দ্বারা বিভক্ত কিনা। আপনি কি শূন্য দ্বারা ভাগ করতে পারেন? গণিতবিদ উত্তর দেয়। যখন শূন্য হাজির

"আপনি শূন্য দ্বারা ভাগ করতে পারবেন না!" - বেশিরভাগ শিক্ষার্থী কোনও প্রশ্ন না করে হৃদয় দিয়ে এই নিয়মটি শিখেন। সমস্ত বাচ্চারা জানে যে "অনুমোদিত নয়" এবং তার প্রতিক্রিয়া জানালে কী হবে: "কেন?" তবে বাস্তবে এটি কেন অসম্ভব তা জানা খুব আকর্ষণীয় এবং গুরুত্বপূর্ণ।

মুল বক্তব্যটি হ'ল পাটিগণিতের চারটি ক্রিয়াকলাপ - সংযোজন, বিয়োগ, গুণ এবং বিভাগ - আসলে অসম। গণিতবিদগণ তাদের মধ্যে দুটিকেই সম্পূর্ণ - সংযোজন এবং গুণ হিসাবে স্বীকৃতি দিয়েছেন। এই ক্রিয়াকলাপগুলি এবং তাদের বৈশিষ্ট্যগুলি সংখ্যার ধারণাটির খুব সংজ্ঞায় অন্তর্ভুক্ত রয়েছে। অন্যান্য সমস্ত ক্রিয়াগুলি এই দুটি থেকে অন্য কোনও উপায়ে নির্মিত।

উদাহরণস্বরূপ বিয়োগফল বিবেচনা করুন। 5 - 3 এর অর্থ কী? শিক্ষার্থীর এটির উত্তরটি সহজ: পাঁচটি বস্তু নিয়ে যান, তাদের তিনটি কেড়ে নিন (অপসারণ) এবং দেখুন কতজন রয়ে গেছে। তবে গণিতবিদগণ এই সমস্যাটিকে সম্পূর্ণ ভিন্ন উপায়ে দেখেন। এখানে কোনও বিয়োগ নেই, কেবল সংযোজন রয়েছে। সুতরাং, 5 - 3 লেখার অর্থ এমন একটি সংখ্যা যা 3 নম্বরে যুক্ত হওয়ার পরে 5 নম্বর দেয় That অর্থাৎ 5 - 3 কেবল সমীকরণের সংক্ষিপ্ত বিবরণ: x + 3 \u003d 5 এই সমীকরণটিতে কোনও বিয়োগফল নেই। শুধুমাত্র একটি কাজ আছে - একটি উপযুক্ত নম্বর সন্ধান করা।

গুণ এবং বিভাগের ক্ষেত্রেও একই অবস্থা। 8: 4 স্বরলিপি আটটি আইটেমকে চারটি সমান পাইলসে ভাগ করার ফলাফল হিসাবে বোঝা যায়। তবে বাস্তবে, এটি 4 x \u003d 8 সমীকরণের সংক্ষিপ্ত রূপ।

এখানেই এটি স্পষ্ট হয়ে যায় যে শূন্য দ্বারা ভাগ করা কেন অসম্ভব (বা বরং অসম্ভব)। স্বরলিপি 5: 0 হল 0 x \u003d 5 এর একটি সংক্ষেপণ That অর্থাৎ, এই কাজটি এমন একটি সংখ্যা খুঁজে পাওয়া যায় যা 0 দ্বারা গুণিত হয়ে 5 দেয় But কিন্তু আমরা জানি যে 0 দ্বারা গুণিত করলে আপনি সর্বদা 0 পান This এটি শূন্যের সহজাত সম্পত্তি, কঠোরভাবে বলতে গেলে, এর সংজ্ঞা অংশ।

এমন কোনও সংখ্যা নেই যা 0 দ্বারা গুণিতকালে শূন্য ব্যতীত অন্য কিছু দেবে। অর্থাৎ, আমাদের কাজের কোনও সমাধান নেই। (হ্যাঁ, এটি ঘটে, প্রতিটি সমস্যার সমাধান থাকে না)) এর অর্থ হ'ল 5: 0 স্বরলিপিটি কোনও নির্দিষ্ট সংখ্যার সাথে মিলে না, এবং এটি সহজভাবে কোনও অর্থ বোঝায় না, এবং তাই এটি বোঝায় না। এই রেকর্ডিংয়ের অর্থহীনতা সংক্ষেপে এইভাবে প্রকাশ করা হয়েছে যে আপনি শূন্য দ্বারা ভাগ করতে পারবেন না।

এই জায়গার সর্বাধিক মনোযোগী পাঠক অবশ্যই জিজ্ঞাসা করবেন: শূন্যকে কি শূন্য দ্বারা ভাগ করা যায়? প্রকৃতপক্ষে 0 x \u003d 0 সমীকরণটি সফলভাবে সমাধান হয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, আপনি x \u003d 0 নিতে পারেন, এবং তারপরে আমরা 0 0 \u003d 0. পেতে পারি? সুতরাং, 0: 0 \u003d 0? তবে তাড়াহুড়ো করি না। আসুন x \u003d 1 নেওয়ার চেষ্টা করি আমরা 0 1 \u003d 0. পাই? সুতরাং 0: 0 \u003d 1? তবে আপনি যে কোনও নম্বর এইভাবে নিতে পারেন এবং 0: 0 \u003d 5, 0: 0 \u003d 317, ইত্যাদি পেতে পারেন

তবে যদি কোনও নম্বর উপযুক্ত হয়, তবে তাদের কোনওটির জন্য আমাদের বেছে নেওয়ার কোনও কারণ নেই। এটি হ'ল আমরা কোন সংখ্যা 0: 0 এর সাথে সংযুক্ত তা বলতে পারি না And দেখা যাচ্ছে যে শূন্যকেও শূন্য দ্বারা ভাগ করা যায় না। (গাণিতিক বিশ্লেষণে, কিছু ক্ষেত্রে রয়েছে যখন সমস্যার অতিরিক্ত শর্তের কারণে 0 x \u003d 0 সমীকরণের সম্ভাব্য সমাধানগুলির মধ্যে একটিটিকে অগ্রাধিকার দেওয়া যেতে পারে; এই জাতীয় ক্ষেত্রে গণিতবিদরা "অনিশ্চয়তা প্রকাশের কথা বলেছিলেন", তবে গাণিতিক ক্ষেত্রে এ জাতীয় ঘটনা ঘটে না।)

এটি বিভাগ অপারেশন এর বৈশিষ্ট্য। আরও সুনির্দিষ্টভাবে, গুণ গুণ এবং এর সাথে সম্পর্কিত সংখ্যার শূন্য রয়েছে।

ভাল, এবং সবচেয়ে সাবধানী, এ পর্যন্ত পড়ে, জিজ্ঞাসা করতে পারে: কেন এটি শূন্য দ্বারা ভাগ করা অসম্ভব, তবে আপনি শূন্যকে বিয়োগ করতে পারবেন? এক অর্থে, এখানেই আসল গণিত শুরু হয়। আপনি কেবলমাত্র এটির সংখ্যাসূচক সেট এবং ক্রিয়াকলাপগুলির আনুষ্ঠানিক গাণিতিক সংজ্ঞাগুলির সাথে পরিচিত হয়ে উত্তর দিতে পারেন। এটি এতটা কঠিন নয়, তবে কোনও কারণে এটি স্কুলে শেখানো হয় না। তবে বিশ্ববিদ্যালয়ে গণিত সম্পর্কিত বক্তৃতায় আপনাকে প্রথমে আপনাকে ঠিক এটি শেখানো হবে।

স্কুলে ফিরে, শিক্ষকরা আমাদের মাথার মধ্যে সরল নিয়মকে হাতুড়ি দেওয়ার চেষ্টা করেছিলেন: "শূন্যের সাথে গুণিত কোনও সংখ্যা শূন্যের সমান!", - তবে এখনও তাকে ঘিরে অনেক বিতর্ক রয়েছে। কেউ কেবল নিয়মটির কথা মনে রেখেছেন এবং "কেন?" প্রশ্নটি নিয়ে বিরক্ত করেন না। "আপনি পারবেন না এবং এটিই হ'ল, কারণ তারা স্কুলে এমনটাই বলেছিল, একটি নিয়মই একটি নিয়ম!" কেউ সূত্র সহ একটি নোটবুকের অর্ধেকটি লিখতে পারেন, এই বিধিটিকে প্রমাণ করে বা এর বিপরীতে, এর অযৌক্তিকতা।

সঙ্গে যোগাযোগ

কে শেষ পর্যন্ত ঠিক আছে

এই বিরোধগুলির সময়ে, উভয় ব্যক্তিই যার বিপরীত দৃষ্টিভঙ্গি রয়েছে তারা একে অপরকে ম্যামের মতো দেখে এবং তাদের যথাসাধ্য প্রমাণ করে যে তারা সঠিক। যদিও, আপনি যদি পাশ থেকে তাদের তাকান, আপনি একজনকে দেখতে পাবেন না, তবে দুটি ভেড়া একে অপরের বিরুদ্ধে শিঙা বিশ্রাম নিচ্ছে। তাদের মধ্যে পার্থক্যটি হ'ল একজন অন্যজনের তুলনায় কিছুটা কম শিক্ষিত।

প্রায়শই এটির চেয়ে বেশি, যারা এই বিধিটিকে ভুল বলে বিশ্বাস করেন তারা এইভাবে যুক্তি চালানোর চেষ্টা করেন:

আমার টেবিলে আমার দুটি আপেল রয়েছে, আমি যদি তাদের কাছে শূন্য আপেল রাখি, অর্থাৎ আমি একটিও রাখি না, তবে আমার দুটি আপেল এ থেকে অদৃশ্য হবে না! নিয়মটি অযৌক্তিক!

