1. Асимптоталар туралы түсінік

Функциялардың графиктерін құрудағы маңызды қадамдардың бірі асимптоталарды іздеу болып табылады. Біз асимптоттармен бірнеше рет кездестік: функцияларды құру кезінде , y=tgx, y=ctgx. Біз оларды функция графигі «бейімделетін», бірақ ешқашан қиылыспайтын сызықтар ретінде анықтадық. Асимптоттардың нақты анықтамасын беретін кез келді.

Асимптоттардың үш түрі бар: тік, көлденең және көлбеу. Сызбада асимптоталар әдетте нүктелі сызықтармен белгіленеді.

Төмендегі жасанды сызылған функция графигін (16.1-сурет) қарастырайық, оның мысалында асимптоталардың барлық түрлері анық көрінеді:

Біз асимптотаның әрбір түріне анықтама береміз:

1. Тікелей x=aшақырды тік асимптота функциялары, егер.

2. Тікелей y=sшақырды көлденең асимптота функциялары, егер.

3. Тікелей y=kx+bшақырды қиғаш асимптот функциялары, егер.

Геометриялық тұрғыдан қиғаш асимптотаның анықтамасы →∞ функциясының графигі түзу сызыққа ерікті түрде жақындағанын білдіреді. y=kx+b, яғни. олар іс жүзінде бірдей. Бірдей дерлік өрнектердің айырмашылығы нөлге ұмтылады.

Көлденең және қиғаш асимптоталар тек →∞ шарты бойынша қарастырылатынын ескеріңіз. Кейде олар →+∞ және →-∞ сияқты көлденең және қиғаш асимптоттарға бөлінеді.

1. Асимптоттарды іздеу алгоритмі

Асимптоталарды табу үшін келесі алгоритмді қолдануға болады:

Бір тік асимптот болуы мүмкін, бірнеше немесе мүлде болмауы мүмкін.

• Егер c саны болса, онда y=sгоризонталь асимптотасы болып табылады;
• Егер c шексіздік болса, онда көлденең асимптоталар болмайды.

Егер функция екі көпмүшенің қатынасы болса, онда функцияның көлденең асимптоттары болса, біз қиғаш асимптоталарды іздемейміз - олар жоқ.

Функцияның асимптоттарын табу мысалдарын қарастырыңыз:

16.1-мысал.Қисықтың асимптотасын табыңыз.

Шешім X-1≠0; X≠1.

Жолдың бар-жоғын тексерейік x= 1 тік асимптот. Ол үшін нүктедегі функцияның шегін есептейміз x= 1: .

x= 1 – тік асимптот.

бірге= .

бірге= =. Өйткені бірге=2 (сан), онда y=2көлденең асимптотасы болып табылады.

Функция көпмүшелердің қатынасы болғандықтан, көлденең асимптоталар болған кезде қиғаш асимптоталар жоқ деп бекітеміз.

x= 1 және көлденең асимптота y=2.Түсінікті болу үшін бұл функцияның графигі суретте көрсетілген. 16.2.

16.2-мысал. Қисықтың асимптотасын табыңыз.

Шешім. 1. Функцияның анықталу облысын табыңыз: X-2≠0; X≠2.

Жолдың бар-жоғын тексерейік x= 2 тік асимптот. Ол үшін нүктедегі функцияның шегін есептейміз x= 2: .

Біз мұны алдық, сондықтан x= 2 – тік асимптот.

2. Көлденең асимптоталарды іздеу үшін мынаны табамыз: бірге= .

Лимитте белгісіздік болғандықтан, біз L'Hopital ережесін қолданамыз: бірге= =. Өйткені біргешексіздік болса, онда көлденең асимптоталар болмайды.

3. Қиғаш асимптоталарды іздеу үшін мынаны табамыз:

Біз пішіннің белгісіздігін алдық, біз L'Hopital ережесін қолданамыз: = =1. бформула бойынша: .

b= = =

Түсіндім b= 2. Содан кейін y=kx+b –қиғаш асимптот. Біздің жағдайда ол келесідей көрінеді: y=x+2.

Күріш. 16.3

Осылайша, бұл функцияның тік асимптотасы бар x= 2 және қиғаш асимптота y=x+2.Түсінікті болу үшін функцияның графигі суретте көрсетілген. 16.3.

Бақылау сұрақтары:

Дәріс 17

Бұл дәрісте біз бұрын зерттелген материалдың барлығын қорытындылаймыз. Біздің ұзақ сапарымыздың түпкі мақсаты – кез келген аналитикалық берілген функцияны зерттей білу және оның графигін құру. Экстремум үшін функцияны зерттеу, графиктің монотондылық, дөңес және ойыс аралықтарын анықтау, функция графигінің иілу нүктелерін, асимптоттарын іздеу біздің зерттеуіміздің маңызды бөліктері болады.

Жоғарыда аталған барлық аспектілерді ескере отырып, біз ұсынамыз функцияны зерттеу схемасы және графигі .

1. Функцияның анықталу облысын табыңыз.

2. Жұп-тақ функциясын зерттеңіз:

егер , онда функция жұп (жұп функцияның графигі осіне қатысты симметриялы OU);

егер , онда функция тақ (тақ функцияның графигі басына қатысты симметриялы);

Әйтпесе, функция жұп та, тақ та болмайды.

3. Периодтылық үшін функцияны зерттеңіз (біз зерттейтін функциялардың ішінде тек тригонометриялық функциялар ғана периодты болуы мүмкін).

4. Функция графигінің координата осьтерімен қиылысу нүктелерін табыңыз:

· О: сағ=0 (бізге белгілі әдістерді қолдана алсақ қана теңдеуді шешеміз);

· OU: X=0.

5. Функцияның бірінші туындысын және бірінші текті критикалық нүктелерді табыңыз.

6. Функцияның монотондылық интервалдары мен экстремумдарын табыңыз.

7. Функцияның екінші туындысын және екінші текті критикалық нүктелерді табыңыз.

8. Функция графигінің дөңес- ойыс аралықтары мен иілу нүктелерін табыңыз.

9. Функция графигінің асимптотасын табыңыз.

