არითმეტიკული ოპერაცია, რომელიც ბოლო შესრულებულია გამოხატვის მნიშვნელობის გამოთვლისას არის "მთავარი".

ანუ, თუ თქვენ ჩაანაცვლებთ რამდენიმე (ნებისმიერ) რიცხვს ასოების ნაცვლად და ცდილობთ გამოთვალოთ გამოხატვის მნიშვნელობა, მაშინ თუ ბოლო მოქმედება არის გამრავლება, მაშინ გვაქვს ნამრავლი (გამოხატვა იშლება ფაქტორებად).

თუ ბოლო მოქმედება არის შეკრება ან გამოკლება, ეს ნიშნავს, რომ გამოხატულება არ არის ფაქტორირებული (და, შესაბამისად, შეუძლებელია მისი შემცირება).

საკუთარი თავის გამოსასწორებლად, რამდენიმე მაგალითი:

მაგალითები:

გადაწყვეტილებები:

1. იმედია მაშინვე არ იჩქარეთ მოჭრა და? ჯერ კიდევ არ იყო საკმარისი ასეთი ერთეულების "შემცირება":

პირველი ნაბიჯი უნდა იყოს ფაქტორიზაცია:

4. წილადების შეკრება და გამოკლება. წილადების მიყვანა საერთო მნიშვნელთან.

ჩვეულებრივი წილადების შეკრება და გამოკლება ცნობილი ოპერაციაა: ჩვენ ვეძებთ საერთო მნიშვნელს, ვამრავლებთ თითოეულ წილადს გამოტოვებულ კოეფიციენტზე და ვამატებთ/გამოკლებთ მრიცხველებს.

გავიხსენოთ:

პასუხები:

1. მნიშვნელები და არიან თანაპირველი, ანუ არ აქვთ საერთო ფაქტორები. ამრიგად, ამ რიცხვების LCM უდრის მათ ნამრავლს. ეს იქნება საერთო მნიშვნელი:

2. აქ საერთო მნიშვნელია:

3. აქ, უპირველეს ყოვლისა, შერეულ წილადებს ვაქცევთ არასწორად, შემდეგ კი - ჩვეულებრივი სქემის მიხედვით:

სულ სხვა საკითხია, თუ წილადები შეიცავს ასოებს, მაგალითად:

დავიწყოთ მარტივი:

ა) მნიშვნელები არ შეიცავს ასოებს

აქ ყველაფერი იგივეა, რაც ჩვეულებრივ ციფრულ წილადებში: ჩვენ ვპოულობთ საერთო მნიშვნელს, ვამრავლებთ თითოეულ წილადს გამოტოვებულ ფაქტორზე და ვამატებთ / ვაკლებთ მრიცხველებს:

ახლა მრიცხველში შეგიძლიათ მოიტანოთ მსგავსები, ასეთის არსებობის შემთხვევაში, და შეაფასოთ ისინი:

თავად სცადე:

პასუხები:

ბ) მნიშვნელები შეიცავს ასოებს

გავიხსენოთ ასოების გარეშე საერთო მნიშვნელის პოვნის პრინციპი:

პირველ რიგში განვსაზღვრავთ საერთო ფაქტორებს;

შემდეგ ერთხელ ვწერთ ყველა საერთო ფაქტორს;

და გავამრავლოთ ისინი ყველა სხვა ფაქტორზე და არა ჩვეულებრივზე.

მნიშვნელების საერთო ფაქტორების დასადგენად, ჩვენ პირველ რიგში ვყოფთ მათ მარტივ ფაქტორებად:

ჩვენ ხაზს ვუსვამთ საერთო ფაქტორებს:

ახლა ჩვენ ერთხელ ვწერთ საერთო ფაქტორებს და ვუმატებთ მათ ყველა არაჩვეულებრივ (ხაზგასმული) ფაქტორებს:

ეს არის საერთო მნიშვნელი.

დავუბრუნდეთ წერილებს. მნიშვნელები მოცემულია ზუსტად იგივე გზით:

მნიშვნელებს ვანაწილებთ ფაქტორებად;

საერთო (იდენტური) მამრავლების განსაზღვრა;

ერთხელ ჩამოწერეთ ყველა საერთო ფაქტორი;

ჩვენ მათ ვამრავლებთ ყველა სხვა ფაქტორზე და არა ჩვეულებრივზე.

ასე რომ, თანმიმდევრობით:

1) დაშალეთ მნიშვნელები ფაქტორებად:

2) განსაზღვრეთ საერთო (იდენტური) ფაქტორები:

3) ერთხელ ჩამოწერეთ ყველა საერთო ფაქტორი და გაამრავლეთ ყველა სხვა (ხაზგასმული) ფაქტორებზე:

ასე რომ, საერთო მნიშვნელი აქ არის. პირველი წილადი უნდა გავამრავლოთ, მეორე - -ზე:

სხვათა შორის, არის ერთი ხრიკი:

Მაგალითად: .

ჩვენ ვხედავთ იგივე ფაქტორებს მნიშვნელებში, მხოლოდ ყველა განსხვავებული მაჩვენებლით. საერთო მნიშვნელი იქნება:

რამდენადაც

რამდენადაც

რამდენადაც

ხარისხით.

მოდით გავართულოთ დავალება:

როგორ გავაკეთო წილადებს ერთი და იგივე მნიშვნელი?

გავიხსენოთ წილადის ძირითადი თვისება:

არსად არ არის ნათქვამი, რომ ერთი და იგივე რიცხვი შეიძლება გამოკლდეს (ან დაემატოს) წილადის მრიცხველს და მნიშვნელს. იმიტომ რომ სიმართლე არ არის!

იხილეთ თქვენთვის: აიღეთ ნებისმიერი წილადი, მაგალითად, და დაამატეთ მრიცხველს და მნიშვნელს, მაგალითად, . რა ისწავლეს?

ასე რომ, კიდევ ერთი ურყევი წესი:

როცა წილადებს მიიყვანთ საერთო მნიშვნელთან, გამოიყენეთ მხოლოდ გამრავლების ოპერაცია!

მაგრამ რა გჭირდებათ გასამრავლებლად მისაღებად?

აქ და გაამრავლე. და გავამრავლოთ:

გამონათქვამებს, რომელთა ფაქტორიზაცია შეუძლებელია, ეწოდება "ელემენტარული ფაქტორები".

მაგალითად, ელემენტარული ფაქტორია. - იგივე. მაგრამ - არა: ის იშლება ფაქტორებად.

რაც შეეხება გამოხატვას? ელემენტარულია?

არა, რადგან ის შეიძლება იყოს ფაქტორიზებული:

(ფაქტორიზაციის შესახებ უკვე წაიკითხეთ თემაში "").

ასე რომ, ელემენტარული ფაქტორები, რომლებშიც თქვენ ანაწილებთ გამოხატვას ასოებით, არის იმ მარტივი ფაქტორების ანალოგი, რომლებშიც თქვენ ანაწილებთ რიცხვებს. და ჩვენც იგივეს გავაკეთებთ მათთან ერთად.

ჩვენ ვხედავთ, რომ ორივე მნიშვნელს აქვს ფაქტორი. ძალაუფლებაში საერთო მნიშვნელზე წავა (გახსოვს რატომ?).

მულტიპლიკატორი ელემენტარულია და მათ არ აქვთ საერთო, რაც ნიშნავს, რომ პირველი წილადი უბრალოდ უნდა გამრავლდეს მასზე:

Სხვა მაგალითი:

გამოსავალი:

სანამ ამ მნიშვნელებს პანიკაში გაამრავლებთ, უნდა იფიქროთ, როგორ მოახდინო მათი ფაქტორი? ორივე მათგანი წარმოადგენს:

დიდი! შემდეგ:

Სხვა მაგალითი:

გამოსავალი:

ჩვეულებისამებრ, ჩვენ ვანაწილებთ მნიშვნელებს. პირველ მნიშვნელში უბრალოდ ფრჩხილებიდან გამოვყავით; მეორეში - კვადრატების სხვაობა:

როგორც ჩანს, საერთო ფაქტორები არ არსებობს. მაგრამ თუ კარგად დააკვირდებით, ისინი უკვე ძალიან ჰგვანან... და სიმართლე ისაა:

ასე რომ დავწეროთ:

ანუ ასე გამოვიდა: ფრჩხილის შიგნით გავცვალეთ ტერმინები და ამავდროულად, წილადის წინ ნიშანი პირიქით შეიცვალა. გაითვალისწინეთ, ამის გაკეთება ხშირად მოგიწევთ.

ახლა ჩვენ მივყავართ საერთო მნიშვნელთან:

Გავიგე? ახლა შევამოწმოთ.

ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:

პასუხები:

აქ კიდევ ერთი რამ უნდა გვახსოვდეს - კუბების განსხვავება:

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ მეორე წილადის მნიშვნელი არ შეიცავს ფორმულას "ჯამის კვადრატი"! ჯამის კვადრატი ასე გამოიყურება:

A არის ჯამის ეგრეთ წოდებული არასრული კვადრატი: მასში მეორე წევრი არის პირველი და ბოლო ნამრავლი და არა მათი გაორმაგებული ნამრავლი. ჯამის არასრული კვადრატი კუბების სხვაობის გაფართოების ერთ-ერთი ფაქტორია:

რა მოხდება, თუ უკვე არის სამი წილადი?

დიახ, იგივე! უპირველეს ყოვლისა, ჩვენ დავრწმუნდებით, რომ მნიშვნელებში ფაქტორების მაქსიმალური რაოდენობა იგივეა:

ყურადღება მიაქციეთ: თუ თქვენ შეცვლით ნიშნებს ერთი ფრჩხილის შიგნით, ნიშანი წილადის წინ იცვლება საპირისპიროდ. როდესაც ვცვლით ნიშნებს მეორე ფრჩხილში, წილადის წინ ნიშანი ისევ უკუღმა ხდება. შედეგად, ის (ნიშანი წილადის წინ) არ შეცვლილა.

პირველ მნიშვნელს სრულად ვწერთ საერთო მნიშვნელში, შემდეგ კი მას ვამატებთ ყველა იმ ფაქტორს, რომელიც ჯერ არ არის დაწერილი, მეორედან, შემდეგ კი მესამედან (და ასე შემდეგ, თუ მეტი წილადია). ანუ ასე მიდის:

ჰმ... წილადებით, გასაგებია, რა უნდა გააკეთოს. მაგრამ რაც შეეხება ორს?

ეს მარტივია: თქვენ იცით, როგორ დაამატოთ წილადები, არა? ასე რომ, თქვენ უნდა დარწმუნდეთ, რომ დეუზა ხდება წილადი! გახსოვდეთ: წილადი არის გაყოფის ოპერაცია (მრიცხველი იყოფა მნიშვნელზე, თუ მოულოდნელად დაგავიწყდათ). და არაფერია უფრო ადვილი ვიდრე რიცხვის გაყოფა. ამ შემთხვევაში, თავად რიცხვი არ შეიცვლება, მაგრამ გადაიქცევა წილადად:

ზუსტად ის, რაც საჭიროა!

5. წილადების გამრავლება და გაყოფა.

ისე, უმძიმესი ნაწილი ახლა დასრულდა. და ჩვენ წინ არის ყველაზე მარტივი, მაგრამ ამავე დროს ყველაზე მნიშვნელოვანი:

Პროცედურა

როგორია რიცხვითი გამოხატვის გამოთვლის პროცედურა? გახსოვდეთ, გაითვალისწინეთ ასეთი გამონათქვამის მნიშვნელობა:

დაითვალეთ?

უნდა იმუშაოს.

ასე რომ, შეგახსენებთ.

პირველი ნაბიჯი არის ხარისხის გამოთვლა.

მეორე არის გამრავლება და გაყოფა. თუ ერთდროულად არის რამდენიმე გამრავლება და გაყოფა, შეგიძლიათ გააკეთოთ ისინი ნებისმიერი თანმიმდევრობით.

და ბოლოს, ვასრულებთ შეკრებას და გამოკლებას. ისევ, ნებისმიერი თანმიმდევრობით.

მაგრამ: ფრჩხილებში გამოსახული გამოხატულება შეფასებულია უწესრიგოდ!

თუ რამდენიმე ფრჩხილები გამრავლებულია ან იყოფა ერთმანეთზე, ჯერ ვაფასებთ გამონათქვამს თითოეულ ფრჩხილში და შემდეგ ვამრავლებთ ან ვყოფთ.

რა მოხდება, თუ ფრჩხილებში არის სხვა ფრჩხილები? კარგი, დავფიქრდეთ: ფრჩხილებში რაღაც გამოთქმა წერია. რა არის პირველი, რაც უნდა გააკეთოთ გამოხატვის შეფასებისას? მართალია, გამოთვალეთ ფრჩხილები. კარგად, ჩვენ გავარკვიეთ: ჯერ ვიანგარიშებთ შიდა ფრჩხილებს, შემდეგ ყველაფერს.

ასე რომ, ზემოთ მოცემული გამოხატვის მოქმედებების თანმიმდევრობა ასეთია (მიმდინარე მოქმედება მონიშნულია წითლად, ანუ ის მოქმედება, რომელსაც ახლა ვასრულებ):

კარგი, ეს ყველაფერი მარტივია.

მაგრამ ეს არ არის იგივე, რაც ასოებით გამოხატვა, არა?

არა, იგივეა! მხოლოდ არითმეტიკული ოპერაციების ნაცვლად საჭიროა ალგებრული მოქმედებების შესრულება, ანუ წინა ნაწილში აღწერილი ოპერაციები: მსგავსის მოტანა, წილადების შეკრება, წილადების შემცირება და ა.შ. ერთადერთი განსხვავება იქნება მრავალწევრების ფაქტორინგის მოქმედება (ხშირად ვიყენებთ წილადებთან მუშაობისას). ყველაზე ხშირად, ფაქტორიზაციისთვის, თქვენ უნდა გამოიყენოთ i ან უბრალოდ ამოიღოთ საერთო ფაქტორი ფრჩხილებიდან.

როგორც წესი, ჩვენი მიზანია გამოვხატოთ გამოხატულება, როგორც პროდუქტი ან კოეფიციენტი.

Მაგალითად:

მოდით გავამარტივოთ გამოთქმა.

1) ჯერ ვამარტივებთ ფრჩხილებში გამოსახულებას. აქ გვაქვს წილადების სხვაობა და ჩვენი მიზანია წარმოვაჩინოთ იგი ნამრავლის ან კოეფიციენტის სახით. ასე რომ, ჩვენ მივყავართ წილადებს საერთო მნიშვნელთან და ვამატებთ:

ამ გამოთქმის შემდგომი გამარტივება შეუძლებელია, აქ ყველა ფაქტორი ელემენტარულია (ჯერ კიდევ გახსოვთ რას ნიშნავს ეს?).

2) ჩვენ ვიღებთ:

წილადების გამრავლება: რა შეიძლება იყოს უფრო ადვილი.

3) ახლა შეგიძლიათ შეამციროთ:

კარგი, ახლა ყველაფერი დასრულდა. არაფერი რთული, არა?

Სხვა მაგალითი:

გამოხატვის გამარტივება.

ჯერ შეეცადეთ თავად მოაგვაროთ ეს და მხოლოდ ამის შემდეგ შეხედეთ გამოსავალს.

გამოსავალი:

პირველ რიგში განვსაზღვროთ პროცედურა.

ჯერ ფრჩხილებში დავამატოთ წილადები, ორი წილადის ნაცვლად ერთი გამოვა.

შემდეგ ჩვენ გავაკეთებთ წილადების დაყოფას. კარგად, ჩვენ ვამატებთ შედეგს ბოლო წილადით.

სქემატურად ჩამოვთვლი ნაბიჯებს:

ახლა მე გაჩვენებთ მთელ პროცესს, მიმდინარე მოქმედებას წითლად ვღებავ:

1. მსგავსების არსებობის შემთხვევაში დაუყოვნებლივ უნდა მოიყვანონ. რომელ მომენტშიც არ უნდა გვქონდეს მსგავსი, მიზანშეწონილია დაუყოვნებლივ მოვიტანოთ ისინი.

2. იგივე ეხება წილადების შემცირებას: როგორც კი გაჩნდება შემცირების შესაძლებლობა, ის უნდა იქნას გამოყენებული. გამონაკლისი არის წილადები, რომლებსაც დაამატებთ ან აკლებთ: თუ მათ ახლა აქვთ იგივე მნიშვნელები, მაშინ შემცირება უნდა დატოვოთ მოგვიანებით.

აქ მოცემულია რამდენიმე დავალება, რომლითაც თქვენ დამოუკიდებლად გადაჭრით:

და დაპირდა თავიდანვე:

პასუხები:

გადაწყვეტილებები (მოკლე):

თუ თქვენ გაუმკლავდით მინიმუმ პირველ სამ მაგალითს, მაშინ გაითვალისწინეთ, რომ აითვისეთ თემა.

ახლა გადადით სწავლაზე!

