Басқа сөздіктерде «слоу» деген не екенін қараңыз. Матрицалық әдіс арқылы сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешу мысалдары Төртінші ретті сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі

Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін (SLAEs) шешу сызықтық алгебра курсындағы ең маңызды тақырып екені сөзсіз. Математиканың барлық салаларындағы есептердің көп саны сызықтық теңдеулер жүйесін шешуге келеді. Бұл факторлар осы мақаланың себебін түсіндіреді. Мақаланың материалы оның көмегімен сіз жасай алатындай етіп таңдалған және құрылымдалған

• сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешудің оңтайлы әдісін таңдау,
• таңдалған әдістің теориясын зерттеу,
• типтік мысалдар мен есептердің егжей-тегжейлі шешімдерін қарастыру арқылы сызықтық теңдеулер жүйесін шешіңіз.

Мақала материалының қысқаша сипаттамасы.

Біріншіден, біз барлық қажетті анықтамаларды, ұғымдарды береміз және белгілерді енгіземіз.

Әрі қарай, теңдеулер саны белгісіз айнымалылар санына тең және бірегей шешімі бар сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешу әдістерін қарастырамыз. Біріншіден, Крамер әдісіне тоқталамыз, екіншіден, мұндай теңдеулер жүйесін шешудің матрицалық әдісін көрсетеміз, үшіншіден, Гаусс әдісін (белгісіз айнымалыларды тізбектей жою әдісі) талдаймыз. Теорияны бекіту үшін біз міндетті түрде бірнеше SLAE-ны әртүрлі тәсілдермен шешеміз.

Осыдан кейін біз теңдеулер саны белгісіз айнымалылар санымен сәйкес келмейтін немесе жүйенің негізгі матрицасы сингулярлы болатын жалпы түрдегі сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешуге көшеміз. SLAE үйлесімділігін орнатуға мүмкіндік беретін Кронекер-Капелли теоремасын тұжырымдаймыз. Матрицаның минор базистік концепциясын қолдана отырып, жүйелердің шешімін (егер олар үйлесімді болса) талдап көрейік. Сондай-ақ Гаусс әдісін қарастырамыз және мысалдардың шешімдерін егжей-тегжейлі сипаттаймыз.

Сызықтық алгебралық теңдеулер біртекті және біртекті емес жүйелерінің жалпы шешімдерінің құрылымына міндетті түрде тоқталамыз. Шешімдердің іргелі жүйесі түсінігін берейік және шешімдердің іргелі жүйесінің векторларының көмегімен SLAE жалпы шешімі қалай жазылатынын көрсетейік. Жақсырақ түсіну үшін бірнеше мысалды қарастырайық.

Қорытындылай келе, сызықтық теңдеулер жүйесіне келтіруге болатын теңдеулер жүйесін, сондай-ақ шешуде SLAE туындайтын әртүрлі есептерді қарастырамыз.

Бетті шарлау.

Анықтамалар, ұғымдар, белгілеулер.

n түріндегі белгісіз айнымалысы (p n-ге тең болуы мүмкін) p сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін қарастырамыз.

Белгісіз айнымалылар, - коэффициенттер (кейбір нақты немесе күрделі сандар), - бос мүшелер (сонымен қатар нақты немесе күрделі сандар).

SLAE жазбасының бұл түрі деп аталады координат.

IN матрицалық пішінбұл теңдеулер жүйесін жазу келесідей болады:
Қайда - жүйенің негізгі матрицасы, - белгісіз айнымалылардың бағандық матрицасы, - бос терминдердің бағандық матрицасы.

Егер А матрицасына (n+1)-ші баған ретінде бос мүшелердің матрицалық бағанасын қоссақ, біз мынаны аламыз. кеңейтілген матрицасызықтық теңдеулер жүйесі. Әдетте, кеңейтілген матрица T әрпімен белгіленеді, ал бос терминдер бағандары қалған бағандардан тік сызықпен бөлінеді, яғни,

Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешужүйенің барлық теңдеулерін сәйкестендіруге айналдыратын белгісіз айнымалы мәндердің жиыны деп аталады. Белгісіз айнымалылардың берілген мәндері үшін матрицалық теңдеу де сәйкестендіруге айналады.

Егер теңдеулер жүйесінің ең болмағанда бір шешімі болса, онда ол деп аталады буын.

Егер теңдеулер жүйесінің шешімі болмаса, онда ол аталады бірлескен емес.

Егер SLAE бірегей шешімі болса, онда ол шақырылады белгілі; егер бірнеше шешім болса, онда – белгісіз.

Жүйенің барлық теңдеулерінің бос мүшелері нөлге тең болса , содан кейін жүйе шақырылады біртекті, әйтпесе - гетерогенді.

Сызықтық алгебралық теңдеулердің элементар жүйелерін шешу.

Егер жүйенің теңдеулерінің саны белгісіз айнымалылар санына тең болса және оның негізгі матрицасының анықтаушысы нөлге тең болмаса, онда мұндай SLAE деп аталады. бастауыш. Мұндай теңдеулер жүйелерінің бірегей шешімі бар, ал біртекті жүйе жағдайында барлық белгісіз айнымалылар нөлге тең.

Біз мұндай SLAE-ны орта мектепте оқи бастадық. Оларды шешу кезінде біз бір теңдеуді алып, бір белгісіз айнымалыны басқаларымен өрнектеп, оны қалған теңдеулерге ауыстырдық, содан кейін келесі теңдеуді алып, келесі белгісіз айнымалыны өрнектеп, оны басқа теңдеулерге ауыстырдық және т.б. Немесе олар қосу әдісін қолданды, яғни кейбір белгісіз айнымалыларды жою үшін екі немесе одан да көп теңдеулерді қосты. Біз бұл әдістерге егжей-тегжейлі тоқталмаймыз, өйткені олар негізінен Гаусс әдісінің модификациясы болып табылады.

Сызықтық теңдеулердің элементар жүйелерін шешудің негізгі әдістеріне Крамер әдісі, матрицалық әдіс және Гаусс әдісі жатады. Оларды реттеп көрейік.

Крамер әдісімен сызықтық теңдеулер жүйесін шешу.

Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешу керек делік

онда теңдеулер саны белгісіз айнымалылар санына тең және жүйенің негізгі матрицасының анықтауышы нөлден өзгеше, яғни .

