ম্যাট্রিক্সের বিপরীত গণনা করুন। বীজগণিত পরিপূরকগুলি ব্যবহার করে বিপরীতমুখী ম্যাট্রিক্স গণনা করার জন্য অ্যালগরিদম: অ্যাডৌড (অ্যাডৌিন্ট) ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি। অর্থনৈতিক বিশ্লেষণে ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি

ম্যাট্রিক্স বীজগণিত - বিপরীতমুখী ম্যাট্রিক্স

বিপরীতমুখী ম্যাট্রিক্স

বিপরীতমুখী ম্যাট্রিক্স ম্যাট্রিক্স বলা হয় যা প্রদত্ত ম্যাট্রিক্স দ্বারা ডান এবং বামে উভয়কে গুণিত করলে, পরিচয় ম্যাট্রিক্স দেয়।
আসুন আমরা ম্যাট্রিক্সকে ম্যাট্রিক্সের বিপরীত বোঝাতে চাই এবং মাধ্যমে, তারপরে আমাদের পাওয়া সংজ্ঞা অনুযায়ী:

কোথায় ই পরিচয় ম্যাট্রিক্স হয়।
স্কোয়ার ম্যাট্রিক্স বলা হয় অ বিশেষ (অবক্ষয়হীন) যদি এর নির্ধারক শূন্য না হয়। অন্যথায়, এটি বলা হয় বিশেষ (অবক্ষয়) বা একক.

নিম্নলিখিত উপপাদ্য ধারণ করে: প্রতিটি ন্যানসিংুলার ম্যাট্রিক্সের একটি বিপরীত থাকে।

বিপরীতমুখী ম্যাট্রিক্স সন্ধানের অপারেশন বলা হয় আবেদন ম্যাট্রিক্স। ম্যাট্রিক্স ইনভার্ভেশন অ্যালগরিদম বিবেচনা করুন। সেখানে একটি ননসিংহুলার ম্যাট্রিক্স দেওয়া উচিত এন- তম অর্ডার:

যেখানে Δ \u003d det ক ≠ 0.

একটি উপাদানটির বীজগণিত পরিপূরকম্যাট্রিক্স এন তম অর্ডার এবং ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক বলা হয় ( এন –1) তম অর্ডার মুছে ফেলার মাধ্যমে প্রাপ্ত i-পথ লাইন এবং jম্যাট্রিক্সের তম কলাম এবং:

তথাকথিত রচনা করা যাক সংযুক্ত ম্যাট্রিক্স:

ম্যাট্রিক্সের সম্পর্কিত উপাদানগুলির বীজগণিত পরিপূরকগুলি কোথায় এবং.
নোট করুন যে ম্যাট্রিক্সের সারিগুলির উপাদানগুলির বীজগণিত পরিপূরক এবং ম্যাট্রিক্সের সংশ্লিষ্ট কলামগুলিতে স্থাপন করা হয় Ã , অর্থাৎ, ম্যাট্রিক্স একই সময়ে স্থানান্তরিত হয়।
ম্যাট্রিক্সের সমস্ত উপাদানগুলি ভাগ করা Ã Δ দ্বারা - ম্যাট্রিক্সের নির্ধারকের মান এবং, আমরা ফল হিসাবে বিপরীতমুখী ম্যাট্রিক্স পেতে:

আমরা বিপরীত ম্যাট্রিক্সের কয়েকটি বিশেষ বৈশিষ্ট্য নোট করি:
1) প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সের জন্য এবং এর বিপরীতমুখী ম্যাট্রিক্স একমাত্র;
2) যদি কোনও বিপরীতমুখী ম্যাট্রিক্স থাকে তবে ডান বিপরীত এবং বাম বিপরীত ম্যাট্রিক্স এটির সাথে মিলে যায়;
3) একটি বিশেষ (অধঃপতিত) বর্গ ম্যাট্রিক্সের কোনও বিপরীতমুখী ম্যাট্রিক্স নেই।

