Ықтималдықтар теориясының формулалары және есептерді шығару мысалдары. Бағдарламашыларға арналған математика: ықтималдықтар теориясы Ықтималдықтар теориясында p a деген не

«Кездейсоқ оқиға емес»... Бұл бір философтың айтқанындай естіледі, бірақ шын мәнінде кездейсоқтықты зерттеу – ұлы математика ғылымының тағдыры. Математикада кездейсоқтықты ықтималдықтар теориясы қарастырады. Мақалада формулалар мен тапсырмалардың мысалдары, сондай-ақ осы ғылымның негізгі анықтамалары беріледі.

Ықтималдық теориясы дегеніміз не?

Ықтималдықтар теориясы – кездейсоқ оқиғаларды зерттейтін математикалық пәндердің бірі.

Біраз түсінікті болу үшін шағын мысал келтірейік: егер сіз тиынды жоғары лақтырсаңыз, ол бастарға немесе құйрықтарға қонуы мүмкін. Монета ауада тұрғанда, бұл екі ықтималдықтың екеуі де мүмкін. Яғни, ықтимал салдарлардың ықтималдығы 1:1. Егер біреуі 36 картадан тұратын палубадан шығарылса, онда ықтималдық 1:36 ретінде көрсетіледі. Бұл жерде, әсіресе математикалық формулалардың көмегімен зерттеп, болжауға ештеңе жоқ сияқты. Дегенмен, белгілі бір әрекетті бірнеше рет қайталасаңыз, сіз белгілі бір заңдылықты анықтай аласыз және оның негізінде басқа жағдайларда оқиғалардың нәтижесін болжауға болады.

Жоғарыда айтылғандардың барлығын қорытындылайтын болсақ, ықтималдық теориясы классикалық мағынада мүмкін болатын оқиғалардың бірінің сандық мәнде пайда болу мүмкіндігін зерттейді.

Тарих беттерінен

Ықтималдық теориясы, формулалар мен алғашқы тапсырмалардың мысалдары карта ойындарының нәтижесін болжау әрекеттері алғаш рет пайда болған алыс орта ғасырларда пайда болды.

Бастапқыда ықтималдықтар теориясының математикаға еш қатысы болған жоқ. Ол тәжірибеде қайталанатын оқиғаның эмпирикалық фактілерімен немесе қасиеттерімен негізделді. Математикалық пән ретінде бұл саладағы алғашқы еңбектер 17 ғасырда пайда болды. Құрылтайшылары Блез Паскаль мен Пьер Ферма болды. Олар ұзақ уақыт бойы құмар ойындарды зерттеп, белгілі бір үлгілерді көрді, олар туралы жұртшылыққа айтуды шешті.

Дәл осындай әдісті Кристиан Гюйгенс ойлап тапты, бірақ ол Паскаль мен Ферманың зерттеулерінің нәтижелерімен таныс емес. Ол пән тарихында бірінші болып саналатын «ықтималдық теориясы» ұғымын, формулалар мен мысалдарды енгізді.

Якоб Бернулли еңбектерінің, Лаплас пен Пуассон теоремаларының да маңызы аз емес. Олар ықтималдық теориясын математикалық пәнге көбірек ұқсатты. Ықтималдықтар теориясы, формулалар мен негізгі тапсырмалардың мысалдары Колмогоровтың аксиомаларының арқасында қазіргі формасын алды. Барлық өзгерістердің нәтижесінде ықтималдықтар теориясы математикалық салалардың біріне айналды.

Ықтималдықтар теориясының негізгі түсініктері. Оқиғалар

Бұл пәннің негізгі түсінігі – «оқиға». Оқиғалардың үш түрі бар:

• Сенімді.Бұл бәрібір болады (тиын құлайды).
• Мүмкін емес.Ешбір жағдайда болмайтын оқиғалар (тиын ауада ілулі қалады).
• Кездейсоқ.Болатын немесе болмайтындары. Оларға әртүрлі факторлар әсер етуі мүмкін, оларды болжау өте қиын. Егер монета туралы айтатын болсақ, онда нәтижеге әсер ететін кездейсоқ факторлар бар: монетаның физикалық сипаттамалары, оның пішіні, оның бастапқы орны, лақтыру күші және т.б.

Мысалдардағы барлық оқиғалар басқа рөлге ие P қоспағанда, бас латын әріптерімен көрсетілген. Мысалы:

• A = «студенттер дәріс оқуға келді».
• À = «студенттер лекцияға келмеді.»

Практикалық тапсырмаларда оқиғалар әдетте сөзбен жазылады.

Оқиғалардың маңызды сипаттамаларының бірі - олардың тең мүмкіндігі. Яғни, егер сіз монета лақтырсаңыз, ол құлағанға дейін бастапқы құлаудың барлық нұсқалары мүмкін. Бірақ оқиғалар да бірдей мүмкін емес. Бұл біреу нәтижеге әдейі әсер еткенде орын алады. Мысалы, ауырлық орталығы ауысатын «белгіленген» ойын карталары немесе сүйектер.

Оқиғалар да үйлесімді және үйлеспейтін болуы мүмкін. Үйлесімді оқиғалар бір-бірінің пайда болуын жоққа шығармайды. Мысалы:

• A = «студент лекцияға келді».
• B = «студент лекцияға келді».

Бұл оқиғалар бір-бірінен тәуелсіз және олардың біреуінің болуы екіншісінің пайда болуына әсер етпейді. Үйлесімсіз оқиғалар бірінің пайда болуы екіншісінің болуын жоққа шығаратындығымен анықталады. Егер сол монета туралы айтатын болсақ, онда «құйрықтардың» жоғалуы сол тәжірибеде «бастардың» пайда болуын мүмкін емес етеді.

Оқиғалар бойынша әрекеттер

Оқиғаларды көбейтуге және қосуға болады, сәйкесінше пәнге «ЖӘНЕ» және «НЕМЕСЕ» логикалық жалғаулары енгізіледі.

Сома А немесе В оқиғасының немесе екеуінің бір уақытта болуы мүмкін екендігімен анықталады. Егер олар үйлесімсіз болса, соңғы опция мүмкін емес; A немесе B айналдырылады.

Оқиғалардың көбеюі А және В бір мезгілде пайда болудан тұрады.

Енді біз негіздерді, ықтималдықтар теориясын және формулаларды жақсы есте сақтау үшін бірнеше мысал келтіре аламыз. Төмендегі есептерді шешу мысалдары.

1-жаттығу: Кәсіпорын жұмыстың үш түрі бойынша келісім-шарттар алу конкурсына қатысады. Мүмкін болатын оқиғалар:

• A = «фирма бірінші келісімшартты алады».
• A 1 = «фирма бірінші келісімшартты алмайды».
• B = «фирма екінші келісімшартты алады».
• B 1 = «фирма екінші келісімшартты алмайды»
• C = «фирма үшінші келісімшартты алады».
• C 1 = «фирма үшінші келісімшартты алмайды».

Оқиғалардағы әрекеттерді пайдалана отырып, біз келесі жағдайларды білдіруге тырысамыз:

• K = «компания барлық келісімшарттарды алады».

Математикалық түрде теңдеу келесі түрге ие болады: K = ABC.

• M = «компания бірде-бір келісімшарт алмайды».

M = A 1 B 1 C 1.

Тапсырманы күрделендіріп көрейік: H = «компания бір келісімшарт алады». Компания қандай келісім-шартты алатыны белгісіз болғандықтан (бірінші, екінші немесе үшінші), ықтимал оқиғалардың барлық сериясын жазу қажет:

H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

Ал 1 BC 1 - фирма бірінші және үшінші келісім-шартты алмай, екіншісін алатын оқиғалар тізбегі. Басқа ықтимал оқиғалар сәйкес әдісті қолдана отырып жазылды. Пәндегі υ таңбасы «НЕМЕСЕ» жалғаулығын білдіреді. Жоғарыдағы мысалды адам тіліне аударсақ, компания не үшінші келісімді, не екіншісін, не біріншісін алады. Сол сияқты «Ықтималдықтар теориясы» пәнінің басқа шарттарын жазуға болады. Жоғарыда келтірілген есептерді шешудің формулалары мен мысалдары мұны өзіңіз жасауға көмектеседі.

Шын мәнінде, ықтималдық

Мүмкін, бұл математикалық пәнде оқиғаның ықтималдығы орталық ұғым болып табылады. Ықтималдықтың 3 анықтамасы бар:

• классикалық;
• статистикалық;
• геометриялық.

Ықтималдылықты зерттеуде әрқайсысының өз орны бар. Ықтималдықтар теориясы, формулалар мен мысалдар (9-сынып) негізінен классикалық анықтаманы пайдаланады, ол келесідей естіледі:

• А жағдайының ықтималдығы оның пайда болуына қолайлы нәтижелер санының барлық мүмкін болатын нәтижелер санына қатынасына тең.

Формула келесідей көрінеді: P(A)=m/n.

А шын мәнінде оқиға. Егер А-ға қарама-қарсы регистр пайда болса, оны Ā немесе A 1 түрінде жазуға болады.

m – мүмкін болатын қолайлы жағдайлардың саны.

n – болуы мүмкін барлық оқиғалар.

Мысалы, A = «жүрек костюмінің картасын салыңыз». Стандартты палубада 36 карта бар, оның 9-ы жүректер. Тиісінше, есепті шешу формуласы келесідей болады:

P(A)=9/36=0,25.

Нәтижесінде палубадан жүрек костюмінің картасын алу ықтималдығы 0,25 болады.

Жоғары математикаға қарай

Енді ықтималдық теориясының не екені, мектеп бағдарламасында кездесетін есептерді шешудің формулалары мен мысалдары аздап белгілі болды. Дегенмен, ықтималдық теориясы университеттерде оқытылатын жоғары математикада да кездеседі. Көбінесе олар теорияның геометриялық және статистикалық анықтамаларымен және күрделі формулалармен жұмыс істейді.

Ықтималдық теориясы өте қызықты. Формулалар мен мысалдарды (жоғары математика) зерттеуді кішігірім - ықтималдықтың статистикалық (немесе жиілік) анықтамасымен бастаған дұрыс.

Статистикалық тәсіл классикалыққа қайшы келмейді, бірақ оны біршама кеңейтеді. Егер бірінші жағдайда оқиғаның қандай ықтималдықпен болатынын анықтау қажет болса, онда бұл әдісте оның қаншалықты жиі болатынын көрсету керек. Мұнда W n (A) арқылы белгілеуге болатын «салыстырмалы жиілік» жаңа ұғымы енгізіледі. Формула классикалық формуладан еш айырмашылығы жоқ:

Болжау үшін классикалық формула есептелсе, статистикалық формула эксперимент нәтижелері бойынша есептеледі. Мысалы, шағын тапсырманы алайық.

Технологиялық бақылау бөлімі өнімнің сапасын тексереді. 100 өнімнің ішінде 3 өнім сапасыз болып шықты. Сапалы өнімнің жиілік ықтималдығын қалай табуға болады?

A = «сапалы өнімнің сыртқы түрі».

W n (A)=97/100=0,97

Осылайша, сапалы өнімнің жиілігі 0,97 құрайды. 97 қайдан алдың? Тексерілген 100 өнімнің 3-еуі сапасыз болып шықты. 100-ден 3-ті алып тастап, 97 аламыз, бұл сапалы тауардың мөлшері.

Комбинаторика туралы аздап

Ықтималдық теориясының тағы бір әдісі комбинаторика деп аталады. Оның негізгі принципі: егер белгілі бір А таңдауы m түрлі жолмен, ал В таңдауы n түрлі жолмен жасалуы мүмкін болса, онда А және В таңдауы көбейту арқылы жүзеге асады.

Мысалы, А қаласынан В қаласына апаратын 5 жол бар. В қаласынан С қаласына дейін 4 жол бар. А қаласынан С қаласына қанша жолмен жетуге болады?

Қарапайым: 5x4=20, яғни жиырма түрлі жолмен А нүктесінен С нүктесіне дейін жетуге болады.

Тапсырманы күрделендірейік. Пасьянстағы карталарды орналастырудың неше жолы бар? Палубада 36 карта бар - бұл бастапқы нүкте. Әдістердің санын білу үшін бастапқы нүктеден бір уақытта бір картаны «алып тастау» және көбейту керек.

Яғни, 36x35x34x33x32...x2x1= нәтиже калькулятор экранына сәйкес келмейді, сондықтан оны жай ғана 36 деп белгілеуге болады!. «!» белгісін қойыңыз. санның жанындағы барлық сандар қатары бірге көбейтілгенін көрсетеді.

Комбинаторикада ауыстыру, орналастыру және комбинация сияқты ұғымдар бар. Олардың әрқайсысының өзіндік формуласы бар.

Жиын элементтерінің реттелген жиыны орналасу деп аталады. Орналастырулар қайталануы мүмкін, яғни бір элементті бірнеше рет қолдануға болады. Және қайталанбай, элементтер қайталанбаған кезде. n - барлық элементтер, m - орналастыруға қатысатын элементтер. Қайталаусыз орналастыру формуласы келесідей болады:

A n m =n!/(n-m)!

Орналастыру ретімен ғана ерекшеленетін n элементтің қосылымдары алмастырулар деп аталады. Математикада ол келесідей көрінеді: P n = n!

m элементтерінің n комбинациясы - бұл олардың қандай элементтер болғаны және олардың жалпы саны қанша екендігі маңызды болатын қосылыстар. Формула келесідей болады:

A n m =n!/m!(n-m)!

Бернулли формуласы

Әрбір пәндегі сияқты ықтималдықтар теориясында да оны жаңа деңгейге көтерген өз саласында көрнекті зерттеушілердің еңбектері бар. Осы жұмыстардың бірі - тәуелсіз жағдайда болатын белгілі бір оқиғаның ықтималдығын анықтауға мүмкіндік беретін Бернулли формуласы. Бұл тәжірибеде А-ның пайда болуы бір оқиғаның бұрынғы немесе кейінгі сынақтарда орын алуына немесе болмауына байланысты емес екенін көрсетеді.

Бернулли теңдеуі:

P n (m) = C n m ×p m ×q n-m.

(А) оқиғасының пайда болу ықтималдығы (p) әрбір сынақ үшін тұрақты. Жағдайдың n рет тәжірибеде дәл m рет орын алу ықтималдығы жоғарыда келтірілген формула бойынша есептелетін болады. Осыған сәйкес q санын қалай табуға болады деген сұрақ туындайды.

Егер А оқиғасы p рет қайталанса, сәйкесінше ол болмауы мүмкін. Бірлік – пәндегі жағдайдың барлық нәтижелерін белгілеу үшін қолданылатын сан. Демек, q – оқиғаның болмау мүмкіндігін білдіретін сан.

Енді сіз Бернулли формуласын (ықтималдық теориясы) білесіз. Төменде есептерді шешу мысалдарын (бірінші деңгей) қарастырамыз.

2-тапсырма:Дүкенге келуші 0,2 ықтималдықпен сатып алады. Дүкенге 6 келуші өз бетінше кірді. Келушінің сатып алу ықтималдығы қандай?

Шешім: Бір немесе алты адам сатып алуды қанша келушінің жасауы керек екені белгісіз болғандықтан, Бернулли формуласы арқылы барлық ықтимал ықтималдықтарды есептеу қажет.

A = «келуші сатып алады».

Бұл жағдайда: p = 0,2 (тапсырмада көрсетілгендей). Сәйкесінше, q=1-0,2 = 0,8.

n = 6 (себебі дүкенде 6 тұтынушы бар). m саны 0-ден (бірде-бір тұтынушы сатып алмайды) 6-ға дейін өзгереді (дүкенге барлық келушілер бірдеңе сатып алады). Нәтижесінде біз шешімді аламыз:

P 6 (0) = C 0 6 ×p 0 ×q 6 =q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Сатып алушылардың ешқайсысы 0,2621 ықтималдығы бар сатып алуды жасамайды.

Бернулли формуласы (ықтималдық теориясы) тағы қалай қолданылады? Төмендегі есептерді шешу мысалдары (екінші деңгей).

Жоғарыдағы мысалдан кейін C және r қайда кеткені туралы сұрақтар туындайды. p-қа қатысты 0-дің дәрежесі бір санға тең болады. С-ға келетін болсақ, оны мына формула бойынша табуға болады:

C n m = n! /м!(n-m)!

Бірінші мысалда m = 0 болғандықтан, сәйкесінше, C = 1, бұл негізінен нәтижеге әсер етпейді. Жаңа формуланы пайдалана отырып, екі келушінің тауарды сатып алу ықтималдығы қандай екенін анықтауға тырысайық.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Ықтималдық теориясы соншалықты күрделі емес. Бернулли формуласы, оның мысалдары жоғарыда келтірілген, соның тікелей дәлелі.

Пуассон формуласы

Пуассон теңдеуі төмен ықтималдықты кездейсоқ жағдайларды есептеу үшін қолданылады.

Негізгі формула:

P n (m)=λ м /м! × e (-λ) .

Бұл жағдайда λ = n x p. Мұнда қарапайым Пуассон формуласы (ықтималдық теориясы). Төменде есептерді шешу мысалдарын қарастырамыз.

3-тапсырма: Зауыт 100 000 бөлшектер шығарды. Ақаулы бөліктің пайда болуы = 0,0001. Топтамада 5 ақаулы бөліктің болу ықтималдығы қандай?

Көріп отырғаныңыздай, неке екіталай оқиға, сондықтан есептеу үшін Пуассон формуласы (ықтималдық теориясы) қолданылады. Мұндай есептерді шешу мысалдары пәннің басқа тапсырмаларынан еш айырмашылығы жоқ, қажетті мәліметтерді берілген формулаға ауыстырамыз:

A = «кездейсоқ таңдалған бөлік ақаулы болады».

p = 0,0001 (тапсырма шарттарына сәйкес).

n = 100000 (бөліктер саны).

m = 5 (ақаулы бөліктер). Деректерді формулаға ауыстырып, аламыз:

R 100000 (5) = 10 5 /5! X e -10 = 0,0375.

Бернулли формуласы (ықтималдық теориясы), жоғарыда жазылған шешімдер мысалдары сияқты, Пуассон теңдеуінің де белгісіз e бар.Шындығында оны мына формула арқылы табуға болады:

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Дегенмен, e-ның барлық дерлік мәндерін қамтитын арнайы кестелер бар.

Де Мовр-Лаплас теоремасы

Егер Бернулли сұлбасында сынақтар саны жеткілікті үлкен болса және барлық схемаларда А оқиғасының пайда болу ықтималдығы бірдей болса, онда А оқиғасының сынаулар қатарында белгілі бір рет пайда болу ықтималдығын мына арқылы табуға болады: Лаплас формуласы:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

Лаплас формуласын (ықтималдық теориясы) жақсырақ есте сақтау үшін төменде есептердің мысалдары көмектеседі.

Алдымен, X m табамыз, деректерді (олардың барлығы жоғарыда көрсетілген) формулаға ауыстырып, 0,025 аламыз. Кестелерді пайдалана отырып, ϕ(0,025) санын табамыз, оның мәні 0,3988. Енді сіз барлық деректерді формулаға ауыстыра аласыз:

P 800 (267) = 1/√(800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Осылайша, флайердің дәл 267 рет жұмыс істеу ықтималдығы 0,03.

Бейс формуласы

Бейс формуласы (ықтималдықтар теориясы), оның көмегімен есептерді шешу мысалдары төменде келтіріледі, оқиғаның ықтималдығын онымен байланысты болуы мүмкін жағдайларға байланысты сипаттайтын теңдеу. Негізгі формула келесідей:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

А және В белгілі оқиғалар.

P(A|B) - шартты ықтималдық, яғни В оқиғасы ақиқат болған жағдайда А оқиғасы болуы мүмкін.

P (B|A) - В оқиғасының шартты ықтималдығы.

Сонымен, қысқаша «Ықтималдықтар теориясы» курсының қорытынды бөлімі Бейес формуласы болып табылады, есептерді шешу мысалдары төменде келтірілген.

5-тапсырма: Қоймаға үш компанияның телефондары әкелінді. Бұл ретте бірінші зауытта шығарылатын телефондардың үлесі 25%, екіншіде 60%, үшіншіде 15% құрайды. Сондай-ақ бірінші зауытта ақауы бар өнімдердің орташа пайызы 2 пайызды, екіншіде 4 пайызды, үшіншіде 1 пайызды құрайтыны белгілі. Кездейсоқ таңдалған телефонның ақаулы болу ықтималдығын табу керек.

A = «кездейсоқ таңдалған телефон».

B 1 - бірінші зауыт шығарған телефон. Тиісінше, кіріспе B 2 және B 3 пайда болады (екінші және үшінші зауыттар үшін).

Нәтижесінде біз аламыз:

P (B 1) = 25%/100% = 0,25; P(B 2) = 0,6; P (B 3) = 0,15 - осылайша біз әрбір нұсқаның ықтималдығын таптық.

Енді сіз қалаған оқиғаның шартты ықтималдықтарын табуыңыз керек, яғни компанияларда ақаулы өнімдердің ықтималдығы:

P (A/B 1) = 2%/100% = 0,02;

P(A/B 2) = 0,04;

P (A/B 3) = 0,01.

Енді деректерді Байес формуласына ауыстырып, мынаны алайық:

P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 = 0,0305.

Мақалада ықтималдық теориясы, формулалар мен есептерді шешу мысалдары берілген, бірақ бұл үлкен пәннің айсбергінің ұшы ғана. Ал жазылғанның бәрінен кейін ықтималдық теориясы өмірге қажет пе деген сұрақтың қойылуы қисынды болады. Қарапайым адамға жауап беру қиын, оны пайдаланған адамнан джекпотты бірнеше рет ұтып алуды сұраған дұрыс.

Математика курсы мектеп оқушыларына көптеген тосын сыйлар дайындайды, олардың бірі ықтималдықтар теориясына арналған есеп. Студенттер мұндай тапсырмаларды шешуде жүз пайызға дерлік қиындықтарға тап болады. Бұл мәселені түсіну және түсіну үшін сіз негізгі ережелерді, аксиомаларды және анықтамаларды білуіңіз керек. Кітаптағы мәтінді түсіну үшін барлық қысқартуларды білу керек. Біз мұның бәрін үйренуді ұсынамыз.

Ғылым және оның қолданылуы

Біз «манекештерге арналған ықтималдық теориясы» бойынша апаттық курс ұсынатындықтан, алдымен негізгі ұғымдар мен әріптік қысқартуларды енгізуіміз керек. Алдымен, «ықтималдық теориясы» түсінігіне анықтама берейік. Бұл қандай ғылым және ол не үшін қажет? Ықтималдықтар теориясы – кездейсоқ құбылыстар мен шамаларды зерттейтін математиканың бір саласы. Ол сондай-ақ осы кездейсоқ шамалармен орындалатын үлгілерді, қасиеттерді және операцияларды қарастырады. Ол не үшін? Табиғат құбылыстарын зерттеуде ғылым кең тарады. Кез келген табиғи және физикалық процестер кездейсоқтықсыз болмайды. Тәжірибе кезінде нәтижелер мүмкіндігінше дәл жазылған болса да, егер бірдей сынақ қайталанса, нәтиже бірдей болмауы мүмкін.

Біз міндетті түрде тапсырмалардың мысалдарын қарастырамыз, сіз өзіңіз көре аласыз. Нәтиже көптеген әртүрлі факторларға байланысты, оларды есепке алу немесе тіркеу мүмкін емес, бірақ соған қарамастан олар эксперимент нәтижесіне үлкен әсер етеді. Жарқын мысалдарға планеталардың траекториясын анықтау немесе ауа райы болжамын анықтау, жұмысқа барған кезде таныс адаммен кездесу ықтималдығы және спортшының секіру биіктігін анықтау кіреді. Ықтималдық теориясы да биржалардағы брокерлерге үлкен көмек көрсетеді. Ықтималдықтар теориясындағы, бұрын шешуінде көптеген мәселелер болған мәселе төменде келтірілген үш-төрт мысалдан кейін сіз үшін қарапайым нәрсеге айналады.

Оқиғалар

Жоғарыда айтылғандай, ғылым оқиғаларды зерттейді. Ықтималдықтар теориясы, есептерді шешу мысалдарын сәл кейінірек қарастырамыз, тек бір түрін – кездейсоқ зерттейді. Бірақ соған қарамастан, оқиғалардың үш түрі болуы мүмкін екенін білу керек:

• Мүмкін емес.
• Сенімді.
• Кездейсоқ.

Біз олардың әрқайсысын аздап талқылауды ұсынамыз. Кез келген жағдайда мүмкін емес оқиға ешқашан болмайды. Мысалдар мыналарды қамтиды: нөлден жоғары температурада суды мұздату, шарлар қапшығынан текшені алу.

Барлық шарттар орындалса, сенімді оқиға әрқашан 100% кепілдікпен орын алады. Мысалы: сіз жасаған жұмысыңыз үшін жалақы алдыңыз, егер сіз адал оқысаңыз, емтихан тапсырып, дипломыңызды қорғасаңыз, жоғары кәсіби білім туралы диплом алдыңыз және т.б.

Барлығы сәл күрделірек: эксперимент кезінде бұл орын алуы мүмкін немесе болмауы мүмкін, мысалы, үш әрекеттен артық емес әрекеттен кейін карта палубасынан эйсті тарту. Нәтижеге бірінші әрекетте қол жеткізуге болады немесе мүлде жоқ. Бұл ғылым зерттейтін оқиғаның пайда болу ықтималдығы.

Ықтималдық

Бұл, жалпы мағынада, оқиға орын алатын тәжірибенің сәтті нәтижесінің мүмкіндігін бағалау. Ықтималдық сапалы деңгейде бағаланады, әсіресе сандық бағалау мүмкін болмаса немесе қиын болса. Ықтималдықтар теориясындағы мәселе шешімі бар немесе дәлірек айтқанда, болжаммен табысты нәтиженің өте ықтимал үлесін табуды қамтиды. Математикадағы ықтималдық – оқиғаның сандық сипаттамасы. Ол P әрпімен белгіленген нөлден бірге дейінгі мәндерді қабылдайды. Егер P нөлге тең болса, онда оқиға болуы мүмкін емес, егер ол біреу болса, онда оқиға жүз пайыздық ықтималдықпен болады. Р біріне жақындаған сайын табысты нәтиженің ықтималдығы соғұрлым күшті болады және керісінше, егер ол нөлге жақын болса, онда оқиға аз ықтималдықпен болады.

Қысқартулар

Жақында сіз тап болатын ықтималдық мәселесі келесі қысқартуларды қамтуы мүмкін:

• P және P(X);
• A, B, C және т.б.;

Кейбір басқалары да мүмкін: қажет болған жағдайда қосымша түсініктемелер жасалады. Біз, біріншіден, жоғарыда келтірілген аббревиатураларды нақтылауды ұсынамыз. Біздің тізімдегі бірінші факторлық. Түсінікті болу үшін мысалдар келтіреміз: 5!=1*2*3*4*5 немесе 3!=1*2*3. Одан әрі берілген жиынтықтар қисық жақшаға жазылады, мысалы: (1;2;3;4;..;n) немесе (10;140;400;562). Келесі белгілер ықтималдықтар теориясы бойынша тапсырмаларда жиі кездесетін натурал сандар жиыны болып табылады. Бұрын айтылғандай, P - ықтималдық, ал P(X) - оқиғаның пайда болу ықтималдығы Х. Оқиғалар латын әліпбиінің бас әріптерімен белгіленеді, мысалы: А - ақ доп ұсталды, В - көк. , C - қызыл немесе, тиісінше, . Кіші n әрпі - барлық мүмкін нәтижелердің саны, ал m - сәтті нәтижелердің саны. Осыдан элементар есептердегі классикалық ықтималдықты табу ережесін аламыз: P = m/n. «Манекелер үшін» ықтималдық теориясы осы біліммен шектелуі мүмкін. Енді біріктіру үшін шешімге көшейік.

Есеп 1. Комбинаторика

Студенттік топ отыз адамнан тұрады, олардың арасынан басшыны, оның орынбасарын және кәсіподақ жетекшісін таңдау қажет. Бұл әрекетті орындаудың көптеген жолдарын табу керек. Ұқсас тапсырма Бірыңғай мемлекеттік емтиханда пайда болуы мүмкін. Біз қазір қарастырып отырған есептерді шешуге ықтималдықтар теориясы комбинаторика курсынан, классикалық ықтималдықты, геометриялық ықтималдықты табудан және негізгі формулаларға есептер шығаруды қамтуы мүмкін. Бұл мысалда біз комбинаторика курсынан тапсырманы шешіп жатырмыз. Шешімге көшейік. Бұл тапсырма ең қарапайым:

1. n1=30 – студенттік топтың мүмкін префекттері;
2. n2=29 – депутаттық қызметке орналаса алатындар;
3. Кәсіподақ қызметкері лауазымына n3=28 адам өтініш білдірді.

Бар болғаны нұсқалардың ықтимал санын табу, яғни барлық көрсеткіштерді көбейту. Нәтижесінде мынаны аламыз: 30*29*28=24360.

Бұл қойылған сұраққа жауап болады.

Мәселе 2. Қайта реттеу

Конференцияда сөз сөйлейтін 6 қатысушы бар, реті жеребе арқылы анықталады. Біз мүмкін болатын ұтыс нұсқаларының санын табуымыз керек. Бұл мысалда біз алты элементті ауыстыруды қарастырамыз, яғни 6-ны табу керек!

Қысқартулар тармағында біз оның не екенін және оның қалай есептелетінін айттық. Барлығы 720 сурет салу нұсқасы бар екені белгілі болды. Бір қарағанда, қиын тапсырманың өте қысқа және қарапайым шешімі бар. Бұл ықтималдықтар теориясы қарастыратын міндеттер. Жоғары деңгейлі есептерді шешу жолын келесі мысалдарда қарастырамыз.

Мәселе 3

Жиырма бес оқушыдан тұратын топ алты, тоғыз және он адамнан тұратын үш топшаға бөлінуі керек. Бізде: n=25, k=3, n1=6, n2=9, n3=10. Мәндерді қажетті формулаға ауыстыру қалды, біз аламыз: N25(6,9,10). Қарапайым есептеулерден кейін біз жауап аламыз - 16 360 143 800.Егер тапсырмада сандық шешімді алу қажет деп айтылмаса, онда оны факториалдар түрінде беруге болады.

Мәселе 4

Бірден онға дейінгі сандарды үш адам тапты. Біреудің сандарының сәйкес келу ықтималдығын табыңыз. Алдымен біз барлық нәтижелердің санын білуіміз керек - біздің жағдайда бұл мың, яғни үшінші дәрежеге он. Енді әркім әртүрлі сандарды болжаған кездегі нұсқалардың санын табайық, ол үшін он, тоғыз және сегізді көбейтеміз. Бұл сандар қайдан келді? Біріншісі санды болжайды, оның он нұсқасы бар, екіншісінде тоғыз бар, ал үшіншісі қалған сегіздің ішінен таңдауы керек, сондықтан біз 720 ықтимал нұсқаны аламыз. Біз бұрын есептегеніміздей, барлығы 1000 нұсқа бар, ал қайталаусыз олардың саны 720, сондықтан бізді қалған 280 қызықтырады. Енді бізге классикалық ықтималдықты табу формуласы қажет: P = . Біз жауап алдық: 0,28.

Шындықта немесе біздің қиялымызда болатын оқиғаларды 3 топқа бөлуге болады. Бұл міндетті түрде болатын белгілі оқиғалар, мүмкін емес оқиғалар және кездейсоқ оқиғалар. Ықтималдық теориясы кездейсоқ оқиғаларды зерттейді, яғни. болуы мүмкін немесе болмауы мүмкін оқиғалар. Бұл мақалада математикадан (профильдік деңгей) Бірыңғай мемлекеттік емтиханның 4-тапсырмасында болатын ықтималдық формулалары теориясы мен ықтималдықтар теориясының есептерін шешу мысалдары қысқаша беріледі.

Бізге ықтималдықтар теориясы не үшін қажет?

Тарихи тұрғыдан бұл мәселелерді зерттеу қажеттілігі 17 ғасырда құмар ойындардың дамуы мен кәсібилендіруіне және казинолардың пайда болуына байланысты туындады. Бұл өзіндік зерттеуді, зерттеуді қажет ететін нағыз құбылыс еді.

Ойын карталары, сүйектер және рулетка бірдей ықтимал оқиғалардың шектеулі санының кез келгені орын алуы мүмкін жағдайларды тудырды. Белгілі бір оқиғаның орын алу мүмкіндігінің сандық бағасын беру қажеттілігі туындады.

20-шы ғасырда бұл жеңіл көрінетін ғылым микроәлемде болып жатқан іргелі процестерді түсінуде маңызды рөл атқаратыны белгілі болды. Қазіргі заманғы ықтималдық теориясы құрылды.

Ықтималдықтар теориясының негізгі түсініктері

Ықтималдықтар теориясының зерттеу объектісі болып оқиғалар және олардың ықтималдықтары табылады. Егер оқиға күрделі болса, онда оны ықтималдықтарды оңай табуға болатын қарапайым компоненттерге бөлуге болады.

А және В оқиғаларының қосындысы С оқиғасы деп аталады, ол не А оқиғасының, не В оқиғасының, не А және В оқиғаларының бір уақытта орын алуынан тұрады.

А және В оқиғаларының туындысы С оқиғасы болып табылады, бұл А оқиғасы да, В оқиғасы да орын алғанын білдіреді.

А және В оқиғалары бір уақытта бола алмаса, үйлесімсіз деп аталады.

А оқиғасы орындалмайтын болса, мүмкін емес деп аталады. Мұндай оқиға таңбамен көрсетіледі.

А оқиғасы, егер ол міндетті түрде болатын болса, белгілі деп аталады. Мұндай оқиға таңбамен көрсетіледі.

Әрбір А оқиғасы P(A) санымен байланысты болсын. Бұл сәйкестікпен келесі шарттар орындалса, бұл P(A) саны А оқиғасының ықтималдығы деп аталады.

Маңызды ерекше жағдай – бірдей ықтимал элементарлық нәтижелер болған жағдай және бұл нәтижелердің еріктілігі А оқиғаларын құрайды. Бұл жағдайда ықтималдық формуланы пайдаланып енгізілуі мүмкін. Осы жолмен енгізілген ықтималдық классикалық ықтималдық деп аталады. Бұл жағдайда 1-4 қасиеттер қанағаттандырылатынын дәлелдеуге болады.

Математикадан Бірыңғай мемлекеттік емтиханда пайда болатын ықтималдықтар теориясының есептері негізінен классикалық ықтималдықпен байланысты. Мұндай тапсырмалар өте қарапайым болуы мүмкін. Демонстрациялық нұсқалардағы ықтималдық теориясының есептері әсіресе қарапайым. Қолайлы нәтижелердің санын есептеу оңай, барлық нәтижелердің саны шартта дұрыс жазылған.

Жауабын формула арқылы аламыз.

Ықтималдылықты анықтау бойынша математикадан Бірыңғай мемлекеттік емтихандағы есептің мысалы

Үстелде 20 пирог бар – 5 қырыққабат, 7 алма және 8 күріш. Марина пирогты алғысы келеді. Оның күріш тортын алу ықтималдығы қандай?

Шешім.

20 бірдей ықтимал қарапайым нәтижелер бар, яғни Марина 20 пирогтың кез келгенін қабылдай алады. Бірақ біз Маринаның күріш бәлішін алу ықтималдығын бағалауымыз керек, яғни мұнда А - күріш бәлішін таңдау. Бұл қолайлы нәтижелердің саны (күріш қосылған пирогтарды таңдау) бар болғаны 8 екенін білдіреді. Сонда ықтималдық мына формуламен анықталады:

Тәуелсіз, қарама-қарсы және ерікті оқиғалар

Дегенмен, ашық тапсырмалар банкінде күрделірек тапсырмалар табыла бастады. Сондықтан оқырманның назарын ықтималдықтар теориясында зерттелетін басқа да мәселелерге аударайық.

А және В оқиғалары тәуелсіз деп аталады, егер әрқайсысының ықтималдығы басқа оқиғаның орын алуына байланысты болмаса.

В оқиғасы - бұл А оқиғасы болмаған, яғни. В оқиғасы А оқиғасына қарама-қарсы. Қарама-қарсы оқиғаның ықтималдығы тікелей оқиғаның ықтималдығын шегергенге тең, яғни. .

Ықтималдықтарды қосу және көбейту теоремалары, формулалар

А және В ерікті оқиғалары үшін бұл оқиғалардың қосындысының ықтималдығы олардың бірлескен оқиғасының ықтималдылығынсыз олардың ықтималдықтарының қосындысына тең, яғни. .

Тәуелсіз А және В оқиғалары үшін бұл оқиғалардың пайда болу ықтималдығы олардың ықтималдықтарының көбейтіндісіне тең, яғни. Бұл жағдайда .

Соңғы 2 тұжырым ықтималдықтарды қосу және көбейту теоремасы деп аталады.

Нәтижелердің санын санау әрқашан оңай емес. Кейбір жағдайларда комбинаторика формулаларын қолдану қажет. Ең бастысы - белгілі бір шарттарды қанағаттандыратын оқиғалардың санын санау. Кейде мұндай есептеулер дербес тапсырмаларға айналуы мүмкін.

6 бос орындыққа 6 оқушыны неше тәсілмен отырғызуға болады? Бірінші оқушы 6 орынның кез келгенін алады. Бұл нұсқалардың әрқайсысы екінші оқушының орын алуының 5 тәсіліне сәйкес келеді. Үшінші оқушыға 4 бос орын қалды, төртіншіге 3, бесіншіге 2, ал алтыншы қалған жалғыз орын алады. Барлық опциялардың санын табу үшін 6 белгісімен белгіленген өнімді табу керек! және «алты факториалды» оқиды.

Жалпы жағдайда бұл сұрақтың жауабы n элементтің орын ауыстыру санының формуласы арқылы беріледі.Біздің жағдайда.

Енді студенттерімізбен тағы бір жағдайды қарастырайық. 6 бос орындыққа 2 оқушыны неше тәсілмен отырғызуға болады? Бірінші оқушы 6 орынның кез келгенін алады. Бұл нұсқалардың әрқайсысы екінші оқушының орын алуының 5 тәсіліне сәйкес келеді. Барлық опциялардың санын табу үшін өнімді табу керек.

Жалпы, бұл сұрақтың жауабы n элементтің k элементтің үстінен орналасу санының формуласы арқылы беріледі.

Біздің жағдайда.

Және осы сериядағы соңғы жағдай. 6 оқушыдан үш оқушыны неше тәсілмен таңдауға болады? Бірінші оқушыны 6 тәсілмен, екіншісін 5 тәсілмен, үшіншісін төрт тәсілмен таңдауға болады. Бірақ бұл нұсқалардың ішінде бірдей үш оқушы 6 рет шығады. Барлық опциялардың санын табу үшін мәнді есептеу керек: . Жалпы алғанда, бұл сұрақтың жауабы элементтер бойынша элементтер комбинацияларының санының формуласы арқылы беріледі:

Біздің жағдайда.

Ықтималдылықты анықтау үшін математикадан Бірыңғай мемлекеттік емтиханның есептерін шешу мысалдары

1-тапсырма. Редакциялаған жинақтан. Ященко.

Тарелкада 30 пирог бар: 3-еуі ет, 18-і қырыққабат және 9-ы шие. Саша кездейсоқ бір пирог таңдайды. Оның шиемен аяқталу ықтималдығын табыңыз.

.

Жауабы: 0,3.

2-тапсырма. Редакциялаған жинақтан. Ященко.

1000 шамның әрбір партиясында орта есеппен 20-сы ақаулы. Топтамадан кездейсоқ алынған шамның жұмыс істеу ықтималдығын табыңыз.

Шешуі: Жұмыс істейтін шамдар саны 1000-20=980. Сонда партиядан кездейсоқ алынған шамның жұмыс істеу ықтималдығы:

Жауабы: 0,98.

Математикадан тестілеу кезінде U оқушының 9-дан астам есептерді дұрыс шешу ықтималдығы 0,67. U. 8-ден көп есептерді дұрыс шешу ықтималдығы 0,73. U дәл 9 есепті дұрыс шешу ықтималдығын табыңыз.

Сан түзуін елестетіп, оған 8 және 9 нүктелерін белгілесек, онда «U. тура 9 есепті дұрыс шешеді» шартына «У. 8-ден астам есептерді дұрыс шешеді», бірақ «У. 9-дан астам мәселені дұрыс шешеді».

Алайда, шарты «У. 9-дан астам есептерді дұрыс шешеді» шартында «У. 8-ден астам мәселені дұрыс шешеді». Сонымен, оқиғаларды белгілейтін болсақ: «У. тура 9 есепті дұрыс шешеді» - А арқылы, «Ұ. 8-ден астам есептерді дұрыс шешеді» - Б арқылы, «У. 9-дан астам есептерді дұрыс шешеді» C арқылы. Бұл шешім келесідей болады:

Жауабы: 0,06.

Геометрия емтиханында студент емтихан сұрақтарының тізімінен бір сұраққа жауап береді. Бұл тригонометрия сұрағы болу ықтималдығы 0,2. Бұл сыртқы бұрыштар бойынша сұрақ болу ықтималдығы 0,15. Бұл екі тақырыпқа бір мезгілде қатысты сұрақтар жоқ. Студенттің емтиханда осы екі тақырыптың біреуі бойынша сұрақ алу ықтималдығын табыңыз.

Бізде қандай оқиғалар бар екенін ойланайық. Бізге екі үйлесімсіз оқиға беріледі. Яғни, сұрақ «Тригонометрия» тақырыбына немесе «Сыртқы бұрыштар» тақырыбына қатысты болады. Ықтималдықтар теоремасы бойынша үйлеспейтін оқиғалардың ықтималдығы әрбір оқиғаның ықтималдықтарының қосындысына тең, осы оқиғалардың ықтималдықтарының қосындысын табу керек, яғни:

Жауабы: 0,35.

Бөлме үш шамы бар шаммен жарықтандырылған. Бір жыл ішінде бір шамның жану ықтималдығы 0,29. Ең болмағанда бір шамның жыл бойы жанып кетпеу ықтималдығын табыңыз.

Мүмкін болатын оқиғаларды қарастырайық. Бізде үш шам бар, олардың әрқайсысы басқа шамдарға тәуелсіз күйіп кетуі де мүмкін. Бұл тәуелсіз оқиғалар.

Содан кейін біз осындай оқиғалардың нұсқаларын көрсетеміз. Мына белгілерді қолданайық: - шам жанды, - шам жанып кетті. Ал дәл жанында біз оқиғаның ықтималдығын есептейміз. Мысалы, «шам жанып тұр», «шам жанды», «шам жанды» деген үш тәуелсіз оқиғаның орын алу ықтималдығы: , мұндағы оқиғаның ықтималдығы «шам шамы» қосулы» мәні «шам қосылмаған» оқиғасына қарама-қарсы оқиғаның ықтималдығы ретінде есептеледі, атап айтқанда: .

Ықтималдықтар теориясы – кейбір кездейсоқ оқиғалардың ықтималдығынан біріншісіне қандай да бір жолмен байланысты басқа кездейсоқ оқиғалардың ықтималдықтарын табуға мүмкіндік беретін математикалық ғылым.

Оқиға болатын мәлімдеме ықтималдық, мысалы, ½-ге тең, әлі түпкілікті мәнді білдірмейді, өйткені біз сенімді білімге ұмтыламыз. Соңғы когнитивтік мән – бұл қандай да бір А оқиғасының пайда болу ықтималдығы бірлікке өте жақын немесе (бұл бірдей нәрсе) А оқиғасының болмау ықтималдығы өте жоғары деп айтуға мүмкіндік беретін ықтималдықтар теориясының нәтижелері. кішкентай. «Жеткілікті аз ықтималдықтарды елемеу» қағидасына сәйкес мұндай оқиға іс жүзінде сенімді деп саналады. Төменде (Шекті теоремалар бөлімінде) ғылыми және практикалық қызығушылық тудыратын осындай қорытындылар әдетте А оқиғасының пайда болуы немесе болмауы өзара нашар байланысқан кездейсоқ факторлардың көп санына тәуелді деген болжамға негізделгені көрсетілген. бір-бірімен. Сондықтан ықтималдықтар теориясын көптеген кездейсоқ факторлардың әрекеттесуі кезінде пайда болатын заңдылықтарды түсіндіретін математикалық ғылым деп те айта аламыз.

Ықтималдық теориясының пәні.

Белгілі бір жағдайлар S және А оқиғасы арасындағы табиғи байланысты сипаттау үшін, оның пайда болуы немесе болмау белгілі бір жағдайларда нақты белгіленуі мүмкін, жаратылыстану әдетте келесі екі схеманың бірін пайдаланады:

а) S шарттары орындалған сайын А оқиғасы орын алады.Бұл формада, мысалы, денеге немесе денелер жүйесіне әсер ететін бастапқы шарттар мен күштер берілгенде, қозғалыс ерекше түрде болатынын көрсететін классикалық механиканың барлық заңдары бар. анықталған жол.

б) S жағдайында А оқиғасының белгілі бір ықтималдығы P (A/S), p-ке тең. Мәселен, радиоактивті сәулелену заңдары әрбір радиоактивті зат үшін белгілі бір мөлшердегі заттан белгілі бір уақыт аралығында N атомдардың белгілі бір санының ыдырауының белгілі бір ықтималдығы бар екенін айтады.

Берілген n сынақ сериясындағы А оқиғасының жиілігін (яғни S шартының n рет қайталануынан) А болған сынақтардың m санының олардың жалпы санына n қатынасын h = m/n деп атаймыз. . Белгілі бір ықтималдықтың р-ге тең S жағдайында А оқиғасының болуы әрбір жеткілікті ұзақ сынақ серияларында А оқиғасының жиілігі шамамен р-ге тең болатындығынан көрінеді.

Статистикалық үлгілер, яғни (b) түріндегі схемамен сипатталған үлгілер алдымен сүйек сияқты құмар ойындарда табылды. Туу мен өлімнің статистикалық үлгілері де өте ұзақ уақыт бойы белгілі (мысалы, жаңа туған нәрестенің ұл болу ықтималдығы 0,515). 19 ғасырдың соңы және 20 ғасырдың 1 жартысы. физикада, химияда, биологияда және т.б. статистикалық заңдардың көптеп ашылуымен белгіленді.

Ықтималдықтар теориясының әдістерін бір-бірінен өте алшақ жатқан ғылым салаларына қатысты статистикалық заңдылықтарды зерттеуге қолдану мүмкіндігі оқиғалардың ықтималдықтары әрқашан төменде талқыланатын кейбір қарапайым қатынастарды қанағаттандыратынына негізделген (қараңыз. Ықтималдықтар теориясының негізгі ұғымдары бөлімі). Осы қарапайым байланыстар негізінде оқиға ықтималдықтарының қасиеттерін зерттеу ықтималдықтар теориясының пәні болып табылады.

Ықтималдықтар теориясының негізгі түсініктері.

Математикалық пән ретінде ықтималдықтар теориясының негізгі ұғымдары қарапайым ықтималдықтар теориясы деп аталатын шеңберде қарапайым түрде анықталады. Элементар ықтималдық теориясында қарастырылатын әрбір тест Т, ол E1, E2,..., ES оқиғаларының біреуімен және тек біреуімен аяқталатындай (жағдайға байланысты біреуі немесе екіншісі). Бұл оқиғалар сынақ нәтижелері деп аталады. Әрбір Ek нәтижесі оң pk санымен байланысты - осы нәтиженің ықтималдығы. pk сандары бірге дейін қосылуы керек. Содан кейін «не Ei, немесе Ej,..., немесе Ek болады» деген фактіден тұратын А оқиғалары қарастырылады. Ei, Ej,..., Ek нәтижелері А үшін қолайлы деп аталады және анықтамасы бойынша А оқиғасының ықтималдығы Р (А) оған қолайлы нәтижелердің ықтималдығының қосындысына тең деп қабылданады:

P (A) = pi + ps + … + pk. (1)

Ерекше жағдай p1 = p2 =... ps = 1/S формулаға әкеледі

P (A) = r/s. (2)

Формула (2) ықтималдықтың классикалық анықтамасы деп аталатынды білдіреді, оған сәйкес кез келген А оқиғасының ықтималдығы А үшін қолайлы нәтижелердің r санының барлық «бірдей мүмкін» нәтижелердің s санына қатынасына тең. Ықтималдықтың классикалық анықтамасы «ықтималдық» түсінігін «тең мүмкіндік» ұғымына дейін төмендетеді, ол нақты анықтамасыз қалады.

Мысал. Екі сүйекті лақтырған кезде 36 ықтимал нәтиженің әрқайсысын белгілеуге болады (i, j), мұндағы i - бірінші сүйекте пайда болатын ұпайлар саны, j екіншісінде. Нәтижелер бірдей ықтимал деп есептеледі. А оқиғасы – «ұпайлар қосындысы 4», үш нәтиже (1; 3), (2; 2), (3; 1) қолайлы. Демек, P(A) = 3/36 = 1/12.

Кез келген берілген оқиғалар негізінде екі жаңа оқиғаны анықтауға болады: олардың бірігуі (сома) және комбинациясы (өнім). В оқиғасы А 1, А 2,..., Ar,- оқиғаларының бірігуі деп аталады, егер оның пішіні болса: «не A1, немесе A2,..., немесе Ar пайда болады».

С оқиғасы A1, A.2,..., Ar оқиғаларының тіркесімі деп аталады, егер оның пішіні болса: «A1, A2,... және Ar екеуі де орын алады». Оқиғалардың бірігуі È белгісімен, ал қосындысы Ç белгісімен белгіленеді. Осылайша олар жазады:

B = A1 È A2 È … È Ar, C = A1 Ç A2 Ç … Ç Ar.

А және В оқиғалары үйлесімсіз деп аталады, егер олардың бір уақытта пайда болуы мүмкін болмаса, яғни сынақ нәтижелерінің арасында А және В екеуіне де қолайлы бірде-бір оқиға болмаса.

Оқиғаларды біріктіру және біріктірудің енгізілген операциялары математикалық теорияның екі негізгі теоремасымен — ықтималдықтарды қосу және көбейту теоремаларымен байланысты.

Ықтималдық қосу теоремасы. Егер A1, A2,..., Ar оқиғалары олардың әрбір екеуі сәйкес келмейтіндей болса, онда олардың қосылу ықтималдығы олардың ықтималдықтарының қосындысына тең болады.

Сонымен, екі сүйек лақтырылған жоғарыда келтірілген мысалда В оқиғасы - «ұпайлар қосындысы 4-тен аспайды» - бұл A2, A3, A4 үйлеспейтін үш оқиғаның бірігуі, ол ұпайлар қосындысының тең болуынан тұрады. тиісінше 2, 3, 4. Осы оқиғалардың ықтималдығы 1/36; 2/36; 3/36. Қосу теоремасы бойынша P (B) ықтималдығы тең

1/36 + 2/36 + 3/36 = 6/36 = 1/6.

А шарты берілген В оқиғасының шартты ықтималдығы формуламен анықталады

ол, көрсетілгендей, жиіліктердің қасиеттеріне толық сәйкес келеді. A1, A2,..., Ar оқиғалары тәуелсіз деп аталады, егер олардың әрқайсысының шартты ықтималдығы басқаларының кез келгені болған жағдайда, оның «шартсыз» ықтималдығына тең болса.

Ықтималдықтарды көбейту теоремасы. А1, А2,..., Ар оқиғаларын біріктіру ықтималдығы А1 оқиғасының ықтималдығына, А2 оқиғасының ықтималдығына көбейтілген, А1 болған шартымен алынған,... оқиғаның ықтималдығына көбейтілгенге тең. Ар, А1, А2,.. ., Ар-1 келген жағдайда. Тәуелсіз оқиғалар үшін көбейту теоремасы мына формулаға әкеледі:

P (A1 Ç A2 Ç … Ç Ar) = P (A1) Ї P (A2) Ї … Ї P (Ar), (3)

яғни тәуелсіз оқиғаларды біріктіру ықтималдығы осы оқиғалардың ықтималдығының көбейтіндісіне тең. Формула (3) егер оның екі бөлігінде де кейбір оқиғалар олардың қарама-қайшылықтарымен ауыстырылса, жарамды болып қалады.

Мысал. Нысанаға 4 оқ атылады, әр ату ықтималдығы 0,2. Әртүрлі кадрлардың нысана соққылары тәуелсіз оқиғалар болып саналады. Нысанаға дәл үш рет тию ықтималдығы қандай?

Әрбір сынақ нәтижесін төрт әріп тізбегі арқылы көрсетуге болады [мысалы, (y, n, n, y) бірінші және төртінші атудың тигенін (сәтті) және екінші және үшінші атудың тимегенін (сәтсіздігін) білдіреді]. 2Ї2Ї2Ї2 = 16 нәтиже болады. Жеке түсіру нәтижелерінің тәуелсіздігі туралы болжамға сәйкес, осы нәтижелердің ықтималдығын анықтау үшін формула (3) және оған ескерту қолданылуы керек. Осылайша, нәтиже ықтималдығын (y, n. n, n) 0,2Ї0,8Ї0,8Ї0,8 = 0,1024 тең етіп орнату керек; мұнда 0,8 = 1-0,2 - бір рет ату арқылы жіберіп алу ықтималдығы. «Нысанаға үш рет тиді» оқиғасы нәтижелер (y, y, y, n), (y, y, n, y), (y, n, y, y) арқылы қолайлы. (n, y, y, y), әрқайсысының ықтималдығы бірдей:

0,2Ї0,2Ї0,2Ї0,8 =...... =0,8Ї0,2Ї0,2Ї0,2 = 0,0064;

сондықтан қажетті ықтималдық тең

4±0,0064 = 0,0256.

Талданған мысалдың пайымдауын жалпылай отырып, ықтималдықтар теориясының негізгі формулаларының бірін шығаруға болады: егер А1, А2,..., Ан оқиғалары тәуелсіз болса және әрқайсысының ықтималдығы p болса, онда олардың дәл m болуының ықтималдығы болады. тең

Pn (m) = Cnmpm (1 - p) n-m; (4)

мұндағы Cnm m-нің n элементінің комбинацияларының санын білдіреді. Үлкен n үшін формула (4) арқылы есептеу қиынға соғады. Алдыңғы мысалдағы ату саны 100 болсын, соғулар санының 8-ден 32-ге дейінгі аралықта жатуының х ықтималдығын табу үшін сұрақ қойылады. (4) формуланы қолдану және қосу теоремасы дәлдік береді, бірақ қалаған ықтималдықтың іс жүзінде жарамсыз көрінісі

x ықтималдығының жуық мәнін Лаплас теоремасы арқылы табуға болады

және қателік 0,0009 аспайды. Табылған нәтиже оқиғаның 8 £ м £ 32 дерлік белгілі екенін көрсетеді. Бұл ықтималдықтар теориясында шекті теоремаларды қолданудың ең қарапайым, бірақ типтік мысалы.

Элементар ықтималдық теориясының негізгі формулаларына жалпы ықтималдық формуласы деп аталатын формула да кіреді: егер A1, A2,..., Ar оқиғалары жұптық үйлесімсіз болса және олардың қосылуы сенімді оқиға болса, онда кез келген В оқиғасы үшін оның ықтималдығы мынаған тең болады. сомасы

Ықтималдықтарды көбейту теоремасы күрделі сынақтарды қарастырған кезде әсіресе пайдалы. Егер Т сынақтың әрбір нәтижесі сәйкес Ai, Bj,..., Xk, Yl кейбір нәтижелерінің комбинациясы болса, T сынағы T1, T2,..., Tn-1, Tn сынақтарынан тұрады деп аталады. сынақтар T1, T2,... , Tn-1, Tn. Қандай да бір себептермен ықтималдықтар жиі белгілі

Оқиғаларды мүмкін, ықтимал және кездейсоқ деп жіктеу. Жай және күрделі элементар оқиғалар туралы түсініктер. Оқиғалар бойынша операциялар. Кездейсоқ оқиғаның ықтималдылығының классикалық анықтамасы және оның қасиеттері. Ықтималдықтар теориясындағы комбинаторика элементтері. Геометриялық ықтималдық. Ықтималдықтар теориясының аксиомалары.

Оқиғаның классификациясы

Ықтималдық теориясының негізгі ұғымдарының бірі – оқиға түсінігі. астында оқиғатәжірибе немесе сынақ нәтижесінде болуы мүмкін кез келген фактіні түсіну. астында тәжірибе, немесе сынақ, белгілі бір шарттар жиынтығын жүзеге асыруды білдіреді.

Оқиғалардың мысалдары:

– мылтықтан ату кезінде нысанаға тию (тәжірибе – оқ ату; оқиға – нысанаға тигізу);
– тиынды үш рет лақтырған кезде екі эмблеманың жоғалуы (тәжірибе – тиынды үш рет лақтыру; оқиға – екі эмблеманың жоғалуы);
– мақсатқа дейінгі диапазонды өлшеу кезінде белгіленген шектерде өлшеу қателігінің пайда болуы (тәжірибе – диапазонды өлшеу; оқиға – өлшеу қателігі).

Осыған ұқсас мысалдарды сансыз келтіруге болады. Оқиғалар латын әліпбиінің бас әріптерімен және т.б.

Айыру бірлескен іс-шараларЖәне үйлеспейтін. Оқиғалар біріккен деп аталады, егер олардың біреуінің болуы екіншісінің пайда болуын жоққа шығармаса. Әйтпесе, оқиғалар үйлесімсіз деп аталады. Мысалы, екі сүйек лақтырылады. Оқиға - бірінші өлкеде үш ұпай жоғалту, оқиға - екінші өлкеде үш ұпай жоғалту. және - бірлескен іс-шаралар. Дүкенге бір стильдегі және өлшемдегі, бірақ әртүрлі түсті аяқ киім партиясын алуға рұқсат етіңіз. Оқиға - кездейсоқ алынған қорапта қара аяқ киім болады, оқиға - қорапта қоңыр аяқ киім және - үйлесімсіз оқиғалар болады.

Оқиға деп аталады сенімді, егер ол берілген эксперимент жағдайында болатынына сенімді болса.

Оқиға мүмкін емес деп аталады, егер ол берілген тәжірибе жағдайында орын алмаса. Мысалы, стандартты бөліктің стандартты бөлшектер партиясынан алынатын оқиғасы сенімді, бірақ стандартты емес бөлік мүмкін емес.

Оқиға деп аталады мүмкін, немесе кездейсоқ, егер тәжірибе нәтижесінде пайда болуы мүмкін, бірақ ол көрінбеуі мүмкін. Кездейсоқ оқиғаның мысалы ретінде дайын өнім партиясын тексеру кезінде өнімнің ақауларын анықтау, өңделген өнім мөлшері мен көрсетілгеннің арасындағы сәйкессіздік немесе автоматтандырылған басқару жүйесіндегі буындардың бірінің істен шығуы болуы мүмкін.

Оқиғалар деп аталады бірдей мүмкін, егер сынақ шарттарына сәйкес осы оқиғалардың ешқайсысы басқаларына қарағанда объективті түрде мүмкін болмаса. Мысалы, дүкенді бірнеше өндіріс орындары электр шамдарымен (бірдей мөлшерде) қамтамасыз етсін. Осы зауыттардың кез келгенінен шам сатып алумен байланысты оқиғалар бірдей мүмкін.

Маңызды ұғым болып табылады оқиғалардың толық тобы. Берілген эксперименттегі бірнеше оқиға толық топты құрайды, егер олардың кем дегенде біреуі эксперимент нәтижесінде міндетті түрде пайда болады. Мысалы, урнада он шар бар, оның алтауы қызыл, төртеуі ақ, бес шарының саны бар. - бір ұтыс кезінде қызыл шардың пайда болуы, - ақ шардың пайда болуы, - саны бар доптың пайда болуы. Оқиғалар бірлескен оқиғалардың толық тобын құрайды.

Қарама-қарсы немесе қосымша оқиға ұғымын енгізейік. астында қарама-қарсыОқиға деп, егер қандай да бір оқиға орын алмаса, міндетті түрде болуы керек оқиға түсініледі. Қарама-қарсы оқиғалар үйлеспейді және жалғыз мүмкін. Олар оқиғалардың толық тобын құрайды. Мысалы, егер өндірілген өнімнің партиясы жақсы және ақаулы өнімдерден тұрса, онда бір өнімді алып тастағанда, ол жақсы немесе ақаулы болып шығуы мүмкін.

Оқиғалар бойынша операциялар

Ықтималдықтар теориясында кездейсоқ оқиғаларды зерттеудің аппараты мен әдістемесін жасау кезінде оқиғалардың қосындысы мен туындысы ұғымы өте маңызды.

Бірнеше оқиғалардың қосындысы немесе бірігуі осы оқиғалардың кем дегенде біреуінің орын алуынан тұратын оқиға болып табылады.

Оқиғалардың қосындысы келесідей көрсетіледі:

Мысалы, егер оқиға бірінші оқпен нысанаға тисе, оқиға - екіншісімен, онда оқиға жалпы нысанаға тиіп тұр, маңызды емес, қай атумен - бірінші, екінші немесе екеуі де.

Бірнеше оқиғалардың туындысы немесе қиылысы осы оқиғалардың барлығының бірігіп пайда болуынан тұратын оқиға болып табылады.

Оқиғалардың өндірісі көрсетілген

Мысалы, бірінші оқпен нысанаға тиген оқиға болса, екінші оқпен нысанаға тиген оқиға болса, онда нысанаға екі оқпен де тиген оқиға болып табылады.

Оқиғалардың қосындысы және көбейтіндісі ұғымдарының нақты геометриялық түсіндірмесі бар. Оқиға аймаққа кіру нүктесінен тұрсын, оқиға аймаққа кіруден тұрсын, содан кейін оқиға суретте көлеңкеленген аймаққа кіру нүктесінен тұрсын. 1 және оқиға - суретте көлеңкеленген аймаққа нүкте соғылған кезде. 2.

Кездейсоқ оқиғаның ықтималдығының классикалық анықтамасы

Оқиғаларды олардың пайда болу мүмкіндігі дәрежесіне қарай сандық салыстыру үшін оқиғаның ықтималдығы деп аталатын сандық өлшем енгізіледі.

Оқиғаның ықтималдығы - оқиғаның орын алуының объективті мүмкіндігінің өлшемін білдіретін сан.

Оқиғаның ықтималдығы таңбамен белгіленеді.

Оқиғаның ықтималдығы бірегей мүмкін, бірдей мүмкін және үйлеспейтін жағдайлардың жалпы санынан оған қолайлы жағдайлар санының санға қатынасына тең.яғни

Бұл ықтималдықтың классикалық анықтамасы. Осылайша, оқиғаның ықтималдығын табу үшін сынақтың әртүрлі нәтижелерін қарастыра отырып, бірегей мүмкін, бірдей мүмкін және үйлеспейтін жағдайлардың жиынтығын табу, олардың жалпы санын, берілген жағдайға қолайлы жағдайлар санын есептеу қажет. оқиға, содан кейін (1.1) формула арқылы есептеуді орындаңыз.

(1.1) формуладан оқиғаның ықтималдығы теріс емес сан болып табылады және жағдайлардың жалпы санынан қолайлы жағдайлардың үлесіне байланысты нөлден бірге дейін өзгеруі мүмкін:

Ықтималдық қасиеттері

Мүлік 1. Егер барлық жағдайлар белгілі бір оқиға үшін қолайлы болса, онда бұл оқиға міндетті түрде орын алады. Демек, қарастырылып отырған оқиға сенімді және оның пайда болу ықтималдығы , өйткені бұл жағдайда

Мүлік 2. Егер берілген оқиға үшін қолайлы бірде-бір жағдай болмаса, онда бұл оқиға тәжірибе нәтижесінде болуы мүмкін емес. Демек, қарастырылып отырған оқиға мүмкін емес және оның пайда болу ықтималдығы , өйткені бұл жағдайда:

Мүлік 3. Толық топты құрайтын оқиғалардың пайда болу ықтималдығы біреуге тең.

Мүлік 4. Қарама-қарсы оқиғаның пайда болу ықтималдығы оқиғаның пайда болу ықтималдығы сияқты анықталады:

мұндағы – қарама-қарсы оқиғаның орын алуына қолайлы жағдайлар саны. Демек, қарама-қарсы оқиғаның болу ықтималдығы оқиғаның бірлігі мен ықтималдылығының айырмасына тең:

Оқиғаның ықтималдығының классикалық анықтамасының маңызды артықшылығы оның көмегімен оқиғаның ықтималдығын тәжірибеге жүгінбей-ақ, логикалық пайымдауларға сүйене отырып анықтауға болады.

Мысал 1. Телефон нөмірін теру кезінде абонент бір цифрды ұмытып, оны кездейсоқ терген. Дұрыс нөмір терілу ықтималдығын табыңыз.

Шешім. Қажетті нөмір терілген оқиғаны белгілейік. Абонент 10 санның кез келгенін тере алады, сондықтан ықтимал нәтижелердің жалпы саны 10. Бұл нәтижелер жалғыз мүмкін (цифрлардың бірін теру керек) және бірдей мүмкін (цифр кездейсоқ теріледі). Бір ғана нәтиже оқиғаны жақсы көреді (тек бір қажетті сан бар). Қажетті ықтималдық оқиғаға қолайлы нәтижелер санының барлық нәтижелер санына қатынасына тең:

Комбинаторика элементтері

Ықтималдық теориясында орналастырулар, ауыстырулар және комбинациялар жиі қолданылады. Егер жиын берілсе, онда орналастыру (комбинация)элементтерінің саны жиын элементтерінің кез келген реттелген (ретсіз) жиыны болып табылады. Орналастырылған кезде шақырылады қайта реттеуэлементтерден.

Мысалы, жиынтық берейік. Осы екі жиынның үш элементінің орналасуы , , , , , ; комбинациялары - , , .

Екі комбинация кем дегенде бір элементте ерекшеленеді, ал орналастырулар элементтердің өзінде немесе олардың пайда болу ретімен ерекшеленеді. арқылы элементтер комбинацияларының саны формула бойынша есептеледі

арқылы элементтерді орналастыру саны болып табылады; - элементтерді ауыстыру саны.

Мысал 2. 10 бөліктен тұратын партияда 7 стандартты бар. Кездейсоқ алынған 6 бөліктің ішінде дәл 4 стандартты бөліктің болу ықтималдығын табыңыз.

Шешім. Мүмкін болатын сынақ нәтижелерінің жалпы саны 10-нан 6 бөлікті шығаруға болатын жолдар санына тең, яғни 6-ның 10 элементінің комбинацияларының санына тең. Оқиғаға қолайлы нәтижелер саны (6 арасында) алынған бөліктер дәл 4 стандартты) келесідей анықталады: 4 стандартты бөлікті 7 стандартты бөліктен әртүрлі тәсілдермен алуға болады; бұл жағдайда қалған бөліктер стандартты емес болуы керек; Стандартты емес бөліктерден 2 стандартты емес бөлікті алу жолдары бар. Сондықтан қолайлы нәтижелердің саны -ге тең. Бастапқы ықтималдық оқиғаға қолайлы нәтижелер санының барлық нәтижелер санына қатынасына тең:

Ықтималдықтың статистикалық анықтамасы

Формула (1.1) оқиғалардың ықтималдығын тікелей есептеу үшін тәжірибе жағдайлар үлгісіне келтірілгенде ғана қолданылады. Тәжірибеде ықтималдықтың классикалық анықтамасы көбінесе екі себепке байланысты қолданылмайды: біріншіден, ықтималдықтың классикалық анықтамасы жағдайлардың жалпы саны шектеулі болуы керек деп болжайды. Шын мәнінде, бұл көбінесе шектелмейді. Екіншіден, эксперимент нәтижелерін бірдей мүмкін болатын және үйлеспейтін оқиғалар түрінде ұсыну жиі мүмкін емес.

Қайталанатын эксперименттер кезінде оқиғалардың пайда болу жиілігі кейбір тұрақты мәннің айналасында тұрақтануға бейім. Осылайша, белгілі бір тұрақты шаманы қарастырылатын оқиғамен байланыстыруға болады, оның айналасында жиіліктер топтастырылады және ол тәжірибелер жүргізілетін жағдайлар жиынтығы мен оқиға арасындағы объективті байланыстың сипаттамасы болып табылады.

Кездейсоқ оқиғаның ықтималдығы сынақтар саны артқан сайын осы оқиғаның жиіліктері топтастырылған сан.

Ықтималдықтың бұл анықтамасы деп аталады статистикалық.

Ықтималдылықты анықтаудың статистикалық әдісінің артықшылығы оның нақты экспериментке негізделгендігінде. Дегенмен, оның маңызды кемшілігі - ықтималдықты анықтау үшін материалды шығындармен өте жиі байланысты болатын көптеген эксперименттерді орындау қажет. Оқиғаның ықтималдығын статистикалық анықтау бұл ұғымның мазмұнын толық ашқанымен, ықтималдықты нақты есептеуге мүмкіндік бермейді.

Ықтималдықтың классикалық анықтамасы бірдей мүмкін болатын оқиғалардың ақырлы санының толық тобын қарастырады. Іс жүзінде мүмкін болатын сынақ нәтижелерінің саны өте жиі шексіз. Мұндай жағдайларда ықтималдықтың классикалық анықтамасы қолданылмайды. Дегенмен, кейде мұндай жағдайларда ықтималдықты есептеудің басқа әдісін қолдануға болады. Анық болу үшін біз екі өлшемді жағдаймен шектелеміз.

Жазықтықта ауданның басқа облысын қамтитын ауданның белгілі бір облысы берілсін (3-сурет). Кездейсоқ аймаққа нүкте лақтырылады. Нүктенің аймаққа түсу ықтималдығы қандай? Кездейсоқ лақтырылған нүкте аймақтың кез келген нүктесіне соғуы мүмкін деп болжанады, ал аймақтың кез келген бөлігіне соғу ықтималдығы бөліктің ауданына пропорционалды және оның орналасуы мен пішініне байланысты емес. Бұл жағдайда аймаққа нүктені кездейсоқ лақтырған кезде аймаққа соғу ықтималдығы

Сонымен, жалпы жағдайда, егер нүктенің түзуде, жазықтықта немесе кеңістікте белгілі бір ауданның ішінде кездейсоқ пайда болу мүмкіндігі осы ауданның орны мен оның шекараларымен емес, тек оның өлшемімен, яғни ұзындығымен анықталса. , аудан немесе көлем, содан кейін Кездейсоқ нүктенің белгілі бір аймаққа түсу ықтималдығы осы аймақ өлшемі мен берілген нүкте пайда болуы мүмкін бүкіл аймақтың өлшеміне қатынасы ретінде анықталады. Бұл ықтималдықтың геометриялық анықтамасы.

Мысал 3. Дөңгелек нысана тұрақты бұрыштық жылдамдықпен айналады. Нысананың бестен бірі жасыл түске боялған, ал қалғаны ақ (4-сурет). Нысанаға тию сенімді оқиға болатындай етіп оқ атылады. Жасыл түсті мақсатты секторға түсу ықтималдығын анықтау керек.

Шешім. «Ашу жасыл түсті секторға тиді» деп белгілейік. Содан кейін. Ықтималдық нысананың жасыл түске боялған бөлігінің ауданның нысананың бүкіл аймағына қатынасы ретінде алынады, өйткені нысананың кез келген бөлігіне соққылар бірдей мүмкін.

Ықтималдықтар теориясының аксиомалары

Кездейсоқ оқиғаның ықтималдығының статистикалық анықтамасынан оқиғаның ықтималдылығы эксперименталды түрде бақыланатын осы оқиғаның жиіліктері топтастырылған сан болатыны шығады. Сондықтан ықтималдық теориясының аксиомалары оқиғаның ықтималдығы жиіліктің негізгі қасиеттеріне ие болатындай енгізіледі.

Аксиома 1. Әрбір оқиға шартты қанағаттандыратын белгілі бір санға сәйкес келеді және оның ықтималдығы деп аталады.