গাণিতিক প্রত্যাশার উদাহরণ। গাণিতিক প্রত্যাশা হল একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের সম্ভাব্যতা বণ্টন। ফরেক্সে গাণিতিক প্রত্যাশা ব্যবহার করা

একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল X এর গাণিতিক প্রত্যাশা (গড় মান), একটি পৃথক সম্ভাব্যতা স্থানের উপর দেওয়া, সংখ্যাটি হল m =M[X]=∑x i p i , যদি সিরিজটি একেবারে একত্রিত হয়।

সার্ভিস অ্যাসাইনমেন্ট. একটি অনলাইন পরিষেবা সহ গাণিতিক প্রত্যাশা, প্রকরণ এবং প্রমিত বিচ্যুতি গণনা করা হয়(উদাহরণ দেখুন)। উপরন্তু, ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন F(X) এর একটি গ্রাফ প্লট করা হয়েছে।

একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশার বৈশিষ্ট্য

1. একটি ধ্রুবক মানের গাণিতিক প্রত্যাশা নিজের সমান: M[C]=C , C একটি ধ্রুবক;
2. M=C M[X]
3. র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফলের গাণিতিক প্রত্যাশা তাদের গাণিতিক প্রত্যাশার যোগফলের সমান: M=M[X]+M[Y]
4. স্বাধীন এলোমেলো ভেরিয়েবলের গুণফলের গাণিতিক প্রত্যাশা তাদের গাণিতিক প্রত্যাশার গুণফলের সমান: M=M[X] M[Y] যদি X এবং Y স্বাধীন হয়।

বিচ্ছুরণ বৈশিষ্ট্য

1. একটি ধ্রুবক মানের বিচ্ছুরণ শূন্যের সমান: D(c)=0।
2. ধ্রুবক ফ্যাক্টরটি বিচ্ছুরণ চিহ্নের নীচে থেকে বর্গ করে বের করা যেতে পারে: D(k*X) = k 2 D(X)।
3. যদি এলোমেলো ভেরিয়েবল X এবং Y স্বাধীন হয়, তাহলে যোগফলের প্রকরণটি ভিন্নতার যোগফলের সমান: D(X+Y)=D(X)+D(Y)।
4. যদি এলোমেলো ভেরিয়েবল X এবং Y নির্ভরশীল হয়: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
5. ভিন্নতার জন্য, গণনামূলক সূত্রটি বৈধ:
   D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2

উদাহরণ। দুটি স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবল X এবং Y এর গাণিতিক প্রত্যাশা এবং তারতম্যগুলি পরিচিত: M(x)=8 , M(Y)=7 , D(X)=9 , D(Y)=6 । এলোমেলো চলক Z=9X-8Y+7 এর গাণিতিক প্রত্যাশা এবং তারতম্য খুঁজুন।
সমাধান। গাণিতিক প্রত্যাশার বৈশিষ্ট্যের উপর ভিত্তি করে: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23।
বিচ্ছুরণ বৈশিষ্ট্যের উপর ভিত্তি করে: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345

গাণিতিক প্রত্যাশা গণনার জন্য অ্যালগরিদম

বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বৈশিষ্ট্য: তাদের সমস্ত মান প্রাকৃতিক সংখ্যা দ্বারা পুনঃসংখ্যা করা যেতে পারে; প্রতিটি মান একটি অ-শূন্য সম্ভাবনা বরাদ্দ করুন।

1. জোড়াগুলোকে এক এক করে গুণ করুন: x i দ্বারা p i।
2. আমরা প্রতিটি জোড়ার গুণফল x i p i যোগ করি।
   উদাহরণস্বরূপ, n = 4 এর জন্য: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

একটি পৃথক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশনধাপে ধাপে, এটি সেই পয়েন্টগুলিতে আকস্মিকভাবে বৃদ্ধি পায় যার সম্ভাবনা ইতিবাচক।

উদাহরণ # 1।

একাদশ	1	3	4	7	9
পাই	0.1	0.2	0.1	0.3	0.3

m = ∑x i p i সূত্র দ্বারা গাণিতিক প্রত্যাশা পাওয়া যায়।
গাণিতিক প্রত্যাশা M[X].
M[x] = 1*0.1 + 3*0.2 + 4*0.1 + 7*0.3 + 9*0.3 = 5.9
d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 সূত্র দ্বারা বিচ্ছুরণ পাওয়া যায়।
বিচ্ছুরণ D[X].
D[X] = 1 2 *0.1 + 3 2 *0.2 + 4 2 *0.1 + 7 2 *0.3 + 9 2 *0.3 - 5.9 2 = 7.69
আদর্শ বিচ্যুতি σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7.69) = 2.78

উদাহরণ #2। একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের নিম্নলিখিত বন্টন সিরিজ রয়েছে:

এক্স	-10	-5	0	5	10
আর	ক	0,32	2ক	0,41	0,03

মান a , গাণিতিক প্রত্যাশা এবং এই এলোমেলো চলকের আদর্শ বিচ্যুতি খুঁজুন।

সমাধান। সম্পর্ক থেকে a মান পাওয়া যায়: Σp i = 1
Σp i = a + 0.32 + 2 a + 0.41 + 0.03 = 0.76 + 3 a = 1
0.76 + 3 a = 1 বা 0.24=3 a , যেখান থেকে a = 0.08

উদাহরণ #3। একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বণ্টন আইন নির্ণয় করুন যদি এর প্রকরণ জানা থাকে এবং x 1 x 1 =6; x2=9; x3=x; x4=15
p 1 =0.3; p2=0.3; p3=0.1; p 4 \u003d 0.3
d(x)=12.96

সমাধান।
এখানে আপনাকে d (x) ভ্যারিয়েন্স খুঁজে বের করার জন্য একটি সূত্র তৈরি করতে হবে:
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
যেখানে প্রত্যাশা m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
আমাদের ডেটার জন্য
m(x)=6*0.3+9*0.3+x 3 *0.1+15*0.3=9+0.1x 3
12.96 = 6 2 0.3+9 2 0.3+x 3 2 0.1+15 2 0.3-(9+0.1x 3) 2
অথবা -9/100 (x 2 -20x+96)=0
তদনুসারে, সমীকরণের শিকড়গুলি খুঁজে বের করা প্রয়োজন এবং তাদের মধ্যে দুটি থাকবে।
x 3 \u003d 8, x 3 \u003d 12
আমরা এমন একটি নির্বাচন করি যা শর্ত x 1 পূরণ করে x3=12

একটি পৃথক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বন্টন আইন
x 1 =6; x2=9; x 3 \u003d 12; x4=15
p 1 =0.3; p2=0.3; p3=0.1; p 4 \u003d 0.3

সমাধান:

6.1.2 প্রত্যাশা বৈশিষ্ট্য

1. একটি ধ্রুবক মানের গাণিতিক প্রত্যাশা ধ্রুবকের সমান।

2. প্রত্যাশা চিহ্ন থেকে একটি ধ্রুবক ফ্যাক্টর নেওয়া যেতে পারে।

3. দুটি স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গুণফলের গাণিতিক প্রত্যাশা তাদের গাণিতিক প্রত্যাশার গুণফলের সমান।

র্যান্ডম ভেরিয়েবলের নির্বিচারে সংখ্যার জন্য এই বৈশিষ্ট্যটি বৈধ।

4. দুটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফলের গাণিতিক প্রত্যাশা পদগুলির গাণিতিক প্রত্যাশার যোগফলের সমান।

এই বৈশিষ্ট্যটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের নির্বিচারে সংখ্যার জন্যও সত্য।

উদাহরণ: M(X) = 5, আমার)= 2. একটি এলোমেলো চলকের গাণিতিক প্রত্যাশা খুঁজুন জেড, গাণিতিক প্রত্যাশার বৈশিষ্ট্যগুলি প্রয়োগ করা, যদি এটি জানা যায় যে Z=2X + 3Y.

সমাধান: M(Z) = M(2X + 3Y) = M(2X) + M(3Y) = 2M(X) + 3M(Y) = 2∙5+3∙2 =

1) যোগফলের গাণিতিক প্রত্যাশা গাণিতিক প্রত্যাশার যোগফলের সমান

2) ধ্রুবক ফ্যাক্টরটি প্রত্যাশা চিহ্ন থেকে বের করা যেতে পারে

n স্বাধীন ট্রায়াল সঞ্চালিত করা যাক, ঘটনা A ঘটার সম্ভাবনা p এর সমান। তারপর নিম্নলিখিত উপপাদ্য ধারণ করে:

উপপাদ্য। n স্বাধীন ট্রায়ালে ইভেন্ট A এর সংঘটনের সংখ্যার গাণিতিক প্রত্যাশা M(X) ট্রায়ালের সংখ্যা এবং প্রতিটি ট্রায়ালে ঘটনা ঘটার সম্ভাবনার গুণফলের সমান।

6.1.3 একটি বিচ্ছিন্ন এলোমেলো পরিবর্তনশীলের বিচ্ছুরণ

গাণিতিক প্রত্যাশা একটি এলোমেলো প্রক্রিয়াকে সম্পূর্ণরূপে চিহ্নিত করতে পারে না। গাণিতিক প্রত্যাশার পাশাপাশি, গাণিতিক প্রত্যাশা থেকে র্যান্ডম পরিবর্তনশীলের মানগুলির বিচ্যুতিকে চিহ্নিত করে এমন একটি মান প্রবর্তন করা প্রয়োজন।

এই বিচ্যুতিটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল এবং এর গাণিতিক প্রত্যাশার মধ্যে পার্থক্যের সমান। এই ক্ষেত্রে, বিচ্যুতির গাণিতিক প্রত্যাশা শূন্য। এটি এই সত্য দ্বারা ব্যাখ্যা করা হয়েছে যে কিছু সম্ভাব্য বিচ্যুতি ইতিবাচক, অন্যগুলি নেতিবাচক এবং তাদের পারস্পরিক বাতিলকরণের ফলস্বরূপ, শূন্য প্রাপ্ত হয়।

বিচ্ছুরণ (ছত্রভঙ্গ)বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম চলককে তার গাণিতিক প্রত্যাশা থেকে র্যান্ডম চলকের বর্গ বিচ্যুতির গাণিতিক প্রত্যাশা বলা হয়।

অনুশীলনে, বৈকল্পিক গণনা করার এই পদ্ধতিটি অসুবিধাজনক, কারণ একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বিপুল সংখ্যক মানের জন্য কষ্টকর গণনার দিকে নিয়ে যায়।

অতএব, অন্য পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়।

উপপাদ্য। প্রকরণটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল X এর বর্গের গাণিতিক প্রত্যাশা এবং এর গাণিতিক প্রত্যাশার বর্গক্ষেত্রের মধ্যে পার্থক্যের সমান.

প্রমাণ। গাণিতিক প্রত্যাশা M (X) এবং গাণিতিক প্রত্যাশা M 2 (X) এর বর্গ হল ধ্রুবক মান এই বিষয়টিকে বিবেচনায় রেখে, আমরা লিখতে পারি:

উদাহরণ। বন্টন আইন দ্বারা প্রদত্ত একটি বিচ্ছিন্ন এলোমেলো চলকের প্রকরণ খুঁজুন।

এক্স
X 2
আর	0.2	0.3	0.1	0.4

সমাধান:।

6.1.4 বিচ্ছুরণ বৈশিষ্ট্য

1. একটি ধ্রুবক মানের বিচ্ছুরণ শূন্য। .

2. একটি ধ্রুবক ফ্যাক্টরকে বর্গ করে বিচ্ছুরণ চিহ্ন থেকে বের করা যেতে পারে। .

3. দুটি স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফলের প্রকরণ এই ভেরিয়েবলের প্রকরণের যোগফলের সমান। .

4. দুটি স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের পার্থক্যের পার্থক্য এই ভেরিয়েবলের প্রকরণের যোগফলের সমান। .

উপপাদ্য। n স্বাধীন ট্রায়ালে ঘটনা A এর সংঘটনের সংখ্যার পার্থক্য, যার প্রতিটিতে ঘটনার সংঘটনের সম্ভাব্যতা p ধ্রুবক, ট্রায়ালের সংখ্যা এবং সংঘটন এবং অ-ঘটনার সম্ভাবনার গুণফলের সমান প্রতিটি বিচারে ইভেন্টের।

উদাহরণ: DSV X-এর ভিন্নতা খুঁজুন - 2টি স্বাধীন ট্রায়ালে ঘটনা A-এর সংঘটনের সংখ্যা, যদি এই ট্রায়ালগুলিতে ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা একই হয় এবং এটি জানা যায় যে M(X) = 1.2।

আমরা বিভাগ 6.1.2 থেকে উপপাদ্য প্রয়োগ করি:

M(X) = np

M(X) = 1,2; n= 2. খুঁজুন পি:

1,2 = 2∙পি

পি = 1,2/2

q = 1 – পি = 1 – 0,6 = 0,4

চলুন সূত্র দ্বারা বিচ্ছুরণ খুঁজে বের করা যাক:

D(X) = 2∙0,6∙0,4 = 0,48

6.1.5 একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি

আদর্শ চ্যুতিএলোমেলো চলক X-কে প্রকরণের বর্গমূল বলা হয়।

(25)

উপপাদ্য। পারস্পরিক স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের একটি সীমিত সংখ্যার যোগফলের প্রমিত বিচ্যুতি এই ভেরিয়েবলের বর্গীয় মান বিচ্যুতির সমষ্টির বর্গমূলের সমান।