বিপরীত ম্যাট্রিক্সের প্রধান বৈশিষ্ট্য:
1) বিপরীতমুখী ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক এবং মূল ম্যাট্রিক্সের নির্ধারকগুলি পারস্পরিক মান হয়;
2) বর্গ ম্যাট্রিক্সের পণ্যের বিপরীত ম্যাট্রিক্স বিপরীত ক্রমে গৃহীত কারণগুলির বিপরীত ম্যাট্রিক্সের সমান:

৩) ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজড ইনভার্স প্রদত্ত ট্রান্সপোজেড ম্যাট্রিক্সের বিপরীত সমান:

পিআরআই আমাকে আর। প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সের বিপরীত গণনা করুন।

যে কোনও নন-জেনারেট ম্যাট্রিক্স এ এর \u200b\u200bজন্য রয়েছে এবং এরপরে একটি অনন্য ম্যাট্রিক্স এ -১ এর মতো

এ * এ -1 \u003d এ -1 * এ \u003d ই,

যেখানে E হ'ল A. এর একই আদেশের পরিচয় ম্যাট্রিক্স The ম্যাট্রিক্স এ -1কে ম্যাট্রিক্স এ এর \u200b\u200bবিপরীত বলা হয় A.

কেউ ভুলে গেলে, পরিচয় ম্যাট্রিক্সে, ভরাট তির্যকগুলি বাদে, অন্য সমস্ত পদগুলি শূন্যে ভরা হয়, পরিচয় ম্যাট্রিক্সের একটি উদাহরণ:

অ্যাডুইড ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি দ্বারা বিপরীতমুখী ম্যাট্রিক্স সন্ধান করা

বিপরীত ম্যাট্রিক্স সূত্র দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়:

যেখানে একটি আইজ উপাদানগুলি হয় একটি আইজে।

সেগুলো. বিপরীতমুখী ম্যাট্রিক্স গণনা করতে, আপনাকে এই ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক গণনা করতে হবে। তারপরে এর সমস্ত উপাদানগুলির জন্য বীজগণিত পরিপূরকগুলি সন্ধান করুন এবং সেগুলি থেকে একটি নতুন ম্যাট্রিক্স রচনা করুন। এর পরে, আপনাকে এই ম্যাট্রিক্সটি পরিবহন করতে হবে। এবং নতুন ম্যাট্রিক্সের প্রতিটি উপাদানকে মূল ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক দ্বারা ভাগ করুন।

আসুন কিছু উদাহরণ তাকান।

ম্যাট্রিক্সের জন্য A -1 সন্ধান করুন

সমাধান। আসক্তি ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি অনুসারে আমরা A -1 সন্ধান করি। আমাদের ডি এ \u003d ২ রয়েছে। আসুন আমরা ম্যাট্রিক্স এ এর \u200b\u200bউপাদানগুলির বীজগণিতের পরিপূর্ণতা খুঁজে পাই this এক্ষেত্রে ম্যাট্রিক্সের উপাদানগুলির বীজগণিত পরিপূর্ণতা নিজেই ম্যাট্রিক্সের সংশ্লিষ্ট উপাদানগুলি হবে, সূত্র অনুসারে একটি চিহ্ন সহ গৃহীত হবে

আমাদের এ 11 \u003d 3, এ 12 \u003d -4, এ 21 \u003d -1, এ 22 \u003d 2 রয়েছে We

আমরা ম্যাট্রিক্স এ * পরিবহন করি:

সূত্রটি দ্বারা আমরা বিপরীতমুখী ম্যাট্রিক্সটি পাই:

আমরা পেতে:

অ্যাডজেন্ট ম্যাট্রিক্স পদ্ধতিটি ব্যবহার করে A -1 সন্ধান করুন

সমাধান: প্রথমত, আমরা বিপরীত ম্যাট্রিক্সের উপস্থিতি নিশ্চিত করার জন্য প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সের সংজ্ঞা গণনা করি। আমাদের আছে