প্রকৃতপক্ষে, আপেল কোথাও অদৃশ্য হবে না, তবে নিয়মটি অযৌক্তিক বলে নয়, তবে এখানে কিছুটা ভিন্ন সমীকরণ ব্যবহৃত হয়েছে: 2 + 0 \u003d 2. সুতরাং আমরা এখনই এইরকম উপসংহারটি বাতিল করে দিই - এটি অযৌক্তিক, যদিও এর বিপরীত উদ্দেশ্য রয়েছে - কল করা যুক্তি।

গুণ হ'ল কি

গুণনের মূল নিয়ম শুধুমাত্র প্রাকৃতিক সংখ্যার জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়েছিল: গুণটি এমন একটি সংখ্যা যা নিজের কাছে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক বার যুক্ত হয়, যা বোঝায় যে সংখ্যাটি প্রাকৃতিক। সুতরাং, গুণ সহ যে কোনও সংখ্যা এই সমীকরণে হ্রাস করা যেতে পারে:

1. 25 × 3 \u003d 75
2. 25 + 25 + 25 = 75
3. 25। 3 \u003d 25 + 25 + 25

উপসংহার এই সমীকরণ থেকে অনুসরণ করা হয়, যে গুণটি একটি সরলিকৃত সংযোজন.

শূন্য কি

শৈশব থেকে যে কোনও ব্যক্তি জানেন: শূন্য শূন্যতা, এই শূন্যতার একটি পদবি থাকা সত্ত্বেও, এটি কিছুতেই বহন করে না। প্রাচীন প্রাচ্য বিদ্বানরা আলাদাভাবে চিন্তা করেছিলেন - তারা এই বিষয়টি দার্শনিকভাবে পৌঁছেছিলেন এবং শূন্যতা এবং অনন্তের মধ্যে কিছু সমান্তরাল আঁকেন এবং এই সংখ্যায় একটি গভীর অর্থ দেখতে পান। সর্বোপরি, শূন্য, যার শূন্যতার অর্থ, যে কোনও প্রাকৃতিক সংখ্যার পাশে দাঁড়িয়ে, এটি দশগুণ করে। তাই গুণকে কেন্দ্র করে সমস্ত বিতর্ক - এই সংখ্যাটি এতটা অসঙ্গতি বহন করে যে বিভ্রান্ত না হওয়া কঠিন হয়ে পড়ে। তদতিরিক্ত, দশমিক ভগ্নাংশে খালি স্থানগুলি সংজ্ঞায়িত করতে শূন্য ক্রমাগত ব্যবহৃত হয়, এটি দশমিক বিন্দুর আগে এবং পরে উভয় ক্ষেত্রেই করা হয়।

শূন্যতা দিয়ে আপনি গুণ করতে পারেন?

আপনি শূন্য দ্বারা গুণ করতে পারেন তবে এটি অকেজো, কারণ, কেউ যাই বলুক না কেন, এমনকি নেতিবাচক সংখ্যার গুণ করলেও আপনি শূন্য পাবেন। কেবলমাত্র এই সাধারণ নিয়মটি মনে রাখা এবং এই প্রশ্নটি আর কখনও জিজ্ঞাসা করবেন না। আসলে, সবকিছু প্রথম নজরে দেখে মনে হচ্ছে তার চেয়ে সহজ। প্রাচীন বিজ্ঞানীরা বিশ্বাস করেন বলে কোনও গোপন অর্থ এবং গোপনীয়তা নেই। নীচে, সর্বাধিক যৌক্তিক ব্যাখ্যা দেওয়া হবে যে এই গুণটি অকেজো, কারণ যখন কোনও সংখ্যা এটি দ্বারা গুণিত হয়, তখনও একই জিনিসটি পাওয়া যাবে - শূন্য।

একেবারে শুরুতে ফিরে আসা, দুটি আপেল সম্পর্কে তর্ক করতে, 2 বার 0 এরকম দেখাচ্ছে:

• আপনি যদি পাঁচবার দুটি আপেল খান তবে আপনি 2 × 5 \u003d 2 + 2 + 2 + 2 + 2 \u003d 10 আপেল খান
• আপনি যদি এগুলি তিনবার খান, তবে 2 × 3 \u003d 2 + 2 + 2 \u003d 6 আপেল খাওয়া হবে
• আপনি যদি দুটি আপেল শূন্য বার খান তবে কিছু খাওয়া হবে না - 2 × 0 \u003d 0 × 2 \u003d 0 + 0 \u003d 0

সর্বোপরি, 0 বার একটি আপেল খাওয়ার অর্থ এককটি না খাওয়া। এমনকি সবচেয়ে ছোট বাচ্চা এটি বুঝতে পারবে। যাই হোক না কেন যে কেউ বলতে পারে - 0 বেরিয়ে আসবে, দুই বা তিনটি একেবারে যে কোনও সংখ্যার সাথে প্রতিস্থাপন করা যেতে পারে এবং একেবারে একই বেরিয়ে আসবে। এটি সহজভাবে বলতে, তারপর শূন্য কিছুই নাএবং আপনি যখন সেখানে কিছুই নেই, আপনি কত গুণ করেন তা বিবেচনাধীন নয় শূন্য হবে... কোনও জাদু নেই, এবং কোনও অ্যাপল তৈরি করবে না, এমনকি আপনি যদি এক মিলিয়ন দ্বারা 0 গুণ করেন। এটি শূন্য দ্বারা গুণনের নিয়মের সবচেয়ে সহজ, সবচেয়ে বোধগম্য এবং যৌক্তিক ব্যাখ্যা। সমস্ত সূত্র এবং গণিত থেকে দূরে থাকা কোনও ব্যক্তির জন্য, এই জাতীয় ব্যাখ্যা মাথা নষ্ট করার জন্য যথেষ্ট হবে এবং সবকিছু জায়গায় পড়ে যায়।

বিভাগ

উপরের সমস্ত থেকে আরও একটি গুরুত্বপূর্ণ নিয়ম অনুসরণ করা হয়েছে:

আপনি শূন্য দ্বারা ভাগ করতে পারবেন না!

এই নিয়মটিও শৈশবকাল থেকেই আমাদের মাথায় জেদ করে চলেছে। আমরা কেবল জানি যে এটি অসম্ভব এবং অযৌক্তিক তথ্য দিয়ে আমাদের মাথা ভর্তি না করে সমস্ত কিছু। যদি আপনাকে অপ্রত্যাশিতভাবে প্রশ্ন করা হয় কেন শূন্য দ্বারা বিভাজন করা নিষিদ্ধ, তবে সংখ্যাগরিষ্ঠরা বিভ্রান্ত হয়ে পড়বেন এবং বিদ্যালয়ের পাঠ্যক্রম থেকে সহজ সরল প্রশ্নের উত্তর দিতে সক্ষম হবেন না, কারণ এই নিয়মের চারপাশে এতগুলি বিতর্ক এবং বিরোধ নেই।

প্রত্যেকেই কেবল নিয়মটি মুখস্থ করেছিলেন এবং শূন্য দ্বারা ভাগ করেননি, সন্দেহ নেই যে উত্তরটি পৃষ্ঠতলে রয়েছে। সংযোজন, গুণ, বিভাজন এবং বিয়োগটি অসম, কেবলমাত্র গুণ এবং সংযোজন উপরের দিক থেকে সম্পূর্ণ এবং সংখ্যার সাথে অন্য সমস্ত হেরফেরগুলি সেগুলি থেকে নির্মিত। এটি হ'ল 10: 2 লিখলে সমীকরণ 2 * x \u003d 10 হয়। সুতরাং, 10: 0 লিখতে 0 \u003d x \u003d 10 থেকে একই সংক্ষেপ হয় এটি দেখা যাচ্ছে যে শূন্য দ্বারা বিভাজন একটি সংখ্যা খুঁজে পাওয়া একটি কাজ, এটি 0 দ্বারা গুণ করে, আপনি 10 পাবেন এবং আমরা ইতিমধ্যে সনাক্ত করেছি যে এই জাতীয় সংখ্যার অস্তিত্ব নেই, যার অর্থ এই সমীকরণটির কোনও সমাধান নেই, এবং এটি ভুল একটি অগ্রাধিকার হবে।

আমি আপনাকে বলছি

0 দিয়ে ভাগ না করা!

দৈর্ঘ্যমুখী হিসাবে 1 টি কাটা

শুধু 0 দিয়ে ভাগ করবেন না!

পলিটেকনিক যাদুঘরের গণিত গবেষণাগারের প্রধান প্রভাষক ও প্রধান, "আইআইএফ" কে শূন্য দ্বারা বিভাগ সম্পর্কে বলেছেন:

1. ইস্যুর এখতিয়ার

সম্মত হন, নিষেধাজ্ঞার বিধি একটি বিশেষ উস্কানি দেয়। কীভাবে অসম্ভব? কে এটি নিষিদ্ধ? আমাদের নাগরিক অধিকার সম্পর্কে কি?

