პრეზენტაცია ფუნქციის თემის ლიმიტზე. ფუნქციის ლიმიტი ფუნქციის ლიმიტი წერტილში ცალმხრივი ზღვრები ფუნქციის ლიმიტი, როგორც x მიდრეკილია უსასრულობისკენ ძირითადი თეორემები ზღვრებზე ლიმიტების გამოთვლა. ლიმიტების ძირითადი თვისებები

ლიმიტების გამოთვლის წესები თუ lim f(x) = b და lim g(x) =c, მაშინ x 1) ჯამის ზღვარი უდრის ლიმიტების ჯამს: lim (f(x)+ g(x) ) = lim f(x)+ lim g(x) = b+ c x x x 2) ნამრავლის ზღვარი ტოლია ზღვრების ნამრავლის: lim f(x) g(x) = lim f(x) * lim g (x) = b c x x x 3) კოეფიციენტის ზღვარი ტოლია ზღვრების კოეფიციენტის: lim f(x):g(x) = lim f(x) : lim g(x)= b:c x x x = k b x x

აბსტრაქტული ფუნქციების გრაფიკები y=1/x და y=1/x 2. ფუნქციების გრაფიკები y=1/x m, m ლუწი და კენტი. ჰორიზონტალური ასიმპტოტის კონცეფცია. +, -, ფუნქციის ლიმიტის კონცეფცია. +, -, ფუნქციის ზღვრის გეომეტრიული მნიშვნელობა. ფუნქციის ლიმიტების გამოთვლის წესები. ფუნქციის ლიმიტის გამოთვლის ფორმულები. ფუნქციის ლიმიტების გამოთვლის ტექნიკა.

გაკვეთილის შეჯამება რას ნიშნავს ფუნქციის ზღვრის არსებობა უსასრულობაში? რა ასიმპტოტი აქვს ფუნქციას y=1/ x 4? რა წესები იცით უსასრულობაში ფუნქციის ზღვრების გამოსათვლელად? უსასრულობაში ლიმიტების გამოთვლის რა ფორმულებს გაეცანით? როგორ მოვძებნოთ ლიმი (5-3x 3) / (6x 3 +2)? x

გამოყენებული ლიტერატურა: - A.G. Mordkovich. ალგებრა და ადრეული გამოთვლების კლასები. მნემოსინი. M A.G. Mordkovich., P.V. Semenov. მეთოდური გზამკვლევი მასწავლებლისთვის. ალგებრა და ადრეული გამოთვლების კლასი. საბაზისო დონე. მ.მნემოზინა. 2010 წელი

გაკვეთილის მიზნები:

საგანმანათლებლო:
- რიცხვის ლიმიტის, ფუნქციის ლიმიტის ცნების გაცნობა;
- ჩამოაყალიბეთ ცნებები გაურკვევლობის ტიპების შესახებ;
- ისწავლოს ფუნქციის საზღვრების გამოთვლა;
- შეძენილი ცოდნის სისტემატიზაცია, თვითკონტროლის გააქტიურება, ურთიერთკონტროლი.
განვითარება:
- შეძლოს მიღებული ცოდნის გამოყენება ლიმიტების გამოსათვლელად.
- მათემატიკური აზროვნების განვითარება.
საგანმანათლებლო:მათემატიკისა და გონებრივი შრომის დისციპლინებისადმი ინტერესის გაღვივება.

გაკვეთილის ტიპი:პირველი გაკვეთილი

სტუდენტური მუშაობის ფორმები:ფრონტალური, ინდივიდუალური

საჭირო აღჭურვილობა:ინტერაქტიული დაფა, მულტიმედიური პროექტორი, ბარათები ზეპირი და მოსამზადებელი სავარჯიშოებით.

Გაკვეთილის გეგმა

1. საორგანიზაციო მომენტი (3 წთ.)
2. ფუნქციის ზღვრის თეორიის გაცნობა. მოსამზადებელი ვარჯიშები. (12 წთ.)
3. ფუნქციის ზღვრების გამოთვლა (10 წთ.)
4. დამოუკიდებელი ვარჯიშები (15 წთ.)
5. გაკვეთილის შეჯამება (2 წთ.)
6. საშინაო დავალება (3 წთ.)

