Lygiašonių trikampių uždaviniai. Kaip sukurti lygiašonį trikampį Sukurkite lygiašonį trikampį išilgai kraštinės
Lygiašonis yra toks trikampis, kuriame jo dviejų kraštinių ilgiai lygūs vienas kitam.
Sprendžiant problemas tema "Lygiašonis trikampis" būtina naudoti šiuos žinomus savybių:
1.
Kampai, priešingi lygioms kraštinėms, yra lygūs vienas kitam.
2.
Bisektoriai, medianos ir aukščiai, nubrėžti iš vienodų kampų, yra lygūs vienas kitam.
3.
Bisektorius, mediana ir aukštis, nubrėžti į lygiašonio trikampio pagrindą, sutampa.
4.
Apskritimo apskritimo centras ir apskritimo centras yra ant aukščio, taigi ir ant vidurio ir pusiausvyros, nubrėžtos prie pagrindo.
5.
Lygiašonio trikampio kampai visada yra smailieji.
Trikampis yra lygiašonis, jei jis turi šiuos dalykus ženklai:
1.
Du trikampio kampai yra lygūs.
2.
Aukštis sutampa su mediana.
3.
Bisektorius sutampa su mediana.
4.
Aukštis sutampa su bisektoriumi.
5.
Abu trikampio aukščiai yra vienodi.
6.
Dvi trikampio pusiausvyros yra lygios.
7.
Dvi trikampio medianos yra lygios.
Panagrinėkime keletą šios temos problemų "Lygiašonis trikampis" ir pateikti išsamų sprendimą.
1 užduotis.
Lygiašoniame trikampyje aukštis iki pagrindo yra 8, o pagrindas į šoną yra 6: 5. Raskite atstumą nuo trikampio viršūnės iki jo pusiaukampių susikirtimo taško.
Sprendimas.
Tegu pateiktas lygiašonis trikampis ABC (1 pav.).
1) Kadangi AC: BC = 6: 5, tada AC = 6x ir BC = 5x. ВН – aukštis nubrėžtas iki trikampio ABC pagrindo AC.
Kadangi taškas H yra AC vidurys (pagal lygiašonio trikampio savybę), tai HC = 1/2 AC = 1/2 6x = 3x.
BC 2 = VN 2 + NS 2;
(5x) 2 = 8 2 + (3x) 2 ;
x = 2, tada
AC = 6x = 6 2 = 12 ir
BC = 5x = 5 2 = 10.
3) Kadangi trikampio bisektorių susikirtimo taškas yra į jį įbrėžto apskritimo centras, tai
OH = r. Į trikampį ABC įbrėžto apskritimo spindulį randame pagal formulę
4) S ABC = 1/2 · (AC · BH); S ABC = 1/2 · (12 · 8) = 48;
p = 1/2 (AB + BC + AC); p = 1/2 · (10 + 10 + 12) = 16, tada OH = r = 48/16 = 3.
Taigi VO = VN – OH; VO = 8 – 3 = 5.
Atsakymas: 5.
2 užduotis.
Lygiašoniame trikampyje ABC nubrėžtas abipusis AD. Trikampių ABD ir ADC plotai yra 10 ir 12. Raskite trikampio plotą, sudarytą šio trikampio, nubrėžto prie pagrindo AC, aukštyje.
Sprendimas.
Apsvarstykite trikampį ABC – lygiašonį, AD – kampo A pusiausvyrą (2 pav.).
1) Užrašykime trikampių BAD ir DAC plotus:
S BAD = 1/2 · AB · AD · sin α; S DAC = 1/2 · AC · AD · sin α.
2) Raskite plotų santykį:
S BLOGAS /S DAC = (1/2 · AB · AD · sin α) / (1/2 · AC · AD · sin α) = AB/AC.
Kadangi S BAD = 10, S DAC = 12, tada 10/12 = AB/AC;
AB/AC = 5/6, tada tegul AB = 5x ir AC = 6x.
AN = 1/2 AC = 1/2 6x = 3x.
3) Iš trikampio ABN - stačiakampis pagal Pitagoro teoremą AB 2 = AN 2 + BH 2;
25x 2 = VN 2 + 9x 2;
4) S A ВС = 1/2 · АС · ВН; S A B C = 1/2 · 6x · 4x = 12x 2 .
Kadangi S A BC = S BLOGAS + S DAC = 10 + 12 = 22, tai 22 = 12x 2 ;
x 2 = 11/6; VN 2 = 16x 2 = 16 11/6 = 1/3 8 11 = 88/3.
5) Kvadrato plotas lygus VN 2 = 88/3; 3 88/3 = 88.
Atsakymas: 88.
3 užduotis.
Lygiašonio trikampio pagrindas lygus 4, o kraštinė – 8. Raskite į šoną nukritusio aukščio kvadratą.
Sprendimas.
Trikampyje ABC – lygiašoniai BC = 8, AC = 4 (3 pav.).
1) ВН – aukštis, nubrėžtas iki trikampio ABC pagrindo AC.
Kadangi taškas H yra AC vidurys (pagal lygiašonio trikampio savybę), tai HC = 1/2 AC = 1/2 4 = 2.
2) Iš trikampio VNS - stačiakampis pagal Pitagoro teoremą BC 2 = VN 2 + NS 2;
64 = VN 2 + 4;
3) S ABC = 1/2 · (AC · BH), taip pat S ABC = 1/2 · (AM · BC), tada sulyginame dešiniąsias formulių puses, gauname
1/2 · AC · BH = 1/2 · AM · BC;
AM = (AC BH)/BC;
AM = (√60 · 4) / 8 = (2√15 · 4) / 8 = √15.
Atsakymas: 15.
4 užduotis.
Lygiašonio trikampio pagrindas ir ant jo nuleistas aukštis lygus 16. Raskite apie šį trikampį apibrėžto apskritimo spindulį.
Sprendimas.
Trikampyje ABC – lygiašonis pagrindas AC = 16, ВН = 16 – aukštis nubrėžtas iki pagrindo AC (4 pav.).
1) AN = NS = 8 (pagal lygiašonio trikampio savybę).
2) Iš VNS trikampio - stačiakampis pagal Pitagoro teoremą
BC 2 = VN 2 + NS 2;
BC 2 = 8 2 + 16 2 = (8 2) 2 + 8 2 = 8 2 4 + 8 2 = 8 2 5;
3) Apsvarstykite trikampį ABC: pagal sinusų 2R = AB/sin C teoremą, kur R yra apskritimo, apibrėžto apie trikampį ABC, spindulys.
sin C = BH/BC (iš trikampio VNS pagal sinuso apibrėžimą).
sin C = 16/(8√5) = 2/√5, tada 2R = 8√5/(2/√5);
2R = (8√5 · √5)/2; R = 10.
Atsakymas: 10.
5 užduotis.
Aukščio, nubrėžtos lygiašonio trikampio pagrindu, ilgis yra 36, o įbrėžto apskritimo spindulys yra 10. Raskite trikampio plotą.
Sprendimas.
Tegu pateiktas lygiašonis trikampis ABC.
1) Kadangi į trikampį įbrėžto apskritimo centras yra jo pusiaukampių susikirtimo taškas, tai O ϵ VN ir AO yra kampo A pusiausvyra, taip pat OH = r = 10 (5 pav.).
2) VO = VN – OH; VO = 36 – 10 = 26.
3) Apsvarstykite trikampį ABN. Pagal teoremą apie trikampio kampo pusiausvyrą
AB/AN = VO/OH;
AB/AN = 26/10 = 13/5, tada tegul AB = 13x ir AN = 5x.
Pagal Pitagoro teoremą AB 2 = AN 2 + VN 2;
(13x) 2 = 36 2 + (5x) 2 ;
169 x 2 = 25 x 2 + 36 2;
144x 2 = (12 · 3) 2 ;
144 x 2 = 144 9;
x = 3, tada AC = 2 · AN = 10x = 10 · 3 = 30.
4) S ABC = 1/2 · (AC · BH); S ABC = 1/2 · (36 · 30) = 540;
Atsakymas: 540.
6 užduotis.
Lygiašonio trikampio dvi kraštinės lygios 5 ir 20. Raskite trikampio pagrindo kampo pusiausvyrą.
Sprendimas.
1) Tarkime, kad trikampio kraštinės yra 5, o pagrindas yra 20.
Tada 5 + 5< 20, т.е. такого треугольника не существует. Значит, АВ = ВС = 20, АС = 5 (6 pav.).
2) Tegu LC = x, tada BL = 20 – x. Pagal teoremą apie trikampio kampo pusiausvyrą
AB/AC = BL/LC;
20/5 = (20 – x)/x,
tada 4x = 20 – x;
Taigi LC = 4; BL = 20 – 4 = 16.
3) Naudokime trikampio kampo pusiausvyros formulę:
AL 2 = AB AC – BL LC,
tada AL 2 = 20 5 – 4 16 = 36;
Atsakymas: 6.
Vis dar turite klausimų? Nežinote, kaip išspręsti geometrijos uždavinius?
Norėdami gauti pagalbos iš dėstytojo, užsiregistruokite.
Pirma pamoka nemokama!
svetainėje, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į šaltinį.
VIII . Statybos užduočių grupės.
Užduočių grupių sprendimas naudojant pagalbinį trikampį.
Metodo esmė – pagalbinių trikampių konstravimas ir jų savybių bei naujai gautų elementų panaudojimas galutinai išspręsti problemą.
Statybos analizė susideda iš šių etapų:
Analizuodami ieškokite pagalbinio trikampio.
Jei atsiranda naujų elementų, kurių pagalba galima sukonstruoti trikampį ABC, vadinasi, tikslas pasiektas.
Jei taip neatsitiks, galbūt galima sukurti kitą pagalbinį trikampį, kuris pateiks trūkstamus elementus.
Pažvelkime į metodo esmę naudodami pavyzdžius.
1 užduotis. Sukurkite lygiašonį trikampį ABC ( b= c) pagal a, h b .
Ieškome pagalbinio trikampio. Akivaizdu, kad tokiu trikampiu patogu laikyti trikampį CDB.
Tai suteiks kampą C, taigi ir ABC kampą. Taigi, yra a, kampas B, kampas C, o tai reiškia, kad galime sukurti trikampį ABC. Schematiškai parašysime taip:
(a, h b) → Δ CDB →< C.
(a,< B, < C) → Δ ABC.
Užduotys savarankiškam sprendimui:
Remiantis panašiais samprotavimais, kaip aprašyta aukščiau, rekomenduojame sudaryti lygiašonį trikampį (b=c) naudojant šiuos duomenis:
A)< А, h b ;
b)< В, h с;
G)< В, h b ;
e)< С, h b .
2 užduotis. Sukonstruokite trikampį naudodami įbrėžto apskritimo spindulį r, kampą A ir kampą B.
Tegu aš esu apskritimo, įbrėžto į trikampį ABC, centras.
(r; ½< А) → Δ AID → |AD|;
(r; ½< В) → Δ ВID → |ВD|;
(|AD| + |ВD| = |AB|) → (c,< А, < В) → Δ ABC.
Užduotys savarankiškam sprendimui:
Sukurkite trikampį naudodami šiuos elementus:
a) a, h c, h b; b) a, h a, h b; c) a, m a, m b;
G)< A, l A , b; д) R, h а, m a ; е) a, R, h b ;
g) b, h b, m b (kur m – medianos, l – pusiausvyros, h – aukščiai).
Savarankiškai:
Problemų grupių sprendimas remiantis pagrindine.
Pagrindinė užduotis:
sukonstruoti rombą ABCD, naudojant įstrižainę BD ir aukštį BM. (ΔBHD →< BDH → равнобедренный Δ BDA → ABCD);
pastatyti trapeciją iš keturių pusių.
Sukurkite trikampį naudodami dvi kraštines ir kampą tarp jų.
Pagrindinė užduotis:
Sukurkite stačiakampį trikampį išilgai dviejų kraštinių.
Sukurkite rombą išilgai dviejų įstrižainių.
Sukurkite stačiakampį su dviem nelygiomis kraštinėmis.
Sukurkite lygiagretainį naudodami dvi įstrižaines ir kampą tarp jų.
Sukurkite stačiakampį naudodami įstrižaines ir kampą tarp jų.
Sukurkite trikampį naudodami kraštinę ir du gretimus kampus.
Užduotys savarankiškam sprendimui:
Pagrindinė užduotis:
Sukurkite lygiašonį trikampį naudodami jo pagrindą ir gretimą kampą.
Sukurkite statųjį trikampį naudodami koją ir gretimą smailųjį kampą.
Sukurkite rombą, naudodami kampą ir įstrižainę, einančius per šio kampo viršūnę.
Sukurkite lygiašonį trikampį pagal aukštį ir viršūnės kampą.
Sukurkite kvadratą išilgai nurodytos įstrižainės.
Sukurkite statųjį trikampį, naudodami hipotenuzą ir smailųjį kampą.
Užduotys savarankiškam sprendimui:
Pagrindinė užduotis:
Sukurkite lygiašonį trikampį išilgai šono ir kampo prie pagrindo.
Sukurkite lygiašonį trikampį naudodami jo kraštinės ir viršūnės kampą.
Sukurkite trikampį naudodami tris kraštines.
Užduotys savarankiškam sprendimui:
Pagrindinė užduotis:
Sukurkite lygiašonį trikampį naudodami jo pagrindą ir kraštines.
Sukonstruokite rombą išilgai šonų ir įstrižainių.
Sukurkite lygiagretainį naudodami dvi nelygias kraštines ir įstrižainę.
Sukurkite lygiagretainį naudodami kraštinę ir dvi įstrižaines.
Sukurkite statųjį trikampį naudodami koją ir hipotenuzę.
Užduotys savarankiškam sprendimui:
Sukurkite lygiašonį trikampį išilgai aukščio ir kraštinės.
Sukurkite lygiašonį trikampį naudodami pagrindą ir statmeną nuo pagrindo galo į šoną.
Sukurkite lygiagretainį, naudodami jo pagrindą, aukštį ir įstrižainę.
Sukurkite rombą išilgai jo aukščio ir įstrižainės.
Sukurkite lygiašonį trikampį naudodami kraštinę ir nuo jos nuleistą aukštį.
Sukurkite trikampį pagal pagrindą, aukštį ir šoną.
Literatūra:
B. I. Argunovas, M. B. Balkas „Geometrinės konstrukcijos plokštumoje“, M, „Prosveščenie“ 1955 m.
Glazeris G.I. „Matematikos istorija mokykloje“ IV – VI kl., M, „Švietimas“, 1981 m.
I. Goldenblant „Geometrinių konstravimo uždavinių sprendimo patirtis“ „Matematika mokykloje“ Nr.3 1946 m.
I. A. Kushnir „Vienu būdu statybos uždaviniams spręsti“ „Matematika mokykloje“ Nr.2, 1984 m.
A. I. Mostovojus „Taikyti įvairius statybos uždavinių sprendimo metodus“ „Matematika mokykloje“ Nr.5, 1983 m.
A. A. Popova „Matematikos vadovėlis“. „Čeliabinsko valstybinis pedagoginis universitetas“, 2005 m
E. M. Selezneva, M. N. Serebryakova „Geometrinės konstrukcijos I – V vidurinės mokyklos klasėse“ Metodiniai tobulinimai. Sverdlovskas, 1974 m
Kaip sukurti lygiašonį trikampį? Tai lengva padaryti naudojant liniuotę, pieštuką ir bloknoto langelius.
Lygiašonio trikampio statymą pradedame nuo pagrindo. Kad raštas būtų lygus, langelių skaičius prie pagrindo turi būti lyginis.
Padalinkite atkarpą – trikampio pagrindą – per pusę.
Trikampio viršūnę galima pasirinkti bet kuriame aukštyje nuo pagrindo, bet visada tiksliai virš vidurio.
Kaip sukurti smailų lygiašonį trikampį?
Lygiašonio trikampio pagrindo kampai gali būti tik smailieji. Kad lygiašonis trikampis būtų smailusis, kampas viršūnėje taip pat turi būti smailusis.
Norėdami tai padaryti, pasirinkite trikampio viršūnę aukščiau, toliau nuo pagrindo.
Kuo aukštesnė viršūnė, tuo mažesnis viršūnės kampas. Kampai prie pagrindo atitinkamai didėja.
Kaip sukurti bukąjį lygiašonį trikampį?
Lygiašonio trikampio viršūnei artėjant prie pagrindo kampo laipsnio matas viršūnėje didėja.
Tai reiškia, kad norėdami sukurti lygiašonį bukąjį trikampį, pasirenkame apatinę viršūnę.
Kaip sukurti lygiašonį stačiakampį trikampį?
Norėdami sukurti lygiašonį stačiakampį trikampį, turite pasirinkti viršūnę atstumu, lygiu pusei pagrindo (tai yra dėl lygiašonio stačiojo trikampio savybių).
Pavyzdžiui, jei pagrindo ilgis yra 6 langeliai, tada trikampio viršūnę pastatome 3 langelių aukštyje virš pagrindo vidurio. Atkreipkite dėmesį: šiuo atveju kiekviena ląstelė kampuose prie pagrindo yra padalinta įstrižai.
Lygiašonio stačiojo trikampio konstravimą galima pradėti nuo viršūnės.
Mes pasirenkame viršūnę ir iš jos stačiu kampu klojame vienodus segmentus į viršų ir į dešinę. Tai yra trikampio kraštinės.
Sujungkime juos ir gaukime lygiašonį stačiakampį trikampį.
Lygiašonio trikampio konstravimą naudojant kompasą ir liniuotę be padalų nagrinėsime kitoje temoje.
