Jei skaičius padalytas iš begalybės, ar koeficientas bus linkęs į nulį? Tęsė viduje ir gavo geriausią atsakymą

Atsakymas iš Olenka[naujokas]
visi 0
Krab Вark
Orakulas
(56636)
Nr. Tikslus nulis. Kadangi daliklis linkęs į begalybę, koeficientas bus linkęs į nulį. Ir, jei dalijame ne iš skaičiaus, linkusio į begalybę, o iš pačios begalybės (beje, tiksliau, oficialiai jis visai nelaikomas skaičiumi, o laikomas specialiu simboliu, papildančiu skaičių žymėjimą) - lygiai nulis.

Atsakymas iš Jugejus Vladimiras[guru]
Net jei padalysite nulį, net jei padauginsite jį iš bet kurio skaičiaus, jis vis tiek bus nulis!

Atsakymas iš 1 23 [guru]
jei kažkoks šūdas linkęs į nulį, tai padauginti iš kažko baigtinio (skaičiaus ar ribotos funkcijos) yra nenaudinga, nes viskas linksta į nulį.
bet jei padauginsite jį iš kažkokio daikto, kuris linkęs į begalybę, gali būti variantų.

Atsakymas iš Krab Вark[guru]
Kai bet kuris skaičius yra padalintas iš begalybės, rezultatas yra nulis. Tikslus nulis, jokio „siekimo nulio link“. Ir tada, nesvarbu, iš kokio skaičiaus jį padauginsite, nulį. O nulį padalijus iš bet kurio kito skaičiaus nei nulis rezultatas bus nulis, tik dalijant nulį iš nulio rezultatas neapibrėžiamas, nes daliniui tiks bet koks skaičius.

Ribų sprendimo būdai. Neaiškumai.
Funkcijos augimo tvarka. Pakeitimo būdas

4 pavyzdys

Raskite ribą

Tai paprastesnis pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Siūlomame pavyzdyje vėl yra neapibrėžtumas (aukštesnio augimo nei šaknis).

Jei "x" linkęs į "minus begalybę"

„Minuso begalybės“ šmėkla šiame straipsnyje sklando ilgą laiką. Panagrinėkime ribas su polinomais, kuriuose . Sprendimo principai ir metodai bus lygiai tokie patys kaip ir pirmoje pamokos dalyje, išskyrus kai kuriuos niuansus.

Pažvelkime į 4 gudrybes, kurių prireiks sprendžiant praktines užduotis:

1) Apskaičiuokite ribą

Ribos vertė priklauso tik nuo termino, nes ji turi didžiausią augimo eilę. Jei tada be galo didelis modulis neigiamas skaičius iki LYGINIO laipsnio, šiuo atveju – ketvirtoje, yra lygus „plius begalybė“: . Pastovus („du“) teigiamas, Štai kodėl:

2) Apskaičiuokite ribą

Štai ir vėl vyresnysis laipsnis net, Štai kodėl: . Bet priešais jį yra „minusas“ ( neigiamas konstanta –1), todėl:

3) Apskaičiuokite ribą

Ribinė vertė priklauso tik nuo . Kaip prisimenate iš mokyklos laikų, „minusas“ „iššoka“ iš po nelyginio laipsnio, taigi be galo didelis modulis neigiamas skaičius iki ODD laipsnio lygus „minus begalybei“, šiuo atveju: .
Pastovus („keturi“) teigiamas, Reiškia:

4) Apskaičiuokite ribą

Pirmasis vaikinas kaime vėl turi nelyginis laipsnis, be to, krūtinėje neigiamas konstanta, o tai reiškia: Taigi:
.

5 pavyzdys

Raskite ribą

Remdamiesi aukščiau pateiktais punktais, darome išvadą, kad čia yra neapibrėžtumo. Skaitiklis ir vardiklis yra tos pačios augimo eilės, o tai reiškia, kad riboje rezultatas bus baigtinis skaičius. Išsiaiškinkime atsakymą išmesdami visus kepinius:

Sprendimas yra trivialus:

6 pavyzdys

Raskite ribą

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

O dabar, ko gero, patys subtiliausi atvejai:

7 pavyzdys

Raskite ribą

Atsižvelgdami į pagrindinius terminus, darome išvadą, kad čia yra neapibrėžtumo. Skaitiklis yra aukštesnės eilės augimo nei vardiklis, todėl iš karto galime pasakyti, kad riba lygi begalybei. Bet kokia begalybė, „pliusas“ ar „minusas“? Technika ta pati – atsikratykime smulkmenų skaitiklyje ir vardiklyje:

Mes nusprendžiame:

Padalinkite skaitiklį ir vardiklį iš

15 pavyzdys

Raskite ribą

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Apytikslis galutinio dizaino pavyzdys pamokos pabaigoje.

Dar keli įdomūs pavyzdžiai kintamųjų pakeitimo tema:

16 pavyzdys

Raskite ribą

Pakeičiant vienybę į ribą, gaunamas neapibrėžtumas. Kintamojo keitimas jau siūlo save, bet pirmiausia mes transformuojame liestinę naudodami formulę. Iš tiesų, kam mums reikia liestinės?

Atkreipkite dėmesį, kad todėl . Jei tai nėra visiškai aišku, pažiūrėkite į sinuso reikšmes trigonometrinė lentelė. Taip iš karto atsikratome daugiklio, be to, gauname labiau pažįstamą neapibrėžtį 0:0. Būtų gerai, jei mūsų limitas būtų lygus nuliui.

Pakeiskime:

Jei tada

Po kosinusu turime „x“, kurį taip pat reikia išreikšti per „te“.
Iš pakeitimo išreiškiame: .

Mes užbaigiame sprendimą:

(1) Mes atliekame pakeitimą

(2) Atidarykite skliaustus po kosinusu.

(4) Organizuoti pirmoji nuostabi riba, dirbtinai padauginkite skaitiklį iš ir grįžtamojo skaičiaus.

Užduotis savarankiškam sprendimui:

17 pavyzdys

Raskite ribą

Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Tai buvo paprastos užduotys jų klasėje, praktiškai viskas gali būti blogiau, be to redukcijos formules, turite naudoti įvairius trigonometrines formules, taip pat kitų gudrybių. Straipsnyje „Sudėtingos ribos“ pažvelgiau į keletą realių pavyzdžių =)

Šventės išvakarėse situaciją pagaliau išsiaiškinsime su dar vienu dažnu neaiškumu:

Neapibrėžtumo pašalinimas „vienas iki begalybės galios“

Šis netikrumas yra „aptarnaujamas“ antra nuostabi riba, o antroje tos pamokos dalyje labai išsamiai išnagrinėjome standartinius sprendimų pavyzdžius, kurie dažniausiai randami praktikoje. Dabar paveikslėlis su eksponentais bus baigtas, be to, paskutinės pamokos užduotys bus skirtos „netikroms“ riboms, kuriose ATRODO, kad reikia taikyti 2-ąją nuostabią ribą, nors tai visai ne atveju.

Dviejų darbinių formulių, skirtų 2-ajai nepaprastai ribai, trūkumas yra tas, kad argumentas turi būti linkęs į „plius begalybę“ arba į nulį. Bet ką daryti, jei argumentas linkęs į kitą skaičių?

Į pagalbą ateina universali formulė (kuri iš tikrųjų yra antrosios nepaprastos ribos pasekmė):

Neapibrėžtumą galima pašalinti naudojant formulę:

Kažkur manau, kad jau paaiškinau, ką reiškia laužtiniai skliaustai. Nieko ypatingo, skliausteliuose yra tik skliausteliuose. Paprastai jie naudojami matematiniam žymėjimui aiškiau paryškinti.

Pabrėžkime esminius formulės punktus:

1) Tai apie tik apie netikrumą ir nieko daugiau.

2) Argumentas „x“ gali būti linkęs savavališka vertė(ir ne tik iki nulio ar), ypač iki „minuso begalybės“ arba iki bet kas baigtinis skaičius.

Naudodami šią formulę galite išspręsti visus pamokoje pateiktus pavyzdžius. Nuostabios ribos, kurie priklauso 2-ajai reikšmingai ribai. Pavyzdžiui, apskaičiuokime ribą:

Tokiu atveju , ir pagal formulę :

Tiesa, to daryti nerekomenduoju, tradicija yra vis dar naudoti „įprastą“ sprendimo dizainą, jei jį galima pritaikyti. Tačiau naudojant formulę labai patogu patikrinti„klasikiniai“ pavyzdžiai iki 2-os nepaprastos ribos.

Labai dažnai daugelis žmonių stebisi, kodėl negalima naudoti dalybos iš nulio? Šiame straipsnyje mes labai išsamiai kalbėsime apie tai, iš kur kilo ši taisyklė, taip pat kokius veiksmus galima atlikti su nuliu.

Susisiekus su

Nulį galima vadinti vienu įdomiausių skaičių. Šis skaičius neturi reikšmės, tai reiškia tuštumą tikrąja to žodžio prasme. Tačiau jei prie bet kurio skaičiaus dedamas nulis, šio skaičiaus reikšmė padidės kelis kartus.

Pats skaičius labai paslaptingas. Jį naudojo senovės majų žmonės. Majams nulis reiškė „pradžia“, o kalendorinės dienos taip pat prasidėdavo nuo nulio.

Labai įdomus faktas yra tai, kad nulio ženklas ir neapibrėžtumo ženklas buvo panašūs. Tuo majai norėjo parodyti, kad nulis yra tas pats ženklas kaip neapibrėžtumas. Europoje pavadinimas nulis pasirodė palyginti neseniai.

Daugelis žmonių taip pat žino draudimą, susijusį su nuliu. Bet kas tai pasakys negalima dalyti iš nulio. Mokykloje tai sako mokytojai, o vaikai dažniausiai laikosi žodžio. Paprastai vaikams arba tiesiog neįdomu tai žinoti, arba jie žino, kas nutiks, jei išgirdę svarbų draudimą iškart paklaus: „Kodėl negalima dalyti iš nulio? Tačiau kai senstate, jūsų susidomėjimas pabunda ir norite daugiau sužinoti apie šio draudimo priežastis. Tačiau yra pagrįstų įrodymų.

Veiksmai su nuliu

Pirmiausia turite nustatyti, kokius veiksmus galima atlikti su nuliu. Egzistuoja kelių rūšių veiksmai:

• Papildymas;
• Daugyba;
• Atimtis;
• Padalinys (nulis pagal skaičių);
• Eksponentiškumas.

Svarbu! Jei pridėdami prie bet kurio skaičiaus pridėsite nulį, šis skaičius išliks toks pat ir nepakeis jo skaitinės reikšmės. Tas pats atsitinka, jei iš bet kurio skaičiaus atimate nulį.

Dauginant ir dalijant viskas šiek tiek skiriasi. Jeigu bet kurį skaičių padauginkite iš nulio, tada produktas taip pat taps nuliu.

Pažiūrėkime į pavyzdį:

Parašykime tai kaip priedą:

Iš viso yra penki nuliai, taigi taip ir išeina

Pabandykime padauginti vieną iš nulio. Rezultatas taip pat bus lygus nuliui.

Nulis taip pat gali būti padalintas iš bet kurio kito skaičiaus, kuris jam nėra lygus. Tokiu atveju rezultatas bus , kurio reikšmė taip pat bus lygi nuliui. Ta pati taisyklė galioja ir neigiamiems skaičiams. Jei nulis yra padalintas iš neigiamo skaičiaus, rezultatas yra nulis.

Taip pat galite sukurti bet kokį skaičių iki nulio laipsnio. Šiuo atveju rezultatas bus 1. Svarbu atsiminti, kad posakis „nulis iki nulio laipsnio“ yra visiškai beprasmis. Jei bandysite pakelti nulį iki bet kokios galios, gausite nulį. Pavyzdys:

Mes naudojame daugybos taisyklę ir gauname 0.

Taigi ar galima dalyti iš nulio?

Taigi, mes priėjome prie pagrindinio klausimo. Ar įmanoma padalyti iš nulio? iš viso? Ir kodėl mes negalime padalyti skaičiaus iš nulio, turint omenyje, kad visi kiti veiksmai su nuliu egzistuoja ir yra taikomi? Norint atsakyti į šį klausimą, būtina atsigręžti į aukštąją matematiką.

Pradėkime nuo sąvokos apibrėžimo, kas yra nulis? Mokyklos mokytojai sako, kad nulis yra niekas. Tuštuma. Tai yra, kai sakote, kad turite 0 rankenų, tai reiškia, kad neturite jokių rankenų.

Aukštojoje matematikoje „nulio“ sąvoka yra platesnė. Tai visai nereiškia tuštumos. Čia nulis vadinamas neapibrėžtumu, nes jei šiek tiek patyrinėsime, paaiškėja, kad padalijus nulį iš nulio, galime gauti bet kokį kitą skaičių, kuris nebūtinai yra nulis.

Ar žinojote, kad tie paprasti aritmetiniai veiksmai, kurių mokėtės mokykloje, nėra tokie lygiaverčiai vienas kitam? Pagrindiniai veiksmai yra sudėjimas ir daugyba.

Matematikams sąvokos „“ ir „atimtis“ neegzistuoja. Tarkime: jei iš penkių atimsi tris, liks du. Taip atrodo atimtis. Tačiau matematikai tai parašytų taip:

Taigi, paaiškėja, kad nežinomas skirtumas yra tam tikras skaičius, kurį reikia pridėti prie 3, kad gautumėte 5. Tai yra, jums nereikia nieko atimti, tereikia rasti tinkamą skaičių. Ši taisyklė taikoma papildymui.

Viskas yra šiek tiek kitaip su daugybos ir dalybos taisyklės. Yra žinoma, kad padauginus iš nulio gaunamas nulis. Pavyzdžiui, jei 3:0=x, tada, jei įvedimą apverčiate, gausite 3*x=0. O skaičius, padaugintas iš 0, sandaugoje bus nulis. Pasirodo, produkte su nuliu nėra skaičiaus, kuris suteiktų kitokią reikšmę nei nulis. Tai reiškia, kad dalyba iš nulio yra beprasmė, tai yra, tai atitinka mūsų taisyklę.

Bet kas atsitiks, jei bandysite padalyti nulį iš savęs? Paimkime neapibrėžtą skaičių kaip x. Gauta lygtis yra 0*x=0. Tai galima išspręsti.

Jei bandysime vietoj x imti nulį, gausime 0:0=0. Atrodytų logiška? Bet jei bandysime paimti bet kokį kitą skaičių, pavyzdžiui, 1, o ne x, gausime 0:0=1. Ta pati situacija atsitiks, jei imsime bet kokį kitą skaičių ir prijunkite jį prie lygties.

Tokiu atveju paaiškėja, kad veiksniu galime paimti bet kurį kitą skaičių. Rezultatas bus begalinis skirtingų skaičių skaičius. Kartais aukštojoje matematikoje dalyba iš 0 dar turi prasmę, bet tada dažniausiai atsiranda tam tikra sąlyga, kurios dėka vis tiek galime pasirinkti vieną tinkamą skaičių. Šis veiksmas vadinamas „neapibrėžtumo atskleidimu“. Įprastoje aritmetikoje dalyba iš nulio vėl neteks prasmės, nes negalėsime pasirinkti vieno skaičiaus iš aibės.

Svarbu! Negalite padalyti nulio iš nulio.

Nulis ir begalybė

Begalybę labai dažnai galima rasti aukštojoje matematikoje. Kadangi moksleiviams tiesiog nėra svarbu žinoti, kad yra ir matematinių veiksmų su begalybe, mokytojai negali tinkamai paaiškinti vaikams, kodėl negalima dalyti iš nulio.

Pagrindinių matematinių paslapčių studentai pradeda mokytis tik pirmaisiais instituto metais. Aukštoji matematika pateikia didelį problemų, kurios neturi sprendimo, kompleksą. Garsiausios problemos yra problemos su begalybe. Jas galima išspręsti naudojant matematinė analizė.

Galima pritaikyti ir iki begalybės elementarios matematinės operacijos: sudėjimas, daugyba iš skaičiaus. Paprastai jie taip pat naudoja atimtį ir padalijimą, tačiau galiausiai jie vis tiek susideda į dvi paprastas operacijas.

Bet kas bus jei pabandysi:

• Begalybė padauginta iš nulio. Teoriškai, jei bandysime bet kurį skaičių padauginti iš nulio, gausime nulį. Tačiau begalybė yra neapibrėžtas skaičių rinkinys. Kadangi negalime pasirinkti vieno skaičiaus iš šios aibės, išraiška ∞*0 neturi sprendimo ir yra visiškai beprasmė.
• Nulis padalintas iš begalybės. Čia vyksta ta pati istorija, kaip ir aukščiau. Negalime pasirinkti vieno skaičiaus, vadinasi, nežinome, iš ko padalyti. Išraiška neturi reikšmės.

Svarbu! Begalybė šiek tiek skiriasi nuo netikrumo! Begalybė yra viena iš neapibrėžtumo rūšių.

Dabar pabandykime padalyti begalybę iš nulio. Atrodytų, turėtų būti netikrumo. Bet jei bandytume dalybą pakeisti daugyba, gautume labai aiškų atsakymą.

Pavyzdžiui: ∞/0=∞*1/0= ∞*∞ = ∞.

Pasirodo taip matematinis paradoksas.

Atsakymas į klausimą, kodėl negalima dalyti iš nulio

Mintinis eksperimentas, bandymas padalyti iš nulio

Išvada

Taigi, dabar žinome, kad nuliui taikomos beveik visos operacijos, su kuriomis atliekamos, išskyrus vieną. Negalite padalyti iš nulio vien todėl, kad rezultatas yra neapibrėžtumas. Taip pat išmokome atlikti operacijas su nuliu ir begalybe. Tokių veiksmų rezultatas bus netikrumas.

Mes išsiaiškinome pagrindines elementarias funkcijas.

Pereinant prie sudėtingesnio tipo funkcijų, tikrai susidursime su posakių, kurių reikšmė neapibrėžta, atsiradimu. Tokios išraiškos vadinamos neaiškumų.

Išvardinkime viską pagrindiniai neapibrėžtumo tipai: nulis padalytas iš nulio (0 iš 0), begalybė padalyta iš begalybės, nulis padaugintas iš begalybės, begalybė atėmus begalybę, vienas – begalybės laipsnis, nulis – nulio laipsnis, begalybė – nulio laipsnis.

VISOS KITOS NETINKUMO IŠRAIŠKOS NĖRA IR IMTI VISIŠKAI KONKRETĘ BAIGTINĘ AR BEGALINĘ REIKŠMES.

Atskleiskite neapibrėžtumą leidžia:

• funkcijos tipo supaprastinimas (reiškinių transformavimas naudojant sutrumpintas daugybos formules, trigonometrines formules, daugyba iš konjuguotų išraiškų, po kurios redukuojama ir kt.);
• didelių ribų naudojimas;
• taikymas L'Hopital taisyklės ;
• naudojimas be galo mažą išraišką pakeičiant jos atitikmeniu(naudojant lygiaverčių begalinių mažiausių skaičių lentelę).

Sugrupuokime neapibrėžtumus į neapibrėžtumo lentelė. Kiekvienam neapibrėžtumo tipui susiejame jo atskleidimo metodą (ribos nustatymo metodą).

Ši lentelė kartu su pagrindinių elementariųjų funkcijų ribų lentelė bus pagrindiniai jūsų įrankiai ieškant bet kokių ribų.

Pateikime porą pavyzdžių, kai pakeitus vertę iškart viskas pavyksta ir neapibrėžtumo nekyla.

Pavyzdys.

Apskaičiuokite limitą

Sprendimas.

Pakeiskite vertę:

Ir iškart gavome atsakymą.

Atsakymas:

Pavyzdys.

Apskaičiuokite limitą

Sprendimas.

Mes pakeičiame reikšmę x=0 į mūsų eksponentinės galios funkcijos bazę:

Tai yra, ribą galima perrašyti kaip

Dabar pažvelkime į indikatorių. Tai galios funkcija. Kreipkimės į ribų lentelė galios funkcijoms su neigiamu eksponentu. Iš ten mes turime Ir , todėl galime rašyti .

Remiantis tuo, mūsų limitas bus parašytas taip:

Vėl kreipiamės į ribų lentelę, bet eksponentinėms funkcijoms, kurių bazė yra didesnė nei viena, iš kurios turime:

Atsakymas:

Pažvelkime į pavyzdžius su išsamiais sprendimais Neaiškumų atskleidimas transformuojant išraiškas.

Labai dažnai po ribos ženklu esančią išraišką reikia šiek tiek transformuoti, kad atsikratytų neaiškumų.

Pavyzdys.

Apskaičiuokite limitą

Sprendimas.

Pakeiskite vertę:

Atėjome į netikrumą. Mes žiūrime į neapibrėžtumo lentelę, kad pasirinktume sprendimo metodą. Pabandykime supaprastinti išraišką.

Atsakymas:

Pavyzdys.

Apskaičiuokite limitą

Sprendimas.

Pakeiskite vertę:

Priėjome neapibrėžtumą (nuo 0 iki 0). Mes žiūrime į neapibrėžtumo lentelę, norėdami pasirinkti sprendimo būdą ir bandome supaprastinti išraišką. Padauginkime ir skaitiklį, ir vardiklį iš išraiškos, susietos su vardikliu.

Vardiklio konjuguota išraiška bus

Vardiklį padauginome taip, kad galėtume pritaikyti sutrumpintą daugybos formulę – kvadratų skirtumas ir tada sumažinti gautą išraišką.

Po daugybės transformacijų neapibrėžtumas dingo.

Atsakymas:

KOMENTARAS:Šio tipo riboms būdingas daugybos iš konjuguotų išraiškų metodas, todėl drąsiai naudokite jį.

Pavyzdys.

Apskaičiuokite limitą

Sprendimas.

Pakeiskite vertę:

Atėjome į netikrumą. Mes žiūrime į neapibrėžtumo lentelę, norėdami pasirinkti sprendimo būdą ir bandome supaprastinti išraišką. Kadangi ir skaitiklis, ir vardiklis išnyksta, kai x = 1, tada, jei šias išraiškas galima sumažinti (x-1) ir neapibrėžtis išnyks.

Išskaidykime skaitiklį faktoriais:

Išskaidykime vardiklį:

Mūsų limitas bus toks:

Po pertvarkos neapibrėžtumas atsiskleidė.

Atsakymas:

Panagrinėkime ribas begalybėje iš galios išraiškų. Jei galios išraiškos rodikliai yra teigiami, tai riba begalybėje yra begalinė. Be to, didžiausias laipsnis yra svarbiausias, o likusią dalį galima išmesti.

Pavyzdys.

Pavyzdys.

Jei išraiška po ribiniu ženklu yra trupmena, o skaitiklis ir vardiklis yra galios išraiškos (m yra skaitiklio laipsnis, o n yra vardiklio galia), tada, kai formos neapibrėžtis begalybė iki begalybės kyla, šiuo atveju atskleidžiamas netikrumas skaitiklį ir vardiklį dalijant iš

Pavyzdys.

Apskaičiuokite limitą