6.1.6 একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মোড এবং মিডিয়ান

ফ্যাশন M o DSVএকটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সবচেয়ে সম্ভাব্য মানকে বলা হয় (অর্থাৎ যে মানটির সম্ভাব্যতা সবচেয়ে বেশি)

মিডিয়ান এম ই ডিএসভিএকটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মান যা বন্টন সিরিজকে অর্ধেক ভাগ করে। যদি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মানের সংখ্যা জোড় হয়, তাহলে মধ্যমাটিকে দুটি গড় মানের পাটিগণিত গড় হিসাবে পাওয়া যায়।

উদাহরণ: DSW এর মোড এবং মিডিয়ান খুঁজুন এক্স:

এক্স
পি	0.2	0.3	0.1	0.4

আমাকে = = 5,5

অগ্রগতি

1. এই কাজের তাত্ত্বিক অংশের সাথে পরিচিত হন (বক্তৃতা, পাঠ্যপুস্তক)।

2. আপনার পছন্দ অনুযায়ী কাজটি সম্পূর্ণ করুন।

3. কাজের উপর একটি প্রতিবেদন কম্পাইল করুন।

4. আপনার কাজ রক্ষা করুন.

2. কাজের উদ্দেশ্য।

3. কাজের অগ্রগতি।

4. আপনার বিকল্প সিদ্ধান্ত.

6.4 স্বাধীন কাজের জন্য কাজের বৈকল্পিক

বিকল্প নম্বর 1

1. বন্টন আইন দ্বারা প্রদত্ত DSV X-এর গাণিতিক প্রত্যাশা, প্রকরণ, মান বিচ্যুতি, মোড এবং মধ্যমা খুঁজুন।

এক্স
পৃ	0.1	0.6	0.2	0.1

2. একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল Z-এর গাণিতিক প্রত্যাশা খুঁজুন, যদি X এবং Y-এর গাণিতিক প্রত্যাশা জানা থাকে: M(X)=6, M(Y)=4, Z=5X+3Y।

3. DSV X-এর ভিন্নতা খুঁজুন - দুটি স্বাধীন ট্রায়ালে ঘটনা A-এর সংঘটনের সংখ্যা, যদি এই ট্রায়ালগুলিতে ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা একই হয় এবং এটি জানা যায় যে M (X) = 1।

4. একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সম্ভাব্য মানের একটি তালিকা দেওয়া হয়েছে এক্স: x 1 = 1, x2 = 2, x 3= 5, এবং এই পরিমাণ এবং এর বর্গের গাণিতিক প্রত্যাশাগুলিও জানা যায়: , . সম্ভাব্যতাগুলি খুঁজুন , , , সম্ভাব্য মানগুলির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ , এবং DSW এর বন্টন আইন আঁকুন।

বিকল্প নম্বর 2

এক্স
পৃ	0.3	0.1	0.2	0.4

2. একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল Z-এর গাণিতিক প্রত্যাশা খুঁজুন, যদি X এবং Y-এর গাণিতিক প্রত্যাশা জানা থাকে: M(X)=5, M(Y)=8, Z=6X+2Y।

3. DSV X-এর ভিন্নতা খুঁজুন - তিনটি স্বাধীন ট্রায়ালে ঘটনা A-এর সংঘটনের সংখ্যা, যদি এই ট্রায়ালগুলিতে ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা একই হয় এবং এটি জানা যায় যে M (X) = 0.9।

4. একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল X এর সম্ভাব্য মানের একটি তালিকা দেওয়া হয়েছে: x 1 = 1, x2 = 2, x 3 = 4, x4= 10, এবং এই পরিমাণ এবং এর বর্গের গাণিতিক প্রত্যাশাগুলিও জানা যায়: , . সম্ভাব্যতাগুলি খুঁজুন , , , সম্ভাব্য মানগুলির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ , এবং DSW এর বন্টন আইন আঁকুন।

বিকল্প নম্বর 3

1. বন্টন আইন দ্বারা প্রদত্ত DSV X-এর গাণিতিক প্রত্যাশা, প্রকরণ এবং প্রমিত বিচ্যুতি খুঁজুন।

এক্স
পৃ	0.5	0.1	0.2	0.3

2. একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল Z-এর গাণিতিক প্রত্যাশা খুঁজুন, যদি X এবং Y-এর গাণিতিক প্রত্যাশা জানা থাকে: M(X)=3, M(Y)=4, Z=4X+2Y।

3. DSV X-এর ভিন্নতা খুঁজুন - চারটি স্বাধীন ট্রায়ালে ঘটনা A-এর সংঘটনের সংখ্যা, যদি এই ট্রায়ালগুলিতে ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা একই হয় এবং এটি জানা যায় যে M(x) = 1.2।

- 10 জন নবজাতকের মধ্যে ছেলেদের সংখ্যা।

এটি বেশ স্পষ্ট যে এই সংখ্যাটি আগে থেকে জানা যায়নি এবং পরবর্তী দশটি শিশুর জন্ম হতে পারে:

বা ছেলেরা - এক এবং শুধুমাত্র একতালিকাভুক্ত বিকল্পগুলির মধ্যে।

এবং, আকারে রাখার জন্য, একটু শারীরিক শিক্ষা:

- দীর্ঘ লাফ দূরত্ব (কিছু ইউনিটে).

এমনকি ক্রীড়ার মাস্টারও এটি ভবিষ্যদ্বাণী করতে সক্ষম নয় :)

যাইহোক, আপনার অনুমান কি?

2) ক্রমাগত র্যান্ডম পরিবর্তনশীল - লাগে সবকিছু সসীম বা অসীম পরিসর থেকে সাংখ্যিক মান।

বিঃদ্রঃ : সংক্ষিপ্ত রূপ DSV এবং NSV শিক্ষামূলক সাহিত্যে জনপ্রিয়

প্রথমে, আসুন একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল বিশ্লেষণ করি, তারপর - একটানা.

একটি পৃথক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বন্টন আইন

- এই চিঠিপত্রএই পরিমাণের সম্ভাব্য মান এবং তাদের সম্ভাব্যতার মধ্যে। প্রায়শই, আইনটি একটি টেবিলে লেখা হয়:

শব্দটি বেশ প্রচলিত সারি বিতরণ, কিন্তু কিছু পরিস্থিতিতে এটি অস্পষ্ট মনে হয়, এবং তাই আমি "আইন" মেনে চলব।

এবং এখন খুব গুরুত্বপূর্ণ পয়েন্ট: যেহেতু এলোমেলো পরিবর্তনশীল অগত্যাগ্রহণ করবে মানগুলির মধ্যে একটি, তারপর সংশ্লিষ্ট ঘটনাগুলি গঠন করে সম্পূর্ণ গ্রুপএবং তাদের সংঘটনের সম্ভাবনার যোগফল একের সমান:

অথবা, যদি ভাঁজ করে লেখা হয়:

সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ, একটি ডাইতে পয়েন্টের সম্ভাব্যতার বন্টনের আইনটির নিম্নলিখিত ফর্ম রয়েছে:

কোন মন্তব্য নেই.

