Жасушаны тегін бағалау– (әлеуетті әдісті қараңыз)

Цикл -тасымалдау кестесіндегі ұяшықтардың осындай тізбегі (i 1 ,j 1), (i 1 ,j 2), (i 2 ,j 2),...(i k ,j 1), онда екі және тек екі көрші ұяшықтар болады. бір жолда немесе бағанда орналасқан, бірінші және соңғы ұяшықтар да бір жолда немесе бағанда болады.

(?)Цикл бойымен ауыстыру - (цикл бойымен t мәніне жылжу)-«+» белгісімен белгіленген циклдің барлық тақ ұяшықтарындағы көлемдердің t-ге ұлғаюы және t-мен «-» белгісімен белгіленген барлық жұп ұяшықтардағы тасымалдау көлемдерінің төмендеуі.

1. 
   ^ Эталондық жоспардың оңтайлылығының шарты.

Оңтайлы жоспар жеткізушілердің әрқайсысының өндіріс көлемін асырмай және тұтынушылардың әрқайсысының қажеттіліктерін толық қамтамасыз етпей, тасымалдаудың ең төменгі жалпы құнын анықтауы керек.

Оңтайлы тасымалдау жоспары тұтыну мен жеткізуге шектеулер кезінде f(X)= min сызықтық мақсат функциясының минимумына сәйкес келеді.

No 32. k ретті айырым теңдеуінің анықтамасын және оның жалпы шешімін тұжырымдаңыз. Тұрақты коэффициенттері бар k ретті сызықтық айырым теңдеуінің анықтамасын көрсетіңіз. Біртекті және біртекті емес сызықтық айырымдық теңдеулердің жалпы шешімі бойынша теоремаларды тұжырымдаңыз (дәлелдеусіз).

F(n; x n; x n +1 ;…; x n + k) = 0 түріндегі теңдеу, мұндағы k – тұрақты сан және n – ерікті натурал сан, x n ; x n +1 ;…; x n + k - k ретті айырымдық теңдеу деп аталатын кейбір белгісіз сандар тізбегінің мүшелері.

Айырымдық теңдеуді шешу теңдеуді қанағаттандыратын барлық тізбектерді (x n) табуды білдіреді.

k-ші ретті теңдеудің жалпы шешімі оның k тәуелсіз еркін C 1 , C 2 , …, C k константаларына байланысты x n = φ(n, C 1 , C 2 , …, C k ) шешімі болып табылады. k тұрақты саны айырым теңдеуінің ретіне тең, ал тәуелсіздік тұрақтылардың ешқайсысын басқаларымен өрнектеуге болмайтынын білдіреді.

Тұрақты коэффициенттері бар k ретті сызықтық айырмашылық теңдеуін қарастырыңыз:

a k x n+k + a k-1 x n+k-1 + … + a 1 x n+1 + a 0 x n = f n , мұндағы a i R (a k ≠ 0, a 0 ≠ 0) және

(f n ) – берілген сандар мен реттілік.

^ Біртекті емес теңдеудің жалпы шешімі туралы теорема.

Сызықтық біртекті емес айырымдылық теңдеудің жалпы шешімі x n осы теңдеудің нақты шешімі x n * және сәйкес біртекті теңдеудің жалпы шешімі n қосындысы болып табылады.

^ Біртекті теңдеудің жалпы шешімі туралы теорема.

x n 1 ,…, x n k сызықты біртекті айырымдық теңдеудің k сызықты тәуелсіз шешімдерінен тұратын жүйе болсын. Сонда бұл теңдеудің жалпы шешімі мына формуламен беріледі: x n = C 1 x n 1 + … + C k x n k.
No 33. Тұрақты коэффициенттері бар біртекті сызықтық айырымдық теңдеуді шешу алгоритмін сипаттаңыз. Келесі ұғымдардың анықтамаларын тұжырымдаңыз: сызықтық айырымдық теңдеу шешімдерінің іргелі жиыны, сипаттамалық теңдеу, Касоратти анықтаушысы.

Сипаттамалық теңдеудің түбірлерін білу біртекті айырымдық теңдеудің жалпы шешімін құруға мүмкіндік береді. Мұны екінші ретті теңдеудің мысалы арқылы қарастырайық: Алынған шешімдерді жоғары ретті теңдеулердің жағдайына оңай ауыстыруға болады.

Сипаттамалық теңдеудің D=b 2 -4ac дискриминантының мәндеріне байланысты келесі жағдайлар болуы мүмкін:

C 1 , C 2 - ерікті тұрақтылар.

k-ші ретті сызықты біртекті айырымдылық теңдеуінің шешімдер жиыны k өлшемді сызықтық кеңістікті құрайды және k сызықты тәуелсіз шешімдердің кез келген жиыны (негізгі жиын деп аталады) оның негізі болып табылады. Біртекті теңдеу шешімдерінің сызықтық тәуелсіздігінің белгісі Касоратти анықтауышының нөлге тең болмауы:

Теңдеу біртекті сызықтық теңдеудің сипаттамалық теңдеуі деп аталады.
№ 34. X n +2 – 4x n +1 + 3x n = n 2 2 n + n 3 3 n тұрақты коэффициенттері бар сызықтық айырмашылық теңдеуі берілген.

^ Оның нақты шешімін қандай формада іздеу керек? Жауабын түсіндіріңіз.

X n +2 -4x n +1 +3x n =n 2 2 n +n 3 3 n Оның нақты шешімін қандай формада іздеу керек? Жауабын түсіндіру керек.

X n +2 -4x n +1 +3x n =n 2 2 n +n 3 3 n

X n +2 -4x n +1 +3x n =0

X n =C 1 3 n +C 2 1 n

X 1 n =(a 1 n 2 +b 1 n+C 1)2 n

X 2 n =(d 2 n 3 +a 2 n 2 +b 2 n+C 2)n2 n

X n = C 1 3 n + C 2 1 n + X 1 n + X 2 n
№ 35. Тұрақты коэффициенттері x n +2 -4x n +1 +3x n =n 2 +2 n +3 n болатын сызықтық айырмашылық теңдеуі берілген. Оның нақты шешімін қандай формада іздеу керек?

x n +2 -4x n +1 +3x n =n 2 +2 n +3 n

1) x n +2 -4x n +1 +3x=0

λ 1 =3, λ 2 =1

x n o =C 1 (3) n +C 2 (1) n = C 1 (3) n +C 2

2) f(n)=2 n , g(n)=3 n , z(n)=n 2

Көрсеткіштік дәреженің f(n)=2 n негізі 2-ге тең, сипаттамалық теңдеудің түбірлерінің ешқайсысымен сәйкес келмейтіндіктен, сәйкес нақты шешімді Y n =C(2) n түрінде іздейміз. . Көрсеткіштік функцияның негізі g(n)=3 n, 3-ке тең, сипаттамалық теңдеудің түбірлерінің бірімен сәйкес келетіндіктен, сәйкес нақты шешімді X n =Bn(3) n түрінде іздейміз. z(n)=n 2 көпмүше болғандықтан, белгілі бір шешімді көпмүше түрінде іздейміз: Z n =A 1 n 2 +A 2 n+A 3 .
№ 36. Тұрақты коэффициенттері x n +2 +2x n +1 +4x n =cos+3 n +n 2 болатын сызықтық айырмашылық теңдеуі берілген. Оның нақты шешімін қандай формада іздеу керек?

x n +2 +2x n +1 +4x n =cos +3 n +n 2

1) x n+2 +2x n+1 +4x n =0

λ 1 =-1+i, λ 2 =-1-i

Көрсеткіштік дәреженің f(n)=3 n негізі 3-ке тең, сипаттамалық теңдеудің түбірлерінің ешқайсысымен сәйкес келмейтіндіктен, сәйкес нақты шешімді Y n =B(3) n түрінде іздейміз. . g(n)=n 2 көпмүше болғандықтан, белгілі бір шешімді көпмүше түрінде іздейміз: X n =A 1 n 2 +A 2 n+A 3. Z n = Ccos
№ 37. Тұрақты коэффициенттері x n +2 +2x n +1 +4x n = cos+3 n +n 2 болатын сызықтық айырма теңдеуі берілген. Оның нақты шешімін қандай формада іздеу керек?

x n +2 +2x n +1 +4x n = cos +3 n +n 2

λ 1 =-1+i, λ 2 =-1-i

X n 0 =(2) n (C 1 cos +C 2 sin )

2) f(n)=3 n , g(n)=n 2 , z(n)=cos

Көрсеткіштік дәреженің f(n)=3 n негізі 3-ке тең, сипаттамалық теңдеудің түбірлерінің ешқайсысымен сәйкес келмейтіндіктен, сәйкес нақты шешімді Y n =B(3) n түрінде іздейміз. . g(n)=n 2 көпмүше болғандықтан, белгілі бір шешімді көпмүше түрінде іздейміз: X n =A 1 n 2 +A 2 n+A 3. Z n = Cncos
№38: Самуэльсон-Хикс моделін сипаттаңыз. Оның негізінде қандай экономикалық болжамдар жатыр? Қандай жағдайда Хикс теңдеуінің шешімі стационарлық тізбек болып табылады?

Самуэльсон-Хикс бизнес циклінің моделі инвестиция көлемінің ұлттық табыстың ұлғаюына тікелей пропорционалдылығын болжайды (акселерация принципі), яғни.

мұндағы V>0 коэффициенті – үдеу коэффициенті,

I t – t кезеңіндегі инвестиция көлемі,

X t -1 ,X t -2 - сәйкесінше (t-1) және (t-2) кезеңдеріндегі ұлттық табыстың мәні.

Сондай-ақ осы кезеңде сұраныстың болуы болжанады алдыңғы кезеңдегі ұлттық табыс көлеміне байланысты
сызықтық
. Сұраныс пен ұсыныстың теңдігінің шарты нысаны бар
. Содан кейін біз Хикс теңдеуіне келеміз

мұндағы a, b - осы кезеңдегі сұраныстың сызықтық өрнектерінің коэффициенттері:

Стационарлық реттілік
үшін ғана Хикс теңдеуінің шешімі болып табылады
; фактор
Кейнс мультипликаторы (жалпы шығындар матрицасының бір өлшемді аналогы) деп аталады.
№ ^ 39. Өрмекші нарық үлгісін сипаттаңыз. Оның негізінде қандай экономикалық болжамдар жатыр? Веб-нарық моделінің тепе-теңдік күйін табыңыз.

40. Купондық облигацияның ағымдағы құнын анықтау есебін құрастырыңыз. Айырмалық теңдеу үшін Коши есебі қандай? Купондық облигацияның ағымдағы құнын анықтау Коши есебінің тепе-теңдік шешімін табыңыз. Табылған құнның әрбір купондық кезеңде купон сомасын бір купондық кезеңге берілген пайыздық мөлшерлеме бойынша шексіз ұзақ мерзімге алу үшін осы сәтте төленуі тиіс сомаға сәйкес келетінін тексеріңіз.

Болсын Ф – купондық облигацияның номиналды құны (яғни, соңғы купондық кезеңнің соңына сәйкес келетін өтеу кезінде эмитент төлеген ақша сомасы); Қ – купон құны (яғни әрбір купондық кезеңнің соңында төленген ақша сомасы), X - n-ші купондық кезеңнің соңындағы облигацияның ағымдағы құны,

Анау. б бір купондық кезең үшін берілген пайыздық мөлшерлеме бойынша шексіз ұзақ мерзімге купон сомасын алу үшін осы сәтте төленуі тиіс сома сәйкес келеді.

Мұндағы C 1 және C 2 белгісіз.

Барлық у белгілі сандар, х = x 0 кезінде есептеледі. Жүйенің кез келген оң жақ бөлігінің шешімі болуы үшін негізгі анықтауыштың 0-ден өзгеше болуы қажет және жеткілікті.

Вронскийдің анықтаушысы. Егер анықтауыш 0-ге тең болса, онда бастапқы шарттардың үлесі болған жағдайда ғана жүйенің шешімі болады. Демек, бұдан бастапқы шарттарды таңдау заңға бағынады, сондықтан кез келген бастапқы шарттар қабылданбайды және бұл Коши мәселесінің шарттарын бұзу болып табылады.

Егер болса, онда Вронски анықтаушысы 0-ге тең емес, кез келген x 0 мәндері үшін.

Дәлелдеу. Анықтауыш 0-ге тең болсын, бірақ y=0, y’=0 бастапқы нөлдік емес шарттарды таңдап алайық. Содан кейін біз келесі жүйені аламыз:

Бұл жүйеде анықтауыш 0 болғанда шешімдердің шексіз саны бар. С 11 және С 12 жүйенің шешімдері.

Бұл бірінші жағдайға қайшы келеді, яғни Вронски анықтауышы кез келген x 0 үшін 0-ге тең емес, егер болса. үшін жалпы шешімнен белгілі бір шешімді таңдау әрқашан мүмкін.

№33 билет

Дәлелдеуімен 2-ші ретті сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімінің құрылымы туралы теорема.

Дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі туралы теорема:

осы теңдеудің шешімдері, содан кейін функция да шешім. Осы теоремаға сүйене отырып, біртекті теңдеудің жалпы шешімінің құрылымы туралы қорытынды жасауға болады: егер 1 және 2-де олардың қатынасы тұрақты шамаға тең болмайтындай дифференциалдық теңдеудің шешімдері болса, онда бұл функциялардың сызықтық комбинациясы дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі. Тривиальды шешім (немесе нөлдік) бұл теңдеудің шешімі бола алмайды.

Дәлелдеу:

№34 билет

Дәлелдеуімен 2-ші ретті сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімінің құрылымы туралы теорема.

Оң жағы бар теңдеу берілсін: . Оң жағы жоқ теңдеу

егер функцияның орнына 0 қойсақ, оны сипаттама деп атаймыз.

Оң жағы бар теңдеудің жалпы шешімінің құрылымы туралы теорема.

Т.1 Оң жағы бар теңдеудің жалпы шешімін оң жақ бөлігі жоқ теңдеудің жалпы шешімі мен осы теңдеудің кейбір нақты шешімін қосқанда құрастыруға болады.

Дәлелдеу.

Осы теңдеудің жалпы шешімімен және кейбір жеке шешімімен белгілейік. Функцияны алайық . Бізде бар

, .

Теңдеудің сол жағына у, у', у'' өрнектерін қойып, мынаны табамыз: Бірінші төртбұрышты жақшадағы өрнек 0-ге тең. Ал екінші жақшадағы өрнек f(x) функциясына тең. ). Демек, функция бұл теңдеудің шешімі бар.

№35 билет

Тұрақты коэффициенттері бар 2-ші ретті сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеулер, F.S.R. және әртүрлі нақты түбірлер жағдайында жалпы шешім, дәлелі бар сипаттамалық теңдеулер.

Тұрақты коэффициенттері бар екінші ретті біртекті сызықтық теңдеуді алайық:

,

мұндағы а сандар.

түріндегі функциясы бар теңдеуді қанағаттандыруға тырысайық. Осы жерден бізде:

Бұдан r квадрат теңдеудің түбірі болса, бұл теңдеудің шешімі қандай болатынын көруге болады. Бұл теңдеу сипаттамалық деп аталады. Сипаттамалық теңдеуді құру үшін у-ны біреуге, ал әрбір туындыны r-ге туынды ретінің дәрежесіне ауыстыру керек.

1) Сипаттамалық теңдеудің түбірлері нақты және әртүрлі.

Бұл жағдайда r функциясының көрсеткіштері ретінде екі түбірді де алуға болады. Мұнда бірден екі теңдеу алуға болады. Олардың қатынасы тұрақты шамаға тең емес екені анық.

Нақты және әртүрлі түбірлер жағдайында жалпы шешім мына формуламен беріледі:

.

№36 билет

Тұрақты коэффициенттері бар 2-ші ретті сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеулер, F.S.R. және көп түбірлер жағдайында жалпы шешім, дәлелі бар сипаттамалық теңдеулер.

Нақты теңдеудің түбірлері нақты және тең.

Үш еселі интегралдағы айнымалылардың өзгеруі. Мысалдар: цилиндрлік және сфералық координаталар жағдайлары.

Параметрлік және анық көрсетілген тегіс беттің ауданын есептеу. Беттік аймақ элементі.

Бірінші текті қисық сызықты интегралдың анықтамасы, оның негізгі қасиеттері және есебі.

Екінші текті қисық сызықты интегралдың анықтамасы, оның негізгі қасиеттері және есебі. Бірінші текті интегралмен байланыс.

Грин формуласы. Жазықтықтағы қисық сызықты интегралдың интегралдау жолына тәуелді еместігінің шарттары.

Бірінші текті беттік интегралдың анықтамасы, оның негізгі қасиеттері және есебі.

Екінші текті беттік интегралдың анықтамасы, оның негізгі қасиеттері және есебі. Бірінші текті интегралмен байланыс.

Гаусс-Остроградский теоремасы, оның координаталық және векторлық (инварианттық) түрлерде жазылуы.

Стокс теоремасы, оның координаталық және векторлық (инварианттық) түрлерде берілуі.

Кеңістіктегі қисық сызықты интегралдың интегралдау жолына тәуелді еместігінің шарттары.

Скалярлық өріс. Скалярлық өріс градиенті және оның қасиеттері. Декарттық координаталардағы градиентті есептеу.

Векторлық өрістің анықтамасы. Градиент өрісі. Потенциалдық өрістер, потенциалдық жағдайлар.

Векторлық өріс бет арқылы өтеді. Векторлық өрістің дивергенциясының анықтамасы және оның қасиеттері. Декарттық координаталардағы дивергенцияны есептеу.

Соленоидтық векторлық өрістер, соленоидтық шарттары.

Векторлық өріс циркуляциясы және векторлық өріс роторы. Декарттық координаттардағы роторды есептеу.

Гамильтон операторы (набла), екінші ретті дифференциалдық операциялар, олардың арасындағы байланыстар.

Бірінші ретті одаққа қатысты негізгі ұғымдар: жалпы және жеке шешімдер, жалпы интегралдық, интегралдық қисық сызықтар. Коши есебі, оның геометриялық мағынасы.

Бөлінетін және біртекті айнымалылары бар бірінші ретті одақтарды біріктіру.

Бірінші ретті сызықтық теңдеулер мен Бернулли теңдеулерін интегралдау.

Толық дифференциалдардағы бірінші ретті одақтарды біріктіру. Интеграциялық фактор.

Параметрлерді енгізу әдісі. Лагранж мен Клэроның бірінші ретті одасының интеграциясы.

Квадратураларда интегралданатын және ретті қысқартуға мүмкіндік беретін жоғары дәрежелі қарапайым одалар.

Сызықтық одалар жүйесінің қалыпты түрі, скаляр және векторлық (матрицалық) белгілеу. Сызықтық разрядтардың қалыпты жүйесі үшін Коши есебі, оның геометриялық мағынасы.

Векторлық функциялардың сызықты тәуелді және сызықты тәуелсіз жүйелері. Сызықтық тәуелділіктің қажетті шарты. Біртекті сызықтық одалар жүйесінің шешімдерінің Вронски анықтаушысы туралы теорема.

Біртекті емес сызықтық одақтардың қалыпты жүйесінің жалпы шешімі туралы (жалпы шешімнің құрылымы туралы) теорема.

Біртекті емес сызықтық одақтардың қалыпты жүйесінің ішінара шешімдерін табу үшін ерікті константаларды вариациялау әдісі.

Сипаттамалық теңдеудің қарапайым нақты түбірлері жағдайында коэффициенттері тұрақты біртекті сызықтық теңдеулердің қалыпты жүйесінің шешімдерінің іргелі жүйесі.

Функциялардың сызықты тәуелді және сызықты тәуелсіз жүйелері. Сызықтық тәуелділіктің қажетті шарты. Біртекті сызықтық код шешімдерінің Вронски анықтаушысы туралы теорема.

Біртекті сызықтық оданың жалпы шешімі туралы (жалпы шешімнің құрылымы туралы) теорема.

Біртекті емес сызықтық оданың жалпы шешімі туралы (жалпы шешімнің құрылымы туралы) теорема.

Біртекті емес сызықтық оданың ішінара шешімдерін табу үшін ерікті тұрақтыларды вариациялау әдісі.

Нақты немесе күрделі сипаттамалық теңдеудің қарапайым түбірлері жағдайында тұрақты коэффициенттері бар біртекті сызықтық теңдеуді шешудің іргелі жүйесі.

Сипаттамалық теңдеудің бірнеше түбірлері болған жағдайда тұрақты коэффициенттері бар біртекті сызықтық теңдеуді шешудің іргелі жүйесі.

Коэффиценттері тұрақты және арнайы оң жағы бар біртекті емес сызықтық одақтың жартылай шешімдерін табу.

Бірінші ретті ODE үшін Коши есебінің (жергілікті) шешіміне арналған болмыс теоремасы.

Бірінші ретті уд үшін Коши есебін шешуге арналған бірегейлік теоремасы.

1. Біртекті емес сызықтық одақтардың қалыпты жүйесінің жалпы шешімі туралы (жалпы шешімнің құрылымы туралы) теорема.

n-ші ретті қарапайым дифференциалдық теңдеулердің біртекті емес сызықтық жүйесін қарастырайық

Мұнда А

Келесі шындық шешім құрылымының жалпы теоремасыосы біртекті емес сызықтық ODE жүйесінің.

Егер матрица А(x) және векторлық функция б (x) үздіксіз [ а, б], оны жібер Φ (х) біртекті сызықтық жүйе шешімдерінің негізгі матрицасы, содан кейін біртекті емес жүйенің жалпы шешімі Y" = А(x) Ы + б(x) пішімі бар:

Қайда C- ерікті тұрақты баған векторы, x 0 - кесіндіден ерікті тіркелген нүкте.

Жоғарыда келтірілген формуладан сызықтық біртекті емес ODE жүйесі үшін Коши есебін шешу формуласын - Коши формуласын алу оңай.

Коши мәселесін шешу, Ы(x 0) = Ы 0 - векторлық функция

1. Біртекті емес сызықтық одақтардың қалыпты жүйесінің ішінара шешімдерін табу үшін ерікті константаларды вариациялау әдісі.

Біртекті емес сызықтық ОБЖ жүйесінің анықтамасы. ODU жүйесітүрі:

шақырды сызықтық гетерогенді . Болсын

(*) векторлық-матрицалық түрдегі жүйе: .- жүйе біртекті, әйтпесе біртекті емес.

Әдістің өзі. Сызықтық біртекті емес жүйе болсын , онда сызықтық біртекті емес жүйеге сәйкес сызықты біртекті жүйе. Шешім жүйесінің негізгі матрицасы болсын, , мұндағы С – ерікті тұрақты вектор, жүйенің жалпы шешімі. (1) жүйенің шешімін пішінде іздейік , мұндағы C(x) - белгісіз (әлі) векторлық функция. (3) векторлық функциясы (1) жүйесінің шешімі болғанын қалаймыз. Сонда сәйкестік шындық болуы керек:

(интегралдау нәтижесінде алынатын ерікті тұрақты векторды 0-ге тең деп санауға болады). Мұндағы x 0 нүктелері кез келген.

Демек, егер (3) тармағында C(t) ретінде қабылдайтынымызды көреміз. , содан кейін векторлық функция (1) жүйенің шешімі болады.

Сызықтық біртекті емес жүйенің жалпы шешімін (1) түрінде жазуға болады . Бастапқы шартты қанағаттандыратын (1) жүйенің шешімін табу қажет болсын . Бастапқы мәліметтерді (5) ауыстыру (4) береді . Сондықтан (1)-(5) Коши есебінің шешімін былай жазуға болады: . Ерекше жағдайда соңғы формула келесі форманы алған кезде: .

1. Сипаттамалық теңдеудің қарапайым нақты түбірлері жағдайында коэффициенттері тұрақты біртекті сызықтық теңдеулердің қалыпты жүйесінің шешімдерінің іргелі жүйесі.

Қалыпты сызықтық біртекті жүйеnтұрақты коэффициенттері бар тәртіп - немесе ,Ізделетін функциялардың сызықтық комбинацияларының коэффициенттері тұрақты. Бұл жүйе матрицалық пішінде – матрицалық пішін, мұндағы А – тұрақты матрица. Матрицалық әдіс: бастап сипаттамалық теңдеу біз әртүрлі түбірлерді табамыз және әрбір түбір үшін (оның көптігін ескере отырып) сәйкес нақты шешімді анықтаймыз. Жалпы шешім: . Бұл жағдайда 1) егер - онда 1 еселігінің нақты түбірі болады , мұндағы меншікті мәнге сәйкес А матрицасының меншікті векторы, яғни. 2) – еселік түбір, онда осы түбірге сәйкес жүйелік шешім вектор түрінде ізделеді (**), олардың коэффициенттері векторын (**) бастапқы жүйеге ауыстыру нәтижесінде бірдей дәрежелердегі коэффициенттерді теңестіру арқылы алынған сызықтық теңдеулер жүйесінен анықталады.

NLOS шешімдерінің негізгі жүйесіерікті n сызықты тәуелсіз шешімдердің жиынтығы болып табылады

Сипаттамалық теңдеудің барлық түбірлері қарапайым, бірақ күрделі түбірлері бар жағдайда тұрақты коэффициенттері бар біртекті сызықтық ОДҚ қалыпты жүйесінің шешімдерінің іргелі жүйесі.

Сұрақ жойылды.

Жүйенің жалпы көрінісі

, i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n, - жүйе коэффициенттері; - бос мүшелер; - айнымалылар;

Барлығы = 0 болса, жүйе біртекті деп аталады.

Сызықтық теңдеулер жүйесінің жалпы шешімі

Анықтама 1. Біртекті жүйе мүшін сызықтық алгебралық теңдеулер nбелгісіздер теңдеулер жүйесі деп аталады

түрі (1) немесе матрицалық пішінде (2)

мұндағы А – mxn өлшемді коэффициенттердің берілген матрицасы,

Белгісіздердің n бағаны - m биіктіктегі нөлдік баған.

Біртекті жүйе әрқашан сәйкес келеді (кеңейтілген матрица А-мен сәйкес келеді) және айқын шешімдері бар: x 1 = x 2 = ... = x n = 0.

Бұл шешім нөл немесе деп аталады тривиальды. Кез келген басқа шешім, егер бар болса, шақырылады тривиальды емес.

Теорема 1. Егер А матрицасының дәрежесі белгісіздер санына тең болса, онда (1) жүйенің бірегей (тривиальды) шешімі болады.

Шынында да, Крамер теоремасы бойынша r=n және шешімі бірегей.

2-теорема. Біртекті жүйенің нөлдік емес шешімі болуы үшін жүйе матрицасының рангі белгісіздер санынан аз болуы қажет және жеткілікті ( шешімдер саны туралы теоремадан шығады).

Þ егер нөлдік емес шешімдер болса, онда шешім бірегей емес, онда жүйенің анықтауышы нөлге тең, онда r

Ü егер r

Теорема 3. n белгісізі бар n теңдеулердің біртекті жүйесі detA = 0 болғанда ғана нөлден басқа шешімі болады.

Þ егер нөлдік емес шешімдер болса, онда шешімдер шексіз көп, онда шешімдер саны туралы теорема бойынша r

Ü егер detA = 0 болса, онда r

Теорема 4. Біртекті жүйенің нөлдік емес шешімі болуы үшін жүйенің теңдеулерінің саны белгісіздер санынан аз болуы қажет.

Коэффициенттер матрицасының рангі оның жолдарының санынан (сонымен қатар бағандардың санынан) көп бола алмайтындықтан, r

Анықтама 2. Бастапқы коэффициент матрицасының базистік бағандарында орналасқан жүйелік айнымалылар деп аталады негізгі айнымалылар, ал жүйенің қалған айнымалылары шақырылады Тегін.

Анықтама 4. Жеке шешімбіртекті емес жүйе AX = B арқылы алынған баған векторы Х деп аталады нөлқұндылықтар Тегінайнымалылар.

Теорема 6. Біртекті емес жүйенің жалпы шешімі AX = B сызықтық теңдеулері AX = B теңдеулер жүйесінің белгілі бір шешімі болып табылады және AX = 0 біртекті жүйесінің FSR болып табылады.

Біртекті емес сызықтық теңдеулер жүйесі мына түрдегі жүйе болып табылады:

Оның кеңейтілген матрицасы.

Теорема (біртекті емес жүйелердің жалпы шешімі туралы).
(яғни (2) жүйе дәйекті болсын), онда:

· егер , мұндағы жүйенің айнымалылар саны (2), онда (2) шешімі бар және ол бірегей;

· егер болса, онда (2) жүйенің жалпы шешімі , мұндағы (1) жүйенің жалпы шешімі деп аталады. жалпы біртекті ерітінді, (2) жүйенің арнайы шешімі деп аталады жеке біртекті емес шешім.

Біртекті сызықтық теңдеулер жүйесі дегеніміз:

(1) жүйенің нөлдік шешімі деп аталады тривиальды шешім.

Біртекті жүйелер әрқашан үйлесімді, өйткені әрқашан тривиальды шешім бар.

Егер жүйенің нөлден басқа шешімі болса, онда ол шақырылады тривиальды емес.

Біртекті жүйенің шешімдері сызықтық қасиетке ие:

Теорема (біртекті жүйелердің сызықтық шешімі туралы).
Біртекті жүйенің шешімдері (1) болсын, ерікті тұрақтылар болсын. Содан кейін қарастырылып жатқан жүйенің шешімі де болып табылады.

Теорема (жалпы шешімнің құрылымы туралы).
Онда рұқсат етіңіз:

· егер , мұндағы - жүйелік айнымалылар саны, онда тек тривиальды шешім бар;

· егер , онда қарастырылатын жүйенің сызықты тәуелсіз шешімдері бар: , және оның ортақ шешімпішіні бар: , мұндағы кейбір тұрақтылар.

2. Орын ауыстырулар және алмастырулар. n-ші ретті анықтауыш. Анықтауыштардың қасиеттері.

Анықтауыштың анықтамасы - ші ретті.

Бірінші ретті квадрат матрица берілсін:

Анықтама. Әрбір жолдан және әр бағаннан бір-бірден алынған А матрицасының элементтерінің көбейтіндісі А матрицасының анықтауышының мүшесі деп аталады.3 Егер анықтауышта кез келген екі жол немесе екі баған алмасатын болса, онда анықтауыш өзінің таңбасын өзгертеді. қарама-қарсы. 4Егер матрицада нөлдік жол (баған) болса, онда бұл матрицаның анықтаушысы нөлге тең.5 Егер матрицаның екі жолы (бағандары) бір-біріне тең болса, онда бұл матрицаның анықтаушысы тең болады. нөлге дейін.6 Егер матрицаның екі жолы (бағандары) бір-біріне пропорционал болса, онда бұл матрицаның анықтаушысы нөлге тең.7 Үшбұрышты матрицаның анықтаушысы элементтердің көбейтіндісіне тең. негізгі диагональ.8 Барлық элементтер болса канықтауыштың ші жолы (бағанасы) қосындылар түрінде беріледі a k j + b k j, онда анықтауыш сәйкес анықтауыштардың қосындысы ретінде ұсынылуы мүмкін.9 Егер оның кез келген жолының (немесе сәйкес бағанының) элементтеріне басқа жолдың (немесе сәйкес бағанның) сәйкес элементтері қосылса, анықтауыш өзгермейді. , бірдей санға көбейтінді.10. Болсын АЖәне Ббірдей ретті квадрат матрицалар. Сонда матрицалар көбейтіндісінің анықтауышы анықтауыштардың көбейтіндісіне тең болады:

1 | | | | | | | | | | |

Сызықтық дифференциалдық жүйелер теңдеулер.

Дифференциалдық теңдеулер жүйесі деп аталады сызықтық,егер ол белгісіз функцияларға және олардың туындыларына қатысты сызықты болса. жүйесі n-1-ші ретті сызықтық теңдеулер келесі түрде жазылады:

Жүйе коэффициенттері const.

Бұл жүйені матрицалық түрде жазу ыңғайлы: ,

мұндағы - бір аргументке байланысты белгісіз функциялардың баған векторы.

Осы функциялардың туындыларының бағандық векторы.

Бос мүшелердің баған векторы.

Коэффицент матрицасы.

1-теорема:Барлық матрицалық коэффициенттер болса Абелгілі бір интервалда және , содан кейін әрбір м-нің белгілі бір маңайында үздіксіз болады. TS&E шарттары орындалады. Демек, әрбір осындай нүкте арқылы бір интегралдық қисық өтеді.

Шынында да, бұл жағдайда жүйенің оң жақ жақтары аргументтер жиынына қатысты үзіліссіз және олардың (А матрицасының коэффициенттеріне тең) қатысты ішінара туындылары тұйық аралықтағы үздіксіздікке байланысты шектелген.

СҚҚ шешу әдістері

1. Белгісіздерді жою арқылы дифференциалдық теңдеулер жүйесін бір теңдеуге келтіруге болады.

Мысалы:Теңдеулер жүйесін шешіңіз: (1)

Шешімі:алып тастау zосы теңдеулерден. Бірінші теңдеуден бізде. Екінші теңдеуге ауыстырсақ, жеңілдетілгеннен кейін біз аламыз: .

Бұл теңдеулер жүйесі (1) бір екінші ретті теңдеуге келтіріледі. Осы теңдеуден тапқаннан кейін ж, табу керек z, теңдікті пайдалана отырып.

2. Белгісіздерді жою арқылы теңдеулер жүйесін шешу кезінде әдетте жоғарырақ ретті теңдеу алынады, сондықтан көп жағдайда жүйені табу арқылы шешу ыңғайлырақ. біріктірілген комбинациялар.

Жалғасы 27б

Мысалы:Жүйені шешу

Шешімі:

Осы жүйені Эйлер әдісі арқылы шешейік. Сипаттаманы табу үшін анықтауышты жазып алайық

теңдеу: , (жүйе біртекті болғандықтан, оның тривиальды емес шешімі болуы үшін бұл анықтауыш нөлге тең болуы керек). Сипаттамалық теңдеуді аламыз және оның түбірін табамыз:

Жалпы шешім: ;

- меншікті вектор.

Шешімін жазамыз: ;

- меншікті вектор.

Шешімін жазамыз: ;

Біз жалпы шешімді аламыз: .

Тексерейік:

табайық: және оны осы жүйенің бірінші теңдеуіне ауыстырайық, яғни. .

Біз алып жатырмыз:

- шынайы теңдік.

Сызықтық айырмашылық. n-ші ретті теңдеулер. n-ші ретті біртекті емес сызықтық теңдеудің жалпы шешімі туралы теорема.

n-ші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеу мына түрдегі теңдеу болып табылады: (1)

Егер бұл теңдеудің коэффициенті болса, оны оған бөлсек, теңдеуге келеміз: (2) .

Әдетте түрдегі теңдеулер (2). Бұл ur-i-де делік (2) барлық мүмкіндіктер, сондай-ақ f(x)белгілі бір аралықта үздіксіз (а,б).Содан кейін TS&E сәйкес теңдеу (2) бастапқы шарттарды қанағаттандыратын бірегей шешімі бар: , , …, үшін. Мұнда – интервалдан кез келген нүкте (а,б),және барлығы – кез келген берілген сандар. теңдеу (2) TC&E қанағаттандырады , сондықтан жоқ арнайы шешімдер.

Анықтама: арнайынүктелер = 0 болатын нүктелер.

Сызықтық теңдеудің қасиеттері:

1. Сызықтық теңдеу тәуелсіз айнымалының кез келген өзгерісі үшін солай қалады.
2. Қажетті функцияның кез келген сызықтық өзгерісі үшін сызықтық теңдеу сол күйінде қалады.

Def:теңдеуде болса (2) қою f(x)=0, онда біз келесі түрдегі теңдеуді аламыз: (3) , деп аталады біртекті теңдеубіртекті емес теңдеуге қатысты (2).

Сызықтық дифференциалдық операторды енгізейік: (4). Бұл оператордың көмегімен теңдеуді қысқаша түрде қайта жазуға болады (2) Және (3): L(y)=f(x), L(y)=0.Оператор (4) мынадай қарапайым қасиеттерге ие:

Осы екі қасиеттен мынадай қорытынды шығаруға болады: .

Функция y=y(x)біртекті емес теңдеудің шешімі болып табылады (2), Егер L(y(x))=f(x), Содан кейін f(x)теңдеудің шешімі деп аталады. Сонымен теңдеудің шешімі (3) функциясы деп аталады y(x), Егер L(y(x))=0қарастырылған интервалдар бойынша.

Қарастырыңыз біртекті емес сызықтық теңдеу: , L(y)=f(x).

Қандай да бір жолмен белгілі бір шешімді таптық делік, онда .

Жаңа белгісіз функцияны енгізейік zформуласы бойынша: , мұндағы нақты шешім.

Оны теңдеуіне ауыстырайық: , жақшаларды ашып: .

Алынған теңдеуді келесі түрде қайта жазуға болады:

Бастапқы теңдеудің нақты шешімі болғандықтан, .

Осылайша, қатысты біртекті теңдеу алдық z. Бұл біртекті теңдеудің жалпы шешімі сызықтық комбинация болып табылады: , мұндағы функциялар - біртекті теңдеу шешімдерінің іргелі жүйесін құрайды. Ауыстыру zауыстыру формуласында біз мынаны аламыз: (*) функция үшін ж– бастапқы теңдеудің белгісіз функциясы. Бастапқы теңдеудің барлық шешімдері (*) ішінде болады.

Осылайша, біртекті емес сызықтың жалпы шешімі. теңдеу біртекті сызықтық теңдеудің жалпы шешімі мен біртекті емес теңдеудің кейбір жеке шешімінің қосындысы ретінде көрсетіледі.

(жалғасы екінші жағында)

30. Дифференциал шешімінің бар болуы және бірегейлігі теоремасы. теңдеулер

Теорема:Тіктөртбұрышта теңдеудің оң жағы үздіксіз болса және шектелген, сонымен қатар Липшиц шартын қанағаттандырады: , N=const, онда бастапқы шарттарды қанағаттандыратын және сегментте анықталған бірегей шешім бар. , Қайда.

Дәлелдеу:

Толық метрикалық кеңістікті қарастырыңыз МЕН,нүктелері интервалда анықталған y(x) барлық мүмкін үздіксіз функциялар , графиктері тіктөртбұрыштың ішінде жатыр, ал қашықтығы теңдікпен анықталады: . Бұл кеңістік математикалық талдауда жиі қолданылады және деп аталады біркелкі конвергенция кеңістігі, өйткені бұл кеңістіктің метрикасындағы жинақтылық біркелкі.

Дифференциалды ауыстырайық. эквивалентті интегралдық теңдеуге бастапқы шарттары берілген теңдеу: және операторды қарастырыңыз A(y), осы теңдеудің оң жағына тең: . Бұл оператор әрбір үздіксіз функцияға тағайындайды

Липшиц теңсіздігін пайдаланып, қашықтық деп жаза аламыз. Енді келесі теңсіздік орындалатын біреуін таңдайық: .

Солай етіп таңдау керек. Осылайша біз мұны көрсеттік.

Қысқарту кескіндерінің принципі бойынша бір нүкте немесе сол сияқты бір функция бар – берілген бастапқы шарттарды қанағаттандыратын дифференциалдық теңдеудің шешімі.