এখানে আমরা দ্বিতীয় সারির উপাদানগুলিতে তৃতীয় সারির উপাদানগুলিকে যুক্ত করেছি, পূর্বে (-1) দ্বারা গুণিত করে এবং পরে দ্বিতীয় সারিতে নির্ধারককে প্রসারিত করেছি। প্রদত্ত ম্যাট্রিক্স যেহেতু ননজারো হিসাবে নির্ধারিত, তাই বিপরীতমুখী ম্যাট্রিক্স বিদ্যমান। অ্যাডজাইট ম্যাট্রিক্স তৈরি করতে, আমরা এই ম্যাট্রিক্সের উপাদানগুলির বীজগণিত পরিপূরকগুলি পাই। আমাদের আছে

সূত্র অনুযায়ী

ম্যাট্রিক্স এ * পরিবহন করুন:

তারপরে সূত্র ধরে

প্রাথমিক রূপান্তর পদ্ধতি দ্বারা বিপরীত ম্যাট্রিক্স সন্ধান করা

সূত্র (অ্যাডজেন্ট ম্যাট্রিক্সের পদ্ধতি) থেকে অনুসরণ করে বিপরীতমুখী ম্যাট্রিক্স সন্ধানের পদ্ধতি ছাড়াও বিপরীতমুখী ম্যাট্রিক্স সন্ধানের জন্য একটি পদ্ধতি রয়েছে, যাকে প্রাথমিক পরিবর্তনের পদ্ধতি বলা হয়।

প্রাথমিক ম্যাট্রিক্স রূপান্তর

নিম্নলিখিত রূপান্তরগুলিকে প্রাথমিক ম্যাট্রিক্স রূপান্তর বলা হয়:

1) সারি (কলাম) এর অনুচ্ছেদ;

2) একটি সারি (কলাম) শূন্য ব্যতীত অন্য একটি সংখ্যা দ্বারা গুণ করা;

3) একটি সারি (কলাম) এর উপাদানগুলিতে যোগ করা অন্য সারি (কলাম) এর সংশ্লিষ্ট উপাদানগুলি, পূর্বে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যার দ্বারা গুণিত হয়।

ম্যাট্রিক্স এ -১ সন্ধানের জন্য, আমরা বিভাজক রেখার মাধ্যমে পরিচয় ম্যাট্রিক্স ইয়ের ডানদিকে ম্যাট্রিক্স এ-কে অর্ডার (এন; 2 এন) এর একটি আয়তক্ষেত্রাকার ম্যাট্রিক্স বি \u003d (এ | ই) তৈরি করি:

আসুন একটি উদাহরণ তাকান।

প্রাথমিক রূপান্তর পদ্ধতিটি ব্যবহার করে, যদি A -1 সন্ধান করুন

সমাধান। আসুন আমরা ম্যাট্রিক্স বি গঠন করি:

আসুন ম্যাট্রিক্স বি এর সারিগুলি α 1, α 2, α 3 দ্বারা চিহ্নিত করুন ote আসুন আমরা ম্যাট্রিক্স বি এর সারিগুলিতে নিম্নলিখিত রূপান্তরগুলি সম্পাদন করি

সংজ্ঞা 1: ম্যাট্রিক্সকে নির্ধারক শূন্য হলে অবক্ষয় বলা হয়।

সংজ্ঞা 2: ম্যাট্রিক্সকে নির্ধারক শূন্য না হলে তাকে ননডিজেনারেট বলা হয়।

ম্যাট্রিক্স "এ" বলা হয় বিপরীতমুখী ম্যাট্রিক্সশর্তটি যদি A * A-1 \u003d A-1 * A \u003d E (পরিচয় ম্যাট্রিক্স) সন্তুষ্ট হয়।

একটি বর্গক্ষেত্রের ম্যাট্রিক্স কেবলমাত্র অবিচলিত যদি এটি অ-হ্রাসপ্রাপ্ত হয়।

বিপরীত ম্যাট্রিক্স গণনা স্কিম:

1) ম্যাট্রিক্স "এ" এর নির্ধারক গণনা করুন যদি ∆ A \u003d 0, তারপরে বিপরীতমুখী ম্যাট্রিক্সের অস্তিত্ব নেই।

2) ম্যাট্রিক্স "এ" এর সমস্ত বীজগণিত পরিপূরক সন্ধান করুন।

3) বীজগণিত পরিপূরকগুলির একটি ম্যাট্রিক্স তৈরি করুন (আইজ)

4) বীজগণিত পরিপূরক (আইজ) টি এর ম্যাট্রিক্স স্থানান্তর করুন

5) এই ম্যাট্রিক্সের নির্ধারকের বিপরীত দ্বারা ট্রান্সপোজড ম্যাট্রিক্সকে গুণ করুন।

6) চেক করুন:

প্রথম নজরে, মনে হয় এটি কঠিন, তবে বাস্তবে, সবকিছু খুব সহজ। সমস্ত সমাধানগুলি সহজ গাণিতিক ক্রিয়াকলাপগুলির উপর ভিত্তি করে, "-" এবং "+" লক্ষণগুলির সাথে বিভ্রান্ত না হওয়ার সিদ্ধান্ত নেওয়ার সময় এবং প্রধান বিষয় হ'ল এবং সেগুলি হারাবেন না।

এখন আসুন বিপরীতমুখী ম্যাট্রিক্স গণনা করে আপনার সাথে একত্রে একটি ব্যবহারিক কার্য সমাধান করুন।

কার্য: নীচের ছবিতে দেখানো বিপরীতমুখী ম্যাট্রিক্স "এ" সন্ধান করুন:

বিপরীতমুখী ম্যাট্রিক্স গণনা পরিকল্পনায় উল্লিখিত হিসাবে আমরা সবকিছু সমাধান করি।

১. প্রথম কাজটি হ'ল ম্যাট্রিক্স "এ" এর নির্ধারক:

ব্যাখ্যা:

আমরা আমাদের কোয়ালিফায়ারকে এর মূল কার্যকারিতাটির সুযোগ নিয়ে সহজীকরণ করেছি। প্রথমত, আমরা প্রথম সারির 2 এবং 3 টি সারিতে যুক্ত করেছি, একটি সংখ্যার দ্বারা গুণিত।

দ্বিতীয়ত, আমরা নির্ধারকের 2 এবং 3 কলাম পরিবর্তন করেছি এবং এর বৈশিষ্ট্য অনুসারে আমরা এর সামনে সাইনটি পরিবর্তন করেছি।

তৃতীয়ত, আমরা দ্বিতীয় সারিটির সাধারণ ফ্যাক্টর (-1) সরিয়ে নিয়েছি, এরপরে আবার সাইনটি পরিবর্তন করেছি এবং এটি ইতিবাচক হয়ে উঠেছে। উদাহরণের একেবারে প্রথমদিকে যেমন আমরা 3 লাইনটি সরলীকৃত করেছি।

আমরা একটি ত্রিভুজাকার নির্ধারক পেয়েছি, যার মধ্যে তির্যকের নীচের উপাদানগুলি শূন্যের সমান এবং 7 তম সম্পত্তি অনুসারে, এটি তির্যকের উপাদানগুলির সমান। ফলস্বরূপ, আমরা পেয়েছি ∆ A \u003d 26, সুতরাং বিপরীত উপস্থিত রয়েছে।

এ 11 \u003d 1 * (3 + 1) \u003d 4

এ 12 \u003d -1 * (9 + 2) \u003d -11

এ 13 \u003d 1 * 1 \u003d 1

এ 21 \u003d -1 * (- 6) \u003d 6

এ 22 \u003d 1 * (3-0) \u003d 3

এ 23 \u003d -1 * (1 + 4) \u003d -5

এ 31 \u003d 1 * 2 \u003d 2

এ 32 \u003d -1 * (- 1) \u003d -1

এ 33 \u003d 1+ (1 + 6) \u003d 7

৩. পরবর্তী পদক্ষেপটি ফলাফল সংযোজন থেকে একটি ম্যাট্রিক্স সংকলন করা হয়:

৫. এই ম্যাট্রিক্সটি নির্ধারকের বিপরীত দ্বারা, অর্থাৎ 1/26 দ্বারা গুণ করুন:

Well. ঠিক আছে, এখন আমাদের কেবল পরীক্ষা করা দরকার:

চেক চলাকালীন, আমরা পরিচয় ম্যাট্রিক্স পেয়েছি, অতএব, সমাধানটি একেবারে সঠিকভাবে সম্পাদিত হয়েছিল।

বিপরীত ম্যাট্রিক্স গণনা করার 2 উপায়।

1. প্রাথমিক ম্যাট্রিক্স রূপান্তর

2. একটি প্রাথমিক ট্রান্সফর্মারের মাধ্যমে বিপরীত ম্যাট্রিক্স।

প্রাথমিক ম্যাট্রিক্স রূপান্তর অন্তর্ভুক্ত:

1. একটি ননজারো সংখ্যার দ্বারা স্ট্রিংয়ের গুণ।

২. যে কোনও লাইনে যোগ করা অন্য স্ট্রিংয়ের সাথে একটি সংখ্যা দ্বারা গুণিত।

৩. ম্যাট্রিক্সের সারিগুলি অদলবদল করা।

৪. প্রাথমিক রূপান্তরগুলির একটি শৃঙ্খলা প্রয়োগ করে আমরা অন্য ম্যাট্রিক্স পাই।

এবং -1 = ?

1. (A | E) ~ (E | A) -1 )

2.এ -1 * এ \u003d ই

আসল সংখ্যা সহ একটি ব্যবহারিক উদাহরণটি দেখুন।

কাজটি: ম্যাট্রিক্সের বিপরীতটি সন্ধান করুন।

সিদ্ধান্ত:

আসুন পরীক্ষা করে দেখুন:

সমাধান সম্পর্কে সামান্য ব্যাখ্যা:

প্রথমত, আমরা ম্যাট্রিক্সের 1 এবং 2 সারিগুলি পুনরায় সাজিয়েছি, তারপরে প্রথম সারিকে (-1) দিয়ে গুণ করেছি।

এর পরে, প্রথম সারিটি (-2) দ্বারা গুণিত হয়েছিল এবং ম্যাট্রিক্সের দ্বিতীয় সারিতে যুক্ত হয়েছিল। তারপরে 2 লাইনটি 1/4 দ্বারা গুণিত হয়েছিল।

রূপান্তরের চূড়ান্ত পর্যায়ে দ্বিতীয় লাইনটি 2 দ্বারা গুণমান এবং প্রথমটি যুক্ত করা হয়েছিল। ফলস্বরূপ, বাম দিকে, আমরা পরিচয় ম্যাট্রিক্স পেয়েছি, সুতরাং, বিপরীতটি ডানদিকে ম্যাট্রিক্স।

চেক করার পরে, আমরা নিশ্চিত করেছি যে সমাধানটি সঠিক ছিল।

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, ম্যাট্রিক্সের বিপরীত গণনা করা খুব সহজ।

এই বক্তৃতাটির শেষে, আমি এই জাতীয় ম্যাট্রিক্সের বৈশিষ্ট্যগুলিতে কিছুটা সময় উত্সর্গ করতে চাই।

এলজিবারিক সরবরাহ ও নাবালিকা

আমাদের তৃতীয় আদেশের একটি নির্ধারক আছে: .

গৌণএই উপাদান সম্পর্কিত a ij তৃতীয় আদেশের নির্ধারককে দ্বিতীয় আদেশের নির্ধারক বলা হয়, প্রদত্ত উপাদানটি যে স্থানে দাঁড়িয়ে থাকে তার মোড়ে সারি এবং কলামটি মোছার দ্বারা প্রদত্ত থেকে প্রাপ্ত প্রাপ্তকে বোঝায় i i-পথ লাইন এবং jম কলাম কোনও প্রদত্ত উপাদানের সাথে সম্পর্কিত নাবালিকারা a ij বোঝাতে হবে এম আইজে.

