Stačiakampė koordinačių sistema. Dekarto koordinačių sistema: pagrindinės sąvokos ir pavyzdžiai Darbas su koordinačių plokštuma

Stačiakampę koordinačių sistemą plokštumoje pateikia dvi viena kitai statmenos tiesės. Tiesios linijos vadinamos koordinačių ašimis (arba koordinačių ašimis). Šių linijų susikirtimo taškas vadinamas pradžia ir žymimas raide O.

Dažniausiai viena iš linijų yra horizontali, kita – vertikali. Horizontali linija yra pažymėta kaip x (arba Ox) ašis ir vadinama abscisių ašimi, vertikalioji yra y (Oy) ašis, vadinama ordinačių ašimi. Visa koordinačių sistema žymima xOy.

Taškas O padalija kiekvieną iš ašių į dvi pusiau ašis, iš kurių viena laikoma teigiama (žymima rodykle), kita – neigiama.

Kiekvienam plokštumos taškui F priskiriama skaičių pora (x;y) — jo koordinatės.

X koordinatė vadinama abscise. Jis lygus Jautis, paimtas su atitinkamu ženklu.

Y koordinatė vadinama ordinate ir yra lygi atstumui nuo taško F iki Oy ašies (su atitinkamu ženklu).

Atstumai tarp ašių paprastai (bet ne visada) matuojami tuo pačiu ilgio vienetu.

Taškai, esantys į dešinę nuo y ašies, turi teigiamas abscises. Taškuose, esančiuose kairėje nuo y ašies, abscisės yra neigiamos. Bet kurio taško, esančio Oy ašyje, jo x koordinatė lygi nuliui.

Taškai su teigiama ordinate yra virš x ašies, o turintys neigiamą – žemiau. Jei taškas yra ant x ašies, jo y koordinatė lygi nuliui.

Koordinačių ašys padalija plokštumą į keturias dalis, kurios vadinamos koordinačių ketvirčiais (arba koordinačių kampais arba kvadrantais).

1 koordinačių ketvirtis esantis viršutiniame dešiniajame xOy koordinačių plokštumos kampe. Abi taškų, esančių I ketvirtyje, koordinatės yra teigiamos.

Perėjimas iš vieno ketvirčio į kitą atliekamas prieš laikrodžio rodyklę.

2 ketvirtis esantis viršutiniame kairiajame kampe. Antrajame ketvirtyje esantys taškai turi neigiamą abscisę ir teigiamą ordinatę.

3 ketvirtis yra apatiniame kairiajame xOy plokštumos kvadrante. Abi III koordinačių kampui priklausančių taškų koordinatės yra neigiamos.

4 koordinačių ketvirtis yra apatinis dešinysis koordinačių plokštumos kampas. Bet kuris IV ketvirčio taškas turi teigiamą pirmąją koordinatę ir neigiamą antrąją.

Taškų išdėstymo stačiakampėje koordinačių sistemoje pavyzdys:

Matematika yra gana sudėtingas mokslas. Ją studijuojant tenka ne tik spręsti pavyzdžius ir uždavinius, bet ir dirbti su įvairiomis figūromis, netgi plokštumomis. Viena iš dažniausiai naudojamų matematikoje yra koordinačių sistema plokštumoje. Teisingai su juo dirbti vaikai buvo mokomi jau ne vienerius metus. Todėl svarbu žinoti, kas tai yra ir kaip teisingai su juo dirbti.

Išsiaiškinkime, kas yra ši sistema, kokius veiksmus su ja galite atlikti, taip pat išsiaiškinkime pagrindines jos savybes ir ypatybes.

Sąvokos apibrėžimas

Koordinačių plokštuma yra plokštuma, kurioje yra apibrėžta tam tikra koordinačių sistema. Tokią plokštumą apibrėžia dvi tiesės, susikertančios stačiu kampu. Šių linijų susikirtimo taškas yra koordinačių pradžia. Kiekvienas koordinačių plokštumos taškas yra pateiktas skaičių pora, kuri vadinama koordinatėmis.

Mokykliniame matematikos kurse mokiniai turi gana glaudžiai dirbti su koordinačių sistema – joje statyti figūras ir taškus, nustatyti, kuriai plokštumai priklauso konkreti koordinatė, taip pat nustatyti taško koordinates ir jas užrašyti arba pavadinti. Todėl pakalbėkime išsamiau apie visas koordinačių ypatybes. Tačiau pirmiausia paliesime kūrimo istoriją, o tada kalbėsime apie tai, kaip dirbti koordinačių plokštumoje.

Istorijos nuoroda

Idėjos sukurti koordinačių sistemą buvo Ptolemėjaus laikais. Jau tada astronomai ir matematikai galvojo, kaip išmokti nustatyti taško padėtį plokštumoje. Deja, tuo metu dar nebuvo mums žinomos koordinačių sistemos, o mokslininkams teko naudoti kitas sistemas.

Iš pradžių jie nustato taškus nurodydami platumą ir ilgumą. Ilgą laiką tai buvo vienas iš dažniausiai naudojamų šios ar kitos informacijos atvaizdavimo būdų. Tačiau 1637 m. Rene Descartes sukūrė savo koordinačių sistemą, vėliau pavadintą Dekarto vardu.

Jau XVII amžiaus pabaigoje. „koordinačių plokštumos“ sąvoka tapo plačiai naudojama matematikos pasaulyje. Nepaisant to, kad nuo šios sistemos sukūrimo praėjo keli šimtmečiai, ji vis dar plačiai naudojama matematikoje ir net gyvenime.

Koordinačių plokštumos pavyzdžiai

Prieš kalbėdami apie teoriją, pateiksime keletą iliustruojančių koordinačių plokštumos pavyzdžių, kad galėtumėte ją įsivaizduoti. Koordinačių sistema pirmiausia naudojama šachmatuose. Lentoje kiekvienas kvadratas turi savo koordinates – viena raidė, antra – skaitmeninė. Su jo pagalba galite nustatyti tam tikros detalės padėtį lentoje.

Antras ryškiausias pavyzdys – mylimas žaidimas „Battleship“. Prisiminkite, kaip žaisdami įvardijate koordinatę, pavyzdžiui, B3, taip tiksliai nurodydami, kur taikosi. Tuo pačiu metu, statydami laivus, nustatote taškus koordinačių plokštumoje.

Ši koordinačių sistema plačiai naudojama ne tik matematikoje, loginiuose žaidimuose, bet ir kariniuose reikaluose, astronomijoje, fizikoje ir daugelyje kitų mokslų.

Koordinačių ašys

Kaip jau minėta, koordinačių sistemoje išskiriamos dvi ašys. Pakalbėkime šiek tiek apie juos, nes jie yra labai svarbūs.

Pirmoji ašis – abscisė – yra horizontali. Jis žymimas kaip ( Jautis). Antroji ašis yra ordinatės, kuri eina vertikaliai per atskaitos tašką ir žymima kaip ( Oy). Būtent šios dvi ašys sudaro koordinačių sistemą, padalijančią plokštumą į keturis ketvirčius. Pradinė vieta yra šių dviejų ašių susikirtimo taške ir įgyja vertę 0 . Tik jei plokštumą sudaro dvi ašys, kurios susikerta statmenai ir turi atskaitos tašką, ji yra koordinačių plokštuma.

Taip pat atkreipkite dėmesį, kad kiekviena ašis turi savo kryptį. Paprastai, kuriant koordinačių sistemą, ašies kryptį įprasta nurodyti rodyklės pavidalu. Be to, statant koordinačių plokštumą, kiekviena iš ašių yra pasirašoma.

ketvirčiai

Dabar pasakykime keletą žodžių apie tokią sąvoką kaip koordinačių plokštumos ketvirčiai. Plokštuma yra padalinta dviem ašimis į keturis ketvirčius. Kiekvienas iš jų turi savo numerį, o plokštumų numeracija yra prieš laikrodžio rodyklę.

Kiekvienas kvartalas turi savo ypatybes. Taigi pirmame ketvirtyje abscisė ir ordinatė yra teigiamos, antrajame ketvirtyje abscisė yra neigiama, ordinatė yra teigiama, trečiame ir abscisė, ir ordinatė yra neigiamos, ketvirtajame - abscisė yra teigiamas, o ordinatė yra neigiama.

Prisimindami šias savybes galite nesunkiai nustatyti, kuriam ketvirčiui priklauso konkretus taškas. Be to, ši informacija gali būti naudinga jums, jei turėsite atlikti skaičiavimus naudodami Dekarto sistemą.

Darbas su koordinačių plokštuma

Kai išnagrinėjome plokštumos sampratą ir pakalbėjome apie jos ketvirčius, galime pereiti prie tokios problemos kaip darbas su šia sistema, taip pat kalbėti apie tai, kaip ant jos sudėti taškus, figūrų koordinates. Koordinačių plokštumoje tai nėra taip sunku, kaip gali pasirodyti iš pirmo žvilgsnio.

Visų pirma, pati sistema yra sukurta, jai taikomi visi svarbūs žymėjimai. Tada yra darbas tiesiogiai su taškais ar skaičiais. Tokiu atveju net ir konstruojant figūras pirmiausiai plokštumai pritaikomi taškai, o tada jau piešiamos figūros.

Lėktuvo konstravimo taisyklės

Jei nuspręsite pradėti žymėti figūras ir taškus popieriuje, jums reikės koordinačių plokštumos. Ant jo nubraižytos taškų koordinatės. Norint sukurti koordinačių plokštumą, jums reikia tik liniuotės ir rašiklio ar pieštuko. Pirmiausia nubrėžiama horizontali abscisė, po to vertikali – ordinatė. Svarbu atsiminti, kad ašys susikerta stačiu kampu.

Kitas privalomas elementas yra žymėjimas. Vienetai-segmentai yra pažymėti ir pasirašyti ant kiekvienos ašies abiem kryptimis. Tai daroma tam, kad vėliau galėtumėte dirbti su lėktuvu maksimaliai patogiai.

Taško žymėjimas

Dabar pakalbėkime apie tai, kaip nubrėžti taškų koordinates koordinačių plokštumoje. Tai yra pagrindiniai dalykai, kuriuos reikia žinoti norint sėkmingai išdėstyti įvairias formas plokštumoje ir net pažymėti lygtis.

Statant taškus reikia atsiminti, kaip teisingai įrašytos jų koordinatės. Taigi, paprastai nustatant tašką, skliausteliuose rašomi du skaičiai. Pirmasis skaitmuo nurodo taško koordinatę išilgai abscisių ašies, antrasis - išilgai ordinačių ašies.

Taškas turėtų būti pastatytas tokiu būdu. Pirmiausia pažymėkite ant ašies Jautis nurodytą tašką, tada pažymėkite tašką ašyje Oy. Tada iš šių žymėjimų nubrėžkite įsivaizduojamas linijas ir suraskite jų susikirtimo vietą - tai bus nurodytas taškas.

Viskas, ką jums reikia padaryti, tai pažymėti ir pasirašyti. Kaip matote, viskas yra gana paprasta ir nereikalauja specialių įgūdžių.

Formos įdėjimas

Dabar pereikime prie tokio klausimo kaip figūrų konstravimas koordinačių plokštumoje. Norėdami sukurti bet kurią figūrą koordinačių plokštumoje, turėtumėte žinoti, kaip joje išdėstyti taškus. Jei žinote, kaip tai padaryti, padėti figūrą plokštumoje nėra taip sunku.

Visų pirma, jums reikės figūros taškų koordinačių. Būtent ant jų savo koordinačių sistemai pritaikysime Jūsų pasirinktas.Pasvarstykime, kaip nubrėžti stačiakampį, trikampį ir apskritimą.

Pradėkime nuo stačiakampio. Taikyti jį gana paprasta. Pirmiausia plokštumai taikomi keturi taškai, nurodantys stačiakampio kampus. Tada visi taškai nuosekliai sujungiami vienas su kitu.

Trikampio piešimas nesiskiria. Vienintelis dalykas yra tai, kad jis turi tris kampus, o tai reiškia, kad plokštumai taikomi trys taškai, žymintys jos viršūnes.

Kalbant apie apskritimą, čia turėtumėte žinoti dviejų taškų koordinates. Pirmasis taškas yra apskritimo centras, antrasis – taškas, nurodantis jo spindulį. Šie du taškai pavaizduoti plokštumoje. Tada imamas kompasas, išmatuojamas atstumas tarp dviejų taškų. Kompaso taškas dedamas taške, žyminčiame centrą, ir aprašomas apskritimas.

Kaip matote, čia taip pat nėra nieko sudėtingo, svarbiausia, kad visada po ranka būtų liniuotė ir kompasas.

Dabar jūs žinote, kaip nubrėžti formos koordinates. Koordinačių plokštumoje tai padaryti nėra taip sunku, kaip gali pasirodyti iš pirmo žvilgsnio.

išvadas

Taigi, mes su jumis apsvarstėme vieną įdomiausių ir pagrindinių matematikos sąvokų, su kuria turi susidurti kiekvienas mokinys.

Išsiaiškinome, kad koordinačių plokštuma yra dviejų ašių susikirtimo plokštuma. Su jo pagalba galite nustatyti taškų koordinates, dėti ant jo figūras. Lėktuvas yra padalintas į ketvirčius, kurių kiekvienas turi savo ypatybes.

Pagrindinis įgūdis, kurį reikėtų išsiugdyti dirbant su koordinačių plokštuma, yra gebėjimas teisingai nubrėžti joje nurodytus taškus. Norėdami tai padaryti, turėtumėte žinoti teisingą ašių vietą, ketvirčių ypatybes, taip pat taisykles, pagal kurias nustatomos taškų koordinatės.

Tikimės, kad mūsų pateikta informacija buvo prieinama ir suprantama, taip pat buvo naudinga jums ir padėjo geriau suprasti šią temą.

• Dvi viena kitai statmenos koordinačių linijos, susikertančios taške O – pradžia, forma stačiakampė koordinačių sistema, dar vadinama Dekarto koordinačių sistema.
• Iškviečiama plokštuma, kurioje pasirinkta koordinačių sistema koordinačių plokštuma. Vadinamos koordinačių linijos koordinačių ašys. Horizontali – abscisių ašis (Ox), vertikali – ordinačių ašis (Oy).
• Koordinačių ašys dalija koordinačių plokštumą į keturias dalis – ketvirčius. Ketvirčių serijos numeriai paprastai skaičiuojami prieš laikrodžio rodyklę.
• Bet kuris koordinačių plokštumos taškas yra nurodytas jo koordinatėmis - abscisė ir ordinatė. Pavyzdžiui, A(3; 4). Jie skaito: taškas A su koordinatėmis 3 ir 4. Čia 3 yra abscisė, 4 yra ordinatės.

I. Taško A(3; 4) konstrukcija.

Abscisė 3 rodo, kad nuo pradžios taškas O turi būti nukeltas į dešinę 3 vieną segmentą, tada atidėkite 4 vieną segmentą ir padėkite tašką.

Tai yra esmė A(3; 4).

Taško B statyba (-2; 5).

Atidėkite nuo nulio į kairę 2 vienas pjūvis ir tada aukštyn 5 pavieniai pjūviai.

Padedame galą V.

Paprastai imamas kaip vienas segmentas 1 ląstelė.

II. Sukurkite taškus xOy koordinačių plokštumoje:

A(-3;1);B(-1;-2);

C(-2:4);D(2;3);

F(6:4);K(4; 0)

III. Nustatykite sukonstruotų taškų koordinates: A, B, C, D, F, K.

A(-4; 3);IN 20);

C(3; 4);D(6;5);

F(0;-3);K(5;-2).

Dviejų ar trijų susikertančių, viena kitai statmenų ašių, turinčių bendrą pradžią (kilmę) ir bendrą ilgio vienetą, sutvarkyta sistema vadinama stačiakampė Dekarto koordinačių sistema .

Bendroji Dekarto koordinačių sistema (afininė koordinačių sistema) taip pat gali apimti nebūtinai statmenas ašis. Prancūzų matematiko Rene Descartes'o (1596-1662) garbei pavadinta tokia koordinačių sistema, kurioje visose ašyse skaičiuojamas bendras ilgio vienetas, o ašys yra tiesios.

Stačiakampė Dekarto koordinačių sistema plokštumoje turi dvi ašis stačiakampė Dekarto koordinačių sistema erdvėje - trys ašys. Kiekvienas taškas plokštumoje arba erdvėje yra nustatomas pagal sutvarkytą koordinačių rinkinį – skaičių pagal koordinačių sistemos vieneto ilgį.

Atkreipkite dėmesį, kad, kaip matyti iš apibrėžimo, Dekarto koordinačių sistema yra tiesioje linijoje, ty vienoje dimensijoje. Dekarto koordinačių įvedimas tiesėje yra vienas iš būdų, kaip bet kuriam tiesės taškui priskiriamas tiksliai apibrėžtas realusis skaičius, tai yra koordinatė.

René Descartes'o darbuose atsiradęs koordinačių metodas žymėjo revoliucinį visos matematikos pertvarkymą. Atsirado galimybė algebrines lygtis (arba nelygybes) interpretuoti geometrinių vaizdų (grafikų) pavidalu ir, atvirkščiai, ieškoti geometrinių uždavinių sprendimo naudojant analitines formules, lygčių sistemas. Taip, nelygybė z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOy ir esantis virš šios plokštumos 3 vnt.

Dekarto koordinačių sistemos pagalba taško priklausymas duotai kreivei atitinka tai, kad skaičiai x ir y patenkinti kokią nors lygtį. Taigi apskritimo taško, kurio centras yra tam tikrame taške, koordinatės ( a; b) tenkina lygtį (x - a)² + ( y - b)² = R² .

Stačiakampė Dekarto koordinačių sistema plokštumoje

Plokštumoje susidaro dvi statmenos ašys, turinčios bendrą pradžią ir tą patį mastelio vienetą Dekarto koordinačių sistema plokštumoje . Viena iš šių ašių vadinama ašimi Jautis, arba x ašis , kita - ašis Oy, arba y ašis . Šios ašys taip pat vadinamos koordinačių ašimis. Pažymėti Mx ir My atitinkamai savavališko taško projekcija M ant ašies Jautis ir Oy. Kaip gauti prognozes? Pereikite per tašką M Jautis. Ši linija kerta ašį Jautis taške Mx. Pereikite per tašką M tiesi linija, statmena ašiai Oy. Ši linija kerta ašį Oy taške My. Tai parodyta paveikslėlyje žemiau.

x ir y taškų M vadinsime atitinkamai nukreiptų atkarpų dydžius OMx ir OMy. Šių kryptinių segmentų vertės apskaičiuojamos atitinkamai kaip x = x0 - 0 ir y = y0 - 0 . Dekarto koordinatės x ir y taškų M abscisė ir ordinatės . Faktas, kad taškas M turi koordinates x ir y, žymimas taip: M(x, y) .

Koordinačių ašys padalija plokštumą į keturias kvadrantas , kurių numeracija parodyta paveikslėlyje žemiau. Taip pat nurodomas taškų koordinačių ženklų išdėstymas, atsižvelgiant į jų vietą viename ar kitame kvadrante.

Be Dekarto stačiakampių koordinačių plokštumoje, dažnai atsižvelgiama ir į polinių koordinačių sistemą. Apie perėjimo iš vienos koordinačių sistemos į kitą būdą – pamokoje poliarinė koordinačių sistema .

Stačiakampė Dekarto koordinačių sistema erdvėje

Dekarto koordinatės erdvėje įvedamos visiškai analogiškai su Dekarto koordinatėmis plokštumoje.

Trys viena kitai statmenos ašys erdvėje (koordinačių ašys), turinčios bendrą pradžią O ir ta pati mastelio vieneto forma Dekarto stačiakampė koordinačių sistema erdvėje .

Viena iš šių ašių vadinama ašimi Jautis, arba x ašis , kita - ašis Oy, arba y ašis , trečioji - ašis Ozas, arba taikymo ašis . Leisti Mx, My Mz- savavališko taško projekcijos M tarpai ant ašies Jautis , Oy ir Ozas atitinkamai.

Pereikite per tašką M JautisJautis taške Mx. Pereikite per tašką M plokštuma, statmena ašiai Oy. Ši plokštuma kerta ašį Oy taške My. Pereikite per tašką M plokštuma, statmena ašiai Ozas. Ši plokštuma kerta ašį Ozas taške Mz.

Dekarto stačiakampės koordinatės x , y ir z taškų M vadinsime atitinkamai nukreiptų atkarpų dydžius OMx, OMy ir OMz. Šių kryptinių segmentų vertės apskaičiuojamos atitinkamai kaip x = x0 - 0 , y = y0 - 0 ir z = z0 - 0 .

Dekarto koordinatės x , y ir z taškų M yra atitinkamai pavadinti abscisė , ordinatės ir aplikacija .

Paimtos poromis, koordinačių ašys yra koordinačių plokštumose xOy , yOz ir zOx .

Dekarto koordinačių sistemos taškų uždaviniai

1 pavyzdys

A(2; -3) ;

B(3; -1) ;

C(-5; 1) .

Raskite šių taškų projekcijų x ašyje koordinates.

Sprendimas. Kaip matyti iš teorinės šios pamokos dalies, taško projekcija į x ašį yra pačioje x ašyje, ty ašyje Jautis, todėl turi abscisę, lygią paties taško abscisei, ir ordinatę (ašies koordinatę Oy, kurią x ašis kerta taške 0), lygus nuliui. Taigi gauname šias x ašies taškų koordinates:

Ax(2;0);

Bx(3;0);

Cx(-5;0).

2 pavyzdys Taškai pateikiami Dekarto koordinačių sistemoje plokštumoje

A(-3; 2) ;

B(-5; 1) ;

C(3; -2) .

Raskite šių taškų projekcijų koordinates y ašyje.

Sprendimas. Kaip matyti iš teorinės šios pamokos dalies, taško projekcija į y ašį yra pačioje y ašyje, ty ašyje Oy, todėl turi ordinatę, lygią paties taško ordinatėms, ir abscisę (ašies koordinatę Jautis, kurią y ašis kerta taške 0), lygus nuliui. Taigi gauname šias y ašies taškų koordinates:

Ay(0; 2);

By (0; 1);

Cy(0;-2).

3 pavyzdys Taškai pateikiami Dekarto koordinačių sistemoje plokštumoje

A(2; 3) ;

B(-3; 2) ;

C(-1; -1) .

Jautis .

Jautis Jautis Jautis, turės tą pačią abscisę, kaip ir duotasis taškas, o ordinatė absoliučia verte lygi duoto taško ordinatėms ir priešinga jai ženklu. Taigi gauname šias taškų koordinates, simetriškas šiems taškams aplink ašį Jautis :

A"(2; -3) ;

B"(-3; -2) ;

C"(-1; 1) .

Išspręskite Dekarto koordinačių sistemos uždavinius patys, tada pažiūrėkite į sprendimus

4 pavyzdys Nustatykite, kuriuose kvadrantuose (ketvirčiais, figūra su kvadrantais - pastraipos "Stačiakampė Dekarto koordinačių sistema plokštumoje" pabaigoje) gali būti taškas M(x; y) , jei

1) xy > 0 ;

2) xy < 0 ;

3) x − y = 0 ;

4) x + y = 0 ;

5) x + y > 0 ;

6) x + y < 0 ;

7) x − y > 0 ;

8) x − y < 0 .

5 pavyzdys Taškai pateikiami Dekarto koordinačių sistemoje plokštumoje

A(-2; 5) ;

B(3; -5) ;

C(a; b) .

Raskite taškų, simetriškų šiems taškams aplink ašį, koordinates Oy .

Mes ir toliau kartu sprendžiame problemas

6 pavyzdys Taškai pateikiami Dekarto koordinačių sistemoje plokštumoje

A(-1; 2) ;

B(3; -1) ;

C(-2; -2) .

Raskite taškų, simetriškų šiems taškams aplink ašį, koordinates Oy .

Sprendimas. Pasukite 180 laipsnių aplink ašį Oy nukreipta linijos atkarpa iš ašies Oy iki šios vietos. Paveikslėlyje, kur nurodyti plokštumos kvadrantai, matome, kad taškas yra simetriškas duotajam ašies atžvilgiu Oy, turės tą pačią ordinatę, kaip ir duotasis taškas, o abscisė absoliučia reikšme lygi duoto taško abscisei, o priešinga jam ženklu. Taigi gauname šias taškų koordinates, simetriškas šiems taškams aplink ašį Oy :

A"(1; 2) ;

B"(-3; -1) ;

C"(2; -2) .

7 pavyzdys Taškai pateikiami Dekarto koordinačių sistemoje plokštumoje

A(3; 3) ;

B(2; -4) ;

C(-2; 1) .

Raskite taškų, kurie yra simetriški šiems taškams pradžios atžvilgiu, koordinates.

Sprendimas. Mes pasukame 180 laipsnių aplink nukreiptos atkarpos pradžią, eidami nuo pradžios iki nurodyto taško. Paveikslėlyje, kur nurodyti plokštumos kvadrantai, matome, kad taškas, simetriškas duotam taškui koordinačių pradžios atžvilgiu, turės abscisę ir ordinatę, kurios absoliuti reikšme bus lygi duoto taško abscisei ir ordinatėms. , bet jiems priešingas ženklas. Taigi gauname šias taškų koordinates, simetriškas šiems taškams pradžios atžvilgiu:

A"(-3; -3) ;

B"(-2; 4) ;

C(2; -1) .

8 pavyzdys

A(4; 3; 5) ;

B(-3; 2; 1) ;

C(2; -3; 0) .

Raskite šių taškų projekcijų koordinates:

1) lėktuve Oxy ;

2) į lėktuvą Oxz ;

3) į lėktuvą Oyz ;

4) ant abscisių ašies;

5) y ašyje;

6) ant aplikacijos ašies.

1) Taško projekcija į plokštumą Oxy esantis pačioje šioje plokštumoje, todėl turi abscisę ir ordinatę, lygią duoto taško abscisei ir ordinatėms, o aplikaciją lygi nuliui. Taigi gauname šias šių taškų projekcijų koordinates Oxy :

Axy(4;3;0);

Bxy (-3; 2; 0);

Cxy(2;-3;0).

2) Taško projekcija į plokštumą Oxz esantis pačioje šioje plokštumoje, todėl turi abscisę ir aplikaciją, lygią duoto taško abscisei ir aplikacijai, o ordinatę lygi nuliui. Taigi gauname šias šių taškų projekcijų koordinates Oxz :

Axz (4; 0; 5);

Bxz (-3; 0; 1);

Cxz(2;0;0).

3) Taško projekcija į plokštumą Oyz yra pačioje šioje plokštumoje, todėl turi ordinatę ir taikymą, lygią tam tikro taško ordinatėms ir taikymui, o abscisę lygi nuliui. Taigi gauname šias šių taškų projekcijų koordinates Oyz :

Ayz (0; 3; 5);

Byz (0; 2; 1);

Cyz(0;-3;0).

4) Kaip matyti iš teorinės šios pamokos dalies, taško projekcija į x ašį yra pačioje x ašyje, ty ašyje. Jautis, todėl turi abscisę, lygią paties taško abscisei, o projekcijos ordinatė ir aplikacija yra lygios nuliui (kadangi ordinatės ir aplikacinės ašys kerta abscises taške 0). Gauname šias šių taškų projekcijų x ašyje koordinates:

Ax(4;0;0);

Bx(-3;0;0);

Cx(2;0;0).

5) taško projekcija y ašyje yra pačioje y ašyje, tai yra ašyje Oy, todėl turi ordinatę, lygią paties taško ordinatėms, o projekcijos abscisė ir aplikacija yra lygios nuliui (kadangi abscisės ir aplikacinės ašys kerta ordinačių ašį taške 0). Gauname šias y ašies taškų projekcijų koordinates:

Ay(0;3;0);

By(0;2;0);

Cy(0;-3;0).

6) Taško projekcija taikomojoje ašyje yra pačioje taikymo ašyje, ty ašyje Ozas, todėl turi aplikaciją, lygią paties taško aplikacijai, o projekcijos abscisė ir ordinatė yra lygios nuliui (kadangi abscisių ir ordinačių ašys kerta aplikacijos ašį taške 0). Gauname šias šių taškų projekcijų koordinates taikomojoje ašyje:

Az(0; 0; 5);

Bz(0;0;1);

Cz(0; 0; 0).

9 pavyzdys Taškai pateikiami Dekarto koordinačių sistemoje erdvėje

A(2; 3; 1) ;

B(5; -3; 2) ;

C(-3; 2; -1) .

Raskite taškų, kurie yra simetriški šiems taškams, koordinates:

1) lėktuvas Oxy ;

2) lėktuvas Oxz ;

3) lėktuvas Oyz ;

4) abscisių ašis;

5) y ašis;

6) aplikacijos ašis;

7) koordinačių kilmė.

1) „Pastumkite“ tašką kitoje ašies pusėje Oxy Oxy, turės abscisę ir ordinatę, lygias duoto taško abscisei ir ordinatėms, ir aplikaciją, kurios dydis yra lygus duoto taško aplikacijai, bet priešingas jam ženklu. Taigi, gauname tokias taškų koordinates, simetriškas duomenims plokštumos atžvilgiu Oxy :

A"(2; 3; -1) ;

B"(5; -3; -2) ;

C"(-3; 2; 1) .

2) „Pastumkite“ tašką kitoje ašies pusėje Oxz už tą patį atstumą. Pagal paveikslą, kuriame rodoma koordinačių erdvė, matome, kad taškas yra simetriškas duotajam ašies atžvilgiu Oxz, turės abscisę ir aplikaciją, lygią duoto taško abscisei ir aplikacijai, o ordinatę, dydžiu lygią duoto taško ordinatai, bet priešingą jam ženklu. Taigi, gauname tokias taškų koordinates, simetriškas duomenims plokštumos atžvilgiu Oxz :

A"(2; -3; 1) ;

B"(5; 3; 2) ;

C"(-3; -2; -1) .

3) „Pastumkite“ tašką kitoje ašies pusėje Oyz už tą patį atstumą. Pagal paveikslą, kuriame rodoma koordinačių erdvė, matome, kad taškas yra simetriškas duotajam ašies atžvilgiu Oyz, turės ordinatę ir taikymą, lygią duoto taško ordinatėms ir taikymui, ir abscisę, kurios dydis yra lygus duoto taško abscisei, bet priešingas jam ženklu. Taigi, gauname tokias taškų koordinates, simetriškas duomenims plokštumos atžvilgiu Oyz :

A"(-2; 3; 1) ;

B"(-5; -3; 2) ;

C"(3; 2; -1) .

Analogiškai su simetriniais taškais plokštumoje ir erdvės taškais, simetriškais duomenims plokštumų atžvilgiu, pažymime, kad esant simetrijai apie kurią nors Dekarto koordinačių sistemos ašį erdvėje, koordinatė ašyje, apie kurią nustatoma simetrija, bus išlaiko savo ženklą, o kitų dviejų ašių koordinatės absoliučia reikšme bus tokios pačios kaip nurodyto taško koordinatės, bet priešingos pagal ženklą.

4) Abscisė išsaugos savo ženklą, o ordinatė ir aplikacija pakeis ženklus. Taigi, gauname tokias taškų koordinates, simetriškas duomenims apie x ašį:

A"(2; -3; -1) ;

B"(5; 3; -2) ;

C"(-3; -2; 1) .

5) Ordinata išsaugos savo ženklą, o abscisė ir aplikacija pakeis ženklus. Taigi, gauname tokias taškų koordinates, simetriškas y ašies duomenims:

A"(-2; 3; -1) ;

B"(-5; -3; -2) ;

C"(3; 2; 1) .

6) Aplikacija išsaugos savo ženklą, o abscisė ir ordinatė pakeis ženklus. Taigi gauname tokias taškų koordinates, simetriškas duomenims apie taikomąją ašį:

A"(-2; -3; 1) ;

B"(-5; 3; 2) ;

C"(3; -2; -1) .

7) Analogiškai su simetrija plokštumos taškų atveju, kai yra simetrija apie koordinačių pradžią, visos taško koordinatės, simetriškos tam tikram taškui, absoliučia verte bus lygios tam tikro taško koordinatėms, bet jiems priešingas ženklas. Taigi gauname tokias taškų koordinates, kurios yra simetriškos duomenims kilmės atžvilgiu.

Tegul duota lygtis su dviem kintamaisiais F(x; y). Jūs jau išmokote tokias lygtis išspręsti analitiškai. Tokių lygčių sprendinių aibė gali būti pavaizduota ir grafiko pavidalu.

Lygties F(x; y) grafikas yra koordinačių plokštumos xOy taškų, kurių koordinatės tenkina lygtį, aibė.

Norėdami nubraižyti dviejų kintamųjų lygtį, pirmiausia išreikškite y kintamąjį lygties kintamuoju x.

Tikrai jau žinote, kaip sudaryti įvairius lygčių grafikus su dviem kintamaisiais: ax + b \u003d c yra tiesė, yx \u003d k yra hiperbolė, (x - a) 2 + (y - b) 2 \u003d R 2 yra apskritimas, kurio spindulys yra R, o centras yra taške O(a; b).

1 pavyzdys

Nubraižykite lygtį x 2 – 9y 2 = 0.

Sprendimas.

Išskaidykime kairę lygties pusę.

(x - 3y) (x+ 3y) = 0, t. y. y = x/3 arba y = -x/3.

Atsakymas: 1 pav.

Ypatingą vietą užima figūrų priskyrimas plokštumoje lygtimis, turinčiomis absoliučios vertės ženklą, prie kurių mes kalbėsime išsamiai. Apsvarstykite |y| formos lygčių braižymo etapus = f(x) ir |y| = |f(x)|.

Pirmoji lygtis yra lygiavertė sistemai

(f(x) ≥ 0,
(y = f(x) arba y = -f(x).

Tai yra, jo grafikas susideda iš dviejų funkcijų grafikų: y = f(x) ir y = -f(x), kur f(x) ≥ 0.

Norint nubraižyti antrosios lygties grafiką, braižomi dviejų funkcijų grafikai: y = f(x) ir y = -f(x).

2 pavyzdys

Nubraižykite lygtį |y| = 2 + x.

Sprendimas.

Pateikta lygtis yra lygiavertė sistemai

(x + 2 ≥ 0,
(y = x + 2 arba y = -x - 2.

Mes sukuriame taškų rinkinį.

Atsakymas: 2 pav.

3 pavyzdys

Nubraižykite lygtį |y – x| = 1.

Sprendimas.

Jei y ≥ x, tai y = x + 1, jei y ≤ x, tai y = x - 1.

Atsakymas: 3 pav.

Kuriant lygčių grafikus, kuriuose yra kintamasis po modulio ženklu, patogu ir racionalu naudoti ploto metodas, pagrįsta koordinačių plokštumos padalijimu į dalis, kuriose kiekviena submodulio išraiška išlaiko savo ženklą.

4 pavyzdys

Nubraižykite lygtį x + |x| + y + |y| = 2.

Sprendimas.

Šiame pavyzdyje kiekvieno submodulio išraiškos ženklas priklauso nuo koordinačių kvadranto.

1) Pirmajame koordinačių ketvirtyje x ≥ 0 ir y ≥ 0. Išplėtus modulį duota lygtis atrodys taip:

2x + 2y = 2, o supaprastinus x + y = 1.

2) Antrajame ketvirtyje, kur x< 0, а y ≥ 0, уравнение будет иметь вид: 0 + 2y = 2 или y = 1.

3) Trečiajame ketvirtyje x< 0, y < 0 будем иметь: x – x + y – y = 2. Перепишем этот результат в виде уравнения 0 · x + 0 · y = 2.

4) Ketvirtajame ketvirtyje, kai x ≥ 0 ir y< 0 получим, что x = 1.

Šią lygtį nubraižysime ketvirčiais.

Atsakymas: 4 pav.

5 pavyzdys

Nubraižykite aibę taškų, kurių koordinatės tenkina lygybę |x – 1| + |y – 1| = 1.

Sprendimas.

Submodulių reiškinių x = 1 ir y = 1 nuliai padalija koordinačių plokštumą į keturias sritis. Suskirstykime modulius pagal regionus. Padėkime į lentelės formą.

Regionas	Submodulio išraiškos ženklas	Gauta lygtis išplėtus modulį
aš	x ≥ 1 ir y ≥ 1	x + y = 3
II	x< 1 и y ≥ 1	-x+y=1
III	x< 1 и y < 1	x + y = 1
IV	x ≥ 1 ir y< 1	x – y = 1

Atsakymas: 5 pav.

Koordinačių plokštumoje figūras galima nurodyti ir nelygybės.

Nelygybės grafikas su dviem kintamaisiais yra visų koordinačių plokštumos taškų, kurių koordinatės yra šios nelygybės sprendiniai, aibė.

Apsvarstykite nelygybės su dviem kintamaisiais modelio konstravimo algoritmas:

1. Užrašykite lygtį, atitinkančią nelygybę.
2. Nubraižykite lygtį nuo 1 veiksmo.
3. Pasirinkite savavališką tašką vienoje iš pusplokštumų. Patikrinkite, ar pasirinkto taško koordinatės tenkina pateiktą nelygybę.
4. Grafiškai nubraižykite visų nelygybės sprendinių aibę.

Pirmiausia apsvarstykite nelygybę ax + bx + c > 0. Lygtis ax + bx + c = 0 apibrėžia tiesę, dalijančią plokštumą į dvi pusplokštumas. Kiekvienoje iš jų funkcija f(x) = ax + bx + c yra ženklą išsauganti. Norint nustatyti šį ženklą, pakanka paimti bet kurį tašką, priklausantį pusiau plokštumai, ir apskaičiuoti funkcijos reikšmę šiame taške. Jei funkcijos ženklas sutampa su nelygybės ženklu, tai ši pusiau plokštuma bus nelygybės sprendinys.

Apsvarstykite dažniausiai pasitaikančių nelygybių su dviem kintamaisiais grafinių sprendimų pavyzdžius.

1) ax + bx + c ≥ 0. 6 pav.

2) |x| ≤ a, a > 0. 7 pav.

3) x 2 + y 2 ≤ a, a > 0. 8 pav.

4) y ≥ x2. 9 pav

5) xy ≤ 1. 10 pav.

Jei turite klausimų arba norite praktiškai modeliuoti visų dviejų kintamųjų nelygybių sprendinių aibes naudojant matematinį modeliavimą, galite nemokama 25 minučių trukmės pamoka su internetiniu dėstytoju po . Tolimesniam darbui su mokytoju turėsite galimybę išsirinkti sau tinkamiausią.

Ar turite kokių nors klausimų? Nežinote, kaip nupiešti figūrą koordinačių plokštumoje?
Norėdami gauti pagalbą iš dėstytojo -.
Pirma pamoka nemokama!

blog.site, visiškai arba iš dalies nukopijavus medžiagą, būtina nuoroda į šaltinį.