დავალებები რუსულენოვანი ოლიმპიადის სასკოლო ეტაპისთვის სკოლის მოსწავლეებისთვის მათემატიკაში. მათემატიკური ოლიმპიადები და ოლიმპიადის ამოცანები ნიკოლაიმ იყიდა საერთო რვეული 96 ფურცლის მოცულობით

დავალება 16:

შესაძლებელია თუ არა 25 რუბლის გაცვლა ათი ბანკნოტით 1, 3 და 5 რუბლის ნომინალით? გამოსავალი:

პასუხი: არა

პეტიამ იყიდა საერთო რვეული 96 ფურცლის მოცულობით და დანომრა მისი ყველა გვერდი 1-დან 192-მდე რიცხვებით. ვასიამ ამ რვეულიდან 25 ფურცელი ამოიღო და დაამატა 50-ვე რიცხვი, რაც მათზეა დაწერილი. შეეძლო თუ არა მას 1990 წელი? გამოსავალი:

თითოეულ ფურცელზე გვერდის ნომრების ჯამი კენტია, ხოლო 25 კენტი რიცხვის ჯამი კენტია.

22 მთელი რიცხვის ნამრავლი უდრის 1-ს. დაამტკიცეთ, რომ მათი ჯამი არ არის ნულის ტოლი. გამოსავალი:

ამ რიცხვებს შორის არის "მინუს ერთების" ლუწი რიცხვი და იმისთვის, რომ ჯამი იყოს ნულის ტოლი, უნდა იყოს ზუსტად 11 მათგანი.

შესაძლებელია თუ არა ჯადოსნური კვადრატის გაკეთება პირველი 36 მარტივი რიცხვიდან? გამოსავალი:

ამ რიცხვებს შორის ერთი (2) ლუწია, დანარჩენი კი კენტი. მაშასადამე, იმ წრფეში, სადაც არის წყვილი, რიცხვების ჯამი კენტია, ხოლო დანარჩენებში ლუწი.

1-დან 10-მდე რიცხვები იწერება ზედიზედ, შესაძლებელია თუ არა მათ შორის ნიშნების „+“ და „-“ განთავსება ისე, რომ მიღებული გამონათქვამის მნიშვნელობა ნულის ტოლი იყოს?

შენიშვნა: გაითვალისწინეთ, რომ უარყოფითი რიცხვები ასევე შეიძლება იყოს ლუწი და კენტი. გამოსავალი:

მართლაც, 1-დან 10-მდე რიცხვების ჯამი არის 55 და მასში არსებული ნიშნების შეცვლით მთელ გამოსახულებას ვცვლით ლუწი რიცხვად.

კალია სწორხაზოვნად ხტება და პირველად 1 სმ-ით გადახტა რაღაც მიმართულებით, მეორედ გადახტა 2 სმ და ა.შ. დაამტკიცეთ, რომ 1985 წლის ნახტომების შემდეგ ის ვერ იქნება იქ, სადაც დაიწყო. გამოსავალი:

შენიშვნა: ჯამი 1 + 2 + … + 1985 არის კენტი.

დაფაზე იწერება რიცხვები 1, 2, 3, ..., 1984, 1985. დასაშვებია დაფიდან ნებისმიერი ორი რიცხვის წაშლა და მათი განსხვავების მოდულის ჩაწერა. საბოლოო ჯამში, დაფაზე მხოლოდ ერთი ნომერი დარჩება. ნული შეიძლება იყოს? გამოსავალი:

შეამოწმეთ, რომ მითითებული მოქმედებები არ ცვლის დაფაზე დაწერილი ყველა რიცხვის ჯამის პარიტეტს.

შესაძლებელია თუ არა ჭადრაკის დაფის დაფარვა 1×2 დომინოებით ისე, რომ თავისუფალი დარჩეს მხოლოდ a1 და h8 უჯრები? გამოსავალი:

თითოეული დომინო მოიცავს ერთ შავ და ერთ თეთრ კვადრატს და როცა a1 და h8 კვადრატები ამოგდება, თეთრზე 2-ით ნაკლები შავი კვადრატია.

17-ნიშნა რიცხვს დაემატა იგივე ციფრებით დაწერილი რიცხვი, მაგრამ საპირისპირო თანმიმდევრობით. დაამტკიცეთ, რომ მიღებული ჯამის ერთი ციფრი მაინც ლუწია. გამოსავალი:

გააანალიზეთ ორი შემთხვევა: რიცხვის პირველი და ბოლო ციფრის ჯამი 10-ზე ნაკლებია, ხოლო რიცხვის პირველი და ბოლო ციფრის ჯამი არანაკლებ 10. თუ დავუშვებთ, რომ ჯამის ყველა ციფრი კენტია. , მაშინ პირველ შემთხვევაში არ უნდა იყოს ციფრებში ერთი გადატანა (რაც, ცხადია, წინააღმდეგობას იწვევს), ხოლო მეორე შემთხვევაში, მარჯვნიდან მარცხნივ ან მარცხნიდან მარჯვნივ გადაადგილებისას ტარების არსებობა ალტერნატიულია. ტარების არარსებობით და შედეგად მივიღებთ, რომ მეცხრე ციფრში ჯამის ციფრი აუცილებლად ლუწია.

სახალხო რაზმში 100 კაცია და ყოველ საღამოს სამი მორიგეობს. შეიძლება თუ არა გარკვეული დროის შემდეგ აღმოჩნდეს, რომ ყველა ყველასთან იყო მორიგე ზუსტად ერთხელ? გამოსავალი:

ვინაიდან თითოეულ საათზე, რომელშიც ეს ადამიანი მონაწილეობს, ის მორიგეობს ორ სხვასთან ერთად, მაშინ ყველა დანარჩენი შეიძლება დაიყოს წყვილებად. თუმცა, 99 უცნაური რიცხვია.

სწორ ხაზზე მონიშნულია 45 წერტილი, რომელიც მდებარეობს AB სეგმენტის გარეთ. დაამტკიცეთ, რომ ამ წერტილებიდან A წერტილამდე მანძილების ჯამი არ არის ტოლი ამ წერტილებიდან B წერტილამდე მანძილების ჯამისა. გამოსავალი:

ნებისმიერი X წერტილისთვის, რომელიც მდებარეობს AB-ს გარეთ, გვაქვს AX - BX = ± AB. თუ დავუშვებთ, რომ მანძილების ჯამები ტოლია, მაშინ მივიღებთ, რომ გამონათქვამი ± AB ± AB ± … ± AB, რომელშიც 45 წევრია ჩართული, უდრის ნულს. მაგრამ ეს შეუძლებელია.

წრეში დალაგებულია 9 რიცხვი - 4 ერთეული და 5 ნული. ყოველ წამს ციფრებზე კეთდება შემდეგი ოპერაცია: მიმდებარე რიცხვებს შორის, თუ ისინი განსხვავებულები არიან, იდება ნული და თუ ტოლია ერთი; ამის შემდეგ ძველი ნომრები იშლება. შეიძლება თუ არა გარკვეული დროის შემდეგ ყველა რიცხვი ერთნაირი გახდეს? გამოსავალი:

ნათელია, რომ ცხრა ერთეულის კომბინაცია ცხრა ნულამდე ვერ მიიღება. თუ ცხრა ნული იყო, მაშინ წინა სვლაზე ნულები და ერთი უნდა მონაცვლეობდნენ, რაც შეუძლებელია, რადგან მათგან მხოლოდ კენტი რიცხვია.

მრგვალ მაგიდასთან 25 ბიჭი და 25 გოგონა ზის. დაამტკიცეთ, რომ მაგიდასთან მჯდომს ორივე მეზობელი ბიჭი ჰყავს. გამოსავალი:

მოდით განვახორციელოთ ჩვენი მტკიცებულება წინააღმდეგობებით. მაგიდასთან მჯდომს თანმიმდევრობით დავთვლით, რაღაც ადგილიდან დაწყებული. თუ k-ე ადგილზე ბიჭია, მაშინ ცხადია, რომ (k - 2)-ე და (k + 2)-ე ადგილები გოგოებს უკავიათ. მაგრამ რადგან თანაბარი რაოდენობითაა ბიჭები და გოგონები, მაშინ მე-n ადგილზე მჯდომი ნებისმიერი გოგოსთვის, მართალია, რომ (n - 2) და (n + 2) ადგილებს ბიჭები იკავებს. თუ ახლა განვიხილავთ მხოლოდ იმ 25 ადამიანს, რომლებიც სხედან "თანა" ადგილებში, მაშინ მივიღებთ, რომ მათ შორის ბიჭები და გოგოები მონაცვლეობენ, თუ ისინი მაგიდის გარშემო მოძრაობენ რაიმე მიმართულებით. მაგრამ 25 უცნაური რიცხვია.

ლოკოკინა მუდმივი სიჩქარით დაცოცავს თვითმფრინავის გასწვრივ, ყოველ 15 წუთში ერთხელ ბრუნავს სწორი კუთხით. დაამტკიცეთ, რომ მას შეუძლია საწყის წერტილში დაბრუნება მხოლოდ საათების მთელი რიცხვის შემდეგ. გამოსავალი:

გასაგებია, რომ იმ მონაკვეთების რიცხვი ა, რომლებშიც ლოკოკინა ზევით ან ქვევით დაცოცავდა, უდრის იმ მონაკვეთების რაოდენობას, რომლებშიც იგი მარჯვნივ ან მარცხნივ დაცოცავდა. რჩება მხოლოდ იმის აღნიშვნა, რომ a არის ლუწი.

სამი კალია თამაშობს ნახტომს სწორ ხაზზე. ყოველ ჯერზე ერთი გადახტება მეორეზე (მაგრამ არა ერთდროულად ორზე!). შეუძლიათ მათ დაუბრუნდნენ თავდაპირველ პოზიციებს 1991 წლის ნახტომის შემდეგ? გამოსავალი:

აღნიშნეთ ბალახები A, B და C. მოდით ვუწოდოთ ბალახების განლაგება ABC, BCA და CAB (მარცხნიდან მარჯვნივ) სწორი და ACB, BAC და CBA არასწორი. ადვილი მისახვედრია, რომ ნებისმიერი ნახტომით იცვლება მოწყობის ტიპი.

არის 101 მონეტა, საიდანაც 50 ყალბი, წონით 1 გრამით განსხვავდება რეალურისგან. პეტიამ აიღო ერთი მონეტა და სასწორზე აწონილი ისრით, რომელიც აჩვენებს ჭიქებზე წონების სხვაობას, მას სურს დაადგინოს, არის თუ არა ის ყალბი. შეუძლია მას ამის გაკეთება? გამოსავალი:

თქვენ უნდა გადადოთ ეს მონეტა, შემდეგ კი დარჩენილი 100 მონეტა გაყოთ 50 მონეტის ორ გროვად და შეადაროთ ამ წყობის წონა. თუ ისინი განსხვავდებიან ლუწი გრამებით, მაშინ ჩვენთვის საინტერესო მონეტა რეალურია. თუ წონებს შორის სხვაობა კენტია, მაშინ მონეტა ყალბია.

შესაძლებელია თუ არა 1-დან 9-მდე რიცხვების ზედიზედ ჩაწერა ერთხელ ისე, რომ იყოს კენტი რიცხვი ერთსა და ორს, ორს და სამს, ..., რვას და ცხრას შორის? გამოსავალი:

წინააღმდეგ შემთხვევაში, მწკრივის ყველა რიცხვი იქნება იმავე პარიტეტის ადგილებში.

ამ ნამუშევარმა პეტიამ იყიდა საერთო რვეული 96 ფურცლის მოცულობით და დანომრა მისი ყველა გვერდი 1-დან 192-მდე რიცხვებით. სპეციალისტებმა და წარმატებით გაიარეს მისი დაცვა. ნამუშევარი - პეტიამ იყიდა საერთო რვეული 96 ფურცლის მოცულობით და დანომრა მისი ყველა გვერდი 1-დან 192-მდე რიცხვებით. ვასიამ ამოიღო AHD თემაზე და ფინანსური ანალიზი ასახავს მის თემას და მისი გამჟღავნების ლოგიკურ კომპონენტს, ვლინდება შესწავლილი საკითხის არსი, ამ თემაზე გამოკვეთილია ძირითადი დებულებები და წამყვანი იდეები.
ნამუშევარი - პეტიამ იყიდა საერთო რვეული 96 ფურცლის მოცულობით და დანომრა მისი ყველა გვერდი 1-დან 192-მდე რიცხვებით. ვასიამ დაშალა იგი, შეიცავს: ცხრილებს, ნახატებს, უახლეს ლიტერატურულ წყაროებს, წარდგენისა და დაცვის წელი. ნამუშევარი - 2017. ნამუშევარში პეტიამ იყიდა 96 ფურცლის საერთო ნოუთბუქის ტომი და დანომრა მისი ყველა გვერდი 1-დან 192-მდე რიცხვების მიხედვით. პრობლემის განვითარების ხარისხი ასახულია სამეცნიერო და მეთოდოლოგიური ლიტერატურის ღრმა შეფასებისა და ანალიზის საფუძველზე, AHD და ფინანსური ანალიზის თემაზე ნაშრომში, ანალიზის ობიექტი და მისი საკითხები განიხილება ყოვლისმომცველად, როგორც თეორიულიდან. და პრაქტიკული მხარეები, ჩამოყალიბებულია განსახილველი თემის მიზანი და კონკრეტული ამოცანები, არსებობს მასალის წარმოდგენის ლოგიკა და მისი თანმიმდევრობა.

სექციები: Მათემატიკა

ძვირფასო ოლიმპიადის მონაწილე!

სასკოლო მათემატიკის ოლიმპიადა ერთ ტურად ტარდება.
არსებობს სხვადასხვა სირთულის 5 დავალება.
სამუშაოს დიზაინისთვის სპეციალური მოთხოვნები არ არსებობს. პრობლემების გადაჭრის პრეზენტაციის ფორმა, ისევე როგორც გადაწყვეტის მეთოდები, შეიძლება იყოს ნებისმიერი. თუ თქვენ გაქვთ რაიმე ინდივიდუალური აზრები კონკრეტულ ამოცანაზე, მაგრამ ვერ მიიყვანთ გამოსავალს ბოლომდე, ნუ დააყოვნებთ ყველა თქვენი აზრის გამოხატვას. ნაწილობრივ გადაწყვეტილი პრობლემებიც კი შეფასდება შესაბამისი ქულების რაოდენობით.
დაიწყეთ ამოცანების გადაჭრა, რომლებიც თქვენთვის უფრო ადვილი გეჩვენებათ და შემდეგ გადადით დანარჩენზე. ამ გზით თქვენ დაზოგავთ დროს.

გისურვებთ წარმატებებს!

მათემატიკაში სკოლის მოსწავლეთა რუსულენოვანი ოლიმპიადის სასკოლო ეტაპი

მე-5 კლასი

სავარჯიშო 1. გამოთქმაში 1*2*3*4*5 შეცვალეთ „*“ მოქმედების ნიშნებით და მოათავსეთ ფრჩხილები ასე. გამოსახულების მისაღებად, რომლის მნიშვნელობა არის 100.

დავალება 2. საჭიროა არითმეტიკული ტოლობის ჩანაწერის გაშიფვრა, რომელშიც რიცხვები იცვლება ასოებით, ხოლო სხვადასხვა რიცხვები იცვლება სხვადასხვა ასოებით, ერთი და იგივეა.

ხუთი - სამი \u003d ორიცნობილია, რომ წერილის ნაცვლად მაგრამთქვენ უნდა ჩაწეროთ ნომერი 2.

დავალება 3. როგორ გავყოთ 80 კგ ლურსმანი ორ ნაწილად - 15 კგ და 65 კგ ტაფის სასწორის გამოყენებით წონის გარეშე?

დავალება 4. ნახატზე ნაჩვენები ფიგურა დავჭრათ ორ თანაბარ ნაწილად ისე, რომ თითოეულ ნაწილს ჰქონდეს ერთი ვარსკვლავი. თქვენ შეგიძლიათ გაჭრა მხოლოდ ქსელის ხაზების გასწვრივ.

დავალება 5. ფინჯანი და თეფში ერთად 25 მანეთი ღირს, ხოლო 4 ჭიქა და 3 თეფში 88 მანეთი. იპოვეთ ჭიქის ფასი და თეფშის ფასი.

მე-6 კლასი.

სავარჯიშო 1. შეადარეთ წილადები საერთო მნიშვნელთან მიყვანის გარეშე.

დავალება 2. საჭიროა არითმეტიკული ტოლობის ჩანაწერის გაშიფვრა, რომელშიც რიცხვები იცვლება ასოებით, ხოლო სხვადასხვა რიცხვები იცვლება სხვადასხვა ასოებით, ერთი და იგივეა. ვარაუდობენ, რომ თავდაპირველი ტოლობა ჭეშმარიტია და იწერება არითმეტიკის ჩვეულებრივი წესების მიხედვით.

მუშაობა
+ ნება
იღბალი

დავალება 3. სამი მეგობარი მოვიდა საზაფხულო ბანაკში დასასვენებლად: მიშა, ვოლოდია და პეტია. ცნობილია, რომ თითოეულ მათგანს აქვს შემდეგი გვარებიდან ერთ-ერთი: ივანოვი, სემენოვი, გერასიმოვი. მიშა გერასიმოვი არ არის. ვოლოდიას მამა ინჟინერია. ვოლოდია მე-6 კლასშია. გერასიმოვი მე-5 კლასშია. ივანოვის მამა მასწავლებელია. რა გვარია სამივე მეგობარს?

დავალება 4. დაყავით ფიგურა ბადის ხაზების გასწვრივ ოთხ იდენტურ ნაწილად ისე, რომ თითოეულ ნაწილს ჰქონდეს ერთი წერტილი.

დავალება 5. ხტომა ჭრიჭინას ეძინა წითელი ზაფხულის ყოველი დღის ნახევარი დროის განმავლობაში, ცეკვავდა ყოველი დღის მესამედს და მღეროდა მეექვსე ნაწილისთვის. დანარჩენი დრო მან გადაწყვიტა დაეთმო ზამთრისთვის მომზადებას. დღეში რამდენ საათს ემზადებოდა ჭრიჭინა ზამთრისთვის?

მე-7 კლასი.

სავარჯიშო 1. ამოხსენით რებუსი, თუ იცით, რომ ყველაზე დიდი ციფრი STRONG არის 5:

გადაწყვიტე
თუ
ძლიერი

დავალება 2. ამოხსენით განტოლება│7 - x│ = 9.3

დავალება 3. შვიდი გარეცხვის შემდეგ საპნის სიგრძე, სიგანე და სისქე განახევრდა. რამდენი იგივე სარეცხი გაძლებს დარჩენილი საპონი?

დავალება 4 . 4 × 9 უჯრედის ოთხკუთხედი უჯრედების გვერდებზე გაყავით ორ თანაბარ ნაწილად ისე, რომ შემდეგ მათგან კვადრატი გააკეთოთ.

დავალება 5. ხის კუბიკი ყველა მხრიდან თეთრი საღებავით იყო მოხატული, შემდეგ კი 64 იდენტურ კუბიკებად დაინახა. რამდენი კუბი აღმოჩნდა ფერადი სამი მხრიდან? ორი მხრიდან?
ერთ მხარეს? რამდენი კუბი არ არის ფერადი?

მე-8 კლასი.

სავარჯიშო 1. რა ორი ციფრი მთავრდება რიცხვით 13!

დავალება 2. წილადის შემცირება:

დავალება 3. სასკოლო დრამატული წრე, ემზადება ზღაპრიდან ნაწყვეტის დასამზადებლად ა. პუშკინმა ცარ სალტანის შესახებ, გადაწყვიტა როლების განაწილება მონაწილეებს შორის.
- ჩერნომორი ვიქნები, - თქვა იურამ.
- არა, ჩერნომორი ვიქნები, - თქვა კოლიამ.
- კარგი, - დათმო იურამ, - შემიძლია გვიდონის თამაში.
- კარგი, მე შემიძლია გავხდე სალტანი, - მორჩილება გამოიჩინა კოლიამაც.
- თანახმა ვარ ვიყო მხოლოდ გიდონ! თქვა მიშამ.
ბიჭების სურვილები დაკმაყოფილდა. როგორ გადანაწილდა როლები?

დავალება 4. მედიანა AD შედგენილია ტოლფერდა სამკუთხედში ABC ფუძით AB = 8m. ACD სამკუთხედის პერიმეტრი ABD სამკუთხედის პერიმეტრზე მეტია 2 მ-ით. იპოვეთ AS.

დავალება 5. ნიკოლაიმ იყიდა 96 ფურცლის საერთო რვეული და დანომრა გვერდები 1-დან 192-მდე. მისმა ძმისშვილმა არტურმა ამ რვეულიდან ამოიღო 35 ფურცელი და დაამატა მათზე დაწერილი 70ვე ნომერი. შეუძლია თუ არა მას 2010წ.

მე-9 კლასი

სავარჯიშო 1. იპოვეთ 1989 1989 წლის ბოლო ციფრი.

დავალება 2. ზოგიერთი კვადრატული განტოლების ფესვების ჯამი არის 1, ხოლო კვადრატების ჯამი არის 2. რა არის მათი კუბურების ჯამი?

დავალება 3. სამი მედიანის გამოყენებით m a , m b და m c ∆ ABC იპოვეთ გვერდის სიგრძე AC = b.

დავალება 4. შეამცირეთ წილადი .

დავალება 5. რამდენი ხერხით შეგიძლიათ აირჩიოთ ხმოვანი და თანხმოვანი სიტყვა „კამზოლში“?

მე-10 კლასი.

სავარჯიშო 1. ამჟამად არის 1, 2, 5, 10 რუბლის მონეტები. მიუთითეთ ყველა თანხა, რომლის გადახდაც შესაძლებელია როგორც ლუწი, ისე კენტი რაოდენობის მონეტებით.

დავალება 2. დაამტკიცეთ, რომ 5 + 5 2 + 5 3 + … + 5 2010 იყოფა 6-ზე.

დავალება 3. ოთხკუთხედში Ა Ბ Გ Დდიაგონალები იკვეთება წერტილში მ. ცნობილია, რომ AM = 1,
VM = 2, CM = 4. რა ღირებულებებზე DMოთხკუთხედი Ა Ბ Გ Დარის ტრაპეცია?

დავალება 4. განტოლებათა სისტემის ამოხსნა

დავალება 5. ოცდაათმა სკოლის მოსწავლემ - მეათე და მეთერთმეტე კლასელებმა ხელი ჩამოართვეს. ამასთან, გაირკვა, რომ ყოველი მეათე კლასელი რვა მეთერთმეტე კლასელს ჩამოართვა, მეთერთმეტე კლასელმა კი შვიდ მეათეკლასელს. რამდენი მეათე და რამდენი მეთერთმეტე?