এই ক্ষেত্রে, গৌণ এম 12উপাদান সম্পর্কিত একটি 12, একটি নির্ধারক হবে যা প্রদত্ত নির্ধারক থেকে প্রথম সারি এবং ২ য় কলাম মুছলে প্রাপ্ত হয়।

সুতরাং, তৃতীয় আদেশের নির্ধারক নির্ধারণকারী সূত্রটি দেখায় যে এই নির্ধারক সংশ্লিষ্ট অপ্রাপ্তবয়স্কদের দ্বারা 1 ম সারির উপাদানগুলির যোগফলের সমান; নাবালক উপাদানটির সাথে সম্পর্কিত একটি 12, একটি "-" চিহ্ন সহ নেওয়া, অর্থাত্\u200d আমরা এটা লিখতে পারি

.

(1)

একইভাবে, আমরা দ্বিতীয় ক্রম এবং উচ্চতর আদেশের নির্ধারকদের জন্য অপ্রাপ্তবয়স্কদের সংজ্ঞা চালু করতে পারি।

আসুন আরও একটি ধারণা চালু করি।

বীজগণিত পরিপূরকউপাদান a ij নির্ধারককে তার নাবালক বলা হয় এম আইজে(–1) i + j দিয়ে গুণিত হয়েছে।

একটি উপাদানটির বীজগণিত পরিপূরক a ij চিহ্নিত এ ij.

সংজ্ঞা থেকে, আমরা দেখতে পেলাম যে একটি মৌলটির বীজগণিত পরিপূরক এবং এর অপ্রাপ্তবয়স্কের মধ্যে সংযোগটি সাম্য দ্বারা প্রকাশ করা হয় এ ij \u003d (–1) আই + জে এম আইজে।

এই ক্ষেত্রে,

উদাহরণ। একটি নির্ধারক দেওয়া হয়। খুঁজতে এ 13, এ 21, এ 32.

এটি সহজেই দেখা যায় যে উপাদানগুলির বীজগণিত পরিপূরকগুলি ব্যবহার করে সূত্র (1) আকারে লেখা যেতে পারে:

একইভাবে এই সূত্র অনুসারে, আপনি যে কোনও সারি বা কলামের উপাদানগুলিতে নির্ধারকের পচন পেতে পারেন।

উদাহরণস্বরূপ, ২ য় লাইনের উপাদানগুলি দ্বারা নির্ধারকটির গুণনীয়করণ নিম্নরূপ পাওয়া যেতে পারে। নির্ধারকের সম্পত্তি 2 অনুসারে, আমাদের রয়েছে:

আসুন 1 ম সারির উপাদানগুলির দ্বারা ফলাফল নির্ধারককে প্রসারিত করুন।

.

(2)

এখান থেকে থেকে সূত্রের দ্বিতীয় ক্রমের নির্ধারক (2) উপাদানগুলির নাবালিকা একটি 21, একটি 22, একটি 23... এইভাবে, যেমন আমরা ২ য় সারির উপাদানগুলির নিরিখে নির্ধারকটির কার্যকারিতা পেয়েছি।

একইভাবে, আপনি তৃতীয় সারির উপাদানগুলি দ্বারা নির্ধারকটির কার্যকারিতা পেতে পারেন। নির্ধারকগুলির 1 টি সম্পত্তি ব্যবহার করে (স্থানান্তরকরণে), যে কোনও একই স্তরের উপাদানগুলির ক্ষেত্রে প্রসারণের জন্যও অনুরূপ প্রসারকে বৈধ বলে দেখাতে পারে।

