Ką reiškia pasiekti bendrą vardiklį? Trupmenų sumažinimas iki bendro vardiklio. Atsisiųskite vaizdo pamoką „Trupmenų sumažinimas iki bendro vardiklio“

Trupmenos turi skirtingus arba vienodus vardiklius. Tas pats vardiklis arba kitaip vadinamas Bendras vardiklis ties trupmena. Bendro vardiklio pavyzdys:

\(\frac(17)(5), \frac(1)(5)\)

Skirtingų trupmenų vardklių pavyzdys:

\(\frac(8)(3), \frac(2)(13)\)

Kaip sumažinti trupmeną iki bendro vardiklio?

Pirmosios trupmenos vardiklis yra 3, antrosios – 13. Reikia rasti skaičių, kuris dalijasi ir iš 3, ir iš 13. Šis skaičius yra 39.

Pirmoji trupmena turi būti padauginta iš papildomas daugiklis 13. Kad trupmena nesikeistų, turime padauginti ir skaitiklį iš 13, ir vardiklį.

\(\frac(8)(3) = \frac(8 \times \color(raudona) (13))(3 \kartai \spalva(raudona) (13)) = \frac(104)(39)\)

Antrąją trupmeną padauginame iš papildomo koeficiento 3.

\(\frac(2)(13) = \frac(2 \times \color(raudona) (3))(13 \kartų \spalva(raudona) (3)) = \frac(6)(39)\)

Mes sumažinome trupmeną iki bendro vardiklio:

\(\frac(8)(3) = \frac(104)(39), \frac(2)(13) = \frac(6)(39)\)

Mažiausias bendras vardiklis.

Pažvelkime į kitą pavyzdį:

Sumažinkime trupmenas \(\frac(5)(8)\) ir \(\frac(7)(12)\) iki bendro vardiklio.

Bendras skaičių 8 ir 12 vardiklis gali būti skaičiai 24, 48, 96, 120, ..., įprasta rinktis mažiausias bendras vardiklis mūsų atveju tai yra skaičius 24.

Mažiausias bendras vardiklis yra mažiausias skaičius, iš kurio galima padalyti pirmosios ir antrosios trupmenų vardiklį.

Kaip rasti mažiausią bendrą vardiklį?
Skaičių, pagal kuriuos dalijamas pirmosios ir antrosios trupmenų vardiklis, ir pasirenkama mažiausia, surašymo būdas.

Turime padauginti trupmeną su vardikliu 8 iš 3, o trupmeną su vardikliu 12 - padauginti iš 2.

\(\begin(align)&\frac(5)(8) = \frac(5 \times \color(raudona) (3))(8 \times \color(raudona) (3)) = \frac(15 )(24)\\\\&\frac(7)(12) = \frac(7 \times \color(raudona) (2))(12 \times \color(raudona) (2)) = \frac( 14) (24)\\\\\pabaiga (lygiuoti)\)

Jei negalite iš karto sumažinti trupmenų iki mažiausio bendro vardiklio, nėra ko jaudintis, ateityje sprendžiant pavyzdį gali tekti gauti gautą atsakymą.

Bendrą vardiklį galima rasti bet kurioms dviem trupmenoms; jis gali būti šių trupmenų vardikų sandauga.

Pavyzdžiui:
Sumažinkite trupmenas \(\frac(1)(4)\) ir \(\frac(9)(16)\) iki mažiausio bendro vardiklio.