გამოხატვის კონვერტაცია. შემაჯამებელი და ძირითადი ფორმულა

ძირითადი გამარტივების ოპერაციები:

• მსგავსის მოტანა: მსგავსი ტერმინების დასამატებლად (შემცირებისთვის) საჭიროა მათი კოეფიციენტების დამატება და ასოს ნაწილის მინიჭება.
• ფაქტორიზაცია:საერთო ფაქტორის ფრჩხილებიდან ამოღება, გამოყენება და ა.შ.
• ფრაქციების შემცირება: წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი შეიძლება გავამრავლოთ ან გავყოთ ერთი და იგივე არანულოვანი რიცხვით, საიდანაც წილადის მნიშვნელობა არ იცვლება.
  1) მრიცხველი და მნიშვნელი ფაქტორიზირება
  2) თუ არის საერთო ფაქტორები მრიცხველსა და მნიშვნელში, მათი გადაკვეთა შესაძლებელია.

  მნიშვნელოვანია: მხოლოდ მულტიპლიკატორები შეიძლება შემცირდეს!

• წილადების შეკრება და გამოკლება:
  ;
• წილადების გამრავლება და გაყოფა:
  ;

a (m/n) ფორმის გამოხატულება, სადაც n არის რაღაც ნატურალური რიცხვი, m არის რაღაც მთელი რიცხვი და a ხარისხის საფუძველი ნულზე მეტია, ეწოდება ხარისხი წილადის მაჩვენებლით.უფრო მეტიც, შემდეგი თანასწორობა მართალია. n√(a m) = a (m/n) .

როგორც უკვე ვიცით, m/n ფორმის რიცხვებს, სადაც n არის რაღაც ნატურალური რიცხვი და m არის რაღაც მთელი რიცხვი, წილადი ან რაციონალური რიცხვები ეწოდება. ზემოაღნიშნულიდან მივიღებთ, რომ ხარისხი განსაზღვრულია ნებისმიერი რაციონალური მაჩვენებლისთვის და ხარისხის ნებისმიერი დადებითი ფუძისთვის.

ნებისმიერი რაციონალური რიცხვისთვის p,q და ნებისმიერი a>0 და b>0, შემდეგი ტოლობები მართალია:

• 1. (a p)*(a q) = a (p+q)
• 2. (a p): (b q) = a (p-q)
• 3. (a p) q = a (p*q)
• 4. (a*b) p = (a p)*(b p)
• 5. (a/b) p = (a p)/(b p)

ეს თვისებები ფართოდ გამოიყენება სხვადასხვა გამონათქვამების კონვერტაციისას, რომლებიც შეიცავს ხარისხს წილადის მაჩვენებლებით.

წილადის მაჩვენებლით ხარისხის შემცველი გამონათქვამების გარდაქმნების მაგალითები

მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს, რომლებიც აჩვენებენ, თუ როგორ შეიძლება ამ თვისებების გამოყენება გამონათქვამების გარდაქმნისთვის.

1. გამოთვალეთ 7 (1/4) * 7 (3/4) .

• 7 (1/4) * 7 (3/4) = z (1/4 + 3/4) = 7.

2. გამოთვალეთ 9 (2/3) : 9 (1/6) .

• 9 (2/3) : 9 (1/6) = 9 (2/3 - 1/6) = 9 (1/2) = √9 = 3.

3. გამოთვალეთ (16 (1/3)) (9/4) .

• (16 (1/3)) (9/4) = 16 ((1/3)*(9/4)) =16 (3/4) = (2 4) (3/4) = 2 (4*3/4) = 2 3 = 8.

4. გამოთვალეთ 24 (2/3) .

• 24 (2/3) = ((2 3)*3) (2/3) = (2 (2*2/3))*3 (2/3) = 4*3√(3 2)=4*3√9.

5. გამოთვალეთ (8/27) (1/3) .

• (8/27) (1/3) = (8 (1/3))/(27 (1/3)) = ((2 3) (1/3))/((3 3) (1/3))= 2/3.

6. გაამარტივე გამოთქმა ((a (4/3))*b + a*b (4/3))/(3√a + 3√b)

• ((a (4/3))*b + a*b (4/3))/(3√a + 3√b) = (a*b*(a (1/3) + b (1/3 )))/(1/3) + b (1/3)) = a*b.

7. გამოთვალეთ (25 (1/5))*(125 (1/5)).

• (25 (1/5))*(125 (1/5)) =(25*125) (1/5) = (5 5) (1/5) = 5.

8. გამოთქმის გამარტივება

• (a (1/3) - a (7/3))/(a (1/3) - a (4/3)) - (a (-1/3) - a (5/3))/( a(2/3) + a(-1/3)).
• (a (1/3) - a (7/3))/(a (1/3) - a (4/3)) - (a (-1/3) - a (5/3))/( a(2/3) + a(-1/3)) =
• = ((ა (1/3))*(1-ა 2))/((ა (1/3))*(1-ა)) - ((ა (-1/3))*(1- a 2))/ ((a (-1/3))*(1+a)) =
• = 1 + a - (1-a) = 2*a.

როგორც ხედავთ, ამ თვისებების გამოყენებით, შეგიძლიათ მნიშვნელოვნად გაამარტივოთ ზოგიერთი გამონათქვამი, რომელიც შეიცავს ხარისხებს წილადის მაჩვენებლებით.

მოდით განვიხილოთ გამონათქვამების ძალაუფლებით გარდაქმნის თემა, მაგრამ პირველ რიგში ვისაუბრებთ ტრანსფორმაციის რიგზე, რომლებიც შეიძლება განხორციელდეს ნებისმიერი გამონათქვამით, მათ შორის ძალაუფლებით. ჩვენ ვისწავლით როგორ გავხსნათ ფრჩხილები, მივცეთ მსგავსი ტერმინები, ვიმუშაოთ ფუძესთან და მაჩვენებელთან, გამოვიყენოთ ძალაუფლების თვისებები.

რა არის ძალის გამონათქვამები?

სასკოლო კურსში ცოტა ადამიანი იყენებს ფრაზას „ძალაუფლების გამონათქვამები“, მაგრამ ეს ტერმინი მუდმივად გვხვდება გამოცდისთვის მომზადების კრებულებში. უმეტეს შემთხვევაში, ფრაზა აღნიშნავს გამონათქვამებს, რომლებიც შეიცავს ხარისხს მათ ჩანაწერებში. ეს არის ის, რაც ჩვენ ასახავს ჩვენს განმარტებას.

განმარტება 1

ძალის გამოხატვაარის გამოხატულება, რომელიც შეიცავს უფლებამოსილებებს.

ჩვენ ვაძლევთ ძალის გამოხატვის რამდენიმე მაგალითს, დაწყებული ხარისხით ბუნებრივი მაჩვენებლით და დამთავრებული ხარისხით რეალური მაჩვენებლით.

უმარტივესი სიმძლავრის გამონათქვამები შეიძლება ჩაითვალოს ბუნებრივი მაჩვენებლის მქონე რიცხვის სიმძლავრეებად: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 a 2 − a + a 2 , x 3 − 1 , (a 2) 3 . ისევე როგორც სიმძლავრეები ნულოვანი მაჩვენებლით: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . და უარყოფითი მთელი რიცხვების მქონე ხარისხები: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .

ცოტა უფრო რთულია იმ ხარისხთან მუშაობა, რომელსაც აქვს რაციონალური და ირაციონალური მაჩვენებლები: 264 1 4 - 3 3 3 1 2 , 2 3 , 5 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

ინდიკატორი შეიძლება იყოს ცვლადი 3 x - 54 - 7 3 x - 58 ან ლოგარითმი x 2 l g x − 5 x l g x.

ჩვენ განვიხილეთ საკითხი, რა არის ძალაუფლების გამოხატულება. ახლა მოდით გადავცვალოთ ისინი.

ძალაუფლების გამონათქვამების გარდაქმნების ძირითადი ტიპები

უპირველეს ყოვლისა, განვიხილავთ გამონათქვამების იდენტობის ძირითად გარდაქმნებს, რომლებიც შეიძლება შესრულდეს ძალაუფლების გამონათქვამებით.

მაგალითი 1

გამოთვალეთ სიმძლავრის გამოხატვის მნიშვნელობა 2 3 (4 2 − 12).

გამოსავალი

ჩვენ განვახორციელებთ ყველა ტრანსფორმაციას მოქმედებების თანმიმდევრობის დაცვით. ამ შემთხვევაში დავიწყებთ მოქმედებების შესრულებით ფრჩხილებში: ხარისხს ჩავცვლით ციფრული მნიშვნელობით და გამოვთვლით განსხვავებას ორ რიცხვს შორის. Ჩვენ გვაქვს 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

ჩვენთვის რჩება ხარისხის შეცვლა 2 3 მისი მნიშვნელობა 8 და გამოთვალეთ პროდუქტი 8 4 = 32. აქ არის ჩვენი პასუხი.

პასუხი: 2 3 (4 2 − 12) = 32 .

მაგალითი 2

გამოხატვის გამარტივება ძალებით 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.

გამოსავალი

პრობლემის პირობით ჩვენთვის მოცემული გამოთქმა შეიცავს მსგავს ტერმინებს, რომლებიც შეგვიძლია მოვიტანოთ: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.

პასუხი: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1 .

მაგალითი 3

გამოხატეთ გამონათქვამი ხარისხებით 9 - b 3 · π - 1 2 როგორც ნამრავლი.

გამოსავალი

გამოვსახოთ რიცხვი 9, როგორც ძალა 3 2 და გამოიყენეთ შემოკლებული გამრავლების ფორმულა:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

პასუხი: 9 - b 3 π - 1 2 = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1.

ახლა კი გადავიდეთ იდენტური გარდაქმნების ანალიზზე, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტულად ძალაუფლების გამონათქვამებზე.

ბაზისთან და ექსპონენტთან მუშაობა

ფუძის ან მაჩვენებლის ხარისხს შეიძლება ჰქონდეს რიცხვები, ცვლადები და ზოგიერთი გამონათქვამი. Მაგალითად, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7და . ასეთ ჩანაწერებთან მუშაობა რთულია. ბევრად უფრო ადვილია შეცვალოს გამოხატულება ხარისხის ფუძეში ან გამოხატულება გამოხატულებაში იდენტური თანაბარი გამოსახულებით.

ხარისხისა და ინდიკატორის გარდაქმნები ხორციელდება ჩვენთვის ერთმანეთისგან დამოუკიდებლად ცნობილი წესებით. ყველაზე მნიშვნელოვანი ის არის, რომ გარდაქმნების შედეგად მიიღება გამონათქვამი, რომელიც ორიგინალის იდენტურია.

გარდაქმნების მიზანია ორიგინალური გამოხატვის გამარტივება ან პრობლემის გადაჭრის მოპოვება. მაგალითად, ზემოთ მოყვანილ მაგალითში (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 შეგიძლიათ შეასრულოთ ოპერაციები ხარისხამდე მისასვლელად 4 , 1 1 , 3 . ფრჩხილების გახსნით, ჩვენ შეგვიძლია მივიღოთ მსგავსი ტერმინები ხარისხის საფუძველში (a (a + 1) − a 2) 2 (x + 1)და მიიღეთ უფრო მარტივი ფორმის ძალის გამოხატვა a 2 (x + 1).

დენის თვისებების გამოყენება

გრადუსების თვისებები, დაწერილი ტოლობის სახით, არის ერთ-ერთი მთავარი ინსტრუმენტი გრადუსით გამოხატვის გარდაქმნისთვის. აქვე წარმოგიდგენთ მთავარებს ამის გათვალისწინებით ადა ბარის ნებისმიერი დადებითი რიცხვი და რდა ს- თვითნებური რეალური რიცხვები:

განმარტება 2

• a r a s = a r + s;
• a r: a s = a r − s;
• (ა ბ) r = a r b r;
• (ა: ბ) რ = ა რ: ბ რ;
• (a r) s = a r s .

იმ შემთხვევებში, როდესაც საქმე გვაქვს ბუნებრივ, მთელ რიცხვებთან, დადებით მაჩვენებლებთან, შეზღუდვები a და b რიცხვებზე შეიძლება იყოს გაცილებით ნაკლებად მკაცრი. ასე, მაგალითად, თუ გავითვალისწინებთ თანასწორობას a m a n = a m + n, სად მდა ნარის ნატურალური რიცხვები, მაშინ ეს იქნება ჭეშმარიტი a-ს ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის, როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი, ასევე for a = 0.

თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ გრადუსების თვისებები შეზღუდვების გარეშე იმ შემთხვევებში, როდესაც გრადუსების საფუძვლები დადებითია ან შეიცავს ცვლადებს, რომელთა მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონი ისეთია, რომ ბაზები მასზე მხოლოდ დადებით მნიშვნელობებს იღებენ. ფაქტიურად მათემატიკაში სასკოლო სასწავლო გეგმის ფარგლებში მოსწავლის ამოცანაა აირჩიოს შესაბამისი თვისება და სწორად გამოიყენოს იგი.

უნივერსიტეტებში ჩასაბარებლად მომზადებისას შეიძლება არსებობდეს ამოცანები, რომლებშიც თვისებების არაზუსტმა გამოყენებამ გამოიწვიოს ODZ-ის შევიწროება და გადაწყვეტის სხვა სირთულეები. ამ განყოფილებაში განვიხილავთ მხოლოდ ორ ასეთ შემთხვევას. დამატებითი ინფორმაცია ამ თემაზე შეგიძლიათ იხილოთ თემაში "გამონათქვამების ტრანსფორმირება ექსპონენტური თვისებების გამოყენებით".

მაგალითი 4

წარმოადგინე გამოხატულება a 2, 5 (a 2) - 3: a - 5, 5როგორც ხარისხი ფუძით ა.

გამოსავალი

დასაწყისისთვის, ჩვენ ვიყენებთ სიძლიერის თვისებას და გარდაქმნით მეორე ფაქტორს მისი გამოყენებით (a 2) - 3. შემდეგ ვიყენებთ ძალაუფლების გამრავლებისა და გაყოფის თვისებებს იმავე ფუძით:

a 2 , 5 a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5 ) = a 2.

პასუხი: a 2 , 5 (a 2) − 3: a − 5 , 5 = a 2 .

სიძლიერის გამონათქვამების ტრანსფორმაცია გრადუსების თვისების მიხედვით შეიძლება განხორციელდეს როგორც მარცხნიდან მარჯვნივ, ასევე საპირისპირო მიმართულებით.

მაგალითი 5

იპოვეთ ძალა გამოხატვის მნიშვნელობა 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

გამოსავალი

თუ თანასწორობას გამოვიყენებთ (ა ბ) r = a r b r, მარჯვნიდან მარცხნივ, შემდეგ მივიღებთ 3 7 1 3 21 2 3 და შემდეგ 21 1 3 21 2 3 ფორმის ნამრავლს. მოდით დავუმატოთ მაჩვენებლები იმავე საფუძვლებით ხარისხების გამრავლებისას: 21 1 3 21 2 3 \u003d 21 1 3 + 2 3 \u003d 21 1 \u003d 21.

გარდაქმნების სხვა გზა არსებობს:

3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 = = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

პასუხი: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

მაგალითი 6

მოცემული ძალაუფლების გამოხატულება a 1, 5 − a 0, 5 − 6, შეიყვანეთ ახალი ცვლადი t = a 0, 5.

გამოსავალი

წარმოიდგინეთ ხარისხი a 1, 5Როგორ a 0, 5 3. ხარისხის თვისების გამოყენება ხარისხში (a r) s = a r sმარჯვნიდან მარცხნივ და მიიღეთ (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 - a 0 , 5 - 6 = (a 0 , 5) 3 - a 0 , 5 - 6 . შედეგად გამოსახულებაში, თქვენ შეგიძლიათ მარტივად შეიყვანოთ ახალი ცვლადი t = a 0, 5: მიიღეთ t 3 − t − 6.

პასუხი: t 3 − t − 6 .

სიმძლავრის შემცველი წილადების გადაქცევა

ჩვენ ჩვეულებრივ საქმე გვაქვს წილადებით ძლიერ გამოსახულებების ორ ვარიანტთან: გამოხატულება არის წილადი ხარისხით ან შეიცავს ასეთ წილადს. ყველა ძირითადი წილადის გარდაქმნა გამოიყენება ასეთ გამონათქვამებზე შეზღუდვების გარეშე. მათი შემცირება, ახალ მნიშვნელზე მიყვანა, მრიცხველთან და მნიშვნელთან ცალკე მუშაობა. მოდი მაგალითებით ავხსნათ ეს.

მაგალითი 7

გაამარტივე ძალა გამოხატვის 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 .

გამოსავალი

საქმე გვაქვს წილადთან, ამიტომ გარდაქმნებს განვახორციელებთ როგორც მრიცხველში, ასევე მნიშვნელში:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

წილადის წინ დადეთ მინუსი მნიშვნელის ნიშნის შესაცვლელად: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

პასუხი: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

სიმძლავრეების შემცველი წილადები მცირდება ახალ მნიშვნელამდე ისევე, როგორც რაციონალური წილადები. ამისათვის თქვენ უნდა იპოვოთ დამატებითი ფაქტორი და გაამრავლოთ მასზე წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი. აუცილებელია დამატებითი ფაქტორის არჩევა ისე, რომ იგი არ გაქრეს ცვლადების არცერთი მნიშვნელობისთვის ODZ ცვლადებიდან ორიგინალური გამოსახულებისთვის.

მაგალითი 8

მიიტანეთ წილადები ახალ მნიშვნელზე: ა) a + 1 a 0, 7 მნიშვნელზე. ა, ბ) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 მნიშვნელთან x + 8 y 1 2 .

გამოსავალი

ა) ვირჩევთ ისეთ ფაქტორს, რომელიც მოგვცემს ახალ მნიშვნელამდე შემცირებას. a 0, 7 a 0, 3 = a 0, 7 + 0, 3 = a,ამიტომ დამატებით ფაქტორად ვიღებთ a 0, 3. ცვლადის a დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონი მოიცავს ყველა დადებითი რეალური რიცხვის სიმრავლეს. ამ სფეროში, ხარისხი a 0, 3ნულამდე არ მიდის.

გავამრავლოთ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი a 0, 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

ბ) ყურადღება მიაქციეთ მნიშვნელს:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

გავამრავლოთ ეს გამონათქვამი x 1 3 + 2 · y 1 6-ზე, მივიღებთ კუბების ჯამს x 1 3 და 2 · y 1 6, ე.ი. x + 8 · y 1 2 . ეს არის ჩვენი ახალი მნიშვნელი, რომელსაც უნდა მივიყვანოთ საწყისი წილადი.

ასე რომ, ჩვენ ვიპოვეთ დამატებითი ფაქტორი x 1 3 + 2 · y 1 6. ცვლადების მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონზე xდა წგამოთქმა x 1 3 + 2 y 1 6 არ ქრება, ასე რომ ჩვენ შეგვიძლია გავამრავლოთ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი მასზე:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

პასუხი:ა) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, ბ) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2 .

მაგალითი 9

წილადის შემცირება: ა) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, ბ) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

გამოსავალი

ა) გამოიყენეთ უდიდესი საერთო მნიშვნელი (GCD), რომლითაც შეიძლება მრიცხველი და მნიშვნელი შემცირდეს. 30 და 45 ნომრებისთვის ეს არის 15. ასევე შეგვიძლია შევამციროთ x 0, 5 + 1და x + 2 x 1 1 3 - 5 3-ზე.

ჩვენ ვიღებთ:

30 x 3 (x 0 , 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0 , 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0 , 5 + 1)

ბ) აქ იდენტური ფაქტორების არსებობა აშკარა არ არის. თქვენ მოგიწევთ გარკვეული ტრანსფორმაციების შესრულება, რათა მიიღოთ იგივე ფაქტორები მრიცხველში და მნიშვნელში. ამისათვის ჩვენ ვაფართოებთ მნიშვნელს კვადრატების სხვაობის ფორმულის გამოყენებით:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

პასუხი:ა) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1), ბ) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

წილადებთან ძირითადი ოპერაციები მოიცავს ახალ მნიშვნელამდე შემცირებას და წილადების შემცირებას. ორივე მოქმედება ხორციელდება რიგი წესების დაცვით. წილადების შეკრებისა და გამოკლებისას წილადები ჯერ მცირდება საერთო მნიშვნელამდე, რის შემდეგაც მოქმედებები (შეკრება ან გამოკლება) სრულდება მრიცხველებით. მნიშვნელი იგივე რჩება. ჩვენი მოქმედებების შედეგი არის ახალი წილადი, რომლის მრიცხველი არის მრიცხველების ნამრავლი, ხოლო მნიშვნელი არის მნიშვნელების ნამრავლი.

მაგალითი 10

შეასრულეთ ნაბიჯები x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2.

გამოსავალი

დავიწყოთ ფრჩხილებში მოთავსებული წილადების გამოკლებით. მოდით მივიყვანოთ ისინი საერთო მნიშვნელამდე:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

გამოვაკლოთ მრიცხველები:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

ახლა ვამრავლებთ წილადებს:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

დავიკლოთ ხარისხით x 1 2, ვიღებთ 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 .

გარდა ამისა, თქვენ შეგიძლიათ გაამარტივოთ სიმძლავრის გამოხატულება მნიშვნელში კვადრატების სხვაობის ფორმულის გამოყენებით: კვადრატები: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 2 - 1 2 = 4 x - 1.

პასუხი: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

მაგალითი 11

გაამარტივეთ ძალა გამოხატვის x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 .
გამოსავალი

ჩვენ შეგვიძლია შევამციროთ წილადი (x 2, 7 + 1) 2. ვიღებთ წილადს x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

გავაგრძელოთ x ხარისხების x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 გარდაქმნები. ახლა შეგიძლიათ გამოიყენოთ სიმძლავრის გაყოფის თვისება იგივე საფუძვლებით: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .

ბოლო ნამრავლიდან გადავდივართ x 1 3 8 x 2, 7 + 1 წილადზე.

პასუხი: x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .

უმეტეს შემთხვევაში, უფრო მოსახერხებელია უარყოფითი მაჩვენებლების მქონე მამრავლების გადატანა მრიცხველიდან მნიშვნელზე და პირიქით, მაჩვენებლის ნიშნის შეცვლით. ეს ქმედება ამარტივებს შემდგომ გადაწყვეტილებას. მოვიყვანოთ მაგალითი: სიმძლავრის გამოხატულება (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 შეიძლება შეიცვალოს x 3 · (x + 1) 0 , 2-ით.

გამონათქვამების კონვერტაცია ფესვებითა და ძალებით

ამოცანებში არის დენის გამონათქვამები, რომლებიც შეიცავს არა მხოლოდ ხარისხს წილადის მაჩვენებლებით, არამედ ფესვებსაც. სასურველია, ასეთი გამონათქვამები მხოლოდ ფესვებამდე ან მხოლოდ ძალაუფლებამდე დავიყვანოთ. ხარისხებზე გადასვლა სასურველია, რადგან მათთან მუშაობა უფრო ადვილია. ასეთი გადასვლა განსაკუთრებით ხელსაყრელია, როდესაც ორიგინალური გამოხატვის ცვლადების DPV საშუალებას გაძლევთ შეცვალოთ ფესვები ძალაუფლებით მოდულზე წვდომის ან DPV-ის რამდენიმე ინტერვალებად გაყოფის გარეშე.

მაგალითი 12

გამოხატეთ გამონათქვამი x 1 9 x x 3 6, როგორც ძალა.

გამოსავალი

ცვლადის სწორი დიაპაზონი xგანისაზღვრება ორი უტოლობით x ≥ 0და x · x 3 ≥ 0 , რომელიც განსაზღვრავს სიმრავლეს [ 0 , + ∞) .

ამ კომპლექტში ჩვენ გვაქვს უფლება გადავიდეთ ფესვებიდან ძალაუფლებაზე:

x 1 9 x x 3 6 = x 1 9 x x 1 3 1 6

გრადუსების თვისებების გამოყენებით, ჩვენ ვამარტივებთ მიღებულ ძალაუფლების გამოხატვას.

x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

პასუხი: x 1 9 x x 3 6 = x 1 3 .

სიმძლავრეების კონვერტაცია ცვლადებით მაჩვენებელში

ამ გარდაქმნების გაკეთება საკმაოდ მარტივია, თუ სწორად იყენებთ ხარისხის თვისებებს. Მაგალითად, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

შეგვიძლია შევცვალოთ ხარისხის ნამრავლი, რომლის მიხედვითაც მოიძებნება ზოგიერთი ცვლადისა და რიცხვის ჯამი. მარცხენა მხარეს, ეს შეიძლება გაკეთდეს გამოხატვის მარცხენა მხარეს პირველი და ბოლო ტერმინებით:

5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0 , 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0.

ახლა გავყოთ განტოლების ორივე მხარე 7 2 x. x ცვლადის ODZ-ზე ეს გამოხატულება მხოლოდ დადებით მნიშვნელობებს იღებს:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

შევამციროთ წილადები ძალებით, მივიღებთ: 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 = 0 .

და ბოლოს, თანაფარდობა ერთი და იგივე მაჩვენებლებით იცვლება თანაფარდობების ხარისხებით, რაც მივყავართ განტოლებამდე 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0, რაც უდრის 5 5 7 x 2 - 3 5 7. x - 2 = 0.

შემოვიღოთ ახალი ცვლადი t = 5 7 x , რომელიც ამცირებს საწყისი ექსპონენციალური განტოლების ამონახს 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 კვადრატული განტოლების ამოხსნამდე.

გამონათქვამების გადაქცევა ძალებითა და ლოგარითმებით

სიმძლავრეებისა და ლოგარითმების შემცველი გამონათქვამები ასევე გვხვდება ამოცანებში. ასეთი გამონათქვამების მაგალითებია: 1 4 1 - 5 log 2 3 ან log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) log 5 3 . ასეთი გამონათქვამების ტრანსფორმაცია ხორციელდება ზემოთ განხილული მიდგომებისა და ლოგარითმების თვისებების გამოყენებით, რომლებიც დეტალურად გავაანალიზეთ თემაში „ლოგარითმული გამოსახულებების ტრანსფორმაცია“.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

გამონათქვამები, გამოხატვის გარდაქმნა

ძალაუფლების გამონათქვამები (გამოხატვები ძალებით) და მათი ტრანსფორმაცია

ამ სტატიაში ვისაუბრებთ გამონათქვამების ძალებით გარდაქმნაზე. პირველ რიგში, ჩვენ ყურადღებას გავამახვილებთ ტრანსფორმაციებზე, რომლებიც შესრულებულია ნებისმიერი სახის გამონათქვამებით, მათ შორის ძალის გამონათქვამებით, როგორიცაა ფრჩხილების გახსნა, მსგავსი ტერმინების შემცირება. შემდეგ ჩვენ გავაანალიზებთ გარდაქმნებს, რომლებიც თან ახლავს კონკრეტულად გამონათქვამებს გრადუსით: მუშაობა ფუძესთან და ექსპონენტთან, ხარისხების თვისებების გამოყენებით და ა.შ.

გვერდის ნავიგაცია.

რა არის ძალის გამონათქვამები?

ტერმინი "ძალაუფლების გამონათქვამები" პრაქტიკულად არ გვხვდება მათემატიკის სასკოლო სახელმძღვანელოებში, მაგრამ ის ხშირად გვხვდება ამოცანების კრებულებში, განსაკუთრებით შექმნილია ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის და OGE-სთვის მოსამზადებლად, მაგალითად,. ამოცანების გაანალიზების შემდეგ, რომლებშიც საჭიროა რაიმე მოქმედების შესრულება ძალის გამონათქვამებით, ცხადი ხდება, რომ ძალაუფლების გამონათქვამები გაგებულია, როგორც გამონათქვამები, რომლებიც შეიცავს ხარისხს მათ ჩანაწერებში. ამიტომ, თქვენთვის, შეგიძლიათ მიიღოთ შემდეგი განმარტება:

განმარტება.

ძალის გამონათქვამებიარის გამონათქვამები, რომლებიც შეიცავს ძალაუფლებას.

მოვიყვანოთ ძალაუფლების გამოხატვის მაგალითები. უფრო მეტიც, ჩვენ წარმოვადგენთ მათ იმის მიხედვით, თუ როგორ ხდება შეხედულებების განვითარება ბუნებრივი ინდიკატორის ხარისხიდან რეალური ინდიკატორის ხარისხამდე.

მოგეხსენებათ, ჯერ გაეცნობით რიცხვის ხარისხს ბუნებრივი მაჩვენებლით, ამ ეტაპზე 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0,1 ტიპის პირველი უმარტივესი სიმძლავრის გამოსახულებები. ) 4 , 3 a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 და ა.შ.

ცოტა მოგვიანებით, შესწავლილია რიცხვის სიმძლავრე მთელი რიცხვის მაჩვენებლით, რაც იწვევს უარყოფითი მთელი ძალებით გამოსახულებების გამოჩენას, როგორიცაა: 3 −2, , a −2 +2 b −3 + c 2 .

უფროს კლასებში ისევ უბრუნდებიან ხარისხს. იქ შემოღებულია ხარისხი რაციონალური მაჩვენებლით, რაც იწვევს შესაბამისი სიმძლავრის გამონათქვამების გამოჩენას: , , და ასე შემდეგ. და ბოლოს, განიხილება ირაციონალური მაჩვენებლებით და მათ შემცველი გამონათქვამები: , .

საკითხი არ შემოიფარგლება ჩამოთვლილი სიმძლავრის გამოსახულებებით: შემდგომში ცვლადი აღწევს მაჩვენებელში და არის, მაგალითად, ასეთი გამონათქვამები 2 x 2 +1 ან . და გაცნობის შემდეგ იწყება გამონათქვამები ძალებითა და ლოგარითმებით, მაგალითად, x 2 lgx −5 x lgx.

ასე რომ, ჩვენ გავარკვიეთ კითხვა, რა არის ძალაუფლების გამოხატულება. შემდეგი, ჩვენ ვისწავლით როგორ გარდაქმნას ისინი.

ძალაუფლების გამონათქვამების გარდაქმნების ძირითადი ტიპები

ძალაუფლების გამონათქვამებით, შეგიძლიათ შეასრულოთ ნებისმიერი ძირითადი გამონათქვამების იდენტური გარდაქმნები. მაგალითად, შეგიძლიათ გახსნათ ფრჩხილები, შეცვალოთ რიცხვითი გამონათქვამები მათი მნიშვნელობებით, დაამატოთ მსგავსი ტერმინები და ა.შ. ბუნებრივია, ამ შემთხვევაში აუცილებელია მიღებულის დაცვა მოქმედებების თანმიმდევრობა. მოვიყვანოთ მაგალითები.

მაგალითი.

გამოთვალეთ სიმძლავრის გამოხატვის მნიშვნელობა 2 3 ·(4 2 −12) .

გამოსავალი.

მოქმედებების თანმიმდევრობის მიხედვით, პირველ რიგში ვასრულებთ მოქმედებებს ფრჩხილებში. იქ ჯერ 4 2-ის სიმძლავრეს ვცვლით მისი მნიშვნელობით 16 (იხ. საჭიროების შემთხვევაში) და მეორეც, ვიანგარიშებთ სხვაობას 16−12=4 . Ჩვენ გვაქვს 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4.

მიღებულ გამონათქვამში 2 3-ის სიმძლავრეს ვცვლით მისი მნიშვნელობით 8, რის შემდეგაც გამოვთვლით ნამრავლს 8·4=32. ეს არის სასურველი მნიშვნელობა.

Ისე, 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4=8 4=32.

პასუხი:

2 3 (4 2 −12)=32 .

მაგალითი.

ძალაუფლების გამონათქვამების გამარტივება 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

გამოსავალი.

ცხადია, ეს გამოთქმა შეიცავს ტერმინების მსგავსად 3 a 4 b −7 და 2 a 4 b −7 და შეგვიძლია შევამციროთ ისინი: .

პასუხი:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

მაგალითი.

გამოხატეთ გამოხატულება ძალებით, როგორც პროდუქტი.

გამოსავალი.

ამოცანის შესასრულებლად საშუალებას იძლევა 9 რიცხვის წარმოდგენა 3 2-ის ხარისხად და შემდგომ გამოყენებაში შემოკლებული გამრავლების ფორმულებიკვადრატების განსხვავება:

პასუხი:

ასევე არსებობს მთელი რიგი იდენტური გარდაქმნები, რომლებიც თან ახლავს ძალაუფლების გამონათქვამებს. შემდეგი, ჩვენ გავაანალიზებთ მათ.

ბაზისთან და ექსპონენტთან მუშაობა

არის ხარისხები, რომელთა საფუძველში და/ან ინდიკატორში არის არა მხოლოდ რიცხვები ან ცვლადები, არამედ ზოგიერთი გამონათქვამი. მაგალითად, დავწეროთ (2+0.3 7) 5−3.7 და (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) .

მსგავს გამონათქვამებთან მუშაობისას, როგორც ხარისხის ფუძის გამოხატულება, ასევე გამოხატულება ექსპონენტში შეიძლება შეიცვალოს იდენტური თანაბარი გამოსახულებით. ოძმისი ცვლადები. ანუ ჩვენთვის ცნობილი წესების მიხედვით შეგვიძლია ცალ-ცალკე გადავიყვანოთ ხარისხის საფუძველი, ცალკე კი - ინდიკატორი. ცხადია, რომ ამ ტრანსფორმაციის შედეგად მიიღება გამონათქვამი, რომელიც იდენტურად უტოლდება თავდაპირველს.

ასეთი გარდაქმნები საშუალებას გვაძლევს გავამარტივოთ გამოთქმები ძალებით ან მივაღწიოთ სხვა მიზნებს, რაც გვჭირდება. მაგალითად, ზემოხსენებულ 5−3.7 დენის გამოხატულებაში (2+0.3 7) შეგიძლიათ შეასრულოთ მოქმედებები ძირში და მაჩვენებელში მოცემული რიცხვებით, რაც საშუალებას მოგცემთ გადახვიდეთ 4.1 1.3 ხარისხზე. და ფრჩხილების გახსნის და (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) ხარისხის ფუძეში მსგავსი ტერმინების მოყვანის შემდეგ მივიღებთ 2·(x+1) უფრო მარტივი ფორმის სიმძლავრის გამოხატვას. ) .

დენის თვისებების გამოყენება

გამონათქვამების ძალებით გარდაქმნის ერთ-ერთი მთავარი ინსტრუმენტი არის თანასწორობა, რომელიც ასახავს . გავიხსენოთ ძირითადი. ნებისმიერი დადებითი რიცხვისთვის a და b და თვითნებური რეალური რიცხვებისთვის r და s, ძალაშია შემდეგი თვისებები:

• a r a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (ა ბ) r = a r b r;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r s .

გაითვალისწინეთ, რომ ბუნებრივი, მთელი და დადებითი მაჩვენებლებისთვის, a და b რიცხვებზე შეზღუდვები შეიძლება არც ისე მკაცრი იყოს. მაგალითად, m და n ნატურალური რიცხვებისთვის ტოლობა a m ·a n =a m+n მართალია არა მხოლოდ დადებითი a , არამედ უარყოფითი და a=0 .

სკოლაში ძალაუფლების გამონათქვამების ტრანსფორმაციისას მთავარი ყურადღება გამახვილებულია სწორედ შესაბამისი თვისების არჩევისა და მისი სწორად გამოყენების უნარზე. ამ შემთხვევაში, გრადუსების საფუძვლები, როგორც წესი, დადებითია, რაც საშუალებას გაძლევთ გამოიყენოთ ხარისხების თვისებები შეზღუდვების გარეშე. იგივე ეხება ცვლადების შემცველი გამონათქვამების ტრანსფორმაციას გრადუსების საფუძვლებში - ცვლადების მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონი ჩვეულებრივ ისეთია, რომ ფუძეები მასზე მხოლოდ დადებით მნიშვნელობებს იღებენ, რაც საშუალებას გაძლევთ თავისუფლად გამოიყენოთ თვისებები. ხარისხების. ზოგადად, თქვენ მუდმივად უნდა ჰკითხოთ საკუთარ თავს, შესაძლებელია თუ არა ამ შემთხვევაში ხარისხების რაიმე თვისების გამოყენება, რადგან თვისებების არაზუსტმა გამოყენებამ შეიძლება გამოიწვიოს DPV-ის შევიწროება და სხვა პრობლემები. ეს პუნქტები დეტალურად და მაგალითებით არის განხილული სტატიაში. გამონათქვამების ტრანსფორმაცია ძალაუფლების თვისებების გამოყენებით. აქ შემოვიფარგლებით რამდენიმე მარტივი მაგალითით.

მაგალითი.

გამოთქვით a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 გამოთქმა ხარისხად a ფუძით.

გამოსავალი.

პირველი, ჩვენ გარდაქმნით მეორე ფაქტორს (a 2) −3 სიმძლავრის ხარისხზე აყვანის თვისებით: (a 2) −3 =a 2 (−3) =a −6. ამ შემთხვევაში საწყისი სიმძლავრის გამოხატულება მიიღებს ფორმას a 2.5 ·a −6:a −5.5 . ცხადია, რჩება ძალაუფლების გამრავლებისა და გაყოფის თვისებების გამოყენება იმავე ფუძით, გვაქვს
a 2.5 a -6: a -5.5 =
a 2,5−6:a−5,5 =a−3,5:a−5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

პასუხი:

a 2.5 (a 2) -3: a -5.5 \u003d a 2.

სიმძლავრის თვისებები გამოიყენება ძალაუფლების გამონათქვამების გარდაქმნისას როგორც მარცხნიდან მარჯვნივ, ასევე მარჯვნიდან მარცხნივ.

მაგალითი.

იპოვეთ ძალა გამოხატვის მნიშვნელობა.

გამოსავალი.

ტოლობა (a·b) r =a r ·b r, გამოყენებული მარჯვნიდან მარცხნივ, საშუალებას გაძლევთ გადახვიდეთ ორიგინალური გამოხატულებიდან ფორმის ნამრავლზე და შემდგომში. და იმავე ფუძით ძალების გამრავლებისას, ინდიკატორები ემატება: .

შესაძლებელი იყო ორიგინალური გამოხატვის ტრანსფორმაციის სხვა გზით შესრულება:

პასუხი:

.

მაგალითი.

1.5 −a 0.5 −6 სიმძლავრის გამოსახულების გათვალისწინებით, შეიყვანეთ ახალი ცვლადი t=a 0.5.

გამოსავალი.

a 1.5 ხარისხი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც 0.5 3 და შემდგომში ხარისხის თვისების საფუძველზე (a r) s =a r s, რომელიც გამოიყენება მარჯვნიდან მარცხნივ, გარდაქმნას იგი ფორმაში (a 0.5) 3. ამრიგად, a 1.5 -a 0.5 -6=(a 0.5) 3 -a 0.5 -6. ახლა ადვილია ახალი ცვლადის შემოღება t=a 0.5 , მივიღებთ t 3 −t−6 .

პასუხი:

t 3 −t−6 .

სიმძლავრის შემცველი წილადების გადაქცევა

სიმძლავრის გამონათქვამები შეიძლება შეიცავდეს წილადებს ხარისხებით ან წარმოადგენენ ასეთ წილადებს. ასეთ წილადებს რომელიმე ძირითადი წილადის გარდაქმნები, რომლებიც თანდაყოლილია ნებისმიერი სახის ფრაქციებში. ანუ წილადები, რომლებიც შეიცავენ ხარისხს, შეიძლება შემცირდეს, შემცირდეს ახალ მნიშვნელამდე, იმუშაოს ცალ-ცალკე მათ მრიცხველთან და ცალ-ცალკე მნიშვნელთან და ა.შ. ზემოთ მოყვანილი სიტყვების საილუსტრაციოდ, განიხილეთ რამდენიმე მაგალითის ამონახსნები.

მაგალითი.

ძალაუფლების გამოხატვის გამარტივება .

გამოსავალი.

ეს სიმძლავრის გამოხატულება არის წილადი. ვიმუშაოთ მის მრიცხველთან და მნიშვნელთან. მრიცხველში ვხსნით ფრჩხილებს და ვამარტივებთ ამის შემდეგ მიღებულ გამონათქვამს ძალაუფლების თვისებების გამოყენებით, ხოლო მნიშვნელში წარმოვადგენთ მსგავს ტერმინებს:

ჩვენ ასევე ვცვლით მნიშვნელის ნიშანს წილადის წინ მინუსის დაყენებით: .

პასუხი:

.

ძალაუფლების შემცველი წილადების ახალ მნიშვნელამდე შემცირება ხდება ისევე, როგორც რაციონალური წილადების ახალ მნიშვნელამდე შემცირება. ამავდროულად, მოიძებნება დამატებითი ფაქტორიც და მასზე მრავლდება წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი. ამ მოქმედების შესრულებისას უნდა გვახსოვდეს, რომ ახალ მნიშვნელზე შემცირებამ შეიძლება გამოიწვიოს DPV-ის შევიწროება. ამის თავიდან ასაცილებლად, აუცილებელია, რომ დამატებითი ფაქტორი არ გაქრეს ცვლადის რომელიმე მნიშვნელობისთვის ODZ ცვლადებიდან ორიგინალური გამოსახულებისთვის.

მაგალითი.

მიიტანეთ წილადები ახალ მნიშვნელზე: ა) მნიშვნელზე a, ბ) მნიშვნელისკენ.

გამოსავალი.

ა) ამ შემთხვევაში საკმაოდ მარტივია იმის გარკვევა, თუ რა დამატებითი ფაქტორი უწყობს ხელს სასურველი შედეგის მიღწევას. ეს არის 0.3 ფაქტორი, ვინაიდან 0.7 a 0.3 = a 0.7+0.3 = a. გაითვალისწინეთ, რომ a ცვლადის მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონში (ეს არის ყველა დადებითი რეალური რიცხვის სიმრავლე), a 0.3 ხარისხი არ ქრება, შესაბამისად, ჩვენ გვაქვს უფლება გავამრავლოთ მოცემული წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი. ამ დამატებითი ფაქტორით:

ბ) მნიშვნელს უფრო ყურადღებით დავაკვირდებით, ვხვდებით, რომ

და ამ გამონათქვამის გამრავლება მივიღებთ კუბების ჯამს და, ანუ . და ეს არის ახალი მნიშვნელი, რომელსაც უნდა მივიყვანოთ საწყისი წილადი.

ასე რომ, ჩვენ ვიპოვეთ დამატებითი ფაქტორი. გამოთქმა არ ქრება x და y ცვლადების მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონში, ამიტომ ჩვენ შეგვიძლია გავამრავლოთ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი მასზე:

პასუხი:

ა) , ბ) .

ასევე არაფერია ახალი გრადუსების შემცველი წილადების შემცირებაში: მრიცხველი და მნიშვნელი წარმოდგენილია ფაქტორების გარკვეული რაოდენობის სახით, ხოლო მრიცხველისა და მნიშვნელის იგივე ფაქტორები მცირდება.

მაგალითი.

შეამცირე წილადი: ა) , ბ).

გამოსავალი.

ა) ჯერ მრიცხველი და მნიშვნელი შეიძლება შემცირდეს 30 და 45 რიცხვებით, რაც უდრის 15-ს. ასევე, ცხადია, შეგიძლიათ შეამციროთ x 0,5 +1-ით და . აი რა გვაქვს:

ბ) ამ შემთხვევაში მრიცხველსა და მნიშვნელში ერთი და იგივე ფაქტორები მაშინვე არ ჩანს. მათი მისაღებად, თქვენ უნდა შეასრულოთ წინასწარი გარდაქმნები. ამ შემთხვევაში, ისინი მოიცავს მნიშვნელის ფაქტორებად დაშლას კვადრატების ფორმულის სხვაობის მიხედვით:

პასუხი:

ა)

ბ) .

წილადების ახალ მნიშვნელამდე შემცირება და წილადების შემცირება ძირითადად გამოიყენება წილადებზე მოქმედებების შესასრულებლად. მოქმედებები შესრულებულია ცნობილი წესების მიხედვით. წილადების შეკრებისას (გამოკლებისას) ისინი მცირდება საერთო მნიშვნელამდე, რის შემდეგაც მრიცხველები ემატება (აკლდება) და მნიშვნელი იგივე რჩება. შედეგი არის წილადი, რომლის მრიცხველი არის მრიცხველების ნამრავლი, ხოლო მნიშვნელი არის მნიშვნელების ნამრავლი. წილადზე გაყოფა არის გამრავლება მის ორმხრივად.

მაგალითი.

მიჰყევით ნაბიჯებს .

გამოსავალი.

ჯერ ფრჩხილებში გამოვაკლებთ წილადებს. ამისათვის ჩვენ მათ საერთო მნიშვნელამდე მივყავართ, რაც არის , შემდეგ გამოაკელი მრიცხველები:

ახლა ვამრავლებთ წილადებს:

ცხადია, შესაძლებელია x 1/2 სიმძლავრის შემცირება, რის შემდეგაც გვაქვს .

თქვენ ასევე შეგიძლიათ გაამარტივოთ სიმძლავრის გამოხატულება მნიშვნელში კვადრატების განსხვავების ფორმულის გამოყენებით: .

პასუხი:

მაგალითი.

ძალაუფლების გამოხატვის გამარტივება .

გამოსავალი.

ცხადია, ეს წილადი შეიძლება შემცირდეს (x 2.7 +1) 2-ით, ეს იძლევა წილადს . გასაგებია, რომ x-ის ძალებით სხვა რამის გაკეთებაა საჭირო. ამისთვის მიღებულ წილადს პროდუქტად ვაქცევთ. ეს გვაძლევს შესაძლებლობას გამოვიყენოთ ძალაუფლების გამყოფი თვისება იგივე საფუძვლებით: . პროცესის ბოლოს კი ბოლო პროდუქტიდან ფრაქციაზე გადავდივართ.

პასუხი:

.

და ვამატებთ, რომ შესაძლებელია და ხშირ შემთხვევაში სასურველია უარყოფითი მაჩვენებლების მქონე ფაქტორების გადატანა მრიცხველიდან მნიშვნელზე ან მნიშვნელიდან მრიცხველზე მაჩვენებლის ნიშნის შეცვლით. ასეთი გარდაქმნები ხშირად ამარტივებს შემდგომ მოქმედებებს. მაგალითად, დენის გამოხატულება შეიძლება შეიცვალოს .

გამონათქვამების კონვერტაცია ფესვებითა და ძალებით

ხშირად გამონათქვამებში, რომლებშიც საჭიროა გარკვეული გარდაქმნები, წილადებთან ერთად ხარისხებთან ერთად, არის ფესვებიც. ასეთი გამონათქვამის სასურველ ფორმაში გადასაყვანად, უმეტეს შემთხვევაში საკმარისია მხოლოდ ფესვებზე გადასვლა ან მხოლოდ ძალებზე გადასვლა. მაგრამ რადგან უფრო მოსახერხებელია ხარისხებთან მუშაობა, ისინი ჩვეულებრივ გადადიან ფესვებიდან გრადუსამდე. თუმცა, მიზანშეწონილია განახორციელოთ ასეთი გადასვლა, როდესაც ცვლადების ODZ ორიგინალური გამოსახულებისთვის საშუალებას გაძლევთ შეცვალოთ ფესვები გრადუსით მოდულზე წვდომის აუცილებლობის გარეშე ან ODZ-ს რამდენიმე ინტერვალებად გაყოფა (ეს დეტალურად განვიხილეთ სტატია, ფესვებიდან ძალაზე გადასვლა და პირიქით, რაციონალური მაჩვენებლის მქონე ხარისხის გაცნობის შემდეგ შემოღებულია ირაციონალური ინდიკატორის ხარისხი, რაც შესაძლებელს ხდის ხარისხზე საუბარი თვითნებური რეალური მაჩვენებლით. ამ ეტაპზე, სკოლა იწყებს სწავლას ექსპონენციალური ფუნქცია, რომელიც ანალიტიკურად მოცემულია ხარისხით, რომლის საფუძველზეც არის რიცხვი, ხოლო ინდიკატორში - ცვლადი. ასე რომ, ჩვენ წინაშე ვდგავართ ხარისხობრივი გამონათქვამების შემცველი რიცხვების შემცველობით, ხოლო ექსპონენტში - გამოსახულებებს ცვლადებით და ბუნებრივია ჩნდება ასეთი გამონათქვამების გარდაქმნების საჭიროება.

უნდა ითქვას, რომ მითითებული ტიპის გამონათქვამების ტრანსფორმაცია ჩვეულებრივ უნდა განხორციელდეს ამოხსნისას ექსპონენციალური განტოლებებიდა ექსპონენციური უტოლობებიდა ეს გარდაქმნები საკმაოდ მარტივია. უმეტეს შემთხვევაში, ისინი ეფუძნება ხარისხის თვისებებს და ძირითადად მიმართულია მომავალში ახალი ცვლადის დანერგვაზე. განტოლება საშუალებას მოგვცემს ვაჩვენოთ ისინი 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

პირველ რიგში, მაჩვენებლები, რომელთა მაჩვენებლებშიც არის ნაპოვნი ზოგიერთი ცვლადის (ან ცვლადის გამოსახულებების) ჯამი და რიცხვი, იცვლება პროდუქტებით. ეს ეხება მარცხენა მხარეს გამოთქმის პირველ და ბოლო ტერმინებს:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

შემდეგი, თანასწორობის ორივე მხარე იყოფა გამოსახულებით 7 2 x, რომელიც იღებს მხოლოდ დადებით მნიშვნელობებს ODZ ცვლადზე x ორიგინალური განტოლებისთვის (ეს არის სტანდარტული ტექნიკა ამ ტიპის განტოლებების გადასაჭრელად, ჩვენ არ ვსაუბრობთ ახლა, ასე რომ, ფოკუსირება მოახდინეთ გამონათქვამების შემდგომ გარდაქმნებზე ძალებით):

ახლა ძალაუფლების მქონე ფრაქციები გაუქმებულია, რაც იძლევა .

საბოლოოდ, თანაფარდობა ერთი და იგივე მაჩვენებლებით იცვლება თანაფარდობის ხარისხებით, რაც იწვევს განტოლებას , რაც უდრის . განხორციელებული გარდაქმნები საშუალებას გვაძლევს შემოვიტანოთ ახალი ცვლადი, რომელიც ამცირებს საწყისი ექსპონენციალური განტოლების ამონახს კვადრატულ განტოლებამდე

ი.ვ.ბოიკოვი, ლ.დ.რომანოვადავალებების კრებული გამოცდისთვის მოსამზადებლად. ნაწილი 1. პენზა 2003 წ.