ტეტრაედონის მოცულობა არის ფორმულის წარმოშობა. ტეტრაედრის მოცულობა. ტეტრაედრის მოცულობის გამოთვლა, თუ ცნობილია მისი წვეროების კოორდინატები

ტეტრაედრის მოცულობის ძირითადი ფორმულიდან

სადაც სარის ნებისმიერი სახის ფართობი და ჰ- მასზე დაშვებული სიმაღლე, შეგიძლიათ მიიღოთ მრავალი ფორმულა, რომელიც გამოხატავს მოცულობას ტეტრაედრის სხვადასხვა ელემენტების საშუალებით. ჩვენ ვაძლევთ ამ ფორმულებს ტეტრაედრისთვის Ა Ბ Გ Დ.

(2) ,

სად ∠ ( ახ.წ,ABC) არის კუთხე კიდეს შორის ახ.წდა სახის თვითმფრინავი ABC;

(3) ,

სად ∠ ( ABC,ABD) არის კუთხე სახეებს შორის ABCდა ABD;

სად | AB,CD| - მანძილი მოპირდაპირე ნეკნებს შორის ABდა CD, ∠ (AB,CD) არის კუთხე ამ კიდეებს შორის.

ფორმულები (2)–(4) შეიძლება გამოყენებულ იქნას ხაზებსა და სიბრტყეებს შორის კუთხეების მოსაძებნად; განსაკუთრებით სასარგებლოა ფორმულა (4), რომლითაც შეგიძლიათ იპოვოთ მანძილი დახრილ ხაზებს შორის ABდა CD.

ფორმულები (2) და (3) მსგავსია ფორმულის ს = (1/2)აბცოდვა Cსამკუთხედის ფართობისთვის. ფორმულა ს = rpმსგავსი ფორმულა

სადაც რარის ტეტრაედრის ჩაწერილი სფეროს რადიუსი, Σ არის მისი მთლიანი ზედაპირი (ყველა სახის ფართობების ჯამი). ასევე არსებობს ლამაზი ფორმულა, რომელიც აკავშირებს ტეტრაედრის მოცულობას რადიუსთან რმისი აღწერილი ფარგლები ( კრელის ფორმულა):

სადაც Δ არის სამკუთხედის ფართობი, რომლის გვერდები რიცხობრივად უდრის მოპირდაპირე კიდეების ნამრავლებს ( AB× CD, AC× BD,ახ.წ× ძვ.წ). ფორმულიდან (2) და სამკუთხედის კოსინუსების თეორემადან (იხ. სფერული ტრიგონომეტრია), შეიძლება გამოვიტანოთ ჰერონის ფორმულის მსგავსი ფორმულა სამკუთხედებისთვის.

განვიხილოთ თვითნებური სამკუთხედი ABC და წერტილი D, რომელიც არ დევს ამ სამკუთხედის სიბრტყეში. შეაერთეთ ეს წერტილი სეგმენტებით ABC სამკუთხედის წვეროებთან. შედეგად ვიღებთ სამკუთხედებს ADC , CDB , ABD . ზედაპირს, რომელსაც ესაზღვრება ოთხი სამკუთხედი ABC, ADC, CDB და ABD, ეწოდება ტეტრაედონი და აღინიშნება DABC.
სამკუთხედებს, რომლებიც ქმნიან ტეტრაედრონს, მის სახეებს უწოდებენ.
ამ სამკუთხედების გვერდებს ტეტრაედონის კიდეები ეწოდება. და მათი წვეროები ტეტრაედრის წვეროებია

ტეტრაედს აქვს 4 სახე, 6 ნეკნიდა 4 მწვერვალი.
ორ კიდეს, რომლებსაც არ აქვთ საერთო წვერო, საპირისპირო ეწოდება.
ხშირად, მოხერხებულობისთვის, ტეტრაჰედრონის ერთ-ერთ სახეს ეძახიან საფუძველი, ხოლო დანარჩენი სამი სახე გვერდითი სახეებია.

ამრიგად, ტეტრაედონი არის უმარტივესი პოლიედონი, რომლის სახეები ოთხი სამკუთხედია.

მაგრამ ასევე მართალია, რომ ნებისმიერი თვითნებური სამკუთხა პირამიდა არის ტეტრაედონი. მაშინ ისიც მართალია, რომ ტეტრაედონი ეწოდება პირამიდა ძირში სამკუთხედით.

ტეტრაედრის სიმაღლეეწოდება სეგმენტს, რომელიც აკავშირებს წვეროს მოპირდაპირე სახეზე მდებარე და მასზე პერპენდიკულარულ წერტილთან.
ტეტრაედრის მედიანაეწოდება სეგმენტს, რომელიც აკავშირებს წვეროს მოპირდაპირე სახის შუალედების გადაკვეთის წერტილთან.
ბიმედიური ტეტრაედონიეწოდება სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს ტეტრაედონის გადაკვეთის კიდეების შუა წერტილებს.

ვინაიდან ტეტრაედონი არის პირამიდა სამკუთხა ფუძით, ნებისმიერი ტეტრაედრის მოცულობა შეიძლება გამოითვალოს ფორმულის გამოყენებით

• სარის ნებისმიერი სახის ფართობი,
• ჰ- ამ სახეზე ჩამოწია სიმაღლე

რეგულარული ტეტრაჰედრონი - ტეტრაედრის განსაკუთრებული სახეობა

ტეტრაედონი, რომელშიც ყველა სახე ტოლგვერდა სამკუთხედია, ეწოდება სწორი.
რეგულარული ტეტრაედონის თვისებები:

• ყველა კიდე თანაბარია.
• რეგულარული ტეტრაედონის ყველა სიბრტყის კუთხე არის 60°
• ვინაიდან მისი ყოველი წვერო არის სამი რეგულარული სამკუთხედის წვერო, თითოეულ წვეროზე სიბრტყის კუთხეების ჯამი არის 180°.
• რეგულარული ტეტრაედრის ნებისმიერი წვერო დაპროექტებულია მოპირდაპირე სახის ორთოცენტრისკენ (სამკუთხედის სიმაღლეების გადაკვეთის წერტილამდე).

მოდით მივცეთ ჩვეულებრივი ტეტრაედონი ABCD, რომლის კიდეები უდრის a-ს. DH არის მისი სიმაღლე.
გავაკეთოთ დამატებითი კონსტრუქციები BM - ABC სამკუთხედის სიმაღლე და DM - ACD სამკუთხედის სიმაღლე .
სიმაღლე BM უდრის BM და უდრის
განვიხილოთ BDM სამკუთხედი, სადაც DH, რომელიც არის ტეტრაედონის სიმაღლე, ასევე არის ამ სამკუთხედის სიმაღლე.
MB მხარეს ჩამოშვებული სამკუთხედის სიმაღლე შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულის გამოყენებით

, სად
BM=, DM=, BD=a,
p=1/2 (BM+BD+DM)=
ჩაანაცვლეთ ეს მნიშვნელობები სიმაღლის ფორმულაში. მიიღეთ


ამოვიღოთ 1/2a. მიიღეთ

გამოიყენეთ კვადრატების ფორმულის სხვაობა

მცირე გარდაქმნების შემდეგ მივიღებთ


ნებისმიერი ტეტრაედრის მოცულობა შეიძლება გამოითვალოს ფორმულის გამოყენებით
,
სადაც ,

ამ მნიშვნელობების ჩანაცვლებით, ჩვენ ვიღებთ

ამრიგად, რეგულარული ტეტრაედონის მოცულობის ფორმულა არის

სადაც ა-ტეტრაედრის კიდე

ტეტრაედრის მოცულობის გამოთვლა, თუ ცნობილია მისი წვეროების კოორდინატები

მოგვცეს ტეტრაედრის წვეროების კოორდინატები

ვექტორების დახატვა წვეროდან , , .
თითოეული ამ ვექტორის კოორდინატების საპოვნელად, გამოაკელით შესაბამისი საწყისი კოორდინატი ბოლო კოორდინატს. მიიღეთ

შენიშვნა. ეს არის გაკვეთილის ნაწილი გეომეტრიის პრობლემებთან დაკავშირებით (განყოფილება მყარი გეომეტრია, პრობლემები პირამიდის შესახებ). თუ თქვენ გჭირდებათ პრობლემის გადაჭრა გეომეტრიაში, რომელიც აქ არ არის - დაწერეთ ამის შესახებ ფორუმზე. ამოცანებში "კვადრატული ფესვის" სიმბოლოს ნაცვლად გამოიყენება sqrt () ფუნქცია, რომელშიც sqrt არის კვადრატული ფესვის სიმბოლო, ხოლო რადიკალური გამოხატულება მითითებულია ფრჩხილებში..მარტივი რადიკალური გამონათქვამებისთვის შეიძლება გამოყენებულ იქნას ნიშანი "√".. რეგულარული ტეტრაედონიარის რეგულარული სამკუთხა პირამიდა, რომელშიც ყველა სახე ტოლგვერდა სამკუთხედია.

რეგულარული ტეტრაედრონისთვის, ყველა ორკუთხა კუთხე კიდეებზე და ყველა სამკუთხედი წვეროებზე ტოლია

ტეტრაედრონს აქვს 4 სახე, 4 წვერო და 6 კიდე.

ჩვეულებრივი ტეტრაედონის ძირითადი ფორმულები მოცემულია ცხრილში.

სად:
S - რეგულარული ტეტრაედრის ზედაპირის ფართობი
V - მოცულობა
h - სიმაღლე ძირამდე დაშვებული
r - ტეტრაედრონში ჩაწერილი წრის რადიუსი
R - შემოხაზული წრის რადიუსი
ა - ნეკნის სიგრძე

პრაქტიკული მაგალითები

Დავალება.
იპოვეთ სამკუთხა პირამიდის ზედაპირის ფართობი, რომლის თითოეული კიდე უდრის √3

გამოსავალი.
ვინაიდან სამკუთხა პირამიდის ყველა კიდე ტოლია, ეს სწორია. რეგულარული სამკუთხა პირამიდის ზედაპირის ფართობი არის S = a 2 √3.
მერე
S = 3√3

უპასუხე: 3√3

Დავალება.
რეგულარული სამკუთხა პირამიდის ყველა კიდე არის 4 სმ. იპოვეთ პირამიდის მოცულობა

გამოსავალი.
ვინაიდან ჩვეულებრივ სამკუთხა პირამიდაში პირამიდის სიმაღლე დაპროექტებულია ფუძის ცენტრში, რომელიც ასევე არის შემოხაზული წრის ცენტრი, მაშინ

AO = R = √3 / 3a
AO = 4√3 / 3

ამრიგად, პირამიდის OM სიმაღლე შეიძლება ვიპოვოთ AOM მართკუთხა სამკუთხედიდან

AO 2 + OM 2 = AM 2
OM 2 = AM 2 - AO 2
OM 2 = 4 2 - (4√3 / 3) 2
OM 2 = 16 - 16/3
OM = √(32/3)
OM = 4√2 / √3

პირამიდის მოცულობა გვხვდება ფორმულით V = 1/3 შ
ამ შემთხვევაში, ჩვენ ვპოულობთ ფუძის ფართობს S \u003d √3/4 a 2 ფორმულით.

V = 1/3 (√3 / 4 * 16) (4√2 / √3)
V=16√2/3

უპასუხე: 16√2/3სმ

ტეტრაედრის განმარტება

ტეტრაედონი- უმარტივესი მრავალწახნაგოვანი სხეული, რომლის სახეები და ფუძე სამკუთხედებია.

ონლაინ კალკულატორი

ტეტრაედრონს აქვს ოთხი სახე, რომელთაგან თითოეული სამი გვერდით არის ჩამოყალიბებული. ტეტრაედრონს ოთხი წვერო აქვს, თითოეულს სამი კიდე აქვს.

ეს სხეული იყოფა რამდენიმე ტიპად. ქვემოთ მოცემულია მათი კლასიფიკაცია.

1. იზოჰედრული ტეტრაედონი- მისი ყველა სახე ერთი და იგივე სამკუთხედია;
2. ორთოცენტრული ტეტრაედონი- თითოეული წვეროდან მოპირდაპირე პირამდე დახატული ყველა სიმაღლე სიგრძით ერთნაირია;
3. მართკუთხა ტეტრაედონი- ერთი წვეროდან გამომავალი კიდეები ქმნიან 90 გრადუსიან კუთხეს ერთმანეთთან;
4. ჩარჩო;
5. პროპორციული;
6. ცენტრალური.

ტეტრაედრის მოცულობის ფორმულები

მოცემული სხეულის მოცულობა შეიძლება რამდენიმე გზით მოიძებნოს. მოდით გავაანალიზოთ ისინი უფრო დეტალურად.

ვექტორების შერეული პროდუქტის მეშვეობით

თუ ტეტრაედონი აგებულია სამ ვექტორზე კოორდინატებით:

A ⃗ = (a x, a y, a z) \vec(a)=(a_x, a_y, a_z)ა= (ა x​ , ა წ​ , ა ზ​ )
b ⃗ = (b x, b y, b z) \vec(b)=(b_x, b_y, b_z)ბ= (ბ x​ , ბ წ​ , ბ ზ​ )
c ⃗ = (c x, c y, c z) \vec(c)=(c_x, c_y, c_z)გ= (გ x​ , გ წ​ , გ ზ​ ) ,

მაშინ ამ ტეტრაედონის მოცულობა არის ამ ვექტორების შერეული პროდუქტი, ანუ ასეთი განმსაზღვრელი:

ტეტრაედრის მოცულობა განმსაზღვრელი გზით

V = 1 6 ⋅ ∣ axayazbxbybzcxcycz ∣ V=\frac(1)(6)\cdot\begin(vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z, \\\end )V =6 1 ​ ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ ა x​ ბ x​ გ x​ ​ ა წ​ ბ წ​ გ წ​ ​ ა ზ​ ბ ზ​ გ ზ​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​

დავალება 1

ცნობილია ოქტაედრის ოთხი წვერის კოორდინატები. A (1, 4, 9) A(1,4,9) A (1, 4, 9), B(8, 7, 3) B(8,7,3) B(8, 7, 3), C (1, 2, 3) C(1,2,3) C (1, 2, 3), D(7, 12, 1) D(7,12,1) D (7, 1 2, 1). იპოვეთ მისი მოცულობა.

გამოსავალი

A (1, 4, 9) A(1,4,9) A (1, 4, 9)
B(8, 7, 3) B(8,7,3) B(8, 7, 3)
C (1, 2, 3) C(1,2,3) C (1, 2, 3)
D(7, 12, 1) D(7,12,1) D (7, 1 2, 1)

პირველი ნაბიჯი არის ვექტორების კოორდინატების განსაზღვრა, რომლებზეც აგებულია მოცემული სხეული.
ამისათვის თქვენ უნდა იპოვოთ ვექტორის თითოეული კოორდინატი ორი წერტილის შესაბამისი კოორდინატების გამოკლებით. მაგალითად, ვექტორული კოორდინატები A B → \overrightarrow(AB) A B, ანუ წერტილიდან მიმართული ვექტორი ᲐᲐ ააზრამდე B B ბ, ეს არის წერტილების შესაბამისი კოორდინატების განსხვავებები B B ბდა ᲐᲐ ა:

AB → = (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9) = (7 , 3 , − 6) \overrightarrow(AB)=(8-1, 7-4, 3-9)=(7, 3, -6)A B= (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9 ) = (7 , 3 , − 6 )

AC → = (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9) = (0 , − 2 , − 6) \overrightarrow(AC)=(1-1, 2-4, 3-9)=(0, - 2, -6)A C= (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9 ) = (0 , − 2 , − 6 )
AD → = (7 − 1 , 12 − 4 , 1 − 9) = (6 , 8 , − 8) \overrightarrow(AD)=(7-1, 12-4, 1-9)=(6, 8, -8)A D= (7 − 1 , 1 2 − 4 , 1 − 9 ) = (6 , 8 , − 8 )

ახლა ჩვენ ვპოულობთ ამ ვექტორების შერეულ ნამრავლს, ამისათვის ჩვენ ვქმნით მესამე რიგის განმსაზღვრელს, და ვვარაუდობთ, რომ A B → = a ⃗ \overrightarrow(AB)=\vec(a)A B= ა, A C → = b ⃗ \overrightarrow(AC)=\vec(b)A C= ბ, A D → = c ⃗ \overrightarrow(AD)=\vec(c)A D= გ.

∣ axayazbxbybzcxcycz ∣ = ∣ 7 3 − 6 0 − 2 − 6 6 8 − 8 ∣ = 7 ⋅ (− 2) ⋅ (− 8) + 3 ⋅ (− 6) − − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (− 6) ⋅ (− 2) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8) = 112 − 108 − 0 − 72 + 336 + 0 = 268 \x a_xmat a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end(vmatrix)= \begin(vmatrix) 7 & 3 & -6 \\ 0 & -2 & -6 \\ 6 & 8 & -8 \\ \end(vmatrix)=7\cdot(-2)\cdot(-8) + 3\cdot(-6)\cdot6 + (-6)\cdot0\cdot8 - (-6)\cdot (-2)\cdot6 - 7\cdot(-6)\cdot8 - 3\cdot0\cdot(-8) = 112 - 108 - 0 - 72 + 336 + 0 = 268∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ ა x​ ბ x​ გx​ ​ აწ​ ბწ​ გწ​ ​ აზ​ ბზ​ გზ​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ 7 0 6 ​ 3 − 2 8 ​ − 6 − 6 − 8 ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = 7 ⋅ (− 2 ) ⋅ (− 8 ) + 3 ⋅ (− 6 ) ⋅ 6 + (− 6 ) ⋅ 0 ⋅ 8 − (− 6 ) ⋅ (− 2 ) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6 ) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8 ) = 1 1 2 − 1 0 8 − 0 − 7 2 + 3 3 6 + 0 = 2 6 8

ანუ ტეტრაედრის მოცულობა არის:

$ვ=61\cdot |$

უპასუხე

$44.8\text{სმ3 .}$

იზოედრული ტეტრაედრის მოცულობის ფორმულა მის მხარესთან

ეს ფორმულა მოქმედებს მხოლოდ იზოედრული ტეტრაედრის მოცულობის გამოსათვლელად, ანუ ტეტრაედრის, რომელშიც ყველა სახე არის იდენტური რეგულარული სამკუთხედი.

იზოედრული ტეტრაედონის მოცულობა

$ვ=12\sqrt{2\cdot {ა}^3}$

აააარის ტეტრაედრის კიდის სიგრძე.

დავალება 2

იპოვეთ ტეტრაედრის მოცულობა, თუ მისი გვერდი ტოლია $11\text{სმ.}$

გამოსავალი

$ა=11$

შემცვლელი ააატეტრაედრის მოცულობის ფორმულაში:

$ვ=12\sqrt{2\cdot {ა}^{3=12\sqrt{2\cdot 11^{3\approx 156.8\text{სმ3}}}}}$

უპასუხე

$156.8\text{სმ3 .}$