Lengviausias būdas rasti bendrą vardiklį – vardiklius padauginti iš 4⋅16=64. Skaičius 64 nėra mažiausias bendras vardiklis. Norint atlikti užduotį, reikia rasti mažiausią bendrą vardiklį. Todėl ieškome toliau. Mums reikia skaičiaus, kuris dalijasi ir iš 4, ir iš 16, tai yra skaičius 16. Suveskime trupmeną į bendrą vardiklį, trupmeną su vardikliu 4 padauginkime iš 4, o trupmeną su vardikliu 16 – iš vieneto. Mes gauname:

\(\begin(align)&\frac(1)(4) = \frac(1 \times \color(raudona) (4))(4 \times \color(raudona) (4)) = \frac(4 )(16)\\\\&\frac(9)(16) = \frac(9 \times \color(raudona) (1))(16 \times \color(raudona) (1)) = \frac( 9)(16)\\\\ \end(lygiuoti)\)

Šiame straipsnyje paaiškinama kaip rasti mažiausią bendrą vardiklį Ir kaip sumažinti trupmenas iki bendro vardiklio. Pirmiausia pateikiami trupmenų bendro vardiklio ir mažiausio bendro vardiklio apibrėžimai bei parodyta, kaip rasti bendrą trupmenų vardiklį. Žemiau pateikiama trupmenų sumažinimo iki bendro vardiklio taisyklė ir nagrinėjami šios taisyklės taikymo pavyzdžiai. Apibendrinant, aptariami trijų ar daugiau trupmenų suvedimo į bendrą vardiklį pavyzdžiai.

Puslapio naršymas.

Kas vadinama trupmenų mažinimu iki bendro vardiklio?

Dabar galime pasakyti, ką reiškia sumažinti trupmenas iki bendro vardiklio. Trupmenų sumažinimas iki bendro vardiklio- Tai yra duotųjų trupmenų skaitiklių ir vardiklių dauginimas iš tokių papildomų koeficientų, kad gautųsi trupmenos su vienodais vardikliais.

Bendras vardiklis, apibrėžimas, pavyzdžiai

Dabar atėjo laikas apibrėžti bendrą trupmenų vardiklį.

Kitaip tariant, tam tikros paprastųjų trupmenų rinkinio bendras vardiklis yra bet koks natūralusis skaičius, kuris dalijasi iš visų šių trupmenų vardikų.

Iš pateikto apibrėžimo išplaukia, kad duotoji trupmenų rinkinys turi be galo daug bendrų vardiklių, nes yra begalinis visų pradinės trupmenų aibės vardiklių bendrųjų kartotinių skaičius.

Nustačius bendrą trupmenų vardiklį, galima rasti bendrus duotųjų trupmenų vardiklius. Tarkime, kad, pavyzdžiui, trupmenos 1/4 ir 5/6, jų vardikliai yra atitinkamai 4 ir 6. Teigiami bendrieji skaičių 4 ir 6 kartotiniai yra skaičiai 12, 24, 36, 48, ... Bet kuris iš šių skaičių yra bendrasis trupmenų 1/4 ir 5/6 vardiklis.

Norėdami konsoliduoti medžiagą, apsvarstykite šio pavyzdžio sprendimą.

Pavyzdys.

Ar trupmenas 2/3, 23/6 ir 7/12 galima sumažinti iki bendro vardiklio 150?

Sprendimas.

Norėdami atsakyti į klausimą, turime išsiaiškinti, ar skaičius 150 yra bendras vardiklių 3, 6 ir 12 kartotinis. Norėdami tai padaryti, patikrinkime, ar 150 dalijasi iš kiekvieno iš šių skaičių (jei reikia, žr. natūraliųjų skaičių dalybos taisykles ir pavyzdžius, taip pat natūraliųjų skaičių dalijimo su liekana taisykles ir pavyzdžius): 150:3=50 , 150:6=25, 150:12=12 (likę 6) .

Taigi, 150 nėra tolygiai dalijamas iš 12, todėl 150 nėra bendras 3, 6 ir 12 kartotinis. Todėl skaičius 150 negali būti bendras pradinių trupmenų vardiklis.

Atsakymas:

Tai uždrausta.

Mažiausias bendras vardiklis, kaip jį rasti?

Skaičių, kurie yra bendrieji duotųjų trupmenų vardikliai, aibėje yra mažiausias natūralusis skaičius, vadinamas mažiausiu bendruoju vardikliu. Suformuluokime šių trupmenų mažiausio bendro vardiklio apibrėžimą.

Apibrėžimas.

Mažiausias bendras vardiklis yra mažiausias visų šių trupmenų bendrųjų vardiklių skaičius.

Belieka išspręsti klausimą, kaip rasti mažiausiai bendrą daliklį.

Kadangi yra mažiausiai teigiamas tam tikros skaičių aibės bendras daliklis, duotųjų trupmenų vardiklių LCM reiškia mažiausią bendrąjį duotųjų trupmenų vardiklį.

Taigi, ieškant mažiausio bendro trupmenų vardiklio, tenka tų trupmenų vardikliai. Pažvelkime į pavyzdžio sprendimą.

Pavyzdys.

Raskite mažiausią bendrąjį trupmenų 3/10 ir 277/28 vardiklį.

Sprendimas.

Šių trupmenų vardikliai yra 10 ir 28. Norimas mažiausias bendras vardiklis randamas kaip skaičių 10 ir 28 LCM. Mūsų atveju tai paprasta: kadangi 10=2·5 ir 28=2·2·7, tada LCM(15, 28)=2·2·5·7=140.

Atsakymas:

140 .

Kaip sumažinti trupmenas iki bendro vardiklio? Taisyklė, pavyzdžiai, sprendimai

Bendrosios trupmenos paprastai lemia mažiausią bendrą vardiklį. Dabar parašysime taisyklę, kuri paaiškina, kaip sumažinti trupmenas iki mažiausio bendro vardiklio.

Trupmenų mažinimo iki mažiausio bendro vardiklio taisyklė susideda iš trijų žingsnių:

• Pirmiausia suraskite mažiausią bendrąjį trupmenų vardiklį.
• Antra, kiekvienai trupmenai apskaičiuojamas papildomas koeficientas, padalijus mažiausią bendrą vardiklį iš kiekvienos trupmenos vardiklio.
• Trečia, kiekvienos trupmenos skaitiklis ir vardiklis padauginami iš papildomo koeficiento.

Taikykime nurodytą taisyklę, kad išspręstume šį pavyzdį.

Pavyzdys.

Sumažinkite trupmenas 5/14 ir 7/18 iki mažiausio bendro vardiklio.

Sprendimas.

Atlikime visus trupmenų mažinimo iki mažiausio bendro vardiklio algoritmo veiksmus.

Pirmiausia randame mažiausią bendrą vardiklį, kuris yra lygus mažiausiam skaičių 14 ir 18 bendrajam kartotiniui. Kadangi 14=2·7 ir 18=2·3·3, tada LCM(14, 18)=2·3·3·7=126.

Dabar apskaičiuojame papildomus koeficientus, kurių pagalba trupmenos 5/14 ir 7/18 bus sumažintos iki vardiklio 126. Trupmenai 5/14 papildomas koeficientas yra 126:14=9, o trupmenai 7/18 – 126:18=7.

Belieka padauginti trupmenų 5/14 ir 7/18 skaitiklius ir vardiklius atitinkamai iš papildomų koeficientų 9 ir 7. Turime ir .

Taigi, trupmenų 5/14 ir 7/18 sumažinimas iki mažiausio bendro vardiklio baigtas. Gautos frakcijos buvo 45/126 ir 49/126.

Iš pradžių norėjau įtraukti bendro vardiklio metodus į trupmenų pridėjimo ir atėmimo skyrių. Tačiau pasirodė tiek daug informacijos, o jos svarba tokia didelė (juk ne tik skaitinės trupmenos turi bendrus vardiklius), kad geriau šį klausimą panagrinėti atskirai.

Taigi, tarkime, kad turime dvi trupmenas su skirtingais vardikliais. Ir mes norime užtikrinti, kad vardikliai taptų vienodi. Į pagalbą ateina pagrindinė trupmenos savybė, kuri, priminsiu, skamba taip:

Trupmena nepasikeis, jei jos skaitiklis ir vardiklis bus padauginti iš to paties skaičiaus, išskyrus nulį.

Taigi, teisingai pasirinkus veiksnius, trupmenų vardikliai taps vienodi – šis procesas vadinamas redukcija iki bendro vardiklio. O reikalingi skaičiai, „išlyginantys“ vardiklius, vadinami papildomais veiksniais.

Kodėl turime sumažinti trupmenas iki bendro vardiklio? Štai tik kelios priežastys:

1. Trupmenų su skirtingais vardikliais sudėjimas ir atėmimas. Nėra kito būdo atlikti šią operaciją;
2. Palyginti trupmenas. Kartais sumažinimas iki bendro vardiklio šią užduotį labai supaprastina;
3. Užduočių, susijusių su trupmenomis ir procentais, sprendimas. Procentai iš esmės yra įprasti išraiškos, kuriose yra trupmenų.

Yra daug būdų, kaip rasti skaičius, kuriuos padauginus iš jų trupmenų vardikliai bus lygūs. Mes apsvarstysime tik tris iš jų - didėjančio sudėtingumo ir tam tikra prasme efektyvumo tvarka.

Kryžminis dauginimas

Paprasčiausias ir patikimiausias būdas, kuris garantuotai išlygins vardiklius. Elgsimės „stačia galva“: pirmąją trupmeną padauginsime iš antrosios trupmenos vardiklio, o antrąją – iš pirmosios. Dėl to abiejų trupmenų vardikliai taps lygūs pradinių vardiklių sandaugai. Pažiūrėk:

Kaip papildomus veiksnius apsvarstykite gretimų trupmenų vardiklius. Mes gauname:

Taip, tai taip paprasta. Jei tik pradedate tirti trupmenas, geriau dirbti šiuo metodu – taip apsidrausite nuo daugybės klaidų ir garantuotai gausite rezultatą.

Vienintelis šio metodo trūkumas yra tas, kad reikia daug skaičiuoti, nes vardikliai dauginami „visai“, o rezultatas gali būti labai didelis. Tai kaina, kurią reikia mokėti už patikimumą.

Bendrojo daliklio metodas

Šis metodas padeda žymiai sumažinti skaičiavimus, tačiau, deja, jis naudojamas gana retai. Metodas yra toks:

1. Prieš eidami tiesiai į priekį (t. y. naudodami kryžminį metodą), pažiūrėkite į vardiklius. Galbūt vienas iš jų (didesnis) yra padalintas į kitą.
2. Skaičius, gautas iš šio padalijimo, bus papildomas trupmenos su mažesniu vardikliu veiksnys.
3. Tokiu atveju trupmenos su dideliu vardikliu iš viso nereikia dauginti – čia ir slypi santaupos. Tuo pačiu metu smarkiai sumažėja klaidų tikimybė.

Užduotis. Raskite posakių reikšmes:

Atkreipkite dėmesį, kad 84: 21 = 4; 72:12 = 6. Kadangi abiem atvejais vienas vardiklis be liekanos dalijamas iš kito, naudojame bendrųjų faktorių metodą. Mes turime:

Atkreipkite dėmesį, kad antroji trupmena iš viso nebuvo padauginta iš nieko. Tiesą sakant, mes sumažinome skaičiavimo kiekį per pusę!

Beje, šiame pavyzdyje trupmenas paėmiau neatsitiktinai. Jei jus domina, pabandykite juos suskaičiuoti kryžminiu metodu. Po sumažinimo atsakymai bus tie patys, tačiau darbo bus daug daugiau.

Tai yra bendrųjų daliklių metodo galia, bet vėlgi, jis gali būti naudojamas tik tada, kai vienas iš vardklių dalijasi iš kito be liekanos. Kas nutinka gana retai.

Mažiausiai paplitęs kelių metodas

Kai sumažiname trupmenas iki bendro vardiklio, iš esmės bandome rasti skaičių, kuris dalijasi iš kiekvieno vardiklio. Tada į šį skaičių įtraukiame abiejų trupmenų vardiklius.

Tokių skaičių yra daug, o mažiausias iš jų nebūtinai bus lygus pradinių trupmenų vardikų tiesioginei sandaugai, kaip manoma taikant „kryžminį“ metodą.

Pavyzdžiui, vardikliams 8 ir 12 skaičius 24 yra gana tinkamas, nes 24: 8 = 3; 24:12 = 2. Šis skaičius yra daug mažesnis nei sandauga 8 · 12 = 96.

Mažiausias skaičius, kuris dalijasi iš kiekvieno vardiklio, vadinamas jų mažiausiu bendruoju kartotiniu (LCM).

Pažymėjimas: Mažiausias bendrasis a ir b kartotinis žymimas LCM(a ; b) . Pavyzdžiui, LCM(16, 24) = 48 ; LCM(8; 12) = 24 .

Jei pavyks rasti tokį skaičių, bendra skaičiavimų suma bus minimali. Pažvelkite į pavyzdžius:

Užduotis. Raskite posakių reikšmes:

Atkreipkite dėmesį, kad 234 = 117 2; 351 = 117 3. 2 ir 3 faktoriai yra bendras (neturi bendrų veiksnių, išskyrus 1), o faktorius 117 yra bendras. Todėl LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.

Taip pat 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. 3 ir 4 faktoriai yra bendras, o faktorius 5 yra įprastas. Todėl LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Dabar suveskime trupmenas į bendrus vardiklius:

Atkreipkite dėmesį, kaip naudinga buvo padalyti pradinius vardiklius:

1. Atradę vienodus veiksnius, iš karto priėjome mažiausią bendrą kartotinį, kuris, paprastai kalbant, yra nereikšminga problema;
2. Iš gauto išplėtimo galite sužinoti, kurių veiksnių „trūksta“ kiekvienoje frakcijoje. Pavyzdžiui, 234 · 3 = 702, todėl pirmosios trupmenos papildomas koeficientas yra 3.

Kad suprastumėte, koks skirtumas yra mažiausiai paplitęs kelių metodas, pabandykite tuos pačius pavyzdžius apskaičiuoti naudodami kryžminį metodą. Žinoma, be skaičiuoklės. Manau, kad po šito komentarai bus nereikalingi.

Nemanykite, kad tikruose pavyzdžiuose nebus tokių sudėtingų trupmenų. Jie susitinka visą laiką, o aukščiau pateiktos užduotys nėra riba!

Vienintelė problema yra tai, kaip rasti šį NOC. Kartais viskas randama per kelias sekundes, pažodžiui „iš akies“, tačiau apskritai tai yra sudėtinga skaičiavimo užduotis, kurią reikia apsvarstyti atskirai. Mes čia to neliesime.

• Trupmenų su panašiais vardikliais pridėjimas ir atėmimas
• Trupmenų su skirtingais vardikliais sudėjimas ir atėmimas
• NOC samprata
• Trupmenų mažinimas iki to paties vardiklio
• Kaip pridėti sveikąjį skaičių ir trupmeną

1 Trupmenų su panašiais vardikliais pridėjimas ir atėmimas

Norėdami pridėti trupmenas su tais pačiais vardikliais, turite pridėti jų skaitiklius, tačiau vardiklį palikite tą patį, pavyzdžiui:

Norėdami atimti trupmenas su tais pačiais vardikliais, turite atimti antrosios trupmenos skaitiklį iš pirmosios trupmenos skaitiklio ir vardiklį palikti tą patį, pavyzdžiui:

Norėdami pridėti mišrias trupmenas, turite atskirai pridėti visas jų dalis, tada pridėti jų trupmenines dalis ir parašyti rezultatą kaip mišrią trupmeną,

1 pavyzdys:

2 pavyzdys:

Jei pridėdami trupmenines dalis gaunate netinkamą trupmeną, pasirinkite iš jos visą dalį ir pridėkite prie visos dalies, pvz.:

2 Trupmenų su skirtingais vardikliais sudėjimas ir atėmimas.

Norėdami pridėti arba atimti trupmenas su skirtingais vardikliais, pirmiausia turite jas sumažinti iki to paties vardiklio, o tada elgtis taip, kaip nurodyta šio straipsnio pradžioje. Bendras kelių trupmenų vardiklis yra LCM (mažiausias bendras kartotinis). Kiekvienos trupmenos skaitikliui papildomi veiksniai randami LCM padalijus iš šios trupmenos vardiklio. Pažiūrėsime į pavyzdį vėliau, kai suprasime, kas yra NOC.

3 Mažiausias bendras kartotinis (LCM)

Mažiausias bendrasis dviejų skaičių kartotinis (LCM) yra mažiausias natūralusis skaičius, kuris dalijasi iš abiejų skaičių nepaliekant likučio. Kartais LCM galima rasti žodžiu, tačiau dažniau, ypač dirbant su dideliais skaičiais, LCM reikia rasti raštu, naudojant šį algoritmą:

Norėdami rasti kelių skaičių LCM, jums reikia:

1. Padalinkite šiuos skaičius į pirminius veiksnius
2. Paimkite didžiausią išplėtimą ir parašykite šiuos skaičius kaip produktą
3. Kituose išskaidymuose pasirinkite skaičius, kurie nepasirodo didžiausiame išskaidyme (arba jame pasitaiko mažiau kartų), ir pridėkite juos prie sandaugos.
4. Padauginkite visus gaminio skaičius, tai bus LCM.

Pavyzdžiui, suraskime skaičių 28 ir 21 LCM:

4 Trupmenų mažinimas iki to paties vardiklio

Grįžkime prie trupmenų su skirtingais vardikliais pridėjimo.

Kai sumažiname trupmenas iki to paties vardiklio, lygaus abiejų vardiklių LCM, šių trupmenų skaitiklius turime padauginti iš papildomi daugikliai. Juos galite rasti padalydami LCM iš atitinkamos trupmenos vardiklio, pavyzdžiui:

Taigi, norėdami sumažinti trupmenas iki to paties laipsnio, pirmiausia turite rasti šių trupmenų vardiklių LCM (ty mažiausią skaičių, kuris dalijasi iš abiejų vardiklių), tada pridėti papildomų koeficientų prie trupmenų skaitiklių. Juos galite rasti padalydami bendrąjį vardiklį (CLD) iš atitinkamos trupmenos vardiklio. Tada kiekvienos trupmenos skaitiklį reikia padauginti iš papildomo koeficiento ir kaip vardiklį įdėti LCM.

5 Kaip pridėti sveikąjį skaičių ir trupmeną

Norėdami pridėti sveikąjį skaičių ir trupmeną, tiesiog pridėkite šį skaičių prieš trupmeną, kad sukurtumėte mišrią trupmeną, pavyzdžiui:

Jei sudedame sveikąjį skaičių ir mišriąją trupmeną, tą skaičių pridedame prie sveikosios trupmenos dalies, pavyzdžiui:

Treneris 1

Trupmenų su panašiais vardikliais pridėjimas ir atėmimas.

Laiko limitas: 0

Navigacija (tik darbo numeriai)

0 iš 20 atliktų užduočių

Informacija

Šis testas patikrina jūsų gebėjimą pridėti trupmenas su panašiais vardikliais. Tokiu atveju reikia laikytis dviejų taisyklių:

• Jei rezultatas yra neteisinga trupmena, turite ją konvertuoti į mišrų skaičių.
• Jei trupmeną galima sutrumpinti, būtinai sutrumpinkite, kitaip bus skaičiuojamas neteisingas atsakymas.

Jūs jau atlikote testą anksčiau. Negalite vėl pradėti.

Bandomasis įkeliamas...

Norėdami pradėti testą, turite prisijungti arba užsiregistruoti.

Norėdami pradėti, turite atlikti šiuos testus:

rezultatus

Teisingi atsakymai: 0 iš 20

Tavo laikas:

Laikas baigėsi

Jūs surinkote 0 taškų iš 0 (0)

1. Su atsakymu
2. Su žiūrėjimo ženklu