সুতরাং, নিম্নলিখিত উপপাদ্যটি সত্য।

উপপাদ্য (প্রদত্ত সারি বা কলামে একটি নির্ধারকের বিস্তারে)। নির্ধারক তার বীজগণিত পরিপূরক দ্বারা এর যে কোনও সারি (বা কলাম) এর উপাদানের সামগ্রীর সমান।

উপরের সমস্তগুলি যে কোনও উচ্চতর অর্ডার নির্ধারণকারীদের জন্যও সত্য।

উদাহরণ।

ইনভার্স ম্যাট্রিক্স

একটি বিপরীতমুখী ম্যাট্রিক্সের ধারণাটি কেবলমাত্র জন্য চালু করা হয়েছিল বর্গ ম্যাট্রিক্স.

যদি একটি ক একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স, তারপর বিপরীত এটির জন্য, একটি ম্যাট্রিক্স একটি ম্যাট্রিক্স নির্দেশিত এ -১০ এবং শর্ত সন্তুষ্ট। (এই সংজ্ঞা সংখ্যার গুণনের সাথে সাদৃশ্য দ্বারা প্রবর্তিত)

এই নিবন্ধে, আমরা রৈখিক বীজগণিত সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধানের জন্য ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি সম্পর্কে কথা বলব, এর সংজ্ঞাটি সন্ধান করব এবং সমাধানের উদাহরণ দেব।

সংজ্ঞা ১

বিপরীত ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি অজানা সংখ্যা সমীকরণের সংখ্যার সমান হলে ইভেন্টে SLAE গুলি সমাধান করার জন্য ব্যবহৃত একটি পদ্ধতি।

উদাহরণ 1

সিস্টেমের একটি সমাধান খুঁজুন এন রৈখিক সমীকরণ অজানা সাথে:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +। ... ... + এ 1 এন x এন \u003d বি 1 এ এন 1 এক্স 1 + এ এন 2 এক্স 2 +। ... ... + এ এন এন এক্স এন \u003d বি এন

ম্যাট্রিক্স রেকর্ডিং : এ × এক্স \u003d বি

যেখানে А \u003d а 11 а 12 ⋯ а 1 n а 21 а 22 ⋯ а 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ а n 1 а n 2 ⋯ n n এন - সিস্টেমের ম্যাট্রিক্স।

X \u003d x 1 x 2 ⋮ x n - অজানা কলাম,

বি \u003d খ 1 বি 2 ⋮ বি এন - বিনামূল্যে সহগের কলাম।

আমরা যে সমীকরণ পেয়েছি তা থেকে আপনাকে এক্স প্রকাশ করতে হবে এটি করার জন্য, আপনাকে ম্যাট্রিক্স সমীকরণের উভয় দিককে বামে A - 1 দ্বারা গুণিত করতে হবে:

এ - 1 × এ × এক্স \u003d এ - 1 × বি।

যেহেতু A - 1 × A \u003d E, তারপরে E × X \u003d A - 1 × B বা X \u003d A - 1 × B

মন্তব্য

শর্ত d e t A শূন্যের সমান না হলে কেবল ম্যাট্রিক্স এ-এর বিপরীত ম্যাট্রিক্সের অস্তিত্বের অধিকার রয়েছে। সুতরাং, বিপরীতমুখী ম্যাট্রিক্স পদ্ধতিতে এসএলই সমাধান করার সময়, প্রথমে, ডি ই টি এ।

ইভেন্টে যে ডি ই টি এ শূন্যের সমান নয়, সিস্টেমটির একটি মাত্র সমাধান রয়েছে: বিপরীত ম্যাট্রিক্স পদ্ধতিটি ব্যবহার করে। যদি d e t А \u003d 0 হয়, তবে এই পদ্ধতি দ্বারা সিস্টেমটি সমাধান করা যাবে না।

বিপরীতমুখী ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি ব্যবহার করে রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধানের একটি উদাহরণ

উদাহরণ 2

আমরা বিপরীত ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি দ্বারা SLAE সমাধান:

2 এক্স 1 - 4 এক্স 2 + 3 এক্স 3 \u003d 1 এক্স 1 - 2 এক্স 2 + 4 এক্স 3 \u003d 3 3 এক্স 1 - এক্স 2 + 5 এক্স 3 \u003d 2

কীভাবে সমাধান করব?

• আমরা সিস্টেমটি ম্যাট্রিক্স সমীকরণ A X \u003d B আকারে লিখি, যেখানে

এ \u003d 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5, এক্স \u003d এক্স 1 এক্স 2 এক্স 3, বি \u003d 1 3 2।

• আমরা এই সমীকরণটি এক্স থেকে প্রকাশ করি:

• ম্যাট্রিক্স এ এর \u200b\u200bনির্ধারক খুঁজুন:

ডিট এ \u003d 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5 \u003d 2 × (- 2) × 5 + 3 × (- 4) × 4 + 3 × (- 1) × 1 - 3 × (- 2) × 3 - - 1 × (- 4) × 5 - 2 × 4 - (- 1) \u003d - 20 - 48 - 3 + 18 + 20 + 8 \u003d - 25

d e t 0 0 এর সমান নয়, সুতরাং বিপরীতমুখী ম্যাট্রিক্স সমাধান পদ্ধতিটি এই সিস্টেমের জন্য উপযুক্ত।

• ইউনিয়ন ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করে বিপরীতমুখী ম্যাট্রিক্স এ - 1 সন্ধান করুন। আমরা ম্যাট্রিক্স এ সম্পর্কিত উপাদানগুলিতে বীজগণিত পরিপূরক A i j গণনা করি:

এ 11 \u003d (- 1) (1 + 1) - 2 4 - 1 5 \u003d - 10 + 4 \u003d - 6,

এ 12 \u003d (- 1) 1 + 2 1 4 3 5 \u003d - (5 - 12) \u003d 7,

এ 13 \u003d (- 1) 1 + 3 1 - 2 3 - 1 \u003d - 1 + 6 \u003d 5,

এ 21 \u003d (- 1) 2 + 1 - 4 3 - 1 5 \u003d - (- 20 + 3) \u003d 17,

এ 22 \u003d (- 1) 2 + 2 2 3 3 5 - 10 - 9 \u003d 1,

এ 23 \u003d (- 1) 2 + 3 2 - 4 3 - 1 \u003d - (- 2 + 12) \u003d - 10,

এ 31 \u003d (- 1) 3 + 1 - 4 3 - 2 4 \u003d - 16 + 6 \u003d - 10,

এ 32 \u003d (- 1) 3 + 2 2 3 1 4 \u003d - (8 - 3) \u003d - 5,

এ 33 \u003d (- 1) 3 + 3 2 - 4 1 - 2 \u003d - 4 + 4 \u003d 0।

• আমরা ইউনিয়ন ম্যাট্রিক্স এ * লিখি, যা ম্যাট্রিক্স এ এর \u200b\u200bবীজগণিত সংযোজন নিয়ে গঠিত:

এ * \u003d - 6 7 5 17 1 - 10 - 10 - 5 0

• সূত্র অনুসারে আমরা বিপরীতমুখী ম্যাট্রিক্স লিখি:

এ - 1 \u003d 1 ডি ই টি এ (এ *) টি: এ - 1 \u003d - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0,

• আমরা নিখরচায় বি পদক্ষেপের কলাম দ্বারা বিপরীতমুখী ম্যাট্রিক্স এ - 1 গুণ করি এবং সিস্টেমটির সমাধান পাই:

এক্স \u003d এ - 1 × বি \u003d - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 1 3 2 \u003d - 1 25 - 6 + 51 - 20 7 + 3 - 10 5 - 30 + 0 \u003d - 1 0 1

উত্তর : x 1 \u003d - 1; x 2 \u003d 0; x 3 \u003d 1

আপনি যদি পাঠ্যে কোনও ত্রুটি লক্ষ্য করেন তবে দয়া করে এটি নির্বাচন করুন এবং Ctrl + এন্টার টিপুন