ალბათობის აღება. ალბათობის თეორია. მოვლენის ალბათობა, შემთხვევითი მოვლენები (ალბათობის თეორია). დამოუკიდებელი და შეუთავსებელი მოვლენები ალბათობის თეორიაში. პრობლემების გადაჭრის მაგალითები კლასიკური ალბათობით

მაშინ ჩვენ ვამბობთ, რომ შემთხვევითი ცვლადი ξ Მას აქვს ალბათობის განაწილების სიმკვრივე f(x).

განმარტება.დაე . უწყვეტი განაწილების ფუნქციისთვის ფ თეორიული α-კვანტილიგანტოლების ამოხსნა ეწოდება.

ეს გამოსავალი შეიძლება არ იყოს ერთადერთი.

დონის კვანტილი ½ თეორიული ეწოდება მედიანური , დონის კვანტილები ¼ და ¾ -ქვედა და ზედა კვარტლები შესაბამისად.

აქტუარულ აპლიკაციებში მნიშვნელოვან როლს ასრულებს ჩებიშევის უთანასწორობა:

ნებისმიერისთვის

მათემატიკური მოლოდინის სიმბოლო.

ასე იკითხება:ალბათობა იმისა, რომ მოდული ნაკლებია ან ტოლია მოდულის მოლოდინის გაყოფაზე.

სიცოცხლის ხანგრძლივობა, როგორც შემთხვევითი ცვლადი

სიკვდილის მომენტის გაურკვევლობა სიცოცხლის დაზღვევაში მთავარი რისკფაქტორია.

პიროვნების გარდაცვალების მომენტზე დაზუსტებით ვერაფერს ვიტყვით. თუმცა, თუ საქმე გვაქვს ადამიანთა დიდ ჰომოგენურ ჯგუფთან და არ გვაინტერესებს ამ ჯგუფის ცალკეული ადამიანების ბედი, მაშინ ჩვენ ვართ ალბათობის თეორიის ჩარჩოებში, როგორც მასობრივი შემთხვევითი ფენომენების მეცნიერება სიხშირის სტაბილურობის თვისებით.

შესაბამისად, ჩვენ შეგვიძლია ვისაუბროთ სიცოცხლის ხანგრძლივობაზე, როგორც შემთხვევითი T ცვლადი.

გადარჩენის ფუნქცია

ალბათობის თეორიაში ისინი აღწერენ ნებისმიერი შემთხვევითი ცვლადის სტოქასტურ ბუნებას თგანაწილების ფუნქცია F(x),რომელიც განისაზღვრება როგორც შემთხვევითი ცვლადის ალბათობა თრიცხვზე ნაკლები x:

.

აქტუარულ მათემატიკაში სასიამოვნოა მუშაობა არა განაწილების ფუნქციით, არამედ დამატებითი განაწილების ფუნქციით . სიცოცხლის ხანგრძლივობის თვალსაზრისით, ეს არის ალბათობა იმისა, რომ ადამიანი იცოცხლებს ასაკამდე xწლები.

დაურეკა გადარჩენის ფუნქცია(გადარჩენის ფუნქცია):

გადარჩენის ფუნქციას აქვს შემდეგი თვისებები:

ცხოვრების ცხრილებში, ჩვეულებრივ, ვარაუდობენ, რომ არსებობს რამდენიმე ასაკობრივი შეზღუდვა (შეზღუდვის ასაკი) (როგორც წესი, წლები) და, შესაბამისად, ზე x>.

სიკვდილიანობის ანალიტიკური კანონებით აღწერისას, ჩვეულებრივ, ვარაუდობენ, რომ სიცოცხლის ხანგრძლივობა შეუზღუდავია, თუმცა კანონების ტიპი და პარამეტრები ისეა შერჩეული, რომ გარკვეულ ასაკში სიცოცხლის ალბათობა უმნიშვნელოა.

გადარჩენის ფუნქციას აქვს მარტივი სტატისტიკური მნიშვნელობა.

ვთქვათ, ვაკვირდებით ახალშობილთა ჯგუფს (ჩვეულებრივ), რომლებსაც ვაკვირდებით და შეგვიძლია მათი გარდაცვალების მომენტების ჩაწერა.

ავღნიშნოთ ამ ჯგუფის ცოცხალი წარმომადგენლების რაოდენობა ასაკობრივად. შემდეგ:

.

სიმბოლო ეაქ და ქვემოთ გამოიყენება მათემატიკური მოლოდინის აღსანიშნავად.

ასე რომ, გადარჩენის ფუნქცია უდრის ახალშობილთა გარკვეული ფიქსირებული ჯგუფიდან ასაკამდე გადარჩენილთა საშუალო პროპორციას.

აქტუარულ მათემატიკაში ადამიანი ხშირად მუშაობს არა გადარჩენის ფუნქციით, არამედ ახლად შემოღებული მნიშვნელობით (ჯგუფის საწყისი ზომის დაფიქსირებით).

გადარჩენის ფუნქცია შეიძლება აღდგეს სიმკვრივისგან:

სიცოცხლის ხანგრძლივობის მახასიათებლები

პრაქტიკული თვალსაზრისით, მნიშვნელოვანია შემდეგი მახასიათებლები:

1 . საშუალოსიცოცხლის განმავლობაში

,
2 . დისპერსიასიცოცხლის განმავლობაში

,
სადაც
,

დღემდე წარმოდგენილია მათემატიკაში USE ამოცანების ღია ბანკში (mathege.ru), რომლის გადაწყვეტაც მხოლოდ ერთ ფორმულას ეფუძნება, რომელიც არის ალბათობის კლასიკური განმარტება.

ფორმულის გაგების უმარტივესი გზაა მაგალითები.
მაგალითი 1კალათაში არის 9 წითელი ბურთი და 3 ლურჯი. ბურთები განსხვავდება მხოლოდ ფერით. შემთხვევით (დათვალიერების გარეშე) ვიღებთ ერთ მათგანს. რა არის იმის ალბათობა, რომ ამ გზით არჩეული ბურთი ლურჯი იყოს?

კომენტარი.ალბათობის თეორიის პრობლემებში ხდება რაღაც (ამ შემთხვევაში, ბურთის გაყვანის ჩვენი მოქმედება), რომელსაც შეიძლება ჰქონდეს განსხვავებული შედეგი - შედეგი. უნდა აღინიშნოს, რომ შედეგი შეიძლება განიხილებოდეს სხვადასხვა გზით. „ბურთი ამოვიღეთ“ ასევე შედეგია. „ლურჯი ბურთი ამოვიღეთ“ – ეს შედეგია. „ჩვენ ეს კონკრეტული ბურთი ყველა შესაძლო ბურთიდან გამოვიტანეთ“ - შედეგის ამ ყველაზე ნაკლებად განზოგადებულ ხედვას ელემენტარული შედეგი ეწოდება. ეს არის ელემენტარული შედეგები, რომლებიც იგულისხმება ალბათობის გამოთვლის ფორმულაში.

გამოსავალი.ახლა ჩვენ ვიანგარიშებთ ლურჯი ბურთის არჩევის ალბათობას.
მოვლენა A: "არჩეული ბურთი ლურჯი აღმოჩნდა"
ყველა შესაძლო შედეგის ჯამური რაოდენობა: 9+3=12 (ყველა ბურთის რაოდენობა, რომელთა დახატვა შეგვიძლია)
A მოვლენისთვის ხელსაყრელი შედეგების რაოდენობა: 3 (ისეთი შედეგების რაოდენობა, რომლებშიც მოხდა A მოვლენა - ეს არის ლურჯი ბურთების რაოდენობა)
P(A)=3/12=1/4=0.25
პასუხი: 0.25

იგივე პრობლემისთვის გამოვთვალოთ წითელი ბურთის არჩევის ალბათობა.
შესაძლო შედეგების საერთო რაოდენობა იგივე დარჩება 12. ხელსაყრელი შედეგების რაოდენობა: 9. სასურველი ალბათობა: 9/12=3/4=0.75

ნებისმიერი მოვლენის ალბათობა ყოველთვის 0-დან 1-მდეა.
ზოგჯერ ყოველდღიურ მეტყველებაში (მაგრამ არა ალბათობის თეორიაში!) მოვლენების ალბათობა ფასდება პროცენტულად. მათემატიკური და სასაუბრო შეფასებას შორის გადასვლა ხდება 100%-ზე გამრავლებით (ან გაყოფით).
Ისე,
ამ შემთხვევაში, ალბათობა ნულის ტოლია იმ მოვლენებისთვის, რომლებიც არ შეიძლება მოხდეს - წარმოუდგენელია. მაგალითად, ჩვენს მაგალითში, ეს იქნება კალათიდან მწვანე ბურთის გამოტანის ალბათობა. (ხელსაყრელი შედეგების რაოდენობა არის 0, P(A)=0/12=0 თუ დათვლილია ფორმულის მიხედვით)
ალბათობა 1-ს აქვს მოვლენები, რომლებიც აბსოლუტურად აუცილებლად მოხდება, ვარიანტების გარეშე. მაგალითად, ალბათობა იმისა, რომ "არჩეული ბურთი იქნება წითელი ან ლურჯი" არის ჩვენი პრობლემა. (ხელსაყრელი შედეგების რაოდენობა: 12, P(A)=12/12=1)

ჩვენ განვიხილეთ კლასიკური მაგალითი, რომელიც ასახავს ალბათობის განმარტებას. ყველა მსგავსი USE პრობლემა ალბათობის თეორიაში წყდება ამ ფორმულის გამოყენებით.
წითელი და ლურჯი ბურთების ნაცვლად შეიძლება იყოს ვაშლი და მსხალი, ბიჭები და გოგოები, ნასწავლი და დაუსწავლელი ბილეთები, ბილეთები, რომლებიც შეიცავს და არ შეიცავს კითხვას თემაზე (პროტოტიპები, ), დეფექტური და მაღალი ხარისხის ჩანთები ან ბაღის ტუმბოები (პროტოტიპები, ) - პრინციპი იგივე რჩება.

ისინი ოდნავ განსხვავდებიან USE ალბათობის თეორიის პრობლემის ფორმულირებაში, სადაც თქვენ უნდა გამოთვალოთ მოვლენის ალბათობა გარკვეულ დღეს. ( , ) როგორც წინა ამოცანებში, თქვენ უნდა დაადგინოთ რა არის ელემენტარული შედეგი და შემდეგ გამოიყენოთ იგივე ფორმულა.

მაგალითი 2კონფერენცია სამ დღეს გრძელდება. პირველ და მეორე დღეს თითო 15 გამომსვლელი, მესამე დღეს - 20. რა არის ალბათობა იმისა, რომ პროფესორ მ.-ს მოხსენება დაეცემა მესამე დღეს, თუ მოხსენებების თანმიმდევრობა განისაზღვრება გათამაშებით?

რა არის აქ ელემენტარული შედეგი? - პროფესორის მოხსენების მინიჭება ყველა შესაძლო სერიულ ნომერზე გამოსვლისთვის. გათამაშებაში მონაწილეობს 15+15+20=50 ადამიანი. ამრიგად, პროფესორ მ.-ს მოხსენებას შეუძლია მიიღოს 50 ნომრიდან ერთი. ეს ნიშნავს, რომ არსებობს მხოლოდ 50 ელემენტარული შედეგი.
რა არის ხელსაყრელი შედეგები? - ის, რომლებშიც გამოდის, რომ პროფესორი მესამე დღეს ილაპარაკებს. ანუ ბოლო 20 ნომერი.
ფორმულის მიხედვით ალბათობა P(A)= 20/50=2/5=4/10=0.4
პასუხი: 0.4

წილისყრა აქ არის შემთხვევითი მიმოწერის დამყარება ადამიანებსა და შეკვეთილ ადგილებს შორის. მე-2 მაგალითში, დამთხვევა განიხილებოდა იმ კუთხით, თუ რომელი ადგილის დაკავება შეეძლო კონკრეტულ ადამიანს. თქვენ შეგიძლიათ იგივე სიტუაციას მიუახლოვდეთ მეორე მხრიდან: ადამიანებიდან რომელი, რა ალბათობით შეიძლება მოხვდეს კონკრეტულ ადგილას (პროტოტიპები , , , ):

მაგალითი 3გათამაშებაში მონაწილეობს 5 გერმანელი, 8 ფრანგი და 3 ესტონელი. რა არის იმის ალბათობა, რომ პირველი (/მეორე/მეშვიდე/ბოლო - არა უშავს) ფრანგი იყოს.

ელემენტარული შედეგების რაოდენობა არის ყველა შესაძლო ადამიანის რიცხვი, ვინც წილისყრით შეძლებდა მოცემულ ადგილზე მისვლას. 5+8+3=16 ადამიანი.
ხელსაყრელი შედეგები - ფრანგები. 8 ადამიანი.
სასურველი ალბათობა: 8/16=1/2=0,5
პასუხი: 0.5

პროტოტიპი ოდნავ განსხვავებულია. არის ამოცანები მონეტების () და კამათლების () შესახებ, რომლებიც გარკვეულწილად უფრო კრეატიულია. ამ პრობლემების გადაწყვეტა შეგიძლიათ იხილოთ პროტოტიპის გვერდებზე.

აქ მოცემულია მონეტების ან კამათლის სროლის რამდენიმე მაგალითი.

მაგალითი 4როცა მონეტას ვაგდებთ, რა არის კუდების მიღების ალბათობა?
შედეგები 2 - თავები ან კუდები. (ითვლება, რომ მონეტა არასოდეს ცვივა კიდეზე) ხელსაყრელი შედეგი - კუდები, 1.
ალბათობა 1/2=0.5
პასუხი: 0.5.

მაგალითი 5რა მოხდება, თუ მონეტას ორჯერ გადავუხვევთ? რა არის იმის ალბათობა, რომ ის ორივეჯერ ამოვა თავში?
მთავარია განვსაზღვროთ რომელ ელემენტარულ შედეგებს გავითვალისწინებთ ორი მონეტის სროლისას. ორი მონეტის გადაყრის შემდეგ შეიძლება მოხდეს ერთ-ერთი შემდეგი შედეგი:
1) PP - ორივეჯერ ამოვიდა კუდები
2) PO - პირველად კუდები, მეორედ თავები
3) OP - პირველად თავები, მეორედ კუდები
4) OO - ხელმძღვანელობს ორივე ჯერ
სხვა ვარიანტები არ არის. ეს ნიშნავს, რომ არის 4 ელემენტარული შედეგი. მხოლოდ პირველია ხელსაყრელი, 1.
ალბათობა: 1/4=0,25
პასუხი: 0.25

რა არის იმის ალბათობა, რომ მონეტის ორი სროლა კუდებზე დაჯდეს?
ელემენტარული შედეგების რაოდენობა იგივეა, 4. ხელსაყრელი შედეგებია მეორე და მესამე, 2.
ერთი კუდის მიღების ალბათობა: 2/4=0.5

ასეთ პრობლემებში სხვა ფორმულა შეიძლება გამოდგება.
თუ მონეტის ერთი გადაგდებისას გვაქვს 2 შესაძლო შედეგი, მაშინ შედეგის ორი გადასროლისთვის იქნება 2 2=2 2 =4 (როგორც მაგალითში 5), სამი გადაყრისთვის 2 2 2=2 3 =8, ოთხისთვის. : 2·2·2·2=2 4 =16, … შესაძლო შედეგების N სროლისთვის იქნება 2·2·...·2=2 N .

ასე რომ, თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ ალბათობა იმისა, რომ მიიღოთ 5 კუდი 5 მონეტის გადაყრიდან.
ელემენტარული შედეგების საერთო რაოდენობა: 2 5 =32.
ხელსაყრელი შედეგები: 1. (RRRRRR - ყველა 5-ჯერ კუდი)
ალბათობა: 1/32=0,03125

იგივე ეხება კამათელს. ერთი სროლით არის 6 შესაძლო შედეგი, ასე რომ, ორი სროლისთვის: 6 6=36, სამისთვის 6 6 6=216 და ა.შ.

მაგალითი 6კამათელს ვყრით. რა არის ლუწი რიცხვის მიღების ალბათობა?

სულ შედეგები: 6, სახეების რაოდენობის მიხედვით.
ხელსაყრელი: 3 შედეგი. (2, 4, 6)
ალბათობა: 3/6=0,5

მაგალითი 7ჩააგდე ორი კამათელი. რა არის იმის ალბათობა, რომ ჯამური 10-ს გადაიტანოს? (დამრგვალეთ მეასედამდე)

ერთი სიკვდილისთვის არის 6 შესაძლო შედეგი. აქედან გამომდინარე, ორისთვის, ზემოაღნიშნული წესის მიხედვით, 6·6=36.
რა შედეგები იქნება ხელსაყრელი, რომ სულ 10 ამოვარდეს?
10 უნდა დაიშალოს ორი რიცხვის ჯამად 1-დან 6-მდე. ეს შეიძლება გაკეთდეს ორი გზით: 10=6+4 და 10=5+5. ასე რომ, კუბებისთვის, შესაძლებელია ვარიანტები:
(6 პირველზე და 4 მეორეზე)
(4 პირველზე და 6 მეორეზე)
(5 პირველზე და 5 მეორეზე)
ჯამში 3 ვარიანტი. სასურველი ალბათობა: 3/36=1/12=0,08
პასუხი: 0.08

B6 პრობლემების სხვა ტიპები განხილული იქნება ერთ-ერთ შემდეგ სტატიაში "როგორ მოვაგვაროთ".

ალბათობაარის რიცხვი 0-დან 1-მდე, რომელიც ასახავს შემთხვევითი მოვლენის მოხდენის შანსებს, სადაც 0 არის მოვლენის დადგომის ალბათობის სრული არარსებობა და 1 ნიშნავს, რომ აღნიშნული მოვლენა აუცილებლად მოხდება.

E მოვლენის ალბათობა არის რიცხვი 1-ს შორის.
ურთიერთგამომრიცხავი მოვლენების ალბათობების ჯამი არის 1.

ემპირიული ალბათობა- ალბათობა, რომელიც გამოითვლება, როგორც წარსულში მომხდარი მოვლენის ფარდობითი სიხშირე, ამოღებული ისტორიული მონაცემების ანალიზიდან.

ძალიან იშვიათი მოვლენების ალბათობა ემპირიულად ვერ გამოითვლება.

სუბიექტური ალბათობა- მოვლენის პიროვნულ სუბიექტურ შეფასებაზე დაფუძნებული ალბათობა, ისტორიული მონაცემების მიუხედავად. ინვესტორები, რომლებიც იღებენ გადაწყვეტილებას აქციების ყიდვა-გაყიდვის შესახებ, ხშირად მოქმედებენ სუბიექტური ალბათობის საფუძველზე.

წინასწარი ალბათობა -

შანსი 1-დან… (შანსები), რომ მოვლენა მოხდეს ალბათობის კონცეფციის მეშვეობით. მოვლენის დადგომის შანსი გამოიხატება ალბათობით შემდეგნაირად: P/(1-P).

მაგალითად, თუ მოვლენის ალბათობა არის 0.5, მაშინ მოვლენის შანსი არის 1 2-დან, ვინაიდან 0.5/(1-0.5).

შანსი იმისა, რომ მოვლენა არ მოხდეს, გამოითვლება ფორმულით (1-P)/P

არათანმიმდევრული ალბათობა- მაგალითად, A კომპანიის აქციების ფასში გათვალისწინებულია E შესაძლო მოვლენის 85%, ხოლო B კომპანიის აქციების ფასში მხოლოდ 50%. ამას ჰქვია შეუსაბამობის ალბათობა. ჰოლანდიური ფსონების თეორემის თანახმად, შეუსაბამობის ალბათობა ქმნის მოგების შესაძლებლობებს.

უპირობო ალბათობაარის პასუხი კითხვაზე "რა არის ალბათობა იმისა, რომ მოხდეს მოვლენა?"

პირობითი ალბათობაარის პასუხი კითხვაზე: „რა არის A მოვლენის ალბათობა, თუ B მოვლენა მოხდა“. პირობითი ალბათობა აღინიშნება როგორც P(A|B).

ერთობლივი ალბათობაარის ალბათობა იმისა, რომ მოვლენები A და B ერთდროულად მოხდეს. დანიშნულია როგორც P(AB).

P(A|B) = P(AB)/P(B) (1)

P(AB) = P(A|B)*P(B)

ალბათობის შეჯამების წესი:

ალბათობა იმისა, რომ მოვლენა A ან მოვლენა B მოხდეს

P(A ან B) = P(A) + P(B) - P(AB) (2)

თუ მოვლენები A და B ურთიერთგამომრიცხავია, მაშინ

P(A ან B) = P(A) + P(B)

დამოუკიდებელი მოვლენები- მოვლენები A და B დამოუკიდებელია, თუ

P(A|B) = P(A), P(B|A) = P(B)

ანუ, ეს არის შედეგების თანმიმდევრობა, სადაც ალბათობის მნიშვნელობა მუდმივია ერთი მოვლენიდან მეორეზე.
მონეტის გადაგდება ასეთი მოვლენის მაგალითია - ყოველი მომდევნო ჩაგდების შედეგი არ არის დამოკიდებული წინას შედეგზე.

დამოკიდებული მოვლენებიეს არის მოვლენები, რომლებშიც ერთის დადგომის ალბათობა დამოკიდებულია მეორის დადგომის ალბათობაზე.

დამოუკიდებელი მოვლენების ალბათობის გამრავლების წესი:
თუ მოვლენები A და B დამოუკიდებელია, მაშინ

P(AB) = P(A) * P(B) (3)

საერთო ალბათობის წესი:

P(A) = P(AS) + P(AS") = P(A|S") P(S) + P(A|S") P(S") (4)

S და S" ურთიერთგამომრიცხავი მოვლენებია

მოსალოდნელი ღირებულებაშემთხვევითი ცვლადი არის შემთხვევითი ცვლადის შესაძლო შედეგების საშუალო. X მოვლენისთვის მოლოდინი აღინიშნება როგორც E(X).

დავუშვათ, ჩვენ გვაქვს ურთიერთგამომრიცხავი მოვლენების 5 მნიშვნელობა გარკვეული ალბათობით (მაგალითად, კომპანიის შემოსავალმა შეადგინა ესა თუ ის თანხა ასეთი ალბათობით). მოლოდინი არის ყველა შედეგის ჯამი, გამრავლებული მათ ალბათობაზე:

შემთხვევითი ცვლადის ვარიაცია არის შემთხვევითი ცვლადის კვადრატული გადახრების მოსალოდნელი მნიშვნელობა მისი მოსალოდნელი მნიშვნელობიდან:

s 2 = E( 2 ) (6)

პირობითი მოსალოდნელი მნიშვნელობა - X შემთხვევითი ცვლადის მოლოდინი, იმ პირობით, რომ მოვლენა S უკვე მოხდა.

პრაქტიკული თვალსაზრისით, მოვლენის ალბათობაარის იმ დაკვირვებების რაოდენობის თანაფარდობა, რომლებშიც მოხდა ეს მოვლენა დაკვირვებების მთლიან რაოდენობასთან. ასეთი ინტერპრეტაცია დასაშვებია საკმარისად დიდი რაოდენობის დაკვირვების ან ექსპერიმენტის შემთხვევაში. მაგალითად, თუ ქუჩაში შემხვედრი ადამიანების დაახლოებით ნახევარი ქალია, მაშინ შეიძლება ითქვას, რომ ალბათობა იმისა, რომ ადამიანი, რომელსაც ქუჩაში შეხვდებით, ქალია, არის 1/2. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, შემთხვევითი ექსპერიმენტის დამოუკიდებელი გამეორებების ხანგრძლივ სერიაში მისი წარმოშობის სიხშირე შეიძლება იყოს მოვლენის ალბათობის შეფასება.

ალბათობა მათემატიკაში

თანამედროვე მათემატიკური მიდგომით, კლასიკური (ანუ, არა კვანტური) ალბათობა მოცემულია კოლმოგოროვის აქსიომატიკით. ალბათობა არის საზომი პ, რომელიც დაყენებულია გადასაღებ მოედანზე X, რომელსაც ეწოდება ალბათობის სივრცე. ამ ზომას უნდა ჰქონდეს შემდეგი თვისებები:

ამ პირობებიდან გამომდინარეობს, რომ ალბათობის ზომა პასევე აქვს ქონება ადიტიურობა: თუ დაყენებულია ა 1 და ა 2 არ იკვეთება, მაშინ . ამის დასამტკიცებლად, თქვენ უნდა დააყენოთ ყველაფერი ა 3 , ა 4, … უდრის ცარიელ სიმრავლეს და გამოიყენეთ თვლადი დანამატის თვისება.

ალბათობის ზომა შეიძლება არ იყოს განსაზღვრული სიმრავლის ყველა ქვეჯგუფისთვის X. საკმარისია მისი განსაზღვრა სიგმა-ალგებრაზე, რომელიც შედგება სიმრავლის ზოგიერთი ქვესიმრავლისგან. X. ამ შემთხვევაში, შემთხვევითი მოვლენები განისაზღვრება, როგორც სივრცის გაზომვადი ქვეჯგუფები X, ანუ როგორც სიგმა ალგებრის ელემენტები.

ალბათობის გრძნობა

როდესაც აღმოვაჩენთ, რომ ზოგიერთი შესაძლო ფაქტის რეალურად წარმოქმნის მიზეზები აღემატება საპირისპირო მიზეზებს, ჩვენ განვიხილავთ ამ ფაქტს სავარაუდო, წინააღმდეგ შემთხვევაში - წარმოუდგენელი. დადებითი საფუძვლების ეს უპირატესობა უარყოფითზე და პირიქით, შეიძლება წარმოადგენდეს ხარისხების განუსაზღვრელ კრებულს, რის შედეგადაც ალბათობა(და წარმოუდგენლობა) ხდება მეტიან ნაკლები .

რთული ცალკეული ფაქტები არ იძლევა მათი ალბათობის ხარისხების ზუსტ გამოთვლას, მაგრამ აქაც მნიშვნელოვანია რამდენიმე დიდი ქვედანაყოფების ჩამოყალიბება. ასე, მაგალითად, სამართლის სფეროში, როდესაც მოწმის ჩვენების საფუძველზე დგინდება განსაცდელი პიროვნული ფაქტი, ის ყოველთვის რჩება, მკაცრად რომ ვთქვათ, მხოლოდ სავარაუდო და აუცილებელია ვიცოდეთ, რამდენად მნიშვნელოვანია ეს ალბათობა; რომაულ სამართალში, აქ მიღებული იყო ოთხმაგი დაყოფა: probatio plena(სადაც ალბათობა პრაქტიკულად იქცევა ავთენტურობა), Უფრო - probatio მინუს plena, შემდეგ - probatio semiplena majorდა ბოლოს probatio semiplena minor .

საქმის ალბათობის საკითხთან ერთად, შეიძლება წარმოიშვას, როგორც სამართლის, ასევე მორალის სფეროში (გარკვეული ეთიკური თვალსაზრისით) საკითხი, რამდენად სავარაუდოა, რომ მოცემული კონკრეტული ფაქტი წარმოადგენს ზოგადი კანონის დარღვევას. ამ კითხვამ, რომელიც თალმუდის რელიგიურ იურისპრუდენციაში მთავარი მოტივია, რომაულ კათოლიკურ მორალურ თეოლოგიაში (განსაკუთრებით მე-16 საუკუნის ბოლოდან) წარმოშვა ძალიან რთული სისტემატური კონსტრუქციები და უზარმაზარი, დოგმატური და პოლემიკური ლიტერატურა (იხ. ალბათობა). ).

ალბათობის ცნება დაშვებულია გარკვეული რიცხვითი გამოხატვის გამოყენებაში მხოლოდ ისეთ ფაქტებზე, რომლებიც გარკვეული ჰომოგენური სერიების ნაწილია. ასე რომ (უმარტივეს მაგალითში), როდესაც ვინმე ზედიზედ ასჯერ აგდებს მონეტას, ჩვენ აქ ვპოულობთ ერთ საერთო ან დიდ სერიას (მონეტის ყველა დაცემის ჯამი), რომელიც შედგება ორი კერძოსაგან ან უფრო მცირესაგან, საქმე რიცხობრივად ტოლია, სერია (ვარდნა "არწივი" და დაცემა "კუდები"); ალბათობა იმისა, რომ ამჯერად მონეტას კუდები დაეცემა, ანუ ზოგადი სერიის ეს ახალი წევრი მიეკუთვნება ამ ორ პატარა სერიებს, უდრის წილადს, რომელიც გამოხატავს რიცხობრივ თანაფარდობას ამ მცირე და დიდს შორის. კერძოდ, 1/2, ანუ იგივე ალბათობა ეკუთვნის ორი კერძო სერიიდან ერთს ან მეორეს. ნაკლებად მარტივ მაგალითებში დასკვნის გამოტანა შეუძლებელია უშუალოდ თავად პრობლემის მონაცემებიდან, მაგრამ მოითხოვს წინასწარ ინდუქციას. ასე, მაგალითად, ისმება კითხვა: რა არის იმის ალბათობა, რომ მოცემულმა ახალშობილმა იცოცხლოს 80 წლამდე? აქ უნდა არსებობდეს მსგავს პირობებში დაბადებული და სხვადასხვა ასაკში გარდაცვლილი ადამიანების ცნობილი რაოდენობის ზოგადი ან დიდი სერია (ეს რიცხვი საკმარისად დიდი უნდა იყოს შემთხვევითი გადახრების აღმოსაფხვრელად და საკმარისად მცირე სერიის ჰომოგენურობის შესანარჩუნებლად, რადგან ადამიანი, დაბადებული, მაგალითად, სანქტ-პეტერბურგში მდიდარ კულტურულ ოჯახში, ქალაქის მთელი მილიონიანი მოსახლეობა, რომლის მნიშვნელოვანი ნაწილი შედგება სხვადასხვა ჯგუფის ადამიანებისგან, რომლებიც შეიძლება ნაადრევად მოკვდნენ - ჯარისკაცები, ჟურნალისტები. , სახიფათო პროფესიების მუშები - წარმოადგენს ჯგუფს ზედმეტად ჰეტეროგენულ ალბათობის რეალური განმარტებისთვის); დაე, ეს ზოგადი სერია შედგებოდეს ათი ათასი ადამიანის სიცოცხლისგან; იგი მოიცავს უფრო მცირე რიგებს, რომლებიც ასახავს ამა თუ იმ ასაკამდე მცხოვრებთა რაოდენობას; ამ პატარა მწკრივიდან ერთი წარმოადგენს 80 წლამდე მცხოვრებთა რაოდენობას. მაგრამ ამ პატარა სერიის (ისევე როგორც ყველა სხვა) ზომის დადგენა შეუძლებელია. აპრიორი; ეს ხდება წმინდა ინდუქციური გზით, სტატისტიკის საშუალებით. დავუშვათ, სტატისტიკურმა კვლევებმა დაადგინა, რომ საშუალო კლასის 10000 პეტერბურგელიდან მხოლოდ 45 გადარჩება 80 წლამდე; ამრიგად, ეს პატარა მწკრივი დაკავშირებულია უფრო დიდთან, როგორც 45-დან 10000-მდე, და ალბათობა იმისა, რომ მოცემული ადამიანი მიეკუთვნება ამ პატარა მწკრივს, ანუ იცოცხლოს 80 წლამდე, გამოიხატება 0,0045 წილადით. ალბათობის შესწავლა მათემატიკური თვალსაზრისით წარმოადგენს განსაკუთრებულ დისციპლინას, ალბათობის თეორიას.

იხილეთ ასევე

შენიშვნები

ლიტერატურა

ფონდი ვიკიმედია. 2010 წ.

ანტონიმები:

ნახეთ, რა არის "ალბათობა" სხვა ლექსიკონებში:

ზოგადი სამეცნიერო და ფილოსოფიური. კატეგორია, რომელიც აღნიშნავს ფიქსირებული დაკვირვების პირობებში მასობრივი შემთხვევითი მოვლენების გამოჩენის შესაძლებლობის რაოდენობრივ ხარისხს, რაც ახასიათებს მათი ფარდობითი სიხშირეების სტაბილურობას. ლოგიკაში სემანტიკური ხარისხი ... ... ფილოსოფიური ენციკლოპედია

ალბათობა, რიცხვი ნულიდან ერთამდე დიაპაზონში, რომელიც წარმოადგენს ამ მოვლენის მოხდენის შესაძლებლობას. მოვლენის ალბათობა განისაზღვრება, როგორც მოვლენის მოვლენის შანსების რაოდენობის თანაფარდობა შესაძლო ... ... სამეცნიერო და ტექნიკური ენციკლოპედიური ლექსიკონი

დიდი ალბათობით.. რუსული სინონიმებისა და მნიშვნელობით მსგავსი გამონათქვამების ლექსიკონი. ქვეშ. რედ. ნ. აბრამოვა, მ.: რუსული ლექსიკონები, 1999. ალბათობა, შესაძლებლობა, ალბათობა, შანსი, ობიექტური შესაძლებლობა, მაზა, დასაშვებობა, რისკი. ჭიანჭველა შეუძლებლობა...... სინონიმური ლექსიკონი

ალბათობა- ღონისძიება, რომ მოვლენა შეიძლება მოხდეს. შენიშვნა ალბათობის მათემატიკური განმარტება არის "ნამდვილი რიცხვი 0-დან 1-მდე, რომელიც დაკავშირებულია შემთხვევით მოვლენასთან." რიცხვი შეიძლება ასახავდეს ფარდობით სიხშირეს დაკვირვებების სერიაში ... ... ტექნიკური მთარგმნელის სახელმძღვანელო

ალბათობა- "მათემატიკური, რიცხვითი მახასიათებელი გარკვეულ კონკრეტულ პირობებში რაიმე მოვლენის მოვლენის შესაძლებლობის ხარისხისა, რომელიც შეიძლება განმეორდეს შეუზღუდავი რაოდენობის ჯერ." ამ კლასიკის საფუძველზე…… ეკონომიკური და მათემატიკური ლექსიკონი

- (ალბათობა) მოვლენის ან გარკვეული შედეგის დადგომის შესაძლებლობა. ის შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც მასშტაბი 0-დან 1-მდე გაყოფით. თუ მოვლენის ალბათობა ნულის ტოლია, მისი წარმოშობა შეუძლებელია. 1-ის ტოლი ალბათობით, იწყება ... ბიზნეს ტერმინების ლექსიკონი

მათემატიკაში USE დავალებაში ასევე არის უფრო რთული ალბათობის ამოცანები (ვიდრე ჩვენ განვიხილეთ ნაწილ 1-ში), სადაც უნდა გამოიყენოთ შეკრების წესი, ალბათობების გამრავლება და განასხვავოთ ერთობლივი და შეუთავსებელი მოვლენები.

ასე რომ, თეორია.

ერთობლივი და არაერთობლივი ღონისძიებები

ამბობენ, რომ მოვლენები შეუთავსებელია, თუ ერთ-ერთი მათგანის დადგომა გამორიცხავს მეორის დადგომას. ანუ, მხოლოდ ერთი კონკრეტული მოვლენა შეიძლება მოხდეს, ან სხვა.

მაგალითად, ჯაგრისის სროლით, შეგიძლიათ განასხვავოთ ისეთი მოვლენები, როგორიცაა ლუწი ქულების რაოდენობა და კენტი რაოდენობა. ეს მოვლენები შეუთავსებელია.

მოვლენებს ერთობლივად უწოდებენ, თუ ერთი მათგანის დადგომა არ გამორიცხავს მეორის გაჩენას.

მაგალითად, ჯარისკაცის სროლისას შეგიძლიათ განასხვავოთ ისეთი მოვლენები, როგორიცაა კენტი რაოდენობის ქულების დადგომა და ქულების რაოდენობის დაკარგვა, რომელიც არის სამის ჯერადი. როდესაც სამი შემოვიდა, ორივე მოვლენა რეალიზდება.

მოვლენების ჯამი

რამდენიმე მოვლენის ჯამი (ან გაერთიანება) არის მოვლენა, რომელიც შედგება ამ მოვლენებიდან მინიმუმ ერთის დადგომაში.

სადაც ორი არაერთგვაროვანი მოვლენის ჯამი არის ამ მოვლენების ალბათობების ჯამი:

მაგალითად, ერთ სროლაში კამათელზე 5 ან 6 ქულის მიღების ალბათობა იქნება იმის გამო, რომ ორივე მოვლენა (ვარდნა 5, ვარდნა 6) შეუთავსებელია და ერთი ან მეორე მოვლენის ალბათობა გამოითვლება შემდეგნაირად:

ალბათობა ორი ერთობლივი მოვლენის ჯამი უდრის ამ მოვლენების ალბათობების ჯამს მათი ერთობლივი წარმოშობის გათვალისწინების გარეშე:

მაგალითად, სავაჭრო ცენტრში ორი იდენტური ავტომატი ყიდის ყავას. იმის ალბათობა, რომ აპარატს დღის ბოლომდე ყავა ამოეწურება, არის 0,3. ალბათობა იმისა, რომ ორივე აპარატს ყავა ამოიწურება არის 0,12. მოდი ვიპოვოთ იმის ალბათობა, რომ დღის ბოლომდე ყავა ერთ მანქანაში მაინც დასრულდეს (ანუ ერთში, ან მეორეში, ან ორივეში ერთდროულად).

პირველი მოვლენის "ყავა დამთავრდება პირველ აპარატში" ალბათობა, ასევე მეორე მოვლენის "ყავა დასრულდება მეორე აპარატში" პირობით უდრის 0,3-ს. ღონისძიებები თანამშრომლობითია.

პირველი ორი მოვლენის ერთობლივი განხორციელების ალბათობა პირობის მიხედვით უდრის 0,12-ს.

ეს ნიშნავს, რომ ალბათობა იმისა, რომ დღის ბოლომდე ყავა ერთ-ერთ აპარატში მაინც ამოიწურება არის

დამოკიდებული და დამოუკიდებელი მოვლენები

ორი შემთხვევითი მოვლენა A და B ეწოდება დამოუკიდებელ მოვლენას, თუ ერთი მათგანის დადგომა არ ცვლის მეორის დადგომის ალბათობას. წინააღმდეგ შემთხვევაში A და B მოვლენებს დამოკიდებულს უწოდებენ.

მაგალითად, როდესაც ორი კამათელი ერთდროულად აგორდება, ერთი მათგანი, ვთქვათ 1, ხოლო მეორე 5, დამოუკიდებელი მოვლენაა.

ალბათობების პროდუქტი

რამდენიმე მოვლენის პროდუქტი (ან გადაკვეთა) არის მოვლენა, რომელიც შედგება ყველა ამ მოვლენის ერთობლივი წარმოშობისგან.

თუ არის ორი დამოუკიდებელი ღონისძიებები A და B ალბათობით P(A) და P(B) შესაბამისად, მაშინ A და B მოვლენების განხორციელების ალბათობა ერთდროულად უდრის ალბათობების ნამრავლს:

მაგალითად, ჩვენ გვაინტერესებს ზედიზედ ორჯერ კამათელზე ექვსის დაკარგვა. ორივე მოვლენა დამოუკიდებელია და თითოეული მათგანის ცალ-ცალკე განხორციელების ალბათობა არის . ორივე მოვლენის დადგომის ალბათობა გამოითვლება ზემოაღნიშნული ფორმულის გამოყენებით: .

იხილეთ ამოცანების შერჩევა თემის შესამუშავებლად.