Шардың және оның элементтерінің шарының анықтамасын тұжырымдаңыз. Шар, шар, сегмент және сектор. Шардың формулалары мен қасиеттері. Шардың секант, хорда, секант жазықтығы және олардың қасиеттері

Көпшілігіміз футбол ойнағанды ​​жақсы көреміз немесе кем дегенде барлығымыз дерлік осы атақты спорт ойыны туралы естідік. Футболды доппен ойнайтынын бәрі біледі.

Егер сіз өтіп бара жатқан адамнан доптың қандай геометриялық пішіні бар деп сұрасаңыз, кейбіреулер шардың пішіні, ал кейбіреулер шардың пішіні дейді. Сонда қайсысы дұрыс? Ал шар мен шардың айырмашылығы неде?

Маңызды!

Допғарыштық дене болып табылады. Доптың іші бір нәрсемен толтырылған. Сондықтан шар көлемді таба алады.

Доптың өмірдегі мысалдары: қарбыз және болат шар.

Шар мен шардың шеңбер мен шеңбер сияқты центрі, радиусы және диаметрі болады.

Маңызды!

Шаршардың беті болып табылады. Шардың бетінің ауданын табуға болады.

Өмірдегі шардың мысалдары: волейбол добы және үстел теннисі добы.

Шардың ауданын қалай табуға болады

Есіңізде болсын!

Шар ауданының формуласы: S=4 π R 2

Шардың ауданын табу үшін санның дәрежесі қандай екенін есте сақтау керек. Дәреженің анықтамасын біле отырып, біз шардың ауданы формуласын келесідей жаза аламыз.
S=4 π R 2 \u003d 4π R R;

Алған білімдерін тиянақтау және сфераның ауданына арналған есепті шешу.

Зубарева 6 сынып. № 692(a)

Тапсырма:

• Шардың ауданын есептеңіз, егер оның радиусы болса 1 = 3 = = / (4 3) = ) = = ) =
  = = = 88

  88

  = 1
• R3 = 1
• R = 1 м

Маңызды!

Құрметті ата-аналар!

Радиустың соңғы есебінде баланы текше түбірін есептеуге мәжбүрлеу қажет емес. 6-сынып оқушылары математикадан түбірлердің анықтамасын әлі тапсырған жоқ және білмейді.

6-сыныпта мұндай есепті шығарғанда санау әдісін қолданыңыз.

Оқушыдан өзіне 3 есе көбейткенде қандай сан бір болатынын сұраңыз.

Шар мен шар үш өлшемді кеңістіктегі шеңбер мен шеңбердің аналогы болып табылады. Осы фигуралардың әрқайсысы туралы әңгімелеп, ұқсастықтар мен айырмашылықтарды, сондай-ақ осы фигураларға тән формулаларды атап өткен жөн.

Геометриялық конструкциялардың көпшілігі жазықтықта жасалған, бірақ орта мектепте олар үш өлшемді фигураларды зерттей бастайды. Екі өлшемді кеңістік тек екі сипаттамаға ие: ұзындық пен ені. 3D аймақтарында биіктік қосылады. 6-сынып математикасында жеке 3D фигуралары оқытылады.

Жазықтықта фигура аудан мен периметрмен сипатталды. Үш өлшемді нысандарда оларға көлем қосылады.

Күріш. 1. Үш өлшемді кеңістік.

Сонымен қатар, 3D пішіндерінің бірқатар ерекше қасиеттері бар. Оларды түзу және жазықтықпен кесіп өтуге болады, басқа фигуралардың пішінін алатын секант жазықтықтар болуы мүмкін.

Тапсырмаларды құрастыру үшін 3D пішіндерін пайдалану оларды айтарлықтай қиындатады, бірақ сонымен бірге оларды әлдеқайда қызықты етеді. Біз доп пен шардың анықтамаларын береміз, содан кейін біз бұл фигуралардың арасындағы айырмашылықтарды көрсетуге тырысамыз.

Доп

Шар мен шар жазықтықтағы шеңбер мен шеңбердің аналогы болып табылады. Доп – жарты шеңберді бір нүктенің айналасында айналдыру арқылы алынған фигура.

Шардың бетінің ауданы бар: $S=4pir^2$

Радиус – шардың ортасын және оның бетіндегі кез келген нүктені қосатын кесінді.

Шар үшін көлем формуласы$V=(4pir^3\over3)$

Көлем фигураның қанша орын алатынын көрсетеді. Көлемнің не екенін түсіну үшін қуыс фигураны елестету керек. Сонда көлем - бұл фигураға құюға болатын су мөлшері

Шарды, кез келген басқа үш өлшемді фигура сияқты, жазықтықпен кесуге болады. Доптың секант жазықтығы шеңбер болып табылады, оның центрін доптың ортасынан шеңберге перпендикуляр түсіру арқылы табуға болады.

Күріш. 2. Доптың кесіндісі.

Шар - бұл шардың центрінен бірдей қашықтықта орналасқан кеңістіктегі нүктелер жиынтығы. Сфера:

• Оның көлемі мен бетінің ауданы формулалары шар сияқты.
• Шардың қиюшы жазықтығы – шеңбер
• Секант шеңберінің центрі доп жағдайындағыдай табылады

Күріш. 3. Шар.

Қандай айырмашылығы бар

Сонда сұрақ туындайды, анықтамадан басқа доп пен шардың айырмашылығы неде? Өйткені, доп пен шар арасындағы айырмашылықтар шеңбер мен шеңбер арасындағы айырмашылыққа қарағанда әлдеқайда бұлыңғыр. Шардың да көлемі мен бетінің ауданы болады.

Мүмкін, анықтамадан бөлек, айырмашылық сфераның көлемі есептерде ешқашан табылмайтынында жатыр. Әдетте, олар доптың көлемін іздейді. Бұл шардың көлемі жоқ дегенді білдірмейді. Бұл үш өлшемді фигура, сондықтан оның көлемі бар.

Аналогия жай ғана ауданы жоқ шеңбермен сызылады. Бұл ереже емес, есте сақтау қажет дәстүр: геометрияда шардың көлемін тұжырымдау құпталмайды.

Азды-көпті маңызды деп санауға болатын тағы бір айырмашылық: шардың кесу жазықтығы: ішкі кеңістігі жоқ, бірақ ұзындығы бар шеңбер. Шардың қима жазықтығы: ауданы бар және шеңбері жоқ шеңбер. Сондықтан, мұндай ұсақ-түйектерге байланысты қателер болмауы үшін мәселенің тұжырымында абай болған жөн.

Біз не үйрендік?

Шар мен шардың не екенін білдік. Біз олардың ұқсастықтары мен айырмашылықтары туралы айттық. Бұл көрсеткіштер арасында айырмашылықтар жоқтың қасы екенін білдік. Біз шардың көлемі сияқты тұжырымды берудің қажеті жоқ деп шештік.

Тақырыптық викторина

Мақаланың рейтингі

Орташа рейтинг: 4.7. Алынған жалпы рейтингтер: 105.

Анықтама.

Шар (шар беті) бір нүктеден бірдей қашықтықта орналасқан үш өлшемді кеңістіктегі барлық нүктелердің жиынтығы деп аталады шардың орталығы(ТУРАЛЫ).

Шарды диаметрі айналасындағы шеңберді 180° немесе жарты шеңберді диаметрі айналасында 360° айналдыру арқылы пайда болатын үш өлшемді фигура ретінде сипаттауға болады.

Анықтама.

Допүш өлшемді кеңістіктегі барлық нүктелердің жиынтығы, олардың арақашықтығы белгілі бір қашықтықтан аспайтын нүкте деп аталады. доп орталығы(O) (шармен шектелген үш өлшемді кеңістіктің барлық нүктелерінің жиыны).

Шарды диаметрі айналасындағы шеңберді 180 ° немесе жарты шеңберді диаметрі бойынша 360 ° айналдыру арқылы пайда болатын үш өлшемді фигура ретінде сипаттауға болады.

Анықтама. Шар (шар) радиусы(R) – шардың (шар) центрінен қашықтығы Ошардың кез келген нүктесіне (шардың бетіне).

Анықтама. Шар (шар) диаметрі(D) - шардың екі нүктесін (шардың бетін) қосатын және оның центрі арқылы өтетін кесінді.

Формула. Шардың көлемі:

V =	4	π R 3 =	1	π D 3
	3		6

Формула. Шардың бетінің ауданырадиусы немесе диаметрі арқылы:

S = 4π R 2 = π D 2

Шар теңдеуі

1. Радиусы R және центрі декарттық координаталар жүйесінің басындағы шар теңдеуі:

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

2. Декарттық координаталар жүйесіндегі координаталары (x 0 , y 0 , z 0) нүктедегі радиусы R және центрі бар шардың теңдеуі:

(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2 = R 2

Анықтама. диаметральді қарама-қарсы нүктелершардың (шардың) бетіндегі диаметрі бойынша қосылған кез келген екі нүкте.

Шар мен шардың негізгі қасиеттері

1. Шардың барлық нүктелері центрден бірдей қашықтықта орналасқан.

2. Шардың жазықтықтағы кез келген кесіндісі шеңбер болып табылады.

3. Шардың жазықтықтағы кез келген кесіндісі шеңбер болып табылады.

4. Шар бетінің ауданы бірдей барлық кеңістіктік фигуралардың ішінде ең үлкен көлемге ие.

5. Кез келген екі диаметральді қарама-қарсы нүктелер арқылы шар үшін көптеген үлкен шеңберлер немесе доп үшін шеңберлер салуға болады.

6. Диаметральді қарама-қарсы нүктелерден басқа кез келген екі нүкте арқылы шар үшін бір ғана үлкен шеңбер немесе шар үшін үлкен шеңбер салуға болады.

7. Бір шардың кез келген екі үлкен шеңбері доптың центрі арқылы өтетін түзу бойымен қиылысады, ал шеңберлер диаметральді қарама-қарсы екі нүктеде қиылысады.

8. Егер кез келген екі шардың центрлерінің арақашықтығы олардың радиустарының қосындысынан кіші және олардың радиустарының айырмасының модулінен үлкен болса, онда мұндай шарлар қиылысу, ал қиылысу жазықтығында шеңбер құрылады.

Шардың секант, хорда, секант жазықтығы және олардың қасиеттері

Анықтама. Шарлардың кесіндісішарды екі нүктеде қиып өтетін түзу. Қиылысу нүктелері деп аталады тесу нүктелерібетіндегі немесе бетіндегі кіру және шығу нүктелері.

Анықтама. Шар аккорды (шар)шардың екі нүктесін қосатын кесінді (шардың беті).

Анықтама. кесу ұшағышарды қиып өтетін жазықтық болып табылады.

Анықтама. Диаметрлік жазықтық- бұл сфераның немесе шардың ортасы арқылы өтетін секанттық жазықтық, сәйкесінше қима құрайды үлкен шеңберЖәне үлкен шеңбер. Үлкен шеңбер мен үлкен шеңбердің шардың (шардың) центрімен сәйкес келетін центрі болады.

Шардың (шардың) ортасынан өтетін кез келген хорда диаметр болып табылады.

Хорда - секанттық сызықтың кесіндісі.

Шар центрінен секантқа дейінгі d қашықтық әрқашан шардың радиусынан кіші:

г< R

Кесу жазықтығы мен шар центрінің арасындағы қашықтық m әрқашан R радиусынан аз:

м< R

Кесу жазықтығының шардағы қимасы әрқашан болады кіші шеңбер, ал допта бөлім болады шағын шеңбер. Кіші шеңбер мен кіші шеңбердің шардың (шардың) центрімен сәйкес келмейтін орталықтары болады. Мұндай шеңбердің r радиусын мына формула бойынша табуға болады:

r \u003d √ R 2 - м2,

Мұндағы R – шардың (шардың) радиусы, m – шардың ортасынан кесу жазықтығына дейінгі қашықтық.

Анықтама. Жарты шар (жарты шар)- бұл диаметральды жазықтықпен кесілген кезде пайда болатын шардың (шардың) жартысы.

Шарға жанама, жанама жазықтық және олардың қасиеттері

Анықтама. Шарға жанамашарға тек бір нүктеде жанасатын түзу.

Анықтама. Шарға жанама жазықтықшарға тек бір нүктеде тиетін жазықтық.

Жанама түзу (жазықтық) әрқашан жанасу нүктесіне жүргізілген сфераның радиусына перпендикуляр болады.

Шар центрінен жанама түзуге (жазықтыққа) дейінгі қашықтық шардың радиусына тең.

Анықтама. шар сегменті- бұл доптың кесетін жазықтықпен доптан кесілген бөлігі. Сегменттің тірегібөлімнің орнында пайда болған шеңберді шақырыңыз. сегмент биіктігі h – кесінді табанының ортасынан кесіндінің бетіне жүргізілген перпендикуляр ұзындығы.

Формула. Шар сегментінің сыртқы бетінің ауданы R шар радиусы бойынша биіктігі h:

S = 2π Rh