10. Функцияның графигін салыңыз. Құрылыс кезінде ескеріңіз асимптоттардың жанында графиктің ықтимал орналасуы жағдайлары :

11. Қажет болса, дәлірек құрылыс үшін басқару нүктелерін таңдаңыз.

Нақты мысалдар арқылы функцияны зерттеу және оның графигін салу схемасын қарастырыңыз:

17.1-мысал. Функцияның графигін салыңыз.

Шешім. 1. Бұл функциядан басқа барлық сан жолында анықталған X=3, өйткені бұл кезде бөлгіш нөлге өтеді.

2. Функцияның жұп және тақтығын анықтау үшін мынаны табамыз:

Біз мұны көреміз және, демек, функциясы жұп та, тақ та емес.

3. Функция периодты емес.

4. Координаталық осьтермен қиылысу нүктелерін табыңыз. Осьпен қиылысу нүктесін табу Оқабылдау сағ=0. Теңдеуді аламыз: . Сонымен, (0; 0) нүктесі координата осьтерімен қиылысу нүктесі болып табылады.

5. Бөлшекті дифференциалдау ережесі бойынша функцияның туындысын табыңыз: = = = = .

Критикалық нүктелерді табу үшін функцияның туындысы 0-ге тең немесе жоқ нүктелерді табамыз.

Егер =0 болса, демек, . Көрсеткіштердің кем дегенде біреуі 0 болғанда өнім 0 болады: немесе .

X-3) 2 0-ге тең, яғни. жерде жоқ X=3.

Сонымен, функцияның бірінші текті үш критикалық нүктесі бар: ; ; .

6. Нақты осьте біз бірінші текті сын нүктелерін белгілейміз, ал нүктені тесілген нүктемен белгілейміз, өйткені ол функцияны анықтамайды.

Туынды = белгілерін әр интервалға орналастыр:

т.мин

т.макс

аралықтарда бастапқы функция артады ((-∞;0] кезінде), мұндағы - төмендейді (де).

Нүкте X=0 - функцияның максималды нүктесі. Функцияның максимумын табу үшін функцияның 0 нүктесіндегі мәнін табайық: .

Нүкте X=6 - функцияның ең кіші нүктесі. Функцияның минимумын табу үшін 6 нүктедегі функцияның мәнін табайық: .

Зерттеу нәтижелерін кестеге енгізуге болады. Кестедегі жолдар саны тұрақты және төртке тең, ал бағандар саны зерттелетін функцияға байланысты. Бірінші жолдың ұяшықтарында критикалық нүктелер функция анықтамасының облысын бөлетін интервалдар, оның ішінде критикалық нүктелердің өздері де ретпен енгізіледі. Анықтау аймағына жатпайтын нүктелерді салу кезінде қателерді болдырмау үшін оларды кестеге қоспауға болады.

Кестенің екінші жолында қарастырылатын аралықтардың әрқайсысы бойынша туындының белгілері және критикалық нүктелердегі туындының мәні бар. Үшінші жолда функцияның туындысының белгілеріне сәйкес функцияның өсу, кему, экстремум аралықтары белгіленеді.

Соңғы жол функцияның максималды және минимумын белгілеу үшін қолданылады.

X	(-∞;0)		(0;3)		(3;6)		(6;+ ∞)
	+		-		-		+
f(x)
қорытындылар		макс				мин

7. Бірінші туындының туындысы ретіндегі функцияның екінші туындысын табыңыз: = =

Нумератордан шығарыңыз X-3 жақшаның сыртында және азайтуды орындаңыз:

Бөлімшеге ұқсас терминдерді береміз: .

Екінші текті критикалық нүктелерді табайық: функцияның екінші туындысы нөлге тең немесе жоқ нүктелер.

0, егер =0. Бұл бөлшек нөлге тең бола алмайды, сондықтан функцияның екінші туындысы нөлге тең болатын нүктелер жоқ.

Егер бөлгіш ( X-3) 3 - 0, яғни. жерде жоқ X=3. :О, OU, басы, әрбір ось үшін өлшем бірліктері.

Функцияның графигін салу алдында сізге қажет:

нүктелі сызықтармен асимптоталарды салу;

координат осьтерімен қиылысу нүктелерін белгілеу;

Күріш. 17.1

функцияның максимум және минимумын белгілеңіз, ал функцияның максимум және минимумын тікелей сызбада доғалармен белгілеу ұсынылады: k немесе ;

· Алынған мәліметтерді өсу, кему, дөңес және ойыс аралықтары бойынша пайдалана отырып, функцияның графигін тұрғызыңыз. Графиктің тармақтары асимптоталарға «бейінді», бірақ оларды кесіп өтпеуі керек.

Функция графигі зерттеуге сәйкес келетінін тексеріңіз: егер функция жұп немесе тақ болса, онда симметрия сақталған ба; Теориялық тұрғыдан табылған өсу мен кему интервалдары, дөңес және ойыс, иілу нүктелері.

11. Нақтырақ құрастыру үшін бірнеше басқару нүктелерін таңдауға болады. Мысалы, -2 және 7 нүктелеріндегі функция мәндерін табайық:

Бақылау нүктелерін ескере отырып, графикті реттейміз.

Бақылау сұрақтары:

1. Функция графигін салудың алгоритмі қандай?
2. Функцияның анықтау облысына жатпайтын нүктелерде экстремум болуы мүмкін бе?