সংবিধান, না ফৌজদারী কোড, এমনকি আপনার বিদ্যালয়ের বিধিগুলিও আমাদের আগ্রহী বৌদ্ধিক পদক্ষেপের বিষয়ে আপত্তি করে না। এর অর্থ হ'ল নিষেধাজ্ঞার কোনও আইনী শক্তি নেই এবং কিছু এখানেই শূন্য দ্বারা বিভক্ত করার চেষ্টা করার জন্য "আইআইএফ" এর পাতায় কিছুই প্রতিরোধ করে না। উদাহরণস্বরূপ, এক হাজার।

2. শেখানো হিসাবে ভাগ করুন

মনে রাখবেন, আপনি যখন প্রথম বিভাজন করতে শিখেছিলেন, প্রথম উদাহরণগুলি গুণনের পরীক্ষার সাথে সমাধান করা হয়েছিল: বিভাজকের দ্বারা গুণিত ফলাফলটি লভ্যাংশের সাথে মিলে যেতে হয়েছিল। মেলে না - সিদ্ধান্ত নেয়নি।

উদাহরণ 1। 1000: 0 =...

আসুন এক মিনিটের জন্য নিষিদ্ধ নিয়মটি ভুলে যাই এবং উত্তরটি অনুমান করার জন্য কয়েকটি চেষ্টা করি।

অবৈধ চেকগুলি কেটে যাবে। 100, 1, −23, 17, 0, 10,000 বিকল্পগুলির মধ্যে যান: তাদের প্রত্যেকের জন্য চেক একই ফলাফল দেবে:

100 0 \u003d 1 0 \u003d - 23 0 \u003d 17 0 \u003d 0 0 \u003d 10 000 0 \u003d 0

গুণ দ্বারা শূন্য সব কিছু নিজের মধ্যে পরিণত করে এবং কখনই হাজারে রূপান্তরিত করে না। উপসংহারটি গঠন করা কঠিন নয়: কোনও নম্বর পরীক্ষায় উত্তীর্ণ হবে না। অর্থাৎ কোনও সংখ্যা ননজারো সংখ্যা শূন্য দ্বারা ভাগ করার ফলাফল হতে পারে না। এই জাতীয় বিভাগ নিষিদ্ধ নয়, তবে কেবল কোনও ফলাফল নেই।

3. সামান্য

নিষেধাজ্ঞার খণ্ডন করার জন্য আমরা প্রায় একটি সুযোগ হাতছাড়া করেছি। হ্যাঁ, আমরা স্বীকার করি যে একটি শূন্য-সংখ্যাটি 0 দ্বারা বিভাজ্য হতে পারে না তবে সম্ভবত 0 নিজেই পারেন?

উদাহরণ 2। 0: 0 = ...

একটি ব্যক্তিগত জন্য আপনার পরামর্শ? একশত? দয়া করে: ভাগফল 100 গুণ বিভাজক 0 এর সাথে বিভাজ্য 0 সমান।

আরও বিকল্প! এক? ফিটও। এবং -23, এবং 17 এবং সমস্ত-সমস্ত। এই উদাহরণে, পরীক্ষাটি যে কোনও সংখ্যার জন্য ইতিবাচক হবে। এবং, সত্যি কথা বলতে, এই উদাহরণের সমাধানটিকে একটি সংখ্যা নয়, বরং সংখ্যার সেট বলা উচিত। সবাই. অ্যালিস অ্যালিস নয়, মেরি আন এবং এই দু'টিই খরগোশের স্বপ্নের বিষয়ে একমত হতে বেশি সময় লাগবে না।

৪. উচ্চতর গণিত সম্পর্কে কী বলা যায়?

সমস্যাটি সমাধান করা হয়েছিল, সংক্ষিপ্তসারগুলি আমলে নেওয়া হয়েছিল, বিন্দুগুলি স্থাপন করা হয়েছিল, সবকিছু পরিষ্কার হয়ে গেছে - শূন্য দ্বারা বিভাজন সহ উদাহরণের উত্তর একটি একক সংখ্যা হতে পারে না। এ জাতীয় সমস্যা সমাধান করা হতাশ এবং অসম্ভব কাজ। যার অর্থ ... আকর্ষণীয়! দু 'টি \u200b\u200bনাও.

উদাহরণ 3। 1000 দ্বারা 0 দ্বারা কীভাবে ভাগ করবেন তা চিত্রিত করুন।

কোনভাবেই না. তবে 1000 সহজেই অন্যান্য সংখ্যায় ভাগ করা যায়। ঠিক আছে, আসুন আমরা কী পরিবর্তন করি তা সত্ত্বেও আমরা যা পাই কমপক্ষে তা করি। এবং সেখানে, আপনি দেখুন, আমরা বহন করব, এবং উত্তর নিজেই প্রদর্শিত হবে। আমরা এক মিনিটের জন্য শূন্যের কথা ভুলে গিয়ে একশ ভাগ করে দিয়েছি:

একশো শূন্য থেকে অনেক দূরে। বিভাজক হ্রাস করে এর দিকে একটি পদক্ষেপ নেওয়া যাক:

1000: 25 = 40,
1000: 20 = 50,
1000: 10 = 100,
1000: 8 = 125,
1000: 5 = 200,
1000: 4 = 250,
1000: 2 = 500,
1000: 1 = 1000.

সুস্পষ্ট গতিশীলতা: শূন্যের বিভাজকটির কাছাকাছি, ভাগফলটি বৃহত্তর। প্রবণতাটি আরও পরিলক্ষিত হতে পারে, ভগ্নাংশে চলে যাওয়া এবং সংখ্যা কমিয়ে অবিরত করা:

এটি লক্ষণীয় রয়েছে যে আমরা শূন্যের কাছাকাছি যেতে পারি যতটা পছন্দ করি ততই ভাগফলকে আমরা পছন্দ করি

এই প্রক্রিয়াতে, কোনও শূন্য নেই এবং শেষ ভাগফল নেই। আমরা তাদের দিকে চলাচলের নামকরণ করেছি, নম্বরটি আমাদের ক্রমের সংখ্যায় রূপান্তর করে একটি ক্রম দিয়ে প্রতিস্থাপন করেছি:

এটি লভ্যাংশের জন্য অনুরূপ প্রতিস্থাপনকে বোঝায়:

1000 ↔ { 1000, 1000, 1000,... }

তীরগুলি ডাবল পার্শ্বযুক্ত নিরর্থক নয়: কিছু ক্রম সংখ্যায় রূপান্তর করতে পারে। তারপরে আমরা ক্রমিকটিকে এর সংখ্যাসূচক সীমাতে নির্ধারণ করতে পারি।

এর উদ্ধৃতিগুলির ক্রমটি দেখুন:

এটি কোনও সংখ্যার জন্য প্রচেষ্টা না করে এবং কোনও ছাড়িয়ে না গিয়ে অনির্দিষ্টকালের জন্য বৃদ্ধি পায়। গণিতবিদগণ সংখ্যায় প্রতীক যুক্ত করেন Such এরকম ক্রমের পাশে একটি ডাবল-মাথা वाला তীর রাখতে সক্ষম হতে:

সীমাবদ্ধতার সাথে সীমাবদ্ধতার সংখ্যার তুলনা আমাদের তৃতীয় উদাহরণের সমাধান প্রস্তাব করতে দেয়:

ধনাত্মক সংখ্যার একটি ক্রম দ্বারা 0 টি মৌলিক দিকে রূপান্তর করে 1000 এ রূপান্তর করে একটি ক্রমকে ভাগ করে আমরা একটি অনুক্রমকে ∞ এ রূপান্তর করি ∞

৫. এবং এখানে দুটি শূন্য সহ একটি উপগ্রহ রয়েছে

ইতিবাচক সংখ্যার দুটি ক্রমকে শূন্যে রূপান্তরিত করার ফলাফল কী হবে? যদি তারা একই হয় তবে তারা একই ইউনিট। লভ্যাংশের ক্রমটি যদি শূন্যে দ্রুত রূপান্তরিত হয় তবে ভাগফলে এটি শূন্য সীমা সহ একটি ক্রম। এবং যখন ডিভাইডারের উপাদানগুলি লভ্যাংশের তুলনায় অনেক দ্রুত হ্রাস পায়, ভাগফলের ক্রম দৃ strongly়ভাবে বৃদ্ধি পাবে:

অনিশ্চিত পরিস্থিতি। এবং তাই এটি বলা হয়: প্রজাতির অনিশ্চয়তা 0/0 ... গণিতবিদরা যখন এমন ক্রমগুলি দেখেন যেগুলি এই জাতীয় অনিশ্চয়তার জন্য উপযুক্ত, তারা একে অপরের দ্বারা দুটি অভিন্ন সংখ্যাকে বিভক্ত করতে ছুটে না, তবে অনুক্রমের মধ্যে কোনটিটি শূন্যের দিকে দ্রুত চলে এবং ঠিক কীভাবে তা নির্ধারণ করুন। এবং প্রতিটি উদাহরণের নিজস্ব নির্দিষ্ট উত্তর থাকবে!

6. জীবনে

ওহমের আইন একটি সার্কিটের বর্তমান শক্তি, ভোল্টেজ এবং প্রতিরোধের সাথে সম্পর্কিত। এটি প্রায়শই এই ফর্মটিতে লেখা হয়:

আসুন আমরা সঠিক শারীরিক বোঝাপড়াকে অবহেলা করি এবং আনুষ্ঠানিকভাবে দুটি সংখ্যার ভাগ হিসাবে ডানদিকে তাকান। কল্পনা করুন আমরা একটি বিদ্যুতের বিদ্যুত্ সমস্যা সমাধান করছি। শর্তটি ভোল্টগুলিতে ভোল্টেজ দেয় এবং ওহমসে প্রতিরোধ দেয়। প্রশ্নটি সুস্পষ্ট, এক-পদক্ষেপ সমাধান।

এখন সুপারকন্ডাকটিভিটির সংজ্ঞাটি দেখুন: শূন্য বৈদ্যুতিক প্রতিরোধের জন্য এটি কিছু ধাতুর সম্পত্তি।

আচ্ছা, সুপারকন্ডাক্টিং সার্কিটের জন্য সমস্যার সমাধান করা যাক? শুধু বিকল্প আর \u003d0 কাজ করবে না, পদার্থবিজ্ঞান একটি আকর্ষণীয় সমস্যা ছুঁড়েছে, যার পিছনে স্পষ্টতই একটি বৈজ্ঞানিক আবিষ্কার রয়েছে। এবং এই পরিস্থিতিতে যারা শূন্যের সাথে ভাগ করতে পেরেছিলেন তারা নোবেল পুরষ্কার পেয়েছিলেন। যে কোনও নিষেধাজ্ঞাকে বাইপাস করতে সক্ষম হওয়া কার্যকর!

এবং এখানে আরও একটি আকর্ষণীয় বক্তব্য। "আপনি শূন্য দ্বারা ভাগ করতে পারবেন না!" - বেশিরভাগ শিক্ষার্থী কোনও প্রশ্ন না করে হৃদয় দিয়ে এই নিয়মটি শিখেন। সমস্ত বাচ্চারা জানে যে "অনুমোদিত নয়" এবং তার প্রতিক্রিয়াতে যদি জিজ্ঞাসা করা হয় তবে কী হবে: "কেন?"। এটিই যদি ঘটে থাকে

তবে বাস্তবে এটি কেন অসম্ভব তা জানা খুব আকর্ষণীয় এবং গুরুত্বপূর্ণ।

মুল বক্তব্যটি হ'ল পাটিগণিতের চারটি ক্রিয়াকলাপ - সংযোজন, বিয়োগ, গুণ এবং বিভাগ - আসলে অসম। গণিতবিদগণ তাদের মধ্যে দুটিকেই সম্পূর্ণ - সংযোজন এবং গুণ হিসাবে স্বীকৃতি দিয়েছেন। এই ক্রিয়াকলাপগুলি এবং তাদের বৈশিষ্ট্যগুলি সংখ্যার ধারণাটির খুব সংজ্ঞায় অন্তর্ভুক্ত রয়েছে। অন্যান্য সমস্ত ক্রিয়াগুলি এই দুটি থেকে অন্য কোনও উপায়ে নির্মিত।

উদাহরণস্বরূপ বিয়োগফল বিবেচনা করুন। 5 - 3 এর অর্থ কী? শিক্ষার্থীর এটির উত্তরটি সহজ: পাঁচটি বস্তু নিয়ে যান, তাদের তিনটি কেড়ে নিন (অপসারণ) এবং দেখুন কতজন রয়ে গেছে। তবে গণিতবিদগণ এই সমস্যাটিকে সম্পূর্ণ ভিন্ন উপায়ে দেখেন। এখানে কোনও বিয়োগ নেই, কেবল সংযোজন রয়েছে। সুতরাং, 5 - 3 লেখার অর্থ এমন একটি সংখ্যা যা 3 নম্বরে যুক্ত হওয়ার পরে 5 নম্বর দেয় That অর্থাৎ 5 - 3 কেবল সমীকরণের সংক্ষিপ্ত বিবরণ: x + 3 \u003d 5 এই সমীকরণটিতে কোনও বিয়োগফল নেই। শুধুমাত্র একটি কাজ আছে - একটি উপযুক্ত নম্বর সন্ধান করা।

গুণ এবং বিভাগের ক্ষেত্রেও একই অবস্থা। 8: 4 স্বরলিপি আটটি আইটেমকে চারটি সমান পাইলসে ভাগ করার ফলাফল হিসাবে বোঝা যায়। তবে বাস্তবে এটি 4 x \u003d 8 সমীকরণের সংক্ষিপ্ত রূপ।

এখানেই এটি স্পষ্ট হয়ে যায় যে শূন্য দ্বারা ভাগ করা কেন অসম্ভব (বা বরং অসম্ভব)। স্বরলিপি 5: 0 হল 0 x \u003d 5 এর একটি সংক্ষেপণ That অর্থাৎ, এই কাজটি এমন একটি সংখ্যা খুঁজে পাওয়া যায় যা 0 দ্বারা গুণিত হলে 5 দেয় But তবে আমরা জানি যে 0 দ্বারা গুণিত করলে আপনি সর্বদা 0 পান This , এর সংজ্ঞা একটি অংশ।

এমন কোনও সংখ্যা নেই যা 0 দ্বারা গুণিতকালে শূন্য ব্যতীত অন্য কিছু দেবে। অর্থাৎ, আমাদের কাজের কোনও সমাধান নেই। (হ্যাঁ, এটি ঘটে থাকে, প্রতিটি সমস্যারই সমাধান হয় না)) এর অর্থ হ'ল 5: 0 স্বরলিপিটি কোনও নির্দিষ্ট সংখ্যার সাথে সামঞ্জস্য করে না এবং এটি কেবল কোনও অর্থ বোঝায় না এবং তাই এর অর্থ বোঝায় না। এই রেকর্ডিংয়ের অর্থহীনতা সংক্ষেপে এইভাবে প্রকাশ করা হয়েছে যে আপনি শূন্য দ্বারা ভাগ করতে পারবেন না।

এই জায়গার সর্বাধিক মনোযোগী পাঠক অবশ্যই জিজ্ঞাসা করবেন: শূন্যকে কি শূন্য দ্বারা ভাগ করা যায়? প্রকৃতপক্ষে 0 x \u003d 0 সমীকরণটি সফলভাবে সমাধান হয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, আমরা x \u003d 0 নিতে পারি, এবং তারপরে আমরা 0 · 0 \u003d 0. পেতে পারি যে 0: 0 \u003d 0 হয়? তবে তাড়াহুড়ো করি না। আসুন x \u003d 1 নেওয়ার চেষ্টা করি আমরা 0 · 1 \u003d 0. পাই? সুতরাং 0: 0 \u003d 1? তবে আপনি যে কোনও নম্বর এইভাবে নিতে পারেন এবং 0: 0 \u003d 5, 0: 0 \u003d 317, ইত্যাদি পেতে পারেন

তবে যদি কোনও নম্বর উপযুক্ত হয়, তবে তাদের কোনওটির জন্য আমাদের বেছে নেওয়ার কোনও কারণ নেই। এটি হ'ল আমরা কোন সংখ্যা 0: 0 এর সাথে সংযুক্ত তা বলতে পারি না And দেখা যাচ্ছে যে শূন্যকেও শূন্য দ্বারা ভাগ করা যায় না। (গাণিতিক বিশ্লেষণে এমন কিছু সমস্যা রয়েছে যখন সমস্যার অতিরিক্ত শর্তগুলির জন্য ধন্যবাদ 0 · x \u003d 0 সমীকরণের একটি সম্ভাব্য সমাধানকে অগ্রাধিকার দেওয়া যেতে পারে; এই জাতীয় ক্ষেত্রে গণিতবিদরা "অনিশ্চয়তা প্রকাশের কথা বলে", তবে গাণিতিক ক্ষেত্রে এ জাতীয় ঘটনা ঘটে না।)

এটি বিভাগ অপারেশন এর বৈশিষ্ট্য। আরও সুনির্দিষ্টভাবে, গুণ গুণ এবং এর সাথে সম্পর্কিত সংখ্যার শূন্য রয়েছে।

ভাল, এবং সবচেয়ে সাবধানী, এ পর্যন্ত পড়ে, জিজ্ঞাসা করতে পারে: কেন এটি শূন্য দ্বারা ভাগ করা অসম্ভব, তবে আপনি শূন্যকে বিয়োগ করতে পারবেন? এক অর্থে, এখানেই আসল গণিত শুরু হয়। আপনি কেবলমাত্র এটির সংখ্যাসূচক সেট এবং ক্রিয়াকলাপগুলির আনুষ্ঠানিক গাণিতিক সংজ্ঞাগুলির সাথে পরিচিত হয়ে উত্তর দিতে পারেন।

0 নম্বরটি এক ধরণের সীমানা হিসাবে উপস্থাপিত হতে পারে বাস্তব সংখ্যার জগতকে কাল্পনিক বা নেতিবাচক থেকে আলাদা করে। অস্পষ্ট অবস্থানের কারণে, এই সংখ্যাসূচক মান সহ অনেকগুলি ক্রিয়াকলাপ গাণিতিক যুক্তি মানেন না। শূন্য দ্বারা ভাগ করার অসম্ভবতা এটির একটি প্রধান উদাহরণ। এবং শূন্য সহ অনুমোদিত পাটিগণিত অপারেশনগুলি সাধারণত গৃহীত সংজ্ঞা ব্যবহার করে সম্পাদন করা যেতে পারে।

জিরো গল্প

শূন্য হ'ল গণনার সমস্ত স্ট্যান্ডার্ড সিস্টেমের রেফারেন্স পয়েন্ট। ইউরোপীয়রা সম্প্রতি এই সংখ্যাটি তুলনামূলকভাবে ব্যবহার করতে শুরু করেছিল, তবে প্রাচীন ভারতের agesষিগণ এক হাজার বছর আগে শূন্য ব্যবহার করেছিলেন ইউরোপীয় গণিতবিদগণ নিয়মিত ব্যবহার করার জন্য। ভারতীয়দের আগেও মায়া নম্বর পদ্ধতিতে শূন্য একটি বাধ্যতামূলক মান ছিল। এই আমেরিকান লোকেরা সংখ্যার দ্বৈতব্যবস্থার সিস্টেম ব্যবহার করেছিল এবং তারা প্রতি মাসের প্রথম দিনটিতে একটি শূন্য দিয়ে শুরু করেছিল। মজার বিষয় হল, "শূন্য" -এর জন্য মায়া চিহ্নটি "অনন্ত" -এর চিহ্ন হিসাবে একই ছিল। সুতরাং, প্রাচীন মায়া এই মানগুলি অভিন্ন এবং অজান্তে উপসংহারে পৌঁছেছিল।

শূন্যের সাথে ম্যাথ অপারেশন

শূন্য সহ স্ট্যান্ডার্ড গণিত ক্রিয়াকলাপগুলি কয়েকটি নিয়মে সিদ্ধ করা যেতে পারে।

সংযোজন: আপনি যদি একটি স্বেচ্ছাসেবী সংখ্যায় শূন্য যোগ করেন তবে এটির মান (0 + x \u003d x) পরিবর্তন হবে না।

বিয়োগ: যে কোনও সংখ্যা থেকে শূন্য বিয়োগ করার সময় বিয়োগের মান অপরিবর্তিত থাকে (x-0 \u003d x)।

গুণ: 0 দ্বারা গুণিত যে কোনও সংখ্যা পণ্যতে 0 দেয় (একটি * 0 \u003d 0)।

বিভাগ: শূন্যকে যে কোনও শূণ্য সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায়। এই ক্ষেত্রে, এই জাতীয় ভগ্নাংশের মান 0 হবে এবং শূন্য দ্বারা ভাগ করা নিষিদ্ধ।

ঘৃণা এই ক্রিয়াটি যে কোনও সংখ্যার সাথে সম্পাদন করা যেতে পারে। শূন্য শক্তিতে উত্থিত একটি স্বেচ্ছাসেবী সংখ্যা 1 (x 0 \u003d 1) দেবে।

যে কোনও পাওয়ারের শূন্য 0 (0 a \u003d 0)।

এই ক্ষেত্রে, অবিলম্বে একটি বৈপরীত্য দেখা দেয়: 0 0 এর অভিব্যক্তির কোনও অর্থ হয় না।

গণিতের প্যারাডক্স

অনেকেই জানেন যে স্কুল থেকে শূন্যের দ্বারা ভাগ করা অসম্ভব। তবে কোনও কারণে এই জাতীয় নিষেধাজ্ঞার কারণ ব্যাখ্যা করা অসম্ভব। আসলে, কেন শূন্য দ্বারা বিভাজনের সূত্রটি বিদ্যমান নেই, তবে এই সংখ্যা সহ অন্যান্য ক্রিয়াকলাপগুলি যথেষ্ট যুক্তিসঙ্গত এবং সম্ভব? এই প্রশ্নের উত্তর গণিতবিদরা দিয়েছেন।

আসল বিষয়টি হ'ল প্রাথমিক বিদ্যায় স্কুলছাত্রীরা যে স্বাভাবিক গাণিতিক ক্রিয়াকলাপগুলি শেখে তা আসলে আমাদের বিবেচনার সমান হতে দূরে। সংখ্যার সাথে সমস্ত সাধারণ ক্রিয়াকলাপ দুটি হ্রাস করা যায়: সংযোজন এবং গুণ lic এই ক্রিয়াগুলি সংখ্যার একেবারে ধারণার সারমর্ম এবং বাকী অপারেশনগুলি এই দুটি ব্যবহারের উপর ভিত্তি করে।

সংযোজন এবং গুণ

আসুন বিয়োগের একটি আদর্শ উদাহরণ নেওয়া যাক: 10-2 \u003d 8। স্কুলে, এটি সহজভাবে বিবেচনা করা হয়: দুটি বিষয় যদি দশটি বিষয় থেকে নেওয়া হয় তবে আটটি রয়ে যায়। তবে গণিতবিদরা এই অপারেশনটিকে সম্পূর্ণ ভিন্ন উপায়ে দেখেন। সর্বোপরি, বিয়োগ হিসাবে এই জাতীয় ক্রিয়াকলাপ তাদের জন্য বিদ্যমান নেই। এই উদাহরণটি অন্যভাবে লেখা যেতে পারে: x + 2 \u003d 10। গণিতবিদদের জন্য, অজানা পার্থক্যটি কেবল একটি সংখ্যা যা আটটি করার জন্য দুটিতে যুক্ত হওয়া দরকার। এবং এখানে কোনও বিয়োগের প্রয়োজন নেই, আপনার কেবল একটি উপযুক্ত সংখ্যাসূচক মান খুঁজে পাওয়া দরকার।

গুণ এবং বিভাগ একইভাবে চিকিত্সা করা হয়। উদাহরণস্বরূপ 12: 4 \u003d 3, আপনি বুঝতে পারবেন যে আমরা আটটি বস্তুকে দুটি সমান পাইলসে ভাগ করার কথা বলছি। তবে বাস্তবে, এটি 3x4 \u003d 12 লেখার জন্য কেবল একটি উল্টানো সূত্র, এবং বিভাগের অন্তহীন উদাহরণ রয়েছে।

0 উদাহরণ দ্বারা বিভাগ

আপনি এখানে শূন্য দ্বারা ভাগ করতে পারবেন না কেন এটি এখানে একটু স্পষ্ট হয়ে যায়। শূন্য দ্বারা গুণ এবং বিভাগ তাদের নিজস্ব নিয়ম মান্য করে। এই পরিমাণের বিভাজনের সমস্ত উদাহরণ 6: 0 \u003d x হিসাবে প্রণয়ন করা যায়। তবে এটি প্রকাশের 6 * x \u003d 0 এর উল্টানো স্বরলিপি। তবে, আপনি কি জানেন যে 0 দ্বারা গুণিত কোনও সংখ্যা কেবলমাত্র 0 টি পণ্য দেয় This এই সম্পত্তিটি শূন্য মানের খুব ধারণার অন্তর্নিহিত।

দেখা যাচ্ছে যে এরকম কোনও সংখ্যা নেই যা 0 দ্বারা গুণিতকালে কোনও বাস্তব মান দেয়, অর্থাত্ এই সমস্যার কোনও সমাধান নেই। এই জাতীয় কোনও উত্তর সম্পর্কে আপনার ভয় করা উচিত নয়, এটি এই ধরণের সমস্যার জন্য প্রাকৃতিক উত্তর। এটি ঠিক যে 6-0 এর কোনও অর্থ হয় না এবং এটি কোনও কিছুই ব্যাখ্যা করতে পারে না। সংক্ষেপে, এই অভিব্যক্তিটি অমর দ্বারা ব্যাখ্যা করা যায় "শূন্য দ্বারা বিভাগ অসম্ভব।"

একটি 0: 0 অপারেশন আছে? আসলে, যদি 0 দ্বারা গুণনের ক্রিয়াকলাপ আইনী হয় তবে শূন্যকে শূন্য দ্বারা ভাগ করা যায়? সর্বোপরি, 0x 5 \u003d 0 ফর্মের একটি সমীকরণ সম্পূর্ণ আইনী। 5 নম্বরের পরিবর্তে আপনি 0 টি রাখতে পারেন, পণ্যটি এ থেকে পরিবর্তন হবে না।

আসলে, 0x0 \u003d 0। তবে আপনি এখনও 0 দ্বারা ভাগ করতে পারবেন না। যেমনটি বলা হয়েছে, বিভাগটি কেবলমাত্র গুণনের বিপরীত। সুতরাং, যদি 0x5 \u003d 0 উদাহরণে, আপনাকে দ্বিতীয় ফ্যাক্টরটি নির্ধারণ করতে হবে, আমরা 0x0 \u003d 5 পাই। বা 10. বা অনন্ত। অনন্তকে শূন্য দ্বারা ভাগ করা - আপনি এটি কীভাবে পছন্দ করেন?

তবে কোনও সংখ্যা যদি প্রকাশের সাথে ফিট করে তবে তা বোঝা যায় না, আমরা অসীম সংখ্যার একটি বেছে নিতে পারি না। এবং যদি তা হয় তবে এর অর্থ 0: 0 এর এক্সপ্রেশনটি বোঝায় না। দেখা যাচ্ছে যে শূন্যকেও শূন্য দ্বারা ভাগ করা যায় না।

উচ্চতর গণিত

শূন্য দ্বারা বিভাগ করা স্কুল গণিতের জন্য একটি মাথাব্যথা। কারিগরি বিশ্ববিদ্যালয়গুলিতে অধ্যয়ন করা গাণিতিক বিশ্লেষণ এমন সমস্যার ধারণাটি সামান্য প্রসারিত করে যার সমাধান নেই। উদাহরণস্বরূপ, ইতিমধ্যে জ্ঞাত 0: 0 তে প্রকাশিত অভিব্যক্তিতে নতুন যুক্ত করা হয়েছে যার স্কুল গণিত কোর্সে কোনও সমাধান নেই:

• অনন্ত দ্বারা বিভক্ত অনন্ত:?:??
• অনন্ত বিয়োগ অনন্ত: ???;
• এক অসীম শক্তি উত্থাপিত: 1? ;
• অনন্ত বার 0 :? * 0;
• কিছু অন্যদের.

প্রাথমিক পদ্ধতি দ্বারা এই জাতীয় অভিব্যক্তিগুলি সমাধান করা অসম্ভব। তবে উচ্চতর গণিত, বেশ কয়েকটি অনুরূপ উদাহরণের অতিরিক্ত সম্ভাবনার জন্য ধন্যবাদ চূড়ান্ত সমাধান দেয়। সীমা তত্ত্ব থেকে সমস্যাগুলির বিবেচনায় এটি বিশেষত স্পষ্ট।

অনিশ্চয়তার প্রকাশ

সীমাবদ্ধতার তত্ত্বে, মান 0 শর্তসাপেক্ষ ইনফিনিটিমাল ভেরিয়েবল দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়। এবং অভিব্যক্তিগুলি যেখানে শূন্য দ্বারা বিভাগ প্রাপ্ত হয় যখন পছন্দসই মান প্রতিস্থাপন করা হয়, রূপান্তরিত হয়। নীচে সাধারণ বীজগণিতীয় রূপান্তরগুলি ব্যবহার করে সীমা বিস্তারের মানক উদাহরণ রয়েছে:

উদাহরণ হিসাবে আপনি দেখতে পাচ্ছেন, ভগ্নাংশের একটি সরল হ্রাস তার মানটিকে সম্পূর্ণ যুক্তিযুক্ত উত্তরের দিকে নিয়ে যায়।

ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের সীমা বিবেচনা করার সময়, তাদের অভিব্যক্তিগুলি প্রথম উল্লেখযোগ্য সীমাতে কমে যেতে থাকে। সীমাটি প্রতিস্থাপন করা হলে ডিনোমিনেটর 0-এ চলে যায় এমন সীমাটি বিবেচনা করার সময়, দ্বিতীয় উল্লেখযোগ্য সীমা ব্যবহৃত হয়।

লোপিটালের পদ্ধতি

কিছু ক্ষেত্রে, অভিব্যক্তির সীমাগুলি তাদের ডেরাইভেটিভগুলির সীমা দ্বারা প্রতিস্থাপন করা যেতে পারে। গুইলিউম লোপিটাল - ফরাসি গণিতবিদ, গণিত বিশ্লেষণের ফরাসী বিদ্যালয়ের প্রতিষ্ঠাতা। তিনি প্রমাণ করেছিলেন যে অভিব্যক্তির সীমা এই প্রকাশগুলির ডেরাইভেটিভসের সীমাতে সমান। গাণিতিক স্বরলিপিতে তাঁর নিয়মটি নিম্নরূপ।

বর্তমানে, 0: 0 বা?:? এর মতো অনিশ্চয়তাগুলি সমাধান করতে এল'হাপিটালের পদ্ধতিটি সফলভাবে ব্যবহৃত হয়।

কীভাবে ভাগ করে 0.1 দিয়ে গুণা যায়; 0.01; 0.001 ইত্যাদি?

বিভাজন এবং গুণনের নিয়ম লিখুন।

একটি সংখ্যা ০.৫ দ্বারা গুণিত করতে আপনাকে কেবল কমা স্থানান্তর করতে হবে।

যেমন ছিল 56 , হয়ে গেছে 5,6 .

একই সংখ্যায় বিভাজন করতে আপনাকে কমাটি বিপরীত দিকে নিয়ে যেতে হবে:

যেমন ছিল 56 , হয়ে গেছে 560 .

০.০১ সংখ্যার সাথে, সমস্ত কিছু একই, তবে আপনাকে এটিকে দুটি নয়, দুটি অক্ষর দ্বারা স্থানান্তর করতে হবে।

সাধারণভাবে, যতগুলি শূন্য, তত স্থানান্তর করুন।

উদাহরণস্বরূপ, 123456789 নম্বর রয়েছে।

আপনাকে এটি 0.000000001 দ্বারা গুণ করতে হবে

0.000000001 নম্বরে নয়টি শূন্য রয়েছে (কমাটির বাম থেকে শূন্যটিও গণনা করা হয়), সুতরাং আমরা 123456789 নম্বরটি 9 সংখ্যায় স্থানান্তর করব:

এটি এখন 123456789 এখন 0.123456789।

গুন না করার জন্য, তবে একই সংখ্যায় বিভাজন করতে আমরা অন্য দিকে চলে যাই:

এটি এখন 123456789 এখন 123456789000000000।

একটি পূর্ণসংখ্যা এইভাবে স্থানান্তর করতে, কেবল এটিতে একটি শূন্য নির্ধারণ করুন। এবং ভগ্নাংশে আমরা কমা স্থানান্তরিত।

একটি সংখ্যাকে 0.1 দ্বারা ভাগ করা সেই সংখ্যাটি 10 \u200b\u200bদ্বারা গুণ করা সমান

০.০১ দ্বারা একটি সংখ্যা ভাগ করা সেই সংখ্যাটি ১০০ দিয়ে গুণ করার সমান

0.001 দ্বারা বিভাগটি 1000 দ্বারা গুণিত হয়।

এটি মনে রাখা সহজ করার জন্য, আমরা কমাটি উপেক্ষা করে ডান থেকে বামে বিভাজন করতে এবং সংখ্যাটি দ্বারা গুণিত করার প্রয়োজন পড়ি।

উদাহরণ: 50: 0.0001। এটি 50 বারের মতো (কমা ছাড়াই ডান থেকে বামে পড়ুন - 10000) 10000 That's এটি 500000।

গুণের ক্ষেত্রে এটি একই, ঠিক বিপরীত:

400 x 0.01 400 বিভাজকের সমান (কমা ছাড়াই ডান থেকে বামে পড়ুন - 100) 100: 400: 100 \u003d 4।

ভাগ করার সময় ডানদিকে এবং বামে যখন সংখ্যাগুলি দ্বারা গুণন এবং ভাগ করার সময় কমা স্থানান্তর করতে কে বেশি সুবিধাজনক, আপনি এটি করতে পারেন।

www.bolshoyvopros.ru

5.5.6। দশমিক দ্বারা বিভাগ

আই। দশমিক দশমিক ভগ্নাংশ দ্বারা কোনও সংখ্যা বিভাজন করতে আপনাকে ডিভাইডারে কমাগুলি ডানদিকে অনেকগুলি ডানদিকে সরানো এবং ডিভাইডারে কমা হওয়ার পরে কোনও প্রাকৃতিক সংখ্যা দ্বারা বিভাজন করতে হবে।

চলুনry

পারফরম্যান্স বিভাগ: 1) 16,38: 0,7; 2) 15,6: 0,15; 3) 3,114: 4,5; 4) 53,84: 0,1.

সিদ্ধান্ত।

উদাহরণ 1) 16,38: 0,7.

বিভাজক মধ্যে 0,7 কমা পরে একটি অঙ্ক আছে, সুতরাং, লভ্যাংশ এবং বিভাজকের মধ্যে কমাগুলি একটি অঙ্ক দ্বারা ডান দিকে সরান।

তাহলে আমাদের বিভক্ত হওয়া দরকার 163,8 চালু 7 .

আসুন দশমিক ভগ্নাংশটিকে একটি প্রাকৃতিক সংখ্যার দ্বারা ভাগ করার নিয়ম অনুসারে বিভাজন করি।

প্রাকৃতিক সংখ্যার বিভাজন হিসাবে ভাগ করুন। কীভাবে একটি ডিজিট ভেঙে ফেলা যায় 8 - দশমিক পয়েন্টের পরে প্রথম অঙ্ক (অর্থাত দশম স্থানে অঙ্ক), তাই তাত্ক্ষণিক একটি প্রাইভেট কমা রাখা এবং বিভাজন অবিরত।

উত্তর: 23.4।

উদাহরণ 2) 15,6: 0,15.

লভ্যাংশে আমরা কমা বহন করি ( 15,6 ) এবং বিভাজক ( 0,15 ) ডানদিকে দুটি অঙ্ক, যেহেতু বিভাজক হিসাবে 0,15 দশমিক বিন্দু পরে দুটি অঙ্ক আছে।

মনে রাখবেন যে আপনার যতটা শূন্য দশমিক দশকে ডানদিকে অর্পণ করা যেতে পারে এবং এটি দশমিক পরিবর্তন করবে না।

15,6:0,15=1560:15.

আমরা প্রাকৃতিক সংখ্যার বিভাজন সম্পাদন করি।

উত্তর: 104।

উদাহরণ 3) 3,114: 4,5.

লভ্যাংশ এবং বিভাজকগুলিতে কমাগুলি এক অঙ্ক দ্বারা ডান এবং বিভাজনে সরান 31,14 চালু 45 দশমিক ভগ্নাংশটিকে একটি প্রাকৃতিক সংখ্যায় ভাগ করার নিয়ম অনুসারে।

3,114:4,5=31,14:45.

ব্যক্তিগতভাবে, আমরা একটি ডিজিট ভেঙে ফেলার সাথে সাথে একটি কমা রেখেছিলাম 1 দশম স্থানে। তারপর আমরা বিভাজন অবিরত।

বিভাগটি সম্পূর্ণ করতে, আমাদের নিয়োগ করতে হয়েছিল শূন্য সংখ্যা 9 - সংখ্যার পার্থক্য 414 এবং 405 . (আমরা জানি যে শূন্য দশমিক ভগ্নাংশের ডানদিকে নির্ধারিত হতে পারে)

উত্তর: 0.692।

উদাহরণ 4) 53,84: 0,1.

লভ্যাংশ এবং বিভাজক দ্বারা কমাগুলি সরান 1 ডান দিকে সংখ্যা।

আমরা পেতে: 538,4:1=538,4.

আসুন সমতা বিশ্লেষণ করুন: 53,84:0,1=538,4. এই উদাহরণে লভ্যাংশে কমা এবং ফলস্বরূপ ভাগফলে কমাতে মনোযোগ দিন। নোট করুন যে লভ্যাংশে কমাতে সরানো হয়েছে 1 অঙ্কটি ডানদিকে, যেন আমরা গুণ করছি 53,84 চালু 10. ("10, 100, 1000, ইত্যাদি দ্বারা দশমিককে গুণিত করুন" ভিডিওটি দেখুন) সুতরাং দশমিককে ভাগ করে নেওয়ার নিয়ম 0,1; 0,01; 0,001 ইত্যাদি

II। দশমিক 0.1 দ্বারা বিভক্ত করতে; 0.01; 0.001 ইত্যাদি, আপনাকে 1, 2, 3, ইত্যাদি সংখ্যার সাহায্যে কমাটি ডানদিকে নিয়ে যেতে হবে। (দশমিক ভগ্নাংশকে 0.1; 0.01; 0.001 ইত্যাদি দ্বারা ভাগ করা দশমিক ভগ্নাংশকে 10, 100, 1000, ইত্যাদি দ্বারা গুণনের সমান)

উদাহরণ।

পারফরম্যান্স বিভাগ: 1) 617,35: 0,1; 2) 0,235: 0,01; 3) 2,7845: 0,001; 4) 26,397: 0,0001.

সিদ্ধান্ত।

উদাহরণ 1) 617,35: 0,1.

নিয়ম অনুসারে II বিভাগ দ্বারা 0,1 দ্বারা গুণ করা সমান 10 , এবং লভ্যাংশে কমা সরান ডানদিকে 1 ডিজিট:

1) 617,35:0,1=6173,5.

উদাহরণ 2) 0,235: 0,01.

বিভাগ দ্বারা 0,01 দ্বারা গুণ করা সমান 100 , যার অর্থ লভ্যাংশের কমা স্থানান্তরিত হয় চালু ডানদিকে 2 সংখ্যা:

2) 0,235:0,01=23,5.

উদাহরণ 3) 2,7845: 0,001.

যেমন বিভাগ দ্বারা 0,001 দ্বারা গুণ করা সমান 1000 , তারপর কমা সরান ডানদিকে 3 সংখ্যা:

3) 2,7845:0,001=2784,5.

উদাহরণ 4) 26,397: 0,0001.

দশমিক দ্বারা ভাগ করুন 0,0001 - এটিকে গুণ করে দেওয়ার মতো 10000 (কমা বহন করুন) 4 টি সংখ্যা ডানদিকে)। আমরা পেতে:

www.mathematics-repetition.com

10, 100, 0.1, 0.01 ফর্মের সংখ্যা দ্বারা গুণ এবং বিভাগ division

এই ভিডিও টিউটোরিয়ালটি সাবস্ক্রিপশন দ্বারা উপলব্ধ

আপনার কি ইতিমধ্যে সাবস্ক্রিপশন আছে? ফন্ত

এই পাঠটি আপনাকে 10, 100, 0.1, 0.001 এর মতো সংখ্যায় ভাগ করে কীভাবে ভাগ করতে হবে তা দেখায়। এই বিষয়ে বিভিন্ন উদাহরণও সমাধান করা হবে।

সংখ্যাগুলি 10, 100 দ্বারা গুণান

অনুশীলন. 25.78 কে 10 দিয়ে কীভাবে গুন করবেন?

এই সংখ্যার দশমিক স্বীকৃতি হ'ল পরিমাণের সংক্ষিপ্ত বিবরণ। এটি আরও বিস্তারিতভাবে আঁকার প্রয়োজন:

সুতরাং, আপনি পরিমাণ গুন প্রয়োজন। এটি করার জন্য, আপনি প্রতিটি শব্দকে কেবল গুণ করতে পারেন:

এটা দেখা যাচ্ছে যে.

আমরা উপসংহারে পৌঁছাতে পারি যে দশমিক দশমিক ভগ্নাংশটি 10 \u200b\u200bদ্বারা গুণ করা খুব সহজ: আপনার একটি অবস্থানের সাহায্যে কমাটি ডানদিকে সরানো দরকার।

অনুশীলন. 100 দ্বারা 25.486 কে গুণ করুন।

১০০ দিয়ে দ্বিগুণ করার সাথে ১০০ দিয়ে গুণ করা একইভাবে অন্য কথায়, আপনাকে কমাটি ডানদিকে দুবার পরিবর্তন করতে হবে:

10, 100 দ্বারা সংখ্যার বিভাজন

অনুশীলন. 25.78 কে 10 দ্বারা ভাগ করুন।

পূর্ববর্তী ক্ষেত্রে হিসাবে, যোগফল হিসাবে 25.78 নম্বর উপস্থাপন করা প্রয়োজন:

যেহেতু আপনাকে যোগফল বিভাজন করতে হবে তাই এটি প্রতিটি পদকে ভাগ করার সমতুল্য:

এটি দেখা যাচ্ছে যে 10 দ্বারা বিভক্ত করতে, আপনাকে কমাটি বাম এক অবস্থানে নিয়ে যেতে হবে। উদাহরণ স্বরূপ:

অনুশীলন. 100 দ্বারা 124.478 ভাগ করুন।

১০০ দিয়ে বিভক্ত করা দু'বার 10 দিয়ে ভাগ করার সমান, তাই কমাটি 2 টি পজিশনে বামে স্থানান্তরিত হয়:

10, 100, 1000 দ্বারা গুণ এবং বিভাগের নিয়ম

দশমিক ভগ্নাংশটি যদি 10, 100, 1000 এবং আরও কিছু দিয়ে গুণতে হয়, আপনাকে ফ্যাক্টরটির শূন্যগুলি যতগুলি পজিশনের দ্বারা কমাটি ডানদিকে সরিয়ে নিতে হবে।

বিপরীতভাবে, দশমিক ভগ্নাংশটি যদি 10, 100, 1000 এবং আরও কিছু দিয়ে বিভক্ত করার প্রয়োজন হয়, আপনাকে ফ্যাক্টরটিতে শূন্য রয়েছে এমন অনেকগুলি পজিশনে আপনাকে কমাটি বামে স্থানান্তর করতে হবে।

উদাহরণস্বরূপ যখন কমা স্থানান্তরিত করা প্রয়োজন তখন কোনও সংখ্যা বাকী নেই

100 দ্বারা গুণিত করা হ'ল কমা দুটি স্থানকে ডানে সরিয়ে নেওয়া।

স্থানান্তরিত হওয়ার পরে, আপনি দেখতে পাচ্ছেন যে দশমিক পয়েন্টের পরে কোনও সংখ্যা নেই, যার অর্থ ভগ্নাংশটি অনুপস্থিত। তারপরে কমা প্রয়োজন হয় না, সংখ্যাটি একটি পূর্ণসংখ্যা।

আপনাকে 4 টি অবস্থান ডানদিকে স্থানান্তর করতে হবে। দশমিক পয়েন্টের পরে কেবল দুটি অঙ্ক রয়েছে। এটি মনে রাখা উচিত যে ভগ্নাংশের 56.14 এর সমতুল্য স্বরলিপি রয়েছে।

এখন 10,000 দ্বারা গুণ করা সহজ:

পূর্ববর্তী উদাহরণে আপনি কেন ভগ্নাংশে দুটি শূন্য যুক্ত করতে পারেন তা যদি খুব স্পষ্ট না হয় তবে লিঙ্কটির অতিরিক্ত ভিডিও এটিতে সহায়তা করতে পারে।

সমান দশমিক স্বীকৃতি

এন্ট্রি 52 এর অর্থ নিম্নলিখিত:

আপনি যদি 0 টি সামনে রাখেন তবে আপনি 052 এন্ট্রি পাবেন These

আপনি সামনে দুটি শূন্য রাখতে পারেন? হ্যাঁ, এই এন্ট্রিগুলি সমতুল্য।

এখন দশমিক ভগ্নাংশটি দেখুন:

আপনি যদি শূন্য নির্ধারণ করেন তবে দেখা যাচ্ছে:

এই এন্ট্রি সমতুল্য। একইভাবে, আপনি একাধিক জিরো নির্ধারণ করতে পারেন।

সুতরাং, কোনও সংখ্যাকে ভগ্নাংশের অংশের পরে বেশ কয়েকটি জিরো এবং পূর্ণসংখ্যার অংশের আগে বেশ কয়েকটি জিরো নির্ধারণ করা যেতে পারে। এগুলি একই সংখ্যার সমতুল্য এন্ট্রি হবে।

যেহেতু 100 দ্বারা বিভাজন ঘটে, তাই কমা 2 পজিশনে বামে স্থানান্তর করা প্রয়োজন। কমাটির কোনও সংখ্যা নেই। পুরো অংশটি অনুপস্থিত। এই স্বরলিপিটি প্রায়শই প্রোগ্রামাররা ব্যবহার করে। গণিতে, যদি পুরো অংশ না থাকে, তবে তারা এর পরিবর্তে শূন্য রাখে।

আপনাকে তিনটি অবস্থান দ্বারা বাম দিকে যেতে হবে, তবে কেবল দুটি অবস্থান রয়েছে। যদি আপনি সংখ্যার সামনে বেশ কয়েকটি জিরো লিখেন, তবে এটি সমমানের রেকর্ড হবে।

এটি হ'ল, বামে স্থানান্তরিত করার সময়, সংখ্যাগুলি শেষ হয়ে গেলে, আপনাকে সেগুলি শূন্যে পূরণ করতে হবে।

এই ক্ষেত্রে, মনে রাখবেন যে কমা সর্বদা পুরো অংশের পরে আসে। তারপরে:

0.1, 0.01, 0.001 দ্বারা গুণ এবং বিভাগ

10, 100, 1000 সংখ্যা দ্বারা গুণ এবং বিভাগ একটি খুব সহজ পদ্ধতি। 0.1, 0.01, 0.001 সংখ্যাগুলির সাথে পরিস্থিতি হুবহু একই।

উদাহরণ... ০.২ দ্বারা 25.34 গুণ করুন।

আসুন দশমিক ভগ্নাংশ 0.1 লিখুন একটি সাধারণ হিসাবে। তবে 10 দিয়ে ভাগ করার সমান হ'ল অতএব, আপনাকে কমা 1 অবস্থানটি বামে স্থানান্তর করতে হবে:

একইভাবে, 0.01 দ্বারা গুণ করা 100 দ্বারা ভাগ করা হয়:

উদাহরণ। 0.1 দ্বারা বিভক্ত 5.235।

এই উদাহরণটির সমাধানটি একইভাবে নির্মিত হয়েছে: 0.1 একটি সাধারণ ভগ্নাংশ হিসাবে প্রকাশ করা হয় এবং এর দ্বারা বিভাজনটি 10 \u200b\u200bদ্বারা গুণ করার সমান হয়:

এটি হল, 0.1 দ্বারা ভাগ করতে, আপনাকে কমাটি ডান এক অবস্থানে স্থানান্তর করতে হবে, যা 10 দ্বারা গুণনের সমান।

0.1, 0.01, 0.001 দ্বারা গুণ ও বিভাগের নিয়ম division

10 দ্বারা গুণ করা এবং 0.1 দ্বারা ভাগ করা একই জিনিস। কমাটি 1 পজিশনে ডানদিকে স্থানান্তর করতে হবে।

10 দ্বারা ভাগ এবং 0.1 দ্বারা গুণিত একই জিনিস। কমাটি 1 পজিশনে ডানদিকে স্থানান্তর করতে হবে:

সমাধান উদাহরণ

উপসংহার

এই পাঠে, 10, 100 এবং 1000 দ্বারা বিভাজন এবং গুণনের নিয়মগুলি অধ্যয়ন করা হয়েছিল।এছাড়াও, 0.1, 0.01, 0.001 দ্বারা গুণ এবং বিভাগের বিধিগুলি বিবেচনা করা হয়েছিল।

এই বিধি প্রয়োগের উদাহরণগুলি পর্যালোচনা করে সমাধান করা হয়েছে।

গ্রন্থাগার

1. ভিলেনকিন এন.ই.এ. গণিত: পাঠ্যপুস্তক 5 সিএল জন্য। সাধারণ uchr। 17 তম সংস্করণ। - এম .: মেনেমোসিনা, 2005

2. শেভকিন এ.ভি. গণিতে শব্দের সমস্যা: 5-6। - এম .: ইলেকসা, 2011।

3. এরশোভা এ.পি., গোলোবোরোডকো ভি.ভি. স্বতন্ত্র এবং পরীক্ষার কাগজগুলিতে সমস্ত স্কুল গণিত। গণিত ৫-6। - এম .: ইলেকসা, 2006

৪. খ্লেভন্যুক এনএন, ইভানোভা এমভি .. গণিত পাঠের ক্ষেত্রে গণনা দক্ষতার গঠন। 5-9 গ্রেড। - এম .: ইলেকসা, 2011 .

১. ইন্টারনেট পোর্টাল "উত্সাহের উত্সব" (উত্স)

2. ইন্টারনেট পোর্টাল "মেটেম্যাটিকা-na.ru" (উত্স)

৩. ইন্টারনেট পোর্টাল "School.xvatit.com" (উত্স)

বাড়ির কাজ

3. এক্সপ্রেশন এর মান তুলনা করুন:

শূন্য সহ ক্রিয়াগুলি

গণিতে, সংখ্যা শূন্য একটি বিশেষ জায়গা দখল করে। আসল সত্যটি হ'ল এটি, আসলে এর অর্থ "কিছুই নয়", "শূন্যতা", তবে এর অর্থটিকে বোঝানো সত্যই কঠিন। এটি করার জন্য, কমপক্ষে ঠিক কী দিয়ে তা মনে রাখা যথেষ্ট শূন্য চিহ্নএবং যে কোনও সমন্বয় ব্যবস্থাতে পয়েন্টের অবস্থানের স্থানাঙ্কগুলি গণনা শুরু করে।

শূন্য দশমিক বিন্দুর আগে এবং পরে উভয় অবস্থিত "খালি" অঙ্কগুলির মান সংজ্ঞায়িত করতে এটি দশমিক ভগ্নাংশে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়। তদুপরি, এটি তাঁর সাথেই অঙ্কের গায়ে মৌলিক নিয়মগুলির একটির সাথে জড়িত, যা উল্লেখ করে শূন্য ভাগ করা যায় না। এর যুক্তি, আসলে এই সংখ্যার মূল অংশ থেকে উদ্ভূত: প্রকৃতপক্ষে, এটি কল্পনা করা অসম্ভব যে এর কিছু অর্থ এর থেকে আলাদা (এবং এটি নিজেও) "কিছুই না" বিভক্ত ছিল।

থেকে শূন্য সমস্ত গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ পরিচালিত হয় এবং এর মধ্যে তার "অংশীদার" হিসাবে পুরো সংখ্যা, সাধারণ এবং দশমিক ভগ্নাংশ ব্যবহার করা যেতে পারে এবং তাদের সকলেরই ইতিবাচক এবং নেতিবাচক মান উভয়ই হতে পারে। এখানে তাদের বাস্তবায়নের উদাহরণ এবং তাদের জন্য কিছু ব্যাখ্যা রয়েছে।

যুক্ত করার সময় স্ক্র্যাচ কিছু সংখ্যক (পুরো এবং ভগ্নাংশ উভয় ধনাত্মক এবং নেতিবাচক) এর মান একেবারেই অপরিবর্তিত থাকে।

চব্বিশটি প্লাস শূন্য চব্বিশের সমান।

সতেরো পয়েন্ট তিনটি অষ্টম প্লাস শূন্য সতেরো পয়েন্ট তিনটি অষ্টম সমান।

• করের ঘোষণার ফর্মগুলি আমরা সকল ধরণের কর এবং ফিগুলির জন্য ঘোষণার ফর্মগুলি আপনার নজরে এনেছি: ১. আয়কর। মনোযোগ দিন, ১০.০২.২০১ from তারিখ থেকে, আয়কর প্রতিবেদনটি ৩০.১২.২.২০১১.২০১venue তারিখের রাজস্ব মন্ত্রণালয়ের নং ৮72২ এর আদেশ অনুসারে অনুমোদিত ঘোষণার নতুন নমুনাগুলি অনুসারে জমা দেওয়া হবে। 1. উপর ট্যাক্সের জন্য ট্যাক্স রিটার্ন [...]
• স্কোয়ারের যোগফলের স্কোয়ার ডিফারেন্স রুলের উদ্দেশ্য: যোগফলের যোগফল এবং পার্থক্যটিকে স্কোয়ার করার সূত্রগুলি সংগ্রহ করা। প্রত্যাশিত ফলাফল: যোগফলের বর্গ এবং পার্থক্যের বর্গের সূত্রগুলি ব্যবহার করতে শিখুন। পাঠের ধরণ: সমস্যা বিবৃতি পাঠ। I. পাঠের বিষয় এবং উদ্দেশ্য সম্পর্কিত যোগাযোগ II। গুণ করার সময় পাঠের বিষয়টিতে কাজ করুন [...]
• অপ্রাপ্তবয়স্ক শিশুদের সাথে অ্যাপার্টমেন্টের বেসরকারীকরণ এবং শিশুবিহীন বেসরকারীকরণের মধ্যে পার্থক্য কী? তাদের অংশগ্রহণের বৈশিষ্ট্যগুলি, নথিগুলি যে কোনও রিয়েল এস্টেট লেনদেনের ক্ষেত্রে অংশগ্রহণকারীদের নিবিড় মনোযোগ প্রয়োজন। বিশেষত যদি আপনি নাবালিক শিশুদের সাথে অ্যাপার্টমেন্টকে বেসরকারী করার পরিকল্পনা করেন। এটি বৈধ হিসাবে স্বীকৃত হওয়ার জন্য, এবং [...]
• 14 বছরের কম বয়সী বাচ্চার জন্য পুরানো স্টাইলের পাসপোর্টের জন্য রাষ্ট্রীয় শুল্কের আকার এবং কোথায় এটি প্রদান করতে হবে any কোনও পরিষেবা পাওয়ার জন্য রাষ্ট্রীয় সংস্থার সাথে যোগাযোগ করা সর্বদা রাষ্ট্রীয় শুল্ক প্রদানের সাথে থাকে। একটি বিদেশী পাসপোর্ট পেতে, আপনাকে একটি ফেডারাল ফিও দিতে হবে। আকার কত? [...]
• 45 বছর বয়সী পাসপোর্ট প্রতিস্থাপনের জন্য কীভাবে একটি আবেদন ফর্ম পূরণ করবেন রাশিয়ানদের পাসপোর্টগুলি বয়স চিহ্নে পৌঁছানোর পরে প্রতিস্থাপন করতে হবে - 20 বা 45 বছর। একটি সরকারী সেবা গ্রহণের জন্য, আপনাকে অবশ্যই প্রতিষ্ঠিত ফর্মটিতে একটি আবেদন জমা দিতে হবে, প্রয়োজনীয় নথিগুলি সংযুক্ত করতে হবে এবং রাষ্ট্রের জন্য অর্থ প্রদান করতে হবে [...]
• অ্যাপার্টমেন্টে অংশ নেওয়ার জন্য কীভাবে এবং কোথায় অনুদান দেওয়ার বিষয়টি অনেক নাগরিককে ভাগ্য মালিকানাতে রিয়েল এস্টেটের অনুদান হিসাবে এই জাতীয় আইনি প্রক্রিয়ার মুখোমুখি হন। অ্যাপার্টমেন্টে সঠিকভাবে কোনও অংশের জন্য অনুদান কীভাবে দিতে হয় সে সম্পর্কে অনেক তথ্য রয়েছে এবং এটি সর্বদা নির্ভরযোগ্য নয় not শুরু করার আগে, [...]