আপনি হয়তো ধারণা করছেন যে একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল শুধুমাত্র "ভাল" পূর্ণসংখ্যার মান নিতে পারে। আসুন বিভ্রম দূর করি - তারা যে কোনও কিছু হতে পারে:

উদাহরণ 1

কিছু গেমের নিম্নলিখিত পেঅফ বন্টন আইন রয়েছে:

…সম্ভবত আপনি অনেক দিন ধরে এই ধরনের কাজের স্বপ্ন দেখছেন :) আমি আপনাকে একটি গোপন কথা বলি - আমাকেও। বিশেষ করে কাজ শেষ করার পর ক্ষেত্র তত্ত্ব.

সমাধান: যেহেতু একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল তিনটি মানের মধ্যে মাত্র একটি গ্রহণ করতে পারে, তাই সংশ্লিষ্ট ঘটনাগুলি গঠন করে সম্পূর্ণ গ্রুপ, যার মানে তাদের সম্ভাব্যতার সমষ্টি একের সমান:

আমরা "দলীয়" প্রকাশ করি:

- এইভাবে, প্রচলিত ইউনিট জয়ের সম্ভাবনা 0.4।

নিয়ন্ত্রণ: আপনি কি নিশ্চিত করতে হবে.

উত্তর:

যখন বিতরণ আইন স্বাধীনভাবে সংকলন করা প্রয়োজন তখন এটি অস্বাভাবিক নয়। এই ব্যবহারের জন্য সম্ভাব্যতার শাস্ত্রীয় সংজ্ঞা, ঘটনার সম্ভাব্যতার জন্য গুণ/সংযোজন উপপাদ্যএবং অন্যান্য চিপস টেরভেরা:

উদাহরণ 2

বাক্সে 50টি লটারির টিকিট রয়েছে, যার মধ্যে 12টি জিতেছে, এবং তাদের মধ্যে 2টি প্রতিটি 1000 রুবেল জিতেছে এবং বাকিগুলি - 100 রুবেল প্রতিটি। একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল বিতরণের একটি আইন আঁকুন - জয়ের আকার, যদি একটি টিকিট এলোমেলোভাবে বাক্স থেকে আঁকা হয়।

সমাধান: আপনি যেমন লক্ষ্য করেছেন, একটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের মান স্থাপন করা প্রথাগত উর্দ্ধক্রমানুসারে. অতএব, আমরা ক্ষুদ্রতম জয় এবং যথা রুবেল দিয়ে শুরু করি।

মোট, 50 - 12 = 38 টি এই জাতীয় টিকিট রয়েছে এবং অনুসারে শাস্ত্রীয় সংজ্ঞা:
একটি এলোমেলোভাবে আঁকা টিকিট জিতবে না হওয়ার সম্ভাবনা।

বাকি কেসগুলো সহজ। রুবেল জেতার সম্ভাবনা হল:

চেকিং: - এবং এটি এই জাতীয় কাজের একটি বিশেষ আনন্দদায়ক মুহূর্ত!

উত্তর: প্রয়োজনীয় পরিশোধ বণ্টন আইন:

একটি স্বাধীন সিদ্ধান্তের জন্য নিম্নলিখিত কাজ:

উদাহরণ 3

শ্যুটারটি লক্ষ্যবস্তুতে আঘাত করার সম্ভাবনা রয়েছে। একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য একটি বন্টন আইন তৈরি করুন - 2 শটের পর হিটের সংখ্যা।

... আমি জানতাম যে আপনি তাকে মিস করেছেন :) আমরা মনে করি গুণ এবং যোগ উপপাদ্য. পাঠ শেষে সমাধান এবং উত্তর।

ডিস্ট্রিবিউশন আইন সম্পূর্ণরূপে একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলকে বর্ণনা করে, কিন্তু বাস্তবে এটি শুধুমাত্র কিছু জানার জন্য দরকারী (এবং কখনও কখনও আরও দরকারী)। সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্য .

একটি পৃথক র্যান্ডম পরিবর্তনশীলের গাণিতিক প্রত্যাশা

সহজ ভাষায়, এই গড় প্রত্যাশিত মানবারবার পরীক্ষা দিয়ে। একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলকে সম্ভাব্যতার সাথে মান নিতে দিন যথাক্রমে তাহলে এই এলোমেলো চলকের গাণিতিক প্রত্যাশা সমান কাজের সমষ্টিসংশ্লিষ্ট সম্ভাব্যতা দ্বারা এর সমস্ত মান:

বা ভাঁজ আকারে:

আসুন গণনা করা যাক, উদাহরণস্বরূপ, একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশা - একটি পাশায় নেমে যাওয়া পয়েন্টের সংখ্যা:

এখন আমাদের অনুমানমূলক খেলাটি স্মরণ করা যাক:

প্রশ্ন উঠেছে: এই গেমটি খেলা কি লাভজনক? ... কে কোন ইমপ্রেশন আছে? তাই আপনি "অফহ্যান্ড" বলতে পারবেন না! কিন্তু এই প্রশ্নের উত্তর সহজেই গাণিতিক প্রত্যাশা গণনা করে দেওয়া যেতে পারে, সংক্ষেপে - ওজনযুক্ত গড়জয়ের সম্ভাবনা:

সুতরাং, এই খেলার গাণিতিক প্রত্যাশা হারানো.

ইমপ্রেশন বিশ্বাস করবেন না - বিশ্বাস সংখ্যা!

হ্যাঁ, এখানে আপনি একটি সারিতে 10 বা এমনকি 20-30 বার জিততে পারেন, তবে দীর্ঘমেয়াদে আমরা অনিবার্যভাবে ধ্বংস হয়ে যাব। এবং আমি আপনাকে এই ধরনের গেম খেলতে উপদেশ দেব না :) ভাল, হয়তো শুধুমাত্র মজার জন্য.

উপরের সমস্ত থেকে, এটি অনুসরণ করে যে গাণিতিক প্রত্যাশা একটি র্যান্ডম মান নয়।

স্বাধীন গবেষণার জন্য সৃজনশীল কাজ:

উদাহরণ 4

মিস্টার এক্স নিম্নলিখিত সিস্টেম অনুসারে ইউরোপীয় রুলেট খেলেন: তিনি ক্রমাগত লালের উপর 100 রুবেল বাজি ধরেন। একটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের বণ্টনের আইন রচনা করুন - এর পরিশোধ। জয়ের গাণিতিক প্রত্যাশা গণনা করুন এবং এটিকে কোপেক পর্যন্ত রাউন্ড করুন। কতগুলো গড়খেলোয়াড় কি প্রতি শত বাজির জন্য হেরে যায়?