3-ТАРАУ. 3. ФУНКЦИЯНЫҢ ИНТЕГРАЛДЫҚ ЕСЕПТІКТЕРІ

- (грек тілінен теріс бөлік және симптомдардың сәйкес келуі). Қисық сызыққа үнемі жақындап, оны тек шексіздікте кездестіретін түзу. Орыс тіліне енген шетел сөздерінің сөздігі. Чудинов А.Н., 1910. ASYMPTOE from ... ... Орыс тілінің шетел сөздерінің сөздігі

АСИМПТОТА- (грек тілінен asymptotos сәйкес келмейтін), қисық сызықтың шексіз тармағы шексіз жақындайтын түзу сызық, мысалы, гиперболаның асимптотасы ... Қазіргі энциклопедия

АСИМПТОТА- (грек тілінен asymptotos сәйкес емес) шексіз тармақты қисық - бұл тармақ шексіз жақындайтын түзу сызық, мысалы, гиперболаның асимптотасы ... Үлкен энциклопедиялық сөздік

асимптот- қисық сызықпен біртіндеп жақындайтын түзу. асимптот Қандай да бір функцияның шексіз тармағы бар қисыққа жақындаған түзу (оған ешқашан жетпейтін), оның аргументі шексіз немесе ... өскенде. Техникалық аудармашының анықтамалығы

Асимптот- (грек тілінен asymptotos сәйкес емес), қисық сызықтың шексіз тармағы шексіз жақындайтын түзу, мысалы, гиперболаның асимптотасы. … Иллюстрацияланған энциклопедиялық сөздік

АСИМПТОТА- әйел, геом. әрқашан қисыққа (гипербола) жақындайтын, бірақ онымен ешқашан жақындаспайтын түзу сызық. Мұны түсіндіретін мысал: егер кез келген сан екіге бөлінсе, ол шексіздікке дейін азаяды, бірақ ешқашан нөлге айналмайды. ... ... Дальдың түсіндірме сөздігі

асимптот- зат есім, синонимдер саны: 1 жол (182) ASIS синонимдік сөздігі. В.Н. Тришин. 2013 ... Синонимдік сөздік

Асимптот- (грек сөздерінен: а, күн, пиптв) сәйкес емес. Асимптота деп шексіз жалғаса отырып, берілген қисық сызыққа немесе оның кейбір бөлігіне жақындайтын, осылайша ортақ сызықтар арасындағы қашықтық аз болатындай сызық түсініледі ... ...

АсимптотБет – бетті шексіздікте кем дегенде екі нүктеде қиып өтетін түзу... Брокгауз және Эфрон энциклопедиясы

АСИМПТОТА- (асимптота) Аргумент (аргумент) өзгерген кезде бұл функция бейім болатын мән, бірақ оған аргументтің соңғы мәніне жетпейді. Мысалы, егер х өнімінің жалпы құны TC=a+bx функциясымен берілсе, мұндағы a және b тұрақтылар... Экономикалық сөздік

Асимптот- қандай да бір функцияның қисық сызығының шексіз тармағына ие, оның аргументі шексіз өсетін немесе азайған кезде ұмтылатын (оған ешқашан жетпейтін) түзу. Мысалы, функцияда: y = c + 1/x, у мәні ... арқылы жақындайды. Экономикалық-математикалық сөздік

Функцияның графигінде қанша асимптот болуы мүмкін?

Ешбір, бір, екі, үш... немесе шексіз сан. Мысалдар үшін алысқа бармаймыз, элементар функцияларды еске түсіреміз. Парабола, куб парабола, синусоидтың асимптоталары мүлдем болмайды. Көрсеткіштік, логарифмдік функцияның графигінде жалғыз асимптот бар. Арктангенс, арккотангенсте олардың екеуі бар, ал тангенс, котангенсте шексіз сан бар. Графикте көлденең және тік асимптоталар болуы сирек емес. Гипербола, сені әрқашан жақсы көреді.

Функция графигінің асимптоталарын табу нені білдіреді?

Бұл олардың теңдеулерін табуды және есептің шарты талап етсе, түзу сызықтарды салуды білдіреді. Процесс функцияның шектерін табуды қамтиды.

Функция графигінің вертикаль асимптоталары

Графиктің тік асимптотасы, әдетте, функцияның шексіз үзіліс нүктесінде болады. Қарапайым: егер нүктеде функция шексіз үзіліске ұшыраса, онда теңдеу арқылы берілген түзу графиктің тік асимптотасы болады.

Ескерту: Белгілеу екі мүлдем басқа ұғымға сілтеме жасау үшін қолданылатынын ескеріңіз. Нүкте болжанады немесе түзу теңдеуі - контекстке байланысты.

Сонымен, нүктеде тік асимптотаның болуын анықтау үшін бір жақты шектердің ең болмағанда біреуі шексіз екенін көрсету жеткілікті. Көбінесе бұл функцияның бөлгіші нөлге тең болатын нүкте. Шындығында, біз сабақтың соңғы мысалдарында функцияның үздіксіздігі туралы тік асимптоталарды таптық. Бірақ бірқатар жағдайларда тек бір жақты шектеу бар, ал егер ол шексіз болса, онда тағы да - вертикальды асимптотаны жақсы көріңіз және ұнатыңыз. Ең қарапайым сурет: және у осі.

Жоғарыда айтылғандардан айқын факт: егер функция үздіксіз қосулы болса, онда тік асимптоталар болмайды. Неге екені белгісіз бір парабола есіме түсті. Шынында да, мұнда түзу сызықты қай жерде «жабыстыруға» болады? ... иә ... мен түсінемін ... Фрейд ағайдың ізбасарлары истерикаға толы =)

Керісінше мәлімдеме әдетте дұрыс емес: мысалы, функция бүкіл нақты сызықта анықталмаған, бірақ ол асимптоттардан толығымен айырылған.

Функция графигінің қиғаш асимптоталары

Функция аргументі «плюс шексіздікке» немесе «минус шексіздікке» бейім болса, көлбеу (ерекше жағдай ретінде – көлденең) асимптоталарды салуға болады. Сондықтан функция графигінде 2 қиғаш асимптоттан артық болуы мүмкін емес. Мысалы, экспоненциалды функцияның графигінде бір көлденең асимптот бар, ал арктангенстің графигінде екі осындай асимптота бар және әртүрлі.

Мұндағы және мұндағы график жалғыз қиғаш асимптотаға жақындағанда, «шексіздіктерді» бір жазбаның астына біріктіру әдеттегідей. Мысалы, ... дұрыс таптың: .

