Синус, косинус, тангенс және котангенс - математикадан Бірыңғай мемлекеттік емтихан (2020) туралы білуіңіз керек барлық нәрсе. sin x = a теңдеуі Синустарды қалай есептеу керек
Егер центрі бастапқыда болатын бірлік шеңберін тұрғызып, аргумент үшін ерікті мәнді орнатсақ x 0және осьтен санау Өгізбұрыш x 0, онда бірлік шеңбердегі бұл бұрыш белгілі бір нүктеге сәйкес келеді А(Cурет 1) және оның оське проекциясы Онүкте болады М. Бөлім ұзындығы ОМнүктенің абсциссасының абсолютті мәніне тең А. Берілген аргумент мәні x 0функция мәні салыстырылады ж=cos x 0 абсцисса нүктелері сияқты А. Сәйкесінше, нүкте IN(x 0 ;сағ 0) функциясының графигіне жатады сағ=cos X(Cурет 2). Егер нүкте Аосьтің оң жағында OU, Ағымдағы синус оң болады, бірақ солға қараса теріс болады. Бірақ бәрібір, кезең Ашеңберден шыға алмайды. Демек, косинус –1-ден 1-ге дейінгі аралықта жатыр:
–1 = cos x = 1.
Кез келген бұрышта қосымша айналу, 2-ге еселік б, қайтаратын нүкте Асол жерге. Сондықтан функция y = cos xб:
cos( x+ 2б) = cos x.
Егер аргументтің абсолютті мәні бойынша тең, бірақ таңбасына қарама-қарсы екі мәнін алсақ, xЖәне - x, шеңбердегі сәйкес нүктелерді табыңыз A xЖәне A -x. Суретте көрініп тұрғандай. 3 олардың оське проекциясы Обірдей нүкте М. Сондықтан
cos(- x) = cos ( x),
анау. косинус жұп функция, f(–x) = f(x).
Бұл функцияның қасиеттерін зерттей алатынымызды білдіреді ж=cos Xсегментте , содан кейін оның паритеті мен кезеңділігін ескереді.
Сағат X= 0 ұпай Аосьте жатыр О, оның абсциссасы 1, демек cos 0 = 1. Өсумен Xнүкте Ашеңбер бойымен жоғары және солға жылжиды, оның проекциясы, әрине, тек солға, ал х = нүктесінде. б/2 косинус 0-ге тең болады. Нүкте Аосы сәтте ол өзінің максималды биіктігіне көтеріледі, содан кейін солға жылжуды жалғастырады, бірақ қазірдің өзінде төмендейді. Оның абсциссасы –1-ге тең ең кіші мәнге жеткенше азаяды X= б. Осылайша, аралықта функция сағ=cos X 1-ден –1-ге дейін монотонды түрде төмендейді (4, 5-сурет).
Косинус паритетінен [– интервалында болатыны шығады. б, 0] функциясы –1-ден 1-ге дейін монотонды түрде артып, нөлдік мәнді қабылдайды x =–б/2. Бірнеше кезеңді алсаңыз, толқынды қисық аласыз (Cурет 6).
Сонымен, функция ж=cos xнүктелерде нөлдік мәндерді қабылдайды X= б/2 + кп, Қайда k –кез келген бүтін сан. Ұпайларда 1-ге тең максимумға қол жеткізіледі X= 2кп, яғни. 2 қадаммен б, және нүктелердегі минимумдар –1-ге тең X= б + 2кп.
y = sin x функциясы.
Бірлік шеңберінің бұрышында x 0 нүктеге сәйкес келеді А(Cурет 7), және оның оське проекциясы OUнүкте болады Н.Зфункция мәні y 0 =күнә x 0нүктенің ординатасы ретінде анықталады А. Нүкте IN(бұрыш x 0 ,сағ 0) функциясының графигіне жатады ж= күнә x(Cурет 8). функциясы екені анық y =күнә xпериодты, оның периоды 2 б:
күнә ( x+ 2б) = күнә ( x).
Екі аргумент мәні үшін, XЖәне - , олардың сәйкес нүктелерінің проекциялары A xЖәне A -xось бойынша OUнүктесіне қатысты симметриялы орналасады ТУРАЛЫ. Сондықтан
күнә(- x) = –күн ( x),
анау. синус – тақ функция, f(– x) = –f( x) (Cурет 9).
Егер нүкте Анүктеге қатысты айналдыру ТУРАЛЫбұрышта б/2 сағат тіліне қарсы (басқаша айтқанда, егер бұрыш Xартады б/2), онда оның жаңа орындағы ординатасы бұрынғы абсциссаға тең болады. Білдіреді
күнә ( x+ б/2) = cos x.
Әйтпесе, синус «кеш» косинус болып табылады б/2, өйткені аргумент келесіге артқанда кез келген косинус мәні синуста «қайталанады» б/2. Ал синус графигін тұрғызу үшін косинус графигін жылжыту жеткілікті б/2 оңға (Cурет 10). Синустың аса маңызды қасиеті теңдікпен өрнектеледі
Теңдіктің геометриялық мағынасын суреттен көруге болады. 11. Мұнда X -бұл жарты доға AB, күнә X -сәйкес аккордтың жартысы. Ұпайлар жақындаған сайын көрінетіні анық АЖәне INаккордтың ұзындығы доғаның ұзындығына барған сайын жақындап келеді. Сол фигурадан теңсіздікті шығару оңай
|күнә x| x|, кез келген үшін шын X.
Математиктер (*) формуланы тамаша шек деп атайды. Одан, атап айтқанда, сол күнә шығады X» Xкішкентайда X.
Функциялар сағ= тг x, y=ctg X. Қалған екі тригонометриялық функциялар, тангенс және котангенс, бізге бұрыннан белгілі синус пен косинустың қатынасы ретінде оңай анықталады:
Синус пен косинус сияқты тангенс пен котангенс периодтық функциялар, бірақ олардың периодтары тең б, яғни. олар синус пен косинустың жартысына тең. Мұның себебі түсінікті: егер синус пен косинус екеуі де таңбаны өзгертсе, онда олардың қатынасы өзгермейді.
Тангенстің бөлгішінде косинус бар болғандықтан, косинус 0 болатын нүктелерде тангенс анықталмайды. X= б/2 +kp. Барлық басқа нүктелерде ол монотонды түрде артады. Тікелей X= б/2 + кптангенс үшін тік асимптоталар. Нүктелерде кпжанама және көлбеу сәйкесінше 0 және 1 (Cурет 12).
Синус 0 болатын жерде котангенс анықталмайды (қашан x = кп). Басқа нүктелерде ол монотонды түрде төмендейді, ал түзу сызықтар x = кп – оның тік асимптоталары. Нүктелерде x = p/2 +kpкотангенс 0-ге айналады, ал бұл нүктелердегі еңіс –1-ге тең болады (13-сурет).
Паритет және кезеңділік.
Функция тіпті егер болса да шақырылады f(–x) = f(x). Косинус және секант функциялары жұп, ал синус, тангенс, котангенс және косекант функциялары тақ:
| sin (–α) = – sin α | күңгірт (–α) = – күңгірт α |
| cos (–α) = cos α | ctg (–α) = – ctg α |
| сек (–α) = сек α | косек (–α) = – косек α |
Паритеттік қасиеттер нүктелердің симметриясынан туындайды Па және Р- а (Cурет 14) осіне қатысты X. Мұндай симметрия кезінде нүктенің ординатасы таңбасын өзгертеді (( X;сағ) барады ( X; –у)). Барлық функциялардың – периодтық, синус, косинус, секант және косекант 2 периоды бар б, және тангенс және котангенс - б:
| күнә (α + 2 кπ) = sin α | cos(α+2 кπ) = cos α |
| тг(α+ кπ) = күңгірт α | төсек(α+ кπ) = cotg α |
| сек (α + 2 кπ) = сек α | косек(α+2 кπ) = косек α |
Синус пен косинустың периодтылығы барлық нүктелерден туындайды П a+2 кп, Қайда к= 0, ±1, ±2,…, сәйкес келеді, ал жанама мен котангенстің периодтылығы нүктелердің П a + кпшеңбердің екі диаметральді қарама-қарсы нүктесіне кезекпен түсіп, жанама осінде бірдей нүктені береді.
Тригонометриялық функциялардың негізгі қасиеттерін кестеде жинақтауға болады:
| Функция | Домен | Көп мағыналы | Паритет | монотондылық аймақтары ( к= 0, ± 1, ± 2,…) |
| күнә x | –Ґ x Ґ | [–1, +1] | тақ | артады xО((4 к – 1) б /2, (4к + 1) б/2), төмендейді xО((4 к + 1) б /2, (4к + 3) б/2) |
| cos x | –Ґ x Ґ | [–1, +1] | тіпті | -мен артады xО((2 к – 1) б, 2кп), төмендейді xО(2 кп, (2к + 1) б) |
| тг x | x № б/2 + p k | (–Ґ , +Ґ ) | тақ | артады xО((2 к – 1) б /2, (2к + 1) б /2) |
| ctg x | x № p k | (–Ґ , +Ґ ) | тақ | кезінде төмендейді xТУРАЛЫ ( кп, (к + 1) б) |
| сек x | x № б/2 + p k | (–Ґ , –1] ЖӘНЕ [+1, +Ґ ) | тіпті | -мен артады xО(2 кп, (2к + 1) б), төмендейді xО((2 к– 1) p , 2 кп) |
| косек x | x № p k | (–Ґ , –1] ЖӘНЕ [+1, +Ґ ) | тақ | артады xО((4 к + 1) б /2, (4к + 3) б/2), төмендейді xО((4 к – 1) б /2, (4к + 1) б /2) |
Қысқарту формулалары.
Осы формулаларға сәйкес a аргументінің тригонометриялық функциясының мәні, мұндағы б/2 a p , a аргумент функциясының мәніне дейін қысқартылуы мүмкін, мұндағы 0 a p /2, оған бірдей немесе қосымша.
| Аргумент б |  -а |
+ а | б-а | б+ а | + а | + а | 2б-а |
| күнә б | өйткені а | өйткені а | күнә а | – күнә а | – cos a | – cos a | – күнә а |
| cos b | күнә а | – күнә а | – cos a | – cos a | – күнә а | күнә а | өйткені а |
Сондықтан тригонометриялық функциялар кестелерінде мәндер тек сүйір бұрыштар үшін берілген және өзімізді, мысалы, синус пен тангенске шектеу жеткілікті. Кесте синус пен косинус үшін ең жиі қолданылатын формулаларды ғана көрсетеді. Бұлардан жанама және котангенс формулаларын оңай алуға болады. Пішіннің аргументінен функцияны шығару кезінде кп/2 ± а, мұндағы к– бүтін сан, a аргументінің функциясына:
1) функция атауы сақталады, егер кжұп, ал егер "толықтауышқа" өзгереді ктақ;
2) оң жағындағы белгі нүктедегі азайтылатын функцияның таңбасымен сәйкес келеді кп/2 ± a, егер а бұрышы сүйір болса.
Мысалы, ctg құю кезінде (a – б/2) біз a – б/2 0 a p /2 котангенсі теріс болатын төртінші ширекте жатыр және 1 ережеге сәйкес функцияның атын өзгертеміз: ctg (a –) б/2) = –tg a .
Қосу формулалары.
Бірнеше бұрыштарға арналған формулалар.
Бұл формулалар қосу формулаларынан тікелей алынған:
sin 2a = 2 sin a cos a ;
cos 2a = cos 2 a – sin 2 a = 2 cos 2 a – 1 = 1 – 2 sin 2 a ;
sin 3a = 3 sin a – 4 sin 3 a;
cos 3a = 4 cos 3 a – 3 cos a ;
cos 3a формуласын Франсуа Вьет кубтық теңдеуді шешкенде қолданған. Ол кос үшін өрнектерді бірінші болып тапты nа және күнә n a, олар кейінірек Моевр формуласынан қарапайым жолмен алынған.
Қосаргументті формулалардағы a-ны /2-ге ауыстырсаңыз, оларды жарты бұрыш формулаларына түрлендіруге болады:
Әмбебап алмастыру формулалары.
Осы формулаларды пайдалана отырып, бір аргументтің әртүрлі тригонометриялық функцияларын қамтитын өрнекті бір tg (a /2) функциясының рационалды өрнегі ретінде қайта жазуға болады, бұл кейбір теңдеулерді шешу кезінде пайдалы болуы мүмкін:
 |
|
 |
 |
Қосындыларды көбейтіндіге және көбейтінділерді қосындыға айналдыру формулалары.
Компьютерлер пайда болғанға дейін бұл формулалар есептеулерді жеңілдету үшін қолданылған. Есептеулер логарифмдік кестелер арқылы жүргізілді, кейінірек - слайд ережесі, өйткені логарифмдер сандарды көбейту үшін ең қолайлы, сондықтан барлық бастапқы өрнектер логарифмдеу үшін ыңғайлы пішінге келтірілді, яғни. жұмыс істеуге, мысалы:
2 күнә а sin b = cos ( а–б) – cos ( a+b);
2cos а cos б=cos( а–б) + cos ( a+b);
2 күнә а cos б= күнә( а–б) + күнә ( a+b).
Тангенс және котангенс функцияларының формулаларын жоғарыдағылардан алуға болады.
Дәрежені төмендету формулалары.
Бірнеше аргумент формулаларынан келесі формулалар шығарылады:
| sin 2 a = (1 – cos 2a)/2; | cos 2 a = (1 + cos 2a )/2; |
| sin 3 a = (3 sin a – sin 3a)/4; | cos 3 a = (3 cos a + cos 3 a )/4. |
Осы формулаларды пайдалана отырып, тригонометриялық теңдеулерді төменгі дәрежелі теңдеулерге келтіруге болады. Сол сияқты синус пен косинустың жоғары дәрежелері үшін азайту формулаларын шығара аламыз.
| Тригонометриялық функциялардың туындылары мен интегралдары | |
| (күнә x)` = cos x; | (кос x)` = –күнә x; |
| (тг x)` = ; | (ctg x)` = – ; |
| t күнә x dx= –cos x + C; | t cos x dx= күнә x + C; |
| т тг x dx= –ln|cos x| + C; | t ctg x dx = ln|sin x| + C; |
Әрбір тригонометриялық функция өзінің анықталу облысының әрбір нүктесінде үздіксіз және шексіз дифференциалданады. Оның үстіне тригонометриялық функциялардың туындылары тригонометриялық функциялар болып табылады, ал интегралдағанда тригонометриялық функциялар немесе олардың логарифмдері де алынады. Тригонометриялық функциялардың рационал комбинацияларының интегралдары әрқашан элементар функциялар болып табылады.
Тригонометриялық функцияларды дәрежелік қатарлар және шексіз туындылар түрінде көрсету.
Барлық тригонометриялық функцияларды дәрежелік қатарда кеңейтуге болады. Бұл жағдайда функциялар күнә жасайды x bcos xқатарлар бойынша берілген. барлық мәндер үшін конвергентті x:
Бұл қатарларды күнәнің шамамен өрнектерін алуға болады xжәне cos xшағын мәндерде x:
бойынша | x| p/2;
0 x| б
(Б n – Бернулли сандары).
күнә функциялары xжәне cos xшексіз туындылар түрінде көрсетуге болады:
Тригонометриялық жүйе 1, cos x,күнә x, cos 2 x, күнә 2 x,¼,cos nx,күнә nx, ¼, [– сегментіндегі пішіндер б, б] функцияларды тригонометриялық қатар түрінде көрсетуге мүмкіндік беретін функциялардың ортогоналды жүйесі.
нақты аргументтің сәйкес тригонометриялық функцияларының күрделі жазықтыққа аналитикалық жалғасы ретінде анықталады. Иә, күнә zжәне cos zкүнә үшін қатарлар арқылы анықтауға болады xжәне cos x, орнына болса xқою z:
Бұл қатарлар бүкіл жазықтықта біріктіріледі, сондықтан күнә zжәне cos z- толық функциялар.
Тангенс пен котангенс мына формулалармен анықталады:
tg функциялары zжәне ctg z– мероморфтық функциялар. тг тіректер zжәне сек z– қарапайым (1-ші ретті) және нүктелерде орналасқан z = б/2 + pn,полюстер ctg zжәне косек z– сонымен қатар қарапайым және нүктелерде орналасқан z = p n, n = 0, ±1, ±2,…
Нақты аргументтің тригонометриялық функциялары үшін жарамды барлық формулалар күрделі үшін де жарамды. Сондай-ақ,
күнә(- z) = –күнә z,
cos(- z) = cos z,
тг(– z) = –тг z,
ctg(- z) = –ctg z,
анау. жұп және тақ паритет сақталады. Формулалар да сақталады
күнә ( z + 2б) = күнә z, (z + 2б) = cos z, (z + б) = тг z, (z + б) = ctg z,
анау. мерзімділік те сақталады, ал периодтар нақты аргумент функцияларымен бірдей.
Тригонометриялық функцияларды таза ойдан шығарылған аргументтің көрсеткіштік функциясы арқылы көрсетуге болады:
Артқа, e iz cos арқылы өрнектеледі zжәне күнә zформула бойынша:
e iz=cos z + менкүнә z
Бұл формулалар Эйлер формулалары деп аталады. Леонхард Эйлер оларды 1743 жылы әзірледі.
Тригонометриялық функцияларды гиперболалық функциялар арқылы да көрсетуге болады:
z = –менш из, cos z = ch iz, z = –i th iz.
мұндағы sh, ch және th гиперболалық синустар, косинус және тангенс.
Күрделі аргументтің тригонометриялық функциялары z = x + iy, Қайда xЖәне ж– нақты сандарды нақты аргументтердің тригонометриялық және гиперболалық функциялары арқылы көрсетуге болады, мысалы:
күнә ( x + iy) = күнә xб ж + мен cos xш ж;
cos( x + iy) = cos xб ж + менкүнә xш ж.
Күрделі аргументтің синусы мен косинусы абсолютті мәнде 1-ден үлкен нақты мәндерді қабылдай алады. Мысалы:
Егер тригонометриялық функциялардың аргументі ретінде теңдеуге белгісіз бұрыш кірсе, онда теңдеу тригонометриялық деп аталады. Мұндай теңдеулердің кең таралғаны сонша, олардың әдістері шешімдер өте егжей-тегжейлі және мұқият әзірленген. МЕНӘртүрлі әдістер мен формулаларды қолдана отырып, тригонометриялық теңдеулер формадағы теңдеулерге келтіріледі f(x)= а, Қайда f– қарапайым тригонометриялық функциялардың кез келгені: синус, косинус, тангенс немесе котангенс. Содан кейін дәлелді көрсетіңіз xбұл функция өзінің белгілі мәні арқылы А.
Тригонометриялық функциялар периодты болғандықтан, бірдей Амәндер диапазонынан аргументтің шексіз көп мәндері бар және теңдеудің шешімдерін бір функция ретінде жазу мүмкін емес А. Сондықтан негізгі тригонометриялық функциялардың әрқайсысының анықталу облысында бөлім таңдалады, онда ол өзінің барлық мәндерін, әрқайсысы бір-ақ рет қабылдайды, ал оған кері функция осы бөлімде кездеседі. Мұндай функциялар бастапқы функцияның атына доға (доға) префиксін қосу арқылы белгіленеді және оларды кері тригонометриялық деп атайды. функциялары немесе жай доға функциялары.
Кері тригонометриялық функциялар.
Күнә үшін X, cos X, тг Xжәне ctg Xкері функцияларды анықтауға болады. Олар сәйкесінше arcsin арқылы белгіленеді X(«арксинусты» оқыңыз x«), аркос x, арктан xжәне arcctg x. Анықтама бойынша, arcsin Xондай сан бар у,Не
күнә сағ = X.
Басқа кері тригонометриялық функциялар үшін де солай. Бірақ бұл анықтама кейбір дәлсіздіктерден зардап шегеді.
Егер сіз күнәны көрсетсеңіз X, cos X, тг Xжәне ctg Xкоординаталық жазықтықтың бірінші және үшінші ширектерінің биссектрисасына қатысты болса, онда функциялар өздерінің периодтылығына байланысты көп мағыналы болады: бір синусқа (косинус, тангенс, котангенс) бұрыштардың шексіз саны сәйкес келеді.
Анықсыздықтан құтылу үшін ені бар қисық кесінді б, бұл жағдайда аргумент пен функцияның мәні арасында бір-бірден сәйкестік сақталуы қажет. Координаталар бастауына жақын аумақтар таңдалады. Синус үшін «Бірден-бір интервал» ретінде [– сегментін аламыз. б/2, б/2], онда синус монотонды түрде –1-ден 1-ге дейін артады, косинус үшін – кесінді, жанама және котангенс үшін сәйкесінше интервалдар (– б/2, б/2) және (0, б). Интервалдағы әрбір қисық биссектрисаға қатысты көрсетіледі және енді кері тригонометриялық функцияларды анықтауға болады. Мысалы, аргумент мәні берілсін x 0 , 0 Ј x 0 Ј 1. Содан кейін функцияның мәні ж 0 = арксин x 0 бір ғана мағына болады сағ 0 , осылайша - б/2 Ј сағ 0 Ј б/2 және x 0 = күнә ж 0 .
Осылайша, арксинус арксиннің функциясы болып табылады А, [–1, 1] аралықта анықталған және әрқайсысы үшін тең Амұндай құндылыққа, – б/2 a p /2 бұл күнә а = А.Оны бірлік шеңбер арқылы бейнелеу өте ыңғайлы (Cурет 15). Қашан | а| 1 шеңберде ординатасы бар екі нүкте бар а, оське қатысты симметриялы u.Олардың біреуі бұрышқа сәйкес келеді а= арксин А, ал екіншісі - бұрыш п - а. МЕНсинустың периодтылығын есепке алу, sin теңдеуін шешу x= Абылай жазылады:
x =(–1)nарксин а + 2p n,
Қайда n= 0, ±1, ±2,...
Басқа қарапайым тригонометриялық теңдеулерді де дәл осылай шешуге болады:
cos x = а, –1 =а= 1;
x =±аркос а + 2p n,
Қайда П= 0, ±1, ±2,... (16-сурет);
тг X = а;
x= арктан а + б n,
Қайда n = 0, ±1, ±2,... (Cурет 17);
ctg X= А;
X= arcctg а + б n,
Қайда n = 0, ±1, ±2,... (Cурет 18).
Кері тригонометриялық функциялардың негізгі қасиеттері:
арксин X(19-сурет): анықтау облысы – сегмент [–1, 1]; диапазон – [– б/2, б/2], монотонды өсетін функция;
arccos X(20-сурет): анықтау облысы – сегмент [–1, 1]; ауқым – ; монотонды кемімелі функция;
arctg X(21-сурет): анықтау облысы – барлық нақты сандар; мәндер диапазоны – интервал (– б/2, б/2); монотонды өсетін функция; Түзу сағ= –б/2 және y = p /2 –көлденең асимптоталар;
arcctg X(22-сурет): анықтау облысы – барлық нақты сандар; мәндер диапазоны – интервал (0, б); монотонды кемімелі функция; Түзу ж= 0 және y = p– көлденең асимптоталар.
Өйткені күрделі аргумент sin тригонометриялық функциялары zжәне cos z(нақты аргументтің функцияларынан айырмашылығы) барлық күрделі мәндерді қабылдайды, содан кейін теңдеулер sin z = ажәне cos z = акез келген кешенге арналған шешімдер бар а хЖәне жнақты сандар, теңсіздіктер қолданылады
½| e\e y–e-y| ≤|күнә z|≤½( e y +e-y),
½| e ж–e-y| ≤|cos z|≤½( e y +e -y),
оның ішінде ж® Ґ асимптотикалық формулалар (қатысты біркелкі x)
|күнә z| » 1/2 e |у| ,
|cos z| » 1/2 e |у| .
Тригонометриялық функциялар алғаш рет астрономия мен геометриядағы зерттеулерге байланысты пайда болды. Негізінен тригонометриялық функциялар болып табылатын үшбұрыш пен шеңбердегі кесінділердің қатынасы 3 ғасырда табылған. BC e. Ежелгі Греция математиктерінің еңбектерінде – Евклид, Архимед, Аполлоний Пергалық және басқалары, алайда бұл қатынастар дербес зерттеу объектісі болған жоқ, сондықтан олар тригонометриялық функцияларды осылай зерттеген жоқ. Бастапқыда олар сегменттер ретінде қарастырылды және бұл пішінде Аристарх (б.з.б. 4-ші ғасырдың соңы - 3-ші ғасырдың 2-жартысы), Гиппарх (б.з.б. 2 ғ.), Менелай (б.з. 1 ғ.) және Птолемей (б.з. 2 ғ.) пайдаланған. сфералық үшбұрыштарды шешу. Птолемей әр 30 дюйм сайын сүйір бұрыштар үшін аккордтардың бірінші кестесін 10 –6 дәлдікпен құрастырды. Бұл синусының алғашқы кестесі болды. Қатынас ретінде sin a функциясы Арьябхатада (5 ғасырдың аяғында) табылған. tg a және ctg a функциялары әл-Баттаниде (9 ғасырдың 2-жартысы - 10 ғасырдың басы) және Абул-Вефада (10 ғ.) кездеседі, ол да сек a және cosec a қолданады... Арьябхата формуланы бұрыннан білген ( sin 2 a + cos 2 a) = 1, сондай-ақ жартылай бұрыштың sin және cos формулалары, олардың көмегімен 3°45-ке дейінгі бұрыштар үшін синустар кестелерін құрастырдым»; қарапайым аргументтер үшін тригонометриялық функциялардың белгілі мәндеріне негізделген. Бхаскара (12 ғ.) қосу формулалары арқылы 1-ге тең кестелер құру әдісін берді. Әртүрлі аргументтердің тригонометриялық функцияларының қосындысы мен айырмасын көбейтіндіге айналдыру формулаларын Региомонтанус (15 ғ.) және Дж. Непье соңғысының логарифмдерді ойлап табуына (1614) байланысты шығарды. Региомонтан синустың 1" шамасындағы мәндерінің кестесін берді. Тригонометриялық функциялардың дәрежелік қатарға кеңеюін И.Ньютон (1669) алды. Тригонометриялық функциялар теориясын қазіргі түрге Л.Эйлер әкелді ( Ол синустар мен косинустар жүйесінің экспоненциалды функциясымен және ортогональдылығымен байланыс орнататын, қазіргі кезде қабылданған символизмнің нақты және күрделі аргументтерге анықтамасын иеленді.
Кейбір есептерді шешу үшін тригонометриялық сәйкестіктер кестесі пайдалы болады, бұл функцияларды түрлендіруді жеңілдетеді:Ең қарапайым тригонометриялық сәйкестіктер
Альфа бұрышының синусын сол бұрыштың косинусына бөлу бөлімі осы бұрыштың тангенсіне тең (Формула 1). Қарапайым тригонометриялық сәйкестіктерді түрлендірудің дұрыстығын дәлелдеуді де қараңыз.
Альфа бұрышының косинусын сол бұрыштың синусына бөлудің коэффициенті сол бұрыштың котангенсіне тең (Формула 2)
Бұрыштың секантасы сол бұрыштың косинусына бөлінгенге тең (Формула 3)
Бір бұрыштың синусы мен косинусының квадраттарының қосындысы біреуге тең (Формула 4). косинус пен синус квадраттарының қосындысының дәлелін де қараңыз.
Бірдің қосындысы мен бұрыштың тангенсі бірдің осы бұрыштың косинусының квадратына қатынасына тең (Формула 5)
Бір плюс бұрыштың котангенсі осы бұрыштың синус квадратына бөлінетін бір бөлгішке тең (Формула 6)
Бір бұрыштың тангенсі мен котангенсінің көбейтіндісі біреуге тең (Формула 7).
Тригонометриялық функциялардың теріс бұрыштарын түрлендіру (жұп және тақ)
Синусты, косинусты немесе тангенсті есептеу кезінде бұрыштың градустық өлшемінің теріс мәнінен құтылу үшін жұп немесе тақ тригонометриялық функциялардың принциптеріне негізделген келесі тригонометриялық түрлендірулерді (тұлғаларды) қолдануға болады.
Көргендей, косинусжәне секант болып табылады біркелкі функция, синус, тангенс және котангенс тақ функциялар.
Теріс бұрыштың синусы сол оң бұрыштың синусының теріс мәніне тең (минус синус альфа).
Косинус минус альфа альфа бұрышының косинусымен бірдей мән береді.
Тангенс минус альфа минус тангенс альфаға тең.
Қос бұрыштарды азайту формулалары (қос бұрыштардың синусы, косинусы, тангенсі және котангенсі)
Егер бұрышты екіге бөлу немесе керісінше, қос бұрыштан бір бұрышқа өту қажет болса, келесі тригонометриялық сәйкестіктерді қолдануға болады:
Екі бұрышты түрлендіру (қос бұрыштың синусы, қос бұрыштың косинусы және қос бұрыштың тангенсі) дара келесі ережелерге сәйкес кездеседі:
Қос бұрыштың синусыбір бұрыштың синусы мен косинусының екі есе көбейтіндісіне тең
Қос бұрыштың косинусыбір бұрыштың косинусының квадраты мен осы бұрыштың синусының квадратының айырмасына тең
Қос бұрыштың косинусыбір бұрыштың косинусының квадратының екі еселенген минус бір бұрышына тең
Қос бұрыштың косинусыбір минус қос синус квадраты бір бұрышқа тең
Қос бұрыштың тангенсіалымы бір бұрыштың жанамасынан екі есе болатын бөлшекке тең, ал бөлгіш бір бұрыштың жанамасының квадратын шегеріп тастаған бөлшекке тең.
Қос бұрыштың котангенсіалымы бір бұрыштың котангенсінің квадраты минус бір, ал бөлгіші бір бұрыштың екі еселенген котангенсіне тең бөлшекке тең.
Әмбебап тригонометриялық ауыстыру формулалары
Төмендегі түрлендіру формулалары тригонометриялық функцияның аргументін (sin α, cos α, tan α) екіге бөлу және өрнекті жарты бұрыштың мәніне дейін азайту қажет болғанда пайдалы болуы мүмкін. α мәнінен α/2 аламыз.Бұл формулалар деп аталады әмбебап тригонометриялық алмастырудың формулалары. Олардың құндылығы мынада: олардың көмегімен тригонометриялық өрнек бастапқыда өрнекте қандай тригонометриялық функциялар (sin cos tan ctg) болғанына қарамастан, жарты бұрыштың тангенсін өрнектеуге дейін төмендейді. Осыдан кейін жарты бұрыштың тангенсі бар теңдеуді шешу оңайырақ.
Жарты бұрышты түрлендірулер үшін тригонометриялық сәйкестіктер
Төменде жарты бұрышты оның бүтін мәніне тригонометриялық түрлендіру формулалары берілген.α/2 тригонометриялық функция аргументінің мәні α тригонометриялық функция аргументінің мәніне дейін төмендейді.
Бұрыштарды қосудың тригонометриялық формулалары
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α
sin (α - β) = sin α cos β - sin β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β
Бұрыштар қосындысының тангенсі мен котангенсіальфа және бета тригонометриялық функцияларды түрлендіру үшін келесі ережелерді қолдана отырып түрлендіруге болады:
Бұрыштар қосындысының тангенсіалымы бірінші бұрыштың жанамасының қосындысы мен екінші бұрыштың жанамасының қосындысы болатын бөлшекке тең, ал бөлгіш бірінші бұрыштың тангенсі мен екінші бұрыштың жанамасының көбейтіндісін бір минусқа тең.
Бұрыш айырмасының тангенсіалымы азайтылатын бұрыштың тангенсі мен азайтылатын бұрыштың тангенсі арасындағы айырмаға тең бөлшекке тең, ал бөлгіш осы бұрыштардың жанамаларының көбейтіндісіне бір плюс.
Бұрыштар қосындысының котангенсіалымы осы бұрыштардың котангенстерінің көбейтіндісіне бір плюс, ал бөлгіш екінші бұрыштың котангенсі мен бірінші бұрыштың котангенсінің айырмасына тең бөлшекке тең.
Бұрыш айырмасының котангенсіалымы осы бұрыштардың котангенстерінің көбейтіндісі минус бір болатын бөлшекке тең, ал бөлгіш осы бұрыштардың котангенстерінің қосындысына тең.
Бұл тригонометриялық сәйкестіктерді, мысалы, 105 градус тангенсін (тг 105) есептеу қажет болғанда қолдануға ыңғайлы. Егер сіз оны tg (45 + 60) деп елестетсеңіз, онда сіз бұрыштар қосындысының тангенсінің берілген бірдей түрлендірулерін пайдалана аласыз, содан кейін жанама 45 пен жанама 60 градустың кестелік мәндерін жай ғана ауыстыра аласыз.
Тригонометриялық функциялардың қосындысын немесе айырмасын түрлендіру формулалары
sin α + sin β түрінің қосындысын білдіретін өрнектерді келесі формулалар арқылы түрлендіруге болады:
Үш бұрышты формулалар - sin3α cos3α tan3α-ны sinα cosα tanα түрлендіру
Кейде тригонометриялық функцияның аргументі 3α орнына α бұрышы болатындай етіп бұрыштың үш еселік мәнін түрлендіру қажет.Бұл жағдайда үш бұрышты түрлендіру формулаларын (идентификаторларды) пайдалануға болады:
Тригонометриялық функциялардың туындыларын түрлендіру формулалары
Егер әртүрлі бұрыштардағы синустар көбейтіндісін, әртүрлі бұрыштардағы косинустарды немесе тіпті синус пен косинус көбейтіндісін түрлендіру қажет болса, онда келесі тригонометриялық сәйкестіктерді қолдануға болады:
Бұл жағдайда әртүрлі бұрыштардың синус, косинус немесе тангенс функцияларының туындысы қосындыға немесе айырмаға түрлендіріледі.
Тригонометриялық функцияларды азайту формулалары
Төмендегідей азайту кестесін пайдалану керек. Жолда бізді қызықтыратын функцияны таңдаймыз. Бағанда бұрыш бар. Мысалы, бірінші жол мен бірінші бағанның қиылысындағы бұрыштың (α+90) синусы, sin (α+90) = cos α екенін анықтаймыз.
Жаттығу.
х-тің мәнін табыңыз.
Шешім.
Кез келген мәнге тең болатын функция аргументінің мәнін табу қай аргументтерде синусының мәні шартта көрсетілгендей болатынын анықтауды білдіреді.
Бұл жағдайда қандай мәндерде синус мәні 1/2-ге тең болатынын анықтау керек. Мұны бірнеше жолмен жасауға болады.
Мысалы, х-тің қандай мәндерінде синус функциясы 1/2-ге тең болатынын анықтау үшін пайдаланыңыз.
Тағы бір жолы - пайдалану. Еске сала кетейін, синустардың мәндері Oy осінде жатыр.
Ең көп таралған әдіс - пайдалану, әсіресе осы функция үшін стандартты мәндермен жұмыс істегенде, мысалы, 1/2.
Барлық жағдайларда синустың маңызды қасиеттерінің бірі - оның кезеңі туралы ұмытпау керек.
Кестедегі синустың 1/2 мәнін тауып, оған қандай аргументтер сәйкес келетінін көрейік. Бізді қызықтыратын дәлелдер - Pi / 6 және 5Pi / 6.
Берілген теңдеуді қанағаттандыратын барлық түбірлерді жазып алайық. Ол үшін бізді қызықтыратын белгісіз х аргументін және кестеден алынған аргумент мәндерінің бірін жазамыз, яғни Pi / 6. Ол үшін синус периодын ескере отырып жазамыз. , аргументтің барлық мәндері:
Екінші мәнді алып, алдыңғы жағдайдағыдай қадамдарды орындаймыз:
Бастапқы теңдеудің толық шешімі: 
Және 
qкез келген бүтін санның мәнін қабылдай алады.
Синус – негізгі тригонометриялық функциялардың бірі, оның қолданылуы тек геометриямен шектелмейді. Инженерлік калькуляторлар сияқты тригонометриялық функцияларды есептеуге арналған кестелер әрқашан қолында бола бермейді, ал синусты есептеу кейде әртүрлі есептерді шешу үшін қажет. Жалпы алғанда, синусты есептеу сурет салу дағдыларын және тригонометриялық сәйкестіктер туралы білімді бекітуге көмектеседі.
Сызғыш пен қарындашпен ойындар
Қарапайым тапсырма: қағазға сызылған бұрыштың синусын қалай табуға болады? Шешу үшін сізге кәдімгі сызғыш, үшбұрыш (немесе циркуль) және қарындаш қажет. Бұрыштың синусын есептеудің ең қарапайым тәсілі - тік бұрышты үшбұрыштың алыс катетін ұзын қабырғасына - гипотенузаға бөлу. Осылайша, алдымен бұрыштың төбесінен ерікті қашықтықта сәулелердің біріне перпендикуляр сызық жүргізу арқылы тікбұрышты үшбұрыштың пішініне сүйір бұрышты аяқтау керек. Біз дәл 90 ° бұрышты сақтауымыз керек, ол үшін бізге кеңсе үшбұрышы қажет.
Компасты пайдалану сәл дәлірек, бірақ көп уақытты алады. Сәулелердің бірінде белгілі бір қашықтықта 2 нүктені белгілеп, нүктелер арасындағы қашықтыққа шамамен тең радиусты циркульге қою керек және осы сызықтардың қиылысу нүктелері алынғанша осы нүктелерде центрлері бар жартылай шеңберлер сызу керек. Шеңберлеріміздің қиылысу нүктелерін бір-бірімен байланыстыра отырып, біз бұрышымыздың сәулесіне қатаң перпендикуляр аламыз, қалғаны сызықты басқа сәулемен қиылысқанша ұзарту.
Алынған үшбұрышта бұрышқа қарама-қарсы жағын және сәулелердің біріндегі ұзын жағын өлшеу үшін сызғышты пайдалану керек. Бірінші өлшемнің екіншісіне қатынасы сүйір бұрыштың синусының қажетті мәні болады.
90°-тан үлкен бұрыштың синусын табыңыз
Доғал бұрыш үшін тапсырма қиынырақ емес. Бізді қызықтыратын бұрыштың сәулелерінің бірімен түзу сызық құру үшін сызғыштың көмегімен төбесінен қарама-қарсы бағытта сәуле түсіру керек. Алынған сүйір бұрышты жоғарыда сипатталғандай өңдеу керек; бірге 180° кері бұрышты құрайтын іргелес бұрыштардың синусы тең.
Басқа тригонометриялық функцияларды пайдаланып синусты есептеу
Сондай-ақ, егер бұрыштың басқа тригонометриялық функцияларының мәндері немесе кем дегенде үшбұрыштың қабырғаларының ұзындығы белгілі болса, синусты есептеу мүмкін болады. Бұл бізге тригонометриялық сәйкестіктер көмектеседі. Жалпы мысалдарды қарастырайық.
Бұрыштың белгілі косинусы бар синусын қалай табуға болады? Пифагор теоремасына негізделген бірінші тригонометриялық сәйкестік бірдей бұрыштың синусы мен косинусының квадраттарының қосындысы бірге тең екенін айтады.
Бұрыштың белгілі тангенсі бар синусын қалай табуға болады? Жанама алыс жағын жақын жағына бөлу немесе синусын косинусқа бөлу арқылы алынады. Осылайша, синус косинус пен жанаманың көбейтіндісі болады, ал синустың квадраты осы көбейтіндінің квадраты болады. Квадрат косинусты бірінші тригонометриялық сәйкестікке сәйкес бірлік пен квадрат синустың айырмашылығымен ауыстырамыз және қарапайым манипуляциялар арқылы теңдеуді жанама арқылы квадрат синусын есептеуге келтіреміз; сәйкес синусты есептеу үшін сіз алынған нәтиженің түбірін шығару керек.
Бұрыштың белгілі котангенсі бар синусын қалай табуға болады? Котангенстің мәнін бұрышқа ең жақын катеттің ұзындығын алыстың ұзындығына бөлу арқылы, сондай-ақ косинусты синусқа бөлу арқылы есептеуге болады, яғни котангенс жанама салыстырмалыға кері функция болып табылады. 1 санына. Синусты есептеу үшін tg α = 1 / ctg α формуласы арқылы тангенсті есептеп, екінші нұсқадағы формуланы қолдануға болады. Тікелей формуланы тангенске ұқсас етіп шығаруға болады, ол келесідей болады.
Үшбұрыштың үш қабырғасының синусын қалай табуға болады
Қарама-қарсы бұрыштың косинусының тригонометриялық функциясы арқылы белгілі екі қабырғасынан жай тікбұрышты үшбұрыш емес, кез келген үшбұрыштың белгісіз қабырғасының ұзындығын табу формуласы бар. Ол осылай көрінеді.
Тригонометрия – тригонометриялық функцияларды және олардың геометрияда қолданылуын зерттейтін математика ғылымының саласы. Тригонометрияның дамуы Ежелгі Грецияда басталды. Орта ғасырларда бұл ғылымның дамуына Таяу Шығыс пен Үндістан ғалымдары маңызды үлес қосты.
Бұл мақала тригонометрияның негізгі ұғымдары мен анықтамаларына арналған. Ол негізгі тригонометриялық функциялардың анықтамаларын қарастырады: синус, косинус, тангенс және котангенс. Олардың мағынасы геометрия контекстінде түсіндіріліп, суреттеледі.
Бастапқыда аргументі бұрыш болатын тригонометриялық функциялардың анықтамалары тікбұрышты үшбұрыштың қабырғаларының қатынасы арқылы өрнектелді.
Тригонометриялық функциялардың анықтамалары
Бұрыштың синусы (sin α) – бұл бұрышқа қарсы тұрған катеттің гипотенузаға қатынасы.
Бұрыштың косинусы (cos α) – көршілес катеттің гипотенузаға қатынасы.
Бұрыш тангенсі (t g α) – қарама-қарсы жақтың көрші жаққа қатынасы.
Бұрыш котангенсі (c t g α) – көрші жақтың қарама-қарсы жағына қатынасы.
Бұл анықтамалар тікбұрышты үшбұрыштың сүйір бұрышы үшін берілген!
Мысал келтірейік.
Тік бұрышы С АВС үшбұрышында А бұрышының синусы ВС катетінің АВ гипотенузасына қатынасына тең.
Синус, косинус, тангенс және котангенс анықтамалары үшбұрыштың қабырғаларының белгілі ұзындықтарынан осы функциялардың мәндерін есептеуге мүмкіндік береді.
Есте сақтау маңызды!
Синус пен котангенс мәндерінің диапазоны -1-ден 1-ге дейін. Басқаша айтқанда, синус пен косинус -1-ден 1-ге дейінгі мәндерді қабылдайды. Тангенс пен котангенс мәндерінің диапазоны бүкіл сан сызығы, яғни бұл функциялар кез келген мәндерді қабылдай алады.
Жоғарыда келтірілген анықтамалар сүйір бұрыштарға қолданылады. Тригонометрияда айналу бұрышы ұғымы енгізіледі, оның мәні сүйір бұрышқа қарағанда 0-ден 90 градусқа дейін шектелмейді.Айналу бұрышы градуспен немесе радианмен - ∞-тен + ∞-ке дейінгі кез келген нақты санмен өрнектеледі. .
Бұл контексте біз ерікті шамадағы бұрыштың синусын, косинусын, тангенсін және котангенсін анықтай аламыз. Центрі декарттық координаталар жүйесінің басында орналасқан бірлік шеңберді елестетейік.
Координаталары (1, 0) бар бастапқы А нүктесі белгілі α бұрышы арқылы бірлік шеңбердің центрін айналып, А 1 нүктесіне барады. Анықтама А 1 (х, у) нүктесінің координаталары бойынша берілген.
Айналу бұрышының синусы (күні).
Айналу бұрышының α синусы А нүктесінің ординатасы 1 (х, у). sin α = y
Айналу бұрышының косинусы (cos).
α айналу бұрышының косинусы А 1 (х, у) нүктесінің абсциссасы. cos α = x
Айналу бұрышының тангенсі (тг).
Айналу бұрышының тангенсі α деп А 1 (х, у) нүктесі ординатасының оның абсциссасына қатынасын айтады. t g α = y x
Айналу бұрышының котангенсі (ctg).
α айналу бұрышының котангенсі – А 1 (х, у) нүктесінің абсциссасының оның ординатасына қатынасы. c t g α = x y
Кез келген айналу бұрышы үшін синус пен косинус анықталады. Бұл қисынды, өйткені айналудан кейінгі нүктенің абсциссасы мен ординатасын кез келген бұрышта анықтауға болады. Тангенс пен котангенсте жағдай басқаша. Айналудан кейінгі нүкте абсциссасы нөлдік (0, 1) және (0, - 1) нүктеге өткенде жанама анықталмаған. Мұндай жағдайларда t g α = y x жанамасының өрнегі жай ғана мағынасы жоқ, өйткені ол нөлге бөлуді қамтиды. Жағдай котангенске ұқсас. Айырмашылығы мынада: нүктенің ординатасы нөлге баратын жағдайларда котангенс анықталмайды.
Есте сақтау маңызды!
Синус пен косинус кез келген α бұрыштары үшін анықталады.
Тангенс α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) бұрыштарынан басқа барлық бұрыштар үшін анықталады.
Котангенс α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z) бұрыштарынан басқа барлық бұрыштар үшін анықталады.
Практикалық мысалдарды шешу кезінде «бұрылу бұрышының синусы α» деп айтпаңыз. «Айналу бұрышы» сөздері жай ғана алынып тасталды, бұл контекстен не талқыланып жатқаны анық екенін білдіреді.
Сандар
Санның айналу бұрышының емес, синусының, косинусының, тангенсінің және котангенсінің анықтамасы ше?
Санның синусы, косинусы, тангенсі, котангенсі
Санның синусы, косинусы, тангенсі және котангенсі тсинусқа, косинусқа, тангенске және котангенске сәйкес сан традиан.
Мысалы, 10 π санының синусы 10 π рад айналу бұрышының синусына тең.
Санның синусын, косинусын, тангенсін және котангенсін анықтаудың тағы бір тәсілі бар. Оны толығырақ қарастырайық.
Кез келген нақты сан тбірлік шеңбердегі нүкте тікбұрышты декарттық координаталар жүйесінің басындағы центрмен байланысты. Осы нүктенің координаталары арқылы синус, косинус, тангенс және котангенс анықталады.
Шеңбердегі бастапқы нүкте координаталары (1, 0) бар А нүктесі болып табылады.
Оң сан т
Теріс сан тшеңбер бойымен сағат тіліне қарсы қозғалса және t жолын өтсе, бастапқы нүкте баратын нүктеге сәйкес келеді.
Шеңбердегі сан мен нүкте арасындағы байланыс орнатылған соң, енді синус, косинус, тангенс және котангенс анықтамасына көшеміз.
t-ның синусы (күнәсы).
Санның синусы т- санға сәйкес бірлік шеңбердегі нүктенің ординатасы т. sin t = y
Косинусы (cos) т
Санның косинусы т- санға сәйкес бірлік шеңбер нүктесінің абсциссасы т. cos t = x
Тангенсі (тг) т
Санның тангенсі т- санға сәйкес бірлік шеңбердегі нүктенің ординатасының абсциссасына қатынасы т. t g t = y x = sin t cos t
Соңғы анықтамалар осы тармақтың басында берілген анықтамаға сәйкес келеді және оған қайшы келмейді. Санға сәйкес шеңберді көрсетіңіз т, бұрышпен бұрылғаннан кейін бастапқы нүкте баратын нүктеге сәйкес келеді традиан.
Бұрыштық және сандық аргументтің тригонометриялық функциялары
α бұрышының әрбір мәні осы бұрыштың синусы мен косинусының белгілі бір мәніне сәйкес келеді. α = 90 ° + 180 ° k-ден басқа барлық α бұрыштары сияқты, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) белгілі бір жанама мәнге сәйкес келеді. Котангенс, жоғарыда айтылғандай, α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z) қоспағанда, барлық α үшін анықталған.
sin α, cos α, t g α, c t g α альфа бұрышының функциялары немесе бұрыштық аргументтің функциялары деп айта аламыз.
Сол сияқты, сандық аргументтің функциялары ретінде синус, косинус, тангенс және котангенс туралы айтуға болады. Әрбір нақты сан тсанның синусының немесе косинусының белгілі бір мәніне сәйкес келеді т. π 2 + π · k, k ∈ Z-ден басқа барлық сандар жанама мәнге сәйкес келеді. Котангенс, сол сияқты, π · k, k ∈ Z қоспағанда, барлық сандар үшін анықталады.
Тригонометрияның негізгі функциялары
Синус, косинус, тангенс және котангенс негізгі тригонометриялық функциялар болып табылады.
Әдетте контекстен тригонометриялық функцияның қай аргументін (бұрыштық аргумент немесе сандық аргумент) қарастырып жатқанымыз анық болады.
Ең басында берілген анықтамаларға және 0-ден 90 градусқа дейінгі аралықта жататын альфа бұрышына оралайық. Синус, косинус, тангенс және котангенстің тригонометриялық анықтамалары тікбұрышты үшбұрыштың арақатынастары арқылы берілген геометриялық анықтамаларға толығымен сәйкес келеді. Көрсетейік.
Тік бұрышты декарттық координаталар жүйесінде центрі бар бірлік шеңберді алайық. Бастапқы А (1, 0) нүктесін 90 градусқа дейінгі бұрышқа бұрып, алынған А 1 (х, у) нүктесінен абсцисса осіне перпендикуляр жүргіземіз. Алынған тікбұрышты үшбұрышта A 1 O H бұрышы α айналу бұрышына, O H катетінің ұзындығы А 1 (x, y) нүктесінің абсциссасына тең. Бұрышқа қарама-қарсы катет ұзындығы А 1 (x, y) нүктесінің ординатасына тең, ал гипотенузаның ұзындығы бірге тең, өйткені ол бірлік шеңбердің радиусы.
Геометриядан алынған анықтамаға сәйкес α бұрышының синусы қарама-қарсы жақтың гипотенузаға қатынасына тең.
sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y
Бұл тікбұрышты үшбұрыштағы сүйір бұрыштың синусын арақатынасы арқылы анықтау альфа 0-ден 90 градусқа дейінгі аралықта жатқан айналу бұрышының α синусын анықтауға тең екенін білдіреді.
Сол сияқты косинус, тангенс және котангенс үшін анықтамалардың сәйкестігін көрсетуге болады.
Мәтінде қатені байқасаңыз, оны бөлектеп, Ctrl+Enter пернелерін басыңыз