রেফারেন্স : ইউরোপীয় রুলেটে 18টি লাল, 18টি কালো এবং 1টি সবুজ সেক্টর ("শূন্য") রয়েছে। একটি "লাল" পড়ে যাওয়ার ক্ষেত্রে, খেলোয়াড়কে একটি দ্বিগুণ বাজি দেওয়া হয়, অন্যথায় এটি ক্যাসিনোর আয়ে যায়

অন্যান্য অনেক রুলেট সিস্টেম রয়েছে যার জন্য আপনি নিজের সম্ভাব্যতা টেবিল তৈরি করতে পারেন। কিন্তু এই ক্ষেত্রে যখন আমাদের কোন বন্টন আইন এবং টেবিলের প্রয়োজন হয় না, কারণ এটি নিশ্চিত করা হয়েছে যে প্লেয়ারের গাণিতিক প্রত্যাশা ঠিক একই হবে। শুধুমাত্র সিস্টেম থেকে সিস্টেম পরিবর্তন

বন্টন আইন সম্পূর্ণরূপে র্যান্ডম পরিবর্তনশীল বৈশিষ্ট্য. যাইহোক, বন্টন আইন প্রায়ই অজানা এবং একজনকে নিজেকে কম তথ্যের মধ্যে সীমাবদ্ধ রাখতে হয়। কখনও কখনও এমন সংখ্যাগুলি ব্যবহার করা আরও বেশি লাভজনক যা মোট একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলকে বর্ণনা করে, এই জাতীয় সংখ্যাগুলিকে বলা হয় সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্যআমার স্নাতকের. গাণিতিক প্রত্যাশা একটি গুরুত্বপূর্ণ সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্য।

গাণিতিক প্রত্যাশা, যা নীচে দেখানো হবে, র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গড় মানের প্রায় সমান। অনেক সমস্যা সমাধানের জন্য, গাণিতিক প্রত্যাশা জানাই যথেষ্ট। উদাহরণস্বরূপ, যদি এটি জানা যায় যে প্রথম শ্যুটার দ্বারা স্কোর করা পয়েন্টের সংখ্যার গাণিতিক প্রত্যাশা দ্বিতীয়টির চেয়ে বেশি, তবে প্রথম শ্যুটার, গড়ে, দ্বিতীয়টির চেয়ে বেশি পয়েন্ট ছিটকে দেয় এবং তাই গুলি করে দ্বিতীয়.

সংজ্ঞা 4.1: গাণিতিক প্রত্যাশাএকটি বিচ্ছিন্ন এলোমেলো চলককে এর সমস্ত সম্ভাব্য মান এবং তাদের সম্ভাব্যতার পণ্যগুলির সমষ্টি বলা হয়।

র্যান্ডম পরিবর্তনশীল যাক এক্সশুধুমাত্র মান নিতে পারে x 1, x 2, … x n, যার সম্ভাব্যতা যথাক্রমে সমান p 1, p 2, … p n .তারপর গাণিতিক প্রত্যাশা M(X) আমার স্নাতকের এক্সসমতা দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়

M (X) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + …+ x n p n ।

যদি একটি পৃথক র্যান্ডম পরিবর্তনশীল এক্সতারপর সম্ভাব্য মানগুলির একটি গণনাযোগ্য সেট গ্রহণ করে

,

অধিকন্তু, গাণিতিক প্রত্যাশা বিদ্যমান থাকে যদি সমতার ডান দিকের সিরিজটি একেবারে একত্রিত হয়।

উদাহরণ।একটি ঘটনার সংঘটন সংখ্যার গাণিতিক প্রত্যাশা খুঁজুন কএকটি ট্রায়ালে, যদি একটি ঘটনার সম্ভাবনা থাকে কসমান পি.

সমাধান:এলোমেলো মান এক্স- ঘটনা সংঘটন সংখ্যা কএকটি Bernoulli বিতরণ আছে, তাই

এইভাবে, একটি ট্রায়ালে একটি ঘটনার সংঘটনের সংখ্যার গাণিতিক প্রত্যাশা এই ঘটনার সম্ভাব্যতার সমান.

গাণিতিক প্রত্যাশার সম্ভাব্য অর্থ

উত্পাদিত যাক nপরীক্ষা যা র্যান্ডম পরিবর্তনশীল এক্সগৃহীত মি 1গুণ মান x 1, m2গুণ মান x2 ,…, m kগুণ মান x k, এবং m 1 + m 2 + …+ m k = n. তারপরে নেওয়া সমস্ত মানের যোগফল এক্স, সমান x 1 m 1 + x 2 m 2 + …+ x k m k .

র্যান্ডম ভেরিয়েবল দ্বারা গৃহীত সমস্ত মানের পাটিগণিত গড় হবে

মনোভাব m i/n- আপেক্ষিক কম্পাঙ্ক ওয়াইমান একাদশঘটনা ঘটার সম্ভাবনার প্রায় সমান পাই, কোথায় , এই জন্য

প্রাপ্ত ফলাফলের সম্ভাব্য অর্থ নিম্নরূপ: গাণিতিক প্রত্যাশা প্রায় সমান(যত বেশি নির্ভুল ট্রায়ালের সংখ্যা তত বেশি) এলোমেলো ভেরিয়েবলের পর্যবেক্ষণ করা মানগুলির গাণিতিক গড়.

প্রত্যাশার বৈশিষ্ট্য

সম্পত্তি 1:একটি ধ্রুবক মানের গাণিতিক প্রত্যাশা ধ্রুবকের সমান

সম্পত্তি 2:ধ্রুবক ফ্যাক্টর প্রত্যাশা চিহ্নের বাইরে নেওয়া যেতে পারে

সংজ্ঞা 4.2: দুটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলডাকা স্বাধীন, যদি তাদের একটির বন্টন আইন অন্য মান গ্রহণ করেছে তার সম্ভাব্য মানগুলির উপর নির্ভর করে না। অন্যথায় র্যান্ডম ভেরিয়েবল নির্ভরশীল.

সংজ্ঞা 4.3: বেশ কিছু র্যান্ডম ভেরিয়েবলডাকা পারস্পরিক স্বাধীন, যদি তাদের কোনো সংখ্যার বণ্টন আইন অন্য রাশিগুলি গ্রহণ করেছে তার সম্ভাব্য মানগুলির উপর নির্ভর করে না।

সম্পত্তি 3:দুটি স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গুণফলের গাণিতিক প্রত্যাশা তাদের গাণিতিক প্রত্যাশার গুণফলের সমান।

পরিণতি:বেশ কিছু পারস্পরিক স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গুণফলের গাণিতিক প্রত্যাশা তাদের গাণিতিক প্রত্যাশার গুণফলের সমান।

সম্পত্তি4:দুটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফলের গাণিতিক প্রত্যাশা তাদের গাণিতিক প্রত্যাশার যোগফলের সমান।

পরিণতি:বেশ কয়েকটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফলের গাণিতিক প্রত্যাশা তাদের গাণিতিক প্রত্যাশার যোগফলের সমান।

উদাহরণ।একটি দ্বিপদী র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশা গণনা করুন এক্স-ঘটনা ঘটার তারিখ কভি nপরীক্ষা

সমাধান:মোট সংখ্যা এক্সঘটনা ঘটনা কএই ট্রায়ালগুলিতে পৃথক বিচারে ইভেন্টের সংঘটনের সংখ্যার যোগফল। আমরা র্যান্ডম ভেরিয়েবল প্রবর্তন একাদশমধ্যে ঘটনা সংঘটন সংখ্যা iতম পরীক্ষা, যা গাণিতিক প্রত্যাশা সহ Bernoulli র্যান্ডম ভেরিয়েবল, যেখানে . গাণিতিক প্রত্যাশা সম্পত্তি দ্বারা, আমরা আছে

এইভাবে, n এবং p পরামিতি সহ দ্বিপদী বন্টনের গড় np এর গুণফলের সমান.

উদাহরণ।একটি বন্দুক গুলি করার সময় একটি লক্ষ্য আঘাতের সম্ভাবনা p = 0.6। 10টি গুলি চালানো হলে মোট হিটের সংখ্যার গাণিতিক প্রত্যাশা খুঁজুন।

সমাধান:প্রতিটি শটে আঘাত অন্যান্য শটের ফলাফলের উপর নির্ভর করে না, তাই বিবেচনাধীন ঘটনাগুলি স্বাধীন এবং ফলস্বরূপ, কাঙ্ক্ষিত গাণিতিক প্রত্যাশা

একটি স্বাধীন সমাধানের জন্য কাজগুলিও থাকবে, যার জন্য আপনি উত্তরগুলি দেখতে পারেন।

গাণিতিক প্রত্যাশা এবং প্রকরণ হল একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের সর্বাধিক ব্যবহৃত সংখ্যাসূচক বৈশিষ্ট্য। তারা বিতরণের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্যগুলিকে চিহ্নিত করে: এর অবস্থান এবং বিচ্ছুরণের মাত্রা। গাণিতিক প্রত্যাশাকে প্রায়শই গড় হিসাবে উল্লেখ করা হয়। আমার স্নাতকের. একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের বিচ্ছুরণ - বিচ্ছুরণের একটি বৈশিষ্ট্য, একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের বিচ্ছুরণ তার গাণিতিক প্রত্যাশার চারপাশে।

অনুশীলনের অনেক সমস্যায়, একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের একটি সম্পূর্ণ, বিস্তৃত বিবরণ - বন্টনের নিয়ম - হয় প্রাপ্ত করা যায় না, বা একেবারেই প্রয়োজন হয় না। এই ক্ষেত্রে, তারা সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের একটি আনুমানিক বর্ণনার মধ্যে সীমাবদ্ধ।

একটি পৃথক র্যান্ডম পরিবর্তনশীলের গাণিতিক প্রত্যাশা

এবার আসা যাক গাণিতিক প্রত্যাশার ধারণায়। কিছু পদার্থের ভরকে x-অক্ষের বিন্দুর মধ্যে বন্টন করা যাক এক্স1 , এক্স 2 , ..., এক্স n. অধিকন্তু, প্রতিটি বস্তুগত বিন্দুর একটি সম্ভাব্যতার সাথে এটির সাথে সম্পর্কিত একটি ভর রয়েছে পি1 , পি 2 , ..., পি n. x-অক্ষে একটি বিন্দু বেছে নেওয়া প্রয়োজন, যা বস্তুগত বিন্দুগুলির সমগ্র সিস্টেমের অবস্থানকে চিহ্নিত করে, তাদের ভর বিবেচনা করে। বস্তুগত বিন্দুর সিস্টেমের ভরের কেন্দ্রকে এমন একটি বিন্দু হিসাবে নেওয়া স্বাভাবিক। এটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ওজনযুক্ত গড় এক্স, যার মধ্যে প্রতিটি বিন্দুর অবসিসা এক্সiঅনুরূপ সম্ভাব্যতার সমান একটি "ওজন" সহ প্রবেশ করে। এইভাবে প্রাপ্ত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গড় মান এক্সএর গাণিতিক প্রত্যাশা বলা হয়।

একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশা হল এর সমস্ত সম্ভাব্য মানের পণ্যের সমষ্টি এবং এই মানগুলির সম্ভাব্যতা:

উদাহরণ 1একটি জয়-জয় লটারির আয়োজন করা হয়েছিল। 1000টি জয় রয়েছে, যার মধ্যে 400টি প্রতিটিতে 10 রুবেল। 300 - 20 রুবেল প্রতিটি 200 - 100 রুবেল প্রতিটি। এবং প্রতিটি 100 - 200 রুবেল। একজন ব্যক্তি যিনি একটি টিকিট কেনেন তার গড় জয় কত?

সমাধান। জয়ের মোট পরিমাণ, যা 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50,000 রুবেলের সমান, 1000 (মোট জয়ের পরিমাণ) দ্বারা ভাগ করা হলে আমরা গড় জয় খুঁজে পাব। তাহলে আমরা 50000/1000 = 50 রুবেল পাব। কিন্তু গড় লাভ গণনা করার অভিব্যক্তিটি নিম্নলিখিত আকারে উপস্থাপন করা যেতে পারে:

অন্যদিকে, এই অবস্থার অধীনে, জয়ের পরিমাণ একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল যা 10, 20, 100 এবং 200 রুবেলের মান গ্রহণ করতে পারে। যথাক্রমে 0.4 এর সমান সম্ভাবনা সহ; 0.3; 0.2; 0.1 অতএব, প্রত্যাশিত গড় বেতন পরিশোধের আকারের পণ্যের যোগফল এবং সেগুলি পাওয়ার সম্ভাবনার সমান।

উদাহরণ 2প্রকাশক একটি নতুন বই প্রকাশ করার সিদ্ধান্ত নিয়েছে. তিনি 280 রুবেলে বইটি বিক্রি করতে যাচ্ছেন, যার মধ্যে 200টি তাকে দেওয়া হবে, 50টি বইয়ের দোকানে এবং 30টি লেখককে দেওয়া হবে৷ টেবিলটি একটি বই প্রকাশের খরচ এবং বইটির একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক কপি বিক্রির সম্ভাবনা সম্পর্কে তথ্য দেয়।

প্রকাশকের প্রত্যাশিত লাভ খুঁজুন।

সমাধান। এলোমেলো পরিবর্তনশীল "লাভ" বিক্রয় থেকে আয় এবং খরচের খরচের মধ্যে পার্থক্যের সমান। উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি বইয়ের 500 কপি বিক্রি হয়, তাহলে বিক্রয় থেকে আয় 200 * 500 = 100,000, এবং প্রকাশনার খরচ 225,000 রুবেল। এইভাবে, প্রকাশক 125,000 রুবেল ক্ষতির সম্মুখীন হয়। নিম্নলিখিত সারণী র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রত্যাশিত মানগুলিকে সংক্ষিপ্ত করে - লাভ:

সংখ্যা	লাভ এক্সi	সম্ভাবনা পিi	এক্সi পি i
500	-125000	0,20	-25000
1000	-50000	0,40	-20000
2000	100000	0,25	25000
3000	250000	0,10	25000
4000	400000	0,05	20000
মোট:		1,00	25000

এইভাবে, আমরা প্রকাশকের লাভের গাণিতিক প্রত্যাশা পাই:

.

