Paveikslėlyje parodyta funkcijos antiderivatinė

Sveiki, draugai! Šiame straipsnyje apžvelgsime antidarinių užduotis. Šios užduotys įtrauktos į Vieningą valstybinį matematikos egzaminą. Nepaisant to, kad patys skyriai - diferenciacija ir integravimas - yra gana talpūs algebros kurse ir reikalauja atsakingo požiūrio į supratimą, pačios užduotys, kurios yra įtrauktos į atvirą matematikos užduočių banką ir bus labai paprastos Unified. Valstybinis egzaminas ir gali būti išspręstas vienu ar dviem etapais.

Svarbu tiksliai suprasti antidarinio esmę ir ypač geometrinę integralo reikšmę. Trumpai panagrinėkime teorinius pagrindus.

Geometrinė integralo reikšmė

Trumpai apie integralą galime pasakyti taip: integralas yra sritis.

Apibrėžimas: Tegul atkarpoje apibrėžtos teigiamos funkcijos f grafikas yra pateiktas koordinačių plokštumoje. Pografas (arba kreivinė trapecija) yra figūra, apribota funkcijos f grafiko, tiesių x = a ir x = b ir x ašies.

Apibrėžimas: Tegu yra teigiama funkcija f, apibrėžta baigtiniame atkarpoje. Funkcijos f integralas atkarpoje yra jos pografo plotas.

Kaip jau minėta, F'(x) = f (x).Ką galime daryti išvadą?

Tai paprasta. Turime nustatyti, kiek šiame grafike yra taškų, kuriuose F′(x) = 0. Žinome, kad tuose taškuose, kuriuose funkcijos grafiko liestinė yra lygiagreti x ašiai. Parodykime šiuos taškus intervale [–2;4]:

Tai yra tam tikros funkcijos F (x) ekstremumo taškai. Jų yra dešimt.

Atsakymas: 10

323078. Paveiksle pavaizduotas tam tikros funkcijos y = f (x) grafikas (du spinduliai su bendru pradiniu tašku). Naudodamiesi paveikslu, apskaičiuokite F (8) – F (2), kur F (x) yra vienas iš funkcijos f (x) antidarinių.

Dar kartą užrašykime Niutono-Leibnizo teoremą:Tegul f yra duotoji funkcija, F – jos savavališka antidarinė. Tada

Ir tai, kaip jau minėta, yra funkcijos pografo sritis.

Taigi, problema kyla ieškant trapecijos ploto (intervalas nuo 2 iki 8):

Nesunku jį apskaičiuoti pagal ląsteles. Gauname 7. Ženklas yra teigiamas, nes figūra yra virš x ašies (arba teigiamojoje y ašies pusplokštumoje).

Net ir šiuo atveju būtų galima pasakyti taip: taškuose esančių antidarinių verčių skirtumas yra figūros plotas.

Atsakymas: 7

323079. Paveiksle pavaizduotas tam tikros funkcijos y = f (x) grafikas. Funkcija F (x) = x 3 +30x 2 +302x–1,875 yra vienas iš funkcijos y = f (x) antidarinių. Raskite užtamsintos figūros plotą.

Kaip jau minėta apie integralo geometrinę reikšmę, tai yra figūros plotas, kurį riboja funkcijos f (x) grafikas, tiesės x = a ir x = b ir ašies ašis.

Teorema (Niutonas–Leibnicas):

Taigi, užduotis yra apskaičiuoti tam tikros funkcijos apibrėžtąjį integralą intervale nuo –11 iki –9, arba, kitaip tariant, reikia rasti skirtumą tarp antiderivatų, apskaičiuotų nurodytuose taškuose:

Atsakymas: 6

323080. Paveiksle pavaizduotas kokios nors funkcijos y = f (x) grafikas.

Funkcija F (x) = –x 3 –27x 2 –240x– 8 yra vienas iš funkcijos f (x) antidarinių. Raskite užtamsintos figūros plotą.

Teorema (Niutonas–Leibnicas):

Problema susijusi su tam tikros funkcijos apibrėžtojo integralo apskaičiavimu intervale nuo –10 iki –8:

Atsakymas: 4

Kitas šios problemos sprendimas iš svetainės.

Išvestinės ir diferencijavimo taisyklės taip pat yra . Jas žinoti būtina, ne tik tokias užduotis spręsti.

Taip pat galite peržiūrėti pagalbos informaciją svetainėje ir.

Žiūrėkite trumpą vaizdo įrašą, tai ištrauka iš filmo „Akloji pusė“. Galima sakyti, kad tai filmas apie išsilavinimą, apie gailestingumą, apie neva „atsitiktinių“ susitikimų svarbą mūsų gyvenime... Bet šių žodžių neužteks, rekomenduoju pažiūrėti patį filmą, labai rekomenduoju.

Linkiu sėkmės!

Pagarbiai Aleksandras Krutitskichas

P.S. Būčiau dėkingas, jei papasakotumėte apie svetainę socialiniuose tinkluose.

Darbo tipas: 7
Tema: funkcijos antidarinys

Būklė

Paveikslėlyje parodytas funkcijos y=f(x) grafikas (tai yra trūkinė linija, sudaryta iš trijų tiesių atkarpų). Naudodamiesi paveikslu, apskaičiuokite F(9)-F(5), kur F(x) yra vienas iš funkcijos f(x) antidarinių.

Rodyti sprendimą

Sprendimas

Pagal Niutono-Leibnizo formulę skirtumas F(9)-F(5), kur F(x) yra vienas iš funkcijos f(x) antidarinių, yra lygus riboto kreivinės trapecijos plotui. funkcijos y=f(x) grafiku, tiesės y=0 , x=9 ir x=5. Iš grafiko nustatome, kad nurodyta kreiva trapecija yra trapecija, kurios pagrindai lygūs 4 ir 3, o aukštis 3.

Jo plotas lygus \frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Atsakymas

Darbo tipas: 7
Tema: funkcijos antidarinys

Būklė

Paveiksle pavaizduotas funkcijos y=F(x) grafikas – viena iš funkcijos f(x) antidarinių, apibrėžtų intervale (-5; 5). Naudodamiesi paveikslu, nustatykite lygties f(x)=0 sprendinių skaičių atkarpoje [-3; 4].

Rodyti sprendimą

Sprendimas

Pagal antidarinės apibrėžimą galioja lygybė: F"(x)=f(x). Todėl lygtį f(x)=0 galima parašyti kaip F"(x)=0. Kadangi paveiksle pavaizduotas funkcijos y=F(x) grafikas, reikia surasti tuos taškus intervale [-3; 4], kurioje funkcijos F(x) išvestinė lygi nuliui. Iš paveikslo aišku, kad tai bus F(x) grafiko kraštutinių taškų (maksimalaus arba minimumo) abscisės. Nurodytame intervale jų yra lygiai 7 (keturi minimalūs ir trys didžiausi taškai).

Atsakymas

Šaltinis: „Matematika. Pasirengimas vieningam valstybiniam egzaminui 2017 m. Profilio lygis“. Red. F. F. Lysenko, S. Kulabukhova.

Darbo tipas: 7
Tema: funkcijos antidarinys

Būklė

Paveikslėlyje parodytas funkcijos y=f(x) grafikas (tai yra trūkinė linija, sudaryta iš trijų tiesių atkarpų). Naudodamiesi paveikslu, apskaičiuokite F(5)-F(0), kur F(x) yra vienas iš funkcijos f(x) antidarinių.

Rodyti sprendimą

Sprendimas

Pagal Niutono-Leibnizo formulę skirtumas F(5)-F(0), kur F(x) yra vienas iš funkcijos f(x) antidarinių, yra lygus riboto kreivinės trapecijos plotui. funkcijos y=f(x) grafiku, tiesės y=0 , x=5 ir x=0. Iš grafiko nustatome, kad nurodyta kreiva trapecija yra trapecija, kurios pagrindai lygūs 5 ir 3, o aukštis 3.

Jo plotas lygus \frac(5+3)(2)\cdot 3=12.

Atsakymas

Šaltinis: „Matematika. Pasirengimas vieningam valstybiniam egzaminui 2017 m. Profilio lygis“. Red. F. F. Lysenko, S. Kulabukhova.

Darbo tipas: 7
Tema: funkcijos antidarinys

Būklė

Paveiksle pavaizduotas funkcijos y=F(x) grafikas – vienas iš kokios nors funkcijos f(x) antidarinių, apibrėžtos intervale (-5; 4). Naudodamiesi paveikslu, nustatykite lygties f (x) = 0 sprendinių skaičių atkarpoje (-3; 3]).

Rodyti sprendimą

Sprendimas

Pagal antidarinės apibrėžimą galioja lygybė: F"(x)=f(x). Todėl lygtį f(x)=0 galima parašyti kaip F"(x)=0. Kadangi paveiksle pavaizduotas funkcijos y=F(x) grafikas, reikia surasti tuos taškus intervale [-3; 3], kurioje funkcijos F(x) išvestinė lygi nuliui.

Iš paveikslo aišku, kad tai bus F(x) grafiko kraštutinių taškų (maksimalaus arba minimumo) abscisės. Nurodytame intervale jų yra lygiai 5 (du minimalūs taškai ir trys didžiausi taškai).

Atsakymas

Šaltinis: „Matematika. Pasirengimas vieningam valstybiniam egzaminui 2017 m. Profilio lygis“. Red. F. F. Lysenko, S. Kulabukhova.

Darbo tipas: 7
Tema: funkcijos antidarinys

Būklė

Paveiksle pavaizduotas kokios nors funkcijos y=f(x) grafikas. Funkcija F(x)=-x^3+4.5x^2-7 yra vienas iš funkcijos f(x) antidarinių.

Raskite užtamsintos figūros plotą.

Rodyti sprendimą

Sprendimas

Nuspalvinta figūra yra kreivinė trapecija, kurią iš viršaus riboja funkcijos y=f(x) grafikas, tiesės y=0, x=1 ir x=3. Pagal Niutono-Leibnizo formulę jos plotas S lygus skirtumui F(3)-F(1), kur F(x) yra sąlygoje nurodytos funkcijos f(x) antidarinė. Štai kodėl S = F(3)-F(1)= -3^3 +(4.5)\ctaškas 3^2 -7-(-1^3 +(4.5)\ctaškas 1^2 -7)= 6,5-(-3,5)= 10.

Atsakymas

Šaltinis: „Matematika. Pasirengimas vieningam valstybiniam egzaminui 2017 m. Profilio lygis“. Red. F. F. Lysenko, S. Kulabukhova.

Darbo tipas: 7
Tema: funkcijos antidarinys

Būklė

Paveiksle pavaizduotas kokios nors funkcijos y=f(x) grafikas. Funkcija F(x)=x^3+6x^2+13x-5 yra viena iš funkcijos f(x) antidarinių. Raskite užtamsintos figūros plotą.

Parodantis ryšį tarp išvestinės ženklo ir funkcijos monotoniškumo prigimties.

Būkite ypač atsargūs dėl toliau nurodytų dalykų. Žiūrėk, tvarkaraštis KAS tau duota! Funkcija arba jos išvestinė

Jei pateikiamas išvestinės grafikas, tada mus domina tik funkcijos ženklai ir nuliai. Mums iš principo neįdomūs jokie „kalvai“ ar „daubumai“!

1 užduotis.

Paveikslėlyje parodytas intervale apibrėžtos funkcijos grafikas. Nustatykite sveikųjų skaičių taškų, kuriuose funkcijos išvestinė yra neigiama, skaičių.

Sprendimas:

Paveiksle mažėjančios funkcijos sritys paryškintos spalva:

Šiose mažėjančiose funkcijos srityse yra 4 sveikųjų skaičių reikšmės.

2 užduotis.

Paveikslėlyje parodytas intervale apibrėžtos funkcijos grafikas. Raskite taškų, kuriuose funkcijos grafiko liestinė yra lygiagreti tiesei arba sutampa su ja, skaičių.

Sprendimas:

Kai funkcijos grafiko liestinė yra lygiagreti (arba sutampa) su tiesia linija (arba tai yra tas pats dalykas), nuolydis, lygus nuliui, tada liestinė turi kampinį koeficientą .

Tai savo ruožtu reiškia, kad liestinė yra lygiagreti ašiai, nes nuolydis yra liestinės polinkio kampo liestinė su ašimi.

Todėl grafike randame ekstremumo taškus (maksimalius ir mažiausius taškus) – būtent šiuose taškuose grafiko liestinės funkcijos bus lygiagrečios ašiai.

Yra 4 tokie taškai.

3 užduotis.

Paveikslėlyje parodytas intervale apibrėžtos funkcijos išvestinės grafikas. Raskite taškų, kuriuose funkcijos grafiko liestinė yra lygiagreti tiesei arba sutampa su ja, skaičių.

Sprendimas:

Kadangi funkcijos grafiko liestinė yra lygiagreti (arba sutampa) su tiese, kuri turi nuolydį, tai liestinė taip pat turi nuolydį.

Tai savo ruožtu reiškia, kad prisilietimo taškuose.

Todėl žiūrime, kiek grafiko taškų turi ordinatę, lygią .

Kaip matote, tokie punktai yra keturi.

4 užduotis.

Paveikslėlyje parodytas intervale apibrėžtos funkcijos grafikas. Raskite taškų, kuriuose funkcijos išvestinė yra 0, skaičių.

Sprendimas:

Ekstremalumo taškuose išvestinė yra lygi nuliui. Turime 4 iš jų:

5 užduotis.

Paveikslėlyje parodytas funkcijos ir vienuolikos taškų x ašyje grafikas:. Kiek iš šių taškų funkcijos išvestinė yra neigiama?

Sprendimas:

Mažėjančios funkcijos intervalais jos išvestinė įgauna neigiamas reikšmes. Ir taškuose funkcija mažėja. Yra 4 tokie taškai.

6 užduotis.

Paveikslėlyje parodytas intervale apibrėžtos funkcijos grafikas. Raskite funkcijos ekstremalių taškų sumą.

Sprendimas:

Ekstremalūs taškai– tai didžiausi balai (-3, -1, 1) ir minimalūs taškai (-2, 0, 3).

Ekstremalų taškų suma: -3-1+1-2+0+3=-2.

7 užduotis.

Paveikslėlyje parodytas intervale apibrėžtos funkcijos išvestinės grafikas. Raskite funkcijos didėjimo intervalus. Savo atsakyme nurodykite sveikųjų skaičių, įtrauktų į šiuos intervalus, sumą.

Sprendimas:

Paveiksle paryškinti intervalai, kuriuose funkcijos išvestinė yra neneigiama.

Mažame didėjančiame intervale nėra sveikųjų skaičių taškų, yra keturios sveikųjų skaičių reikšmės: , , ir .

Jų suma:

8 užduotis.

Paveikslėlyje parodytas intervale apibrėžtos funkcijos išvestinės grafikas. Raskite funkcijos didėjimo intervalus. Atsakyme nurodykite didžiausio iš jų ilgį.

Sprendimas:

Paveiksle visi intervalai, kurių išvestinė yra teigiama, yra paryškinti spalva, o tai reiškia, kad pati funkcija šiais intervalais didėja.

Didžiausio iš jų ilgis yra 6.

9 užduotis.

Paveikslėlyje parodytas intervale apibrėžtos funkcijos išvestinės grafikas. Kuriame segmento taške jis įgauna didžiausią vertę?

Sprendimas:

Pažiūrėkime, kaip grafikas elgiasi segmente, o tai mus domina tik vedinio ženklas .

Išvestinės ženklas yra minusas, nes šio segmento grafikas yra žemiau ašies.

Paveiksle pavaizduotas kokios nors funkcijos \(y=f(x)\) grafikas. Funkcija \(F(x)=\frac(2)(3)x^3-20x^2+201x-\frac(5)(9)\) yra viena iš funkcijos \(f(x) antidarinių )\). Raskite užtamsintos figūros plotą.

Atsakymas:

Užduotis Nr.: 323383. Prototipas Nr.:
Paveiksle pavaizduotas kokios nors funkcijos \(y=f(x)\) grafikas. Funkcija \(F(x)=-\frac(4)(9)x^3-\frac(34)(3)x^2-\frac(280)(3)x-\frac(18)(5 )\) yra vienas iš funkcijos \(f(x)\) antidarinių. Raskite užtamsintos figūros plotą.

Atsakymas:

Užduotis Nr.: 323385. Prototipas Nr.:
Paveiksle pavaizduotas kokios nors funkcijos \(y=f(x)\) grafikas. Funkcija \(F(x)=-\frac(1)(6)x^3-\frac(17)(4)x^2-35x-\frac(5)(11)\) yra viena iš funkcijos \(f(x)\) antidariniai. Raskite užtamsintos figūros plotą.

Atsakymas:

Užduotis Nr.: 323387. Prototipas Nr.:
Paveiksle pavaizduotas kokios nors funkcijos \(y=f(x)\) grafikas. Funkcija \(F(x)=-\frac(1)(5)x^3-\frac(9)(2)x^2-30x-\frac(11)(8)\) yra viena iš funkcijos \(f(x)\) antidariniai. Raskite užtamsintos figūros plotą.

Atsakymas:

Užduotis Nr.: 323389. Prototipas Nr.:
Paveiksle pavaizduotas kokios nors funkcijos \(y=f(x)\) grafikas. Funkcija \(F(x)=-\frac(11)(30)x^3-\frac(33)(4)x^2-\frac(297)(5)x-\frac(1)(2) )\) yra vienas iš funkcijos \(f(x)\) antidarinių. Raskite užtamsintos figūros plotą.

Atsakymas:

Užduotis Nr.: 323391. Prototipas Nr.:
Paveiksle pavaizduotas kokios nors funkcijos \(y=f(x)\) grafikas. Funkcija \(F(x)=-\frac(7)(27)x^3-\frac(35)(6)x^2-42x-\frac(7)(4)\) yra viena iš funkcijos \(f(x)\) antidariniai. Raskite užtamsintos figūros plotą.

Atsakymas:

Užduotis Nr.: 323393. Prototipas Nr.:
Paveiksle pavaizduotas kokios nors funkcijos \(y=f(x)\) grafikas. Funkcija \(F(x)=-\frac(1)(4)x^3-\frac(21)(4)x^2-\frac(135)(4)x-\frac(13)(2 )\) yra vienas iš funkcijos \(f(x)\) antidarinių. Raskite užtamsintos figūros plotą.

Atsakymas:

Užduotis Nr.: 323395. Prototipas Nr.:
Paveiksle pavaizduotas kokios nors funkcijos \(y=f(x)\) grafikas. Funkcija \(F(x)=-x^3-21x^2-144x-\frac(11)(4)\) yra vienas iš funkcijos \(f(x)\) antidarinių. Raskite užtamsintos figūros plotą.

Atsakymas:

Užduotis Nr.: 323397. Prototipas Nr.:
Paveiksle pavaizduotas kokios nors funkcijos \(y=f(x)\) grafikas. Funkcija \(F(x)=-\frac(5)(8)x^3-\frac(105)(8)x^2-90x-\frac(1)(2)\) yra viena iš funkcijos \(f(x)\) antidariniai. Raskite užtamsintos figūros plotą.

Atsakymas:

Užduotis Nr.: 323399. Prototipas Nr.:
Paveiksle pavaizduotas kokios nors funkcijos \(y=f(x)\) grafikas. Funkcija \(F(x)=-\frac(1)(10)x^3-\frac(21)(10)x^2-\frac(72)(5)x-\frac(4)(3 )\) yra vienas iš funkcijos \(f(x)\) antidarinių. Raskite užtamsintos figūros plotą.

Atsakymas:

Eiti į puslapį: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 3 4 4 3 3 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 82 8 8 8 8 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 117 118 119 121 2212 1213 28 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 1617 71713 6 17 7 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 212 222 214 5 226 22 7 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 26272727 4 275 276 27 7 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 312 313 314 313 332 312 3 324 325 326 32 7 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 362 363 363 373 363 2 373 374 375 376 37 7 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412