Дәріс

Комплекс санның тригонометриялық түрі

Жоспар

1.Күрделі сандардың геометриялық кескіні.

2.Күрделі сандардың тригонометриялық жазылуы.

3. Тригонометриялық түрдегі күрделі сандарға әрекеттер.

Комплекс сандардың геометриялық кескіні.

а) Күрделі сандар жазықтықтың нүктелерімен келесі ереже бойынша көрсетіледі: а + би = М ( а ; б ) (Cурет 1).

1-сурет

б) Комплекс санды нүктеден басталатын вектор ретінде көрсетуге боладыТУРАЛЫ және берілген нүктеде аяқталады (2-сурет).

2-сурет

Мысал 7. Күрделі сандарды көрсететін нүктелер:1; - мен ; - 1 + мен ; 2 – 3 мен (Cурет 3).

3-сурет

Комплекс сандардың тригонометриялық белгіленуі.

Күрделі санz = а + би радиус - вектор көмегімен орнатуға болады координаталарымен( а ; б ) (Cурет 4).

4-сурет

Анықтама . Вектор ұзындығы күрделі санды білдіредіz , осы санның модулі деп аталады және белгіленеді немесеr .

Кез келген күрделі сан үшінz оның модуліr = | z | формула бойынша бірегей түрде анықталады .

Анықтама . Нақты осьтің оң бағыты мен вектор арасындағы бұрыштың мәні күрделі санды білдіретін бұл күрделі санның аргументі деп аталады және белгіленедіА rg z немесеφ .

Күрделі сан аргументіz = 0 анықталмаған. Күрделі сан аргументіz≠ 0 көп мәнді шама және терминге дейін анықталады2πк (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; ...): Арг z = arg z + 2πк , Қайдаarg z - интервалға алынған аргументтің негізгі мәні(-π; π] , яғни-π < arg z ≤ π (кейде интервалға жататын мән аргументтің негізгі мәні ретінде қабылданады .

Бұл формула үшінr =1 Көбінесе Де Мувр формуласы деп аталады:

(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

11-мысал Есептеңіз(1 + мен ) 100 .

Күрделі санды жазайық1 + мен тригонометриялық түрде.

a = 1, b = 1 .

cos φ = , sin φ = , φ = .

(1+i) 100 = [ (кос + мен күнә жасаймын )] 100 = ( ) 100 (кос 100+ мен күнә жасаймын 100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .

4) Күрделі санның квадрат түбірін шығару.

Күрделі санның квадрат түбірін шығарғандаа + би бізде екі жағдай бар:

Егерб > туралы , Бұл ;

3.1. Полярлық координаттар

Көбінесе ұшақта қолданылады полярлық координаталар жүйесі . Ол О нүктесі берілген жағдайда анықталады, шақырылады полюс, және полюстен шығатын сәуле (біз үшін бұл ось Ox) - полярлық ось.М нүктесінің орны екі санмен бекітілген: радиус (немесе радиус векторы) және поляр осі мен вектор арасындағы φ бұрышы .φ бұрышы деп аталады полярлық бұрыш; радианмен өлшенеді және полярлық осьтен сағат тіліне қарсы есептеледі.

Полярлық координаталар жүйесіндегі нүктенің орны реттелген сандар жұбы (r; φ) арқылы беріледі. Полюсте r = 0және φ анықталмаған. Барлық басқа нүктелер үшін r > 0және φ 2π еселігіне дейін анықталады. Бұл жағдайда (r; φ) және (r 1 ; φ 1) сандар жұбына, егер болса, бірдей нүкте тағайындалады.

Тік бұрышты координаттар жүйесі үшін xOyНүктенің декарттық координаталары оның полярлық координаталарымен оңай өрнектеледі:

3.2. Комплекс санның геометриялық интерпретациясы

Жазықтықта декарттық тікбұрышты координаталар жүйесін қарастырайық xOy.

Кез келген күрделі сан z=(a, b) жазықтықтың координаталары бар нүктесі ( x, y), Қайда координатасы x = a, яғни. күрделі санның нақты бөлігі, ал координат y = bi – елестетілген бөлігі.

Нүктелері комплекс сандар болатын жазықтық күрделі жазықтық болып табылады.

Суретте күрделі сан z = (a, b)сәйкестік нүктесі M(x, y).

Жаттығу.Комплекс сандарды координаталық жазықтықта салыңыз:

3.3. Комплекс санның тригонометриялық түрі

Жазықтықтағы күрделі санның нүктенің координаталары болады M(x; y). Бола тұра:

Күрделі санды жазу - күрделі санның тригонометриялық түрі.

r саны шақырылады модуль күрделі сан zжәне белгіленеді. Модуль теріс емес нақты сан. Үшін .

Модуль нөлге тең, тек және егер z = 0, яғни. a=b=0.

φ саны шақырылады аргумент z және белгіленеді. z аргументі полярлық координаталар жүйесіндегі полярлық бұрыш сияқты анық емес, атап айтқанда, 2π еселігіне дейін анықталады.

Сонда қабылдаймыз: , мұндағы φ аргументтің ең кіші мәні. Ол анық

.

Тақырыпты тереңірек зерттей отырып, φ* көмекші аргументі енгізіледі, осылайша

1-мысал. Комплекс санның тригонометриялық түрін табыңыз.

Шешім. 1) модульді қарастырамыз: ;

2) φ іздеу: ;

3) тригонометриялық пішін:

2-мысалКомплекс санның алгебралық түрін табыңыз .

Мұнда тригонометриялық функциялардың мәндерін ауыстырып, өрнекті түрлендіру жеткілікті:

3-мысалКомплекс санның модулі мен аргументін табыңыз ;

1) ;

2) ; φ - 4 тоқсанда:

3.4. Тригонометриялық түрдегі күрделі сандармен амалдар

· Қосу және азайтуалгебралық түрде күрделі сандармен орындау ыңғайлырақ:

· Көбейту– қарапайым тригонометриялық түрлендірулердің көмегімен мынаны көрсетуге болады көбейту кезінде сандардың модульдері көбейтіледі және аргументтер қосылады: ;

2.3. Комплекс сандардың тригонометриялық түрі

векторы күрделі жазықтықта санымен берілсін.

Оң жарты ось Ox пен вектор арасындағы бұрышты φ арқылы белгілеңіз (φ бұрышы сағат тіліне қарсы есептелсе оң, ал басқаша теріс деп есептеледі).

Вектордың ұзындығын r арқылы белгілеңіз. Содан кейін. Біз де белгілейміз

Нөлдік емес комплексті z санын былай жазу

z комплекс санының тригонометриялық түрі деп аталады. r саны z комплекс санының модулі деп аталады, ал φ саны осы күрделі санның аргументі деп аталады және Arg z арқылы белгіленеді.

Комплекс санды жазудың тригонометриялық түрі – (Эйлер формуласы) – күрделі санды жазудың көрсеткіштік түрі:

z комплекс санының шексіз көп аргументтері бар: егер φ0 z санының кез келген аргументі болса, қалғандарының барлығын формула арқылы табуға болады.

Күрделі сан үшін аргумент пен тригонометриялық пішін анықталмаған.

Сонымен, нөлдік емес комплекс санның аргументі теңдеулер жүйесінің кез келген шешімі болып табылады:

(3)

Теңсіздіктерді қанағаттандыратын күрделі z аргументінің φ мәні негізгі мән деп аталады және arg z арқылы белгіленеді.

Arg z және arg z аргументтері теңдік арқылы байланысқан

, (4)

(5) формуласы (3) жүйесінің салдары, сондықтан комплекс санның барлық аргументтері (5) теңдігін қанағаттандырады, бірақ (5) теңдеудің барлық φ шешімдері z санының аргументтері емес.

Нөлдік емес күрделі сан аргументінің негізгі мәні мына формулалар арқылы табылады:

Тригонометриялық түрдегі күрделі сандарды көбейту және бөлу формулалары келесідей:

. (7)

Комплекс санды натурал дәрежеге көтеру кезінде де Мовр формуласы қолданылады:

Күрделі саннан түбірді алу кезінде мына формула қолданылады:

, (9)

мұндағы k=0, 1, 2, …, n-1.

Есеп 54. Есептеңіз, мұндағы .

Бұл өрнектің шешімін күрделі санды жазудың көрсеткіштік түрінде көрсетейік: .

Егер , онда.

Содан кейін, . Сондықтан, онда Және , Қайда.

Жауап: , сағ.

Есеп 55. Күрделі сандарды тригонометриялық түрде жаз:

A) ; б) ; V) ; G) ; e) ; д) ; және) .

Комплекс санның тригонометриялық түрі болғандықтан, онда:

а) Комплекс санда: .

,

Сондықтан

б) , Қайда,

G) , Қайда,

д) .

және) , А , Бұл.

Сондықтан

Жауап: ; 4; ; ; ; ; .

Есеп 56. Комплекс санның тригонометриялық түрін табыңыз

.

болсын, .

Содан кейін, , .

Өйткені және , , содан кейін, және

Сондықтан, сондықтан

Жауап: , Қайда.

Есеп 57. Комплекс санның тригонометриялық түрін пайдаланып, келесі әрекеттерді орындаңыз: .

Сандарды елестетіңіз және тригонометриялық түрде.

1) , қайда Содан кейін

Негізгі аргументтің мәнін табу:

Мәндерді және өрнекке ауыстырыңыз, біз аламыз

2) сонда қайда

Содан кейін

3) Бөліндіні табыңыз

k=0, 1, 2 деп есептесек, қажетті түбірдің үш түрлі мәнін аламыз:

Егер болса, онда

егер болса, онда

егер болса, онда .

Жауап: :

:

: .

Есеп 58. , , , әр түрлі комплекс сандар және болсын . Дәлелдеңіз

а) саны нақты оң сан;

б) теңдік орын алады:

а) Осы күрделі сандарды тригонометриялық түрде көрсетейік:

Өйткені .

Солай етейік. Содан кейін

.

Соңғы өрнек оң сан, өйткені синус таңбаларының астындағы аралықтағы сандар бар.

өйткені саны шынайы және позитивті. Шынында да, егер a және b күрделі сандар болса және нақты және нөлден үлкен болса, онда .

Сонымен қатар,

демек, қажетті теңдік дәлелденеді.

Есеп 59. Санды алгебралық түрде жаз .

Санды тригонометриялық түрде көрсетеміз, содан кейін оның алгебралық түрін табамыз. Бізде бар . Үшін жүйені аламыз:

Осыдан теңдік шығады: .

Де Мойвр формуласын қолдану:

Біз алып жатырмыз

Берілген санның тригонометриялық түрі табылды.

Енді бұл санды алгебралық түрде жазамыз:

.

Жауап: .

Есеп 60. , , қосындысын табыңыз.

Қосындыны қарастырыңыз

Де Мойвр формуласын қолданып, табамыз

Бұл қосынды бөлгіші бар геометриялық прогрессияның n мүшесінің қосындысы және бірінші мүше .

Осындай прогрессияның мүшелерінің қосындысының формуласын қолданып, бізде болады

Соңғы өрнектегі қиял бөлігін бөліп, табамыз

Нақты бөлікті ажырата отырып, келесі формуланы да аламыз: , , .

Есеп 61. Қосындыны табыңыз:

A) ; б) .

Ньютонның қуатқа көтеру формуласы бойынша бізде бар

Де Мувр формуласы бойынша мынаны табамыз:

Алынған өрнектердің нақты және жорамал бөліктерін теңестірсек, бізде:

Және .

Бұл формулаларды жинақы түрде келесідей жазуға болады:

,

, мұндағы а санының бүтін бөлігі.

Есеп 62. Барлығын табыңыз.

Өйткені , содан кейін формуланы қолдану

, Тамырларды алу үшін біз аламыз ,

Демек, , ,

, .

Сандарға сәйкес нүктелер центрі (0;0) нүктесінде орналасқан радиусы 2 шеңберге сызылған шаршының төбелерінде орналасқан (30-сурет).

Жауап: , ,

, .

Есеп 63. Теңдеуді шеш , .

Шарты бойынша; сондықтан бұл теңдеудің түбірі жоқ, демек, ол теңдеумен тең.

z саны осы теңдеудің түбірі болуы үшін сан 1 санының n-ші түбірі болуы керек.

Демек, бастапқы теңдеудің теңдіктерден анықталған түбірлері бар деген қорытындыға келеміз

,

Осылайша,

,

яғни ,

Жауап: .

Есеп 64. Комплекс сандар жиынындағы теңдеуді шеш.

Сан бұл теңдеудің түбірі болмағандықтан, бұл теңдеу үшін теңдеуге эквивалентті болады.

Яғни, теңдеу.

Бұл теңдеудің барлық түбірлері мына формуладан алынады (62 есепті қараңыз):

; ; ; ; .

Есеп 65. Күрделі жазықтықта теңсіздіктерді қанағаттандыратын нүктелер жиынын сал: . (45 есепті шешудің 2-ші жолы)

Болсын .

Модульдері бірдей күрделі сандар бас нүктесінде центрленген шеңберде жатқан жазықтық нүктелеріне сәйкес келеді, сондықтан теңсіздік басы мен радиусы ортақ центрі бар шеңберлермен шектелген ашық сақинаның барлық нүктелерін қанағаттандырады және (31-сурет). Күрделі жазықтықтың қандай да бір нүктесі w0 санына сәйкес болсын. Сан , модулі w0 модулінен кіші есе аз, аргумент w0 аргументінен үлкен. Геометриялық тұрғыдан алғанда, w1-ге сәйкес нүктені координаттар коэфициентінде және коэффицентте центрленген гомотетия арқылы, сондай-ақ координаттар басына қатысты сағат тіліне қарсы айналдыру арқылы алуға болады. Осы екі түрлендіруді сақина нүктелеріне қолдану нәтижесінде (31-сурет) соңғысы центрі бірдей және радиустары 1 және 2 болатын шеңберлермен шектелген сақинаға айналады (32-сурет).

түрлендіру векторында параллель аудару арқылы жүзеге асырылады. Бір нүктеде центрленген сақинаны көрсетілген векторға ауыстыра отырып, нүктеде центрленген бірдей өлшемдегі сақина аламыз (22-сурет).

Ұсынылған әдіс, ол жазықтықтың геометриялық түрлендірулер идеясын қолданатын, мүмкін сипаттамаға ыңғайлы емес, бірақ ол өте талғампаз және тиімді.

Есеп 66. Егер тап .

болсын , содан кейін және . Бастапқы теңдік пішінді алады . Екі күрделі санның теңдік шартынан , , қайдан , аламыз. Осылайша, .

z санын тригонометриялық түрде жазайық:

, Қайда , . Де Мойвр формуласы бойынша табамыз.

Жауабы: - 64.

Есеп 67. Комплекс сан үшін , және болатындай барлық күрделі сандарды табыңыз .

Санды тригонометриялық түрде көрсетейік:

. Демек, . Біз алатын сан үшін екеуіне де тең болуы мүмкін.

Бірінші жағдайда , екіншісінде

.

Жауабы: , .

Есеп 68. болатын сандардың қосындысын табыңыз. Осы сандардың бірін көрсетіңіз.

Есептің тұжырымдалуының өзінде-ақ теңдеу түбірлерінің қосындысын түбірлердің өздерін есептемей-ақ табуға болатынын түсінуге болатынын ескеріңіз. Шынында да, теңдеудің түбірлерінің қосындысы қарама-қарсы таңбамен алынған коэффициенті (жалпыланған Вьета теоремасы), яғни.

Оқушылар, мектеп құжаттамасы, осы ұғымды игеру дәрежесі туралы қорытынды жасайды. Математикалық ойлаудың ерекшеліктерін және күрделі сан ұғымын қалыптастыру үдерісін зерттеуді қорытындылау. Әдістердің сипаттамасы. Диагностика: I кезең. Әңгімелесу 10-сыныпта алгебра және геометрия пәндерінен сабақ беретін математика пәнінің мұғалімімен жүргізілді. Әңгіме біраз уақыттан кейін болды...

Резонанстық «(!)), ол сондай-ақ өзінің мінез-құлқын бағалауды қамтиды. 4. Жағдайды түсінуге сыни баға беру (күмән). 5. Соңында, құқықтық психологияның ұсыныстарын пайдалану (психологиялық аспектілерді есепке алу). адвокаттың кәсіби іс-әрекеті – кәсіби психологиялық дайындық).Енді заңды фактілердің психологиялық талдауын қарастырайық. ...

Тригонометриялық алмастыру математикасы және құрастырылған оқыту әдістемесінің тиімділігін тексеру. Жұмыс кезеңдері: 1. Математиканы тереңдетіп оқытатын сыныптарда оқушылармен «Тригонометриялық алмастыруды алгебралық есептерді шешуде қолдану» тақырыбы бойынша факультативтік курсты әзірлеу. 2. Әзірленген факультативтік курсты өткізу. 3. Диагностикалық бақылау жүргізу...

Танымдық тапсырмалар тек қолданыстағы оқыту құралдарын толықтыруға арналған және оқу процесінің барлық дәстүрлі құралдарымен және элементтерімен сәйкес үйлесімде болуы керек. Гуманитарлық пәндерді оқытудағы оқу есептерінің нақты, математикалық есептерден айырмашылығы тек тарихи есептердегі формулалардың, қатаң алгоритмдердің және т.б. болмауында, бұл олардың шешімін қиындатады. ...

Жазықтықтағы нүктенің орнын анықтау үшін полярлық координаталарды қолдануға болады [g, (p), Қайда Гнүктенің басынан қашықтығы, және (Р- радиус жасайтын бұрыш - осьтің оң бағытымен осы нүктенің векторы О.Бұрыштың өзгеруінің оң бағыты (Рсағат тіліне қарсы бағытта қарастырылады. Декарттық және полярлық координаталар арасындағы байланысты қолдану: x \u003d r cos cf, y \u003d r sin (б,

комплекс санның тригонометриялық түрін аламыз

z - r(күнә (p + i күнә

Қайда Г

Xi + y2, (p – күрделі санның аргументі, ол келесіден табылады

l X . ж ж

формулалар cos(p --, sin^9  = - немесе осыған байланысты тг(p --, (p-arctg

Мәндерді таңдағанда ескеріңіз Сәрсоңғы теңдеуден белгілерді ескеру қажет x және y.

Мысал 47. Комплекс санды тригонометриялық түрде жаз 2 \u003d -1 + l / Z / .

Шешім. Комплекс санның модулі мен аргументін табыңыз:

= yj 1 + 3 = 2 . Бұрыш Сәрқатынастарынан табады cos(б = -, sin(p = - .Содан кейін

Біз алып жатырмыз cos(p = -,суп

u/z g~

• - -. Әлбетте, z = -1 + V3-/ нүктесі
• 2 Кімге 3

екінші тоқсанда: (Р= 120°

Ауыстыру

2 к.. cos-h; күнә

формулаға (1) 27G L табылды

Түсініктеме. Күрделі санның аргументі бірегей түрде анықталмайды, бірақ еселік болатын мүшеге дейін 2б.Содан кейін cn^rтағайындау

ішінде қамтылған аргумент мәні (б 0 %2 Содан кейін

A) ^ r = + 2kk.

Белгілі Эйлер формуласын қолдану e, күрделі санның көрсеткіштік түрін аламыз.

Бізде бар r = r(co^(p + i?, n(p)=re,

Комплекс сандарға амалдар

• 1. Екі күрделі санның қосындысы r, = X] + y x/ және r 2 - x 2 + y 2 / r формуласы бойынша анықталады! +2 2 = (x, +^2) + (^1 + ^2)' g
• 2. Күрделі сандарды азайту операциясы қосуға кері амал ретінде анықталады. Күрделі сан g \u003d g x - g 2,Егер g 2 + g \u003d g x,

күрделі сандардың айырымы 2, және g 2.Сонда r = (x, - x 2) + (y, - сағ 2) /.

• 3. Екі күрделі санның көбейтіндісі g x= x, +y, -z және 2 2 = x 2+ U2‘ g формуласымен анықталады
• *1*2 =(* +U"0(X 2+ T 2 -0= X 1 X 2 Y 1 2 -1 + x Y2 " * + Сағат1 Сағат2 " ^ =

\u003d (xx 2 ~ YY 2) + ( X Y2 + X 2Y) - "-

Сондай-ақ, ж-ж\u003d (x + y-g) (x-y /) \u003d x 2 + y 2.

Күрделі сандар үшін көбейту формулаларын экспоненциалды және тригонометриялық формаларда алуға болады. Бізде бар:

• 1^ 2 - r x e 1 = )Г 2 e > = Г]Г 2 cOs((P + cp 2) + isin
• 4. Күрделі сандарды бөлу кері амал ретінде анықталады

көбейту, яғни. саны G-- r бөліндісінің бөлшегі деп аталады! g 2 бойынша,

Егер r x -1 2 ? 2 . Содан кейін

X + Ті _ (*і + ІU 2 ~ 1 U2 ) x 2 + ІУ2 (2 + ^Y 2)( 2 ~ 1 Y 2)

x, x 2 + /y, x 2 - ix x y 2 - i 2 y x y 2 (x x x 2 + y x y 2)+ /(- x, y 2 + X 2 Y])

2 2 x 2 + Y 2

1 e

i(r g

• - 1U e "(1 Fg) - I.sOї ((P - cf 1) + I- (Р-,)] >2 >2
• 5. Комплекс санды бүтін натурал дәрежеге көтеру, егер сан көрсеткіштік немесе тригонометриялық түрде жазылса жақсы орындалады.

Шынында да, егер z = ge 1 болса

=(ге,) = r p e t = G"(co8 psr + іt gcr).

g формуласы =r n (cosn(p+is n(p))Де Муевр формуласы деп аталады.

6. Түбірді алу P-Күрделі санның th дәрежесі дәрежеге шығарудың кері операциясы ретінде анықталады p, p- 1,2,3,... яғни. күрделі сан = y[gтүбір деп атайды P-күрделі санның ші дәрежесі

d егер Г = g x. Бұл анықтамадан мынау шығады g - g ", А g x= л/г. (p-psr x,А sr^-sr/n, ол = r/*+ саны үшін жазылған Моивр формуласынан туындайды ippp(p).

Жоғарыда атап өтілгендей, күрделі санның аргументі бірегей түрде анықталмайды, бірақ 2-ге еселік болатын мүшеге дейін және.Сондықтан = (p + 2дана, және r санының аргументі, тәуелді Кімге,белгілеу (б. дейінжәне бу

формула бойынша есептейді (б. дейін= - + . бар екені анық Пком-

плекс сандар, Пші дәрежесі 2 санына тең. Бұл сандардың бір саны бар

және бірдей модуль, тең y[r,және осы сандардың аргументтері арқылы алынады Кімге = 0, 1, P - 1. Осылайша, тригонометриялық түрде i-ші дәрежелі түбір мына формуламен есептеледі:

(p + 2kp . . cf + 2kp

, Кімге = 0, 1, 77-1,

.(r+2ктг

ал экспоненциалды түрде – формула бойынша l[r - y[ge n

Мысал 48. Алгебралық түрдегі күрделі сандарға амалдар орындаңыз:

a) (1- / H / 2) 3 (3 + /)

• (1 - /л/2) 3 (с + /) \u003d (1 - Zl / 2 / + 6/2 - 2 л / 2 / ? 3) (3 + /) \u003d
• (1 - Зл/2/ - 6 + 2л/2/ДЗ + /)=(- 5 - л/2/ДЗ + /) =

15-Зл/2/-5/-л/2/ 2 = -15 - Зл/2/-5/+ л/2 = (-15 + л/2)-(5 + Зл/2)/;

49-мысал. r \u003d Uz - / санын бесінші дәрежеге дейін көтеріңіз.

Шешім. r санын жазудың тригонометриялық түрін аламыз.

G =л/3 + 1 =2, CO8 (p --, 5ІІ7 (Р =

• (1 - 2/X2 + /)
• (s-,)

O - 2.-x2 + o

• 12+ 4/-9/
• 2 +і - 4/ - 2/ 2 2 - 3/ + 2 4 - 3/ 3 + і
• (с-о "(с-о

Z/ 2 12-51 + 3 15 - 5/

• (3-i) 'з+/
• 9 + 1 с_±.
• 5 2 1 "

Осы жерден О--, А r = 2

Біз мынаны аламыз: i-2

/ ^ _ 7r, . ?Г

• -АҚШ-- IBIP -

• --b/-

\u003d - (л / В + г) \u003d -2.

50-мысал Барлық мәндерді табыңыз

Шешімі, r = 2, a Сәртеңдеуден табыңыз coy(p = -, zt--.

Бұл нүкте 1 - /d/z төртінші тоқсанда, яғни. f =--. Содан кейін

• 1 - 2
• ( (УГ Л

Түбір мәндері өрнектен табылады

V1 - /л/с = л/2

• --+ 2A:/g ---b 2 кк
• 3 . . 3

С08--1- және 81П-

Сағат Кімге - 0 бізде 2 0 = л/2

2 санының түбірінің мәндерін дисплейдегі санды көрсету арқылы табуға болады

-* TO/ 3 + 2 сынып

Сағат Кімге= 1 бізде тағы бір түбірлік мән бар:

• 7G. 7G_
• ---b27g ---b2;g
• 3 . . h

7G . . 7G L-C05- + 181P - 6 6

• --N-

-мен? - 7G + / 5Sh - I "

л/3__т_

дене пішіні. Өйткені r= 2, а Сәр= , онда r = 2е 3 , және y[g = ж/2е 2