উদাহরণ 3এক শটে আঘাত করার সুযোগ পি= 0.2। 5 এর সমান হিটের সংখ্যার গাণিতিক প্রত্যাশা প্রদান করে এমন শেলগুলির ব্যবহার নির্ধারণ করুন।

সমাধান। আমরা এখন পর্যন্ত যে একই প্রত্যাশার সূত্রটি ব্যবহার করেছি, আমরা প্রকাশ করি এক্স- খোসা খরচ:

.

উদাহরণ 4একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশা নির্ধারণ করুন এক্সতিনটি শট সহ হিটের সংখ্যা, যদি প্রতিটি শটের সাথে আঘাত করার সম্ভাবনা থাকে পি = 0,4 .

ইঙ্গিত: দ্বারা একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মানের সম্ভাব্যতা খুঁজুন বার্নোলি সূত্র .

প্রত্যাশার বৈশিষ্ট্য

গাণিতিক প্রত্যাশার বৈশিষ্ট্য বিবেচনা করুন।

সম্পত্তি 1.একটি ধ্রুবক মানের গাণিতিক প্রত্যাশা এই ধ্রুবকের সমান:

সম্পত্তি 2।ধ্রুবক ফ্যাক্টরটি প্রত্যাশা চিহ্ন থেকে বের করা যেতে পারে:

সম্পত্তি 3.র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফলের (পার্থক্য) গাণিতিক প্রত্যাশা তাদের গাণিতিক প্রত্যাশার যোগফলের (পার্থক্য) সমান:

সম্পত্তি 4.র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গুণফলের গাণিতিক প্রত্যাশা তাদের গাণিতিক প্রত্যাশার গুণফলের সমান:

সম্পত্তি 5.র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সব মান থাকলে এক্সএকই সংখ্যা দ্বারা হ্রাস (বৃদ্ধি) সঙ্গে, তাহলে এর গাণিতিক প্রত্যাশা একই সংখ্যা দ্বারা হ্রাস (বৃদ্ধি) হবে:

যখন আপনি শুধুমাত্র গাণিতিক প্রত্যাশা সীমাবদ্ধ করা যাবে না

বেশিরভাগ ক্ষেত্রে, শুধুমাত্র গাণিতিক প্রত্যাশা পর্যাপ্তভাবে একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলকে চিহ্নিত করতে পারে না।

র্যান্ডম ভেরিয়েবল যাক এক্সএবং Yনিম্নলিখিত বন্টন আইন দ্বারা দেওয়া হয়:

অর্থ এক্স	সম্ভাবনা
-0,1	0,1
-0,01	0,2
0	0,4
0,01	0,2
0,1	0,1

অর্থ Y	সম্ভাবনা
-20	0,3
-10	0,1
0	0,2
10	0,1
20	0,3

এই পরিমাণগুলির গাণিতিক প্রত্যাশা একই - শূন্যের সমান:

তবে তাদের বন্টন ভিন্ন। এলোমেলো মান এক্সশুধুমাত্র গাণিতিক প্রত্যাশা এবং র্যান্ডম পরিবর্তনশীল থেকে সামান্য ভিন্ন মান নিতে পারে Yগাণিতিক প্রত্যাশা থেকে উল্লেখযোগ্যভাবে বিচ্যুত মানগুলি নিতে পারে। একটি অনুরূপ উদাহরণ: গড় মজুরি উচ্চ এবং কম বেতনের কর্মীদের অনুপাত বিচার করা সম্ভব করে না। অন্য কথায়, গাণিতিক প্রত্যাশা দ্বারা কেউ বিচার করতে পারে না যে এটি থেকে কোন বিচ্যুতি, অন্তত গড়ে, সম্ভব। এটি করার জন্য, আপনাকে একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ভিন্নতা খুঁজে বের করতে হবে।

একটি বিচ্ছিন্ন এলোমেলো পরিবর্তনশীলের বিচ্ছুরণ

বিচ্ছুরণবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম পরিবর্তনশীল এক্সগাণিতিক প্রত্যাশা থেকে এর বিচ্যুতির বর্গক্ষেত্রের গাণিতিক প্রত্যাশা বলা হয়:

একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের আদর্শ বিচ্যুতি এক্সএর বৈচিত্র্যের বর্গমূলের গাণিতিক মান:

.

উদাহরণ 5এলোমেলো ভেরিয়েবলের প্রকরণ এবং প্রমিত বিচ্যুতি গণনা করুন এক্সএবং Y, যার বন্টন আইন উপরের টেবিলে দেওয়া আছে.

সমাধান। র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশা এক্সএবং Y, যেমন উপরে পাওয়া গেছে, শূন্যের সমান। জন্য বিচ্ছুরণ সূত্র অনুযায়ী ই(এক্স)=ই(y)=0 আমরা পাই:

তারপর র্যান্ডম ভেরিয়েবলের স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি এক্সএবং Yগঠন করা

.