გაკვეთილების დროს

1. საორგანიზაციო მომენტი

მიესალმეთ მასწავლებელს, მონიშნეთ არყოფნა, შეამოწმეთ მზადება გაკვეთილისთვის. დაასახელეთ გაკვეთილის თემა და მიზანი. მომავალში, ყველა დავალება გამოჩნდება ინტერაქტიულ დაფაზე.

2. ფუნქციის ზღვრის თეორიის გაცნობა. მოსამზადებელი ვარჯიშები.

ფუნქციის ლიმიტი (ფუნქციის ლიმიტი) მოცემულ წერტილში, ფუნქციის განსაზღვრის დომენის შეზღუდვა, არის ისეთი მნიშვნელობა, რომლისკენაც მიდრეკილია განხილული ფუნქცია, როდესაც მისი არგუმენტი მიდრეკილია მოცემულ წერტილამდე.
ლიმიტი იწერება შემდეგნაირად.

მოდით გამოვთვალოთ ლიმიტი:
ჩვენ ვცვლით x-ის ნაცვლად - 3.
გაითვალისწინეთ, რომ რიცხვის ზღვარი უდრის თავად რიცხვს.

მაგალითები: ლიმიტების გამოთვლა

თუ ფუნქციის დომენის რომელიმე წერტილში არის ლიმიტი და ეს ზღვარი უდრის მოცემულ წერტილში ფუნქციის მნიშვნელობას, მაშინ ფუნქციას ეწოდება უწყვეტი (მოცემულ წერტილში).

გამოვთვალოთ ფუნქციის მნიშვნელობა x 0 = 3 წერტილში და მისი ლიმიტის მნიშვნელობა ამ ეტაპზე.

ლიმიტის მნიშვნელობა და ფუნქციის მნიშვნელობა ამ მომენტში ემთხვევა, შესაბამისად, ფუნქცია უწყვეტია x 0 = 3 წერტილში.

მაგრამ ლიმიტების გაანგარიშებისას ხშირად ჩნდება გამონათქვამები, რომელთა მნიშვნელობა არ არის განსაზღვრული. ასეთ გამონათქვამებს ე.წ გაურკვევლობები.

გაურკვევლობის ძირითადი ტიპები:

გაურკვევლობების გამჟღავნება

გაურკვევლობის გადასაჭრელად გამოიყენება შემდეგი:

ფუნქციის გამოხატვის გამარტივება: ფაქტორიზაცია, ფუნქციის გარდაქმნა გამრავლების შემოკლებული ფორმულების, ტრიგონომეტრიული ფორმულების გამოყენებით, გამრავლება კონიუგატზე, რაც საშუალებას გაძლევთ კიდევ უფრო შეამციროთ და ა.შ. და ა.შ.;
თუ არსებობს გაურკვევლობების გამოვლენის ლიმიტი, მაშინ ამბობენ, რომ ფუნქცია კონვერგირდება მითითებულ მნიშვნელობამდე; თუ ასეთი ლიმიტი არ არსებობს, მაშინ ამბობენ, რომ ფუნქცია განსხვავდება.

მაგალითი: გამოთვალეთ ლიმიტი.
მოდით, მრიცხველის ფაქტორიზირება

3. ფუნქციის ზღვრების გამოთვლა

მაგალითი 1. გამოთვალეთ ფუნქციის ლიმიტი:

პირდაპირი ჩანაცვლებით, გაურკვევლობა მიიღება:

4. დამოუკიდებელი ვარჯიშები

ლიმიტების გამოთვლა:

5. გაკვეთილის შეჯამება

ეს გაკვეთილი პირველია

ამ პროექტში თეორიულ მასალასთან ერთად გათვალისწინებული იყო პრაქტიკული მასალაც. პრაქტიკულ გამოყენებაში ჩვენ განვიხილეთ ლიმიტების გამოთვლის ყველა სახის გზა. უმაღლესი მათემატიკის მეორე განყოფილების შესწავლა უკვე დიდ ინტერესს იწვევს, რადგან შარშანდელი თემა „მატრიცები. მატრიცის თვისებების გამოყენება განტოლებათა სისტემების ამოხსნისთვის“, რაც მარტივი იყო, თუნდაც მხოლოდ იმ მიზეზით, რომ შედეგი კონტროლირებადი იყო. აქ ასეთი კონტროლი არ არსებობს. დადებით შედეგს იძლევა უმაღლესი მათემატიკის სექციების შესწავლა. ამ კურსის გაკვეთილებმა შედეგი გამოიღო: - დიდი რაოდენობით თეორიული და პრაქტიკული მასალის შესწავლა; - შემუშავებულია ლიმიტის გამოთვლის მეთოდის არჩევის შესაძლებლობა; - შემუშავებულია გაანგარიშების თითოეული მეთოდის კომპეტენტური გამოყენება; - დაფიქსირებულია დავალების ალგორითმის შემუშავების შესაძლებლობა. ჩვენ გავაგრძელებთ უმაღლესი მათემატიკის სექციების შესწავლას. მისი შესწავლის მიზანია, რომ კარგად მოვემზადოთ უმაღლესი მათემატიკის კურსის ხელახალი შესწავლისთვის.

გეგმა I ფუნქციის ლიმიტის ცნება II ლიმიტის გეომეტრიული მნიშვნელობა III უსასრულოდ მცირე და დიდი ფუნქციები და მათი თვისებები IV ლიმიტების გამოთვლა: 1) ზოგიერთი ყველაზე ხშირად გამოყენებული ლიმიტი; 2) უწყვეტი ფუნქციების საზღვრები; 3) კომპლექსური ფუნქციების საზღვრები; 4) გაურკვევლობები და მათი გადაწყვეტის მეთოდები

0, შეგიძლიათ მიუთითოთ a წერტილის δ-მეზობლობა Ox ღერძზე, ისე, რომ ყველა x-ისთვის ამ სამეზობლოდან x=a-ს გარდა, y-ის შესაბამისი მნიშვნელობა დევს b წერტილის ε-მეზობლობაში მათემატიკური აღნიშვნა: For |x-a|" title=" ლიმიტის გეომეტრიული მნიშვნელობა განმარტება: ნებისმიერი ε>0-სთვის შეგიძლიათ მიუთითოთ a წერტილის δ-მეზობლობა Ox ღერძზე, ისე, რომ ყველა x-ისთვის ამ სამეზობლოდან x-ის გარდა =a, y-ის შესაბამისი მნიშვნელობა დევს b წერტილის ε-მეზობლობაში მათემატიკური აღნიშვნა: For |x-a |" class="link_thumb"> 4 !}ლიმიტის გეომეტრიული მნიშვნელობა განმარტება: ნებისმიერი ε>0-სთვის შეგიძლიათ მიუთითოთ a წერტილის δ-მეზობლობა Ox ღერძზე, ისე რომ ყველა x-ისთვის ამ სამეზობლოდან x=a-ს გარდა, y-ის შესაბამისი მნიშვნელობა დევს b წერტილის ε-მეზობლობა მათემატიკური აღნიშვნა: For |x-a | 0, შეგიძლიათ მიუთითოთ a წერტილის δ-მეზობლობა Ox ღერძზე, ისე, რომ ყველა x-ისთვის ამ სამეზობლოდან x=a-ს გარდა, y-ის შესაბამისი მნიშვნელობა დევს b წერტილის ε-მეზობლობაში a წერტილი Ox ღერძი, ისეთი, რომ ყველა x-ისთვის ამ სამეზობლოდან x=a-ს გარდა, y-ის შესაბამისი მნიშვნელობა დევს b წერტილის ε-მეზობლობაში ისე, რომ ყველა x-სთვის ამ სამეზობლოდან x=a-ს გარდა, y-ის შესაბამისი მნიშვნელობა დევს. b წერტილის ε-მეზობლობაში δ- a წერტილის მეზობლობა Ox ღერძზე, ისეთი, რომ ყველა x ამ სამეზობლოდან x=a-ს გარდა, y-ის შესაბამისი მნიშვნელობა დევს b წერტილის ε-მეზობლობაში. მათემატიკური აღნიშვნა: For |x-a|"> title="ლიმიტის გეომეტრიული მნიშვნელობა განმარტება: ნებისმიერი ε>0-სთვის შეგიძლიათ მიუთითოთ a წერტილის δ-მეზობლობა Ox ღერძზე, ისე რომ ყველა x-ისთვის ამ სამეზობლოდან x=a-ს გარდა, y-ის შესაბამისი მნიშვნელობა დევს b წერტილის ε-მეზობლობა მათემატიკური აღნიშვნა: For |x-a |"> !}