Функция графигінің асимптоталары

Асимптоттың елесі ақырында бір мақалада жүзеге асу және оқырмандарға ерекше қуаныш сыйлау үшін сайтты ұзақ уақыт аралап жүр. толық функционалдық зерттеу. Графиктің асимптоттарын табу мектеп курсында тек шолу ретімен қарастырылатын көрсетілген тапсырманың бірнеше бөлігінің бірі болып табылады, өйткені оқиғалар есептеудің айналасында болады. функция шектеулері, бірақ олар әлі де жоғары математикаға жатады. Математикалық талдауды нашар меңгерген келушілер, түсінікті деп ойлаймын ;-) ... аялдама, қайда бара жатырсыз? шектеулер- Бұл жеңіл!

Асимптоталар мысалдары туралы бірінші сабақта бірден кездесті элементар функциялардың графиктері, ал қазір тақырып егжей-тегжейлі қарастырылуда.

Сонымен асимптот дегеніміз не?

Елестетіңіз айнымалы нүкте, ол функция графигі бойымен «саяхаттайды». Асимптот - бұл Түзу, кімге шектеусіз жақынфункцияның графигі оның айнымалы нүктесі шексіздікке барған сайын жақындайды.

Ескерту : анықтама мағыналы, математикалық талдаудың белгілеуінде тұжырым қажет болса, оқулыққа жүгініңіз.

Жазықтықта асимптоталар табиғи орналасуына қарай жіктеледі:

1) Тік асимптоталар, түріндегі теңдеу арқылы берілген, мұндағы «альфа» нақты сан. Танымал өкіл у осінің өзін анықтайды,
жеңіл жүрек айнуы ұстамасымен гиперболаны еске түсіреміз.

2) Қиғаш асимптоталардәстүрлі түрде жазылған түзу теңдеуікөлбеу коэффициентімен. Кейде ерекше жағдай жеке топ ретінде бөлінеді - көлденең асимптоталар. Мысалы, асимптотасы бар бірдей гипербола .

Тез кеттік, тақырыпты қысқаша автоматты түрде ашайық:

Функцияның графигінде қанша асимптот болуы мүмкін?

Ешбір, бір, екі, үш... немесе шексіз сан. Мысалдар үшін алысқа бармаймыз, есте сақтаймыз элементар функциялар. Парабола, куб парабола, синусоидтың асимптоталары мүлдем болмайды. Көрсеткіштік, логарифмдік функцияның графигінде жалғыз асимптот бар. Арктангенс, арккотангенсте олардың екеуі бар, ал тангенс, котангенсте шексіз сан бар. Графикте көлденең және тік асимптоталар болуы сирек емес. Гипербола, сені әрқашан жақсы көреді.

Не білдіреді ?

Функция графигінің вертикаль асимптоталары

Графиктің тік асимптотасы әдетте болады шексіздік нүктесіндефункциялары. Қарапайым: егер нүктеде функция шексіз үзіліске ұшыраса, онда теңдеу арқылы берілген түзу графиктің тік асимптотасы болады.

Ескерту : белгі мүлдем басқа екі ұғымға сілтеме жасау үшін қолданылатынын ескеріңіз. Нүкте болжанады немесе түзу теңдеуі - контекстке байланысты.

Сонымен, бір нүктеде тік асимптотаның болуын анықтау үшін мынаны көрсету жеткілікті: кем дегенде біреуібіржақты шектеулерден шексіз. Көбінесе бұл функцияның бөлгіші нөлге тең болатын нүкте. Шындығында, біз сабақтың соңғы мысалдарында тік асимптоталарды таптық. функцияның үздіксіздігі туралы. Бірақ кейбір жағдайларда тек бір жақты шектеу бар, ал егер ол шексіз болса, онда тағы да - тік асимптотаны жақсы көріңіз және ұнатыңыз. Ең қарапайым сурет: және у осі (қараңыз. Элементар функциялардың графиктері мен қасиеттері).

Жоғарыда айтылғандардан айқын факт: егер функция үздіксіз болса, онда тік асимптоталар болмайды. Неге екені белгісіз бір парабола есіме түсті. Шынында да, мұнда түзу сызықты қай жерде «жабыстыруға» болады? ... иә ... мен түсінемін ... Фрейд ағайдың ізбасарлары истерикаға толы =)

Керісінше мәлімдеме әдетте дұрыс емес: мысалы, функция бүкіл нақты сызықта анықталмаған, бірақ ол асимптоттардан толығымен айырылған.

Функция графигінің қиғаш асимптоталары

Функция аргументі «плюс шексіздікке» немесе «минус шексіздікке» бейім болса, қиғаш (ерекше жағдайда – көлденең) асимптоталарды салуға болады. Сондықтан функцияның графигінде екі қиғаш асимптоттан артық болуы мүмкін емес. Мысалы, көрсеткіштік функцияның графигінде бір көлденең асимптот бар, ал доғаның жанамасының графигінде екі асимптот бар және әртүрлі.

Мұндағы және мұндағы график жалғыз қиғаш асимптотаға жақындағанда, «шексіздіктерді» бір жазбаға біріктіру әдетке айналған. Мысалы, ... дұрыс таптың: .

Жалпы ереже:

Екі болса финалшектеу , онда түзу функцияның графигінің қиғаш асимптотасы болады. Егер кем дегенде біреуіжоғарыдағы шектердің шегі шексіз болса, онда қиғаш асимптота болмайды.

Ескерту : формулалар жарамды болып қалады, егер "x" тек "плюс шексіздікке" немесе тек "минус шексіздікке" ұмтылса.

Параболаның қиғаш асимптоталары жоқ екенін көрсетейік:

Шек шексіз, сондықтан қиғаш асимптот жоқ. Шекті табу кезінде ескеріңіз енді қажет емес, себебі жауап әлдеқашан алынған.

Ескерту : егер сізде плюс-минус, минус-плюс белгілерін түсіну қиын болса (немесе болады) сабақтың басындағы анықтаманы қараңыз.
шексіз аз функциялар туралы, онда мен бұл белгілерді қалай дұрыс түсіндіру керектігін айттым.

Кез келген квадраттық, кубтық функцияның, 4-ші және одан жоғары дәрежелі көпмүшенің де қиғаш асимптоталары болмайтыны анық.

Ал енді графикте қиғаш асимптотаның да жоқтығына көз жеткізейік. Белгісіздікті ашу үшін біз пайдаланамыз Л'Гопитал ережесі:
, ол тексерілуге ​​тиіс болды.

Функция шексіз өскенде, оның графигі жақындайтын түзу сызық болмайды шексіз жақын.

Сабақтың практикалық бөліміне көшейік:

Функция графигінің асимптоталарын қалай табуға болады?

Типтік тапсырма осылай тұжырымдалады және ол графиктің БАРЛЫҚ асимптоттарын (тік, көлбеу/көлденең) табуды қамтиды. Сұрақты тұжырымдау кезінде дәлірек айтсақ, біз асимптоттардың болуын зерттеу туралы айтып отырмыз (ақыр соңында, мүлде болмауы мүмкін). Қарапайым нәрседен бастайық:

1-мысал

Функция графигінің асимптоттарын табыңыз

ШешімОны екі тармаққа бөлу ыңғайлы:

1) Алдымен тік асимптоттардың бар-жоғын тексереміз. Бөлгіш нүктесінде жоғалады және бұл кезде функция зардап шегетіні бірден анық болады шексіз алшақтық, ал теңдеу арқылы берілген түзу функция графигінің тік асимптотасы болып табылады. Бірақ мұндай қорытынды жасамас бұрын, біржақты шектеулерді табу керек:

Мен сізге мақалада тоқталған есептеу техникасын еске саламын Функцияның үздіксіздігі. үзіліс нүктелері. Шектеу белгісінің астындағы өрнекте «x» орнына біз ауыстырамыз. Нумераторда қызықты ештеңе жоқ:
.

Бірақ бөлгіште ол шығады шексіз аз теріс сан:
, ол шектің тағдырын анықтайды.

Сол жақ шегі шексіз және, негізінен, тік асимптотаның болуы туралы үкім шығаруға болады. Бірақ бір жақты шектеулер бұл үшін ғана қажет емес - олар ТҮСІНУГЕ КӨМЕК ЕТЕДІ, ҚАЛАЙфункцияның графигі орналасқан және оны сызыңыз ДҰРЫС. Сондықтан біз оң жақ шегін де есептеуіміз керек:

Қорытынды: бір жақты шектер шексіз, яғни сызық функция графигінің вертикаль асимптотасы болып табылады.

Бірінші шек шектеулі, бұл «әңгімені жалғастыру» және екінші шекті табу керек дегенді білдіреді:

Екінші шектеу де шектеулі.

Сонымен, біздің асимптотымыз:

Қорытынды: теңдеу арқылы берілген түзу - нүктедегі функция графигінің көлденең асимптотасы.

Көлденең асимптотаны табу
Жеңілдетілген формуланы қолдануға болады:

Бар болса шектеулішегі, онда сызық функцияның графигінің көлденең асимптотасы болып табылады.

Функцияның алымы мен бөлгіші екенін байқау қиын емес өсудің бір реті, бұл қалаған шектің ақырлы болатынын білдіреді:

Жауап:

Шарт бойынша сызбаны аяқтау қажет емес, бірақ толық қарқынмен болса функцияны зерттеу, содан кейін жобада біз дереу эскиз жасаймыз:

Табылған үш шектеуге сүйене отырып, функцияның графигін қалай орналастыруға болатынын өз бетінше анықтауға тырысыңыз. Өте қиын? 5-6-7-8 нүктелерін тауып, сызбаға белгілеңіз. Дегенмен, бұл функцияның графигі көмегімен құрастырылады элементар функция графигін түрлендіру, және осы мақаланың 21-мысалын мұқият зерттеген оқырмандар оның қандай қисық екенін оңай болжайды.

2-мысал

Функция графигінің асимптоттарын табыңыз

Бұл өз қолыңызбен жасалатын мысал. Процесс, еске саламын, екі нүктеге - тік асимптоттарға және қиғаш асимптоттарға бөлінген. Үлгі шешімде горизонталь асимптотаны оңайлатылған сұлба арқылы табады.

Практикада бөлшек-рационалды функциялар жиі кездеседі және гиперболалар бойынша жаттығудан кейін біз тапсырманы күрделендіреміз:

3-мысал

Функция графигінің асимптоттарын табыңыз

Шешім: Бір, екі және орындалды:

1) Тік асимптоталар табылды шексіз үзіліс нүктелерінде, сондықтан бөлгіштің нөлге баратынын тексеру керек. Біз шешеміз квадрат теңдеу:

Дискриминант оң, сондықтан теңдеудің екі нақты түбірі бар және жұмыс айтарлықтай қосылады =)

Бір жақты шектерді одан әрі табу үшін квадрат үшмүшені көбейткіштерге бөлу ыңғайлы:
(ықшам жазу үшін бірінші жақшаға «минус» енгізілді). Қауіпсіздік желісі үшін біз жақшаларды аша отырып, ойша немесе сызба бойынша тексереміз.

Функцияны формада қайта жазайық

Нүктедегі бір жақты шектеулерді табыңыз:

Және бұл жерде:

Сонымен түзу сызықтар қарастырылып отырған функция графигінің вертикаль асимптоталары болып табылады.

2) Функцияға қарасаңыз , онда шек шекті болатыны анық және бізде көлденең асимптоталар бар. Оны қысқаша көрсетейік:

Сонымен түзу сызық (абсцисса) осы функция графигінің көлденең асимптотасы болып табылады.

Жауап:

Табылған шектер мен асимптоталар функцияның графигі туралы көп мәлімет береді. Келесі фактілерді ескере отырып, суретті ойша елестетуге тырысыңыз:

Графиктің нұсқасын нобайға сызыңыз.

Әрине, табылған шектеулер графиктің түрін біржақты түрде анықтамайды және сіз қателесуіңіз мүмкін, бірақ жаттығудың өзі жұмыс кезінде баға жетпес көмек болады. толық функционалдық зерттеу. Дұрыс сурет сабақтың соңында.

4-мысал

Функция графигінің асимптоттарын табыңыз

5-мысал

Функция графигінің асимптоттарын табыңыз

Бұл тәуелсіз шешім қабылдауға арналған тапсырмалар. Екі графикте де көлденең асимптоталар бар, олар келесі белгілер арқылы бірден анықталады: 4-мысалда өсу ретібөлгіш Көбірекалымының өсу ретіне қарағанда, ал 5-мысалдағы алым мен бөлгіш өсудің бір реті. Үлгі шешімінде бірінші функция қиғаш асимптоталардың бар-жоғын толық түрде, ал екіншісі - шек арқылы зерттеледі.

Көлденең асимптоталар, менің субъективті әсерімде, «шынымен еңкейтілгендерге» қарағанда айтарлықтай жиі кездеседі. Көптен күткен жалпы жағдай:

6-мысал

Функция графигінің асимптоттарын табыңыз

Шешім: жанрдың классикасы:

1) Бөлгіш оң болғандықтан, функция үздіксізбүкіл сан түзуінде және тік асимптоталар жоқ. …Бұл жақсы ма? Дұрыс сөз емес - тамаша! №1 тармақ жабылды.

2) қиғаш асимптоттардың болуын тексеріңіз:

Бірінші шек шектеулі, ендеше ары қарай жүрейік. Жою үшін екінші шекті есептеу кезінде белгісіздік «шексіздік минус шексіздік»өрнекті ортақ бөлгішке келтіреміз:

Екінші шектеу де шектеулі, демек, қарастырылып отырған функцияның графигі қиғаш асимптотаға ие:

Қорытынды:

Осылайша, функцияның графигі үшін шексіз жақынтүзу сызыққа жақындайды:

Оның қиғаш асимптотасын бастапқыда қиып өтетінін ескеріңіз және мұндай қиылысу нүктелері әбден қолайлы – шексіздікте «бәрі қалыпты» болуы маңызды (шын мәнінде, біз дәл сол жерде асимптоталар туралы айтып отырмыз).

7-мысал

Функция графигінің асимптоттарын табыңыз

Шешім: түсініктеме беретін ештеңе жоқ, сондықтан мен соңғы шешімнің шамамен үлгісін жасаймын:

1) Тік асимптоталар. Мәселені зерттеп көрейік.

Түзу сызық нүктедегі графиктің тік асимптотасы болып табылады.

2) қиғаш асимптоталар:

Түзу сызық - нүктедегі графиктің қиғаш асимптотасы.

Жауап:

Табылған бір жақты шектеулер мен асимптоталар бұл функцияның графигі қандай болатынын жоғары сенімділікпен болжауға мүмкіндік береді. Сабақ соңында дұрыс сурет салу.

8-мысал

Функция графигінің асимптоттарын табыңыз

Бұл тәуелсіз шешімнің мысалы, кейбір шектеулерді есептеудің ыңғайлылығы үшін алымды бөлгіш мүшесіне мүшеге бөлуге болады. Және тағы да нәтижелерді талдай отырып, осы функцияның графигін салуға тырысыңыз.

Әлбетте, «нақты» қиғаш асимптоттардың иелері алымының ең жоғары дәрежесі болатын бөлшек-рационал функциялардың графиктері болып табылады. тағы біреуібөлгіштің ең жоғарғы дәрежесі. Егер көп болса, қиғаш асимптот болмайды (мысалы, ).

Бірақ өмірде басқа кереметтер болады:

9-мысал

11-мысал

Асимптоталар үшін функцияның графигін қарастырыңыз

Шешім: ол анық , сондықтан функцияның графигі бар оң жақ жарты жазықтықты ғана қарастырамыз.

Осылайша, түзу сызық (y осі) - нүктесіндегі функция графигі үшін тік асимптот болып табылады.

2) Көлбеу асимптотаны зерттеу толық схема бойынша жүргізілуі мүмкін, бірақ мақалада L'Hospital ережелеріБіз логарифмдікке қарағанда өсудің жоғары ретті сызықтық функциясын анықтадық, сондықтан: (сол сабақтың 1 мысалын қараңыз).

Қорытынды: абсцисса осі - нүктедегі функция графигінің горизонталь асимптотасы.

Жауап:
, Егер;
, Егер .

Түсінікті болу үшін сурет салу:

Бір қызығы, ұқсас болып көрінетін функцияның асимптоттары мүлдем жоқ (қалағандар мұны тексере алады).

Екі қорытынды өзін-өзі зерттеу мысалы:

12-мысал

Асимптоталар үшін функцияның графигін қарастырыңыз

Типтік тапсырма осылай тұжырымдалады және ол графиктің БАРЛЫҚ асимптоттарын (тік, көлбеу/көлденең) табуды қамтиды. Сұрақты тұжырымдау кезінде дәлірек айтсақ, біз асимптоттардың болуын зерттеу туралы айтып отырмыз (ақыр соңында, мүлде болмауы мүмкін).

Қарапайым нәрседен бастайық:

1-мысал

Шешім Оны екі тармаққа бөлу ыңғайлы:

1) Алдымен тік асимптоттардың бар-жоғын тексереміз. Бөлгіш нүктесінде жоғалады және бұл кезде функция зардап шегетіні бірден анық болады шексіз алшақтық, ал теңдеу арқылы берілген түзу функция графигінің тік асимптотасы болып табылады. Бірақ мұндай қорытынды жасамас бұрын, біржақты шектеулерді табу керек:

Мен сізге мақалада тоқталған есептеу техникасын еске саламын функцияның үздіксіздігі. үзіліс нүктелері. Шектеу белгісінің астындағы өрнекте «x» орнына біз ауыстырамыз. Нумераторда қызықты ештеңе жоқ:
.

Бірақ бөлгіште ол шығады шексіз аз теріс сан:
, ол шектің тағдырын анықтайды.

Сол жақ шегі шексіз және, негізінен, тік асимптотаның болуы туралы үкім шығаруға болады. Бірақ бір жақты шектеулер бұл үшін ғана қажет емес - олар ТҮСІНУГЕ КӨМЕКТЕСЕДІ ҚАЛАЙфункцияның графигі орналасқан және оны сызыңыз ДҰРЫС. Сондықтан біз оң жақ шегін де есептеуіміз керек:

Қорытынды: бір жақты шектер шексіз, яғни сызық функция графигінің вертикаль асимптотасы болып табылады.

Бірінші шек шектеулі, бұл «әңгімені жалғастыру» және екінші шекті табу керек дегенді білдіреді:

Екінші шектеу де шектеулі.

Сонымен, біздің асимптотымыз:

Қорытынды: теңдеу арқылы берілген түзу - нүктедегі функция графигінің көлденең асимптотасы.

Көлденең асимптотаны табу Жеңілдетілген формуланы қолдануға болады:

Егер шекті шек болса, онда сызық функция графигінің горизонталь асимптотасы болып табылады.

Функцияның алымы мен бөлгіші екенін байқау қиын емес өсудің бір реті, бұл қалаған шектің ақырлы болатынын білдіреді:

Жауап:

Шарт бойынша сызбаны аяқтау қажет емес, бірақ толық қарқынмен болса функцияны зерттеу, содан кейін жобада біз дереу эскиз жасаймыз:

Табылған үш шектеуге сүйене отырып, функцияның графигін қалай орналастыруға болатынын өз бетінше анықтауға тырысыңыз. Өте қиын? 5-6-7-8 нүктелерін тауып, сызбаға белгілеңіз. Дегенмен, бұл функцияның графигі көмегімен құрастырылады элементар функция графигін түрлендіру, және осы мақаланың 21-мысалын мұқият зерттеген оқырмандар оның қандай қисық екенін оңай болжайды.

2-мысал

Функция графигінің асимптоттарын табыңыз

Бұл өз қолыңызбен жасалатын мысал. Процесс, еске саламын, екі нүктеге - тік асимптоттарға және қиғаш асимптоттарға бөлінген. Үлгі шешімде горизонталь асимптотаны оңайлатылған сұлба арқылы табады.

Практикада бөлшек-рационалды функциялар жиі кездеседі және гиперболалар бойынша жаттығудан кейін біз тапсырманы күрделендіреміз:

3-мысал

Функция графигінің асимптоттарын табыңыз

Шешім: Бір, екі және орындалды:

1) Тік асимптоталар табылды шексіз үзіліс нүктелерінде, сондықтан бөлгіштің нөлге баратынын тексеру керек. Біз шешеміз квадрат теңдеу :

Дискриминант оң, сондықтан теңдеудің екі нақты түбірі бар және жұмыс айтарлықтай қосылады =)

Бір жақты шектерді одан әрі табу үшін квадрат үшмүшені көбейткіштерге бөлу ыңғайлы:
(ықшам жазу үшін бірінші жақшаға «минус» енгізілді). Қауіпсіздік желісі үшін біз жақшаларды аша отырып, ойша немесе сызба бойынша тексереміз.

Функцияны формада қайта жазайық

Нүктедегі бір жақты шектеулерді табыңыз:

Және бұл жерде:

Сонымен түзу сызықтар қарастырылып отырған функция графигінің вертикаль асимптоталары болып табылады.

2) Функцияға қарасаңыз , онда шек шекті болатыны анық және бізде көлденең асимптоталар бар. Оны қысқаша көрсетейік:

Сонымен түзу сызық (абсцисса) осы функция графигінің көлденең асимптотасы болып табылады.

Жауап:

Табылған шектер мен асимптоталар функцияның графигі туралы көп мәлімет береді. Келесі фактілерді ескере отырып, суретті ойша елестетуге тырысыңыз:

Графиктің нұсқасын нобайға сызыңыз.

Әрине, табылған шектеулер графиктің түрін біржақты түрде анықтамайды және сіз қателесуіңіз мүмкін, бірақ жаттығудың өзі жұмыс кезінде баға жетпес көмек болады. толық функционалдық зерттеу. Дұрыс сурет сабақтың соңында.

4-мысал

Функция графигінің асимптоттарын табыңыз

5-мысал

Функция графигінің асимптоттарын табыңыз

Бұл тәуелсіз шешім қабылдауға арналған тапсырмалар. Екі графикте де көлденең асимптоталар бар, олар келесі белгілер арқылы бірден анықталады: 4-мысалда өсу ретібөлгіш алымның өсу ретінен үлкен, ал 5-мысалдағы алым мен бөлгіш өсудің бір реті. Үлгі шешімінде бірінші функция қиғаш асимптоталардың бар-жоғын толық түрде, ал екіншісі - шек арқылы зерттеледі.

Көлденең асимптоталар, менің субъективті әсерімде, «шынымен еңкейтілгендерге» қарағанда айтарлықтай жиі кездеседі. Көптен күткен жалпы жағдай:

6-мысал

Функция графигінің асимптоттарын табыңыз

Шешім: жанрдың классикасы:

1) Бөлгіш оң болғандықтан, функция үздіксізбүкіл сан түзуінде және тік асимптоталар жоқ. …Бұл жақсы ма? Дұрыс сөз емес - тамаша! №1 тармақ жабылды.

2) қиғаш асимптоттардың болуын тексеріңіз:

Бірінші шек шектеулі, ендеше ары қарай жүрейік. Жою үшін екінші шекті есептеу кезінде белгісіздік «шексіздік минус шексіздік»өрнекті ортақ бөлгішке келтіреміз:

Екінші шектеу де шектеулі, демек, қарастырылып отырған функцияның графигі қиғаш асимптотаға ие:

Қорытынды:

Осылайша, функцияның графигі үшін шексіз жақынтүзу сызыққа жақындайды:

Оның қиғаш асимптотасының басында қиылысатынына назар аударыңыз және мұндай қиылысу нүктелері әбден қолайлы - шексіздікте «бәрі қалыпты» болуы маңызды (шын мәнінде, асимптоталар туралы талқылау сол жерде пайда болады).

7-мысал

Функция графигінің асимптоттарын табыңыз

Шешім: түсініктеме беретін ештеңе жоқ, сондықтан мен соңғы шешімнің шамамен үлгісін жасаймын:

1) Тік асимптоталар. Мәселені зерттеп көрейік.

Түзу сызық нүктедегі графиктің тік асимптотасы болып табылады.

2) қиғаш асимптоталар:

Түзу сызық - нүктедегі графиктің қиғаш асимптотасы.

Жауап:

Табылған бір жақты шектеулер мен асимптоталар бұл функцияның графигі қандай болатынын жоғары сенімділікпен болжауға мүмкіндік береді. Сабақ соңында дұрыс сурет салу.

8-мысал

Функция графигінің асимптоттарын табыңыз

Бұл тәуелсіз шешімнің мысалы, кейбір шектеулерді есептеудің ыңғайлылығы үшін алымды бөлгіш мүшесіне мүшеге бөлуге болады. Және тағы да нәтижелерді талдай отырып, осы функцияның графигін салуға тырысыңыз.

Әлбетте, «нақты» қиғаш асимптоттардың иелері алымының ең жоғары дәрежесі болатын бөлшек-рационал функциялардың графиктері болып табылады. тағы біреуібөлгіштің ең жоғарғы дәрежесі. Егер көп болса, қиғаш асимптот болмайды (мысалы, ).

Бірақ өмірде басқа кереметтер болады:

9-мысал

Шешім: функция үздіксізбүкіл сан түзуінде, яғни тік асимптоталар жоқ. Бірақ беткейлер болуы мүмкін. Біз тексереміз:

Мен университетте ұқсас функцияны қалай кездестіргенім есімде және оның қиғаш асимптотасы бар екеніне сене алмадым. Мен екінші шекті есептегенше:

Дәлірек айтқанда, бұл жерде екі белгісіздік бар: және , бірақ бір жолмен немесе басқа жолмен сіз мақаланың 5-6 мысалдарында талқыланатын шешім әдісін пайдалануыңыз керек. күрделіліктің жоғарылауы туралы. Формуланы пайдалану үшін жалғаулық өрнекке көбейтіңіз және бөліңіз:

Жауап:

Мүмкін, ең танымал қиғаш асимптот.

Осы уақытқа дейін шексіздікті «сол қылқаламмен кесуге» үлгерді, бірақ функцияның графигі болады. екі түрліүшін және үшін қиғаш асимптоталар:

10-мысал

Асимптоталар үшін функцияның графигін қарастырыңыз

Шешім: түбір өрнегі оң, яғни домен- кез келген нақты сан және тік таяқшалар болуы мүмкін емес.

Қиғаш асимптоттардың бар-жоғын тексерейік.

Егер «x» «минус шексіздікке» бейім болса, онда:
(квадрат түбірі астына «х» енгізген кезде теріс бөлгішті жоғалтпау үшін «минус» белгісін қою керек)

Бұл әдеттен тыс көрінеді, бірақ бұл жерде белгісіздік «шексіздік минус шексіздік». Алым мен бөлгішті қосымша өрнекке көбейтіңіз:

Осылайша, түзу сызық - нүктедегі графиктің қиғаш асимптотасы.

«Плюс шексіздікпен» бәрі тривиальдырақ:

Ал түзу - кезінде.

Жауап:

Егер;
, Егер .

Мен графикалық кескінге қарсы тұра алмаймын:


Бұл филиалдардың бірі гипербола .

Асимптоттардың ықтимал болуы бастапқыда шектелген кезде сирек емес функция ауқымы:

11-мысал

Асимптоталар үшін функцияның графигін қарастырыңыз

Шешім: ол анық , сондықтан функцияның графигі бар оң жақ жарты жазықтықты ғана қарастырамыз.

1) Функция үздіксізаралықта , яғни тік асимптот бар болса, онда ол тек у осі болуы мүмкін. Біз нүктеге жақын функцияның әрекетін зерттейміз оң жақта:

Назар аударыңыз, мұнда екіұштылық жоқ(мұндай жағдайларға назар мақаланың басында аударылды Шешу әдістерін шектеу).

Осылайша, түзу сызық (y осі) - нүктесіндегі функция графигі үшін тік асимптот болып табылады.

2) Көлбеу асимптотаны зерттеу толық схема бойынша жүргізілуі мүмкін, бірақ мақалада Жергілікті ережелерБіз логарифмдікке қарағанда өсудің жоғары ретті сызықтық функциясын анықтадық, сондықтан: (сол сабақтың 1 мысалын қараңыз).

Қорытынды: абсцисса осі - нүктедегі функция графигінің горизонталь асимптотасы.

Жауап:

Егер;
, Егер .

Түсінікті болу үшін сурет салу:

Бір қызығы, ұқсас болып көрінетін функцияның асимптоттары мүлдем жоқ (қалағандар мұны тексере алады).

Екі қорытынды өзін-өзі зерттеу мысалы:

12-мысал

Асимптоталар үшін функцияның графигін қарастырыңыз

Тік асимптоттарды тексеру үшін алдымен табу керек функция ауқымы, содан кейін «күдікті» нүктелердегі бір жақты шектеулер жұбын есептеңіз. Қиғаш асимптоталар да жоққа шығарылмайды, өйткені функция «плюс» және «минус» шексіздікке анықталады.

13-мысал

Асимптоталар үшін функцияның графигін қарастырыңыз

Және бұл жерде тек қиғаш асимптоталар болуы мүмкін, ал бағыттар , бөлек қарастырылуы керек.

Сіз дұрыс асимптотаны таптыңыз деп үміттенемін =)

Сәттілік тілеймін!

Шешімдер мен жауаптар:

2-мысал:Шешім :
. Бір жақты шектеулерді табайық:

Түзу функциясының графигінің тік асимптотасы болып табылады .
2) қиғаш асимптоталар.

Түзу .
Жауап:

Сурет салу 3-мысалға:

4-мысал:Шешім :
1) Тік асимптоталар. Функция нүктеде шексіз үзіліске ұшырайды . Бір жақты шектеулерді есептейік:

Ескерту: жұп дәрежеге дейінгі шексіз аз теріс сан шексіз аз оң санға тең: .

Түзу функция графигінің тік асимптотасы болып табылады.
2) қиғаш асимптоталар.


Түзу (абсцисса) – функциясының графигінің горизонталь асимптотасы .
Жауап: