আমরা অবশ্য অন্য কিছু উল্লেখ করেছি, তবে আপনি নিজেই ছবিটি দেখুন এবং কেন তা ভেবে দেখুন।

বড় বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত? ঠিক, . ছোট এলাকা সম্পর্কে কি? নিশ্চয়ই, . চার কোণার মোট এলাকা রয়ে গেছে। কল্পনা করুন যে আমরা তাদের দুটি নিয়েছি এবং কর্ণের সাথে একে অপরের বিরুদ্ধে ঝুঁকেছি। কি হলো? দুটি আয়তক্ষেত্র। সুতরাং, "কাটিং" এর ক্ষেত্রফল সমান।

এখন সব একসাথে করা যাক.

তাই আমরা পিথাগোরাস পরিদর্শন করেছি - আমরা একটি প্রাচীন উপায়ে তার উপপাদ্য প্রমাণ করেছি।

সমকোণী ত্রিভুজ এবং ত্রিকোণমিতি

একটি সমকোণী ত্রিভুজের জন্য, নিম্নলিখিত সম্পর্কগুলি ধারণ করে:

একটি তীব্র কোণের সাইন বিপরীত পায়ের অনুপাতের অনুপাতের সমান

একটি তীক্ষ্ণ কোণের কোসাইন কর্ণের সংলগ্ন পায়ের অনুপাতের সমান।

একটি তীব্র কোণের স্পর্শক পার্শ্ববর্তী পায়ের বিপরীত পায়ের অনুপাতের সমান।

একটি তীব্র কোণের কোট্যাঞ্জেন্ট বিপরীত পায়ের সংলগ্ন পায়ের অনুপাতের সমান।

এবং আবার, এই সব একটি প্লেট আকারে:

আপনি একটি খুব সহজ জিনিস লক্ষ্য করেছেন? প্লেটের দিকে মনোযোগ দিয়ে দেখুন।

এটা খুব সুবিধাজনক!

সমকোণী ত্রিভুজের সমতার চিহ্ন

২. লেগ এবং কর্ণের দ্বারা

III. কর্ণ এবং তীব্র কোণ দ্বারা

IV লেগ এবং তীব্র কোণ বরাবর

মনোযোগ! এখানে এটা খুবই গুরুত্বপূর্ণ যে পা "সম্পর্কিত"। উদাহরণস্বরূপ, যদি এটি এই মত যায়:

তাহলে ত্রিভুজগুলো সমান নয়, তাদের এক অভিন্ন তীব্র কোণ থাকা সত্ত্বেও।

প্রয়োজন উভয় ত্রিভুজে, পা সংলগ্ন ছিল, বা উভয় - বিপরীতে.

আপনি কি লক্ষ্য করেছেন কিভাবে সমকোণী ত্রিভুজের সমতার চিহ্ন ত্রিভুজের সমতার সাধারণ চিহ্ন থেকে আলাদা? "ত্রিভুজ" বিষয়টির দিকে নজর দিন এবং এই বিষয়টিতে মনোযোগ দিন যে "সাধারণ" ত্রিভুজগুলির সমতার জন্য, আপনার তাদের তিনটি উপাদানের সমতা প্রয়োজন: দুটি বাহু এবং তাদের মধ্যে একটি কোণ, দুটি কোণ এবং তাদের মধ্যে একটি বাহু, বা তিন দিকে। কিন্তু সমকোণী ত্রিভুজের সমতার জন্য শুধুমাত্র দুটি সংশ্লিষ্ট উপাদানই যথেষ্ট। এটা মহান, তাই না?

সমকোণী ত্রিভুজের মিলের লক্ষণগুলির সাথে প্রায় একই অবস্থা।

সমকোণী ত্রিভুজের মিলের লক্ষণ

III. লেগ এবং কর্ণের দ্বারা

সমকোণী ত্রিভুজে মধ্যমা

সমকোণী ত্রিভুজের পরিবর্তে একটি সম্পূর্ণ আয়তক্ষেত্র বিবেচনা করুন।

একটি তির্যক আঁকুন এবং বিন্দুটি বিবেচনা করুন যেখানে কর্ণগুলি ছেদ করে। আপনি একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণ সম্পর্কে কি জানেন?

তির্যক ছেদ বিন্দু দ্বিখণ্ডিত কর্ণ সমান

এবং এই থেকে অনুসরণ কি?

তাই এটা ঘটেছে

এই সত্য মনে রাখবেন! অনেক সাহায্য করে!

আরও আশ্চর্যের বিষয় হল কথোপকথনটিও সত্য।

কর্ণের প্রতি অঙ্কিত মধ্যকটি কর্ণের অর্ধেক সমান তা থেকে কী লাভ করা যায়? চলুন ছবিটা দেখি

ভালোভাবে দেখো. আমাদের আছে: , অর্থাৎ, বিন্দু থেকে ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দুর দূরত্ব সমান হয়ে গেছে। কিন্তু একটি ত্রিভুজে শুধুমাত্র একটি বিন্দু থাকে, যেখান থেকে দূরত্ব ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দুই সমান, এবং এটিই বর্ণিত সার্কামের কেন্দ্র। তাহলে কি হলো?

তাই এর সাথে শুরু করা যাক "পাশাপাশি। "

কিন্তু অনুরূপ ত্রিভুজগুলিতে সমস্ত কোণ সমান!

একই এবং সম্পর্কে বলা যেতে পারে

এখন একে একসাথে আঁকা যাক:

উভয় একই ধারালো কোণ আছে!

এই "ট্রিপল" সাদৃশ্য থেকে কি ব্যবহার করা যেতে পারে।

আচ্ছা, যেমন- একটি সমকোণী ত্রিভুজের উচ্চতার জন্য দুটি সূত্র।

আমরা সংশ্লিষ্ট পক্ষের সম্পর্ক লিখি:

উচ্চতা খুঁজে পেতে, আমরা অনুপাত সমাধান এবং পেতে প্রথম সূত্র "একটি সমকোণী ত্রিভুজে উচ্চতা":

কিভাবে একটি দ্বিতীয় এক পেতে?

এবং এখন আমরা ত্রিভুজ এবং এর সাদৃশ্য প্রয়োগ করি।

সুতরাং, এর সাদৃশ্য প্রয়োগ করা যাক: .

এখন কি হবে?

আবার আমরা অনুপাতটি সমাধান করি এবং দ্বিতীয় সূত্রটি পাই "একটি সমকোণী ত্রিভুজে উচ্চতা":

এই দুটি সূত্রই খুব ভালোভাবে মনে রাখতে হবে এবং যেটি প্রয়োগ করা আরও সুবিধাজনক। আসুন সেগুলো আবার লিখি।

ঠিক আছে, এখন, অন্যদের সাথে এই জ্ঞান প্রয়োগ এবং একত্রিত করে, আপনি একটি সমকোণী ত্রিভুজ দিয়ে যে কোনও সমস্যা সমাধান করবেন!

মন্তব্য

উত্স পৃষ্ঠায় একটি dofollow লিঙ্ক থাকলে অনুমোদন ছাড়া উপকরণ বিতরণ অনুমোদিত হয়.

গোপনীয়তা নীতি

আপনার গোপনীয়তা আমাদের কাছে গুরুত্বপূর্ণ। এই কারণে, আমরা একটি গোপনীয়তা নীতি তৈরি করেছি যা বর্ণনা করে যে আমরা কীভাবে আপনার তথ্য ব্যবহার করি এবং সংরক্ষণ করি। অনুগ্রহ করে আমাদের গোপনীয়তা নীতি পড়ুন এবং আপনার কোন প্রশ্ন থাকলে আমাদের জানান।

ব্যক্তিগত তথ্য সংগ্রহ এবং ব্যবহার

ব্যক্তিগত তথ্য এমন ডেটাকে বোঝায় যা একটি নির্দিষ্ট ব্যক্তিকে সনাক্ত করতে বা তার সাথে যোগাযোগ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে।

আপনি আমাদের সাথে যোগাযোগ করার সময় আপনাকে আপনার ব্যক্তিগত তথ্য প্রদান করতে বলা হতে পারে।

আমরা যে ধরনের ব্যক্তিগত তথ্য সংগ্রহ করতে পারি এবং কীভাবে আমরা এই ধরনের তথ্য ব্যবহার করতে পারি তার কিছু উদাহরণ নিচে দেওয়া হল।

আমরা কোন ব্যক্তিগত তথ্য সংগ্রহ করি:

আপনি যখন সাইটে একটি আবেদন জমা দেন, আমরা আপনার নাম, ফোন নম্বর, ইমেল ঠিকানা ইত্যাদি সহ বিভিন্ন তথ্য সংগ্রহ করতে পারি।

আমরা কীভাবে আপনার ব্যক্তিগত তথ্য ব্যবহার করি:

আমরা যে ব্যক্তিগত তথ্য সংগ্রহ করি তা আমাদের আপনার সাথে যোগাযোগ করতে এবং অনন্য অফার, প্রচার এবং অন্যান্য ইভেন্ট এবং আসন্ন ইভেন্টগুলি সম্পর্কে আপনাকে জানাতে দেয়। সময়ে সময়ে, আমরা আপনাকে গুরুত্বপূর্ণ নোটিশ এবং যোগাযোগ পাঠাতে আপনার ব্যক্তিগত তথ্য ব্যবহার করতে পারি। এছাড়াও আমরা অভ্যন্তরীণ উদ্দেশ্যে ব্যক্তিগত তথ্য ব্যবহার করতে পারি, যেমন অডিট, ডেটা বিশ্লেষণ এবং বিভিন্ন গবেষণা পরিচালনা করার জন্য আমরা যে পরিষেবাগুলি সরবরাহ করি তা উন্নত করতে এবং আপনাকে আমাদের পরিষেবাগুলির বিষয়ে সুপারিশগুলি প্রদান করি৷

একটি সমকোণী ত্রিভুজের উচ্চতা বৈশিষ্ট্য কর্ণের কাছে নেমে গেছে

আপনি যদি একটি পুরষ্কার ড্র, প্রতিযোগিতা বা অনুরূপ প্রণোদনা প্রবেশ করেন, তাহলে আমরা এই ধরনের প্রোগ্রাম পরিচালনা করতে আপনার দেওয়া তথ্য ব্যবহার করতে পারি।

তৃতীয় পক্ষের কাছে প্রকাশ

আমরা তৃতীয় পক্ষের কাছে আপনার কাছ থেকে প্রাপ্ত তথ্য প্রকাশ করি না।

আইন অনুযায়ী, বিচার বিভাগীয় আদেশ অনুযায়ী, আইনি কার্যক্রমে এবং/অথবা রাশিয়ান ফেডারেশনের ভূখণ্ডে রাষ্ট্রীয় সংস্থার অনুরোধের ভিত্তিতে - আপনার ব্যক্তিগত তথ্য প্রকাশ করুন। আমরা আপনার সম্পর্কে তথ্য প্রকাশ করতে পারি যদি আমরা নির্ধারণ করি যে এই ধরনের প্রকাশ নিরাপত্তা, আইন প্রয়োগকারী বা অন্যান্য জনস্বার্থের কারণে প্রয়োজনীয় বা উপযুক্ত। একটি পুনর্গঠন, একত্রীকরণ বা বিক্রয়ের ক্ষেত্রে, আমরা প্রাসঙ্গিক তৃতীয় পক্ষের উত্তরাধিকারীর কাছে আমাদের সংগ্রহ করা ব্যক্তিগত তথ্য স্থানান্তর করতে পারি।

ব্যক্তিগত তথ্য সুরক্ষা

আমরা সতর্কতা অবলম্বন করি - প্রশাসনিক, প্রযুক্তিগত এবং শারীরিক সহ - আপনার ব্যক্তিগত তথ্য ক্ষতি, চুরি এবং অপব্যবহার, সেইসাথে অননুমোদিত অ্যাক্সেস, প্রকাশ, পরিবর্তন এবং ধ্বংস থেকে রক্ষা করতে।

কোম্পানি পর্যায়ে আপনার গোপনীয়তা বজায় রাখা

আপনার ব্যক্তিগত তথ্য সুরক্ষিত তা নিশ্চিত করার জন্য, আমরা আমাদের কর্মীদের গোপনীয়তা এবং নিরাপত্তা অনুশীলনের সাথে যোগাযোগ করি এবং গোপনীয়তা অনুশীলন কঠোরভাবে প্রয়োগ করি।

বার্তার জন্য আপনাকে ধন্যবাদ!

আপনার মন্তব্য গৃহীত হয়েছে, সংযম করার পরে এটি এই পৃষ্ঠায় প্রকাশিত হবে।

আপনি কি কাটের নীচে লুকানো আছে তা জানতে চান এবং OGE এবং USE-এর জন্য প্রস্তুতির জন্য একচেটিয়া উপকরণ পেতে চান? একটি ই-মেইল ছেড়ে দিন

সমকোণী ত্রিভুজের বৈশিষ্ট্য

একটি সমকোণী ত্রিভুজ বিবেচনা করুন (ABC)এবং এর বৈশিষ্ট্য, যা চিত্রে দেখানো হয়েছে। একটি সমকোণ ত্রিভুজের একটি কর্ণ রয়েছে, যার দিকটি সমকোণের বিপরীত। একটি সমকোণ গঠনকারী বাহুগুলিকে পা বলা হয়। পার্শ্ব অঙ্কন এডি, ডিসি এবং বিডি, ডিসি- পা, এবং পাশ এসিএবং SW- কর্ণ।

সমকোণী ত্রিভুজের সমতার লক্ষণ:

উপপাদ্য 1. যদি একটি সমকোণী ত্রিভুজের কর্ণ এবং পা অন্য ত্রিভুজের কর্ণ এবং পায়ের অনুরূপ হয় তবে এই জাতীয় ত্রিভুজগুলি সমান।

উপপাদ্য 2. যদি একটি সমকোণী ত্রিভুজের দুটি পা অন্য ত্রিভুজের দুটি পায়ের সমান হয়, তাহলে এই ত্রিভুজগুলি সর্বসম হয়।

উপপাদ্য 3. যদি একটি সমকোণী ত্রিভুজের কর্ণ এবং তীক্ষ্ণ কোণ অন্য ত্রিভুজের তীক্ষ্ণ কোণের অনুরূপ হয়, তাহলে এই জাতীয় ত্রিভুজগুলি সর্বসম হয়।

উপপাদ্য 4. যদি একটি সমকোণী ত্রিভুজের পা এবং সন্নিহিত (বিরুদ্ধ) তীব্র কোণ অন্য ত্রিভুজের পা এবং সন্নিহিত (বিপরীত) তীব্র কোণের সমান হয়, তাহলে এই জাতীয় ত্রিভুজগুলি সর্বসম হয়।

30 ° কোণের বিপরীতে একটি পায়ের বৈশিষ্ট্য:

উপপাদ্য ঘ.

একটি সমকোণী ত্রিভুজে উচ্চতা

30° কোণ বিশিষ্ট একটি সমকোণী ত্রিভুজে, এই কোণের বিপরীত পাটি কর্ণের অর্ধেক ছিঁড়ে যাবে।

উপপাদ্য 2. যদি একটি সমকোণী ত্রিভুজে পা কর্ণের অর্ধেক সমান হয়, তাহলে বিপরীত কোণটি 30°।

যদি উচ্চতাটি সমকোণের শীর্ষবিন্দু থেকে কর্ণের দিকে আঁকা হয়, তবে এই জাতীয় ত্রিভুজ দুটি ছোট ভাগে বিভক্ত হয়, বহির্গামীর মতো এবং একটির সাথে অন্যটির অনুরূপ। এটি থেকে নিম্নলিখিত সিদ্ধান্তগুলি অনুসরণ করা হয়:

1. উচ্চতা হল দুটি হাইপোটেনাস সেগমেন্টের জ্যামিতিক গড় (গড় সমানুপাতিক)।
2. ত্রিভুজের প্রতিটি পা কর্ণ এবং সন্নিহিত অংশগুলির গড় সমানুপাতিক।

একটি সমকোণী ত্রিভুজে, পা উচ্চতা হিসাবে কাজ করে। অর্থকেন্দ্র হল সেই বিন্দু যেখানে ত্রিভুজের উচ্চতা ছেদ করে। এটি চিত্রের ডান কোণের শীর্ষের সাথে মিলে যায়।

hC- ত্রিভুজের সমকোণ থেকে বেরিয়ে আসা উচ্চতা;

এবি- কর্ণ;

বিজ্ঞাপনএবং ডিবি- কর্ণের উচ্চতা দ্বারা বিভক্ত করার সময় যে অংশগুলি উদ্ভূত হয়েছিল।

শৃঙ্খলা "জ্যামিতি" এর রেফারেন্স দেখার জন্য ফিরে যান

ত্রিভুজএকটি জ্যামিতিক চিত্র যা তিনটি বিন্দু (বিন্দু) সমন্বিত যা একই সরলরেখায় নয় এবং এই বিন্দুগুলিকে সংযুক্তকারী তিনটি অংশ। একটি সমকোণ ত্রিভুজ হল একটি ত্রিভুজ যার একটি 90° কোণ রয়েছে (একটি সমকোণ)।
একটি উপপাদ্য আছে:একটি সমকোণী ত্রিভুজের তীব্র কোণের সমষ্টি 90°।
মন্তব্য সিস্টেম CACKLই

কীওয়ার্ড:ত্রিভুজ, আয়তক্ষেত্রাকার, পা, কর্ণ, পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য, বৃত্ত

ত্রিভুজ বলা হয় আয়তক্ষেত্রাকারযদি এটি একটি সঠিক কোণ আছে.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের দুটি পারস্পরিক লম্ব বাহু আছে যাকে বলা হয় পাগুলো; তৃতীয় পক্ষ বলা হয় কর্ণ

• লম্ব এবং তির্যক কর্ণের বৈশিষ্ট্য অনুসারে, প্রতিটি পা দীর্ঘ (কিন্তু তাদের যোগফলের চেয়ে কম)।
• একটি সমকোণী ত্রিভুজের দুটি তীব্র কোণের সমষ্টি সমকোণের সমান।
• একটি সমকোণী ত্রিভুজের দুটি উচ্চতা এর পায়ের সাথে মিলে যায়। অতএব, চারটি উল্লেখযোগ্য বিন্দুর একটি ত্রিভুজের সমকোণের শীর্ষবিন্দুতে পড়ে।
• সমকোণী ত্রিভুজের পরিধিকৃত বৃত্তের কেন্দ্র কর্ণের মধ্যবিন্দুতে অবস্থিত।
• সমকোণের শীর্ষবিন্দু থেকে কর্ণ পর্যন্ত আঁকা একটি সমকোণী ত্রিভুজের মধ্যক হল এই ত্রিভুজটি ঘিরে বৃত্তের ব্যাসার্ধ।

একটি নির্বিচারে সমকোণ ত্রিভুজ ABC বিবেচনা করুন এবং এর সমকোণের শীর্ষবিন্দু C থেকে একটি উচ্চতা CD = hc আঁকুন।

এটি প্রদত্ত ত্রিভুজটিকে দুটি সমকোণী ত্রিভুজ ACD এবং BCD এ বিভক্ত করবে; এই ত্রিভুজগুলির প্রত্যেকটির ত্রিভুজ ABC এর সাথে একটি সাধারণ তীব্র কোণ রয়েছে এবং তাই ত্রিভুজ ABC এর অনুরূপ।

তিনটি ত্রিভুজ ABC, ACD এবং BCD একে অপরের সাথে একই রকম।

ত্রিভুজগুলির সাদৃশ্য থেকে, নিম্নলিখিত সম্পর্কগুলি নির্ধারিত হয়:

• $$h = \sqrt(a_(c) \cdot b_(c)) = \frac(a \cdot b)(c)$$;
• c = ac + bc;
• $$a = \sqrt(a_(c) \cdot c), b = \sqrt(b_(c) \cdot c)$$;
• $$(\frac(a)(b))^(2)= frac(a_(c))(b_(c))$$।

পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যইউক্লিডীয় জ্যামিতির একটি মৌলিক উপপাদ্য, একটি সমকোণী ত্রিভুজের বাহুর মধ্যে সম্পর্ক স্থাপন করে।

জ্যামিতিক শব্দ।একটি সমকোণী ত্রিভুজে, কর্ণের উপর নির্মিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল পায়ে নির্মিত বর্গক্ষেত্রগুলির ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান।

বীজগণিত সূত্র।একটি সমকোণী ত্রিভুজে, কর্ণের বর্গ পায়ের বর্গক্ষেত্রের সমষ্টির সমান।
অর্থাৎ, c এর মধ্য দিয়ে ত্রিভুজের কর্ণের দৈর্ঘ্য এবং a এবং b এর মাধ্যমে পায়ের দৈর্ঘ্য নির্দেশ করে:
a2 + b2 = c2

বিপরীত পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য।

একটি সমকোণী ত্রিভুজের উচ্চতা

ধনাত্মক সংখ্যার যে কোনো ত্রিগুণের জন্য a, b এবং c যেমন
a2 + b2 = c2,
পা a এবং b এবং কর্ণ c সহ একটি সমকোণী ত্রিভুজ রয়েছে।

সমকোণী ত্রিভুজের সমতার লক্ষণ:

• পা এবং কর্ণ বরাবর;
• দুই পায়ে;
• পা এবং তীব্র কোণ বরাবর;
• কর্ণ এবং তীব্র কোণ।

আরো দেখুন:
ত্রিভুজ ক্ষেত্রফল, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ, সমবাহু ত্রিভুজ

জ্যামিতি. 8 ক্লাস। পরীক্ষা 4. বিকল্প 1 .

বিজ্ঞাপন : সিডি=সিডি : বি.ডি. তাই CD2 = AD ∙ বি.ডি. তারা বলে:

বিজ্ঞাপন : AC=AC : এবি তাই AC2 = AB ∙ বিজ্ঞাপন. তারা বলে:

বিডি : BC=BC : এবি তাই BC2 = AB ∙ বি.ডি.

সমস্যা সমাধান:

1.

ক) 70 সেমি; খ) 55 সেমি; গ) 65 সেমি; ঘ) 45 সেমি; ঙ) 53 সেমি

2. কর্ণের দিকে আঁকা একটি সমকোণী ত্রিভুজের উচ্চতা কর্ণকে 9 এবং 36 ভাগে ভাগ করে।

এই উচ্চতার দৈর্ঘ্য নির্ধারণ করুন।

ক) 22,5; খ) 19; গ) 9; ঘ) 12; ঙ) 18.

4.

ক) 30,25; খ) 24,5; গ) 18,45; ঘ) 32; ঙ) 32,25.

5.

ক) 25; খ) 24; গ) 27; ঘ) 26; ঙ) 21.

6.

ক) 8; খ) 7; গ) 6; ঘ) 5; ঙ) 4.

7.

8. একটি সমকোণী ত্রিভুজের পা 30।

কিভাবে একটি সমকোণী ত্রিভুজ উচ্চতা খুঁজে বের করতে?

সমকোণের শীর্ষবিন্দু থেকে কর্ণের দূরত্ব নির্ণয় করুন যদি এই ত্রিভুজটি ঘিরে বৃত্তের ব্যাসার্ধ 17 হয়।

ক) 17; খ) 16; গ) 15; ঘ) 14; ঙ) 12.

10.

ক) 15; খ) 18; গ) 20; ঘ) 16; ঙ) 12.

ক) 80; খ) 72; গ) 64; ঘ) 81; ঙ) 75.

12.

ক) 7,5; খ) 8; গ) 6,25; ঘ) 8,5; ঙ) 7.

উত্তর যাচাই করো!

D8.04.1. সমকোণী ত্রিভুজে আনুপাতিক অংশ

জ্যামিতি. 8 ক্লাস। পরীক্ষা 4. বিকল্প 1 .

Δ ABC ∠ACV = 90° এ। AC এবং BC পা, AB হাইপোটেনাস।

CD হল কর্ণের দিকে আঁকা ত্রিভুজের উচ্চতা।

কর্ণের উপর AC পায়ের AD অভিক্ষেপ,

কর্ণের উপর বিসি পায়ের বিডি অভিক্ষেপ।

উচ্চতা CD ত্রিভুজ ABC কে এর অনুরূপ দুটি ত্রিভুজে বিভক্ত করে (এবং একে অপরের সাথে): Δ ADC এবং Δ CDB।

অনুরূপ Δ ADC এবং Δ CDB এর বাহুর সমানুপাতিকতা থেকে নিম্নরূপ:

বিজ্ঞাপন : সিডি=সিডি : বি.ডি.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের উচ্চতার বৈশিষ্ট্য কর্ণের কাছে নেমে গেছে।

তাই CD2 = AD ∙ বি.ডি. তারা বলে: কর্ণের দিকে টানা একটি সমকোণী ত্রিভুজের উচ্চতা,কর্ণের উপর পায়ের অনুমানগুলির মধ্যে গড় সমানুপাতিক মান।

Δ ADC এবং Δ ACB এর সাদৃশ্য থেকে এটি অনুসরণ করে:

বিজ্ঞাপন : AC=AC : এবি তাই AC2 = AB ∙ বিজ্ঞাপন. তারা বলে: প্রতিটি পা হল সমগ্র কর্ণ এবং এই পাটির অভিক্ষেপের মধ্যকার গড় আনুপাতিক মান।

একইভাবে, Δ CDB এবং Δ ACB এর সাদৃশ্য থেকে এটি অনুসরণ করে:

বিডি : BC=BC : এবি তাই BC2 = AB ∙ বি.ডি.

সমস্যা সমাধান:

1. কর্ণের দিকে আঁকা একটি সমকোণী ত্রিভুজের উচ্চতা নির্ণয় করুন যদি এটি কর্ণকে 25 সেমি এবং 81 সেমি ভাগে ভাগ করে।

ক) 70 সেমি; খ) 55 সেমি; গ) 65 সেমি; ঘ) 45 সেমি; ঙ) 53 সেমি

2. কর্ণের দিকে আঁকা একটি সমকোণী ত্রিভুজের উচ্চতা কর্ণকে 9 এবং 36 ভাগে ভাগ করে। এই উচ্চতার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

ক) 22,5; খ) 19; গ) 9; ঘ) 12; ঙ) 18.

4. কর্ণের দিকে আঁকা একটি সমকোণী ত্রিভুজের উচ্চতা হল 22, একটি পায়ের অভিক্ষেপ 16৷ অন্য পায়ের অভিক্ষেপ খুঁজুন৷

ক) 30,25; খ) 24,5; গ) 18,45; ঘ) 32; ঙ) 32,25.

5. একটি সমকোণী ত্রিভুজের পা 18, এবং কর্ণের উপর এর অভিক্ষেপ 12। কর্ণটি খুঁজুন।

ক) 25; খ) 24; গ) 27; ঘ) 26; ঙ) 21.

6. কর্ণ 32। কর্ণের উপর যে পাটির অভিক্ষেপ 2 তা খুঁজুন।

ক) 8; খ) 7; গ) 6; ঘ) 5; ঙ) 4.

7. একটি সমকোণী ত্রিভুজের কর্ণ 45। কর্ণের উপর যে পাটির অভিক্ষেপ 9 তা খুঁজুন।

8. একটি সমকোণ ত্রিভুজের পা হল 30। সমকোণের শীর্ষবিন্দু থেকে কর্ণের দূরত্ব নির্ণয় করুন যদি এই ত্রিভুজটিকে ঘিরে বৃত্তের ব্যাসার্ধ 17 হয়।

ক) 17; খ) 16; গ) 15; ঘ) 14; ঙ) 12.

10. একটি সমকোণ ত্রিভুজের কর্ণ 41, এবং একটি পায়ের অভিক্ষেপ 16। সমকোণের শীর্ষবিন্দু থেকে কর্ণ পর্যন্ত আঁকা উচ্চতার দৈর্ঘ্য খুঁজুন।

ক) 15; খ) 18; গ) 20; ঘ) 16; ঙ) 12.

ক) 80; খ) 72; গ) 64; ঘ) 81; ঙ) 75.

12. কর্ণের উপর পায়ের অনুমানগুলির পার্থক্য হল 15, এবং সমকোণের শীর্ষবিন্দু থেকে কর্ণের দূরত্ব হল 4। পরিধিকৃত বৃত্তের ব্যাসার্ধ খুঁজুন।

ক) 7,5; খ) 8; গ) 6,25; ঘ) 8,5; ঙ) 7.

ত্রিভুজ।

মৌলিক ধারণা.

ত্রিভুজ- এটি একটি চিত্র যা তিনটি বিভাগ এবং তিনটি বিন্দু নিয়ে গঠিত যা একটি সরল রেখায় থাকে না।

সেগমেন্ট বলা হয় দলগুলি, এবং পয়েন্ট চূড়া.

কোণের সমষ্টিত্রিভুজটি 180 º এর সমান।

ত্রিভুজের উচ্চতা।

ত্রিভুজ উচ্চতাএকটি শীর্ষবিন্দু থেকে বিপরীত দিকে আঁকা একটি লম্ব।

একটি তীব্র-কোণযুক্ত ত্রিভুজে, উচ্চতা ত্রিভুজের ভিতরে থাকে (চিত্র 1)।

একটি সমকোণী ত্রিভুজে, পা হল ত্রিভুজের উচ্চতা (চিত্র 2)।

একটি স্থূল ত্রিভুজে, উচ্চতা ত্রিভুজের বাইরে চলে যায় (চিত্র 3)।

ত্রিভুজ উচ্চতা বৈশিষ্ট্য:

একটি ত্রিভুজের দ্বিখণ্ডক।

একটি ত্রিভুজের দ্বিখণ্ডক- এটি একটি অংশ যা শীর্ষবিন্দুর কোণকে দ্বিখণ্ডিত করে এবং শীর্ষবিন্দুটিকে বিপরীত দিকের একটি বিন্দুতে সংযুক্ত করে (চিত্র 5)।

দ্বিখণ্ডিত বৈশিষ্ট্য:

একটি ত্রিভুজের মধ্যক।

ত্রিভুজ মধ্যমা- এটি একটি সেগমেন্ট যা শীর্ষবিন্দুকে বিপরীত দিকের মাঝখানের সাথে সংযুক্ত করে (চিত্র 9a)।

মধ্যকার দৈর্ঘ্য সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে: 2খ 2 + 2গ 2 - ক 2 মি ক 2 = —————— 4 কোথায় মি ক- পাশে টানা মধ্যমা কিন্তু. একটি সমকোণী ত্রিভুজে, কর্ণের দিকে আঁকা মধ্যমাটি কর্ণের অর্ধেক হয়: গ mc = — 2 কোথায় mcমধ্যক হল কর্ণের প্রতি টানা গ(চিত্র 9c) একটি ত্রিভুজের মধ্যক একটি বিন্দুতে (ত্রিভুজের ভরের কেন্দ্রে) ছেদ করে এবং উপরের দিক থেকে গণনা করে 2:1 অনুপাতে এই বিন্দু দ্বারা বিভক্ত। অর্থাৎ, শীর্ষবিন্দু থেকে কেন্দ্র পর্যন্ত অংশটি কেন্দ্র থেকে ত্রিভুজের পাশের অংশের দ্বিগুণ (চিত্র 9c)। একটি ত্রিভুজের তিনটি মধ্যক একে সমান ক্ষেত্রফলের ছয়টি ত্রিভুজে ভাগ করে।

ত্রিভুজের মাঝের রেখা।

ত্রিভুজের মধ্যরেখা- এটি একটি সেগমেন্ট যা এর দুই বাহুর মধ্যবিন্দুকে সংযুক্ত করে (চিত্র 10)।

একটি ত্রিভুজের মধ্যরেখা তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল এবং এর অর্ধেকের সমান।

ত্রিভুজের বাইরের কোণ।

বাইরের কোণেত্রিভুজ দুটি অ-সংলগ্ন অভ্যন্তরীণ কোণের সমষ্টির সমান (চিত্র 11)।

একটি ত্রিভুজের বাহ্যিক কোণ যেকোনো অ-সংলগ্ন কোণের চেয়ে বড়।

সঠিক ত্রিভুজ.

সঠিক ত্রিভুজ- এটি একটি ত্রিভুজ যার একটি সমকোণ রয়েছে (চিত্র 12)।

সমকোণের বিপরীত সমকোণ ত্রিভুজের বাহুকে বলে কর্ণ.

অন্য দুই পক্ষকে ডাকা হয় পাগুলো.

সমকোণী ত্রিভুজে আনুপাতিক অংশ।

1) একটি সমকোণ ত্রিভুজে, সমকোণ থেকে আঁকা উচ্চতা তিনটি অনুরূপ ত্রিভুজ গঠন করে: ABC, ACH এবং HCB (চিত্র 14a)। তদনুসারে, উচ্চতা দ্বারা গঠিত কোণগুলি A এবং B কোণের সমান।

Fig.14a

দ্বিসমত্রিভুজ.

দ্বিসমত্রিভুজ- এটি একটি ত্রিভুজ যেখানে দুটি বাহু সমান (চিত্র 13)।

এই সমান দিক বলা হয় পক্ষই, এবং তৃতীয় ভিত্তিত্রিভুজ

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে, গোড়ার কোণগুলি সমান। (আমাদের ত্রিভুজে, কোণ A কোণ C এর সমান)।

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে, ভিত্তির দিকে টানা মধ্যকটি দ্বিখণ্ডক এবং ত্রিভুজের উচ্চতা উভয়ই।

সমবাহু ত্রিভুজ.

একটি সমবাহু ত্রিভুজ হল একটি ত্রিভুজ যার সমস্ত বাহু সমান (চিত্র 14)।

একটি সমবাহু ত্রিভুজের বৈশিষ্ট্য:

ত্রিভুজগুলির উল্লেখযোগ্য বৈশিষ্ট্য।

ত্রিভুজগুলির মূল বৈশিষ্ট্য রয়েছে যা আপনাকে এই আকারগুলির সাথে সম্পর্কিত সমস্যাগুলি সফলভাবে সমাধান করতে সহায়তা করবে। এই বৈশিষ্ট্যগুলির কিছু উপরে বর্ণিত হয়েছে। তবে আমরা সেগুলিকে আবার পুনরাবৃত্তি করছি, তাদের সাথে আরও কয়েকটি দুর্দান্ত বৈশিষ্ট্য যুক্ত করছি:

1) 90º, 30º এবং 60º কোণ সহ একটি সমকোণী ত্রিভুজে, পা খ, 30º কোণের বিপরীতে থাকা, সমান কর্ণের অর্ধেক। একটি পাক আরো পাখ√3 বার (চিত্র 15 কিন্তু) যেমন b-এর লেগ 5 হলে কর্ণ গঅগত্যা সমান 10, এবং পা কিন্তু 5√3 সমান। 2) 90º, 45º এবং 45º কোণ সহ একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে, কর্ণটি পায়ের √2 গুণ (চিত্র 15) খ) উদাহরণস্বরূপ, যদি পা 5 হয়, তাহলে কর্ণ 5√2 হয়। 3) ত্রিভুজের মাঝের রেখাটি সমান্তরাল বাহুর অর্ধেকের সমান (চিত্র 15) থেকে) উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি ত্রিভুজের বাহু 10 হয়, তাহলে এর মধ্যরেখাটি 5 হবে। 4) একটি সমকোণী ত্রিভুজে, কর্ণের প্রতি অঙ্কিত মধ্যকটি কর্ণের অর্ধেকের সমান (চিত্র 9c): mc= গ/2। 5) একটি ত্রিভুজের মধ্যক, একটি বিন্দুতে ছেদ করে, এই বিন্দু দ্বারা 2:1 অনুপাতে বিভক্ত। অর্থাৎ, শীর্ষবিন্দু থেকে মধ্যকার ছেদ বিন্দু পর্যন্ত রেখাংশটি মধ্যকার ছেদ বিন্দু থেকে ত্রিভুজের পাশের অংশের দ্বিগুণ (চিত্র 9c) 6) একটি সমকোণী ত্রিভুজে, কর্ণের মধ্যবিন্দু হল পরিধিকৃত বৃত্তের কেন্দ্র (চিত্র 15) d).

ত্রিভুজের সমতার লক্ষণ.

সাম্যের প্রথম লক্ষণ: যদি একটি ত্রিভুজের দুটি বাহু এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণ দুটি বাহুর সমান হয় এবং অন্য ত্রিভুজের মধ্যবর্তী কোণ হয়, তাহলে এই জাতীয় ত্রিভুজগুলি সর্বসম হয়।

সাম্যের দ্বিতীয় লক্ষণ: যদি একটি ত্রিভুজের বাহু এবং তার সংলগ্ন কোণগুলি অন্য ত্রিভুজের পাশে এবং কোণগুলির সমান হয়, তাহলে এই জাতীয় ত্রিভুজগুলি সর্বসম হয়।

সাম্যের তৃতীয় লক্ষণ: যদি একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহু অন্য ত্রিভুজের তিনটি বাহুর সমান হয়, তাহলে এই ধরনের ত্রিভুজগুলি সর্বসম।

ত্রিভুজ অসমতা।

যেকোনো ত্রিভুজে, প্রতিটি বাহু অন্য দুটি বাহুর যোগফলের চেয়ে কম।

পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য।

একটি সমকোণী ত্রিভুজে, কর্ণের বর্গ পায়ের বর্গক্ষেত্রের সমষ্টির সমান:

গ 2 = ক 2 + খ 2 .

একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল।

1) একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল তার বাহুর গুণফলের অর্ধেক এবং এই দিকে টানা উচ্চতার সমান:

আহ
এস = ——
2

2) একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল তার বাহুর যেকোনো দুটির গুণফলের অর্ধেক এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণের সাইনের সমান:

1
এস = — AB · এসি · পাপ ক
2

একটি ত্রিভুজ একটি বৃত্তকে ঘিরে।

একটি বৃত্তকে ত্রিভুজে খোদাই করা বলা হয় যদি এটি তার সমস্ত দিককে স্পর্শ করে (চিত্র 16 কিন্তু).

একটি বৃত্তে খোদিত ত্রিভুজ।

একটি ত্রিভুজকে একটি বৃত্তে খোদিত বলা হয় যদি এটি সমস্ত শীর্ষবিন্দু দিয়ে স্পর্শ করে (চিত্র 17) ক).

একটি সমকোণী ত্রিভুজের তীব্র কোণের সাইন, কোসাইন, স্পর্শক, কোট্যাঞ্জেন্ট (চিত্র 18)।

সাইনাসতীব্র কোণ এক্স বিপরীতকর্ণের ক্যাথেটার।
এইভাবে চিহ্নিত করা হয়েছে: পাপএক্স.

কোসাইনতীব্র কোণ এক্সসমকোণী ত্রিভুজ হল অনুপাত সংলগ্নকর্ণের ক্যাথেটার।
এটি নিম্নরূপ চিহ্নিত করা হয়: cos এক্স.

স্পর্শকতীব্র কোণ এক্সপার্শ্ববর্তী পায়ের বিপরীত পায়ের অনুপাত।
এই মত চিহ্নিত: tgএক্স.

কোট্যাঞ্জেন্টতীব্র কোণ এক্সবিপরীত পায়ের সংলগ্ন পায়ের অনুপাত।
এইভাবে চিহ্নিত করা হয়েছে: ctgএক্স.

নিয়ম:

পা বিপরীত কোণে এক্স, কর্ণ এবং পাপের গুণফলের সমান এক্স:

b=cপাপ এক্স

কোণ সংলগ্ন পা এক্স, কর্ণ এবং cos এর গুণফলের সমান এক্স:

a = গকারণ এক্স

পা বিপরীত কোণে এক্স, দ্বিতীয় লেগ এবং tg এর গুণফলের সমান এক্স:

b = a tg এক্স

কোণ সংলগ্ন পা এক্স, দ্বিতীয় লেগ এবং ctg এর গুণফলের সমান এক্স:

a = খ ctg এক্স.

কোন তীব্র কোণ জন্য এক্স:

পাপ (90° - এক্স) = cos এক্স

cos (90° - এক্স) = পাপ এক্স

সঠিক ত্রিভুজএকটি ত্রিভুজ যার একটি কোণ সমকোণ, অর্থাৎ 90 ডিগ্রির সমান।

• সমকোণের বিপরীত দিকটিকে বলা হয় হাইপোটেনাস। গবা এবি)
• সমকোণ সংলগ্ন দিকটিকে লেগ বলে। প্রতিটি সমকোণী ত্রিভুজের দুটি পা থাকে (এর মতো নির্দেশিত কএবং b বা AC এবং BC)

একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূত্র এবং বৈশিষ্ট্য

সূত্র উপাধি:

(উপরের ছবি দেখুন)

ক, খ- একটি সমকোণী ত্রিভুজের পা

গ- কর্ণ

α, β - একটি ত্রিভুজের তীব্র কোণ

এস- এলাকা

জ- সমকোণের শীর্ষবিন্দু থেকে কর্ণের উচ্চতা নেমে গেছে

মি ক কবিপরীত কোণ থেকে ( α )

মি খ- পাশে টানা মধ্যমা খবিপরীত কোণ থেকে ( β )

mc- পাশে টানা মধ্যমা গবিপরীত কোণ থেকে ( γ )

ভিতরে সঠিক ত্রিভুজ উভয় পা কর্ণের চেয়ে কম(সূত্র 1 এবং 2)। এই বৈশিষ্ট্যটি পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের ফলাফল।

যেকোনও তীব্র কোণের কোসাইনএকের কম (সূত্র 3 এবং 4)। এই সম্পত্তি পূর্ববর্তী এক থেকে অনুসরণ করে. যেহেতু যে কোনো পা কর্ণের চেয়ে কম, তাই কর্ণের সাথে পায়ের অনুপাত সর্বদা একের কম হয়।

কর্ণের বর্গ পায়ের বর্গক্ষেত্রের সমষ্টির সমান (পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য)। (সূত্র 5)। এই সম্পত্তি ক্রমাগত সমস্যা সমাধানে ব্যবহৃত হয়.

সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলপায়ের অর্ধেক গুণফলের সমান (সূত্র 6)

বর্গাকার মধ্যকার সমষ্টিপায়ের কাছে কর্ণের মধ্যকার পাঁচটি বর্গক্ষেত্রের সমান এবং কর্ণের পাঁচটি বর্গক্ষেত্রকে চার দ্বারা ভাগ করা হয় (সূত্র 7)। উপরোক্ত ছাড়াও, সেখানে আরও 5টি সূত্র, তাই এটি সুপারিশ করা হয় যে আপনি " সমকোণী ত্রিভুজের মধ্যমা " পাঠের সাথেও নিজেকে পরিচিত করুন, যা মধ্যকার বৈশিষ্ট্যগুলিকে আরও বিশদে বর্ণনা করে৷

উচ্চতাএকটি সমকোণী ত্রিভুজটি কর্ণ দ্বারা বিভক্ত পায়ের গুণফলের সমান (সূত্র 8)

পায়ের বর্গক্ষেত্রগুলি কর্পোটেনাসে নেমে যাওয়া উচ্চতার বর্গক্ষেত্রের বিপরীতভাবে সমানুপাতিক (সূত্র 9)। এই পরিচয়টিও পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের অন্যতম পরিণতি।

কর্ণের দৈর্ঘ্যপরিধিকৃত বৃত্তের ব্যাসের (দুই ব্যাসার্ধ) সমান (সূত্র 10)। সমকোণী ত্রিভুজের হাইপোটেনউজ পরিধিকৃত বৃত্তের ব্যাস. এই সম্পত্তি প্রায়ই সমস্যা সমাধানে ব্যবহৃত হয়.

খোদাই করা ব্যাসার্ধভিতরে সঠিক ত্রিভুজ চেনাশোনাঅভিব্যক্তির অর্ধেক হিসাবে পাওয়া যেতে পারে, যার মধ্যে রয়েছে এই ত্রিভুজের পায়ের যোগফল বিয়োগ কর্ণের দৈর্ঘ্য। অথবা একটি প্রদত্ত ত্রিভুজের সমস্ত বাহুর (ঘের) যোগফল দ্বারা বিভক্ত পায়ের গুণফল হিসাবে। (সূত্র 11)
একটি কোণের সাইন বিপরীতএই কোণে leg to hypotenuse(একটি সাইনের সংজ্ঞা অনুসারে)। (সূত্র 12)। সমস্যা সমাধান করার সময় এই সম্পত্তি ব্যবহার করা হয়. পক্ষগুলির মাত্রাগুলি জেনে, আপনি যে কোণটি গঠন করে তা খুঁজে পেতে পারেন।

সমকোণী ত্রিভুজে A (α, alpha) কোণের কোসাইন সমান হবে সম্পর্ক সংলগ্নএই কোণে leg to hypotenuse(একটি সাইনের সংজ্ঞা অনুসারে)। (সূত্র 13)

আসলে, সবকিছু এতটা ভীতিকর নয়। অবশ্যই, সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট এবং কোট্যাঞ্জেন্টের "বাস্তব" সংজ্ঞা নিবন্ধে দেখা উচিত। কিন্তু আপনি সত্যিই চান না, তাই না? আমরা আনন্দ করতে পারি: একটি সমকোণী ত্রিভুজ সম্পর্কে সমস্যাগুলি সমাধান করতে, আপনি কেবল নিম্নলিখিত সাধারণ জিনিসগুলি পূরণ করতে পারেন:

কোণ সম্পর্কে কি? কোণার বিপরীতে একটি পা আছে, অর্থাৎ বিপরীত পা (কোনার জন্য)? অবশ্যই আছে! এটা একটা ক্যাথেট!

কিন্তু কোণ সম্পর্কে কি? ভালোভাবে দেখো. কোন পা কোণ সংলগ্ন? অবশ্যই, বিড়াল। সুতরাং, কোণের জন্য, লেগ সংলগ্ন, এবং

এবং এখন, মনোযোগ! আমরা কি পেয়েছি তা দেখুন:

দেখুন এটি কতটা দুর্দান্ত:

এখন চলুন স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্টে যাওয়া যাক।

এটাকে এখন কথায় কিভাবে বলব? কোণ সম্পর্কে পা কি? বিপরীত, অবশ্যই - এটি কোণার বিপরীত "মিথ্যে"। আর ক্যাথেট? কোণ ঘেঁষে। তাহলে আমরা কি পেলাম?

দেখুন কিভাবে লব এবং হর বিপরীত হয়?

এবং এখন আবার কোণে এবং বিনিময় করেছেন:

সারসংক্ষেপ

আসুন আমরা যা শিখেছি তা সংক্ষেপে লিখি।

পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য:

প্রধান সমকোণী ত্রিভুজ উপপাদ্য হল পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য।

পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য

উপায় দ্বারা, আপনি ভাল মনে আছে পা এবং কর্ণ কি? যদি না হয়, তাহলে ছবিটি দেখুন - আপনার জ্ঞান রিফ্রেশ করুন

এটা সম্ভব যে আপনি ইতিমধ্যেই অনেকবার পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য ব্যবহার করেছেন, কিন্তু আপনি কি কখনও ভেবে দেখেছেন কেন এই ধরনের একটি উপপাদ্য সত্য। আপনি এটা কিভাবে প্রমাণ করবেন? আসুন প্রাচীন গ্রীকদের মত করি। এর একটি পাশ দিয়ে একটি বর্গক্ষেত্র আঁকুন।

আপনি দেখতে পাচ্ছেন কত ধূর্ততার সাথে আমরা এর দিকগুলিকে দৈর্ঘ্যের অংশে ভাগ করেছি এবং!

এখন চিহ্নিত বিন্দু সংযোগ করা যাক

এখানে আমরা অবশ্য অন্য কিছু উল্লেখ করেছি, তবে আপনি নিজেই ছবিটি দেখুন এবং কেন তা ভেবে দেখুন।

বড় বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

ঠিক, .

ছোট এলাকা সম্পর্কে কি?

নিশ্চয়ই, .

চার কোণার মোট এলাকা রয়ে গেছে। কল্পনা করুন যে আমরা তাদের দুটি নিয়েছি এবং কর্ণের সাথে একে অপরের বিরুদ্ধে ঝুঁকেছি।

কি হলো? দুটি আয়তক্ষেত্র। সুতরাং, "কাটিং" এর ক্ষেত্রফল সমান।

এখন সব একসাথে করা যাক.

আসুন রূপান্তর করি:

তাই আমরা পিথাগোরাস পরিদর্শন করেছি - আমরা একটি প্রাচীন উপায়ে তার উপপাদ্য প্রমাণ করেছি।

সমকোণী ত্রিভুজ এবং ত্রিকোণমিতি

একটি সমকোণী ত্রিভুজের জন্য, নিম্নলিখিত সম্পর্কগুলি ধারণ করে:

একটি তীব্র কোণের সাইন বিপরীত পায়ের অনুপাতের অনুপাতের সমান

একটি তীক্ষ্ণ কোণের কোসাইন কর্ণের সংলগ্ন পায়ের অনুপাতের সমান।

একটি তীব্র কোণের স্পর্শক পার্শ্ববর্তী পায়ের বিপরীত পায়ের অনুপাতের সমান।

একটি তীব্র কোণের কোট্যাঞ্জেন্ট বিপরীত পায়ের সংলগ্ন পায়ের অনুপাতের সমান।

এবং আবার, এই সব একটি প্লেট আকারে:

এটা খুব সুবিধাজনক!

সমকোণী ত্রিভুজের সমতার চিহ্ন

I. দুই পায়ে

২. লেগ এবং কর্ণের দ্বারা

III. কর্ণ এবং তীব্র কোণ দ্বারা

IV লেগ এবং তীব্র কোণ বরাবর

ক)

খ)

মনোযোগ! এখানে এটা খুবই গুরুত্বপূর্ণ যে পা "সম্পর্কিত"। উদাহরণস্বরূপ, যদি এটি এই মত যায়:

তাহলে ত্রিভুজগুলো সমান নয়, তাদের এক অভিন্ন তীব্র কোণ থাকা সত্ত্বেও।

প্রয়োজন উভয় ত্রিভুজে পা সংলগ্ন ছিল, বা উভয়েই - বিপরীত.

আপনি কি লক্ষ্য করেছেন কিভাবে সমকোণী ত্রিভুজের সমতার চিহ্ন ত্রিভুজের সমতার সাধারণ চিহ্ন থেকে আলাদা?

বিষয়টি দেখুন "এবং এই বিষয়টিতে মনোযোগ দিন যে "সাধারণ" ত্রিভুজগুলির সমতার জন্য, আপনার তাদের তিনটি উপাদানের সমতা প্রয়োজন: দুটি বাহু এবং তাদের মধ্যে একটি কোণ, দুটি কোণ এবং তাদের মধ্যে একটি দিক বা তিনটি দিক।

কিন্তু সমকোণী ত্রিভুজের সমতার জন্য শুধুমাত্র দুটি সংশ্লিষ্ট উপাদানই যথেষ্ট। এটা মহান, তাই না?

সমকোণী ত্রিভুজের মিলের লক্ষণগুলির সাথে প্রায় একই অবস্থা।

সমকোণী ত্রিভুজের মিলের লক্ষণ

I. তীব্র কোণ

২. দুই পায়ে

III. লেগ এবং কর্ণের দ্বারা

সমকোণী ত্রিভুজে মধ্যমা

এটা এমন কেন?

সমকোণী ত্রিভুজের পরিবর্তে একটি সম্পূর্ণ আয়তক্ষেত্র বিবেচনা করুন।

আসুন একটি তির্যক আঁকুন এবং একটি বিন্দু বিবেচনা করুন - কর্ণগুলির ছেদ বিন্দু। আপনি একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণ সম্পর্কে কি জানেন?

এবং এই থেকে অনুসরণ কি?

তাই এটা ঘটেছে

1. - মধ্যমা:

এই সত্য মনে রাখবেন! অনেক সাহায্য করে!

আরও আশ্চর্যের বিষয় হল কথোপকথনটিও সত্য।

কর্ণের প্রতি অঙ্কিত মধ্যকটি কর্ণের অর্ধেক সমান তা থেকে কী লাভ করা যায়? চলুন ছবিটা দেখি

ভালোভাবে দেখো. আমাদের আছে: , অর্থাৎ, বিন্দু থেকে ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দুর দূরত্ব সমান হয়ে গেছে। কিন্তু একটি ত্রিভুজে শুধুমাত্র একটি বিন্দু থাকে, যেখান থেকে দূরত্ব ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দুই সমান, এবং এটিই বর্ণিত সার্কামের কেন্দ্র। তাহলে কি হলো?

সুতরাং আসুন এটি "পাশাপাশি..." দিয়ে শুরু করি।

এর i তাকান.

কিন্তু অনুরূপ ত্রিভুজগুলিতে সমস্ত কোণ সমান!

একই এবং সম্পর্কে বলা যেতে পারে

এখন একে একসাথে আঁকা যাক:

এই "ট্রিপল" সাদৃশ্য থেকে কি ব্যবহার করা যেতে পারে।

আচ্ছা, যেমন- সমকোণী ত্রিভুজের উচ্চতার জন্য দুটি সূত্র।

আমরা সংশ্লিষ্ট পক্ষের সম্পর্ক লিখি:

উচ্চতা খুঁজে পেতে, আমরা অনুপাত সমাধান এবং পেতে প্রথম সূত্র "একটি সমকোণী ত্রিভুজে উচ্চতা":

ঠিক আছে, এখন, অন্যদের সাথে এই জ্ঞান প্রয়োগ এবং একত্রিত করে, আপনি একটি সমকোণী ত্রিভুজ দিয়ে যে কোনও সমস্যা সমাধান করবেন!

সুতরাং, এর সাদৃশ্য প্রয়োগ করা যাক: .

এখন কি হবে?

আবার আমরা অনুপাতটি সমাধান করি এবং দ্বিতীয় সূত্রটি পাই:

এই দুটি সূত্রই খুব ভালোভাবে মনে রাখতে হবে এবং যেটি প্রয়োগ করা আরও সুবিধাজনক।

আসুন সেগুলো আবার লিখি।

পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য:

সমকোণী ত্রিভুজে, কর্ণের বর্গ পায়ের বর্গক্ষেত্রের সমষ্টির সমান:।

সমকোণী ত্রিভুজের সমতার লক্ষণ:

• দুই পায়ে:
• পা এবং কর্ণ বরাবর: বা
• পা এবং সংলগ্ন তীব্র কোণ বরাবর: বা
• পা বরাবর এবং বিপরীত তীব্র কোণ: বা
• কর্ণ এবং তীব্র কোণ দ্বারা: বা।

সমকোণী ত্রিভুজের মিলের লক্ষণ:

• একটি ধারালো কোণ: বা
• দুই পায়ের সমানুপাতিকতা থেকে:
• পা এবং কর্ণের সমানুপাতিকতা থেকে: বা।

একটি সমকোণী ত্রিভুজের সাইন, কোসাইন, স্পর্শক, কোট্যাঞ্জেন্ট

• একটি সমকোণী ত্রিভুজের তীব্র কোণের সাইন হল কর্ণের বিপরীত পায়ের অনুপাত:
• সমকোণী ত্রিভুজের একটি তীব্র কোণের কোসাইন হল কর্ণের সংলগ্ন পায়ের অনুপাত:
• একটি সমকোণী ত্রিভুজের তীক্ষ্ণ কোণের স্পর্শক হল পার্শ্ববর্তী পায়ের বিপরীত পায়ের অনুপাত:
• একটি সমকোণী ত্রিভুজের তীক্ষ্ণ কোণের কোট্যাঞ্জেন্ট হল বিপরীত পাশের পায়ের অনুপাত:।

সমকোণী ত্রিভুজের উচ্চতা: বা।

একটি সমকোণ ত্রিভুজে, সমকোণের শীর্ষবিন্দু থেকে অঙ্কিত মধ্যক অর্ধেক কর্ণের সমান: .

সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল:

• ক্যাথেটারের মাধ্যমে:

সম্পত্তি: 1।যেকোনো সমকোণ ত্রিভুজে, সমকোণ থেকে (কর্ণে) নেমে যাওয়া উচ্চতা সমকোণ ত্রিভুজটিকে তিনটি অনুরূপ ত্রিভুজে ভাগ করে।

সম্পত্তি: 2।একটি সমকোণী ত্রিভুজের উচ্চতা, কর্ণের দিকে নামানো হয়, কর্ণের উপর পায়ের অনুমানগুলির জ্যামিতিক গড় (অথবা সেই অংশগুলির জ্যামিতিক গড় যার মধ্যে উচ্চতা কর্ণকে ভাগ করে)।

সম্পত্তি: 3.পাটি কর্ণের জ্যামিতিক গড় এবং এই পাটি কর্ণের উপর অভিক্ষেপের সমান।

সম্পত্তি: 4. 30 ডিগ্রি কোণের বিপরীতে পাটি কর্ণের অর্ধেক সমান।

1 নং সূত্র.

সূত্র 2।কর্ণ কোথায়; , স্কেট

সম্পত্তি: 5।একটি সমকোণী ত্রিভুজে, কর্ণের প্রতি অঙ্কিত মধ্যকটি এর অর্ধেকের সমান এবং পরিধিকৃত বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান।

সম্পত্তি: 6. একটি সমকোণী ত্রিভুজের বাহু এবং কোণের মধ্যে নির্ভরতা:

44. কোসাইন উপপাদ্য। ফলাফল: একটি সমান্তরালগ্রামের তির্যক এবং বাহুর মধ্যে সংযোগ; ত্রিভুজের ধরন নির্ধারণ করা; একটি ত্রিভুজের মধ্যকার দৈর্ঘ্য গণনা করার জন্য সূত্র; একটি ত্রিভুজের কোণের কোসাইন গণনা করা।

কাজের শেষ -

এই বিষয়ের অন্তর্গত:

ক্লাস। প্ল্যানিমেট্রির কোলোকিয়াম ফান্ডামেন্টালের প্রোগ্রাম

সন্নিহিত কোণের বৈশিষ্ট্য.. দুটি কোণের সংজ্ঞা সন্নিহিত হয় যদি একটি বাহু অন্য দুটিতে একটি সরলরেখা তৈরি করে।

আপনার যদি এই বিষয়ে অতিরিক্ত উপাদানের প্রয়োজন হয়, বা আপনি যা খুঁজছিলেন তা খুঁজে না পান, আমরা আমাদের কাজের ডাটাবেসে অনুসন্ধান ব্যবহার করার পরামর্শ দিই:

প্রাপ্ত উপাদান দিয়ে আমরা কী করব:

যদি এই উপাদানটি আপনার জন্য উপযোগী হয়ে ওঠে, আপনি সামাজিক নেটওয়ার্কগুলিতে আপনার পৃষ্ঠায় এটি সংরক্ষণ করতে পারেন: