Квадрат теңдеу болған кезде. Квадрат түбір: есептеу формулалары. Квадрат теңдеудің түбірлерін табудың формуласы. Квадрат теңдеулер. Дискриминантты. Шешімі, мысалдары

Жай. Формулалар бойынша және қарапайым, қарапайым ережелер. Бірінші кезеңде

берілген теңдеуді стандартты түрге келтіру керек, яғни. қарау:

Егер теңдеу сізге осы формада берілген болса, сізге бірінші қадамды жасаудың қажеті жоқ. Ең бастысы дұрыс

барлық коэффициенттерді анықтаңыз, және, б және в.

Квадрат теңдеудің түбірлерін табудың формуласы.

Түбір белгісінің астындағы өрнек деп аталады дискриминантты ... Көріп отырғаныңыздай, х табу үшін біз

пайдалану тек a, b және c. Анау. коэффициенттері квадрат теңдеу... Тек мұқият ауыстырыңыз

мағынасы a, b және c осы формулаға енгізіп, санай беріңіз. Ауыстыру олардың белгілер!

Мысалға, теңдеуде:

және =1; б = 3; в = -4.

Мәндерді ауыстырыңыз және жазыңыз:

Мысал дерлік шешілді:

Бұл жауап.

Көбінесе қателіктер мағыналық белгілермен шатасу болып табылады. а, бжәне бастап... Керісінше, ауыстырумен

түбірлерді есептеу формуласына теріс мәндер. Мұнда формуланың толық жазбасы сақталады

нақты сандармен. Егер сізде есептеулер бар болса, жасаңыз!

Сізге осы мысалды шешу керек делік:

Мұнда а = -6; б = -5; в = -1

Біз бәрін егжей-тегжейлі, мұқият, барлық белгілер мен жақшалармен ештеңе жоғалтпай бояймыз:

Квадрат теңдеулер көбінесе басқаша болып көрінеді. Мысалы, келесідей:

Енді қателіктерді күрт азайтуға мүмкіндік беретін ең жақсы тәжірибелерге назар аударыңыз.

Бірінші қабылдау... Бұрын ерінбеңіз квадрат теңдеудің шешімі оны стандартты түрге келтіріңіз.

Бұл нені білдіреді?

Айталық, кез-келген түрлендірулерден кейін сіз келесі теңдеуді алдыңыз:

Түбірлік формуланы жазуға асықпаңыз! Сіз әрине коэффициентті араластырасыз. a, b және c.

Мысалды дұрыс құрыңыз. Біріншіден, Х квадратына, содан кейін квадратсыз, содан кейін бос мүше шығады. Бұл сияқты:

Минусты алып тастаңыз. Қалай? Барлық теңдеуді -1-ге көбейту керек. Біз алып жатырмыз:

Енді сіз тамырлардың формуласын қауіпсіз түрде жазып, дискриминантты есептеп, мысалды аяқтай аласыз.

Өзің жаса. Сізде 2 және -1 тамырлары болуы керек.

Қабылдау екінші. Тамырларды тексеріңіз! Авторы вьетнам теоремасы.

Берілген квадрат теңдеулерді шешу үшін, яғни. егер коэффициент

x 2 + bx + c \u003d 0,

содан кейін x 1 x 2 \u003d c

x 1 + x 2 \u003d -б

Ондағы толық квадрат теңдеу үшін a ≠ 1:

x 2 +бx +в=0,

барлық теңдеуді бөлу және:

→ →

Қайда x 1 және х 2 - теңдеудің түбірлері.

Үшінші қабылдау... Егер сіздің теңдеуіңізде бөлшек коэффициенттері болса, бөлшектерден арылыңыз! Көбейту

ортақ бөлгіш теңдеу.

Шығу. Тәжірибелік кеңес:

1. Шешуден бұрын біз квадрат теңдеуді стандартты түрге келтіреміз, оны құрамыз дұрыс.

2. Егер квадратта х-тің алдында теріс коэффициент болса, оны жалпыға көбейту арқылы жоямыз

-1-ге теңдеу.

3. Егер коэффициенттер бөлшек болса, онда біз бүкіл теңдеуді сәйкесінше көбейту арқылы бөлшектерді шығарамыз

фактор.

4. Егер х квадраты таза болса, коэффициент бірге тең болса, ерітіндіні оңай тексеруге болады

Осы мақаланы оқығаннан кейін сіз толық квадрат теңдеудің түбірін қалай табуға болатындығын білесіз деп үміттенемін.

Дискриминанттың көмегімен тек толық квадрат теңдеулер шешіледі, толық емес квадрат теңдеулерді шешуде басқа әдістер қолданылады, оларды «Толымсыз квадрат теңдеулерді шешу» мақаласынан табасыз.

Қандай квадрат теңдеулер толық деп аталады? бұл ax 2 + b x + c \u003d 0 түріндегі теңдеулермұндағы a, b және c коэффициенттері нөлге тең емес. Сонымен, толық квадрат теңдеуді шешу үшін D дискриминантын есептеу керек.

D \u003d b 2 - 4ac.

Дискриминант қандай құндылыққа ие болғанына байланысты, біз оның жауабын жазамыз.

Егер дискриминант теріс болса (Д.< 0),то корней нет.

Егер дискриминант нөлге тең болса, онда x \u003d (-b) / 2a. Дискриминант оң сан болған кезде (D\u003e 0),

онда x 1 \u003d (-b - √D) / 2a, және x 2 \u003d (-b + √D) / 2a.

Мысалға. Теңдеуді шешіңіз x 2 - 4x + 4 \u003d 0.

D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0

x \u003d (- (-4)) / 2 \u003d 2

Жауап: 2.

2-теңдеуді шешіңіз x 2 + x + 3 \u003d 0.

D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23

Жауап: тамыр жоқ.

2-теңдеуді шешіңіз x 2 + 5х - 7 \u003d 0.

D \u003d 5 2 - 4 · 2 · (–7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - -81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3.5

x 2 \u003d (-5 + -81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

Жауап: - 3,5; 1.

Сонымен, толық квадрат теңдеулердің шешімін 1 суреттегі схема бойынша ұсынамыз.

Кез-келген толық квадрат теңдеуді осы формулалар көмегімен шешуге болады. Мұны қамтамасыз ету үшін сізге абай болу керек теңдеу стандартты көпмүшелік түрінде жазылды

және x 2 + bx + c, әйтпесе, сіз қате жібере аласыз. Мысалы, x + 3 + 2x 2 \u003d 0 теңдеуін жазуда қате шешім қабылдауға болады

a \u003d 1, b \u003d 3 және c \u003d 2. Сонда

D \u003d 3 2 - 4 · 1 · 2 \u003d 1, содан кейін теңдеудің екі түбірі болады. Бұл дұрыс емес. (Жоғарыдағы 2-мысалдың шешімін қараңыз).

Сондықтан, егер теңдеу стандартты түрдегі көпмүшелік түрінде жазылмаса, онда алдымен толық квадрат теңдеуді стандартты түрдегі көпмүшелік түрінде жазу керек (бірінші кезекте ең үлкен көрсеткіші бар мономальды болу керек, яғни және x 2 , содан кейін аз – bxсодан кейін еркін мүше бастап.

Төмендетілген квадрат теңдеуді және екінші мүшеде жұп коэффициентті квадрат теңдеуді шешкен кезде басқа формулаларды да қолдануға болады. Осы формулалармен де танысайық. Егер екінші мүшесі бар толық квадрат теңдеуде коэффициент жұп болса (b \u003d 2k), онда теңдеуді 2-суреттегі диаграммада көрсетілген формулалар көмегімен шешуге болады.

Толық квадрат теңдеуді at коэффициенті келтірілген деп атайды x 2 біреуіне тең және теңдеу форманы алады x 2 + px + q \u003d 0... Мұндай теңдеуді шешім үшін беруге болады немесе ол теңдеудің барлық коэффициенттерін коэффициентке бөлу арқылы алынады жәнетұру x 2 .

3 суретте келтірілген квадратты шешудің сызбасы көрсетілген
теңдеулер. Осы мақалада талқыланған формулаларды қолдану мысалын қарастырайық.

Мысал. Теңдеуді шешіңіз

3x 2 + 6х - 6 \u003d 0.

Осы теңдеуді 1-суреттегі диаграммада көрсетілген формулалар арқылы шешейік.

D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√D \u003d -108 \u003d √ (363) \u003d 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6√3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d –1 - √3

x 2 \u003d (-6 + 6√3) / (2 3) \u003d (6 (-1+ √ (3))) / 6 \u003d –1 + √3

Жауап: -1 - √3; –1 + √3

Бұл теңдеудегі х коэффициенті жұп сан, яғни b \u003d 6 немесе b \u003d 2k, мұндағы k \u003d 3. екенін ескеруге болады, содан кейін біз D 1 \u003d 3 2 - 3 · (- 6) суреттегі диаграммада көрсетілген формулалар арқылы теңдеуді шешуге тырысамыз. ) \u003d 9 + 18 \u003d 27

√ (D 1) \u003d √27 \u003d √ (9 3) \u003d 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

Жауап: -1 - √3; –1 + √3... Осы квадрат теңдеудегі барлық коэффициенттердің 3-ке бөлінетіндігін және бөлуді орындайтынын байқай отырып, келтірілген квадрат теңдеуді аламыз x 2 + 2x - 2 \u003d 0 Квадраттың келтірілген формулаларын пайдаланып, осы теңдеуді шешеміз
теңдеу сурет 3.

D 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√ (D 2) \u003d √12 \u003d √ (4 3) \u003d 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2√3) / 2 \u003d (2 (-1+ √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √3

Жауап: -1 - √3; –1 + √3.

Көріп отырғаныңыздай, бұл теңдеуді әр түрлі формулалар арқылы шешкен кезде біз бірдей жауап алдық. Сондықтан 1-суреттегі диаграммада көрсетілген формулаларды жақсы меңгеріп, сіз кез-келген толық квадрат теңдеуді әрқашан шеше аласыз.

сайт, материалдың толық немесе ішінара көшірмесімен, дереккөзге сілтеме қажет.

«Теңдеулерді шешу» тақырыбын жалғастыра отырып, осы мақаладағы материал сізді квадрат теңдеулермен таныстырады.

Барлығын егжей-тегжейлі қарастырайық: квадрат теңдеудің мәні мен жазылуы, біз өзара байланысты терминдер қоямыз, толық емес және толық теңдеулерді шешудің схемасын талдаймыз, түбірлер мен дискриминант формуласымен танысамыз, түбірлер мен коэффициенттер арасында байланыс орнатамыз және, әрине, практикалық мысалдардың визуалды шешімін береміз.

Квадрат теңдеу, оның түрлері

Анықтама 1

Квадрат теңдеу Ретінде жазылған теңдеу болып табылады a x 2 + b x + c \u003d 0қайда х - айнымалы, a, b және в - ал кейбір сандар анөл емес

Көбінесе квадрат теңдеуді екінші дәрежелі теңдеу деп те атайды, өйткені мәні бойынша квадрат теңдеу екінші дәрежелі алгебралық теңдеу болып табылады.

Берілген анықтаманы көрсету үшін мысал келтірейік: 9 · x 2 + 16 · x + 2 \u003d 0; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 \u003d 0 және т.б. Квадрат теңдеулер ме?

Анықтама 2

A, b және сандары в Квадрат теңдеудің коэффициенттері болып табылады a x 2 + b x + c \u003d 0, ал коэффициент а бірінші, немесе аға немесе х 2 коэффициенті, b - екінші коэффициент, немесе коэффициент деп аталады х, және в еркін мүше деп аталады.

Мысалы, квадрат теңдеуде 6 x 2 - 2 x - 11 \u003d 0 ең жоғарғы коэффициент - 6, екінші коэффициент - − 2 және еркін мерзім − 11 ... Коэффициенттер болған кезде мынаған назар аударайық бжәне / немесе с теріс болса, онда форманың қысқаша жазбасы қолданылады 6 x 2 - 2 x - 11 \u003d 0, бірақ жоқ 6 x 2 + (- 2) x + (- 11) \u003d 0.

Осы жағын да түсіндірейік: егер коэффициенттер болса а және / немесе б тең 1 немесе − 1 , онда олар квадрат теңдеуді жазуға нақты қатыса алмайды, бұл көрсетілген сандық коэффициенттерді жазудың ерекшеліктерімен түсіндіріледі. Мысалы, квадрат теңдеуде y 2 - y + 7 \u003d 0 ең жоғарғы коэффициент - 1, ал екінші коэффициент - − 1 .

Кішірейтілген және төмендетілмеген квадрат теңдеулер

Бірінші коэффициенттің мәні бойынша квадрат теңдеулер кішірейтілген және төмендетілмеген болып бөлінеді.

Анықтама 3

Төмендетілген квадрат теңдеу Жетекші коэффициенті 1 болатын квадрат теңдеу болып табылады. Жетекші коэффициенттің басқа мәндері үшін квадрат теңдеу азайтылмайды.

Міне мысалдар: квадрат теңдеулер x 2 - 4 x + 3 \u003d 0, x 2 - x - 4 5 \u003d 0 азаяды, олардың әрқайсысында жетекші коэффициент 1 болады.

9 x 2 - x - 2 \u003d 0 - төмендетілмеген квадрат теңдеу, мұндағы бірінші коэффициент өзгеше 1 .

Кез келген төмендетілмеген квадрат теңдеуді екі бөлікті де бірінші коэффициентке бөлу арқылы келтірілген теңдеуге айналдыруға болады (эквивалентті түрлендіру). Трансформацияланған теңдеудің берілген азайтылмаған теңдеу сияқты түбірлері болады немесе оның түбірлері де болмайды.

Нақты мысалды қарастыру қысқартылмаған квадрат теңдеуден қысқартылғанға көшудің жүзеге асырылуын нақты көрсетуге мүмкіндік береді.

1-мысал

Теңдеу 6 х 2 + 18 х - 7 \u003d 0 тең . Бастапқы теңдеуді кішірейтілген түрге айналдыру қажет.

Шешім

Жоғарыда келтірілген схема бойынша біз бастапқы теңдеудің екі жағын да жетекші коэффициент 6-ға бөлеміз. Сонда біз мынаны аламыз: (6 x 2 + 18 x - 7): 3 \u003d 0: 3және бұл келесідей: (6 x 2): 3 + (18 x): 3 - 7: 3 \u003d 0 және әрі қарай: (6: 6) x 2 + (18: 6) x - 7: 6 \u003d 0. Демек: x 2 + 3 x - 1 1 6 \u003d 0. Осылайша, берілгенге тең болатын теңдеу алынады.

Жауап: x 2 + 3 x - 1 1 6 \u003d 0.

Толық және толық емес квадрат теңдеулер

Квадрат теңдеудің анықтамасына жүгінейік. Онда біз оны нақтылаған болатынбыз a ≠ 0... Осыған ұқсас шарт теңдеу үшін де қажет a x 2 + b x + c \u003d 0 дәл төртбұрышты болды, өйткені a \u003d 0 ол мәні бойынша түрлендірілген сызықтық теңдеу b x + c \u003d 0.

Коэффициенттері болған жағдайда б және внөлге тең (бұл бөлек те, бірге да мүмкін), квадрат теңдеу толық емес деп аталады.

Анықтама 4

Толымсыз квадрат теңдеу Мұндай квадрат теңдеу бар ма? a x 2 + b x + c \u003d 0,мұнда коэффициенттердің кем дегенде біреуі бжәне в(немесе екеуі де) нөлге тең.

Толық квадрат теңдеу - барлық сандық коэффициенттер нөлге тең емес квадрат теңдеу.

Квадрат теңдеу түрлеріне неге дәл осындай атаулар берілгенін талқылайық.

B \u003d 0 үшін квадрат теңдеу форманы алады a x 2 + 0 x + c \u003d 0бұл бірдей a x 2 + c \u003d 0... Қашан c \u003d 0 квадрат теңдеу ретінде жазылады a x 2 + b x + 0 \u003d 0бұл барабар a x 2 + b x \u003d 0... Қашан b \u003d 0 және c \u003d 0 теңдеу болады a x 2 \u003d 0... Біз алған теңдеулердің толық квадрат теңдеуден айырмашылығы сол жақтарында х-да айнымалысы бар мүше, немесе бос мүшесі немесе екеуі де болмайды. Іс жүзінде бұл факт теңдеулердің осы түріне атау берді - толық емес.

Мысалы, x 2 + 3 x + 4 \u003d 0 және - 7 x 2 - 2 x + 1, 3 \u003d 0 - толық квадрат теңдеулер; x 2 \u003d 0, - 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 \u003d 0, - x 2 - 6 x \u003d 0 - толық емес квадрат теңдеулер.

Толымсыз квадрат теңдеулерді шешу

Жоғарыда келтірілген анықтама толық емес квадрат теңдеулердің келесі түрлерін ажыратуға мүмкіндік береді:

• a x 2 \u003d 0, мұндай теңдеу коэффициенттерге сәйкес келеді b \u003d 0 және c \u003d 0;
• a x 2 + c \u003d 0 at b \u003d 0;
• a x 2 + b x \u003d 0 с \u003d 0 болғанда.

Толымсыз квадрат теңдеудің әр түрінің шешімін дәйекті түрде қарастырайық.

A x 2 \u003d 0 теңдеуінің шешімі

Жоғарыда айтылғандай, бұл теңдеу коэффициенттерге сәйкес келеді б және внөлге тең. Теңдеу a x 2 \u003d 0 эквивалентті теңдеуге айналдыруға болады x 2 \u003d 0, оны бастапқы теңдеудің екі жағын да санға бөлу арқылы аламыз анөлге тең емес. Бұл теңдеудің түбірі екендігі айқын факт x 2 \u003d 0 ол нөлге тең, өйткені 0 2 = 0 ... Бұл теңдеудің басқа түбірлері жоқ, оны дәреженің қасиеттерімен түсіндіруге болады: кез келген сан үшін б,нөлге тең емес, теңсіздік ақиқат p 2\u003e 0, бұдан шығатыны p ≠ 0 теңдік p 2 \u003d 0ешқашан қол жеткізілмейді.

Анықтама 5

Сонымен, a x 2 \u003d 0 толық емес квадрат теңдеуі үшін бірегей түбір болады x \u003d 0.

2-мысал

Мысалы, толық емес квадрат теңдеуді шешейік - 3 x 2 \u003d 0... Бұл теңдеуге тең x 2 \u003d 0, оның жалғыз тамыры x \u003d 0, онда бастапқы теңдеуде де бір түбір бар - нөл.

Қысқаша шешім келесі түрде рәсімделеді:

- 3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

A x 2 + c \u003d 0 теңдеуінің шешімі

Келесі қадам - \u200b\u200bтолық емес квадрат теңдеулердің шешімі, мұндағы b \u003d 0, c ≠ 0, яғни түрдегі теңдеулер a x 2 + c \u003d 0... Біз бұл теңдеуді терминді теңдеудің екінші жағынан екінші жағына ауыстырып, таңбасын қарама-қарсыға өзгертіп, теңдеудің екі жағын да нөлге тең емес санға бөлу арқылы өзгертеміз:

• тасымалдау в оңға, ол теңдеуді береді a x 2 \u003d - c;
• біз теңдеудің екі жағын да бөлеміз а, нәтижесінде x \u003d - c a аламыз.

Біздің түрлендірулеріміз эквивалентті, сәйкесінше алынған теңдеу бастапқыға тең, және бұл факт теңдеудің түбірлері туралы қорытынды жасауға мүмкіндік береді. Қандай құндылықтар бар а және вөрнектің мәні - c a тәуелді: оның минус белгісі болуы мүмкін (мысалы, егер a \u003d 1 және c \u003d 2, онда - c a \u003d - 2 1 \u003d - 2) немесе қосу белгісі (мысалы, егер a \u003d - 2 және c \u003d 6, онда - c a \u003d - 6 - 2 \u003d 3); ол нөлге тең емес, өйткені c ≠ 0... Келесі жағдайларға толығырақ тоқталайық - c a< 0 и - c a > 0 .

Жағдайда - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа б p 2 \u003d - c a теңдігі шындық бола алмайды.

- c a\u003e 0 болғанда бәрі басқаша болады: квадрат түбірді есте сақтаңыз және x 2 \u003d - c a теңдеуінің түбірі - c a саны болатыны анық, өйткені - c a 2 \u003d - c a. - - c a саны сонымен қатар x 2 \u003d - c a теңдеуінің түбірі екенін түсіну қиын емес: - c a 2 \u003d - c a.

Теңдеудің басқа түбірлері болмайды. Біз мұны қайшы әдісті қолдана отырып көрсете аламыз. Бастапқыда біз жоғарыда көрсетілген тамырларға арналған белгіні анықтаймыз x 1 және - x 1... X 2 \u003d - c a теңдеуінің де түбірі болады деген болжам жасайық x 2бұл тамырдан өзгеше x 1 және - x 1... Орнына теңдеуді қою арқылы білеміз х оның тамырлары, теңдеуді сандық теңдікке айналдырады.

Үшін x 1 және - x 1 біз жазамыз: x 1 2 \u003d - c a, және үшін x 2 - x 2 2 \u003d - c a. Сандық теңдіктердің қасиеттеріне сүйене отырып, біз екінші мүшеден бір нақты теңдікті термин бойынша алып тастаймыз, бұл бізге: x 1 2 - x 2 2 \u003d 0... Біз соңғы теңдікті қайта жазу үшін сандардағы әрекеттердің қасиеттерін қолданамыз (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) \u003d 0... Екі санның көбейтіндісі нөлге тең болатыны белгілі, егер сандардың кем дегенде біреуі нөлге тең болса ғана. Жоғарыда айтылғандардан шығады x 1 - x 2 \u003d 0 және / немесе x 1 + x 2 \u003d 0бұл бірдей x 2 \u003d x 1 және / немесе x 2 \u003d - x 1... Бастапқыда теңдеудің түбірі деп келісілгендіктен айқын қайшылық пайда болды x 2 ерекшеленеді x 1 және - x 1... Сонымен, біз теңдеудің x \u003d - c a және x \u003d - - c a-дан басқа түбірі жоқ екенін дәлелдедік.

Біз жоғарыда келтірілген барлық ойларды қорытындылаймыз.

Анықтама 6

Толымсыз квадрат теңдеу a x 2 + c \u003d 0 теңдеуі x 2 \u003d - c a, ол:

• үшін тамыр болмайды - c a< 0 ;
• x \u003d - c a және x \u003d - - c a екі түбірге ие болады - c a\u003e 0.

Теңдеулерді шешуге мысалдар келтірейік a x 2 + c \u003d 0.

3-мысал

Квадрат теңдеу берілген 9 x 2 + 7 \u003d 0.Оның шешімін табу керек.

Шешім

Біз бос мүшені теңдеудің оң жағына жібереміз, содан кейін теңдеу форманы алады 9 x 2 \u003d - 7.
Алынған теңдеудің екі жағын да бөлеміз 9 , біз x 2 \u003d - 7 9 жетеміз. Оң жағында біз минус белгісі бар санды көреміз, бұл дегеніміз: берілген теңдеуде түбір жоқ. Сонда бастапқы толық емес квадрат теңдеу 9 x 2 + 7 \u003d 0 тамыры болмайды.

Жауап: теңдеу 9 x 2 + 7 \u003d 0тамыры жоқ.

4 мысал

Бұл теңдеуді шешу керек - x 2 + 36 \u003d 0.

Шешім

36-ны оң жаққа жылжытыңыз: - x 2 \u003d - 36.
Екі бөлікті де бөліп көрейік − 1 , Біз алып жатырмыз x 2 \u003d 36... Оң жағында оң сан орналасқан, одан қорытынды жасауға болады x \u003d 36 немесе x \u003d - 36.
Түбірді шығарып, соңғы нәтижені жаз: толық емес квадрат теңдеу - x 2 + 36 \u003d 0 екі тамыры бар x \u003d 6 немесе x \u003d - 6.

Жауап: x \u003d 6 немесе x \u003d - 6.

A x 2 + b x \u003d 0 теңдеуінің шешімі

Толымсыз квадрат теңдеулердің үшінші түрін, қай кезде, талдайық c \u003d 0... Толымсыз квадрат теңдеудің шешімін табу үшін a x 2 + b x \u003d 0, біз факторизация әдісін қолданамыз. Жақшадан тыс ортақ көбейткішті алып, теңдеудің сол жағындағы көпмүшені көбейтеміз х... Бұл қадам бастапқы толық емес квадрат теңдеуді оның эквивалентіне айналдыруға мүмкіндік береді x (a x + b) \u003d 0... Ал бұл теңдеу, өз кезегінде, теңдеулер жиынтығына балама x \u003d 0 және a x + b \u003d 0... Теңдеу a x + b \u003d 0 сызықтық, және оның түбірі: x \u003d - b a.

7 анықтама

Сонымен толық емес квадрат теңдеу a x 2 + b x \u003d 0 екі тамырға ие болады x \u003d 0 және x \u003d - b a.

Материалды мысалмен түзетейік.

Мысал 5

2 3 x 2 - 2 2 7 x \u003d 0 теңдеуінің шешімін табу керек.

Шешім

Шығарып алу х жақшаға алып, x · 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0 теңдеуін алыңыз. Бұл теңдеу теңдеулерге балама x \u003d 0 және 2 3 x - 2 2 7 \u003d 0. Енді алынған сызықтық теңдеуді шешу керек: 2 3 · x \u003d 2 2 7, x \u003d 2 2 7 2 3.

Біз теңдеудің шешімін қысқаша былай жазамыз:

2 3 x 2 - 2 2 7 x \u003d 0 x 2 3 x - 2 2 7 \u003d 0

x \u003d 0 немесе 2 3 x - 2 2 7 \u003d 0

x \u003d 0 немесе x \u003d 3 3 7

Жауап: x \u003d 0, x \u003d 3 3 7.

Дискриминант, квадрат теңдеу түбірлерінің формуласы

Квадрат теңдеудің шешімін табу үшін түбірлік формула бар:

8 анықтама

x \u003d - b ± D 2 a, мұндағы D \u003d b 2 - 4 a c - квадрат теңдеудің дискриминанты деп аталатын.

X \u003d - b ± D 2 · жазбасы мәні x 1 \u003d - b + D 2 · a, x 2 \u003d - b - D 2 · a дегенді білдіреді.

Көрсетілген формуланың қалай алынғанын және оны қалай қолдануға болатындығын түсіну артық болмайды.

Квадрат теңдеудің түбірлерінің формуласын шығару

Квадрат теңдеуді шешу міндетіне кезіктейік a x 2 + b x + c \u003d 0... Бірқатар балама түрлендірулер жүргізейік:

• теңдеудің екі жағын да санға бөлу а, нөлден басқа, келтірілген квадрат теңдеуді аламыз: x 2 + b a · x + c a \u003d 0;
• алынған теңдеудің сол жағындағы толық квадратты таңдаңыз:
  x 2 + ba x + ca \u003d x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + ca \u003d \u003d x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + шамамен
  Осыдан кейін теңдеу келесідей болады: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a \u003d 0;
• енді таңбаны қарама-қарсы етіп өзгерту арқылы соңғы екі мүшені оң жаққа ауыстыруға болады, содан кейін мынаны аламыз: x + b 2 · a 2 \u003d b 2 · a 2 - c a;
• ақырында, соңғы теңдіктің оң жағында жазылған өрнекті өзгертеміз:
  b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2.

Осылайша, біз x + b 2 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2 теңдеуіне келдік, бұл бастапқы теңдеуге тең a x 2 + b x + c \u003d 0.

Біз алдыңғы абзацтарда осындай теңдеулердің шешімін талдадық (толық емес квадрат теңдеулердің шешімі). Жиналған тәжірибе x + b 2 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2 теңдеуінің түбірлеріне қатысты қорытынды жасауға мүмкіндік береді:

• b 2 - 4 a c 4 a 2 кезінде< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• b 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d 0 теңдеуі x + b 2 a 2 \u003d 0 түріне ие, содан кейін x + b 2 a \u003d 0.

Демек, x \u003d - b 2 · a жалғыз түбірі айқын;

• b 2 - 4 a c 4 a 2\u003e 0 үшін бұл дұрыс болады: x + b 2 a \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2 немесе x \u003d b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2, бұл x + - b 2 a \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2 немесе x \u003d - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2, яғни. теңдеудің екі түбірі бар.

X + b 2 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2 теңдеуінің түбірлерінің болуы немесе болмауы (демек, бастапқы теңдеу) b 2 - 4 a c 4 өрнегінің белгісіне байланысты деген тұжырым жасауға болады. · Оң жағында 2 жазылған. Және бұл өрнектің белгісі нумеративтің, (бөлгіштің) белгісімен белгіленеді 4 a 2 әрқашан позитивті болады), яғни өрнектің белгісі b 2 - 4 a c... Бұл өрнек b 2 - 4 a c атау берілген - квадрат теңдеудің дискриминанты және D әрпі оны белгілеу ретінде анықталады. Мұнда дискриминанттың мәнін жазуға болады - оның мәні мен белгісі бойынша, квадрат теңдеудің нақты түбірлері бола ма, жоқ па, егер солай болса, түбірлер саны қандай - бір немесе екі.

X + b 2 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2 теңдеуіне оралайық. Біз оны дискриминанттың белгілерін пайдаланып қайта жазамыз: x + b 2 · a 2 \u003d D 4 · a 2.

Келесі тұжырымдарды тұжырымдап көрейік:

9 анықтама

• кезінде Д.< 0 теңдеудің нақты түбірлері жоқ;
• кезінде D \u003d 0 теңдеудің x \u003d - b 2 · a бір түбірі бар;
• кезінде D\u003e 0 теңдеудің екі түбірі бар: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 немесе x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. Радикалдардың қасиеттеріне негізделген бұл түбірлерді келесі түрде жазуға болады: x \u003d - b 2 a + D 2 a немесе - b 2 a - D 2 a. Ал модульдерді ашып, бөлшектерді ортақ бөлгішке келтіргенде: x \u003d - b + D 2 · a, x \u003d - b - D 2 · a аламыз.

Сонымен, біздің пайымдауымыздың нәтижесі квадрат теңдеудің түбірлерінің формуласын шығару болды:

x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a, дискриминант Д. формула бойынша есептеледі D \u003d b 2 - 4 a c.

Бұл формулалар дискриминант нөлден үлкен болған кезде екі нақты түбірді де анықтауға мүмкіндік береді. Дискриминант нөлге тең болған кезде, екі формуланы қолдану квадрат теңдеудің жалғыз шешімі сияқты түбір береді. Квадрат түбір формуласын қолдануға тырысатын дискриминант теріс болған жағдайда, біз теріс санның квадрат түбірін шығару қажеттілігімен бетпе-бет келеміз, бұл бізді нақты сандардан асырып жібереді. Теріс дискриминант кезінде квадрат теңдеудің нақты түбірлері болмайды, бірақ біз алған түбірлік формулалармен анықталатын жұп күрделі конъюгаталық түбірлер мүмкін.

Квадрат теңдеулерді түбірлік формулалар көмегімен шешу алгоритмі

Квадрат теңдеуді бірден түбір формуласын қолдану арқылы шешуге болады, бірақ негізінен бұл күрделі түбірлерді табу қажет болғанда жасалады.

Көп жағдайда бұл күрделі емес, квадрат теңдеудің нақты түбірлерін іздеуге арналған. Содан кейін квадрат теңдеудің түбірлерінің формулаларын қолданар алдында алдымен дискриминантты анықтап, оның теріс емес екендігіне көз жеткізу оңтайлы болады (әйтпесе теңдеудің нақты түбірлері жоқ деген қорытындыға келеміз), содан кейін түбірлердің мәндерін есептеуге көшеміз.

Жоғарыда келтірілген пайымдаулар квадрат теңдеуді шешудің алгоритмін құруға мүмкіндік береді.

Анықтама 10

Квадрат теңдеуді шешу үшін a x 2 + b x + c \u003d 0, Бұл қажетті:

• формула бойынша D \u003d b 2 - 4 a c дискриминанттың мәнін табу;
• д.< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• d \u003d 0 үшін x \u003d - b 2 · a формуласы бойынша теңдеудің жалғыз түбірін табыңыз;
• d\u003e 0 үшін x \u003d - b ± D 2 · a формуласы бойынша квадрат теңдеудің екі нақты түбірін анықта.

Дискриминант нөлге тең болған кезде x \u003d - b ± D 2 · a формуласын қолдануға болатындығын ескеріңіз, ол x \u003d - b 2 · a формуласымен бірдей нәтиже береді.

Енді бірнеше мысал қарастырайық.

Квадрат теңдеулерді шешудің мысалдары

Дискриминанттың әртүрлі мәндеріне мысалдар шешімін келтірейік.

6-мысал

Теңдеудің түбірлерін табу керек x 2 + 2 x - 6 \u003d 0.

Шешім

Квадрат теңдеудің сандық коэффициенттерін жазайық: a \u003d 1, b \u003d 2 және c \u003d - 6... Әрі қарай, біз алгоритмге сәйкес әрекет етеміз, яғни. дискриминантты есептей бастайық, ол үшін а, b коэффициенттерін ауыстырамыз және в дискриминантты формулаға: D \u003d b 2 - 4 a c \u003d 2 2 - 4 1 (- 6) \u003d 4 + 24 \u003d 28.

Сонымен, біз D\u003e 0 алдық, яғни бастапқы теңдеуде екі нақты түбір болады.
Оларды табу үшін x \u003d - b ± D 2 · a түбірлік формуласын қолданамыз және сәйкес мәндерді ауыстырып аламыз: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Алынған өрнекті факторды түбір белгісінен тыс алып, содан кейін бөлшекті азайту арқылы жеңілдетейік:

x \u003d - 2 ± 2 7 2

x \u003d - 2 + 2 7 2 немесе x \u003d - 2 - 2 7 2

x \u003d - 1 + 7 немесе x \u003d - 1 - 7

Жауап: x \u003d - 1 + 7, x \u003d - 1 - 7.

7-мысал

Квадрат теңдеуді шешу керек - 4 x 2 + 28 x - 49 \u003d 0.

Шешім

Дискриминантты анықтайық: D \u003d 28 2 - 4 (- 4) (- 49) \u003d 784 - 784 \u003d 0... Дискриминанттың осы мәнімен бастапқы теңдеудің x \u003d - b 2 · a формуласымен анықталатын бір ғана түбірі болады.

x \u003d - 28 2 (- 4) x \u003d 3, 5

Жауап: x \u003d 3, 5.

8-мысал

Бұл теңдеуді шешу керек 5 y 2 + 6 y + 2 \u003d 0

Шешім

Бұл теңдеудің сандық коэффициенттері: a \u003d 5, b \u003d 6 және c \u003d 2 болады. Дискриминантты табу үшін осы мәндерді қолданамыз: D \u003d b 2 - 4 · a · c \u003d 6 2 - 4 · 5 · 2 \u003d 36 - 40 \u003d - 4. Есептелген дискриминант теріс, сондықтан бастапқы квадрат теңдеудің нақты түбірлері жоқ.

Күрделі түбірлерді көрсету міндеті қойылған жағдайда, біз күрделі сандармен әрекеттерді орындай отырып, тамырларға арналған формуланы қолданамыз:

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 i 10 немесе x \u003d - 6 - 2 i 10,

x \u003d - 3 5 + 1 5 i немесе x \u003d - 3 5 - 1 5 i.

Жауап: жарамды тамырлар жоқ; күрделі тамырлар келесідей: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

Мектеп бағдарламасында күрделі тамырларды іздеудің стандартты талабы жоқ, сондықтан егер шешім барысында дискриминант теріс деп анықталса, нақты тамырлардың жоқ екендігі туралы жауап бірден жазылады.

Тіпті екінші коэффициенттердің түбірлік формуласы

X \u003d - b ± D 2 a (D \u003d b 2 - 4 a) түбірлерінің формуласы n, мысалы, 2 3 немесе 14 лн 5 \u003d 2 7 лн 5). Осы формула қалай алынғанын көрсетейік.

Бізге a x 2 + 2 n x + c \u003d 0 квадрат теңдеуінің шешімін табу міндеті тұр делік. Біз алгоритм бойынша әрекет етеміз: D \u003d (2 n) 2 - 4 a c \u003d 4 n 2 - 4 a c \u003d 4 (n 2 - a c) дискриминантын анықтаймыз, содан кейін түбір формуласын қолданамыз:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x \u003d - n ± n 2 - ca.

N 2 - a · c өрнегін D 1 деп белгілейік (кейде оны D «деп белгілейді). Сонда екінші n коэффициенті 2 n-мен қарастырылатын квадрат теңдеудің түбірлерінің формуласы келесі түрге ие болады:

x \u003d - n ± D 1 a, мұндағы D 1 \u003d n 2 - a · c.

D \u003d 4 · D 1 немесе D 1 \u003d D 4 екенін байқау қиын емес. Басқаша айтқанда, D 1 - дискриминанттың төрттен бірі. D 1 таңбасы D таңбасымен бірдей екендігі анық, демек D 1 таңбасы квадрат теңдеудің түбірлерінің бар немесе жоқтығының индикаторы ретінде де қызмет ете алады.

Анықтама 11

Сонымен, 2 n екінші коэффициенті бар квадрат теңдеудің шешімін табу үшін:

• d 1 \u003d n 2 - a · c табу;
• d 1-де< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• d 1 \u003d 0 болғанда, теңдеудің жалғыз түбірін х \u003d - n a формуласы бойынша анықта;
• d 1\u003e 0 үшін x \u003d - n ± D 1 a формуласы бойынша екі нақты түбірді анықтаңыз.

9-мысал

5 x 2 - 6 x - 32 \u003d 0 квадрат теңдеуін шешу керек.

Шешім

Берілген теңдеудің екінші коэффициентін 2 · (- 3) түрінде көрсетуге болады. Содан кейін біз берілген квадрат теңдеуді 5 x 2 + 2 (- 3) x - 32 \u003d 0 түрінде қайта жазамыз, мұндағы a \u003d 5, n \u003d - 3 және c \u003d - 32.

Дискриминанттың төртінші бөлігін есептейік: D 1 \u003d n 2 - a c \u003d (- 3) 2 - 5 (- 32) \u003d 9 + 160 \u003d 169. Алынған мән оң, яғни теңдеудің екі нақты түбірі бар екенін білдіреді. Біз оларды тиісті түбір формуласымен анықтаймыз:

x \u003d - n ± D 1 a, x \u003d - - 3 ± 169 5, x \u003d 3 ± 13 5,

x \u003d 3 + 13 5 немесе x \u003d 3 - 13 5

x \u003d 3 1 5 немесе x \u003d - 2

Квадрат теңдеудің түбірлеріне арналған әдеттегі формуланы пайдаланып есептеулер жүргізуге болар еді, бірақ бұл жағдайда шешім анағұрлым күрделі болар еді.

Жауап: x \u003d 3 1 5 немесе x \u003d - 2.

Квадрат теңдеулерді жеңілдету

Кейде түпнұсқа теңдеу формасын оңтайландыруға болады, бұл түбірлерді есептеу процесін жеңілдетеді.

Мысалы, 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 квадрат теңдеуі шешуге 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0 қарағанда ыңғайлы екені анық.

Көбінесе квадрат теңдеу формасын жеңілдету оның екі бөлігін белгілі бір санға көбейту немесе бөлу арқылы жүзеге асырылады. Мысалы, жоғарыда 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0 теңдеуінің оңайлатылған жазуын көрсеттік, оның екі бөлігін де 100-ге бөлгенде алынған.

Мұндай түрлендіру квадрат теңдеудің коэффициенттері екінші сандар болмаған жағдайда мүмкін болады. Содан кейін олар теңдеудің екі жағын да ең үлкен ортақ бөлгішке бөледі абсолютті мәндер оның коэффициенттері.

Мысал ретінде біз 12 x 2 - 42 x + 48 \u003d 0 квадрат теңдеуін қолданамыз. Оның коэффициенттерінің абсолютті мәндерінің GCD анықтаңыз: GCD (12, 42, 48) \u003d GCD (GCD (12, 42), 48) \u003d GCD (6, 48) \u003d 6. Бастапқы квадрат теңдеудің екі жағын да 6-ға бөліп, 2 x 2 - 7 x + 8 \u003d 0 эквивалентті квадрат теңдеуін аламыз.

Квадрат теңдеудің екі жағын да көбейту арқылы, әдетте, бөлшек коэффициенттерден арыласың. Бұл жағдайда оның коэффициенттерінің бөлгіштерінің ең кіші ортақ еселігіне көбейтіңіз. Мысалы, егер 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 квадрат теңдеуінің әрбір бөлігі LCM (6, 3, 1) \u003d 6-ға көбейтілсе, онда ол қарапайым түрінде жазылады x 2 + 4 x - 18 \u003d 0.

Сонымен, біз әрдайым дерлік әрдайым теңдеудің әрбір мүшесінің белгілерін өзгерте отырып, квадрат теңдеудің бірінші коэффициентінде минустан құтылатындығымызды ескертеміз, оған екі бөлікті - 1-ге көбейту (немесе бөлу) арқылы қол жеткіземіз. Мысалы, - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0 квадрат теңдеуінен оның 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0 оңайлатылған нұсқасына өтуге болады.

Түбірлер мен коэффициенттер арасындағы байланыс

X \u003d - b ± D 2 · a квадрат теңдеу түбірлерінің бұрыннан белгілі формуласы теңдеудің түбірлерін оның сандық коэффициенттері арқылы өрнектейді. Осы формула негізінде түбірлер мен коэффициенттер арасындағы басқа тәуелділіктерді анықтай аламыз.

Ең танымал және қолданылатын Вьетнам теоремасының формулалары:

x 1 + x 2 \u003d - b a және x 2 \u003d c a.

Атап айтқанда, берілген квадрат теңдеу үшін түбірлердің қосындысы қарама-қарсы таңбалы екінші коэффициент, ал түбірлердің көбейтіндісі бос мүшеге тең. Мысалы, 3 x 2 - 7 x + 22 \u003d 0 квадрат теңдеуінің формасы бойынша оның түбірлерінің қосындысы 7 3, ал түбірлерінің көбейтіндісі 22 3 болатындығын бірден анықтауға болады.

Квадрат теңдеудің түбірлері мен коэффициенттері арасындағы бірқатар басқа қатынастарды да табуға болады. Мысалы, квадрат теңдеу түбірлерінің квадраттарының қосындысын коэффициенттер арқылы көрсетуге болады:

x 1 2 + x 2 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 \u003d - ba 2 - 2 ca \u003d b 2 a 2 - 2 ca \u003d b 2 - 2 a ca 2018-04-21 121 2.

Егер сіз мәтінде қате байқасаңыз, оны таңдап, Ctrl + Enter пернелерін басыңыз

Бұл тақырып көптеген қиын формулаларға байланысты басында қорқынышты болып көрінуі мүмкін. Квадрат теңдеулердің өзінде ұзақ жазбалар ғана емес, сонымен қатар түбірлер дискриминант арқылы табылады. Барлығы үш жаңа формула бар. Есте сақтау оңай емес. Мұндай теңдеулерді жиі шешкеннен кейін ғана мүмкін болады. Сонда барлық формулалар өздері есінде қалады.

Квадрат теңдеудің жалпы көрінісі

Мұнда алдымен жоғары дәреже, содан кейін кему ретімен жазылған кезде оларды нақты жазу ұсынылады. Шарттар ретсіз болған жағдайлар жиі кездеседі. Онда теңдеуді айнымалының дәрежесінің кему ретімен қайта жазған дұрыс.

Белгілерді енгізейік. Олар төмендегі кестеде көрсетілген.

Егер біз осы белгілерді қабылдасақ, барлық квадрат теңдеулер келесі жазбаға келтіріледі.

Сонымен қатар, a ≠ 0. коэффициенті, бұл формула бірінші санмен белгіленсін.

Теңдеу берілгенде, оның жауабы қанша түбірден тұратыны белгісіз. Үш нұсқаның бірі әрқашан мүмкін болғандықтан:

• шешім екі тамырдан тұрады;
• жауап бір сан;
• теңдеудің түбірі болмайды.

Шешім соңына дейін жеткізілмегенше, нақты жағдайда нұсқалардың қайсысы түсетінін түсіну қиын.

Квадрат теңдеулерді жазудың түрлері

Тапсырмаларда олардың әр түрлі жазбалары болуы мүмкін. Олар әрқашан жалпы квадрат теңдеуге ұқсамайды. Кейде оған кейбір шарттар жетіспейді. Жоғарыда жазылғаны - толық теңдеу. Егер сіз ондағы екінші немесе үшінші мүшені алып тастасаңыз, сіз басқаша нәрсе аласыз. Бұл жазбалар квадрат теңдеулер деп те аталады, тек толық емес.

Оның үстіне, «b» және «c» коэффициенттері болатын терминдер ғана жойылуы мүмкін. «А» саны ешқандай жағдайда нөлге тең бола алмайды. Себебі бұл жағдайда формула сызықтық теңдеуге айналады. Толтырылмаған теңдеулер формулалары келесідей болады:

Сонымен, тек екі түрі бар, толық түрлерінен басқа, толық емес квадрат теңдеулер де бар. Бірінші формула екінші сан, ал екінші сан үш болсын.

Дискриминант және тамырлар санының оның мәніне тәуелділігі

Теңдеудің түбірлерін есептеу үшін сізге осы санды білу қажет. Квадрат теңдеудің формуласына қарамастан оны әрқашан есептеуге болады. Дискриминантты есептеу үшін төменде жазылған теңдікті қолдану керек, оған төрт саны шығады.

Коэффициенттердің мәндерін осы формулаға ауыстырғаннан кейін таңбалары әртүрлі сандарды алуға болады. Егер жауап иә болса, онда теңдеудің жауабы екі түрлі түбір болады. Егер сан теріс болса, квадрат теңдеудің түбірлері болмайды. Егер ол нөлге тең болса, жауап бір болады.

Толық квадрат теңдеу қалай шешіледі?

Іс жүзінде бұл мәселені қарау басталды. Себебі алдымен дискриминантты табу керек. Квадрат теңдеудің түбірлері болатындығы және олардың саны белгілі болғаннан кейін, айнымалылар үшін формулаларды қолдану керек. Егер екі тамыр болса, онда сіз бұл формуланы қолдануыңыз керек.

Онда «±» белгісі болғандықтан, екі мән болады. Квадрат түбір өрнегі дискриминант болып табылады. Сондықтан формуланы басқаша түрде жазуға болады.

Формула нөмірі бес. Сол жазба көрсеткендей, егер дискриминант нөлге тең болса, онда екі түбір де бірдей мәнге ие болады.

Егер квадрат теңдеудің шешімі әлі өңделмеген болса, онда дискриминантты және айнымалы формулаларды қолданар алдында барлық коэффициенттердің мәндерін жазып алған дұрыс. Кейінірек бұл сәтте қиындықтар болмайды. Бірақ ең басында шатасушылық бар.

Толымсыз квадрат теңдеу қалай шешіледі?

Мұнда бәрі әлдеқайда қарапайым. Тіпті қосымша формулалардың қажеті жоқ. Сізге дискриминант пен белгісіз үшін жазылғандардың қажеті жоқ.

Алдымен, толық емес теңдеудің екінші нөмірін қарастырыңыз. Бұл теңдікте жақшадан белгісіз шаманы алып, жақшада қалатын сызықтық теңдеуді шешу керек. Жауаптың екі тамыры болады. Біріншісі міндетті түрде нөлге тең, өйткені айнымалының өзінен тұратын фактор бар. Екіншісі сызықтық теңдеуді шешкен кезде алынады.

Толық емес үштік теңдеуді санды теңдеудің сол жағынан оңға ауыстыру арқылы шешеді. Содан кейін белгісізге қараған коэффициентке бөлу керек. Тек квадрат түбірді шығару және оны қарама-қарсы белгілермен екі рет жазуды ұмытпау қалады.

Әрі қарай, квадрат теңдеулерге айналатын барлық теңдіктерді шешуді үйренуге көмектесетін бірнеше әрекеттер жазылған. Олар студенттің зейінсіздікке байланысты қателіктерден аулақ болуына көмектеседі. Бұл кемшіліктер кең тақырыпты оқуда нашар оқудың себебі болып табылады » Квадрат теңдеулер (8-сынып) »тақырыбында өтті. Кейіннен бұл әрекеттерді үнемі орындау қажет болмайды. Себебі тұрақты шеберлік пайда болады.

• Алдымен теңдеуді стандартты түрде жазу керек. Яғни, алдымен айнымалының ең жоғары дәрежесі бар мүше, содан кейін - дәрежесіз және соңғысы - тек сан.

• Егер «а» коэффициентінің алдында минус пайда болса, онда бұл бастаушыға квадрат теңдеулерді зерттеу жұмысын қиындатуы мүмкін. Одан құтылу жақсы. Ол үшін барлық теңдікті «-1» -ге көбейту керек. Демек, барлық шарттар өз таңбасын керісінше өзгертеді.

• Дәл осылай фракциялардан құтылу ұсынылады. Бөлгіштерді алып тастау үшін теңдеуді сәйкес коэффициентке көбейтіңіз.

Мысалдары

Келесі квадрат теңдеулерді шешу қажет:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2х - х 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x \u003d 0;

12x + x 2 + 36 \u003d 0;

(x + 1) 2 + x + 1 \u003d (x + 1) (x + 2).

Бірінші теңдеу: x 2 - 7x \u003d 0. Ол толық емес, сондықтан оны екінші санның формуласында сипатталғандай шешеді.

Жақшадан шыққаннан кейін келесідей болады: x (x - 7) \u003d 0.

Бірінші түбір мәнді қабылдайды: x 1 \u003d 0. Екіншісі сызықтық теңдеуден шығады: x - 7 \u003d 0. x 2 \u003d 7 екенін байқау қиын емес.

Екінші теңдеу: 5х 2 + 30 \u003d 0. Тағы да толық емес. Тек үшінші формула үшін сипатталғандай шешіледі.

30 теңдіктің оң жағына ауыстырғаннан кейін: 5х 2 \u003d 30. Енді 5-ке бөлу керек. Бұдан шығады: x 2 \u003d 6. Жауаптар сандар болады: x 1 \u003d -6, x 2 \u003d - √6.

Үшінші теңдеу: 15 - 2х - х 2 \u003d 0. Бұдан әрі квадрат теңдеулерді оларды қайта жазудан бастаймыз стандартты көрініс: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. Енді екіншісін қолданатын кез келді пайдалы кеңестер және бәрін минус біреуіне көбейтіңіз. X 2 + 2x - 15 \u003d 0. шығады. Төртінші формула бойынша дискриминантты есептеу керек: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. Бұл оң сан. Жоғарыда айтылғандардан теңдеудің екі түбірі бар екені анықталды. Оларды бесінші формула арқылы есептеу керек. X \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Сонда x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5 болады.

Төртінші теңдеу x 2 + 8 + 3x \u003d 0 келесіге айналады: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Оның дискриминанты осы мәнге тең: -23. Бұл сан теріс болғандықтан, бұл тапсырманың жауабы келесі жазба болады: «Тамыр жоқ».

Бесінші теңдеу 12х + х 2 + 36 \u003d 0 келесідей түрде жазылуы керек: х 2 + 12х + 36 \u003d 0. Дискриминант формуласын қолданғаннан кейін нөл саны шығады. Бұл оның бір түбірге ие болатындығын білдіреді, атап айтқанда: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

Алтыншы теңдеу (x + 1) 2 + x + 1 \u003d (x + 1) (x + 2) түрлендірулерді қажет етеді, олар жақшаларды ашпас бұрын, ұқсас мүшелерді келтіру қажет екендігінде. Біріншісінің орнында осындай өрнек болады: x 2 + 2x + 1. Теңдіктен кейін бұл жазба пайда болады: x 2 + 3x + 2. Мұндай мүшелер есептелгеннен кейін теңдеу келесі түрге ие болады: x 2 - x \u003d 0. Ол толық емес болып шықты ... Осыған ұқсас нәрсе сәл жоғары болып саналды. Мұның түбірлері 0 және 1 сандары болады.

Біз «тақырыпты зерттеуді жалғастырамыз теңдеулерді шешу«. Біз сызықтық теңдеулермен кездесіп, танысуға көштік квадрат теңдеулер.

Алдымен біз квадрат теңдеу дегеніміз не, ол жалпы түрде қалай жазылатындығын талдап, соған байланысты анықтамалар береміз. Осыдан кейін мысалдарды қолданып, толық емес квадрат теңдеулер қалай шешілетінін егжей-тегжейлі талдаймыз. Содан кейін біз толық теңдеулерді шешуге көшеміз, түбірлердің формуласын аламыз, квадрат теңдеудің дискриминантымен танысамыз және типтік мысалдардың шешімдерін қарастырамыз. Соңында түбірлер мен коэффициенттер арасындағы байланысты анықтайық.

Бетті шарлау.

Квадрат теңдеу дегеніміз не? Олардың түрлері

Алдымен сізге квадрат теңдеу дегеннің не екенін түсінуіңіз керек. Сондықтан квадрат теңдеу туралы, онымен байланысты анықтамалар сияқты квадрат теңдеулер туралы әңгіме бастау қисынды. Осыдан кейін квадрат теңдеулердің негізгі түрлерін қарастыруға болады: кішірейтілген және кішірейтілген емес, сонымен қатар толық және толық емес теңдеулер.

Квадрат теңдеудің анықтамасы және мысалдары

Анықтама.

Квадрат теңдеу Бұл форманың теңдеуі a x 2 + b x + c \u003d 0 , мұндағы х - айнымалы, а, b және с - кейбір сандар, ал а - нөл емес.

Квадрат теңдеулерді көбінесе екінші дәрежелі теңдеулер деп атайды делік. Квадрат теңдеуі мынаған байланысты алгебралық теңдеу екінші дәреже.

Дыбыстық анықтама квадрат теңдеулерге мысалдар келтіруге мүмкіндік береді. Сонымен 2 x 2 + 6 x + 1 \u003d 0, 0,2 x 2 + 2,5 x + 0,03 \u003d 0 және т.б. Квадрат теңдеу болып табылады

Анықтама.

Сандар а, в және с деп аталады квадрат теңдеу коэффициенттері a x 2 + b x + c \u003d 0, ал а коэффициенті бірінші, немесе ең үлкен, немесе х 2-дегі коэффициент деп аталады, b екінші коэффициент, немесе х-дағы коэффициент, ал с - бос мүше.

Мысалы, 5х2 −2x3 \u003d 0 түріндегі квадрат теңдеуді алайық, мұнда жетекші коэффициент 5, екінші коэффициент −2, ал кесінді −3. B және / немесе с коэффициенттері жаңа келтірілген мысалдағыдай теріс болған кезде, квадрат теңдеудің қысқа формасы 5 x 2 + (- 2 емес, 5 x 2 −2 x - 3 \u003d 0) болатынын ескеріңіз. ) X + (- 3) \u003d 0.

A және / немесе b коэффициенттері 1 немесе −1-ге тең болғанда, олар көбінесе квадрат теңдеуде айқын көрінбейтінін ескеру керек, бұл осындай жазудың ерекшеліктеріне байланысты. Мысалы, y 2 −y + 3 \u003d 0 квадрат теңдеуінде жетекші коэффициент бір, ал у кезіндегі коэффициент −1 болады.

Кішірейтілген және төмендетілмеген квадрат теңдеулер

Кішірейтілген және төмендетілмеген квадрат теңдеулер жетекші коэффициенттің мәніне байланысты ажыратылады. Тиісті анықтамаларды келтірейік.

Анықтама.

Жетекші коэффициенті 1 болатын квадрат теңдеу деп аталады келтірілген квадрат теңдеу... Олай болмаған жағдайда, квадрат теңдеу болады төмендетілмеген.

Сәйкес бұл анықтама, квадрат теңдеулер x 2 −3 x + 1 \u003d 0, x 2 −x - 2/3 \u003d 0 және т.б. - берілген, олардың әрқайсысында бірінші коэффициент біреуіне тең. Ал 5 x 2 −x - 1 \u003d 0 және т.б. - төмендетілмеген квадрат теңдеулер, олардың жетекші коэффициенттері 1-ден өзгеше.

Кез-келген төмендетілмеген квадрат теңдеудің екі бөлігін де жетекші коэффициентке бөлу арқылы сіз кішірейтілгенге бара аласыз. Бұл әрекет эквивалентті түрлендіру болып табылады, яғни осы жолмен алынған кішірейтілген квадрат теңдеудің түпнұсқасы азайтылмаған квадрат теңдеу сияқты түбірлері бар немесе ол сияқты түбірлер жоқ.

Төмендетілмеген квадрат теңдеуден келтірілгенге теңдеу қалай жүзеге асатынын мысалмен талдап көрейік.

Мысал.

3 x 2 + 12 x - 7 \u003d 0 теңдеуінен сәйкес келтірілген квадрат теңдеуге өтіңіз.

Шешім.

Бізге тек бастапқы теңдеудің екі жағын да жетекші фактор 3-ке бөлу керек, ол нөлдік емес, сондықтан біз бұл әрекетті орындай аламыз. Бізде (3 x 2 + 12 x - 7): 3 \u003d 0: 3, ол бірдей, (3 x 2): 3+ (12 x): 3−7: 3 \u003d 0 және одан әрі (3: 3) x 2 + (12: 3) x - 7: 3 \u003d 0, қайдан. Сонымен, біз бастапқыға баламалы қысқартылған квадрат теңдеуді алдық.

Жауап:

Толық және толық емес квадрат теңдеулер

Квадрат теңдеудің анықтамасында a ≠ 0 шарты бар. Бұл шарт a x 2 + b x + c \u003d 0 теңдеуі дәл квадраттық болу үшін қажет, өйткені a \u003d 0 кезінде ол шын мәнінде b x + c \u003d 0 түріндегі сызықтық теңдеуге айналады.

B және c коэффициенттеріне келетін болсақ, олар бөлек те, бірге де нөлге тең болуы мүмкін. Бұл жағдайларда квадрат теңдеу толық емес деп аталады.

Анықтама.

A x 2 + b x + c \u003d 0 квадрат теңдеуі деп аталады толық емесегер b коэффициенттерінің кем дегенде біреуі нөлге тең болса.

Өз кезегінде

Анықтама.

Толық квадрат теңдеу Барлық коэффициенттер нөлге тең емес теңдеу болып табылады.

Бұл атаулар кездейсоқ қойылмайды. Бұл келесі ойлардан белгілі болады.

Егер b коэффициенті нөлге тең болса, онда квадрат теңдеу a x 2 + 0 x + c \u003d 0 түрін алады және ол a x 2 + c \u003d 0 теңдеуіне тең болады. Егер c \u003d 0, яғни квадрат теңдеу a x 2 + b x + 0 \u003d 0 түріне ие болса, онда оны x 2 + b x \u003d 0 түрінде қайта жазуға болады. Ал b \u003d 0 және c \u003d 0 мәндерімен a x 2 \u003d 0 квадрат теңдеуін аламыз. Алынған теңдеулердің толық квадрат теңдеуден айырмашылығы, олардың сол жағында не айнымалысы бар мүше, не бос мүше, не екеуі де болмайды. Демек олардың атауы - толық емес квадрат теңдеулер.

Демек x 2 + x + 1 \u003d 0 және −2 x 2 −5 x + 0.2 \u003d 0 теңдеулері толық квадрат теңдеулердің мысалдары, ал x 2 \u003d 0, −2 x 2 \u003d 0,5 x 2 + 3 \u003d 0, −x 2 −5 · x \u003d 0 - толық емес квадрат теңдеулер.

Толымсыз квадрат теңдеулерді шешу

Алдыңғы параграфтағы мәліметтерден мыналар шығады толық емес квадрат теңдеулердің үш түрі:

• a x 2 \u003d 0, b \u003d 0 және c \u003d 0 коэффициенттері оған сәйкес келеді;
• b \u003d 0 болған кезде a x 2 + c \u003d 0;
• және с \u003d 0 болған кезде a x 2 + b x \u003d 0.

Осы типтердің әрқайсысының толық емес квадрат теңдеулерінің қалай шешілетіндігін ретімен талдап көрейік.

a x 2 \u003d 0

B және c коэффициенттері нөлге тең болатын, яғни a · x 2 \u003d 0 түріндегі теңдеулерден тұратын толық емес квадрат теңдеулерді шешуден бастайық. A · x 2 \u003d 0 теңдеуі x 2 \u003d 0 теңдеуіне тең, ол түпнұсқадан оның екі бөлігін тең емес а санына бөлу арқылы алынады. 0 2 \u003d 0 болғандықтан, x 2 \u003d 0 теңдеуінің түбірі нөлге тең екені анық. Бұл теңдеуде басқа түбірлер жоқ, ол түсіндіріледі, кез келген нөлдік емес сан үшін p 2\u003e 0 теңсіздігі орындалады, бұдан p p 0 үшін p 2 \u003d 0 теңдігі ешқашан болмайды.

Сонымен, a · x 2 \u003d 0 толық емес квадрат теңдеуінің жалғыз түбірі x \u003d 0 болады.

Мысал ретінде толық емес квадрат теңдеудің шешімін шығарайық −4 · x 2 \u003d 0. X 2 \u003d 0 теңдеуі оған эквивалентті, оның жалғыз түбірі x \u003d 0, сондықтан бастапқы теңдеудің нөлге тең түбірі де бар.

Бұл жағдайда қысқа шешім келесідей тұжырымдалуы мүмкін:
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x \u003d 0.

a x 2 + c \u003d 0

Енді b коэффициенті нөлге, ал с ≠ 0, яғни a · x 2 + c \u003d 0 түріндегі теңдеулер болатын толық емес квадрат теңдеулер қалай шешілетінін қарастырайық. Терминнің теңдеудің екінші жағынан екінші жағына қарама-қарсы таңбамен ауысуы, сондай-ақ теңдеудің екі жағын да нөлдік санға бөлу эквивалентті теңдеу беретінін білеміз. Сондықтан a x 2 + c \u003d 0 толық емес квадрат теңдеуінің келесі эквивалентті түрлендірулерін жүргізе аламыз:

• с-ны оңға қарай жылжытыңыз, ол 2 \u003d −c теңдеуін береді,
• және екі бөлікті де а-ға бөліңіз, аламыз.

Алынған теңдеу оның түбірлері туралы қорытынды жасауға мүмкіндік береді. A және c мәндеріне байланысты өрнектің мәні теріс (мысалы, a \u003d 1 және c \u003d 2 болса, онда) немесе оң, (мысалы, a \u003d -2 және c \u003d 6 болса), ол нөлге тең болмайды. , өйткені c ≠ 0 шарты бойынша. Істерді бөлек қарастырайық.

Егер болса, онда теңдеудің түбірі жоқ. Бұл тұжырым кез-келген санның квадраты теріс емес сан болатынынан шығады. Бұдан шығатыны, кез келген р саны үшін теңдік шындыққа айнала алмайды.

Егер болса, онда теңдеу түбірлерінің жағдайы басқаша болады. Бұл жағдайда, егер сіз есіңізде болса, онда теңдеудің түбірі бірден айқын болады, бұл сан, өйткені. Бұл санның теңдеудің түбірі екенін де болжау қиын емес. Бұл теңдеудің басқа түбірлері жоқ, оны мысалы, қайшылық арқылы көрсетуге болады. Қанекей мынаны істейік.

Тек теңдеудің түбірлерін x 1 және −x 1 деп белгілейік. Теңдеудің x 1 және −x 1 көрсетілген түбірлерден өзгеше тағы бір x 2 түбірі бар делік. Оның түбірлерін теңдеуде х орнына алмастыру теңдеуді нақты сандық теңдікке айналдыратыны белгілі. X 1 және −x 1 үшін бізде, ал x 2 үшін бізде бар. Сандық теңдіктердің қасиеттері нақты сандық теңдіктерді мерзімді түрде азайтуды жүзеге асыруға мүмкіндік береді, сондықтан теңдіктердің сәйкес бөліктерін алып тастағанда x 1 2 −x 2 2 \u003d 0 болады. Сандармен әрекеттің қасиеттері алынған теңдікті (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) \u003d 0 түрінде қайта жазуға мүмкіндік береді. Екі санның көбейтіндісі нөлге тең болатынын, егер олардың ең болмағанда біреуі нөлге тең болса ғана білеміз. Демек, алынған теңдіктен x 1 - x 2 \u003d 0 және / немесе x 1 + x 2 \u003d 0, яғни бірдей, x 2 \u003d x 1 және / немесе x 2 \u003d −x 1 болатындығы шығады. Осылайша біз қайшылыққа жеттік, өйткені біз басында x 2 теңдеуінің түбірі х 1 мен −х 1-ден өзгеше деп айттық. Бұл теңдеудің және-ден басқа түбірі жоқ екенін дәлелдейді.

Осы тармақтың ақпаратын қорытындылайық. Толымсыз квадрат теңдеу a x 2 + c \u003d 0 теңдеуге тең

• егер тамыр жоқ болса,
• екі тамыры бар және, егер.

A · x 2 + c \u003d 0 түріндегі толық емес квадрат теңдеулерді шешудің мысалдарын қарастырайық.

9 x 2 + 7 \u003d 0 квадрат теңдеуінен бастайық. Еркін мүшені теңдеудің оң жағына өткізгеннен кейін ол 9 · x 2 \u003d −7 формасын алады. Алынған теңдеудің екі жағын да 9-ға бөлсек, жетеміз. Оң жағында теріс сан болғандықтан, бұл теңдеудің түбірлері жоқ, сондықтан 9 · x 2 + 7 \u003d 0 бастапқы толық емес квадрат теңдеуінің түбірлері жоқ.

Anotherx 2 + 9 \u003d 0 басқа толық емес квадрат теңдеуді шешіңіз. Тоғызды оңға қарай жылжытыңыз: −x 2 \u003d −9. Енді екі жағын −1-ге бөлеміз, x 2 \u003d 9 аламыз. Оң жағында оң сан бар, одан біз немесе деп қорытынды жасаймыз. Содан кейін соңғы жауабын жазамыз: толық емес квадрат теңдеу −x 2 + 9 \u003d 0 екі түбірден тұрады x \u003d 3 немесе x \u003d −3.

a x 2 + b x \u003d 0

Толық емес квадрат теңдеулердің соңғы түрін с \u003d 0 үшін шешумен айналысуға тура келеді. A x 2 + b x \u003d 0 түріндегі толық емес квадрат теңдеулер шешуге мүмкіндік береді факторизация әдісі... Әрине, біз теңдеудің сол жағында орналасқан бола аламыз, ол үшін х факторын көбейту керек. Бұл бізге бастапқы толық емес квадрат теңдеуден x · (a · x + b) \u003d 0 түріндегі эквивалентті теңдеуге өтуге мүмкіндік береді. Және бұл теңдеу x \u003d 0 және a x + b \u003d 0 екі теңдеудің тіркесіміне эквивалентті, олардың соңғысы сызықтық және түбірі x \u003d −b / a болады.

Сонымен, толық емес квадрат теңдеудің a x 2 + b x \u003d 0 екі түбірі x \u003d 0 және x \u003d −b / a болады.

Материалды бекіту үшін біз нақты мысалдың шешімін талдаймыз.

Мысал.

Теңдеуді шешіңіз.

Шешім.

Жақшаның ішінен х-ны жылжытқанда теңдеу шығады. Бұл x \u003d 0 және екі теңдеуге тең. Алынған сызықтық теңдеуді шешеміз :, және аралас санды жай бөлшекке бөлгеннен кейін табамыз. Демек, бастапқы теңдеудің түбірлері х \u003d 0 және.

Қажетті тәжірибені алғаннан кейін мұндай теңдеулердің шешімдерін қысқаша жазуға болады:

Жауап:

x \u003d 0 ,.

Дискриминант, квадрат теңдеу түбірлерінің формуласы

Квадрат теңдеулерді шешудің түбірлік формуласы бар. Жазайық квадрат формула:, қайда D \u003d b 2 −4 a c - деп аталады квадраттық дискриминант... Белгілеу мәні бойынша осыны білдіреді.

Түбірлік формула қалай алынғанын және оны квадрат теңдеудің түбірлерін табуда қалай қолданылатынын білу пайдалы. Осыны анықтайық.

Квадрат теңдеудің түбірлерінің формуласын шығару

A x 2 + b x + c \u003d 0 квадрат теңдеуін шешу керек делік. Эквивалентті түрлендірулер жүргізейік:

• Бұл теңдеудің екі жағын да нөлдік емес а санына бөле аламыз, нәтижесінде қысқартылған квадрат теңдеу аламыз.
• Қазір толық квадратты таңдаңыз оның сол жағында:. Осыдан кейін теңдеу формада болады.
• Осы кезеңде қарама-қарсы белгісімен оң жаққа соңғы екі терминнің ауысуын жүзеге асыруға болады, бізде бар.
• Сондай-ақ, өрнекті оң жағына өзгертеміз:.

Нәтижесінде біз бастапқы x квадрат теңдеуге тең болатын теңдеуге келеміз a x 2 + b x + c \u003d 0.

Біз бұған дейінгі абзацтарда формасына ұқсас теңдеулерді талдаған кезде шештік. Бұл теңдеудің түбірлеріне қатысты келесі тұжырымдар жасауға мүмкіндік береді:

• егер, онда теңдеудің нақты шешімдері жоқ болса;
• егер, онда теңдеудің формасы болады, сондықтан оның жалғыз түбірі қайдан көрінеді;
• егер, онда немесе, ол бірдей болса, немесе теңдеудің екі түбірі болса.

Сонымен, теңдеу түбірлерінің, демек, бастапқы квадрат теңдеудің болуы немесе болмауы оң жақтағы өрнектің белгісіне байланысты. Өз кезегінде, бұл өрнектің белгісі бөлгіштің белгісімен анықталады, өйткені 4 · a 2 бөлгіш әрдайым оң болады, яғни b 2 −4 · a · c өрнектің таңбасы. Бұл өрнек b 2 −4 a c деп аталды квадрат теңдеудің дискриминанты және әріппен белгіленген Д.... Осыдан дискриминанттың мәні түсінікті - оның мәні мен белгісі бойынша квадрат теңдеудің нақты түбірлері бар ма, жоқ болса, олардың саны қандай - бір немесе екі.

Теңдеуге оралсақ, оны дискриминантты белгіні қолданып қайта жазамыз:. Біз қорытынды жасаймыз:

• егер D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• егер D \u003d 0 болса, онда бұл теңдеудің бір түбірі болады;
• ақырында, егер D\u003e 0 болса, онда теңдеудің екі түбірі бар немесе, оны қасиет бойынша немесе түрінде қайта жазуға болады, ал фракцияларды кеңейтіп, ортақ бөлгішке келтіргеннен кейін аламыз.

Сонымен, біз квадрат теңдеудің түбірлерінің формулаларын шығардық, олар D дискриминантын D \u003d b 2 −4 · a · c формуласы бойынша есептейтін формасы бар.

Олардың көмегімен оң дискриминант көмегімен сіз квадрат теңдеудің екі нақты түбірін де есептей аласыз. Дискриминант нөлге тең болған кезде, екі формула да квадрат теңдеудің ерекше шешіміне сәйкес түбірлік мән береді. Теріс дискриминантпен, квадрат теңдеудің түбірлерінің формуласын қолдануға тырысқанда, біз теріс санның квадрат түбірін шығаруға тап боламыз, бұл бізді одан әрі асырады мектеп бағдарламасы... Теріс дискриминантпен квадрат теңдеудің нақты түбірлері жоқ, бірақ жұбы бар күрделі конъюгат біз алған түбірлік формулалардың көмегімен табуға болатын тамырлар.

Квадрат теңдеулерді түбірлік формулалар көмегімен шешу алгоритмі

Тәжірибеде квадраттық теңдеулерді шешкен кезде бірден олардың түбірлік формуласын қолдануға болады, оның көмегімен олардың мәндерін есептеуге болады. Бірақ бұл күрделі тамырларды табу туралы.

Алайда, мектеп алгебра курсында біз әдетте күрделі емес, квадрат теңдеудің нақты түбірлері туралы айтамыз. Бұл жағдайда алдымен квадрат теңдеудің түбірлерінің формулаларын қолданар алдында дискриминантты тауып, оның теріс емес екендігіне көз жеткізіп алған жөн (әйтпесе, теңдеудің нақты түбірлері жоқ деген қорытынды жасауға болады), содан кейін ғана түбірлердің мәндерін есептеген жөн.