Жүйенің бас матрицасының анықтауышы болсын, және - алмастыру арқылы А-дан алынатын матрицалардың анықтауыштары 1-ші, 2-ші, …, n-шібос мүшелер бағанына сәйкес баған:

Бұл белгілермен белгісіз айнымалылар Крамер әдісінің формулалары арқылы есептеледі . Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесінің шешімі осылайша Крамер әдісі арқылы табылады.

Мысал.

Крамер әдісі .

Шешім.

Жүйенің негізгі матрицасы пішінге ие . Оның анықтаушысын есептейік (қажет болса, мақаланы қараңыз):

Жүйенің негізгі матрицасының детерминанты нөлге тең емес болғандықтан, жүйеде Крамер әдісімен табуға болатын бірегей шешім бар.

Қажетті анықтауыштарды құрастырып есептейік (А матрицасындағы бірінші бағанды ​​бос мүшелер бағанымен, анықтауышты екінші бағанды ​​бос мүшелер бағанымен, ал А матрицасының үшінші бағанын бос мүшелер бағанымен ауыстыру арқылы анықтауышты аламыз) :

Формулалар арқылы белгісіз айнымалыларды табу :

Жауап:

Крамер әдісінің негізгі кемшілігі (егер оны кемшілік деп атауға болатын болса) жүйедегі теңдеулердің саны үштен көп болған кезде анықтауыштарды есептеудің күрделілігі болып табылады.

Матрицалық әдіс арқылы сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешу (кері матрицаны қолдану).

Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі матрицалық түрде берілсін, мұндағы А матрицасының өлшемі n-ге тең, ал анықтауышы нөлге тең емес.

Өйткені, А матрицасы инверсиялы, яғни кері матрица бар. Теңдіктің екі жағын солға көбейтсек, белгісіз айнымалылардың матрица-бағанасын табу формуласын аламыз. Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін матрицалық әдіс арқылы шешуді осылай алдық.

Мысал.

Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу матрицалық әдіс.

Шешім.

Теңдеулер жүйесін матрицалық түрде қайта жазайық:

Өйткені

онда SLAE матрицалық әдіс арқылы шешілуі мүмкін. Кері матрицаны пайдаланып, бұл жүйенің шешімін келесідей табуға болады .

А матрицасының элементтерінің алгебралық қосындыларынан матрицаны пайдаланып кері матрицаны тұрғызайық (қажет болса, мақаланы қараңыз):

Кері матрицаны көбейту арқылы белгісіз айнымалылардың матрицасын есептеу қалады бос мүшелердің матрицалық бағанына (қажет болса, мақаланы қараңыз):

Жауап:

немесе басқа белгілеуде x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Матрицалық әдісті қолдана отырып, сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесінің шешімдерін табудағы негізгі мәселе кері матрицаны табудың күрделілігі болып табылады, әсіресе үштен жоғары ретті квадрат матрицалар үшін.

Гаусс әдісімен сызықтық теңдеулер жүйесін шешу.

n белгісіз айнымалысы бар n сызықтық теңдеулер жүйесінің шешімін табу керек делік.
негізгі матрицасының анықтауышы нөлден өзгеше.

Гаусс әдісінің мәнібелгісіз айнымалыларды дәйекті түрде жоюдан тұрады: біріншіден, x 1 екіншіден бастап жүйенің барлық теңдеулерінен шығарылады, содан кейін x 2 үшіншіден бастап барлық теңдеулерден алынып тасталады және т.б., тек белгісіз айнымалы x n қалғанша. соңғы теңдеуде. Белгісіз айнымалыларды дәйекті түрде жою үшін жүйелік теңдеулерді түрлендірудің бұл процесі деп аталады тура Гаусс әдісі. Гаусс әдісінің тура штрихын аяқтағаннан кейін, соңғы теңдеуден х n табылады, соңғы теңдеудегі осы мәнді пайдаланып, x n-1 есептеледі және осылайша бірінші теңдеуден х 1 табылады. Жүйенің соңғы теңдеуінен бірінші теңдеуіне өту кезінде белгісіз айнымалыларды есептеу процесі деп аталады. Гаусс әдісіне кері.

Белгісіз айнымалыларды жою алгоритмін қысқаша сипаттайық.

Біз жүйенің теңдеулерін қайта реттеу арқылы әрқашан қол жеткізе алатындықтан, деп есептейміз. Екіншіден бастап жүйенің барлық теңдеулерінен белгісіз x 1 айнымалысын алып тастаймыз. Ол үшін жүйенің екінші теңдеуіне бірінші көбейтіндісін қосамыз, үшінші теңдеуге бірінші, көбейтіндісін қосамыз және т.б., n-ші теңдеуге бірінші көбейтіндіні қосамыз. Мұндай түрлендірулерден кейін теңдеулер жүйесі пішінге ие болады

қайда және .

Егер біз жүйенің бірінші теңдеуіндегі x 1-ді басқа белгісіз айнымалылар арқылы өрнектеп, алынған өрнекті барлық басқа теңдеулерге ауыстырсақ, дәл осындай нәтижеге жеткен болар едік. Осылайша, х 1 айнымалысы екіншіден бастап барлық теңдеулерден алынып тасталады.

Әрі қарай, біз ұқсас жолмен жүреміз, бірақ тек суретте белгіленген нәтиже жүйесінің бөлігімен ғана

Ол үшін жүйенің үшінші теңдеуіне көбейтілген екінші теңдеуді қосамыз, төртінші теңдеуге екінші көбейтіндіні қосамыз және т.б., n-ші теңдеуге екінші көбейтіндіні қосамыз. Мұндай түрлендірулерден кейін теңдеулер жүйесі пішінге ие болады

қайда және . Осылайша, х 2 айнымалысы үшіншіден бастап барлық теңдеулерден алынып тасталады.

Әрі қарай, біз белгісіз x 3-ті жоюға кірісеміз, ал біз суретте белгіленген жүйе бөлігімен бірдей әрекет етеміз.

Сонымен, жүйе пішінді алғанша Гаусс әдісінің тура прогрессиясын жалғастырамыз

Осы сәттен бастап біз Гаусс әдісінің кері әрекетін бастаймыз: біз соңғы теңдеуден х n-ді былай есептейміз, х n-нің алынған мәнін пайдаланып, соңғыдан кейінгі теңдеуден х n-1 табамыз, және т.б., бірінші теңдеуден х 1-ді табамыз. .

Мысал.

Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу Гаусс әдісі.

Шешім.

Жүйенің екінші және үшінші теңдеулерінен белгісіз x 1 айнымалысын алып тастайық. Ол үшін екінші және үшінші теңдеулердің екі жағына бірінші теңдеудің сәйкес бөліктерін сәйкесінше көбейтіндісін қосамыз:

Енді үшінші теңдеуден х 2-ні оның сол және оң жақтарына екінші теңдеудің сол және оң жақтарын қосып, мынаға көбейтеміз:

Бұл Гаусс әдісінің алға штрихын аяқтайды, біз кері штрихты бастаймыз.

Алынған теңдеулер жүйесінің соңғы теңдеуінен х 3 табамыз:

Екінші теңдеуден біз аламыз.

Бірінші теңдеуден қалған белгісіз айнымалыны табамыз және сол арқылы Гаусс әдісінің кері әрекетін аяқтаймыз.

Жауап:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Жалпы түрдегі сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешу.

Жалпы алғанда p жүйесінің теңдеулерінің саны белгісіз n айнымалылар санына сәйкес келмейді:

Мұндай SLAE шешімдері болмауы мүмкін, жалғыз шешімі немесе шексіз көп шешімдері болуы мүмкін. Бұл мәлімдеме негізгі матрицасы квадрат және сингуляр болатын теңдеулер жүйесіне де қатысты.

Кронеккер – Капелли теоремасы.

Сызықтық теңдеулер жүйесінің шешімін таппас бұрын оның үйлесімділігін анықтау қажет. SLAE қашан үйлесімді және қай кезде сәйкес емес деген сұраққа жауап береді Кронеккер – Капелли теоремасы:
n белгісізі бар p теңдеулер жүйесі (p n-ге тең болуы мүмкін) дәйекті болуы үшін жүйенің бас матрицасының рангі кеңейтілген матрицаның рангіне тең болуы қажет және жеткілікті, яғни , Rank(A)=Rank(T).

Мысал ретінде сызықтық теңдеулер жүйесінің үйлесімділігін анықтау үшін Кронеккер – Капелли теоремасын қолдануды қарастырайық.

Мысал.

Сызықтық теңдеулер жүйесінің бар-жоғын табыңыз шешімдер.

Шешім.

. Кәмелетке толмағандарды шекараласу әдісін қолданайық. Екінші ретті кіші нөлден өзгеше. Онымен шектесетін үшінші дәрежелі кәмелетке толмағандарды қарастырайық:

Үшінші ретті барлық шекаралас кішілер нөлге тең болғандықтан, негізгі матрицаның рангі екіге тең.

Өз кезегінде кеңейтілген матрицаның рангі үшке тең, өйткені кәмелетке толмаған үшінші ретті

нөлден өзгеше.

Осылайша, Rang(A), сондықтан Кронекер-Капелли теоремасын пайдалана отырып, сызықтық теңдеулер жүйесінің бастапқы жүйесі сәйкес емес деген қорытынды жасауға болады.

Жауап:

Жүйеде шешімдер жоқ.

Сонымен, біз Кронеккер-Капелли теоремасын пайдаланып жүйенің сәйкессіздігін анықтауды үйрендік.

Бірақ егер оның үйлесімділігі анықталған болса, SLAE шешімін қалай табуға болады?

Ол үшін бізге матрицаның базистік миноры ұғымы және матрица рангі туралы теорема қажет.

А матрицасының нөлден өзгеше ең жоғарғы ретті миноры деп аталады негізгі.

Минор базисінің анықтамасынан оның реті матрица рангіне тең екені шығады. Нөлдік емес А матрицасы үшін бірнеше базистік минорлар болуы мүмкін; әрқашан бір базистік минор болады.

Мысалы, матрицаны қарастырайық .

Бұл матрицаның барлық үшінші ретті минорлары нөлге тең, өйткені бұл матрицаның үшінші жолының элементтері бірінші және екінші жолдардың сәйкес элементтерінің қосындысы болып табылады.

Келесі екінші ретті кәмелетке толмағандар негізгі болып табылады, өйткені олар нөлге тең емес

Кәмелетке толмағандар негізгі емес, өйткені олар нөлге тең.

Матрицалық дәрежелер теоремасы.

Егер p-n ретті матрицаның дәрежесі r-ге тең болса, онда матрицаның таңдалған минорды құрамайтын барлық жол (және баған) элементтері түзетін сәйкес жол (және баған) элементтері арқылы сызықтық түрде өрнектеледі. негіз минор.

Матрицалық дәрежелер теоремасы бізге не айтады?

Егер Кронеккер-Капелли теоремасы бойынша жүйенің үйлесімділігін анықтасақ, онда жүйенің негізгі матрицасының кез келген минор базисін таңдаймыз (оның реті r-ге тең) және жүйеден барлық теңдеулерді алып тастаймыз. таңдалған негізді құрамайды. Осылайша алынған SLAE бастапқыға тең болады, өйткені жойылған теңдеулер әлі де артық (матрицалық дәрежелер теоремасы бойынша олар қалған теңдеулердің сызықтық комбинациясы болып табылады).

Нәтижесінде жүйенің қажетсіз теңдеулерін алып тастағаннан кейін екі жағдай болуы мүмкін.

Егер алынған жүйедегі r теңдеулерінің саны белгісіз айнымалылар санына тең болса, онда ол анықталған болады және жалғыз шешімді Крамер әдісі, матрицалық әдіс немесе Гаусс әдісі арқылы табуға болады.

Мысал.

.

Шешім.

Жүйенің негізгі матрицасының дәрежесі екіге тең, өйткені кіші екінші ретті нөлден өзгеше. Кеңейтілген матрица дәрежесі сонымен қатар екіге тең, өйткені жалғыз үшінші ретті минор нөлге тең

ал жоғарыда қарастырылған екінші ретті минор нөлден ерекшеленеді. Кронеккер – Капелли теоремасына сүйене отырып, біз бастапқы сызықтық теңдеулер жүйесінің үйлесімділігін растай аламыз, өйткені Rank(A)=Rank(T)=2.

Минорды негіз ретінде аламыз . Ол бірінші және екінші теңдеулердің коэффициенттері арқылы құрылады:


Жүйенің үшінші теңдеуі базис минорын құруға қатыспайды, сондықтан оны матрица рангі туралы теоремаға негізделген жүйеден алып тастаймыз:


Осылайша біз сызықтық алгебралық теңдеулердің элементар жүйесін алдық. Оны Крамер әдісі арқылы шешейік:


Жауап:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Егер алынған SLAE-дегі r теңдеулерінің саны белгісіз айнымалылар санынан n аз болса, онда теңдеулердің сол жақтарында базистік минорды құрайтын мүшелерді қалдырамыз, ал қалған мүшелерін оң жақтарына көшіреміз. қарама-қарсы таңбалы жүйенің теңдеулері.

Теңдеулердің сол жақтарында қалған белгісіз айнымалылар (олардың r) деп аталады негізгі.

Оң жағында орналасқан белгісіз айнымалылар (n - r бөліктері бар) деп аталады Тегін.

Енді біз бос белгісіз айнымалылар ерікті мәндерді қабылдай алады деп есептейміз, ал r негізгі белгісіз айнымалылар еркін белгісіз айнымалылар арқылы бірегей жолмен өрнектелетін болады. Олардың өрнегін Крамер әдісі, матрицалық әдіс немесе Гаусс әдісі арқылы алынған SLAE шешу арқылы табуға болады.

Оны мысалмен қарастырайық.

Мысал.

Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешу .

Шешім.

Жүйенің бас матрицасының рангін табайық кәмелетке толмағандарды шекараласу әдісімен. Бірінші ретті нөлдік емес минор ретінде 1 1 = 1 алайық. Осы минормен шектесетін екінші ретті нөлдік емес минорды іздеуді бастайық:


Екінші ретті нөлдік емес минорды осылай таптық. Үшінші ретті нөлдік емес шекаралас минорды іздеуді бастайық:


Осылайша, негізгі матрицаның дәрежесі үш. Кеңейтілген матрицаның рангі де үшке тең, яғни жүйе сәйкес келеді.

Үшінші реттің табылған нөлдік емес минорын негізге аламыз.

Түсінікті болу үшін біз минор негізін құрайтын элементтерді көрсетеміз:


Жүйелік теңдеулердің сол жағына минор базисіндегі мүшелерді қалдырамыз, ал қалғандарын қарама-қарсы таңбаларымен оң жақтарына ауыстырамыз:


Еркін белгісіз айнымалы x 2 және x 5 ерікті мәндерін берейік, яғни қабылдаймыз , мұндағы ерікті сандар. Бұл жағдайда SLAE пішінді алады


Алынған сызықтық алгебралық теңдеулердің элементар жүйесін Крамер әдісімен шешейік:


Демек, .

Жауабыңызда бос белгісіз айнымалыларды көрсетуді ұмытпаңыз.

Жауап:

Ерікті сандар қайда.

Қорытындылау.

Жалпы сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешу үшін алдымен Кронекер – Капелли теоремасы арқылы оның үйлесімділігін анықтаймыз. Егер негізгі матрицаның дәрежесі кеңейтілген матрицаның рангіне тең болмаса, онда жүйе үйлеспейтіндігі туралы қорытынды жасаймыз.

Егер негізгі матрицаның рангі кеңейтілген матрицаның рангіне тең болса, онда минор базисін таңдаймыз және таңдалған минор базисін құруға қатыспайтын жүйе теңдеулерін алып тастаймыз.

Егер минор базисінің реті белгісіз айнымалылар санына тең болса, онда SLAE бірегей шешімі бар, оны бізге белгілі кез келген әдіспен табуға болады.

Егер базис минорының реті белгісіз айнымалылар санынан аз болса, онда жүйе теңдеулерінің сол жағында негізгі белгісіз айнымалылары бар мүшелерді қалдырамыз, қалған мүшелерді оң жақтарына ауыстырамыз және еркін мәндерді береміз. бос белгісіз айнымалылар. Алынған сызықтық теңдеулер жүйесінен Крамер әдісі, матрицалық әдіс немесе Гаусс әдісі арқылы негізгі белгісіз айнымалыларды табамыз.

Жалпы түрдегі сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешудің Гаусс әдісі.

Гаусс әдісін кез келген түрдегі сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін бірінші рет сәйкестігін тексермей шешу үшін қолдануға болады. Белгісіз айнымалыларды дәйекті жою процесі SLAE үйлесімділігі де, үйлесімсіздігі туралы да қорытынды жасауға мүмкіндік береді, ал егер шешім бар болса, оны табуға мүмкіндік береді.

Есептеу тұрғысынан Гаусс әдісі қолайлы.

Оның толық сипаттамасын және талданған мысалдарын жалпы сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешуге арналған Гаусс әдісі мақаласынан қараңыз.

Шешімдердің іргелі жүйесінің векторларын пайдалана отырып, біртекті және біртекті емес сызықтық алгебралық жүйелердің жалпы шешімін жазу.

Бұл бөлімде біз шешімдерінің шексіз санына ие сызықтық алгебралық теңдеулердің бір мезгілде біртекті және біртекті емес жүйелері туралы айтатын боламыз.

Алдымен біртекті жүйелерді қарастырайық.

Шешімдердің негізгі жүйесі n белгісіз айнымалысы бар p сызықтық алгебралық теңдеулердің біртекті жүйесі – бұл жүйенің (n – r) сызықты тәуелсіз шешімдерінің жиынтығы, мұндағы r – жүйенің бас матрицасының базистік минорының реті.

Егер біртекті SLAE сызықты тәуелсіз шешімдерін X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) деп белгілесек, n өлшемді бағаналы матрицалар. арқылы 1) , онда осы біртекті жүйенің жалпы шешімі еркін тұрақты коэффициенттері C 1, C 2, ..., C (n-r) болатын шешімдердің іргелі жүйесінің векторларының сызықтық комбинациясы ретінде көрсетіледі, яғни, .

Біртекті сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесінің жалпы шешімі (орослау) термині нені білдіреді?

Мағынасы қарапайым: формула бастапқы SLAE барлық мүмкін шешімдерін көрсетеді, басқаша айтқанда, C 1, C 2, ..., C (n-r) ерікті тұрақтыларының мәндерінің кез келген жиынын қабылдай отырып, формуланы пайдалана отырып бастапқы біртекті SLAE ерітінділерінің бірін алу.

Осылайша, егер біз шешімдердің іргелі жүйесін тапсақ, онда бұл біртекті SLAE барлық шешімдерін ретінде анықтауға болады.

Біртекті SLAE шешімдерінің іргелі жүйесін құру процесін көрсетейік.

Түпнұсқа сызықтық теңдеулер жүйесінің базистік минорын таңдаймыз, жүйеден барлық басқа теңдеулерді алып тастаймыз және бос белгісіз айнымалылары бар барлық мүшелерді таңбалары қарама-қарсы жүйе теңдеулерінің оң жақтарына ауыстырамыз. Бос белгісіз айнымалыларға 1,0,0,...,0 мәндерін берейік және алынған сызықтық теңдеулердің элементар жүйесін кез келген әдіспен шешу арқылы негізгі белгісіздерді есептейік, мысалы, Крамер әдісімен. Бұл X (1) - іргелі жүйенің бірінші шешімін береді. Егер бос белгісіздерге 0,1,0,0,…,0 мәндерін беріп, негізгі белгісіздерді есептесек, X (2) аламыз. Тағыда басқа. Егер бос белгісіз айнымалыларға 0,0,…,0,1 мәндерін тағайындасақ және негізгі белгісіздерді есептесек, X (n-r) аламыз. Осылайша, біртекті SLAE шешімдерінің іргелі жүйесі құрылады және оның жалпы шешімі түрінде жазылуы мүмкін.

Сызықтық алгебралық теңдеулердің біртекті емес жүйелері үшін жалпы шешім                                                                                          | ​0,0,…,0 және негізгі белгісіздердің мәндерін есептеу.

Мысалдарды қарастырайық.

Мысал.

Сызықтық алгебралық теңдеулер біртекті жүйесінің шешімдерінің іргелі жүйесін және жалпы шешімін табыңыз .

Шешім.

Сызықтық теңдеулер біртекті жүйелерінің негізгі матрицасының рангі әрқашан кеңейтілген матрицаның рангіне тең. Кәмелетке толмағандарды шектестіру әдісі арқылы негізгі матрицаның рангін табайық. Бірінші ретті нөлдік емес минор ретінде жүйенің негізгі матрицасының а 1 1 = 9 элементін аламыз. Екінші ретті шекаралас нөлдік емес минорды табайық:

Нөлден өзгеше екінші ретті минор табылды. Нөлдік емес біреуін іздеу үшін онымен шектесетін үшінші дәрежелі кәмелетке толмағандарды қарастырайық:

Барлық үшінші ретті шекаралас кәмелетке толмағандар нөлге тең, сондықтан негізгі және кеңейтілген матрицаның рангі екіге тең. Алайық. Түсінікті болу үшін оны құрайтын жүйенің элементтерін атап өтейік:

Бастапқы SLAE үшінші теңдеуі минордың негізін құруға қатыспайды, сондықтан оны алып тастауға болады:

Негізгі белгісіздері бар мүшелерді теңдеулердің оң жақтарына қалдырамыз, ал бос белгісіздері бар мүшелерді оң жақтарына көшіреміз:

Сызықтық теңдеулердің бастапқы біртекті жүйесінің шешімдерінің іргелі жүйесін құрайық. Бұл SLAE шешімдерінің іргелі жүйесі екі шешімнен тұрады, өйткені бастапқы SLAE төрт белгісіз айнымалыны қамтиды және оның минор базисінің реті екіге тең. Х (1) мәнін табу үшін бос белгісіз айнымалыларға x 2 = 1, x 4 = 0 мәндерін береміз, содан кейін теңдеулер жүйесінен негізгі белгісіздерді табамыз.
.

Сызықтық теңдеулер жүйесі — әрқайсысында k айнымалысы бар n сызықтық теңдеулердің бірігуі. Ол былай жазылған:

Көптеген адамдар жоғары алгебрамен алғаш рет кездескенде, теңдеулер саны міндетті түрде айнымалылар санымен сәйкес келуі керек деп қателеседі. Мектеп алгебрасында бұл әдетте орын алады, бірақ жоғары алгебра үшін бұл әдетте дұрыс емес.

Теңдеулер жүйесінің шешімі - бұл жүйенің әрбір теңдеуінің шешімі болып табылатын сандар тізбегі (k 1, k 2, ..., k n), яғни. осы теңдеуге x 1, x 2, ..., x n айнымалыларының орнына қойғанда дұрыс сандық теңдікті береді.

Осыған сәйкес теңдеулер жүйесін шешу оның барлық шешімдерінің жиынын табу немесе бұл жиынның бос екенін дәлелдеу дегенді білдіреді. Теңдеулер саны мен белгісіздердің саны сәйкес келмеуі мүмкін болғандықтан, үш жағдай болуы мүмкін:

1. Жүйе сәйкес емес, яғни. барлық шешімдер жиынтығы бос. Жүйені шешу үшін қандай әдіс қолданылса да оңай анықталатын өте сирек жағдай.
2. Жүйе дәйекті және анықталған, яғни. дәл бір шешімі бар. Мектептен бері белгілі классикалық нұсқасы.
3. Жүйе дәйекті және анықталмаған, яғни. шексіз көп шешімдері бар. Бұл ең қиын нұсқа. «Жүйеде шешімдердің шексіз жиынтығы бар» деп көрсету жеткіліксіз - бұл жиынтық қалай құрылымдалғанын сипаттау қажет.

x i айнымалысы рұқсат етілген деп аталады, егер ол жүйенің тек бір теңдеуіне қосылса және коэффициенті 1. Басқаша айтқанда, басқа теңдеулерде x i айнымалысының коэффициенті нөлге тең болуы керек.

Әрбір теңдеуде бір рұқсат етілген айнымалыны таңдасақ, барлық теңдеулер жүйесі үшін рұқсат етілген айнымалылар жиынын аламыз. Бұл пішінде жазылған жүйенің өзі де шешілген деп аталады. Жалпы алғанда, бір және бір түпнұсқа жүйені әртүрлі рұқсат етілгенге дейін азайтуға болады, бірақ әзірге бұл бізді алаңдатпайды. Мұнда рұқсат етілген жүйелердің мысалдары берілген:

Екі жүйе де x 1 , x 3 және x 4 айнымалыларына қатысты шешіледі. Дегенмен, дәл осындай жетістікпен екінші жүйе x 1, x 3 және x 5-ке қатысты шешілген деп айтуға болады. Ең соңғы теңдеуді x 5 = x 4 түрінде қайта жазу жеткілікті.

Енді жалпы жағдайды қарастырайық. Барлығында k айнымалы болсын, олардың ішінде r рұқсат етілген. Сонда екі жағдай болуы мүмкін:

1. Рұқсат етілген айнымалылар саны k айнымалылардың жалпы санына тең r: r = k. r = k рұқсат етілген айнымалылар болатын k теңдеулер жүйесін аламыз. Мұндай жүйе бірлескен және белгілі, өйткені x 1 = b 1, x 2 = b 2, ..., x k = b k;
2. Рұқсат етілген айнымалылар саны k айнымалылардың жалпы санынан аз r: r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

Сонымен, жоғарыда аталған жүйелерде x 2, x 5, x 6 (бірінші жүйе үшін) және x 2, x 5 (екінші үшін) айнымалылар бос. Бос айнымалылар болған жағдай теорема ретінде жақсы тұжырымдалған:

Назар аударыңыз: бұл өте маңызды сәт! Нәтижелік жүйені қалай жазуыңызға байланысты бірдей айнымалы рұқсат етілген немесе бос болуы мүмкін. Көптеген жоғары математика мұғалімдері айнымалы мәндерді лексикографиялық тәртіпте жазуды ұсынады, яғни. өсу индексі. Дегенмен, сіз бұл кеңесті орындауға міндетті емессіз.

Теорема. Егер n теңдеулер жүйесінде x 1, x 2, ..., x r айнымалыларына рұқсат етілсе, ал x r + 1, x r + 2, ..., x k бос болса, онда:

1. Егер бос айнымалылардың мәндерін орнатсақ (x r + 1 = t r + 1, x r + 2 = t r + 2, ..., x k = t k), содан кейін x 1, x 2 мәндерін табамыз, ..., x r, біз шешімдердің бірін аламыз.
2. Егер екі шешімде бос айнымалылардың мәндері сәйкес келсе, рұқсат етілген айнымалылардың мәндері де сәйкес келеді, яғни. шешімдері тең.

Бұл теореманың мәні неде? Шешілген теңдеулер жүйесінің барлық шешімдерін алу үшін бос айнымалыларды оқшаулау жеткілікті. Содан кейін бос айнымалыларға әртүрлі мәндерді тағайындай отырып, біз дайын шешімдерді аламыз. Мұның бәрі - осылайша жүйенің барлық шешімдерін алуға болады. Басқа шешімдер жоқ.

Қорытынды: шешілген теңдеулер жүйесі әрқашан сәйкес келеді. Шешілген жүйедегі теңдеулер саны айнымалылар санына тең болса, жүйе анықталған, аз болса, белгісіз болады.

Және бәрі жақсы болар еді, бірақ сұрақ туындайды: бастапқы теңдеулер жүйесінен шешілгенін қалай алуға болады? Бұл үшін бар

Матрицалық пішін

Сызықтық теңдеулер жүйесін матрицалық түрде келесідей көрсетуге болады:

немесе матрицаны көбейту ережесіне сәйкес,

АX = Б.

Егер А матрицаға бос мүшелер бағанасы қосылса, онда А кеңейтілген матрица деп аталады.

Шешу әдістері

Тікелей (немесе дәл) әдістер белгілі бір қадамдар санымен шешім табуға мүмкіндік береді. Итерациялық әдістер итерациялық процесті қолдануға негізделген және бірізді жақындау нәтижесінде шешімді алуға мүмкіндік береді.

Тікелей әдістер

• Өткізу әдісі(Үшін тридиагональды матрицалар)
• Холескийдің ыдырауынемесе квадрат түбір әдісі (үшін оң анықтаусимметриялы және Эрмитматрицалар)

Итеративті әдістер

VBA-да сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешу

Опция Ашық Sub rewenie() Dim i ретінде бүтін Dim j ретінде Integer Dim r() ретінде Double Dim p ретінде Double Dim x() ретінде Double Dim k ретінде бүтін Dim ретінде n бүтін Dim ретінде b() Double Dim файлы ретінде бүтін Dim y () Қос файл ретінде = ТегінФайл "C:\data.txt" файлын енгізу үшін Файл ретінде енгізу үшін #file, n ReDim x(0 - n * n - 1 ) ретінде Double ReDim y(0 - n - 1 ) ретінде Double ReDim r(0 - n - 1 ) Қосарлы i үшін = 0 - n - 1 үшін j = 0 үшін n - 1 #файл енгізу, x(i * n + j) Келесі j #файл енгізу, y(i) Келесі i Жабу #файл i = 0 үшін n - 1 p = x(i * n + i) үшін j = 1 үшін n - 1 x(i * n + j) = x(i * n + j) / p Келесі j y (i) = y(i) / p j = i + 1 үшін n - 1 p = x(j * n + i) үшін k = i үшін n - 1 x(j * n + k) = x(j) * n + k) - x(i * n + k) * p Келесі k y(j) = y(j) - y(i) * p Келесі j Келесі i «Жоғарғы үшбұрышты матрица i = n - 1 үшін 0 қадам -1 p = y(i) j = i + 1 үшін n - 1 p = p - x(i * n + j) * r(j) Келесі j r(i) = p / x(i * n + i) Келесі i " Кері жылжыту i = 0 үшін n - 1 MsgBox r(i) Келесі i "Аяқтау қосалқы

да қараңыз

Сілтемелер

Ескертпелер

Викимедиа қоры. 2010.

Басқа сөздіктерде «SLAU» деген не екенін қараңыз:

SLAU- сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі... Қысқартулар мен аббревиатуралар сөздігі

Бұл терминнің басқа да мағыналары бар, Slough (мағыналарын) қараңыз. Слофтың қалалық және унитарлық бірлігі Слоу елі ... Уикипедия

- (Слоу) Лондон-Бристоль темір жолындағы Үлкен Лондонды қоршап тұрған өнеркәсіп белдеуінің бөлігі ретінде Ұлыбританиядағы қала. 101,8 мың тұрғын (1974). Машина жасау, электр, электроника, автомобиль және химия... ... Ұлы Совет энциклопедиясы

Слоу- (Слоу) Слоу, Беркширдегі өнеркәсіптік және коммерциялық қала, оңтүстік. Англия, Лондонның батысы; 97400 тұрғыны (1981); Жеңіл өнеркәсіп дүниежүзілік соғыстар арасындағы кезеңде дами бастады... Әлем елдері. Сөздік

Slough: Slough (ағыл. Slough) Англиядағы қала, Беркшир округіндегі SLAOU Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі ... Уикипедия

Рослау муниципалитеті Елтаңба ... Уикипедия

Bad Vöslau қаласы Бад Вёслау Елтаңбасы ... Уикипедия

SLAE шешуге арналған проекциялық әдістер - белгісіз векторды белгілі бір кеңістікке проекциялау мәселесі басқа белгілі бір кеңістікке оптималды түрде қатысты болатын итерациялық әдістер класы. Мазмұны 1 Мәселе туралы мәлімдеме ... Уикипедия

Бад-Вослау қаласы Бад-Вослау Елі АвстрияАвстрия ... Уикипедия

Шешімдердің іргелі жүйесі (FSS) – біртекті теңдеулер жүйесіне сызықтық тәуелсіз шешімдер жиынтығы. Мазмұны 1 Біртекті жүйелер 1.1 2-мысал Гетерогенді жүйелер ... Wikipedia

Кітаптар

• MatLab (+CD) көмегімен кескінді қалпына келтіру, спектроскопия және томографияның тура және кері есептері, Сизиков Валерий Сергеевич. Кітапта интегралдық теңдеулер аппаратын (IE), сызықтық алгебралық теңдеулер жүйелерін (SLAE) және сызықтық-сызықсыз теңдеулер жүйесін (SLNE), сондай-ақ бағдарламалық қамтамасыз етуді пайдалану көрсетілген...

Мектепте әрқайсымыз теңдеулерді және, ең алдымен, теңдеулер жүйесін зерттедік. Бірақ оларды шешудің бірнеше жолы бар екенін көпшілік біле бермейді. Бүгін біз екіден көп теңдіктерден тұратын сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешудің барлық әдістерін егжей-тегжейлі талдаймыз.

Оқиға

Бүгінгі таңда теңдеулер мен олардың жүйелерін шешу өнері Ежелгі Вавилон мен Египетте пайда болғаны белгілі. Дегенмен, олардың таныс түрінде теңдіктер 1556 жылы ағылшын математигі Рекорд енгізген «=» теңдік белгісі пайда болғаннан кейін пайда болды. Айтпақшы, бұл белгі бір себеппен таңдалды: ол екі параллель тең сегменттерді білдіреді. Шынында да, теңдіктің бұдан жақсы үлгісі жоқ.

Белгісіз және дәреже белгілерінің қазіргі әріптік белгілеулерінің негізін салушы француз математигі.Бірақ оның белгілеулері бүгінгіден айтарлықтай ерекшеленді. Мысалы, ол белгісіз санның квадратын Q (лат. “quadratus”) әрпімен, ал кубты С (лат. “cubus”) әрпімен белгіледі. Бұл белгілеу қазір ыңғайсыз болып көрінеді, бірақ сол кезде бұл сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін жазудың ең түсінікті жолы болды.

Алайда, сол кездегі шешу әдістерінің кемшілігі математиктердің тек оң түбірлерді қарастыруында болды. Бұл теріс мәндердің практикалық қолданылмағандығына байланысты болуы мүмкін. Қалай болғанда да, 16 ғасырда теріс түбірлерді алғаш санаған итальяндық математиктер Никколо Тарталья, Джероламо Кардано және Рафаэль Бомбелли болды. Ал қазіргі түрі, негізгі шешу әдісі (дискриминант арқылы) тек 17 ғасырда Декарт пен Ньютонның еңбектерінің арқасында жасалған.

18 ғасырдың ортасында швейцариялық математик Габриэль Крамер сызықтық теңдеулер жүйесін шешуді жеңілдетудің жаңа әдісін тапты. Бұл әдіс кейін оның атымен аталды және біз оны күні бүгінге дейін қолданамыз. Бірақ біз Крамер әдісі туралы сәл кейінірек айтатын боламыз, бірақ қазір сызықтық теңдеулер мен оларды жүйеден бөлек шешу әдістерін талқылайық.

Сызықтық теңдеулер

Сызықтық теңдеулер айнымалысы (айнымалысы) бар ең қарапайым теңдеулер. Олар алгебралық деп жіктеледі. жалпы түрде былай жазылады: a 1 *x 1 +a 2* x 2 +...a n *x n =b. Кейінірек жүйелер мен матрицаларды құрастырған кезде оларды осы пішінде көрсетуіміз керек.

Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі

Бұл терминнің анықтамасы: бұл ортақ белгісіз шамалары және ортақ шешімі бар теңдеулер жиынтығы. Әдетте, мектепте барлығы екі, тіпті үш теңдеулері бар жүйелерді шешеді. Бірақ төрт немесе одан да көп компоненттері бар жүйелер бар. Алдымен оларды болашақта шешуге ыңғайлы болу үшін қалай жазу керектігін анықтайық. Біріншіден, сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі, егер барлық айнымалылар сәйкес төменгі таңбамен x түрінде жазылса, жақсы көрінеді: 1,2,3 және т.б. Екіншіден, барлық теңдеулерді канондық түрге келтіру керек: a 1 *x 1 +a 2* x 2 +...a n *x n =b.

Осы қадамдардың барлығынан кейін біз сызықтық теңдеулер жүйесінің шешімдерін қалай табуға болатыны туралы айтуға болады. Бұл үшін матрицалар өте пайдалы болады.

Матрицалар

Матрица - бұл жолдар мен бағандардан тұратын кесте және олардың қиылысында оның элементтері орналасқан. Бұл нақты мәндер немесе айнымалылар болуы мүмкін. Көбінесе элементтерді көрсету үшін олардың астына таңбалар қойылады (мысалы, 11 немесе 23). Бірінші индекс жол нөмірін, ал екіншісі - баған нөмірін білдіреді. Кез келген басқа математикалық элемент сияқты матрицаларда әртүрлі операцияларды орындауға болады. Осылайша, сіз:

2) Матрицаны кез келген санға немесе векторға көбейту.

3) Транспозиция: матрица жолдарын бағандарға, бағандарды жолдарға айналдыру.

4) Матрицаларды көбейту, егер олардың біреуінің жолдарының саны екіншісінің бағандарының санына тең болса.

Барлық осы әдістерді толығырақ қарастырайық, өйткені олар болашақта бізге пайдалы болады. Матрицаларды алу және қосу өте қарапайым. Бірдей өлшемдегі матрицаларды алатындықтан, бір кестенің әрбір элементі екіншісінің әрбір элементімен корреляцияланады. Осылайша, біз осы екі элементті қосамыз (алып тастаймыз) (олардың матрицаларында бір орындарда тұруы маңызды). Матрицаны санға немесе векторға көбейткенде, сіз жай ғана матрицаның әрбір элементін сол санға (немесе векторға) көбейтесіз. Транспозиция өте қызықты процесс. Кейде оны нақты өмірде көру өте қызықты, мысалы, планшеттің немесе телефонның бағытын өзгерту кезінде. Жұмыс үстеліндегі белгішелер матрицаны білдіреді және орны өзгерген кезде ол ауыстырылады және кеңейеді, бірақ биіктігі төмендейді.

Басқа процесті қарастырайық: Бұл бізге қажет болмаса да, оны білу пайдалы болады. Екі матрицаны көбейтуге болады, егер бір кестедегі бағандар саны екінші кестедегі жолдар санына тең болса ғана. Енді бір матрицаның жолының элементтерін және екіншісінің сәйкес бағанының элементтерін алайық. Оларды бір-біріне көбейтіп, содан кейін қосайық (яғни, мысалы, a 11 және a 12 элементтерінің b 12 және b 22 көбейтіндісі мынаған тең болады: a 11 * b 12 + a 12 * b 22) . Осылайша, кестенің бір элементі алынады және ол ұқсас әдіс арқылы одан әрі толтырылады.

Енді сызықтық теңдеулер жүйесі қалай шешілетінін қарастыруға болады.

Гаусс әдісі

Бұл тақырып мектепте оқытыла бастайды. Біз «екі сызықтық теңдеулер жүйесі» түсінігін жақсы білеміз және оларды шешу жолдарын білеміз. Бірақ теңдеулердің саны екіден көп болса ше? Бұл бізге көмектеседі

Әрине, бұл әдіс жүйеден матрица жасасаңыз, қолдануға ыңғайлы. Бірақ оны түрлендірудің және оның таза түрінде шешудің қажеті жоқ.

Сонымен, бұл әдіс сызықтық Гаусс теңдеулер жүйесін қалай шешеді? Айтпақшы, бұл әдіс оның атымен аталса да, ол ертеде ашылған. Гаусс келесіні ұсынады: барлық жиынды сатылы түрге келтіру үшін теңдеулермен амалдарды орындау. Яғни, жоғарыдан төменге қарай (дұрыс орналасса) бірінші теңдеуден соңғы белгісізге дейін азаюы қажет. Басқаша айтқанда, біз, айталық, үш теңдеу алатынымызға көз жеткізуіміз керек: біріншісінде үш белгісіз, екіншісінде екі, үшіншісінде бір. Содан кейін соңғы теңдеуден бірінші белгісізді табамыз, оның мәнін екінші немесе бірінші теңдеуге ауыстырамыз, содан кейін қалған екі айнымалыны табамыз.

Крамер әдісі

Бұл әдісті меңгеру үшін матрицаларды қосу және азайту дағдыларына ие болу өте маңызды, сонымен қатар анықтауыштарды таба білу қажет. Сондықтан, егер сіз мұның бәрін нашар орындасаңыз немесе қалай істейтінін білмесеңіз, сізге үйренуге және жаттығуға тура келеді.

Бұл әдістің мәні неде және оны сызықтық Крамер теңдеулер жүйесі алынатындай етіп қалай жасауға болады? Барлығы өте қарапайым. Біз сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесінің сандық (әрдайым дерлік) коэффициенттерінің матрицасын құруымыз керек. Ол үшін белгісіздердің алдындағы сандарды алып, жүйеде жазылу ретімен кестеге орналастырамыз. Егер санның алдында «-» таңбасы болса, онда теріс коэффициент жазамыз. Сонымен, біз теңдік таңбаларынан кейінгі сандарды қоспай, белгісіздер үшін коэффициенттердің бірінші матрицасын құрастырдық (әрине, тек оң жақта сан, ал коэффициенттері бар барлық белгісіздер қосулы болғанда, теңдеуді канондық түрге келтіру керек. сол). Содан кейін тағы бірнеше матрица жасау керек - әрбір айнымалы үшін бір. Ол үшін бірінші матрицадағы әрбір бағанды ​​коэффициенттермен теңдік белгісінен кейінгі сандар бағанымен кезекпен ауыстырамыз. Осылайша, біз бірнеше матрицаларды аламыз, содан кейін олардың анықтауыштарын табамыз.

Детерминанттарды тапқаннан кейін бұл кішкене мәселе. Бізде бастапқы матрица бар және әртүрлі айнымалыларға сәйкес келетін бірнеше нәтижелі матрицалар бар. Жүйенің шешімдерін алу үшін алынған кестенің анықтаушысын бастапқы кестенің анықтауышына бөлеміз. Алынған сан айнымалылардың бірінің мәні болып табылады. Сол сияқты біз барлық белгісіздерді табамыз.

Басқа әдістер

Сызықтық теңдеулер жүйесінің шешімдерін алудың тағы бірнеше әдістері бар. Мысалы, Гаусс-Джордан әдісі деп аталатын, ол квадрат теңдеулер жүйесінің шешімдерін табу үшін қолданылады және матрицаларды қолданумен де байланысты. Сонымен қатар сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешудің Якоби әдісі бар. Бұл компьютерге бейімделудің ең оңай түрі және есептеуіш техникада қолданылады.

Күрделі жағдайлар

Күрделілік әдетте теңдеулер саны айнымалылар санынан аз болғанда пайда болады. Сонда не жүйе сәйкес емес (яғни түбірі жоқ), не оның шешімдерінің саны шексіздікке ұмтылатынын нақты айта аламыз. Егер бізде екінші жағдай болса, онда сызықтық теңдеулер жүйесінің жалпы шешімін жазу керек. Онда кем дегенде бір айнымалы болады.

Қорытынды

Міне, біз соңына жеттік. Қорытындылаймыз: біз жүйе мен матрицаның не екенін анықтадық және сызықтық теңдеулер жүйесінің жалпы шешімін табуды үйрендік. Сонымен қатар, біз басқа нұсқаларды қарастырдық. Біз сызықтық теңдеулер жүйесін шешу жолын білдік: Гаусс әдісі және күрделі жағдайлар және шешімдерді табудың басқа жолдары туралы әңгімелестік.

Шындығында, бұл тақырып әлдеқайда кең және оны жақсырақ түсінгіңіз келсе, көбірек арнайы әдебиеттерді оқуды ұсынамыз.