Функцияның үздіксіздігі туралы түсінік. Функцияның нүктедегі және интервалдағы үзіліссіздігі. Мысалдармен Функцияның үздіксіздігі нені білдіреді?

Функцияның нүктедегі үздіксіздігі

f(x) функциясы x0 нүктесінің кейбір маңайында O(x0) анықталсын (х0 нүктесінің өзін қоса).

f(x) функциясы x0 нүктесінде үздіксіз деп аталады, егер осы нүктеде f(x) функциясының мәніне тең limx → x0 f(x) болса: lim

f(x) = f(x0), (1)

анау. " O(f(x0)) $ O(x0) : x O O(x0) Yu f(x) O O(f(x0)) .

Түсініктеме. (1) теңдігін былай жазуға болады: lim

анау. үзіліссіз функцияның белгісімен шегіне жетуге болады.

Δx = x − x0 аргументтің өсімі, Δy = f(x) − f(x0) функцияның сәйкес өсімі болсын.

Функцияның нүктедегі үздіксіздігінің қажетті және жеткілікті шарты

y = f(x) функциясы x0 кезінде үзіліссіз болады, егер және тек егер

Түсініктеме. (2) шартты функцияның нүктедегі үздіксіздігінің екінші анықтамасы ретінде түсіндіруге болады. Екі анықтама да баламалы.

f(x) функциясы жарты интервалда анықталсын.

f(x) функциясы, егер бір жақты шекті лим болса, x0 нүктесінде үздіксіз қалдырылған деп аталады

Екі үзіліссіз функцияның қосындысының, көбейтіндісінің және бөліндісінің үздіксіздігі

Теорема 1. Егер f(x) және g(x) функциялары x0 нүктесінде үзіліссіз болса, онда f(x) ± g(x), f(x) g(x), f(x) бұл жерде үздіксіз болады. нүкте

Күрделі функцияның үздіксіздігі

Теорема 2. Егер u(x) функциясы x0 нүктесінде үздіксіз болса, ал f(u) функциясы сәйкес u0 = f(x0) нүктесінде үзіліссіз болса, онда f(u(x)) күрделі функциясы үздіксіз болады. x0 нүктесінде.

Барлық элементар функциялар анықтау облыстарының әрбір нүктесінде үздіксіз болады.

Үздіксіз функциялардың жергілікті қасиеттері

3-теорема (үзіліссіз функцияның шектелуі). Егер f(x) функциясы x0 нүктесінде үздіксіз болса, онда f(x) шектелген O(x0) маңайы бар.

Дәлелдеу шегі бар функцияның шектелгендігі туралы мәлімдемеден шығады.

4-теорема (үзіліссіз функция таңбасының тұрақтылығы). Егер f(x) функциясы x0 және f(x0) ≠ 0 нүктесінде үзіліссіз болса, онда f(x) ≠ 0 болатын x0 нүктесінің маңайы және осы маңайда f(x) таңбасы болады. f(x0) таңбасымен сәйкес келеді.

Үзіліс нүктелерінің классификациясы

f(x) функциясының x0 нүктесіндегі үздіксіздігінің (1) шарты f(x0 − 0) = f(x0 + 0) = f(x0), (3) шартына эквивалентті.

мұндағы f(x 0 − 0) = lim

f(x) және f(x0 + 0) = lim

f(x) - f(x) функциясының х0 нүктесіндегі бір жақты шектері.

Егер (3) шарты бұзылса, x0 нүктесі f(x) функциясының үзіліс нүктесі деп аталады. (3) шартты бұзу түріне байланысты үзіліс нүктелері әртүрлі сипатта болады және келесідей жіктеледі:

1. Егер x0 нүктесінде f(x0 − 0), f (x0 + 0) және бір жақты шектер болса.

f(x0 − 0) = f(x0 + 0) ≠ f(x0), онда x0 нүктесі f(x) функциясының алынбалы үзіліс нүктесі деп аталады (1-сурет).

Түсініктеме. x0 нүктесінде функция анықталмауы мүмкін.

2. Егер x0 нүктесінде f(x0 − 0), f (x0 + 0) және бір жақты шектер болса.

f(x0 − 0) ≠ f(x0 + 0), онда x0 нүктесі f(x) функциясының соңғы секірісі бар үзіліс нүктесі деп аталады (2-сурет).

Түсініктеме. Ақырғы секіру бар үзіліс нүктесінде функцияның мәні кез келген болуы мүмкін немесе ол анықталмауы мүмкін.

Алынбалы үзіліс пен ақырлы секіру нүктелері 1-ші түрдегі үзіліс нүктелері деп аталады. Олардың айрықша ерекшелігі f(x0 − 0) және соңғы бір жақты шектердің болуы.

3. Егер x0 нүктесінде f(x0 − 0), f (x0 + 0) бір жақты шектердің ең болмағанда біреуі шексіздікке тең немесе жоқ болса, онда
x0 2-ші түрдегі үзіліс нүктесі деп аталады (3-сурет).

Егер f(x0 − 0), f (x0 + 0) бір жақты шектердің ең болмағанда біреуі шексіздікке тең болса, онда x = x 0 түзу y = f функциясының графигінің тік асимптотасы деп аталады. (x).

Анықтама. Қандай да бір x0 нүктесінің маңайында анықталған f(x) функциясы, егер функцияның шегі мен оның осы нүктедегі мәні тең болса, х0 нүктесінде үздіксіз деп аталады, яғни.

Бір фактіні басқаша жазуға болады:

Анықтама. Егер f(x) функциясы х0 нүктесінің кейбір маңайында анықталған болса, бірақ х0 нүктесінің өзінде үздіксіз болмаса, онда ол үзіліссіз функция, ал х0 нүктесі үзіліс нүктесі деп аталады.

Анықтама. f(x) функциясы х0 нүктесінде үздіксіз деп аталады, егер кез келген оң e>0 саны үшін шартты қанағаттандыратын кез келген х үшін D>0 саны болса.

теңсіздік ақиқат.

Анықтама. Егер функцияның х0 нүктесіндегі өсімі шексіз аз шама болса, f(x) функциясы х = x0 нүктесінде үздіксіз деп аталады.

f(x) = f(x0) + a(x)

мұндағы a(x) x®x0 кезінде шексіз аз.

Үздіксіз функциялардың қасиеттері.

1) x0 нүктесіндегі үздіксіз функциялардың қосындысы, айырмасы және көбейтіндісі х0 нүктесінде үздіксіз функция болады.

2) Екі үздіксіз функцияның бөлімі x0 нүктесінде g(x) нөлге тең болмаған жағдайда үзіліссіз функция болады.

3) Үздіксіз функциялардың суперпозициясы үздіксіз функция.

Бұл сипатты келесідей жазуға болады:

Егер u = f(x), v = g(x) x = x0 нүктесінде үздіксіз функциялар болса, онда v = g(f(x)) функциясы да осы нүктеде үздіксіз функция болады.

Жоғарыда аталған қасиеттердің дұрыстығын шектік теоремалардың көмегімен оңай дәлелдеуге болады

Интервалда үздіксіз функциялардың қасиеттері.

1-қасиет: (Вейерштрасстың бірінші теоремасы (Вейерштрасс Карл (1815-1897) – неміс математигі)). Интервалда үзіліссіз функция осы аралықта шектелген, яғни. –M £ f(x) £ M шарты кесіндіде орындалады.

Бұл қасиеттің дәлелі х0 нүктесінде үзіліссіз болатын функцияның оның белгілі бір маңайында шектелгендігіне, ал егер кесінді х0 нүктесіне «тартылған» кесінділердің шексіз санына бөлінетініне негізделген. , онда х0 нүктесінің белгілі бір маңайы құрылады.

2-қасиет: интервалда үзіліссіз функция өзінің ең үлкен және ең кіші мәндерін қабылдайды.

Анау. f(x1) = m, f(x2) = M болатындай x1 және x2 мәндері бар және

Функция сегментте бірнеше рет қабылдай алатын ең үлкен және ең кіші мәндерді атап өтейік (мысалы, f(x) = sinx).

Функцияның интервалдағы ең үлкен және ең кіші мәндерінің арасындағы айырмашылық функцияның интервалдағы тербелісі деп аталады.

3-қасиет: (Екінші Болзано – Коши теоремасы). Интервалда үздіксіз функция осы аралықтағы екі ерікті мән арасындағы барлық мәндерді қабылдайды.

4-қасиет: f(x) функциясы x = x0 нүктесінде үзіліссіз болса, онда функция таңбасын сақтайтын х0 нүктесінің белгілі бір маңайы бар.

5-қасиет: (Больцаноның бірінші теоремасы (1781-1848) – Коши). Егер f(x) функциясы кесіндіде үзіліссіз болса және кесіндінің ұштарында қарама-қарсы таңбалардың мәндері болса, онда бұл кесіндінің ішінде f(x) = 0 болатын нүкте бар.

Анау. егер(f(a)) ¹ белгісі(f(b)), онда $ x0: f(x0) = 0.

Анықтама. f(x) функциясы кез келген e>0 үшін D>0 болатындай, кез келген x1Î және x2Î нүктелерінде болатындай етіп, кез келген аралықта бірқалыпты үздіксіз деп аталады.

ïx2 – x1ï< D

ïf(x2) – f(x1)ï теңсіздігі ақиқат< e

Біртекті үздіксіздік пен «қарапайым» үздіксіздіктің айырмашылығы мынада: кез келген e үшін х-ке тәуелсіз өзінің D бар, ал «қарапайым» үздіксіздікпен D e мен х-ке тәуелді.

6-қасиет: Кантор теоремасы (Георг Кантор (1845-1918) – неміс математигі). Кесіндіде үзіліссіз функция онда бірқалыпты үздіксіз.

(Бұл қасиет аралықтар мен жартылай интервалдар үшін емес, сегменттер үшін ғана дұрыс.)

Үздіксіздік анықтамасы

f (x) функциясы а нүктесінде үздіксіз деп аталады, егер: f () pp

1) f(x) функциясы а нүктесінде анықталған,

2) x→ a сияқты шекті шегі бар 2) x→ a сияқты шекті шегі бар,

3) бұл шек функцияның осы нүктедегі мәніне тең:

Интервалдағы үздіксіздік

f (x) функциясы X интервалында үзіліссіз деп аталады, егер f () pp ru

Ол осы аралықтағы әрбір нүктеде үздіксіз.

Мәлімдеме. Барлық элементар функциялар үздіксіз

Оларды анықтау салалары.

Шектелген функция

Функция егер интервалында шектелген деп аталады

барлық x ∈ үшін М саны бар

теңсіздік:| f(x)| ≤ М.

Вейерштрасстың екі теоремасы

Вейерштрастың бірінші теоремасы. Егер f (x r r r r f f () функциясы

кесіндіде үзіліссіз болса, онда ол осы кесіндіде шектеледі

Вейерштрастың екінші теоремасы.Егер f(x

сегментте үзіліссіз болса, ол осы сегментке жетеді

m-нің ең кіші мәні және М-нің ең үлкен мәні.

Болзано-Коши теоремасы

Егер f (x) функциясы f f () pp p бойынша мән сегментінде үздіксіз болса

осы сегменттің ұштарында f(a) және f(b) қарама-қарсы таңбалары бар,

Сегменттің ішінде f (c) = 0 болатындай c∈ (a,b) нүктесі бар. ur p () f ()

Гейне бойынша сабақтастық анықтамасы

Нақты айнымалының функциясы \(f\left(x \right)\) деп аталады үздіксіз нүктесінде \(a \in \mathbb(R)\) (\(\mathbb(R)-\)нақты сандар жиыны), егер кез келген реттілік үшін \(\сол\(((x_n)) \оң\ )\ ), \[\lim\limits_(n \to \infty ) (x_n) = a,\] қатынасы \[\lim\limits_(n \to \infty ) f\left(((x_n)) ) \right) = f\left(a \right).\] Тәжірибеде \(f\left(x \right)\) функциясының үздіксіздігі үшін келесі \(3\) шарттарды қолданған ыңғайлы. \(x = a\) нүктесінде ( ол бір уақытта орындалуы керек):

1. \(f\left(x \right)\) функциясы \(x = a\) нүктесінде анықталған;
2. \(\lim\limits_(x \to a) f\left(x \right)\) шегі бар;
3. \(\lim\limits_(x \to a) f\left(x \right) = f\left(a \right)\) теңдігі орындалады.

Коши үздіксіздігінің анықтамасы (\(\varepsilon - \delta\) белгісі)

\(\mathbb(R)\) нақты сандар жиынын нақты сандардың басқа \(B\) жиынына салыстыратын \(f\left(x \right)\) функциясын қарастырайық. \(f\left(x \right)\) функциясы деп аталады үздіксіз нүктесінде \(a \in \mathbb(R)\), егер кез келген сан үшін \(\varepsilon > 0\) барлығы үшін \(x \in \) болатын \(\delta > 0\) саны бар. mathbb (R)\), \[\left| қатынасын қанағаттандырады (x - a) \right| Аргумент пен функцияның өсімшелері бойынша үздіксіздікті анықтау

Үздіксіздік анықтамасын аргумент пен функцияның өсімшелері арқылы да тұжырымдауға болады. Функция \(x = a\) нүктесінде үздіксіз болады, егер \[\lim\limits_(\Delta x \to 0) \Delta y = \lim\limits_(\Delta x \dan 0) \left[ теңдігі ( f\left((a + \Delta x) \right) - f\left(a \right)) \right] = 0,\] мұнда \(\Delta x = x - a\).

Функцияның үзіліссіздігінің жоғарыдағы анықтамалары нақты сандар жиынына эквивалентті.

Функция болып табылады берілген интервалда үздіксіз , егер ол осы интервалдың әрбір нүктесінде үздіксіз болса.

Үздіксіздік теоремалары

Теорема 1.
\(f\left(x \right)\) функциясы \(x = a\) нүктесінде үзіліссіз, \(С\) тұрақты болсын. Сонда \(Cf\left(x \right)\) функциясы \(x = a\) үшін де үздіксіз болады.

2-теорема.
Берілген екі функция \(f\left(x \right))\) және \((g\left(x \right))\), \(x = a\) нүктесінде үздіксіз. Сонда осы функциялардың қосындысы \((f\left(x \right)) + (g\left(x \right))\) \(x = a\) нүктесінде де үздіксіз болады.

Теорема 3.
\((f\left(x \right))\) және \((g\left(x \right))\) екі функция \(x = a\) нүктесінде үзіліссіз болсын делік. Сонда осы функциялардың туындысы \((f\left(x \right)) (g\left(x \right))\) \(x = a\) нүктесінде де үздіксіз болады.

Теорема 4.
\(f\left(x \right))\) және \((g\left(x \right))\), \(x = a\) үшін үздіксіз екі функция берілген. Сонда бұл функциялардың қатынасы \(\large\frac((f\left(x \right))))((g\left(x \right)))\normalsize\) \(x = a\ үшін де үздіксіз болады. ) сәйкес, бұл \((g\left(a \right)) \ne 0\).

5-теорема.
\((f\left(x \right))\) функциясы \(x = a\) нүктесінде дифференциалданатын болсын делік. Сонда \((f\left(x \right))\) функциясы осы нүктеде үздіксіз болады (яғни дифференциалдау нүктедегі функцияның үздіксіздігін білдіреді; керісінше дұрыс емес).

6-теорема (Шекті мән теоремасы).
Егер \(f\left(x \right))\) функциясы тұйық және шектелген \(\left[ (a,b) \right]\ интервалында үздіксіз болса, онда ол осының үстінде және төменнен шектеледі. интервал. Басқаша айтқанда, \(m\) және \(M\) сандары бар, олар \(\left[(a,b) \right]\) интервалында \(x\) барлығына тең болады (1-сурет) .

1-сурет		2-сурет

7-теорема (Аралық мән теоремасы).
\((f\left(x \right))\) функциясы тұйық және шектелген \(\left[ (a,b) \right]\) аралықта үздіксіз болсын. Сонда, егер \(c\) \((f\left(a \оң))\) санынан үлкен және \((f\left(b \оң))\ санынан кіші болса, онда сан бар. \(( x_0)\), \ Бұл теорема 2-суретте көрсетілген.

Элементар функциялардың үздіксіздігі

Барлық элементар функциялар анықтау аймағының кез келген нүктесінде үздіксіз болады.

Функция шақырылады бастауыш , егер ол композициялар мен комбинациялардың шектеулі санынан құрастырылса
(\(4\) амалдарын қолдану – қосу, алу, көбейту және бөлу) . Бір топ негізгі элементар функциялар мыналарды қамтиды:

Анықтама. y = f(x) функциясы х0 нүктесінде және оның кейбір маңайында анықталсын. y = f(x) функциясы шақырылады x0 нүктесінде үздіксіз, Егер:

1. бар
2. бұл шек функцияның х0 нүктесіндегі мәніне тең:

Шекті анықтау кезінде f(x) х0 нүктесінде анықталмауы мүмкін, ал егер ол осы нүктеде анықталса, онда f(x0) мәні шекті анықтауға ешбір жолмен қатыспайтыны баса айтылды. Үздіксіздікті анықтау кезінде f(x0) мәні бар және бұл мән lim f(x) мәніне тең болуы керек.

Анықтама. y = f(x) функциясы х0 нүктесінде және оның кейбір маңайында анықталсын. f(x) функциясы x0 нүктесінде үздіксіз деп аталады, егер барлық ε>0 үшін x0 нүктесінің δ-төңірегінде барлық х үшін (яғни |x-x0|) оң δ саны болса.
Мұнда шектің мәні f(x0) тең болуы керектігі ескеріледі, сондықтан шекті анықтаумен салыстырғанда δ-төңіректің 0 пункция шарты жойылады.
Үстемелер бойынша тағы бір (алдыңғыға тең) анықтама берейік. Δх = x - x0 деп белгілейік, бұл мәнді аргумент өсімі деп атаймыз. x->x0 болғандықтан, онда Δx->0, яғни Δx - b.m. (шексіз аз) шама. Δу = f(x)-f(x0) деп белгілейік, бұл мәнді функцияның өсімі деп атаймыз, өйткені |Δу| (жеткілікті аз |Δх| үшін) ерікті саннан ε>0 кіші болуы керек, онда Δу- де b.m. мән, сондықтан

Анықтама. y = f(x) функциясы х0 нүктесінде және оның кейбір маңайында анықталсын. f(x) функциясы шақырылады x0 нүктесінде үздіксіз, егер аргументтегі шексіз аз өсім функциядағы шексіз аз өсімге сәйкес келсе.

Анықтама. x0 нүктесінде үздіксіз емес f(x) функциясы, үзіліссіз деп аталадыбұл кезеңде.

Анықтама. f(x) функциясы X жиынында үздіксіз деп аталады, егер ол осы жиынның әрбір нүктесінде үздіксіз болса.

Қосындының, көбейтіндінің, үлестің үздіксіздігі туралы теорема

Үздіксіз функция таңбасының астындағы шекке өту туралы теорема

Үздіксіз функциялардың суперпозициясының үздіксіздігі туралы теорема

f(x) функциясы интервалда анықталсын және осы аралықта монотонды болсын. Сонда f(x) осы кесіндіде тек бірінші текті үзіліс нүктелеріне ие болуы мүмкін.

Аралық мәндер теоремасы.Егер f(x) функциясы кесіндіде үзіліссіз болса және екі нүктеде a және b (a b-дан кіші) A = f(a) ≠ B = f(b) тең емес мәндерді қабылдайтын болса, онда кез келген C саны үшін А мен В арасында жатқан функцияның мәні С-ге тең c ∈ нүктесі бар: f(c) = C.

Үзіліссіз функцияның интервалдағы шектелгендігі туралы теорема.Егер f(x) функциясы интервалда үзіліссіз болса, онда ол осы аралықта шектеледі.

Минималды және ең үлкен мәндерге жету туралы теорема.Егер f(x) функциясы интервалда үздіксіз болса, онда ол осы аралықта өзінің төменгі және жоғарғы шекараларына жетеді.

Кері функцияның үзіліссіздігі туралы теорема. y=f(x) функциясы үздіксіз және [a,b] интервалында қатаң өсетін (кемімелі) болсын. Сонда сегментте кері функция бар x = g(y), сонымен қатар монотонды түрде өсетін (кемімелі) және үздіксіз.

Бір айнымалының үздіксіз функциясының негізгі теоремалары мен қасиеттерінің анықтамалары мен тұжырымдары берілген. Үздіксіз функцияның нүктедегі, кесіндідегі қасиеттері, күрделі функцияның шегі мен үзіліссіздігі, үзіліс нүктелерінің жіктелуі қарастырылады. Кері функцияға қатысты анықтамалар мен теоремалар берілген. Элементар функциялардың қасиеттері көрсетілген.

Мазмұны

Біз сабақтастық ұғымын тұжырымдай аламыз өсімдері бойынша. Ол үшін жаңа айнымалы енгіземіз, ол нүктедегі х айнымалысының өсімі деп аталады. Сонда функция if нүктесінде үздіксіз болады
.
Жаңа функцияны енгізейік:
.
Олар оны шақырады функция өсімінүктесінде. Сонда функция if нүктесінде үздіксіз болады
.

Оң жақтағы үздіксіздік анықтамасы (сол жақта)
Функция f (x)шақырды х нүктесінде оң жақта (сол жақта) үздіксіз 0 , егер ол осы нүктенің кейбір оң жақты (сол жақты) төңірегінде анықталса және х нүктесінде оң (сол) шегі болса 0 х-тегі функция мәніне тең 0 :
.

Үзіліссіз функцияның шектелгендігі туралы теорема
f функциясы болсын (x)х нүктесінде үздіксіз болады 0 . Содан кейін U ауданы бар (x0), онда функция шектелген.

Үздіксіз функция таңбасының сақталуы туралы теорема
Функция нүктесінде үзіліссіз болсын. Осы сәтте оның оң (теріс) мәні болсын:
.
Содан кейін функцияның оң (теріс) мәні бар нүктенің маңайы бар:
кезінде.

Үздіксіз функциялардың арифметикалық қасиеттері
Функциялары және нүктесінде үзіліссіз болсын .
Сонда функциялары, және нүктесінде үздіксіз.
Егер болса, онда функция нүктеде үздіксіз болады.

Сол-оң үздіксіздік қасиеті
Функция оң және сол жақта үздіксіз болса ғана нүктеде үздіксіз болады.

Қасиеттердің дәлелдері «Нүктедегі үздіксіз функциялардың қасиеттері» бетінде берілген.

Күрделі функцияның үздіксіздігі

Күрделі функция үшін үздіксіздік теоремасы
Функция нүктесінде үзіліссіз болсын. Ал функция нүктеде үзіліссіз болсын.
Сонда күрделі функция нүктеде үздіксіз болады.

Күрделі функцияның шегі

Функцияның үздіксіз функциясының шегі туралы теорема
Функцияның шегі бар болсын және ол мынаған тең:
.
Мұнда t нүктесі 0 ақырлы немесе шексіз қашықтықта болуы мүмкін: .
Ал функция нүктеде үзіліссіз болсын.
Сонда күрделі функцияның шегі бар және ол мынаған тең:
.

Күрделі функцияның шегі туралы теорема
Функцияның шегі болсын және нүктенің тесілген төңірегін нүктенің тесілген маңайымен салыстырыңыз. Функция осы маңайда анықталсын және оған шектеу қойылсын.
Міне, соңғы немесе шексіз алыс нүктелер: . Көршiлiктер және олардың сәйкес шектерi екi жақты немесе бiр жақты болуы мүмкiн.
Сонда күрделі функцияның шегі бар және ол мынаған тең:
.

Үзіліс нүктелері

Үзіліс нүктесін анықтау
Функция нүктенің кейбір тесілген маңайында анықталсын. Нүкте деп аталады функцияның үзілу нүктесі, егер екі шарттың бірі орындалса:
1) белгіленбеген;
2) нүктесінде анықталған, бірақ бұл нүктеде емес.

1-ші түрдегі үзіліс нүктесін анықтау
Нүкте деп аталады бірінші түрдегі үзіліс нүктесі, егер үзіліс нүктесі болса және сол және оң жақта соңғы бір жақты шектеулер болса:
.

Секіру функциясының анықтамасы
Jump Δ функциясынүктеде оң және сол жақтағы шектер арасындағы айырмашылық
.

Үзіліс нүктесін анықтау
Нүкте деп аталады алынбалы үзіліс нүктесі, егер шектеу болса
,
бірақ нүктедегі функция не анықталмаған немесе шекті мәнге тең емес: .

Сонымен, алынбалы үзіліс нүктесі 1-ші түрдегі үзіліс нүктесі болып табылады, бұл кезде функцияның секіруі нөлге тең.

2-ші түрдегі үзіліс нүктесін анықтау
Нүкте деп аталады екінші түрдегі үзіліс нүктесі, егер ол 1-ші түрдегі үзіліс нүктесі болмаса. Яғни, ең болмағанда бір жақты шектеу болмаса немесе нүктедегі ең болмағанда бір жақты шектеу шексіздікке тең болса.

Интервалда үздіксіз функциялардың қасиеттері

Интервалдағы үздіксіз функцияның анықтамасы
Функция сәйкесінше ашық интервалдың (at) барлық нүктелерінде және a және b нүктелерінде үздіксіз болса, (at) интервалда үздіксіз деп аталады.

Вейерштрасстың интервалдағы үздіксіз функцияның шектелгендігі туралы бірінші теоремасы
Егер функция интервалда үздіксіз болса, онда ол осы интервалда шектеледі.

Максималды (минималды) қол жеткізу мүмкіндігін анықтау
Аргумент бар болса, функция жиында өзінің максимумына (минимумына) жетеді
барлығына .

Жоғарғы (төменгі) беттің қол жетімділігін анықтау
Аргумент бар болса, функция жиында өзінің жоғарғы (төменгі) шегіне жетеді
.

Үзіліссіз функцияның максимум және минимумы туралы Вейерштрастың екінші теоремасы
Кесіндіде үздіксіз функция оның жоғарғы және төменгі шекараларына жетеді немесе дәл солай кесіндіде өзінің максимумы мен минимумына жетеді.

Болзано-Коши аралық мәндер теоремасы
Функция кесіндіде үзіліссіз болсын. Ал C сегменттің соңындағы функция мәндерінің арасында орналасқан ерікті сан болсын: және . Содан кейін бұл үшін бір нүкте бар
.

Қорытынды 1
Функция кесіндіде үзіліссіз болсын. Ал сегменттің соңындағы функция мәндері әртүрлі белгілерге ие болсын: немесе . Сонда функцияның мәні нөлге тең болатын нүкте бар:
.

Қорытынды 2
Функция кесіндіде үзіліссіз болсын. Оны жібер . Содан кейін функция интервалдың барлық мәндерін және тек мына мәндерді қабылдайды:
кезінде.

Кері функциялар

Кері функцияның анықтамасы
Функцияның анықталу облысы X және Y мәндерінің жиыны болсын. Оның меншігіне ие болсын:
барлығына .
Сонда Y жиынының кез келген элементі үшін Х жиынының бір ғана элементін байланыстыруға болады, ол үшін . Бұл сәйкестік деп аталатын функцияны анықтайды кері функция-ге. Кері функция келесі түрде белгіленеді:
.

Анықтамадан былай шығады
;
барлығына ;
барлығына .

Тура және кері функциялардың өзара монотондылығы туралы лемма
Егер функция қатаң түрде өсетін (кемімелі) болса, онда кері функция да бар, ол да қатаң өсетін (кемімелі).

Тура және кері функциялардың графиктерінің симметрия қасиеті
Тура және кері функциялардың графиктері түзу сызыққа қатысты симметриялы.

Интервалдағы кері функцияның бар болуы және үзіліссіздігі туралы теорема
Функция үзіліссіз және кесіндіде қатаң өсетін (кемімелі) болсын. Сонда кері функция анықталған және кесіндіде үзіліссіз, ол қатаң түрде артады (кемітеді).

Көбею функциясы үшін. Азайту үшін - .

Интервалдағы кері функцияның бар болуы және үзіліссіздігі туралы теорема
Функция үздіксіз және ашық шекті немесе шексіз интервалда қатаң өсетін (кемімелі) болсын. Сонда кері функция анықталған және үзіліссіз интервалда, ол қатаң түрде артады (кемітеді).

Көбею функциясы үшін.
Азайту үшін: .

Сол сияқты біз жарты интервалдағы кері функцияның бар болуы мен үзіліссіздігі туралы теореманы тұжырымдай аламыз.

Элементар функциялардың қасиеттері мен үздіксіздігі

Элементар функциялар және оларға кері функциялар анықталу облысында үздіксіз болады. Төменде сәйкес теоремалардың тұжырымдарын ұсынып, олардың дәлелдеулеріне сілтемелер береміз.

Көрсеткіштік функция

Көрсеткіштік функция f (x) = a x, негізі a > 0 реттілік шегі болып табылады
,
мұндағы х-ке бейім рационал сандардың ерікті тізбегі:
.

Теорема. Көрсеткіштік функцияның қасиеттері
Көрсеткіштік функцияның келесі қасиеттері бар:
(P.0)анықталған, үшін , барлығы үшін ;
(Б.1)≠ үшін 1 көптеген мағыналары бар;
(С.2)-де қатаң түрде артады, -де қатаң төмендейді, -де тұрақты;
(Б.3) ;
(С.3*) ;
(Б.4) ;
(С.5) ;
(Б.6) ;
(Б.7) ;
(Б.8)барлығы үшін үздіксіз;
(Б.9)бойынша;
кезінде.

Логарифм

Логарифмдік функция немесе логарифм, у = log a x, негізі a a негізі бар көрсеткіштік функцияға кері функция.

Теорема. Логарифмнің қасиеттері
Негізі a, y = болатын логарифмдік функция x журналы, келесі қасиеттерге ие:
(Ә.1)анықталған және үздіксіз, және үшін, аргументтің оң мәндері үшін;
(Ә.2)көптеген мағыналары бар;
(Ә.3)ретінде қатаң түрде артады, қатаң түрде төмендейді;
(L.4)бойынша;
бойынша;
(Ә.5) ;
(L.6)бойынша;
(L.7)бойынша;
(L.8)бойынша;
(L.9)кезінде.

Көрсеткіштік және натурал логарифм

Көрсеткіштік функция мен логарифмнің анықтамаларында дәреженің негізі немесе логарифм негізі деп аталатын тұрақты пайда болады. Математикалық талдауда, көп жағдайда, e саны негіз ретінде пайдаланылса, қарапайым есептеулер алынады:
.
Негізі e болатын көрсеткіштік функция көрсеткіш: , ал негізі e болатын логарифм натурал логарифм: деп аталады.

Көрсеткіш пен натурал логарифмнің қасиеттері беттерде берілген
«Х-тің дəрежесі дəрежесі»,
«Натурал логарифм, ln x функциясы»

Қуат функциясы

Көрсеткіш p бар қуат функциясы f функциясы болып табылады (x) = x p, оның х нүктесіндегі мәні р нүктесіндегі х негізі бар көрсеткіштік функцияның мәніне тең.
Сонымен қатар, ф (0) = 0 p = 0 p > үшін 0 .

Мұнда аргументтің теріс емес мәндері үшін y = x p қуат функциясының қасиеттерін қарастырамыз. Рационал m үшін, тақ m үшін, қуат функциясы теріс х үшін де анықталады. Бұл жағдайда оның қасиеттерін жұп немесе тақ арқылы алуға болады.
Бұл жағдайлар «Қуат функциясы, оның қасиеттері және графиктері» бетінде егжей-тегжейлі талқыланады және суреттеледі.

Теорема. Қуат функциясының қасиеттері (x ≥ 0)
Дәрежесі p болатын y = x p дәрежелік функцияның келесі қасиеттері бар:
(C.1)жиынтықта анықталған және үздіксіз
кезінде,
бойынша ".

Тригонометриялық функциялар

Тригонометриялық функциялардың үздіксіздігі туралы теорема
Тригонометриялық функциялар: синус ( күнә x), косинус ( cos x), жанама ( тг x) және котангенс ( ctg x

Кері тригонометриялық функциялардың үздіксіздігі туралы теорема
Кері тригонометриялық функциялар: арксинус ( arcsin x), доғалық косинус ( arccos x), арктангенс ( арктан x) және доғаның жанамасы ( arcctg x), анықтау облыстарында үздіксіз.

Қолданылған әдебиет:
О.И. Бесов. Математикалық талдау бойынша дәрістер. 1-бөлім. Мәскеу, 2004 ж.
Л.Д. Кудрявцев. Математикалық талдау курсы. 1-том. Мәскеу, 2003 ж.
СМ. Никольский. Математикалық талдау курсы. 1-том. Мәскеу, 1983 ж.

Сондай-ақ қараңыз:

Функцияның нүктедегі үздіксіздігі.

Қандай да бір нүктенің маңайында анықталған функция шақырылады нүктеде үздіксіз, егер функцияның шегі мен оның осы нүктедегі мәні тең болса, яғни.

Бір фактіні басқаша жазуға болады:

Егер функция нүктенің кейбір маңайында анықталған болса, бірақ нүктенің өзінде үздіксіз болмаса, онда ол шақырылады жарылғышфункциясы, ал нүктесі үзіліс нүктесі болып табылады.

Үздіксіз функцияның мысалы:

0 x 0 -D x 0 x 0 +D x

Үзіліссіз функцияның мысалы:

Функция нүктеде үздіксіз деп аталады, егер кез келген оң сан үшін шартты қанағаттандыратын кез келген сан болса: теңсіздік ақиқат.

Функция шақырылады үздіксізнүктеде функцияның өсімі шексіз аз мән болса.

мұндағы шексіз аз.

Үздіксіз функциялардың қасиеттері.

1) нүктеде үзіліссіз функциялардың қосындысы, айырмасы және көбейтіндісі нүктедегі үздіксіз функция;

2) екі үзіліссіз функцияның бөлімі үзіліссіз функция болып табылады, егер ол нүктесінде нөлге тең болмаса;

3) үздіксіз функциялардың суперпозициясы – үздіксіз функция бар.

Бұл сипатты келесідей жазуға болады:

Егер нүктеде үздіксіз функциялар болса, онда функция да осы нүктеде үздіксіз функция болады.

Жоғарыда аталған қасиеттердің дұрыстығын оңай дәлелдеуге болады,

шектік теоремаларды қолдану.

Кейбір элементар функциялардың үздіксіздігі.

1. Функция , анықтаманың барлық облысындағы үздіксіз функция.

2. Рационал функция бөлгіш нөлге айналатын мәндерден басқа барлық мәндер үшін үздіксіз болады. Осылайша, бұл түрдегі функция анықтаудың барлық облысы бойынша үздіксіз болады.

3. Тригонометриялық функциялар және олардың анықталу облысында үздіксіз.

Функцияның 3 қасиетін дәлелдейміз.

Функцияның өсімін немесе түрлендіруден кейін жазайық:

Шынында да, екі функцияның туындысының шегі бар және . Бұл жағдайда косинус функциясы , және бастап үшін шектелген функция болып табылады синус функциясының шегі болса, онда ол -де шексіз аз болады.

Осылайша, шектелген функцияның туындысы және шексіз аз болады, демек, бұл көбейтінді, т.б. функциясы шексіз аз. Жоғарыда қарастырылған анықтамаларға сәйкес функция анықтау облысындағы кез келген мән үшін үздіксіз функция болып табылады, өйткені оның осы нүктедегі өсімі шексіз аз мән болып табылады.

Үзіліс нүктелері және олардың классификациясы.

Осы нүктенің өзін қоспағанда, нүктенің маңайында үздіксіз болатын кейбір функцияны қарастырайық. Функцияның үзіліс нүктесінің анықтамасынан, егер функция осы нүктеде анықталмаса немесе онда үздіксіз болмаса, үзіліс нүктесі бар екендігі шығады.

Функцияның үздіксіздігі бір жақты болуы мүмкін екенін де ескеру керек. Мұны былай түсіндірейік.

Егер бір жақты шек болса (жоғарыдан қараңыз), онда функция дұрыс үздіксіз деп аталады.

Нүкте деп аталады үзіліс нүктесіфункция нүктеде анықталмаса немесе сол нүктеде үздіксіз болмаса.

Нүкте деп аталады 1-ші түрдегі үзіліс нүктесі, егер осы нүктеде функцияның шекті, бірақ тең емес сол және оң шектері болса:

Бұл анықтаманың шарттарын қанағаттандыру үшін функцияның нүктеде анықталуы міндетті емес, оның сол және оң жағында анықталғаны жеткілікті.

Анықтамадан біз 1-ші түрдегі үзіліс нүктесінде функцияның тек ақырлы секірісі болуы мүмкін деген қорытынды жасауға болады. Кейбір ерекше жағдайларда кейде 1-ші түрдегі үзіліс нүктесі деп те аталады алынбалысыну нүктесі, бірақ біз бұл туралы төменде толығырақ айтатын боламыз.

Нүкте деп аталады 2-ші түрдегі үзіліс нүктесі, егер осы нүктеде функцияда бір жақты шектердің ең болмағанда біреуі болмаса немесе олардың ең болмағанда біреуі шексіз болса.

1-мысал . Дирихле функциясы (Дирихлет Питер Густав (1805-1859) – неміс математигі, Петербург Ғылым академиясының корреспондент мүшесі 1837)

кез келген x 0 нүктесінде үздіксіз емес.

2-мысал . Функцияның нүктеде 2-ші түрдегі үзіліс нүктесі бар, өйткені .

3-мысал .

Функция нүктеде анықталмаған, бірақ оның шекті шегі бар, яғни. нүктеде функцияның 1-ші түрдегі үзіліс нүктесі болады. Бұл алынбалы сыну нүктесі, өйткені функцияны анықтасаңыз:

Бұл функцияның графигі:

4-мысал .

Бұл функция белгімен де көрсетіледі. Функция нүктеде анықталмаған. Өйткені функцияның сол және оң шектері әртүрлі болса, онда үзіліс нүктесі 1-ші түрге жатады. Егер функцияны қою арқылы нүктесінде кеңейтсек, онда функция оң жақта үздіксіз болады, қойсақ, функция сол жақта үздіксіз болады, егер 1 немесе –1 санынан басқа кез келген санға тең қойсақ, онда функция сол жақта да, оң жақта да үзіліссіз болады, бірақ барлық жағдайда ол нүктеде 1-ші түрдегі үзіліске ие болады. Бұл мысалда 1-ші түрдегі үзіліс нүктесі алынбайды.

Осылайша, 1-ші түрдегі үзіліс нүктесі алынбалы болуы үшін оң және сол жақтағы бір жақты шектеулер ақырлы және тең болуы керек және бұл нүктеде функция анықталмаған болуы керек.

2.2. Функцияның интервалдағы және кесіндідегі үзіліссіздігі.

Функция шақырылады аралықта үздіксіз (сегмент), егер ол интервалдың (сегменттің) кез келген нүктесінде үздіксіз болса.

Бұл жағдайда сегменттің немесе интервалдың ұштарында функцияның үздіксіздігі талап етілмейді, сегменттің немесе интервалдың ұштарында тек бір жақты үздіксіздік қажет.

Интервалда үздіксіз функциялардың қасиеттері.

Мүлік 1. (Вейерштрастың бірінші теоремасы (Карл Вейерштрас (1815-1897) – неміс математигі)). Интервалда үзіліссіз функция осы аралықта шектелген, яғни. сегментте келесі шарт орындалады:

Бұл қасиеттің дәлелі нүктеде үзіліссіз болатын функция оның қандай да бір маңайында шектелгеніне негізделген және кесіндіні нүктеге дейін «жиітілген» кесінділердің шексіз санына бөлсеңіз, онда а нүктенің белгілі бір төңірегі қалыптасады.

Мүлік 2. Сегментте үздіксіз болатын функция оған ең үлкен және ең кіші мәндерді қабылдайды.

Анау. осындай мәндер бар және бұл , , және:

атап өтейік. Бұл ең үлкен және ең кіші мәндерді функция сегментте бірнеше рет қабылдай алады (мысалы, – ).

Функцияның сегменттегі ең үлкен және ең кіші мәндерінің айырмасы деп аталады тартынусегменттегі функциялар.

Мүлік 3. (Екінші Болзано – Коши теоремасы). Интервалда үздіксіз функция осы аралықтағы екі ерікті мән арасындағы барлық мәндерді қабылдайды.

Мүлік 4. Егер функция нүктеде үзіліссіз болса, онда функция таңбасын сақтайтын нүктенің белгілі бір маңайы болады.

Мүлік 5. (Больцаноның бірінші теоремасы (1781-1848) – Коши). Егер функция кесіндіде үзіліссіз болса және кесіндінің ұштарында қарама-қарсы таңбалардың мәндері болса, онда бұл кесіндінің ішінде нүкте бар, онда . және нөлге жақын.

нүктеде функция 1-ші түрдегі үзіліс нүктесінде үзіліссіз болады