Жоғарыда келтірілген пайымдау жазуға мүмкіндік береді квадрат теңдеуді шешуші... A x 2 + b x + c \u003d 0 квадрат теңдеуін шешу үшін сізге қажет:

• дискриминантты формула бойынша D \u003d b 2 −4 · a · c оның мәнін есептеңіз;
• егер дискриминант теріс болса, квадрат теңдеудің нақты түбірлері жоқ деген қорытындыға келу;
• теңдеудің жалғыз түбірін формула бойынша есептеңіз, егер D \u003d 0;
• егер дискриминант оң болса, түбірлік формуланы пайдаланып квадрат теңдеудің екі нақты түбірін табыңыз.

Бұл жерде біз тек егер дискриминант нөлге тең болса, онда формуланы да қолдануға болатындығын ескертеміз, ол сол мәнді береді.

Квадрат теңдеулерді шешу алгоритмін қолдану мысалдарына өтуге болады.

Квадрат теңдеулерді шешудің мысалдары

Оң, теріс және нөлдік дискриминанттары бар үш квадрат теңдеудің шешімдерін қарастырайық. Олардың шешімдерін қарастыра отырып, аналогия бойынша кез-келген басқа квадрат теңдеуді шешуге болады. Бастайық.

Мысал.

X 2 + 2 x - 6 \u003d 0 теңдеуінің түбірлерін табыңыз.

Шешім.

Бұл жағдайда бізде квадрат теңдеудің келесі коэффициенттері болады: a \u003d 1, b \u003d 2 және c \u003d −6. Алгоритм бойынша, алдымен сіз дискриминантты есептеуіңіз керек, ол үшін біз көрсетілген а, b және с-ны дискриминанттық формулаға ауыстырамыз, бізде бар D \u003d b 2 -4 a c \u003d 2 2 -4 1 (-6) \u003d 4 + 24 \u003d 28... 28\u003e 0 болғандықтан, яғни дискриминант нөлден үлкен болғандықтан, квадрат теңдеудің екі нақты түбірі бар. Оларды түбір формуласы бойынша табамыз, аламыз, осында алынған өрнектерді жеңілдетуге болады тамырдың белгісін факторинг арқылы шығару бөлшектің төмендеуімен:

Жауап:

Келесі типтік мысалға көшейік.

Мысал.

−4x2 + 28x - 49 \u003d 0 квадрат теңдеуін шешіңіз.

Шешім.

Біз дискриминантты табудан бастаймыз: D \u003d 28 2 −4 (-4) (-49) \u003d 784−784 \u003d 0... Демек, бұл квадрат теңдеудің бір түбірі бар, оны біз, яғни

Жауап:

x \u003d 3.5.

Квадрат теңдеулерді теріс дискриминантымен шешуді қарастыру керек.

Мысал.

5 y 2 + 6 y + 2 \u003d 0 теңдеуін шешіңіз.

Шешім.

Квадрат теңдеудің коэффициенттері: a \u003d 5, b \u003d 6 және c \u003d 2. Бұл мәндерді дискриминанттық формулаға ауыстыру бізде бар D \u003d b 2 −4 a c \u003d 6 2 −4 5 2 \u003d 36−40 \u003d -4... Дискриминант теріс, сондықтан бұл квадрат теңдеудің нақты түбірлері жоқ.

Егер сізге күрделі түбірлерді көрсету керек болса, онда біз квадрат теңдеудің түбірлеріне белгілі формуланы қолданамыз және орындаймыз күрделі сандық амалдар:

Жауап:

нақты тамырлар жоқ, күрделі тамырлар келесідей:.

Тағы бір айта кететін жайт, егер квадрат теңдеудің дискриминанты теріс болса, онда мектепте олар әдетте бірден жауап жазады, онда нақты түбірлер жоқ, ал күрделі түбірлер табылмайды.

Тіпті екінші коэффициенттердің түбірлік формуласы

Квадрат теңдеудің түбірлерінің формуласы, мұндағы D \u003d b 2 −4 a ln5 \u003d 2 7 ln5). Шығарайық.

A x 2 + 2 n x + c \u003d 0 түріндегі квадрат теңдеуді шешу керек делік. Оның тамырларын өзіміз білетін формуланы пайдаланып табайық. Ол үшін дискриминантты есептеңіз D \u003d (2 n) 2 −4 a c \u003d 4 n 2 -4 a c \u003d 4 (n 2 −a c), содан кейін түбір формуласын қолданыңыз:

N 2 −a · c өрнегін D 1 деп белгілейік (кейде оны D «деп белгілейміз). Сонда қарастырылған квадрат теңдеудің екінші коэффициенті 2 n болатын түбірлерінің формуласы форманы алады , мұндағы D 1 \u003d n 2 - a · c.

D \u003d 4 · D 1, немесе D 1 \u003d D / 4 екенін байқау қиын емес. Басқаша айтқанда, D 1 - дискриминанттың төртінші бөлігі. D 1 таңбасы D таңбасымен бірдей екендігі түсінікті. Яғни, D 1 белгісі де квадрат теңдеудің түбірлерінің бар немесе жоқтығының индикаторы болып табылады.

Сонымен, 2 n екінші коэффициентімен квадрат теңдеуді шешу үшін сізге керек

• D 1 \u003d n 2 −a · c есептеңіз;
• Егер D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Егер D 1 \u003d 0 болса, онда теңдеудің жалғыз түбірін формула бойынша есептеңіз;
• Егер D 1\u003e 0 болса, онда формула бойынша екі нақты түбірді табыңыз.

Осы абзацта алынған түбірлік формуланы пайдаланып, мысалдың шешімін қарастырайық.

Мысал.

5x2 −6x - 32 \u003d 0 квадрат теңдеуін шешіңіз.

Шешім.

Осы теңдеудің екінші коэффициентін 2 · (−3) түрінде көрсетуге болады. Яғни, бастапқы квадрат теңдеуді 5 x 2 + 2 (-3) x - 32 \u003d 0 түрінде қайта жазуға болады, мұнда a \u003d 5, n \u003d -3 және c \u003d -32 және дискриминанттың төртінші бөлігін есептей аласыз: D 1 \u003d n 2 −a c \u003d (- 3) 2 −5 (-32) \u003d 9 + 160 \u003d 169... Оның мәні оң болғандықтан, теңдеудің екі нақты түбірі бар. Оларды сәйкес түбір формуласы арқылы табайық:

Квадрат теңдеудің түбірлері үшін әдеттегі формуланы қолдануға болатынын ескеріңіз, бірақ бұл жағдайда көбірек есептеу жұмыстары жасалуы керек еді.

Жауап:

Квадрат теңдеулерді жеңілдету

Кейде, квадрат теңдеудің түбірлерін формулалармен есептеуге кіріспес бұрын, «осы теңдеудің формасын жеңілдетуге бола ма?» Деген сұрақ қою зиян емес пе? Есептеу тұрғысынан 1100 · x 2 −400 · x - 600 \u003d 0 қарағанда 11 · x 2 −4 · x - 6 \u003d 0 квадрат теңдеуін шешу оңайырақ болатынына келісіңіз.

Әдетте, квадрат теңдеу формасын оңайлатуға оның екі бөлігін қандай да бір санға көбейту немесе бөлу арқылы қол жеткізіледі. Мысалы, алдыңғы абзацта біз екі жағын да 100-ге бөлу арқылы 1100 x 2 −400 x - 600 \u003d 0 теңдеуін оңайлаттық.

Осыған ұқсас түрлендіру коэффициенттері тең емес квадрат теңдеулермен жүзеге асырылады. Бұл жағдайда теңдеудің екі жағы да оның коэффициенттерінің абсолюттік мәндеріне бөлінеді. Мысалы, 12 x 2 −42 x + 48 \u003d 0 квадрат теңдеуін алайық. оның коэффициенттерінің абсолюттік мәні: GCD (12, 42, 48) \u003d GCD (GCD (12, 42), 48) \u003d GCD (6, 48) \u003d 6. Бастапқы квадрат теңдеудің екі жағын да 6-ға бөліп, біз 2 x 2 −7 x + 8 \u003d 0 эквивалентті квадрат теңдеуге келеміз.

Квадрат теңдеудің екі жағын көбейту көбінесе бөлшек коэффициенттерінен құтылу үшін жасалады. Бұл жағдайда көбейтуді оның коэффициенттерінің бөлгіштері жүзеге асырады. Мысалы, егер квадрат теңдеудің екі жағы да LCM (6, 3, 1) \u003d 6-ға көбейтілсе, онда ол x 2 + 4 x - 18 \u003d 0 қарапайым формасын алады.

Осы тармақты қорытындылай келе, біз әрдайым дерлік минусты квадрат теңдеудің жетекші коэффициенті арқылы алып тастаймыз, барлық мүшелердің белгілерін өзгерте отырып, бұл екі бөлікті −1-ге көбейтуге (немесе бөлуге) сәйкес келеді. Мысалы, −2 · x 2 −3 · x + 7 \u003d 0 квадрат теңдеуінен 2 · x 2 + 3 · x - 7 \u003d 0 шешіміне дейін.

Квадрат теңдеудің түбірлері мен коэффициенттері арасындағы байланыс

Квадрат теңдеудің түбірлерінің формуласы теңдеудің түбірлерін оның коэффициенттері арқылы өрнектейді. Түбір формуласының негізінде тамырлар мен коэффициенттер арасындағы басқа тәуелділіктерді алуға болады.

Ең танымал және қолданылатын формулалар - форманың Вьетнамдағы теоремасынан және. Атап айтқанда, берілген квадрат теңдеу үшін түбірлердің қосындысы қарама-қарсы таңбасы бар екінші коэффициентке, ал түбірлердің көбейтіндісі бос мүшеге тең. Мысалы, 3 x 2 −7 x + 22 \u003d 0 квадрат теңдеу формасы бойынша бірден оның түбірлерінің қосындысы 7/3, ал түбірлерінің көбейтіндісі 22/3 құрайды деп айта аламыз.

Қазірдің өзінде жазылған формулаларды қолдана отырып, сіз квадрат теңдеудің түбірлері мен коэффициенттері арасындағы бірқатар басқа қатынастарды ала аласыз. Мысалы, квадрат теңдеудің түбірлерінің квадраттарының қосындысын оның коэффициенттері арқылы өрнектеуге болады:.

Әдебиеттер тізімі.

• Алгебра: оқу. 8 кл. жалпы білім беру. мекемелер / [Ю. Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова]; ред. Теляковский. - 16-шы басылым - М .: Білім, 2008 .– 271 б. : ауру. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордкович Алгебра. 8 сынып. 14.00-де 1-бөлім. Оқу орындарының студенттеріне арналған оқулық / А. Г. Мордкович. - 11-ші басылым, өшірілді. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 б.: Ауру. ISBN 978-5-346-01155-2.