a n өрнегі (бүтін дәрежелі дәреже) a = 0 және n нөлден кіші немесе тең болған жағдайды қоспағанда, барлық жағдайларда анықталады.

Дәрежелердің қасиеттері

Бүтін дәрежелі дәрежелердің негізгі қасиеттері:

a m *a n = a (m+n) ;

a m: a n = a (m-n) (бар анөлге тең емес);

(a m) n = a (m*n) ;

(a*b) n = a n *b n ;

(a/b) n = (a n)/(b n) (бар бнөлге тең емес);

a 0 = 1 (бар анөлге тең емес);

Бұл қасиеттер кез келген a, b сандары және кез келген m және n бүтін сандары үшін жарамды болады. Сондай-ақ келесі қасиетке назар аударған жөн:

Егер m>n болса, онда a m > a n, a>1 және a m үшін

Санның дәрежесі туралы ұғымды рационал сандар көрсеткіш ретінде әрекет ететін жағдайларға жалпылауға болады. Бұл ретте жоғарыда аталған қасиеттердің барлығының немесе ең болмағанда кейбірінің орындалуын қалаймын.

Мысалы, (a m) n = a (m*n) қасиеті орындалса, келесі теңдік орындалады:

(a (m/n)) n = a m .

Бұл теңдік a (m/n) саны a m санының n-ші түбірі болуы керек дегенді білдіреді.

Рационал көрсеткіші r = (m/n) болатын кейбір a (нөлден үлкен) санының дәрежесі, мұндағы m - кейбір бүтін сан, n - біреуден үлкен қандай да бір натурал сан, сан. n√(a м). Анықтама негізінде: a (m/n) = n√(a m).

Барлық оң r үшін нөлдің күші анықталады. Анықтау бойынша 0 r = 0. Сондай-ақ кез келген бүтін сан үшін кез келген натурал m және n және оң болатынын ескеріңіз. Акелесі теңдік ақиқат: a (m/n) = a ((mk)/(nk)) .

Мысалы: 134 (3/4) = 134 (6/8) = 134 (9/12).

Рационал көрсеткіші бар дәреженің анықтамасынан кез келген оң а және кез келген рационал r үшін a r саны болатыны тікелей шығады. оң.

Рационал көрсеткішті дәреженің негізгі қасиеттері

Кез келген p, q және кез келген a>0 және b>0 рационал сандары үшін келесі теңдіктер дұрыс болады:

1. (a p)*(a q) = a (p+q) ;

2. (a p):(b q) = a (p-q) ;

3. (a p) q = a (p*q) ;

4. (a*b) p = (a p)*(b p);

5. (a/b) p = (a p)/(b p).

Бұл қасиеттер тамырлардың қасиеттерінен туындайды. Бұл қасиеттердің барлығы ұқсас жолмен дәлелденген, сондықтан біз олардың тек біреуін ғана дәлелдеумен шектелеміз, мысалы, бірінші (a p)*(a q) = a (p + q) .

p = m/n, және q = k/l болсын, мұндағы n, l - кейбір натурал сандар, ал m, k - кейбір бүтін сандар. Содан кейін мынаны дәлелдеу керек:

(a (m/n))*(a (k/l)) = a ((m/n) + (k/l)) .

Алдымен m/n k/l бөлшектерін ортақ бөлімге келтірейік. (m*l)/(n*l) және (k*n)/(n*l) бөлшектерді аламыз. Мына белгілерді пайдаланып теңдіктің сол жағын қайта жазайық және мынаны аламыз:

(a (m/n))*(a (k/l)) = (a ((m*l)/(n*l)))*(a ((k*n)/(n*l)) ).

(a (m/n))*(a (k/l)) = (a ((m*l)/(n*l)))*(a ((k*n)/(n*l)) ) = (n*l)√(a (m*l))*(n*l)√(a (k*n)) = (n*l)√((a (m*l))*(a (k*n))) = (n*l)√(a (m*l+k*n)) = a ((m*l+k*n)/(n*l)) = a ((m) /n)+(к/л)) .

«Рационал көрсеткішті көрсеткіш» бейнесабағы осы тақырып бойынша сабақты өткізуге арналған көрнекі оқу материалын қамтиды. Бейне сабақта рационал көрсеткіші бар дәреже ұғымы, мұндай дәрежелердің қасиеттері туралы ақпарат, сонымен қатар практикалық есептерді шешу үшін оқу материалын пайдалануды сипаттайтын мысалдар бар. Бұл бейнесабақтың мақсаты – оқу материалын түсінікті және түсінікті етіп беру, оны оқушылардың меңгеруіне және есте сақтауына ықпал ету, меңгерілген ұғымдарды пайдалана отырып, есептер шығару қабілетін дамыту.

Бейнесабақтың негізгі артықшылықтары – түрлендірулер мен есептеулерді визуалды түрде орындау мүмкіндігі, оқу тиімділігін арттыру үшін анимациялық әсерлерді қолдану мүмкіндігі. Дауысты сүйемелдеу дұрыс математикалық сөйлеуді дамытуға көмектеседі, сонымен қатар мұғалімнің түсіндірмесін ауыстыруға мүмкіндік береді, оны жеке жұмысты орындауға босатады.

Бейнесабақ тақырыпты таныстырудан басталады. Жаңа тақырыпты оқуды бұрын оқылған материалмен байланыстыру кезінде n √a басқаша табиғи n және оң а үшін 1/n деп белгіленетінін есте сақтау ұсынылады. Бұл n-түбір көрінісі экранда көрсетіледі. Әрі қарай, a оң сан және m/n бөлшек болатын a m/n өрнегі нені білдіретінін қарастыруды ұсынамыз. Рационал көрсеткішті m/n = n √a m ретіндегі дәреженің анықтамасы кадрда ерекшеленген. n натурал сан, ал m бүтін сан болуы мүмкін екендігі атап өтіледі.

Рационал көрсеткішті дәрежені анықтағаннан кейін оның мағынасы мысалдар арқылы ашылады: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3. Ол сондай-ақ ондықпен берілген дәрежені түбір ретінде көрсету үшін бөлшекке түрлендіретін мысалды көрсетеді: (1/7) 1,7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 және теріс күші бар мысал: 3 -1/8 = 8 √3 -1.

Дәреженің негізі нөл болған кездегі ерекше жағдайдың ерекшелігі бөлек көрсетіледі. Бұл дәреже тек оң бөлшек көрсеткішімен ғана мағыналы болатыны атап өтіледі. Бұл жағдайда оның мәні нөлге тең: 0 м/н =0.

Рационал көрсеткішті дәреженің тағы бір ерекшелігі атап өтіледі - бөлшек көрсеткіші бар дәрежені бөлшек көрсеткішпен қарастыруға болмайды. Дәрежелерді қате белгілеу мысалдары келтірілген: (-9) -3/7, (-3) -1/3, 0 -1/5.

Келесі бейне сабақта рационал көрсеткіші бар дәреженің қасиеттерін талқылаймыз. Бүтін көрсеткішті дәреженің қасиеттері рационал көрсеткішті дәреже үшін де жарамды болатыны атап өтіледі. Бұл жағдайда да жарамды қасиеттер тізімін еске түсіру ұсынылады:

1. Негіздері бірдей дәрежелерді көбейткенде олардың дәрежелері қосылады: a p a q =a p+q.
2. Негіздері бірдей дәрежелердің бөлінуі берілген негіз және дәрежелер айырымы бар дәрежеге азайтылады: a p:a q =a p-q.
3. Егер біз дәрежені белгілі бір дәрежеге көтерсек, онда біз берілген негізі және дәрежелердің көбейтіндісі бар дәрежеге қол жеткіземіз: (a p) q =a pq.

Бұл қасиеттердің барлығы рационал көрсеткіші p, q және оң негізі a>0 болатын дәрежелер үшін жарамды. Сондай-ақ, жақшаларды ашу кезіндегі дәрежелік түрлендірулер ақиқат болып қалады:

1. (ab) p =a p b p - рационал көрсеткішпен қандай да бір дәрежеге көтеру екі санның көбейтіндісі сандардың көбейтіндісіне келтіріледі, олардың әрқайсысы берілген дәрежеге көтеріледі.
2. (a/b) p =a p /b p - бөлшекті рационал көрсеткіші бар дәрежеге көтеру, алымы мен бөлімі берілген дәрежеге көтерілген бөлшекке келтіріледі.

Бейне оқулықта рационал көрсеткіші бар дәрежелердің қарастырылған қасиеттерін қолданатын мысалдарды шешу талқыланады. Бірінші мысал бөлшек дәрежедегі x айнымалылары бар өрнектің мәнін табуды сұрайды: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). Өрнектің күрделілігіне қарамастан, қуаттардың қасиеттерін пайдалана отырып, оны өте қарапайым шешуге болады. Есепті шешу өрнекті жеңілдетуден басталады, онда рационал көрсеткіші бар дәрежені дәрежеге көтеру, сондай-ақ дәрежелерді бірдей негізге көбейту ережесі қолданылады. Берілген x=8 мәнін x 1/3 +48 жеңілдетілген өрнекке ауыстырғаннан кейін - 50 мәнін алу оңай.

Екінші мысалда алымы мен бөлгішінде рационал көрсеткішті дәрежелері бар бөлшекті азайту керек. Дәреженің қасиеттерін пайдалана отырып, айырмадан х 1/3 коэффициентін аламыз, содан кейін алым мен бөлгіште азайтылады, ал квадраттар айырмасының формуласын қолданып, алым көбейткіштерге бөлінеді, бұл бірдей сандарды одан әрі азайтуды береді. алымдағы және бөлгіштегі көбейткіштер. Мұндай түрлендірулердің нәтижесі қысқа бөлшек x 1/4 +3 болып табылады.

Мұғалімнің жаңа сабақ тақырыбын түсіндіруінің орнына «Рационал көрсеткішті көрсеткіш» бейне сабағын пайдалануға болады. Бұл нұсқаулықта студенттің өз бетімен оқуы үшін жеткілікті толық ақпарат бар. Материал қашықтықтан оқыту үшін де пайдалы болуы мүмкін.

a (m/n) түрінің өрнегі, мұндағы n - қандай да бір натурал сан, m - кейбір бүтін сан және а дәрежесінің негізі нөлден үлкен, бөлшек көрсеткіші бар дәреже деп аталады.Оның үстіне келесі теңдік ақиқат. n√(a m) = a (m/n) .

Бізге белгілі болғандай, n - кейбір натурал сан және m - қандай да бір бүтін сан болатын m/n түріндегі сандар бөлшек немесе рационал сандар деп аталады. Жоғарыда айтылғандардың барлығынан біз дәреже кез келген рационал көрсеткіш пен дәреженің кез келген оң негізі үшін анықталғанын аламыз.

Кез келген p,q және кез келген a>0 және b>0 рационал сандары үшін келесі теңдіктер дұрыс болады:

• 1. (a p)*(a q) = a (p+q)
• 2. (a p):(b q) = a (p-q)
• 3. (a p) q = a (p*q)
• 4. (a*b) p = (a p)*(b p)
• 5. (a/b) p = (a p)/(b p)

Бұл қасиеттер бөлшек дәрежелі дәрежелері бар әртүрлі өрнектерді түрлендіру кезінде кеңінен қолданылады.

Бөлшек көрсеткіші бар дәрежелері бар өрнектерді түрлендіру мысалдары

Осы қасиеттерді өрнектерді түрлендіру үшін қалай пайдалануға болатынын көрсететін бірнеше мысалды қарастырайық.

1. 7 (1/4) * 7 (3/4) санын есептеңіз.

• 7 (1/4) * 7 (3/4) = z (1/4 + 3/4) = 7.

2. 9 (2/3) : 9 (1/6) санын есептеңіз.

• 9 (2/3) : 9 (1/6) = 9 (2/3 - 1/6) = 9 (1/2) = √9 = 3.

3. Есептеңіз (16 (1/3)) (9/4) .

• (16 (1/3)) (9/4) = 16 ((1/3)*(9/4)) =16 (3/4) = (2 4) (3/4) = 2 (4*3/4) = 2 3 = 8.

4. 24 (2/3) санын есептеңіз.

• 24 (2/3) = ((2 3)*3) (2/3) = (2 (2*2/3))*3 (2/3) = 4*3√(3 2)=4*3√9.

5. Есептеңіз (8/27) (1/3) .

• (8/27) (1/3) = (8 (1/3))/(27 (1/3)) = ((2 3) (1/3))/((3 3) (1/3))= 2/3.

6. ((a (4/3))*b + a*b (4/3))/(3√a + 3√b) өрнекті жеңілдетіңіз

• ((a (4/3))*b + a*b (4/3))/(3√a + 3√b) = (a*b*(a (1/3) + b (1/3) )))/(1/3) + b (1/3)) = a*b.

7. Есептеңіз (25 (1/5))*(125 (1/5)).

• (25 (1/5))*(125 (1/5)) =(25*125) (1/5) = (5 5) (1/5) = 5.

8. Өрнекті ықшамдаңыз

• (а (1/3) - а (7/3))/(а (1/3) - а (4/3)) - (а (-1/3) - а (5/3))/( a (2/3) + a (-1/3)).
• (а (1/3) - а (7/3))/(а (1/3) - а (4/3)) - (а (-1/3) - а (5/3))/( a (2/3) + a (-1/3)) =
• = ((a (1/3))*(1-a 2))/((a (1/3))*(1-а)) - ((a (-1/3))*(1- a 2))/ ((a (-1/3))*(1+a)) =
• = 1 +a - (1-a) = 2*a.

Көріп отырғаныңыздай, осы қасиеттерді пайдалана отырып, сіз бөлшек дәрежелі дәрежелері бар кейбір өрнектерді айтарлықтай жеңілдетуге болады.

Өрнектер, өрнектерді түрлендіру

Күшті өрнектер (дәрежелері бар өрнектер) және олардың түрленуі

Бұл мақалада біз күштері бар өрнектерді түрлендіру туралы айтатын боламыз. Біріншіден, біз кез келген түрдегі өрнектермен, соның ішінде жақшаларды ашу және ұқсас терминдерді келтіру сияқты дәрежелі өрнектермен орындалатын түрлендірулерге тоқталамыз. Содан кейін біз дәрежелері бар өрнектерге тән түрлендірулерді талдаймыз: негіз және көрсеткішпен жұмыс, дәрежелердің қасиеттерін пайдалану және т.б.

Бетті шарлау.

Күш өрнектері дегеніміз не?

«Күш өрнектері» термині мектеп математика оқулықтарында іс жүзінде кездеспейді, бірақ ол есептер жинақтарында, әсіресе, Бірыңғай мемлекеттік емтиханға және Бірыңғай мемлекеттік емтиханға дайындалуға арналған, жиі кездеседі. Күш өрнектері бар кез келген әрекеттерді орындау қажет тапсырмаларды талдағаннан кейін, қуат өрнектері олардың жазбаларында өкілеттіктері бар өрнектер ретінде түсінілетіні белгілі болады. Сондықтан сіз өзіңіз үшін келесі анықтаманы қабылдай аласыз:

Анықтама.

Күшті өрнектердәрежелері бар өрнектер.

берейік қуат өрнектерінің мысалдары. Сонымен қатар, біз оларды натурал көрсеткішті дәрежеден нақты көрсеткішті дәрежеге дейін көзқарастардың дамуы қалай жүретініне қарай береміз.

Белгілі болғандай, алдымен натурал көрсеткішті санның дәрежесімен танысады, бұл кезеңде 3 типті ең қарапайым дәреже өрнектері 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0,1) 4, 3 a 2 пайда болады −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 т.б.

Біраз уақыттан кейін бүтін дәрежелі санның дәрежесі зерттеледі, бұл теріс бүтін дәрежелері бар дәреже өрнектерінің пайда болуына әкеледі, мысалы: 3 −2, , a −2 +2 b −3 +c 2 .

Орта мектепте олар дипломға оралады. Мұнда сәйкес дәреже өрнектерінің пайда болуын талап ететін рационал көрсеткіші бар дәреже енгізіледі: , , және т.б. Соңында иррационал дәрежелі дәрежелер және олардан тұратын өрнектер қарастырылады: , .

Мәселе аталған қуат өрнектерімен шектелмейді: әрі қарай айнымалы көрсеткіш көрсеткішке енеді және, мысалы, келесі өрнектер пайда болады: 2 x 2 +1 немесе . Ал танысқаннан кейін дәрежелері мен логарифмдері бар өрнектер пайда бола бастайды, мысалы, x 2·lgx −5·x lgx.

Сонымен, біз қуат өрнектері нені білдіреді деген сұрақпен айналыстық. Әрі қарай біз оларды түрлендіруді үйренеміз.

Дәрежелік өрнектерді түрлендірудің негізгі түрлері

Күшті өрнектермен өрнектердің негізгі сәйкестік түрлендірулерінің кез келгенін орындауға болады. Мысалы, жақшаларды ашуға, сандық өрнектерді олардың мәндерімен ауыстыруға, ұқсас терминдерді қосуға және т.б. Әрине, бұл жағдайда әрекеттерді орындаудың қабылданған тәртібін сақтау қажет. Мысалдар келтірейік.

Мысал.

Дәреже өрнегі 2 3 ·(4 2 −12) мәнін есептеңдер.

Шешім.

Әрекеттердің орындалу реті бойынша алдымен жақшадағы әрекеттерді орындаңыз. Онда, біріншіден, 4 2 қуатын оның 16 мәніне ауыстырамыз (қажет болса, қараңыз), екіншіден, 16−12=4 айырмасын есептейміз. Бізде бар 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

Алынған өрнекте 2 3 дәрежесін оның 8 мәніне ауыстырамыз, содан кейін 8·4=32 көбейтіндісін есептейміз. Бұл қалаған мән.

Сонымен, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

Жауап:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

Мысал.

Өрнектерді дәрежелермен жеңілдету 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Шешім.

Әлбетте, бұл өрнекте 3·a 4 ·b −7 және 2·a 4 ·b −7 ұқсас терминдер бар және біз оларды бере аламыз: .

Жауап:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Мысал.

Өрнекті дәрежелері бар туынды ретінде көрсетіңіз.

Шешім.

Сіз 9 санын 3 2 дәрежесі ретінде көрсету арқылы тапсырманы жеңе аласыз, содан кейін қысқартылған көбейту формуласын қолдана аласыз - квадраттардың айырмашылығы:

Жауап:

Сондай-ақ қуат өрнектеріне арнайы тән бірнеше бірдей түрлендірулер бар. Біз оларды әрі қарай талдаймыз.

Негіз және дәреже көрсеткішімен жұмыс

Негізі және/немесе көрсеткіші тек сандар немесе айнымалылар емес, кейбір өрнектер болатын дәрежелер бар. Мысал ретінде (2+0,3·7) 5−3,7 және (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) жазбаларын береміз.

Мұндай өрнектермен жұмыс істеу кезінде дәреже негізіндегі өрнекті де, дәрежедегі өрнекті де оның айнымалыларының ODZ-дегі бірдей тең өрнекпен ауыстыруға болады. Басқаша айтқанда, бізге белгілі ережелер бойынша біз дәреженің негізін бөлек және көрсеткішті бөлек түрлендіруге болады. Бұл түрлендіру нәтижесінде түпнұсқаға бірдей тең өрнек алынатыны анық.

Мұндай түрлендірулер өрнектерді қуаттармен жеңілдетуге немесе бізге қажет басқа мақсаттарға жетуге мүмкіндік береді. Мысалы, жоғарыда аталған (2+0,3 7) 5−3,7 қуат өрнегінде 4,1 1,3 дәрежесіне өтуге мүмкіндік беретін база мен дәрежедегі сандармен амалдарды орындауға болады. Ал жақшаларды ашып, ұқсас мүшелерді (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) дәреженің негізіне келтіргеннен кейін a 2·(x+) қарапайым түріндегі дәреже өрнегін аламыз. 1) .

Degree қасиеттерін пайдалану

Өрнектерді дәрежелерімен түрлендірудің негізгі құралдарының бірі - көрсететін теңдіктер . Негізгілерін еске түсірейік. Кез келген оң а және b сандары және r және s ерікті нақты сандары үшін дәрежелердің келесі қасиеттері дұрыс болады:

• a r ·a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a·b) r =a r ·b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r·s .

Натурал, бүтін және оң дәрежелер үшін a және b сандарына шектеулер соншалықты қатаң болмауы мүмкін екенін ескеріңіз. Мысалы, m және n натурал сандар үшін a m ·a n =a m+n теңдігі оң а үшін ғана емес, теріс а үшін де, а=0 үшін де дұрыс.

Мектепте қуат өрнектерін түрлендіруде басты назар тиісті қасиетті таңдап, оны дұрыс қолдана білуге ​​аударылады. Бұл жағдайда градустардың негіздері әдетте оң болады, бұл градустардың қасиеттерін шектеусіз пайдалануға мүмкіндік береді. Дәл осы жағдай дәрежелер негіздерінде айнымалы мәндерді қамтитын өрнектерді түрлендіруге де қатысты - айнымалылардың рұқсат етілген мәндерінің диапазоны әдетте негіздер тек оң мәндерді қабылдайтындай болады, бұл қуаттардың қасиеттерін еркін пайдалануға мүмкіндік береді. . Тұтастай алғанда, сіз өзіңізге бұл жағдайда қандай да бір дәрежелер қасиетін пайдалану мүмкін бе деп үнемі сұрақ қоюыңыз керек, өйткені қасиеттерді дұрыс пайдаланбау білім беру құндылығының тарылуына және басқа да қиындықтарға әкелуі мүмкін. Бұл мәселелер егжей-тегжейлі және мысалдармен мақалада дәрежелердің қасиеттерін пайдаланып өрнектерді түрлендіру туралы талқыланады. Мұнда біз бірнеше қарапайым мысалдарды қарастырумен шектелеміз.

Мысал.

a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 өрнегін негіз a болатын дәреже ретінде өрнектеңіз.

Шешім.

Біріншіден, екінші коэффициентті (a 2) −3 дәрежесін дәрежеге көтеру қасиетін пайдаланып түрлендіреміз: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Бастапқы қуат өрнегі a 2,5 ·a −6:a −5,5 пішінін алады. Әлбетте, бірдей негізбен дәрежелерді көбейту және бөлу қасиеттерін пайдалану қалады, бізде
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Жауап:

a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.

Дәрежелік өрнектерді түрлендіру кезінде дәрежелердің қасиеттері солдан оңға және оңнан солға қарай қолданылады.

Мысал.

Дәреже өрнектің мәнін табыңыз.

Шешім.

Оңнан солға қарай қолданылатын (a·b) r =a r ·b r теңдігі бастапқы өрнектен форманың туындысына және одан әрі өтуге мүмкіндік береді. Дәрежелерді бірдей негіздермен көбейткенде, дәрежелер қосылады: .

Бастапқы өрнекті басқа жолмен түрлендіру мүмкін болды:

Жауап:

.

Мысал.

a 1,5 −a 0,5 −6 дәреже өрнегін ескере отырып, t=a 0,5 жаңа айнымалысын енгізіңіз.

Шешім.

a 1,5 дәрежесін 0,5 3 ретінде көрсетуге болады, содан кейін оңнан солға қарай қолданылатын (a r) s =a r s дәрежесінің қасиетіне сүйене отырып, оны (a 0,5) 3 түріне түрлендіріңіз. Осылайша, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Енді t=a 0,5 жаңа айнымалыны енгізу оңай, біз t 3 −t−6 аламыз.

Жауап:

t 3 −t−6 .

Дәрежелері бар бөлшектерді түрлендіру

Дәрежелік өрнектер дәрежесі бар бөлшектерді қамтуы немесе көрсетуі мүмкін. Кез келген түрдегі бөлшектерге тән бөлшектердің негізгі түрлендірулерінің кез келгені мұндай бөлшектерге толығымен қолданылады. Яғни, дәрежелері бар бөлшектерді азайтуға, жаңа бөлгішке келтіруге, олардың алымымен бөлек және бөлгішімен бөлек жұмыс істеуге және т.б. Бұл сөздерді түсіндіру үшін бірнеше мысалдың шешімдерін қарастырыңыз.

Мысал.

Қуат көрінісін жеңілдету .

Шешім.

Бұл дәреженің өрнегі бөлшек. Оның алымы мен бөлімімен жұмыс жасайық. Бөлімде жақшаларды ашамыз және алынған өрнекті дәрежелердің қасиеттерін пайдаланып жеңілдетеміз, ал бөлгіште ұқсас терминдерді береміз:

Бөлшектің алдына минус қойып, бөлгіштің таңбасын өзгертейік: .

Жауап:

.

Дәрежелері бар бөлшектерді жаңа бөлгішке келтіру рационал бөлшектерді жаңа бөлгішке келтіру сияқты жүзеге асырылады. Бұл жағдайда қосымша көбейткіш те табылып, бөлшектің алымы мен бөлімі соған көбейтіледі. Бұл әрекетті орындаған кезде, жаңа бөлгішке дейін қысқарту ODZ тарылуына әкелуі мүмкін екенін есте ұстаған жөн. Бұған жол бермеу үшін бастапқы өрнек үшін ODZ айнымалыларындағы айнымалы мәндердің кез келген мәндері үшін қосымша фактор нөлге түспеуі керек.

Мысал.

Бөлшектерді жаңа бөлімге келтір: а) азайғышқа, ә) бөлгішке.

Шешім.

а) Бұл жағдайда қажетті нәтижеге жетуге қандай қосымша мультипликатор көмектесетінін анықтау өте оңай. Бұл 0,3 көбейткіші, өйткені a 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. а айнымалысының рұқсат етілген мәндерінің диапазонында (бұл барлық оң нақты сандар жиыны) 0,3-тің күші жойылмайтынын ескеріңіз, сондықтан біз берілгеннің алымы мен бөлімін көбейтуге құқылымыз. осы қосымша фактор бойынша бөлшек:

ә) Бөлгішке мұқият қарасаңыз, сіз оны табасыз

және бұл өрнекті көбейткенде текшелердің қосындысы шығады және , яғни . Және бұл бастапқы бөлшекті азайтуымыз керек жаңа бөлгіш.

Осылайша біз қосымша факторды таптық. x және y айнымалыларының рұқсат етілген мәндерінің диапазонында өрнек жойылмайды, сондықтан бөлшектің алымы мен бөлімін оған көбейтуге болады:

Жауап:

A) , б) .

Құрамында дәрежелері бар бөлшектерді азайтуда да жаңалық жоқ: алым мен бөлгіш бірнеше факторлар ретінде көрсетіледі, ал алым мен бөлгіштің бірдей көбейткіштері азайтылады.

Мысал.

Бөлшекті азайт: а) , б) .

Шешім.

а) Біріншіден, алым мен бөлгішті 30 және 45 сандарына азайтуға болады, ол 15-ке тең. Сондай-ақ х 0,5 +1 және бойынша азайтуды орындауға болатыны анық . Міне, бізде:

б) Бұл жағдайда алым мен бөлгіштегі бірдей көбейткіштер бірден көрінбейді. Оларды алу үшін алдын ала түрлендірулерді орындау керек. Бұл жағдайда олар квадраттардың айырымы формуласын пайдаланып бөлгішті көбейткіштерге бөлуден тұрады:

Жауап:

A)

б) .

Бөлшектерді жаңа бөлімге айналдыру және бөлшекті азайту негізінен бөлшектермен жұмыс істеу үшін қолданылады. Әрекеттер белгілі ережелерге сәйкес орындалады. Бөлшектерді қосқанда (азайтқанда) олар ортақ бөлімге келтіріледі, одан кейін алымдар қосылады (азайтылады), бірақ бөлгіш өзгеріссіз қалады. Нәтиже – алымы алымдардың көбейтіндісіне, ал бөлгіші бөлгіштердің көбейтіндісіне тең бөлшек. Бөлшекке бөлу – оған кері көбейту.

Мысал.

Қадамдарды орындаңыз .

Шешім.

Алдымен жақшадағы бөлшектерді алып тастаймыз. Ол үшін біз оларды ортақ бөлгішке келтіреміз, яғни , содан кейін сандарды алып тастаймыз:

Енді бөлшектерді көбейтеміз:

Әлбетте, оны х 1/2 қуатпен азайтуға болады, содан кейін бізде бар .

Сондай-ақ, квадраттардың айырымы формуласын пайдалану арқылы бөлгіштегі қуат өрнегін жеңілдетуге болады: .

Жауап:

Мысал.

Қуат өрнегін жеңілдету .

Шешім.

Әлбетте, бұл бөлшекті (x 2,7 +1) 2 азайтуға болады, бұл бөлшекті береді . Х күштерімен тағы бір нәрсе жасау керек екені анық. Ол үшін алынған бөлшекті көбейтіндіге айналдырамыз. Бұл бізге бірдей негіздермен өкілеттіктерді бөлу қасиетін пайдалану мүмкіндігін береді: . Ал процестің соңында біз соңғы өнімнен бөлшекке көшеміз.

Жауап:

.

Сондай-ақ, дәреженің таңбасын өзгерте отырып, теріс дәрежелері бар көбейткіштерді алымнан бөлгішке немесе азайтқыштан алымға көшіруге болатынын және көп жағдайда қажет екенін қосамыз. Мұндай түрлендірулер көбінесе келесі әрекеттерді жеңілдетеді. Мысалы, қуат өрнегі арқылы ауыстыруға болады.

Түбірлері мен дәрежелері бар өрнектерді түрлендіру

Көбінесе, кейбір түрлендірулер қажет болатын өрнектерде дәрежелермен бірге бөлшек көрсеткіші бар түбірлер де болады. Мұндай өрнекті қажетті пішінге айналдыру үшін көп жағдайда тек түбірлерге немесе тек қуаттарға бару жеткілікті. Бірақ өкілеттіктермен жұмыс істеу ыңғайлырақ болғандықтан, олар әдетте тамырдан билікке ауысады. Дегенмен, бастапқы өрнек үшін айнымалы мәндердің ODZ модульге сілтеме жасамай немесе ODZ бірнеше интервалдарға бөлудің қажеті жоқ түбірлерді қуаттармен ауыстыруға мүмкіндік бергенде, мұндай ауысуды жүзеге асырған жөн (біз мұны егжей-тегжейлі талқыладық. артикльдің түбірден дәрежеге және кері ауысуы Рационал көрсеткішті дәрежемен танысқаннан кейін ерікті нақты көрсеткіші бар дәреже туралы айтуға мүмкіндік беретін иррационал көрсеткішті дәреже енгізіледі.Бұл кезеңде мектеп оқу көрсеткіштік функция, ол аналитикалық түрде дәрежемен беріледі, оның негізі сан, ал көрсеткіші айнымалы. Сонымен, біз дәреженің негізінде сандарды, ал дәрежеде - айнымалылары бар өрнектерді қамтитын дәрежелі өрнектермен бетпе-бет келеміз және табиғи түрде мұндай өрнектерді түрлендіру қажеттілігі туындайды.

Көрсетілген түрдегі өрнектерді түрлендіру әдетте шешу кезінде орындалуы керек екенін айту керек көрсеткіштік теңдеулерЖәне көрсеткіштік теңсіздіктер, және бұл түрлендірулер өте қарапайым. Жағдайлардың басым көпшілігінде олар дәреженің қасиеттеріне негізделген және көп жағдайда болашақта жаңа айнымалыны енгізуге бағытталған. Теңдеу бізге оларды көрсетуге мүмкіндік береді 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Біріншіден, дәрежелерінде белгілі бір айнымалының (немесе айнымалылары бар өрнектің) және санның қосындысы болатын дәрежелер туындылармен ауыстырылады. Бұл сол жақтағы өрнектің бірінші және соңғы мүшелеріне қатысты:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Әрі қарай, теңдіктің екі жағы 7 2 x өрнегіне бөлінеді, ол бастапқы теңдеу үшін x айнымалысының ODZ-де тек оң мәндерді қабылдайды (бұл осы типтегі теңдеулерді шешудің стандартты әдісі, біз Бұл туралы қазір айта отырып, өрнектердің келесі түрлендірулеріне назар аударыңыз ):

Енді біз дәрежелері бар бөлшектерді алып тастай аламыз, бұл береді .

Ақырында, дәрежелері бірдей дәрежелердің қатынасы қатынастардың дәрежелерімен ауыстырылады, нәтижесінде теңдеу шығады. , бұл эквивалент . Жасалған түрлендірулер бастапқы көрсеткіштік теңдеудің шешімін квадрат теңдеудің шешіміне келтіретін жаңа айнымалыны енгізуге мүмкіндік береді.

И.В.Бойков, Л.Д.РомановаБірыңғай мемлекеттік емтиханға дайындалуға арналған тапсырмалар жинағы. 1-бөлім. Пенза 2003 ж.

No30 сабақ (Алгебра және негізгі талдау, 11 сынып)

Сабақтың тақырыбы: Рационал көрсеткішті дәреже.

Сабақтың мақсаты: 1 . Дәреже ұғымын кеңейту, рационал көрсеткішті дәреже ұғымын беру; рационал көрсеткішті дәрежені түбірге және керісінше түрлендіруді үйрету; дәрежелерді рационал көрсеткішімен есептеңіз.

2. Есте сақтау, ойлау қабілеттерін дамыту.

3. Белсенділігін қалыптастыру.

«Біреу сызып тастауға тырыссын

математика дәрежесінен бастап, ол көреді,

Оларсыз алысқа жете алмайсың».Ломоносов М.В

Сабақтар кезінде.

I. Сабақтың тақырыбы мен мақсатын айту.

II. Өтілген материалды қайталау және бекіту.

1. Шешілмеген үй мысалдарын талдау.

2. Өзіндік жұмысқа жетекшілік ету:

1 нұсқа.

1. Теңдеуді шешіңіз: √(2x – 1) = 3x – 12

2. Теңсіздікті шешіңіз: √(3x – 2) ≥ 4 – x

2-нұсқа.

1. Теңдеуді шеш: 3 – 2x = √(7x + 32)

2. Теңсіздікті шешіңіз: √(3x + 1) ≥ x – 1

III. Жаңа материалды меңгерту.

1 . Сандар ұғымының кеңеюін еске түсірейік: N є Z є Q є R.

Бұл төмендегі диаграммамен жақсы көрсетілген:

Табиғи (N)

Нөл

Теріс емес сандар

Теріс сандар

Бөлшек сандар

Бүтін сандар (Z)

Иррационал

Рационал (Q)

Нақты сандар

2. Төменгі сыныптарда бүтін көрсеткішті санның дәрежесі туралы түсінік анықталды. а) Көрсеткіштің анықтамасын есте сақтаңыз а) натурал, б) теріс бүтін, б) нөлдік көрсеткіш.Өрнегі а n a=0 және n≤0 қоспағанда, барлық n бүтін сандары мен a-ның кез келген мәндері үшін мағынасы бар.

б) Бүтін көрсеткішті дәрежелердің қасиеттерін көрсетіңіз.

3. Ауызша жұмыс.

1). Есептеңіз: 1 -5 ; 4 -3; (-100 ; (-5) -2 ; (1/2) -4 ; (3/7) -1 .

2). Оны теріс көрсеткіші бар дәреже түрінде жазыңыз:

1/4 5 ;1/21 3 ; 1/x 7 ; 1/а 9.

3).Бірлікпен салыстыр: 12-3 ; 21 0 ; (0,6) -5 ; (5/19) -4 .

4 . Енді 3-ші өрнектердің мағынасын түсіну керек 0,4 ; 4 5/7 ; 5 -1/2 және т.б. Ол үшін дәреже ұғымын дәрежелердің барлық аталған қасиеттері қанағаттандырылатындай етіп жалпылау қажет. Теңдікті қарастырайық (а m/n ) n = a m . Сонда, n-ші түбірдің анықтамасы бойынша, а деп есептеу орындым/н a-ның n-ші түбірі боладым . Рационал көрсеткіші бар дәреженің анықтамасы берілген.

5. Оқулықтағы 1 және 2 мысалдарды қарастырыңыз.

6. Рационал көрсеткіші бар дәреже ұғымына байланысты бірқатар түсініктемелер жасайық.

Ескерту 1 : Кез келген a>0 және рационал r саны үшін а саны r >0

Ескерту 2 : Бөлшектердің негізгі қасиеті бойынша m/n рационал санын кез келген k натурал саны үшін mk/nk түрінде жазуға болады. Содан кейіндәреженің мәні рационал санды жазу түріне байланысты емес, a mk/nk = = nk √a mk = n √a m = a m/n болғандықтан

3-ескертпе: Қашан а Мұны мысалмен түсіндірейік. Қарастыру (-64) 1/3 = 3 √-64 = -4. Екінші жағынан: 1/3 = 2/6, содан кейін (-64) 1/ 3 = (-64) 2/6 = 6 √(-64) 2 = 6√64 2 = 6 √4 6 = 4. Біз қарама-қайшылықты аламыз.