এইভাবে, একই গাণিতিক প্রত্যাশার সাথে, র্যান্ডম চলকের প্রকরণ এক্সখুব ছোট এবং এলোমেলো Y- উল্লেখযোগ্য। এটি তাদের বিতরণের পার্থক্যের একটি ফলাফল।

উদাহরণ 6বিনিয়োগকারীর 4টি বিকল্প বিনিয়োগ প্রকল্প রয়েছে। সারণীটি সংশ্লিষ্ট সম্ভাব্যতার সাথে এই প্রকল্পগুলিতে প্রত্যাশিত লাভের ডেটা সংক্ষিপ্ত করে।

প্রকল্প 1	প্রকল্প 2	প্রকল্প 3	প্রকল্প 4
500, পৃ=1	1000, পৃ=0,5	500, পৃ=0,5	500, পৃ=0,5
	0, পৃ=0,5	1000, পৃ=0,25	10500, পৃ=0,25
		0, পৃ=0,25	9500, পৃ=0,25

প্রতিটি বিকল্পের জন্য গাণিতিক প্রত্যাশা, প্রকরণ এবং আদর্শ বিচ্যুতি খুঁজুন।

সমাধান। আসুন দেখাই কিভাবে এই পরিমাণগুলি 3য় বিকল্পের জন্য গণনা করা হয়:

সারণী সব বিকল্পের জন্য পাওয়া মান সংক্ষিপ্ত করে।

সমস্ত বিকল্প একই গাণিতিক প্রত্যাশা আছে. এর মানে দীর্ঘমেয়াদে সবার আয় সমান। স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতিকে ঝুঁকির পরিমাপ হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে - এটি যত বড়, বিনিয়োগের ঝুঁকি তত বেশি। একজন বিনিয়োগকারী যিনি বেশি ঝুঁকি চান না তিনি প্রকল্প 1 বেছে নেবেন কারণ এতে সবচেয়ে ছোট স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি (0) রয়েছে। বিনিয়োগকারী যদি স্বল্প সময়ের মধ্যে ঝুঁকি এবং উচ্চ রিটার্ন পছন্দ করেন, তাহলে তিনি সবচেয়ে বড় স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি সহ প্রকল্পটি বেছে নেবেন - প্রকল্প 4।

বিচ্ছুরণ বৈশিষ্ট্য

আসুন বিচ্ছুরণের বৈশিষ্ট্যগুলি উপস্থাপন করি।

সম্পত্তি 1.একটি ধ্রুবক মানের বিচ্ছুরণ শূন্য:

সম্পত্তি 2।ধ্রুবক ফ্যাক্টরকে বর্গ করে বিচ্ছুরণ চিহ্ন থেকে বের করা যেতে পারে:

.

সম্পত্তি 3.একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রকরণ এই মানের বর্গক্ষেত্রের গাণিতিক প্রত্যাশার সমান, যেখান থেকে মানের গাণিতিক প্রত্যাশার বর্গটি বিয়োগ করা হয়:

,

কোথায় .

সম্পত্তি 4.এলোমেলো ভেরিয়েবলের যোগফলের (পার্থক্য) পার্থক্য তাদের প্রকরণের যোগফলের (পার্থক্য) সমান:

উদাহরণ 7এটি একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম পরিবর্তনশীল যে পরিচিত এক্সশুধুমাত্র দুটি মান লাগে: −3 এবং 7। উপরন্তু, গাণিতিক প্রত্যাশা জানা যায়: ই(এক্স) = 4। একটি বিচ্ছিন্ন এলোমেলো চলকের প্রকরণ খুঁজুন।

সমাধান। দ্বারা নির্দেশ করুন পিসম্ভাব্যতা যার সাথে একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল একটি মান গ্রহণ করে এক্স1 = −3 . তারপর মানের সম্ভাবনা এক্স2 = 7 1 − হবে পি. আসুন গাণিতিক প্রত্যাশার সমীকরণটি বের করি:

ই(এক্স) = এক্স 1 পি + এক্স 2 (1 − পি) = −3পি + 7(1 − পি) = 4 ,

যেখানে আমরা সম্ভাব্যতা পাই: পি= 0.3 এবং 1 − পি = 0,7 .

এলোমেলো ভেরিয়েবলের বন্টনের নিয়ম:

এক্স	−3	7
পি	0,3	0,7

আমরা ভেরিয়েন্সের বৈশিষ্ট্য 3 থেকে সূত্র ব্যবহার করে এই র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রকরণ গণনা করি:

ডি(এক্স) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশা নিজেই খুঁজুন এবং তারপর সমাধানটি দেখুন

উদাহরণ 8বিচ্ছিন্ন এলোমেলো পরিবর্তনশীল এক্সমাত্র দুটি মান লাগে। এটি 0.4 এর সম্ভাব্যতার সাথে 3 এর বড় মান নেয়। এছাড়াও, র্যান্ডম চলকের বৈচিত্র্য জানা যায় ডি(এক্স) = 6। একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের গাণিতিক প্রত্যাশা খুঁজুন।

উদাহরণ 9একটি কলসিতে 6টি সাদা এবং 4টি কালো বল থাকে। কলস থেকে 3টি বল নেওয়া হয়। টানা বলের মধ্যে সাদা বলের সংখ্যা একটি বিচ্ছিন্ন এলোমেলো পরিবর্তনশীল এক্স. এই র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশা এবং তারতম্য খুঁজুন।

সমাধান। এলোমেলো মান এক্স 0, 1, 2, 3 মান নিতে পারে। সংশ্লিষ্ট সম্ভাব্যতাগুলি থেকে গণনা করা যেতে পারে সম্ভাবনার গুণের নিয়ম. এলোমেলো ভেরিয়েবলের বন্টনের নিয়ম:

এক্স	0	1	2	3
পি	1/30	3/10	1/2	1/6

তাই এই র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশা:

এম(এক্স) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

প্রদত্ত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রকরণ হল:

ডি(এক্স) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

একটি অবিচ্ছিন্ন এলোমেলো পরিবর্তনশীলের গাণিতিক প্রত্যাশা এবং বিচ্ছুরণ

একটি অবিচ্ছিন্ন এলোমেলো পরিবর্তনশীলের জন্য, গাণিতিক প্রত্যাশার যান্ত্রিক ব্যাখ্যা একই অর্থ ধরে রাখবে: ঘনত্ব সহ x-অক্ষের উপর অবিচ্ছিন্নভাবে বিতরণ করা একক ভরের ভরের কেন্দ্র চ(এক্স) একটি পৃথক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বিপরীতে, যার জন্য ফাংশন আর্গুমেন্ট এক্সiআকস্মিকভাবে পরিবর্তিত হয়, একটি অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য, যুক্তি ক্রমাগত পরিবর্তিত হয়। কিন্তু একটি অবিচ্ছিন্ন এলোমেলো চলকের গাণিতিক প্রত্যাশা তার গড় মানের সাথেও সম্পর্কিত।

একটি অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশা এবং তারতম্য খুঁজে পেতে, আপনাকে নির্দিষ্ট অখণ্ডগুলি খুঁজে বের করতে হবে . যদি একটি অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম চলকের একটি ঘনত্ব ফাংশন দেওয়া হয়, তাহলে এটি সরাসরি ইন্টিগ্র্যান্ডে প্রবেশ করে। যদি একটি সম্ভাব্যতা বন্টন ফাংশন দেওয়া হয়, তাহলে এটিকে আলাদা করে, আপনাকে ঘনত্ব ফাংশনটি খুঁজে বের করতে হবে।

একটি অবিচ্ছিন্ন এলোমেলো চলকের সমস্ত সম্ভাব্য মানের গাণিতিক গড়কে এর বলা হয় গাণিতিক প্রত্যাশা, বা দ্বারা চিহ্নিত।