2100-дің квадрат түбірі. Санның квадрат түбірін қолмен қалай табуға болады. Түбірді есептеу мысалдары
Міне, дәл осы квадрат түбір бірдей санның көбейтіндісі (яғни, b \u003d a) екенін ескерсек, онда жүздің квадрат түбірі 10 болады (100 \u003d 10).
Айта кету керек, 100 санын 25 пен 4-тің көбейтіндісі ретінде көрсетуге болады. Содан кейін 25 пен 4-тің де квадрат түбірін есептеңіз. 5 пен 2. Біз көбейтеміз және біз де 10 аламыз.
Мектепте біз бұл тақырыпты зерттей бастағанда, квадрат түбірі 100, бәлкім, түсінуге оңай және бірі болды есептеулер. Мен әдетте нөлдердің жұп (!) санын қарап шықтым және квадрат түбірдің астындағы фигураны өзіне көбейткенде қай сан беретінін бірден есептедім. Мысалы, егер ол 10000 болса, онда бұл санның квадрат түбірі болады жүз (100x100 = 10000). шаршы астындағы санда болса. түбір алты нөл болса, онда жауап үш нөлден тұрады. Және т.б.
Бұл жағдайда суретте тек екі нөл бар, бұл екі ондық болғанын білдіреді. Сонымен, 100-дің квадрат түбірі 10-ға тең.Біз тексереміз: 10x10 = 100
Есептеу үшін шаршы түбірбірнеше жолмен қолдануға болады.
1) Есептеу бағдарламасы орнатылған калькуляторды немесе смартфонды/планшетті/компьютерді алып, 100 санын енгізіп, квадрат түбір белгішесін басыңыз, ол келесідей көрінеді:
2) 100=25*4-ке дейінгі сандардың квадраттарының кестесін білу.
3) Бөлу әдісі бойынша.
4) Бөлу әдісімен негізгі факторлар 100=10*10.
Теориялық тұрғыдан, егер сіз бәрін дұрыс жасасаңыз, сіз 10 нәтиже аласыз.
Шаршы түбірге арналған белгіше радикал деп аталады және келесідей көрінеді.
Ал 100-дің квадрат түбірін шығару оңай, егер сіз сандардың квадраттарын білсеңіз. 10 x 10 = 100. Сонымен, квадрат түбір анықтамасынан кейін 100-дің квадрат түбірі 10-ға тең.
100 саны 10-ның 10-ға көбейтіндісі екенін әрбір оқушы білетін шығар.
Квадрат түбір сан болғандықтан, өзіне көбейтілген күндер түбегейлі өрнек болады жүздің квадрат түбірі 10 санына тең болады.
Егер сіз 100=10*10 екенін ұмытып қалсаңыз, онда сіз түбірлердің қасиеттерін пайдалана аласыз:
100-дің квадрат түбірі = (25*4) квадрат түбірі = 25-тің квадрат түбірі * 4-тің квадрат түбірі.
Барлығы 5 * 5 = 25 және 2 * 2 = 4 екенін біледі. Сондықтан 100 санының квадрат түбірі = 5 * 2 = 10.
Егер сіз мұны да білмесеңіз, калькуляторды немесе Excel кестелерін пайдалана аласыз, оларда арнайы формула бар. ROOT. Мұнда бәрі көрнекі түрде көрінеді:
Енді калькулятордың көмегімен кез келген санның квадрат түбірін есептеу өте оңай.
100 санының квадрат түбірін ауызша шығаруға болады. Өйткені, х санын квадратқа келтіру х санының х санына көбейтіндісі болатыны белгілі.
Егер 10 10 = 100 болса, 100-дің квадрат түбірі 10 болады.
Сұрақтарға жауап: 10 .
Математикадағы квадрат түбір шартты таңбамен белгіленеді.
a-ның квадрат түбірі - квадраты а болатын теріс емес сан. 10^2=100 болғандықтан, 100-дің квадрат түбірі 10-ға тең.
Түбірін есте сақтау өте оңай сандар бар. Мен үшін, мысалы, 25 - түбір 5 болады, өйткені 5 * 5 = 25, 625 - 25 түбірі, 25 * 25 = 625.
Мен сондай-ақ 100 санын осындай сандарға жатқызамын - түбір 10 болады, біз 10 * 10 = 100 тексереміз. Сондықтан дұрыс.
Жүздің квадрат түбірі? 10 болатын сияқты
Мен адамның бұл жауап үшін желіге кіретінін елестете алмаймын, бірақ егер біз оны толығымен жинамаған және немқұрайлы деп елестетсек, онда мен жауап беремін.100-дің квадрат түбірі 10, сонымен қатар -10. Көптеген дереккөздерде осылай жазылған.
100-дің квадрат түбірі 10 және -10 деген екі мәнге ие. Сенбейтіндерді көбейту арқылы тексеруге болады.
Квадрат түбірді калькуляторсыз алу үшін түбір астындағы санды ең кіші факторларға ыдыратуға жүгініп, осы жерден бастау керек. Сонымен, жүз саны үшін:
Тиісінше, осы жерден жүздің квадрат түбірі біз үшін дәл 10 болатыны бірден белгілі болады.
Мен мектептен есімде қалған ережені есіме түсіруім керек еді:
100-дің түбірін алу калькуляторларды пайдалануды қажет етпейтін ең қарапайым нәрсе болса да, ол өмір бойы жадта сақталған. 100 саны 10-ды 10-ға көбейту арқылы алынады, демек сан 10 және жүздің түбірі болады.
Математика және физика курсынан әртүрлі есептерді шығарған кезде оқушылар мен студенттер екінші, үшінші немесе n-ші дәрежелі түбірлерді алу қажеттілігімен жиі кездеседі. Әрине, ғасырда ақпараттық технологияларКалькулятордың көмегімен мұндай мәселені шешу қиын болмайды. Дегенмен, электронды көмекшіні пайдалану мүмкін болмайтын жағдайлар бар.
Мысалы, көптеген емтихандарға электроника әкелуге тыйым салынады. Сонымен қатар, калькулятор қолыңызда болмауы мүмкін. Мұндай жағдайларда, кем дегенде, радикалдарды қолмен есептеудің кейбір әдістерін білу пайдалы.
Квадраттар кестесін пайдаланып квадрат түбірді шығару
Түбірлерді есептеудің ең қарапайым тәсілдерінің бірі арнайы кестені пайдалану. Бұл не және оны қалай дұрыс пайдалану керек?
Кестені пайдалана отырып, 10-нан 99-ға дейінгі кез келген санның квадратын табуға болады. Сонымен қатар кестенің жолдарында ондық мәндер, ал бағандарда бірлік мәндері болады. Жол мен бағанның қиылысындағы ұяшықта екі таңбалы санның квадраты болады. 63-тің квадратын есептеу үшін 6 мәні бар жолды және 3 мәні бар бағанды табу керек. Қиылысында 3969 саны бар ұяшықты табамыз.
Түбірді шығару квадраттаудың кері операциясы болғандықтан, бұл әрекетті орындау үшін сіз керісінше істеуіңіз керек: алдымен радикалын есептегіңіз келетін саны бар ұяшықты табыңыз, содан кейін баған мен жол мәндерінен жауапты анықтаңыз. Мысал ретінде 169 санының квадрат түбірін есептеуді қарастырайық.
Кестеден осы саны бар ұяшықты табамыз, көлденеңінен ондықтарды анықтаймыз – 1, тігінен бірліктерді табамыз – 3. Жауабы: √169 = 13.
Сол сияқты, сәйкес кестелерді пайдалана отырып, текше және n-ші дәрежелі түбірлерді есептеуге болады.
Әдістің артықшылығы - оның қарапайымдылығы және қосымша есептеулердің болмауы. Кемшіліктері анық: әдісті тек шектеулі сандар диапазоны үшін қолдануға болады (түбір табылған сан 100 мен 9801 арасында болуы керек). Сонымен қатар, егер берілген нөмір кестеде болмаса, ол жұмыс істемейді.
Жай көбейткіштерге бөлу
Егер квадраттар кестесі қолында болмаса немесе оның көмегімен түбірді табу мүмкін болмаса, сіз көріңіз түбір астындағы санды жай көбейткіштерге ыдырат. Басты факторлар - бұл толық (қалдықсыз) тек өзіне немесе біреуге бөлуге болатын факторлар. Мысалдар 2, 3, 5, 7, 11, 13, т.б.
√576 мысалы арқылы түбірді есептеуді қарастырайық. Оны қарапайым факторларға бөлейік. Біз келесі нәтижені аламыз: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². Түбірлердің негізгі қасиетін пайдаланып √a² = a, біз түбірлер мен квадраттардан құтыламыз, содан кейін жауапты есептейміз: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 24.
Қандай да бір факторлардың өз жұбы болмаса не істеу керек? Мысалы, √54 есебін қарастырайық. Факторингтен кейін нәтижені келесі формада аламыз: Алынбайтын бөлікті тамырдың астында қалдыруға болады. Геометрия мен алгебрадағы есептердің көпшілігі үшін мұндай жауап соңғы жауап ретінде есептеледі. Бірақ егер шамамен мәндерді есептеу қажет болса, кейінірек талқыланатын әдістерді қолдануға болады.
Герон әдісі
Шығарылған түбірдің кем дегенде шамамен не екенін білу қажет болғанда не істеу керек (бүтін мәнді алу мүмкін болмаса)? Герон әдісін қолдану арқылы жылдам және жеткілікті дәл нәтиже алынады.. Оның мәні шамамен формуланы қолдануда жатыр:
√R = √a + (R - a) / 2√a,
мұндағы R – түбірі есептелетін сан, а – түбір мәні белгілі ең жақын сан.
Әдістің іс жүзінде қалай жұмыс істейтінін көрейік және оның қаншалықты дәл екенін бағалайық. √111 неге тең екенін есептейік. Түбірі белгілі 111-ге жақын сан 121. Сонымен, R = 111, a = 121. Формуладағы мәндерді ауыстырыңыз:
√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.
Енді әдістің дұрыстығын тексерейік:
10,55² = 111,3025.
Әдістің қателігі шамамен 0,3 болды. Әдістің дәлдігін жақсарту қажет болса, бұрын сипатталған қадамдарды қайталауға болады:
√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.
Есептің дұрыстығын тексерейік:
10,536² = 111,0073.
Формуланы қайталап қолданғаннан кейін қате айтарлықтай елеусіз болды.
Бағанға бөлу арқылы түбірді есептеу
Квадрат түбір мәнін табудың бұл әдісі алдыңғыларға қарағанда біршама күрделірек. Дегенмен, ол калькуляторсыз басқа есептеу әдістерінің ішінде ең дәл болып табылады..
Квадрат түбірін 4 ондық бөлшек дәлдігімен табу керек делік. 1308.1912 ерікті санының мысалын пайдаланып, есептеу алгоритмін талдап көрейік.
- Қағаз парағын тік сызықпен 2 бөлікке бөліңіз, содан кейін одан оңға қарай, үстіңгі жиектен сәл төмен басқа сызық сызыңыз. Санды 2 цифрдан тұратын топқа бөліп, ондық бөлшектің оң және сол жағына жылжыта отырып, сол жағына жазамыз. Сол жақтағы ең бірінші сан жұпсыз болуы мүмкін. Егер санның оң жағында белгі жоқ болса, онда 0-ді қосу керек.Біздің жағдайда 13 08.19 12 аламыз.
- Ең көп таңдайық үлкен сан, оның квадраты цифрлардың бірінші тобынан кіші немесе оған тең болады. Біздің жағдайда бұл 3. Оны жоғарғы оң жаққа жазайық; 3 - нәтиженің бірінші саны. Төменгі оң жақта біз 3 × 3 = 9 көрсетеміз; бұл кейінгі есептеулер үшін қажет болады. Бағандағы 13-тен 9-ды азайтсақ, қалған 4-ті аламыз.
- Қалған 4 санға келесі жұп сандарды қосайық; біз 408 аламыз.
- Жоғарғы оң жақтағы санды 2-ге көбейтіп, төменгі оң жаққа жазыңыз, оған _ x _ = қосыңыз. Біз 6_ x _ = аламыз.
- Сызықшалардың орнына 408-ден кіші немесе тең бірдей санды ауыстыру керек. Біз 66 × 6 \u003d 396 аламыз. Жоғарғы оң жаққа 6 деп жазамыз, өйткені бұл нәтиженің екінші саны. 408-ден 396-ны шегерсек, 12 шығады.
- 3-6 қадамдарды қайталайық. Төменге тасымалданатын сандар санның бөлшек бөлігінде болғандықтан, 6-дан кейін жоғарғы оң жаққа ондық бөлшекті қою керек. Екі еселенген нәтижені сызықшамен жазайық: 72_ x _ =. Сәйкес сан 1 болады: 721 × 1 = 721. Оны жауап ретінде жазып көрейік. 1219 - 721 = 498 азайтайық.
- Ондық таңбалардың қажетті санын алу үшін алдыңғы абзацта берілген әрекеттер тізбегін тағы үш рет орындайық. Егер одан әрі есептеулер үшін белгілер жеткіліксіз болса, сол жақтағы ағымдағы санға екі нөл қосу керек.
Нәтижесінде біз жауап аламыз: √1308.1912 ≈ 36.1689. Әрекетті калькулятормен тексерсеңіз, барлық таңбалардың дұрыс анықталғанына көз жеткізуге болады.
Квадрат түбір мәнін биттік есептеу
Әдіс өте дәл. Сонымен қатар, бұл өте түсінікті және формулаларды немесе жаттауды қажет етпейді күрделі алгоритмәрекеттер, өйткені әдістің мәні дұрыс нәтижені таңдау болып табылады.
781 санынан түбірді шығарып алайық.Әрекеттер ретін егжей-тегжейлі қарастырайық.
- Квадрат түбір мәнінің қай цифры ең үлкен болатынын табыңыз. Ол үшін 0, 10, 100, 1000, т.б. квадраттап, олардың қайсысының арасында түбір сан орналасқанын анықтайық. Біз бұл 10² аламыз< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
- Ондықтардың мәнін алайық. Ол үшін 781-ден үлкен санды алғанша 10, 20, ..., 90 дәрежесін кезекпен көтереміз. Біздің жағдайда 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900 аламыз. Нәтиженің мәні n 20 шегінде болады< n <30.
- Алдыңғы қадамға ұқсас, бірлік цифрының мәні таңдалады. 21,22, ..., 29 квадратын кезекпен аламыз: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28² = 782 аламыз.< n < 28.
- Әрбір келесі цифр (ондық, жүздік және т.б.) жоғарыда көрсетілгендей есептеледі. Есептеулер қажетті дәлдікке жеткенше жүргізіледі.
Бейне
Бейнеден квадрат түбірлерді калькуляторды қолданбай-ақ алуды үйренесіз.
Сауаттылықтың белгісі болып табылатын көп білімнің ішінде әліпби бірінші орында тұр. Келесі, сол «белгі» элементі, қосу-көбейту дағдылары және оларға іргелес, бірақ мағынасы жағынан кері, азайту-бөлудің арифметикалық амалдары. Шалғай мектептегі балалық шақтан алған дағдылар күндіз-түні адал қызмет етеді: теледидар, газет, SMS, Ал біз барлық жерде оқимыз, жазамыз, санаймыз, қосамыз, азайтамыз, көбейтеміз. Ал, айтыңызшы, елден басқа өмірде тамыр жаюға жиі тура келді ме? Мысалы, 12345 санының квадрат түбірі сияқты қызықты есеп ... Ұнтақ колбаларында әлі де оқпан бар ма? Біз мұны істей аламыз ба? Иә, оңай ештеңе жоқ! Менің калькуляторым қайда ... Ал онсыз, қолма-қол, әлсіз?
Алдымен, оның не екенін анықтап алайық - санның квадрат түбірі. Жалпы айтқанда, «саннан түбір алу» деген сөз дәрежеге көтеруге қарама-қарсы арифметикалық амалды орындау дегенді білдіреді – мұнда өмірлік қолданудағы қарама-қарсылықтардың бірлігі бар. делік, шаршы санды өздігінен көбейту, яғни олар мектепте үйреткендей, X * X = A немесе басқа жазуда X2 = A, ал сөзбен айтқанда - «X квадраты А-ға тең». Сонда кері есеп келесідей естіледі: А санының квадрат түбірі Х саны болып табылады, ол квадратта болғанда А-ға тең.
Шаршы түбірді шығару
Мектептегі арифметика курсынан алғашқы төрт арифметикалық амалды қолданып кез келген есептеулерді орындауға көмектесетін «бағандағы» есептеу әдістері белгілі. Өкінішке орай, шаршы үшін ғана емес, квадрат үшін мұндай алгоритмдердің түбірлері жоқ. Ал бұл жағдайда квадрат түбірді калькуляторсыз қалай шығаруға болады? Квадрат түбірдің анықтамасына сүйене отырып, бір ғана қорытынды бар – квадраты түбір өрнектің мәніне жақындайтын сандарды ретімен санау арқылы нәтиженің мәнін таңдау керек. Тек және бәрі! Бір-екі сағат өткенге дейін оны кез келген квадрат түбірге «бағанға» көбейтудің белгілі әдісімен есептеуге болады. Егер сізде дағдылар болса, бұл үшін бірнеше минут жеткілікті. Тіпті онша жетілмеген калькулятор немесе ДК пайдаланушысы мұны бір сәтте жасайды - прогресс.
Бірақ байсалды түрде, квадрат түбірді есептеу көбінесе «артиллериялық шанышқы» әдісімен орындалады: біріншіден, олар квадраты түбір өрнекке сәйкес келетін санды алады. Бұл өрнектен «біздің шаршы» сәл аз болса жақсы. Содан кейін олар санды өздерінің шеберлік-түсінігіне қарай түзетеді, мысалы, екіге көбейтеді және ... қайтадан шаршылайды. Егер нәтиже түбір астындағы саннан үлкен болса, бастапқы санды ретімен реттеп, түбір астындағы «әріптесіне» бірте-бірте жақындайды. Көріп отырғаныңыздай - калькулятор жоқ, тек «бағанда» санау мүмкіндігі. Әрине, квадрат түбірді есептеудің көптеген ғылыми негізделген және оңтайландырылған алгоритмдері бар, бірақ «үйде пайдалану» үшін жоғарыда аталған әдіс нәтижеге 100% сенімділік береді.
Иә, мен ұмытып кете жаздадым, сауаттылығымыздың жоғарылағанын растау үшін біз бұрын көрсетілген 12345 санының квадрат түбірін есептейміз. Біз мұны кезең-кезеңімен жасаймыз:
1. Таза интуитивті түрде қабылдаңыз, X=100. Есептеп көрейік: X * X = 10000. Түйсік жоғарыда - нәтиже 12345-тен аз.
2. Қарап көрейік, сонымен қатар таза интуитивті түрде, X = 120. Содан кейін: X * X = 14400. Және тағы да, интуициямен, тәртіп - нәтиже 12345-тен көп.
3. Жоғарыда 100 және 120 «айыры» алынды. Жаңа сандарды таңдайық - 110 және 115. Біз сәйкесінше 12100 және 13225 аламыз - шанышқы тарылады.
4. Біз «мүмкін» X = 111-ге тырысамыз. Біз X * X = 12321 аламыз. Бұл сан қазірдің өзінде 12345-ке жақын. Қажетті дәлдікке сәйкес, алынған нәтижеде «фитингті» жалғастыруға немесе тоқтатуға болады. Осымен болды. Уәде етілгендей - бәрі өте қарапайым және калькуляторсыз.
Біраз тарих...
Тіпті пифагоршылар, мектеп оқушылары мен Пифагордың ізбасарлары, шаршы түбірлерді пайдалануды ойлады, б.з.б. 800 ж. және дәл сол жерде сандар саласындағы жаңа ашылуларға «кездесті». Және ол қайдан пайда болды?
1. Түбірді шығарумен есептің шешімі жаңа класс сандары түрінде нәтиже береді. Оларды иррационалды, басқаша айтқанда, «ақылсыз» деп атады, өйткені. олар толық сан ретінде жазылмайды. Бұл түрдегі ең классикалық мысал 2-дің квадрат түбірі болып табылады. Бұл жағдай 1-ге тең жағы бар квадраттың диагоналын есептеуге сәйкес келеді - бұл Пифагор мектебінің әсері. Қабырғаларының өлшем бірлігі өте нақты үшбұрышта гипотенузаның «соңы жоқ» санмен өрнектелетін өлшемі бар екені белгілі болды. Осылайша математикада пайда болды
2. Белгілі болғандай, бұл математикалық операцияда тағы бір ұстау бар – түбірді шығару, қай санның қай квадраты оң немесе теріс түбір өрнек екенін білмейміз. Бұл белгісіздік, бір операцияның қос нәтижесі жазылады.
Осы құбылысқа байланысты мәселелерді зерттеу математикада күрделі айнымалылар теориясы деп аталатын бағытқа айналды, оның математикалық физикада практикалық маңызы зор.
Бір қызығы, түбір – радикалды белгілеуді өзінің «Әмбебап арифметикасында» сол жерде И.Ньютон қолданған, ал түбірді жазудың дәл қазіргі түрі 1690 жылдан бері француз Роллдың «Алгебра нұсқаулығы» кітабынан белгілі. «.
Мен тағы да тәрелкеге қарадым... Ал, кеттік!
Қарапайымнан бастайық:
Бір минут күте тұрыңыз. бұл, яғни біз оны былай жаза аламыз:
Түсіндім? Міне, келесісі:
Алынған сандардың түбірлері нақты алынбайды? Уайымдамаңыз, мұнда бірнеше мысал келтірілген:
Бірақ екі көбейткіш емес, көп болса ше? Бірдей! Түбірді көбейту формуласы кез келген факторлар санымен жұмыс істейді:
Енді толығымен тәуелсіз:
Жауаптары:Жарайсың! Келісіңіз, бәрі өте оңай, ең бастысы көбейту кестесін білу!
Түбірдің бөлінуі
Біз түбірлердің көбейтіндісін анықтадық, енді бөлу қасиетіне көшейік.
Еске сала кетейін, жалпы формула келесідей көрінеді:
Және бұл дегеніміз бөлімнің түбірі түбірлердің бөліміне тең.
Ал, мысалдарды қарастырайық:
Мұның бәрі ғылым. Ал мына бір мысал:
Барлығы бірінші мысалдағыдай тегіс емес, бірақ көріп отырғаныңыздай, күрделі ештеңе жоқ.
Егер өрнек келесідей болса ше?
Сізге тек формуланы керісінше қолдану керек:
Ал мына бір мысал:
Бұл өрнекті де көруге болады:
Барлығы бірдей, тек осы жерде сіз бөлшектерді қалай аудару керектігін есте сақтауыңыз керек (егер есіңізде болмаса, тақырыпты қараңыз және оралыңыз!). Есте қалды ма? Енді шешеміз!
Сіз бәріне, бәріне төтеп бергеніңізге сенімдімін, енді бір дәрежеде тамыр салуға тырысайық.
Экспоненциация
Квадрат түбір квадрат болса не болады? Бұл қарапайым, санның квадрат түбірінің мағынасын есте сақтаңыз - бұл квадрат түбірі тең сан.
Олай болса, квадрат түбірі тең санның квадраты болса, онда не шығады?
Әрине, !
Мысалдарды қарастырайық:
Барлығы қарапайым, солай ма? Ал егер түбір басқа дәрежеде болса? Бәрі жақсы!
Сол логиканы ұстаныңыз және дәрежелермен сипаттар мен мүмкін әрекеттерді есте сақтаңыз.
«» тақырыбы бойынша теорияны оқыңыз, сонда бәрі сізге түсінікті болады.
Мысалы, мына өрнек:
Бұл мысалда дәреже жұп, бірақ тақ болса ше? Қайтадан қуат қасиеттерін қолданып, барлығын есептеңіз:
Осымен бәрі түсінікті сияқты, бірақ дәрежедегі саннан түбірді қалай шығаруға болады? Міне, мысалы, бұл:
Өте қарапайым, солай ма? Егер дәреже екіден жоғары болса ше? Дәрежелердің қасиеттерін пайдалана отырып, біз сол логиканы ұстанамыз:
Ал, бәрі түсінікті ме? Содан кейін өз мысалдарыңызды шешіңіз:
Міне, жауаптар:
Түбір белгісімен кіріспе
Біз тамырлармен не істеуді үйренбедік! Түбір белгісінің астындағы санды енгізуге жаттығу ғана қалады!
Бұл өте оңай!
Бізде нөмір бар делік
Біз онымен не істей аламыз? Әрине, үштіктің квадрат түбірі екенін есте сақтай отырып, үштікті түбірдің астына жасырыңыз!
Ол бізге не үшін керек? Иә, мысалдарды шешу кезінде мүмкіндіктерімізді кеңейту үшін:
Сізге тамырдың бұл қасиеті қалай ұнайды? Өмірді әлдеқайда жеңілдетеді ме? Мен үшін бұл дұрыс! Тек біз тек квадрат түбір белгісінің астына оң сандарды енгізе алатынымызды есте ұстауымыз керек.
Мына мысалды өзіңіз үшін қолданып көріңіз:
Сіз басқардыңыз ба? Сізге не алу керек екенін көрейік:
Жарайсың! Түбір белгісінің астына санды енгізе алдыңыз! Бірдей маңызды нәрсеге көшейік - квадрат түбірі бар сандарды қалай салыстыруға болатынын қарастырыңыз!
Түбірді салыстыру
Неліктен біз квадрат түбірі бар сандарды салыстыруды үйренуіміз керек?
Өте оңай. Көбінесе емтиханда кездесетін үлкен және ұзын өрнектерде біз қисынсыз жауап аламыз (бұл не екені есіңізде ме? Біз бұл туралы бүгін айттық!)
Алынған жауаптарды координаталық түзуге орналастыру керек, мысалы, теңдеуді шешу үшін қай интервал қолайлы екенін анықтау үшін. Міне, міне, осы жерде тығырыққа тіреледі: емтиханда калькулятор жоқ, онсыз қай сан үлкен, қайсысы кіші екенін қалай елестетуге болады? Міне бітті!
Мысалы, қайсысы үлкен екенін анықтаңыз: немесе?
Сіз бірден айтпайсыз. Ал, түбір белгісінің астына санды қосудың талдау сипатын қолданайық?
Содан кейін алға:
Ал, түбір белгісінің астындағы сан неғұрлым көп болса, түбірдің өзі де соғұрлым үлкен болатыны анық!
Анау. егер білдіреді.
Бұдан біз нақты қорытынды жасаймыз Бізді басқаша ешкім сендіре алмайды!
Көп саннан түбір алу
Бұған дейін түбір белгісінің астына фактор енгіздік, бірақ оны қалай шығаруға болады? Сіз жай ғана оны есептеп, алынған нәрсені шығарып алуыңыз керек!
Басқа жолмен жүріп, басқа факторларға ыдырау мүмкін болды:
Жаман емес, иә? Осы тәсілдердің кез келгені дұрыс, өзіңізді жайлы сезінетініңізді шешіңіз.
Факторинг келесідей стандартты емес міндеттерді шешуде өте пайдалы:
Біз қорықпаймыз, әрекет етеміз! Біз әрбір факторды түбірдің астына бөлек факторларға бөлеміз:
Ал енді өзіңіз көріңіз (калькуляторсыз! Емтиханда болмайды):
Бұл соңы ма? Біз жарты жолда тоқтамаймыз!
Бар болғаны, бәрі соншалықты қорқынышты емес, солай ма?
Болды ма? Жарайсың, дұрыс айтасың!
Енді мына мысалды қолданып көріңіз:
Мысал - қиын жаңғақ, сондықтан сіз оған қалай жақындау керектігін бірден анықтай алмайсыз. Бірақ біз, әрине, тістеміз.
Ал, факторингті бастайық, солай ма? Бірден біз санды келесіге бөлуге болатынын ескереміз (бөлінгіштік белгілерін еске түсіріңіз):
Ал енді өзіңіз көріңіз (қайтадан, калькуляторсыз!):
Жақсы болды ма? Жарайсың, дұрыс айтасың!
Жинақтау
- Теріс емес санның квадрат түбірі (арифметикалық квадрат түбірі) квадраты тең теріс емес сан.
. - Егер біз жай ғана бір нәрсенің квадрат түбірін алсақ, біз әрқашан бір теріс емес нәтиже аламыз.
- Арифметикалық түбірдің қасиеттері:
- Шаршы түбірлерді салыстыру кезінде түбір белгісінің астындағы сан неғұрлым көп болса, түбірдің өзі соғұрлым үлкен болатынын есте сақтау керек.
Сізге квадрат түбір қалай ұнайды? Бәрі түсінікті?
Біз сізге квадрат түбір туралы емтиханда білуіңіз керек нәрсені сусыз түсіндіруге тырыстық.
Енді сенің кезегін. Бұл тақырып сізге қиын ба, жоқ па, бізге жазыңыз.
Сіз жаңа нәрсе білдіңіз бе, әлде бәрі анық болды.
Түсініктемелерде жазыңыз және емтихандарда сәттілік тілейміз!
Көбінесе мәселелерді шешу кезінде біз алуымыз керек үлкен сандарға тап боламыз Шаршы түбір. Көптеген студенттер бұл қате деп шешіп, бүкіл мысалды шеше бастайды. Ешбір жағдайда мұны істеуге болмайды! Мұның екі себебі бар:
- Үлкен сандардың түбірлері проблемаларда кездеседі. Әсіресе мәтінде;
- Бұл түбірлерді ауызша дерлік қарастыратын алгоритм бар.
Біз бүгін осы алгоритмді қарастырамыз. Мүмкін кейбір нәрселер сізге түсініксіз болып көрінуі мүмкін. Бірақ егер сіз осы сабаққа назар аударсаңыз, сіз қарсы ең күшті қару аласыз шаршы түбірлер.
Сонымен, алгоритм:
- Қажетті түбірді жоғарыдан және астынан 10 еселіктерімен шектеңіз. Осылайша, іздеу ауқымын 10 санға дейін азайтамыз;
- Осы 10 санның ішінен түбір бола алмайтындарды алып тастаңыз. Нәтижесінде 1-2 сан қалады;
- Осы 1-2 сандарды квадратпен белгілеңіз. Олардың квадраты бастапқы санға тең болатыны түбір болады.
Бұл алгоритмді тәжірибеде қолданбас бұрын, әрбір жеке қадамды қарастырайық.
Түбірлерді шектеу
Ең алдымен түбіріміздің қай сандар арасында орналасқанын анықтау керек. Сандардың онға еселік болуы өте қажет:
10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.
Біз сандар қатарын аламыз:
100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.
Бұл сандар бізге не береді? Бұл қарапайым: біз шекараларды аламыз. Мысалы, 1296 санын алайық. Ол 900 мен 1600 арасында жатыр. Сондықтан оның түбірі 30-дан кіші және 40-тан үлкен болмауы керек:
[Сурет тақырыбы]
Квадрат түбірін табуға болатын кез келген басқа санмен де солай. Мысалы, 3364:
[Сурет тақырыбы]Осылайша, түсініксіз санның орнына біз бастапқы түбір жататын өте нақты диапазон аламыз. Іздеу ауқымын одан әрі тарылту үшін екінші қадамға өтіңіз.
Айқын артық сандарды жою
Сонымен, бізде 10 сан бар - түбірге үміткерлер. Біз оларды күрделі ойлаусыз және бағанға көбейтусіз өте жылдам қабылдадық. Жол жүретін уақыт келді.
Сенсеңіз де, сенбесеңіз де, енді біз үміткерлер санын екіге дейін азайтамыз - және тағы да күрделі есептеулерсіз! Арнайы ережені білу жеткілікті. Міне ол:
Квадраттың соңғы цифры тек соңғы цифрға байланысты бастапқы нөмір.
Басқаша айтқанда, шаршының соңғы цифрын қарау жеткілікті - және біз бастапқы санның қайда аяқталатынын бірден түсінеміз.
Соңғы орында болуы мүмкін тек 10 цифр бар. Квадрат болған кезде олар неге айналатынын анықтауға тырысайық. Кестеге қараңыз:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 0 |
| 1 | 4 | 9 | 6 | 5 | 6 | 9 | 4 | 1 | 0 |
Бұл кесте түбірді есептеудің тағы бір қадамы. Көріп отырғаныңыздай, екінші жолдағы сандар беске қатысты симметриялы болып шықты. Мысалы:
2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.
Көріп отырғаныңыздай, соңғы сан екі жағдайда да бірдей. Және бұл, мысалы, 3364 түбірі міндетті түрде 2 немесе 8-мен аяқталатынын білдіреді. Екінші жағынан, біз алдыңғы абзацтағы шектеуді есте сақтаймыз. Біз алып жатырмыз:
[Сурет тақырыбы] Қызыл шаршылар бұл цифрды әлі білмегенімізді көрсетеді. Бірақ түбірі 50 мен 60 арасында жатыр, онда 2 және 8-мен аяқталатын екі ғана сан бар:
[Сурет тақырыбы]Осымен болды! Барлық ықтимал тамырлардың ішінен біз тек екі нұсқаны қалдырдық! Және бұл ең қиын жағдайда, өйткені соңғы сан 5 немесе 0 болуы мүмкін. Содан кейін түбірлерге жалғыз үміткер қалады!
Қорытынды есептеулер
Сонымен, бізде 2 үміткер нөмір қалды. Қайсысының түбір екенін қайдан білуге болады? Жауап анық: екі санның да квадраты. Квадраты бастапқы санды береді және түбір болады.
Мысалы, 3364 саны үшін біз екі үміткер санын таптық: 52 және 58. Оларды квадраттайық:
52 2 \u003d (50 +2) 2 \u003d 2500 + 2 50 2 + 4 \u003d 2704;
58 2 \u003d (60 - 2) 2 \u003d 3600 - 2 60 2 + 4 \u003d 3364.
Осымен болды! Түбір 58 болып шықты! Бұл ретте есептеулерді жеңілдету үшін қосынды мен айырманың квадраттарының формуласын қолдандым. Осының арқасында бағандағы сандарды көбейтудің қажеті болмады! Бұл есептеулерді оңтайландырудың тағы бір деңгейі, бірақ, әрине, бұл мүлдем міндетті емес :)
Түбірді есептеу мысалдары
Әрине, теория жақсы. Бірақ оны іс жүзінде сынап көрейік.
[Сурет тақырыбы]
Алдымен 576 саны қай сандардың арасында жатқанын анықтайық:
400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2
Енді соңғы санға назар аударайық. Ол 6-ға тең. Бұл қашан болады? Түбір 4 немесе 6-мен аяқталса ғана. Біз екі сан аламыз:
Әр санды квадраттап, түпнұсқамен салыстыру керек:
24 2 = (20 + 4) 2 = 576
Тамаша! Бірінші шаршы бастапқы санға тең болып шықты. Демек, бұл тамыр.
Тапсырма. Квадрат түбірін есептеңіз:
[Сурет тақырыбы]
900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;
Соңғы санды қарастырайық:
1369 → 9;
33; 37.
Оны квадраттайық:
33 2 \u003d (30 + 3) 2 \u003d 900 + 2 30 3 + 9 \u003d 1089 ≠ 1369;
37 2 \u003d (40 - 3) 2 \u003d 1600 - 2 40 3 + 9 \u003d 1369.
Міне, жауап: 37.
Тапсырма. Квадрат түбірін есептеңіз:
[Сурет тақырыбы]
Біз санды шектейміз:
2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;
Соңғы санды қарастырайық:
2704 → 4;
52; 58.
Оны квадраттайық:
52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
Біз жауап алдық: 52. Екінші санды енді квадраттау қажет емес.
Тапсырма. Квадрат түбірін есептеңіз:
[Сурет тақырыбы]
Біз санды шектейміз:
3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;
Соңғы санды қарастырайық:
4225 → 5;
65.
Көріп отырғаныңыздай, екінші қадамнан кейін бір ғана опция қалады: 65. Бұл қажетті түбір. Бірақ оны әлі де квадраттап, тексерейік:
65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;
Барлығы дұрыс. Жауабын жазамыз.
Қорытынды
Әттең, жақсы емес. Оның себептерін қарастырайық. Олардың екеуі бар:
- Кез келген қалыпты математика емтиханында калькуляторды пайдалануға тыйым салынады, мейлі ол ЖИА немесе Бірыңғай мемлекеттік емтихан болсын. Калькуляторды сыныпқа апарғаны үшін оларды емтиханнан оңай шығарып жіберуге болады.
- Ақымақ американдықтар сияқты болмаңыз. Түбірлер сияқты емес - олар екі жай санды қоса алмайды. Ал фракцияларды көргенде олар әдетте истерияға айналады.