ძირითადი ზღვრული თეორემა თეორემა 1: იმისათვის, რომ რიცხვი A იყოს f (x) ფუნქციის ზღვარი, აუცილებელია და საკმარისია, რომ ეს ფუნქცია იყოს წარმოდგენილი სახით, სადაც არის უსასრულოდ მცირე. დასკვნა 1: ფუნქციას არ შეიძლება ჰქონდეს 2 განსხვავებული ზღვარი ერთ წერტილში. თეორემა 2: მუდმივი მნიშვნელობის ზღვარი ტოლია თავად მუდმივის თეორემა 3: თუ ფუნქცია ყველა x-ისთვის a წერტილის რომელიმე სამეზობლოში, გარდა შესაძლოა თავად a წერტილისა და აქვს ზღვარი a წერტილში, მაშინ

ძირითადი ზღვრული თეორემები (გაგრძელება) თეორემა 4: თუ f 1 (x) და f 2 (x) ფუნქციას აქვს ლიმიტები at, მაშინ მათი ჯამი f 1 (x) + f 2 (x), ნამრავლი f 1 ასევე აქვს ზღუდავს (x)*f 2 (x) და ექვემდებარება f 1 (x)/f 2 (x) კოეფიციენტს და დასკვნა 2: თუ f(x) ფუნქციას აქვს ლიმიტი at, მაშინ, სადაც n არის a ბუნებრივი რიცხვი. დასკვნა 3: მუდმივი ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნას ზღვრის ნიშნიდან

თემა:

ნებისმიერი ადამიანის განვითარება და განათლება არ შეიძლება მიცემული ან კომუნიკაცია. ვისაც სურს შეუერთდეს მათ, უნდა ამის მიღწევა საკუთარი საქმიანობით, საკუთარი ძალებით, საკუთარი ძალისხმევით. გარედან მას მხოლოდ მღელვარების მიღება შეუძლია. ა. დიესტერვეგი

გაკვეთილის მიზნისა და ამოცანების დასახვა:

გამოკვლევა უსასრულობის განსაზღვრა;

ფუნქციის ზღვრის განსაზღვრა უსასრულობაში;
ფუნქციის ზღვრის განსაზღვრა პლუს უსასრულობაზე;
ფუნქციის ზღვრის განსაზღვრა მინუს უსასრულობაზე;
უწყვეტი ფუნქციების თვისებები;

ვისწავლოთ გამოთვალეთ ფუნქციების მარტივი ლიმიტები უსასრულობაში.

ბ.ბოლცანო

ბოლცანო (ბოლცანო) ბერნარდი (1781-1848), ჩეხი მათემატიკოსი და ფილოსოფოსი. იგი ეწინააღმდეგებოდა ფსიქოლოგიზმს ლოგიკაში; ის იდეალურ ობიექტურ არსებობას მიაწერდა ლოგიკის ჭეშმარიტებებს. გავლენა მოახდინა

ე . ჰუსერლი. გააცნო რამდენიმე მნიშვნელოვანი კონცეფცია მათემატიკური ანალიზი, იყო წინამორბედი გ.კანტორიუსაზღვროების შესწავლაში კომპლექტი .

ავგუსტინ ლუი კოში(ფრანგი Augustin Louis Cauchy; 21 აგვისტო, 1789, პარიზი - 23 მაისი, 1857, საფრანგეთი) - დიდი ფრანგი მათემატიკოსი და მექანიკოსი, პარიზის მეცნიერებათა აკადემიის წევრი, ლონდონის სამეფო საზოგადოება.

y=1 /x მ

Არსებობა

lim f(x) = b

x → ∞

უდრის ქონას

ჰორიზონტალური ასიმპტოტი

y = f(x) ფუნქციის გრაფიკი

lim f(x) = b x →+∞

lim f(x) = b და lim f(x) = b x →+∞x→-∞ lim f(x) = b x → ∞

რას შევისწავლით:

რა არის უსასრულობა?

ფუნქციის ლიმიტი უსასრულობაში

ფუნქციის ლიმიტი მინუს უსასრულობაზე .

Თვისებები .

მაგალითები.

ფუნქციის ზღვარი უსასრულობაში.

უსასრულობა - გამოიყენება უსაზღვრო, უსაზღვრო, ამოუწურავი საგნებისა და ფენომენების დასახასიათებლად, ჩვენს შემთხვევაში რიცხვების დასახასიათებლად.

უსასრულობა არის თვითნებურად დიდი (პატარა), შეუზღუდავი რიცხვი.

თუ განვიხილავთ კოორდინატთა სიბრტყეს, მაშინ აბსცისა (ორდინატი) ღერძი მიდის უსასრულობამდე, თუ იგი უსასრულოდ გრძელდება მარცხნივ ან მარჯვნივ (ქვემოთ ან ზევით).

ფუნქციის ზღვარი უსასრულობაში.

ფუნქციის ლიმიტი პლუს უსასრულობამდე.

ახლა მოდით გადავიდეთ ფუნქციის ზღვარზე უსასრულობაში:

გვქონდეს ფუნქცია y=f(x), ჩვენი ფუნქციის დომენი შეიცავს სხივს, ხოლო წრფე y=b იყოს y=f(x) ფუნქციის გრაფიკის ჰორიზონტალური ასიმპტოტი, დავწეროთ ეს ყველაფერი მათემატიკური ენა:

y=f(x) ფუნქციის ზღვარი, რადგან x მიდრეკილია მინუს უსასრულობისკენ, უდრის b

ფუნქციის ზღვარი უსასრულობაში.

ასევე, ჩვენი ურთიერთობები შეიძლება განხორციელდეს ერთდროულად:

შემდეგ ჩვეულებრივია დაწეროთ ის, როგორც:

ან

y=f(x) ფუნქციის ზღვარი, რადგან x უსასრულობისკენ მიისწრაფვის არის b

ფუნქციის ზღვარი უსასრულობაში.

მაგალითი.

მაგალითი. დახატეთ ფუნქცია y=f(x) ისე, რომ:

განსაზღვრების დომენი არის რეალური რიცხვების სიმრავლე.
f(x) - უწყვეტი ფუნქცია

გამოსავალი:

ჩვენ უნდა ავაშენოთ უწყვეტი ფუნქცია (-∞; +∞). მოდით ვაჩვენოთ ჩვენი ფუნქციის რამდენიმე მაგალითი.

ფუნქციის ზღვარი უსასრულობაში.

ძირითადი თვისებები.

უსასრულობის ლიმიტის გამოსათვლელად გამოიყენება რამდენიმე განცხადება:

1) ნებისმიერი ნატურალური რიცხვისთვის m, შემდეგი მიმართება მართალია:

2) თუ

რომ:

ა) ჯამის ლიმიტი უდრის ლიმიტების ჯამს:

ბ) პროდუქტის ზღვარი ტოლია ზღვრების ნამრავლის:

გ) კოეფიციენტის ზღვარი ტოლია ზღვრების კოეფიციენტის:

დ) მუდმივი ფაქტორის ამოღება შესაძლებელია ზღვრული ნიშნიდან:

ფუნქციის ზღვარი უსასრულობაში.

მაგალითი 1

იპოვე

მაგალითი 2

მაგალითი 3

იპოვეთ y=f(x) ფუნქციის ზღვარი, რადგან x უსასრულობისკენ მიისწრაფვის .

ფუნქციის ზღვარი უსასრულობაში.

მაგალითი 1

პასუხი:

მაგალითი 2

პასუხი:

მაგალითი 3

პასუხი:

ფუნქციის ზღვარი უსასრულობაში.

ააგეთ უწყვეტი ფუნქციის გრაფიკი y=f(x). ისეთი, რომ x-ისთვის მიდრეკილი პლიუს უსასრულობისკენ არის 7, ხოლო x-ისთვის, რომელიც მიდრეკილია მინუს უსასრულობამდე 3.
ააგეთ უწყვეტი ფუნქციის გრაფიკი y=f(x). ისეთი, რომ ზღვარი, როგორც x მიდრეკილია პლუს უსასრულობისკენ არის 5 და ფუნქცია იზრდება.
იპოვნეთ ლიმიტები: